UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ …repositorio.roca.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/... · Simples para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental .....89

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA CIVIL - GUARAPUAVA

ENGENHARIA CIVIL

ISABELA AMES

ESTUDO DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL NO

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

GUARAPUAVA

2019

ISABELA AMES

ESTUDO DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL NO

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial à obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil, da Coordenação de Engenharia Civil da Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

Orientador: Prof. Me. Carlos Francisco Pecapedra Souza

Coorientador: Prof. Me. Edson Florentino de Souza

GUARAPUAVA

2019

ATA DA DEFESA

Realizou-se no dia 06 de dezembro de 2019, às 14 h 00 min, no Câmpus

Guarapuava da UTFPR, a defesa do Trabalho de Conclusão de Curso, como

requisito parcial para aprovação da aluna Isabela Ames, na disciplina de TCC2 do

Curso de Engenharia Civil intitulado: ESTUDO DA CONFIABILIDADE

ESTRUTURAL NO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES.

A Banca foi composta pelo Presidente:

Carlos Francisco Pecapedra Souza (Orientador), e pelos seguintes membros:

Edson Florentino de Souza

Dyorgge Alves Silva

Guarapuava, 06 de dezembro de 2019

“A folha de aprovação assinada encontra-se na Coordenação do Curso”

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Transformação de Hasofer-Lind das variáveis de projeto ........................ 36

Figura 2 – Algoritmo FOSM ....................................................................................... 43

Figura 3 – Transformação das variáveis de projeto no método FORM ..................... 44

Figura 4 – Algoritmo FORM ....................................................................................... 49

Figura 5 – Algoritmo SORM ...................................................................................... 52

Figura 6 – Algoritmo de Monte Carlo com amostragem de importância no ponto de projeto ....................................................................................................................... 58

Figura 7 – Algoritmo PMA ......................................................................................... 63

Figura 8 – Domínios de deformação ......................................................................... 64

Figura 9 – Equilíbrio na seção transversal ................................................................ 68

Figura 10 – Índices de confiabilidade médios para diferentes razões de ações variáveis .................................................................................................................... 87

Figura 11 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade obtido pelos métodos FOSM e FORM para diferentes proporções de ações variáveis do tipo acidental em vigas de altura h = 40 cm ..................................................................... 88

Figura 12 – Diferenças médias por método em relação ao método de Monte Carlo Simples para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental ....................... 89

Figura 13 – Convergência dos métodos de Monte Carlo simples e Monte Carlo com amostragem por importância no ponto de projeto, considerando-se modelo de viga com bw = 14 cm, fck = 25 MPa, h = 40 cm, taxa de aço de 0,60% e 30% de cargas variáveis .................................................................................................................... 90

Figura 14 – Média das componentes i de cada variável ......................................... 91

Figura 15 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade de cada variável 92

Figura 16 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental .............................................................. 93

Figura 17 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes taxas de aço .............................................................................................................. 95

Figura 18 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes alturas ....................................................................................................................... 96

Figura 19 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes resistências características do concreto à compressão ............................................ 98

Figura 20 – Ganho percentual no índice de confiabilidade de acordo com o intervalo entre diferentes razões de ações variáveis ............................................................... 99

Figura 21 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental ............................................................................. 100

Figura 22 – Índices de confiabilidade médios para diferentes taxas de aço e razões de ações variáveis do tipo acidental ........................................................................ 101

Figura 23 – Índices de confiabilidade médios para diferentes áreas de aço e razões de ações variáveis do tipo acidental para classe de resistência C20 ...................... 102

Figura 24 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes taxas de aço .......................................................................................................................... 103

Figura 25 – Índices de confiabilidade médios para diferentes alturas e razões de ações variáveis do tipo acidental ............................................................................. 104

Figura 26 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes alturas . 105

Figura 27 – Índices de confiabilidade médios para diferentes resistências características do concreto à compressão e razões de ações variáveis do tipo acidental .................................................................................................................. 107

Figura 28 – Índices de confiabilidade médios para diferentes resistências características do concreto à compressão e taxas de aço discriminadas por intervalo entre 0,15% e 1,35% ............................................................................................... 108

Figura 29 – Índices de confiabilidade médios para diferentes resistências características do concreto à compressão e taxas de aço discriminadas por intervalo entre 1,50% e 1,80% ............................................................................................... 109

Figura 30 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes resistências características do concreto à compressão .......................................... 110

Figura 31 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 25 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 10% ................ 120


















Figura 49 – Área de aço de acordo com o momento característico e diferentes

razões de ações acidentais em relação às totais para índice de confiabilidade = 3,0 (fck = 25,0 MPa, bw = 14,0 cm, h = 30,0 cm) ............................................................. 130


razões de ações acidentais em relação às totais para índice de confiabilidade = 3,0 (fck = 25,0 MPa, bw = 14,0 cm, h = 40,0 cm) ....................................................... 131












razões de ações acidentais em relação às totais para índice de confiabilidade = 3,0 (fck = 25,0 MPa, bw = 14,0 cm, h = 100,0 cm) ......................................................... 137
















razões de ações acidentais em relação às totais para índice de confiabilidade = 3,0 (fck = 30,0 MPa, bw = 14,0 cm, h = 100,0 cm) ........................................................... 145

































LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Concreto comum moldado in loco ........................................................... 70

Tabela 2 – Concreto comum moldado in loco ........................................................... 70

Tabela 3 – Concreto pré-moldado ............................................................................. 70

Tabela 4 – Concreto comum moldado in loco de acordo com a realidade brasileira 71

Tabela 5 – Resistência do aço das armaduras ao escoamento ................................ 71

Tabela 6 – Resistência do aço das armaduras ao escoamento para a realidade brasileira .................................................................................................................... 72

Tabela 7 – Resistência do aço das armaduras ao escoamento independe do diâmetro .................................................................................................................... 72

Tabela 8 – Dimensões externas de vigas de concreto armado ................................. 73

Tabela 9 – Altura útil de vigas de concreto armado .................................................. 73

Tabela 10 – Cobrimento da armadura em vigas de concreto armado ....................... 74

Tabela 11 – Área de aço das armaduras longitudinais ............................................. 74

Tabela 12 – Ações permanentes ............................................................................... 75

Tabela 13 – Ações acidentais ................................................................................... 76

Tabela 14 – Incertezas de solicitações ..................................................................... 76

Tabela 15 – Incertezas de resistências ..................................................................... 77

Tabela 16 – Variáveis aleatórias consideradas na análise ........................................ 80

Tabela 17 – Pesos de frequência de ocorrência de diferentes razões de carregamento acidental ............................................................................................. 82

Tabela 18 – Índices de confiabilidade médios de acordo com o método utilizado .... 84

Tabela 19 – Índices de confiabilidade a partir de média ponderada de acordo com o método utilizado ........................................................................................................ 85

Tabela 20 – Diferenças dos índices de confiabilidade dos diferentes métodos em relação ao método de Monte Carlo simples .............................................................. 86

Tabela 21 – Grupos de distribuição ......................................................................... 163

Tabela 22 – Categoria 1 - Xi Normal e Xj pertencente ao Grupo 1 .......................... 163

Tabela 23 – Categoria 2 - Xi Normal e Xj pertencente ao Grupo 2 .......................... 163

Tabela 24 – Categoria 2 - Xi e Xj pertencentes ao Grupo 1 .................................... 164


Tabela 26 – Categoria 4 - Xi pertencente ao grupo 1 e Xj pertencentes ao Grupo 2 ................................................................................................................................ 165









LISTA DE SIGLAS E ACRÔNIMOS

LISTA DE SIGLAS

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

MCS Monte Carlo Simulation (Simulação de Monte Carlo)

MCIS Monte Carlo (Importance Sampling) (Simulação de Monte Carlo com amostragem por importância)

LISTA DE ACRÔNIMOS

FOSM First Order Second Moment Method (Método de primeira ordem e segundo momento)

FORM First Order Reliability Method (Método de confiabilidade de primeira ordem)

SORM Second Order Reliability Method (Método de confiabilidade de segunda ordem)

LISTA DE SÍMBOLOS

X Variável aleatória

x Valor assumido por uma variável aleatória

X Vetor de variáveis aleatórias

x Vetor de valores assumidos por uma variável aleatória

Média de uma variável aleatória

Desvio padrão de uma variável aleatória

ρXY Coeficiente de correlação das variáveis aleatórias X e Y

pf Probabilidade de falha

R Variável aleatória equivalente à resistência

S Variável aleatória equivalente à solicitação

M Variável aleatória equivalente à margem de segurança

Índice de confiabilidade

T Índice de confiabilidade alvo

Vetor de cossenos diretores do ponto de projeto

nf Número de falhas

nS Número de simulações

c Deformação do concreto

s Deformação do aço

Proporção de ações variáveis em relação às totais

d Altura útil

bw Largura da seção transversal

h Altura total da seção transversal

Rcc Força resultante das tensões de compressão no concreto

fcd Resistência do concreto à compressão em valores de cálculo

Rst Força resultante das tensões de tração no aço

fyd Tensão de escoamento de aço em valores de cálculo

Msd Momento fletor solicitante de cálculo

Dedicado à Sirlei, Ronaldo e Alessandra Ames

AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus pais, Sirlei e Ronaldo Ames, pelo apoio e compreensão

durante os 5 anos que antecederam a conclusão deste trabalho. Ao professor

orientador, Carlos Francisco Pecapedra Souza, e coorientador, Edson Florentino de

Souza, pelo conhecimento e experiência compartilhados. À Alessandra Ames, Bruno

Oliveira Nascimento e Marcel Cassandri Romero Farinha, por possibilitar a conclusão

deste trabalho em tempo hábil. Aos demais professores, pela cooperação no

desenvolvimento deste trabalho. Aos meus colegas de trabalho e amigos. Sem a

participação de todos, este trabalho não teria sido possível.

RESUMO

AMES, Isabela. Estudo da confiabilidade estrutural no dimensionamento de vigas de concreto armado submetidas à flexão simples. 2019. 169 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Engenharia Civil - Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Guarapuava, 2019.

O estudo da confiabilidade estrutural possibilita a consideração das incertezas inerentes aos diversos parâmetros de dimensionamento, de modo a determinar os níveis de segurança aos quais uma estrutura está submetida, por meio da análise de sua probabilidade de falha. Com vistas à identificar a influência das variáveis que caracterizam o dimensionamento no estado limite último de vigas de concreto armado submetidas à flexão simples, este trabalho propõe uma análise do ponto de vista de confiabilidade estrutural de vigas dimensionadas de acordo com a norma brasileira NBR 6118:2014 “Projeto de estruturas de concreto - Procedimento", por meio de métodos de transformação - FOSM (First Order Second Moment Method), FORM (First Order Reliability Method) e SORM (Second Order Reliability Method) - e simulação - Monte Carlo simples e com amostragem por importância no ponto de projeto. Para esta análise, foram variados os parâmetros de altura útil (como função da altura da viga), resistência característica do concreto à compressão, área de aço e proporção de ações variáveis em relação às totais para vigas com base de 14 e 19 cm. Desenvolveu-se ainda a otimização baseada em confiabilidade das vigas de concreto armado, com vistas à obtenção das áreas de aço necessárias para fornecer um índice de confiabilidade alvo pré-estabelecido. Os métodos FORM, SORM e os métodos de simulação apresentaram resultados satisfatórios para os casos avaliados. De maneira geral, observou-se a redução da confiabilidade com o aumento da proporção de ações variáveis e altura útil, e o acréscimo na confiabilidade com o aumento da área de aço. Os resultados também demonstraram que os parâmetros com maior influência na probabilidade de falha foram as variáveis de momento característico devido às ações variáveis, cuja variação provocou variabilidade considerável nos índices de confiabilidade, e de incertezas de modelo. Os parâmetros que menos influenciaram na probabilidade de falha foram os parâmetros de resistência característica do concreto à compressão, altura útil e largura da base da viga. Os resultados demonstram, portanto, as variáveis cuja incerteza deve ser estudada e monitorada com maior atenção, e as variáveis cuja incerteza pode ser desprezada.

Palavras-chave: Confiabilidade estrutural. Concreto armado. Otimização.

ABSTRACT

AMES, Isabela. Structural reliability design assessment of reinforced concrete beams subjected to a bending moment. 2019. 169 p. Course Conclusion Work in Civil Engineering - Federal Technology University - Paraná. Guarapuava, 2019.

The structural reliability study enables the consideration of uncertainties inherent to the various design parameters, in order to determine the security levels on which a certain structure is submitted to, through its failure probability analysis. With the aim of identifying the influence of the variables that characterize the ultimate limit state of reinforced concrete beams subjected to a bending moment, this work proposes a structural reliability analysis of beams designed within Brazilian standards such as NBR 6118:2014 “Design of structural concrete – Procedure", taking in consideration the transformation methods – FOSM (First Order Second Moment Method), FORM (First Order Reliability Method) and SORM (Second Order Reliability Method) – and simulation methods – Monte Carlo simulation and Importance Sampling Monte Carlo simulation. To make this analysis possible, it had been varied the parameters of effective depth (as a function of the beam height), concrete compressive strength, reinforcement steel area and the proportion between live load and total load, on 14-and-19-centimeter-width beams. In addition, it had been developed a reliability-based design optimization, with the aim of obtaining the reinforcement steel area needed to provide the target reliability index predetermined. The FORM and SORM as well as the simulation methods presented satisfactory results. In general, it was observed the reliability index decline with the live load rate and effective depth increase, whereas the steel reinforcement area increase led to a rise in the reliability index. The results also demonstrated that the parameters with higher influence on failure probability were the characteristic bending moment due to live load, whose variation had caused a great range on reliability index results, and model uncertainties in general. The parameters with least influence on the failure probability were the concrete compressive strength, effective depth and beam width. The results demonstrated, therefore, the parameters on which the uncertainty must be taken in consideration and monitored with higher attention, and the parameters on which the uncertainty could be neglected.

Keywords: Structural Reliability. Reinforced Concrete. Optimization.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................19

1.1 DELITIMITAÇÃO DO TEMA .............................................................................20

1.2 OBJETIVOS ......................................................................................................20

1.2.1 Objetivos Gerais .............................................................................................21

1.2.2 Objetivos Específicos ......................................................................................21

1.3 JUSTIFICATIVA ................................................................................................22

2 CONCEITOS DE PROBABILIDADE ....................................................................24

2.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ................................................................................24

2.2 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADES ...............................................25

2.3 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA ...................................................26

2.4 MÉDIA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA .................................26

2.5 DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE PROBABILIDADES ......................................27

2.6 PROBABILIDADE CONDICIONAL ...................................................................28

2.7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES ................................................28

2.8 MÉDIA, COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ............................................................................29

3 O PROBLEMA FUNDAMENTAL DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL ..........30

4 MÉTODOS DE TRANSFORMAÇÃO ...................................................................33

4.1 FOSM – MÉTODO DE TRANSFORMAÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM E SEGUNDO MOMENTO ..........................................................................................33

4.1.1 Equações de Estado Limite lineares ...............................................................38

4.1.2 Equações de Estado limite não-lineares .........................................................39

4.1.3 Coeficientes de Sensibilidade .........................................................................40

4.1.4 Notação matricial ............................................................................................41

4.1.5 Algoritmo de Hasofer, Lind, Rackwitz e Fiessler .............................................41

4.1.6 Algoritmo FOSM .............................................................................................42

4.2 FORM – MÉTODO DE CONFIABILIDADE DE PRIMEIRA ORDEM.................44

4.2.1 Algoritmo FORM .............................................................................................48

4.3 SORM – MÉTODO DE CONFIABILIDADE DE SEGUNDA ORDEM ................50

4.3.1 Algoritmo SORM .............................................................................................51

5 MÉTODO DE SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO ................................................53

5.1 GERADOR DE AMOSTRAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ............................54

5.1.1 Variáveis Aleatórias Independentes ................................................................54

5.1.2 Variáveis Aleatórias Correlacionadas .............................................................55

5.2 TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA .....................................................55

5.2.1 Amostragem por Importância ..........................................................................56

5.2.2 Determinação da função de amostragem .......................................................56

5.2.3 Algoritmo de Monte Carlo com Amostragem por Importância no Ponto de Projeto .....................................................................................................................57

6 OTIMIZAÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE (RBDO) .................................59

6.1 FORMULAÇÃO RIA DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO .................................60

6.2 FORMULAÇÃO PMA DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ................................61

7 VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES ..........64

7.1 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO .......................................................................64

7.2 EQUILÍBRIO DA SEÇÃO TRANSVERSAL E EQUACIONAMENTO PARA DOMÍNIOS 2 E 3 .....................................................................................................66

7.3 VARIÁVEIS BÁSICAS PARA O ESTUDO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO ..........................................................................................................................69

7.3.1 Resistência do Concreto à Compressão .........................................................69

7.3.2 Tensão de Escoamento do Aço das Armaduras .............................................71

7.3.3 Parâmetros de Geometria ...............................................................................72

7.3.3.1 Dimensões externas da Viga de Concreto Armado ....................................73

7.3.3.2 Altura útil da viga de concreto armado ........................................................73

7.3.3.3 Cobrimento das armaduras .........................................................................74

7.3.3.4 Área de aço das armaduras longitudinais ...................................................74

7.3.4 Ações ..............................................................................................................75

7.3.4.1 Ações permanentes ....................................................................................75

7.3.4.2 Ações variáveis ...........................................................................................75

7.3.5 Incertezas de Modelo ......................................................................................76

7.4 ÍNDICE DE CONFIABILIDADE ALVO...............................................................77

8 MATERIAIS E MÉTODOS ....................................................................................78

8.1 MATERIAIS .......................................................................................................78

8.2 METODOLOGIA ...............................................................................................78

8.2.1 Análise da Confiabilidade Estrutural no Projeto Estrutural a partir da Norma NBR 6118:2014 .......................................................................................................79

8.2.1.1 Modelos de viga analisados ........................................................................79

8.2.1.2 Implementação dos algoritmos de confiabilidade estrutural e definição do problema .................................................................................................................80

8.2.2 Otimização Baseada em Confiabilidade de Vigas de Concreto armado .........83

9 RESULTADOS E DISCUSSÃO ...........................................................................84

9.1 ÍNDICES DE CONFIABILIDADE MÉDIOS ........................................................84

9.2 ESTUDO COMPARATIVO DOS MÉTODOS DE TRANSFORMAÇÃO E SIMULAÇÃO ...........................................................................................................85

9.3 ESTUDO DOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE .....................................91

9.3.1 Variação da Taxa de Carregamento Acidental ...............................................93

9.3.2 Variação da Área de Aço ................................................................................94

9.3.3 Variação da Altura ..........................................................................................95

9.3.4 Variação da Resistência à Compressão do Concreto .....................................97

9.4 ESTUDO DAS TENDÊNCIAS OBSERVADAS NA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS .......................................................................................................98

9.4.1 Variação da Taxa de Carregamento Acidental ...............................................99

9.4.2 Variação da Área de Aço ................................................................................100

9.4.3 Variação da Altura ..........................................................................................103

9.4.4 Variação da Largura da Base .........................................................................105

9.4.5 Variação da Resistência à Compressão do Concreto .....................................106

9.5 OTIMIZAÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE DE ÁREAS DE AÇO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO .........................................................................110

10 CONCLUSÃO .........................................................................................112

REFERÊNCIAS .......................................................................................................114

APÊNDICE A - Índices de confiabilidade obtidos a partir de diferentes configurações de vigas.........................................................................................119

APÊNDICE B - Áreas de aço otimizadas a partir de confiabilidade ................129

ANEXO A - Tabelas de coeficiente de correlação ..............................................162

19

1 INTRODUÇÃO

O projeto de estruturas, de modo geral, consiste em proporcionar aos

elementos de uma estrutura os critérios de segurança, serviço e durabilidade sob os

efeitos de determinadas solicitações. No entanto, a segurança absoluta de uma

estrutura não pode ser garantida, devido a inúmeras incertezas, tais quais a

imprevisibilidade dos carregamentos futuros, a inabilidade de se obter a propriedade

de materiais in loco, as simplificações acerca do comportamento da estrutura

submetida aos carregamentos considerados, a limitação dos métodos numéricos

utilizados e fatores humanos. Entretanto, a probabilidade de falha de uma estrutura

pode ser limitada a níveis razoáveis (HALDAR; MAHADEVAN, 1995).

A variabilidade das diversas variáveis que caracterizam um problema de

engenharia indicam a necessidade de estruturar toda a informação obtida da

experiência profissional, de forma a obter uma análise racional de tais experiências

(DITLEVSEN; MADSEN, 2007).

Para tratar de forma adequada tais incertezas, é necessário considerar as

influências externas, tais quais os carregamentos, e as influências internas, tais quais

as resistências dos elementos, sendo necessário o levantamento estatístico de todos

os parâmetros que as influenciam (FABER, 2006), conforme trabalhos já

desenvolvidos por diversos autores (ELLINGWOOD et al., 1980; MIRZA;

MACGREGOR, 1982; SANTIAGO, 2019; SANTIAGO; BECK, 2017).

A partir de dados estatísticos conhecidos, o problema de confiabilidade

estrutural se inicia com a escolha dos parâmetros adequados e de sua relação, de

modo a descrever uma equação de estado limite que separe os domínios de falha e

segurança de uma estrutura (HALDAR; MAHADEVAN, 1995).

Quando existe a violação de tal estado limite, ou seja, de modo que tal

estrutura atinja seu domínio de falha, sérias consequências são observadas. O estudo

da confiabilidade estrutural está relacionado ao cálculo e predição da probabilidade

da violação de um estado limite de uma estrutura em qualquer estágio de sua vida útil

(MELCHERS; BECK, 2018).

Segundo Beck (2019), a confiabilidade de um sistema pode ser definida,

portanto, como a probabilidade de que esse não falhe em um determinado período

de tempo, respeitadas as condições de operação e projeto.

20

Diversos métodos de solução de problemas de confiabilidade estrutural têm

sido propostos, tais como os métodos de transformação e o método de simulação de

Monte Carlo, que consideram os diversos tipos de problema, os parâmetros

envolvidos e as incertezas associadas a esses parâmetros. As incertezas são

modeladas em termos de valores prováveis (média), da dispersão dos valores em

torno da média (variância) e funções de distribuição de probabilidades (HALDAR;

MAHADEVAN, 1995).

Com o objetivo de analisar as incertezas envolvidas no projeto de vigas de

concreto armado, o presente trabalho possui a sua estrutura subdividida em uma

breve introdução à conceitos de probabilidade, seguida de uma revisão a respeito dos

diferentes métodos de confiabilidade estrutural e de otimização baseada em

confiabilidade, dos parâmetros e equações de estado limite considerados na análise

desenvolvida no trabalho e, por fim, da metodologia utilizada e dos resultados obtidos.

1.1 DELITIMITAÇÃO DO TEMA

O tema abordado neste trabalho limita-se à abordagem da temática de

confiabilidade estrutural com aplicação em um estudo de caso que consiste na análise

do índice de confiabilidade de vigas de concreto armado de diferentes geometrias,

propriedades e proporções entre carregamentos permanentes e variáveis,

dimensionadas à flexão simples de acordo com a norma ABNT NBR 6118:2014

“Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”. Como parte final da análise, este

trabalho propõe o desenvolvimento de ferramentas gráficas para a identificação das

áreas de aço otimizadas a partir de confiabilidade estrutural, para diferentes seções

transversais, proporções entre carregamentos e resistências do concreto à

compressão.

1.2 OBJETIVOS

O presente trabalho tem objetivos gerais e específicos apresentados nos itens

a seguir.

21

1.2.1 Objetivos Gerais

Objetiva-se desenvolver um estudo acerca da confiabilidade estrutural de

vigas de concreto armado dimensionadas de acordo com a norma NBR 6118:2014,

de diferentes geometrias, propriedades e carregamentos, submetidas à flexão simples

a partir de métodos de confiabilidade estrutural e de otimização baseada em

confiabilidade.

1.2.2 Objetivos Específicos

Para o desenvolvimento das atividades relacionadas a este trabalho, alguns

objetivos específicos foram elencados:

• realizar uma revisão bibliográfica a respeito dos métodos de transformação

FOSM (First Order Second Moment), FORM (First Order Reliability Method), SORM

(Second Order Reliability Method) e método de simulação de Monte Carlo simples e

com amostragem por importância;

• implementar computacionalmente os algoritmos associados à cada

método;

• delimitar as variáveis a serem consideradas na modelagem do problema

de confiabilidade em vigas de concreto armado, bem como de sua equação de estado

limite;

• levantar dados presentes na literatura a respeito do comportamento

estatístico de cada uma das variáveis aleatórias escolhidas;

• analisar a confiabilidade estrutural de vigas de concreto armado nos

diferentes métodos de confiabilidade estrutural, estabelecendo comparação entre a

aplicabilidade dos métodos e a influência dos diferentes parâmetros nos índices de

confiabilidade;

• encontrar, por meio dos coeficientes de sensibilidade, os parâmetros cuja

incerteza mais influencia na probabilidade de falha;

• aplicar o algoritmo de otimização baseado em confiabilidade na otimização

da área de aço em vigas de concreto armado submetidas à flexão simples, para índice

de confiabilidade alvo pré-estabelecido;

22

• expor, por meio de ferramenta gráfica, as áreas de aço para diferentes

geometrias e configurações de carregamentos obtidas a partir de otimização baseada

em confiabilidade;

• enfatizar a relevância de se considerar a metodologia de confiabilidade

estrutural no dimensionamento de elementos de concreto armado.

1.3 JUSTIFICATIVA

Os métodos tradicionais de medição de segurança, tais como os fatores de

segurança, são medições determinísticas, uma vez que as variáveis que descrevem

a estrutura, a sua resistência e os carregamentos aplicados são assumidos valores

conhecidos, sem nenhuma incerteza associada (MELCHERS; BECK, 2018).

As normas de dimensionamento de estruturas são estabelecidas para que

exista uma base simples, segura e economicamente eficiente para o

dimensionamento de estruturas. Tradicionalmente, a verificação de confiabilidade

proposta pelas referências normativas está associada a uma comparação entre

resistências e solicitações. Devido às incertezas, são introduzidos valores de projeto

para assegurar que a estrutura esteja com um valor aceitável de confiabilidade

(FABER; SØRENSEN, 2002).

A Norma Brasileira ABNT NBR 8681:2003 “Ações e segurança nas estruturas

– Procedimento” submeteu-se a melhorias através da migração do método de

dimensionamento das tensões admissíveis ao método dos estados limites. No

entanto, a calibração dos fatores de segurança de tal norma não foi obtida de maneira

consistente, independente das condições e incertezas dos materiais e ações da

realidade brasileira, sendo baseada no julgamento da experiência de membros de

comitê e em normas estrangeiras correlatas (BECK; SOUZA JR., 2010).

Aproximações como esta podem não ser suficientes quando o projeto for

baseado em eventos raros ou com novas tecnologias envolvidas. A adoção de

estruturas mais robustas usualmente a torna mais segura, porém aumenta

consideravelmente o seu custo. Por outro lado, a estrutura pode culminar em sua

falha, em conta de diferentes categorias de performance requeridas para determinada

estrutura (DITLEVSEN; MADSEN, 2007; ELLINGWOOD, 2000).

23

Em muitos campos da engenharia, principalmente os que envolvem produção

em massa de produtos manufaturados, a tecnologia é facilmente controlada e dados

podem ser disponibilizados a partir de testes. As melhorias e desenvolvimento dos

produtos finais podem ser obtidas por meio da sucessão de tentativas, e as falhas em

seus processos são principalmente a inconveniência e as perdas econômicas. Na

construção civil, por outro lado, os produtos não são produzidos em massa, tornando

difícil a obtenção de dados pela repetição das circunstâncias. As demandas na

estrutura devido à ocupação e fenômenos naturais é altamente variável e as

consequências de falha são severas (ELLINGWOOD, 2000).

Dentre os materiais estruturais usuais na construção civil, o concreto é um dos

que apresenta a maior variabilidade de suas propriedades. Em 2011 e posteriormente,

em 2017, Santiago e Beck estudaram a conformidade de concretos produzidos no

Brasil e os resultados demonstraram que parte dos concretos não atinge a resistência

característica de projeto e que o percentual de amostras não conformes tende a ser

superior a 5%. Santiago e Beck (2011), Nowak e Szerszen (2003) e Ellingwood e

Galambos (1982) mostraram que é possível ajustar uma distribuição normal de

probabilidades ao comportamento dos concretos.

O estudo da confiabilidade estrutural possibilita a mudança de escopo no

projeto de uma estrutura anteriormente baseado em critérios estruturais especificados

em normas tradicionais para requisitos baseados na performance mais ampla de uma

estrutura, tais como as utilizadas em processos de otimização (MELCHERS; BECK,

2018).

Em vista dos aspectos econômicos da adoção de coeficientes de segurança

obtidos de forma determinística, bem como da grande variabilidade dos produtos da

construção civil e dos diversos fatores extrínsecos e intrínsecos, percebe-se a

importância de se observar a confiabilidade acerca dos diversos parâmetros

considerados no dimensionamento de uma estrutura.

24

2 CONCEITOS DE PROBABILIDADE

A teoria de probabilidade constitui a base da avaliação das probabilidades de

ocorrência de eventos incertos e, portanto, caracteriza-se como uma ferramenta

fundamental para a avaliação de risco. Apenas quando o tratamento das incertezas e

de suas consequências na probabilidade de eventos adversos é feito de maneira

consistente, é possível analisar os riscos de uma determinada atividade e o processo

decisório gerado a partir dos novos dados conhecidos (FABER, 2006).

O nível de incerteza associado à determinada atividade pode ser expresso em

termos quantitativos, que são melhor descritos em termos de números ou

porcentagens (FABER, 2006). Nas próximas seções, serão abordados conceitos que

auxiliam na quantificação das incertezas de eventos aleatórios, cuja compreensão

mostra-se de fundamental importância para a análise da confiabilidade estrutural

desenvolvida neste trabalho.

2.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Uma variável aleatória é uma ferramenta matemática para a representação de

um evento de forma analítica. Ao contrário de uma variável determinística, que

assume um valor definido, uma variável aleatória pode assumir um intervalo de

valores possíveis. As vantagens de se utilizar dessa ferramenta é a representação

dos eventos de forma analítica e de fácil visualização gráfica, onde é possível

demonstrar os eventos e as suas respectivas probabilidades (ANG; TANG, 2007).

A performance de um sistema de engenharia pode ser usualmente modelada

em termos matemáticos em conjunto com relações empíricas. As variáveis aleatórias

de determinado sistema são definidas como os parâmetros que carregam toda a

informação de incerteza a ser considerada no modelo (FABER, 2006).

As variáveis aleatórias podem assumir forma discreta, contínua ou mista. Em

variáveis discretas, a distribuição das variáveis é tida como pulsos, frações ou partes

discretas na linha dos reais, que assumem um número contável de valores. Em

variáveis contínuas, o intervalo inclui todos os valores num intervalo de números reais.

25

O tipo misto abrange os dois tipos anteriormente mencionados (MONTGOMERY;

RUNGER, 2002).

A variável aleatória é usualmente denotada por uma letra maiúscula, enquanto

seus valores possíveis são denotados por letras minúsculas. Se X é uma variável

aleatória, então X = x, X < x ou X > x representa um evento, onde (a < x < b) é o

intervalo de valores possíveis de X (ANG; TANG, 2007).

2.2 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADES

Como os valores ou intervalos de uma variável aleatória representam eventos,

esses estão associados com suas respectivas probabilidades. Essas probabilidades

podem ser melhor descritas com o auxílio de regras chamadas de distribuições de

probabilidade (ANG; TANG, 2007).

Uma importante função que descreve uma distribuição de probabilidades é a

função densidade de probabilidades. Com a escolha de uma função densidade

adequada, é possível representar a probabilidade de qualquer valor x assumido pela

variável aleatória X que, segundo Montgomery e Runger (2002), é definida de acordo

com as seguintes premissas:

a) f(x) 0

b) f(x)dx 1

−

=

c) b

a

P(a X b) f(x)dx = = área abaixo de f(x) de a a b. (1)

A partir da função densidade descrita pela Equação (1), é possível calcular a

probabilidade assumida por X em um determinado intervalo. É importante ressaltar

que a probabilidade dada por ( )P X x= é igual a zero, diferentemente da

probabilidade de X assumir um valor no intervalo [a, b].

As principais distribuições de probabilidade podem ser encontradas em

Montgomery e Runger (2002), e Ang e Tang (2007).

26

2.3 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA

Uma maneira de denotar a probabilidade acumulada de determinada variável

aleatória X é por meio da área delimitada pela curva de densidade de probabilidades,

descrita pela distribuição de probabilidades. Segundo Ang e Tang (2007), tal função é

dada pela Equação (2):

x

F(x) P(X x) f(u)du−

= = (2)

Para x− .

2.4 MÉDIA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA

Dois números são frequentemente utilizados para descrever uma distribuição

de probabilidades de uma variável aleatória. A média é o valor central da distribuição

de probabilidades e a variância é uma medida da dispersão, ou variabilidade, na

distribuição. Esses dois parâmetros não são exclusivos para uma única distribuição,

sendo passíveis de serem utilizados para descrever duas ou mais diferentes

distribuições (MONTGOMERY; RUNGER, 2002).

A média ou valor esperado de uma distribuição de variáveis é descrita pela

Equação (3) (ANG; TANG, 2007; MONTGOMERY; RUNGER, 2002):

XE(x) x f (x)dx

−

= (3)

A Equação (3) pode ser generalizada para uma função da variável aleatória X

e, nesse caso, pode ser escrita conforme a Equação (4).

XE [g(x)] g(x)f (x)dx

−

= (4)

A variância é descrita pela Equação (5), e pode ser interpretada como o valor

esperado da função g(x) (X )²= − , ou a média ponderada do quadrado da distância

ao valor médio da distribuição de probabilidades (ANG; TANG, 2007):

( ) X X

-

Var X (x μ )² f (x)dx

= − (5)

27

Quando a função densidade não é conhecida, pode-se realizar uma expansão

em série de Taylor da função g(x). Para tanto, obtém-se as expressões para o valor

esperado e variância com aproximação de primeira ordem conforme as Equações (6)

e (7), respectivamente.

X X X

dgE(Y) E[g(X)] g(μ ) (X μ ) g(μ )

dX= + − = (6)

= − =

2 2dg dg

Var(Y) Var[g(X)] Var X Var XdX dX

X( ) ( ) (7)

Uma medida bastante utilizada para descrever a dispersão é o desvio padrão,

dado pela Equação (8), e o coeficiente de variação, dado pela Equação (9) (ANG;

TANG, 2007) .

X Var(X) = (8)

XX

X

= (9)

O coeficiente de variação correlaciona a dispersão relativa ao valor médio,

sendo útil como uma medida adimensional da variabilidade.

2.5 DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE PROBABILIDADES

As distribuições conjuntas de probabilidade oferecem destaque quando da

consideração de resultados que dependem da ação simultânea de dois ou mais

processos, ou de duas ou mais variáveis aleatórias (ANG; TANG, 2007).

Sejam X e Y variáveis aleatórias. A probabilidade conjunta para qualquer par

de valores de x e y é dada por uma distribuição conjunta das probabilidades de X e Y,

que pode ser interpretada conforme a Equação (10):

X,YF (x,y) P(X x,Y y)= (10)

A probabilidade das variáveis aleatórias X e Y assumirem um valor em um

determinado intervalo, ou seja, a função de probabilidade acumulada em um domínio

qualquer, é também descrita pela Equação (11).

X,Y

D

P[(x,y) D ] f (x,y)dxdy = (11)

28

Convém-se analisar individualmente a probabilidade de cada uma das

variáveis aleatórias descritas por uma distribuição conjunta de probabilidades. Tais

probabilidades tem sua distribuição conhecida como distribuição marginal de

probabilidades, e é dada pelas Equações (12) e (13), quando da análise das variáveis

aleatórias X e Y (ANG; TANG, 2007).

X XYf (x) f (x,y)dy

−

= (12)

Y XYf (y) f (x,y)dx

−

= (13)

2.6 PROBABILIDADE CONDICIONAL

Em determinadas situações, é necessário conhecer o efeito que uma variável

exerce sobre outra, ou seja, a probabilidade de um evento da variável aleatória Y

ocorrer, dado que determinado evento da variável aleatória X ocorreu. Para este caso,

escreve-se a probabilidade condicional da variável aleatória Y, dado X = x, conforme

a Equação (14) (MONTGOMERY; RUNGER, 2002).

XYY|X

X

f (x,y)f (y)

f (x)= (14)

Essa equação pode ser generalizada para n variáveis aleatórias desde que

se obtenha a sua distribuição conjunta e a distribuição marginal da variável a qual se

deseja analisar o efeito sobre a distribuição condicional (MONTGOMERY; RUNGER,

2002).

2.7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES

Em alguns casos, a probabilidade de um evento da variável aleatória X ocorrer

não influencia a probabilidade de que um evento da variável aleatória Y ocorra. Em

casos como esse, diz-se que as variáveis aleatórias são independentes, e para que

ocorra, têm-se que as variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xp são independentes se e

somente se (15):

29

1 21 2 p pX X ...X 1 2 p X 1 X 2 X pf (x ,x ,...,x ) f (x )f (x )...f (x )= (15)

para qualquer x1, x2, ..., xp (BECK, 2019; MONTGOMERY; RUNGER, 2002).

Neste caso, a função densidade de probabilidades conjunta é facilmente

obtida conhecendo-se as probabilidades marginais, e a definição dada pela Equação

(15) é de especial importância.

2.8 MÉDIA, COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

O valor esperado de duas variáveis aleatórias contínuas é dado pela Equação

(16).

[ ( , )] ( , ) ( , )XY

D

E g X Y g x y f x y dxdy= (16)

Quando duas ou mais variáveis aleatórias são definidas num espaço de

probabilidades, pode ser útil descrever a maneira como elas variam juntas. A

covariância (Equação (17)) é uma medida da relação linear entre duas variáveis

(MONTGOMERY; RUNGER, 2002).

( , ) [( )( )] ( )X Y X YCov X Y E X Y E XY = − − = − (17)

Se a covariância de (X, Y) é grande e positiva, os valores de X e Y tendem a

ser ambos grandes ou ambos pequenos em relação às suas respectivas médias. Se

a covariância de (X,Y) é grande e negativa, os valores de X tendem a ser grandes

quando os valores de Y tendem a ser pequenos em relação às suas respectivas

médias e vice-versa (ANG; TANG, 2007).

Outra medida da relação entre duas variáveis aleatórias é dada pelo

coeficiente de correlação (Equação(18)).

( , )

XY

X Y

Cov X Y

= (18)

30

3 O PROBLEMA FUNDAMENTAL DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL

De maneira geral, a análise de confiabilidade estrutural pode ser vista como

um problema de suprimento e demanda, ou ainda, a determinação da probabilidade

de que uma determinada demanda seja maior do que a capacidade de suprimento. É

a análise da probabilidade de falha de determinado elemento estrutural (BECK, 2019).

Ditlevsen e Bjerager (1986) definem os aspectos do problema de

confiabilidade estrutural como: a) a identificação de variáveis físicas relevantes e a

formulação matemática de uma equação de estado limite; b) escolha da distribuição

de probabilidades conjuntas das variáveis; c) modelagem das incertezas dos modelos

em termos probabilísticos; d) cálculo da confiabilidade baseada nos modelos

formulados.

Usualmente, em problemas de confiabilidade estrutural típicos, a demanda é

interpretada como a solicitação (S) e a capacidade de suprimento é representada pela

resistência (R). A probabilidade de falha pode ser entendida como a probabilidade de

que a solicitação supere a resistência (Equação (19)) (HASOFER; LIND; ASCE,

1974).

fp P(S > R)= (19)

A distribuição de probabilidades destas variáveis pode ser avaliada por uma

distribuição de probabilidades conjunta fRS(r,s), que possui probabilidade de falha igual

à sua integral no domínio de falha (20).

f

f RSp f (r,s)drds

= (20)

O domínio de falha f {(r,s) | r s} = é delimitado pela equação r = s, de onde

obtém-se o resultado mostrado na Equação (21).

s

f RSp f (r,s)drds+

− −

= (21)

Se as variáveis aleatórias R e S são independentes, e portanto

RS R Sf (r,s) f (r) f (s)= , pode-se afirmar que a probabilidade de falha é descrita também

na forma da Equação (22).

f S Rp f (s)F (r)ds

−

= (22)

31

Alternativamente, o problema de confiabilidade pode ser resolvido a partir da

variável aleatória margem de segurança (M), escrita em função de R e S (Equação

(23)) que configura a equação de estado limite do problema analisado (BECK, 2019).

M R S= − (23)

A probabilidade de falha, calculada em função de M, ocorre quando a

resistência se iguala à solicitação, ou seja, M = 0, para a qual se configura a situação

limite, que separa o domínio de falha do domínio de sucesso, e pode ser observada

na Equação (24).

0

f M M

-

p P(M 0) f (m)dm = F (0)

= = (24)

As variáveis que caracterizam um problema de confiabilidade estrutural são

usualmente as mesmas utilizadas para o projeto e análise de estruturas. Pode-se citar

como exemplo materiais, carregamentos, resistências, densidades, dimensões, entre

outros. É conveniente optar por variáveis que sejam independentes, embora isso nem

sempre seja possível. Em casos como esse, convém expressar a dependência entre

as variáveis por meio de uma matriz de correlações (MELCHERS; BECK, 2018).

As distribuições de probabilidade para estas variáveis são, geralmente,

obtidas por meio de conhecimento prévio ou observações e experimentação em

estruturas similares. Quando da insuficiência de dados precisos acerca da distribuição

de probabilidades, pode ser assumida para essa uma distribuição normal, sendo

conhecidas a média e a variância, numa representação de segundo momento


Conforme a adoção de novas variáveis para o problema de confiabilidade

estrutural, a equação M pode ser generalizada por uma equação de estado limite

qualquer dada por g(X), expressa em termos de um vetor X das variáveis aleatórias

envolvidas no problema. Seja X = x um ponto qualquer no espaço do conjunto de

variáveis aleatórias X, a equação de estado limite g(x) = 0 passa a definir o limite entre

o domínio de falha e o domínio de sucesso (MELCHERS; BECK, 2018).

A Equação (24) passa a ser generalizada pela Equação (25).

)fg( ) 0

p P[g( 0] ... f ( )d

= = XX X x x (25)

Se X é um vetor de variáveis aleatórias independentes, a probabilidade de

falha é simplificada por um produtório das funções marginais de probabilidade de cada

variável aleatória xi, conforme a Equação (26).

32

i 1 2 3

n

X X i X 1 X 2 X 3

i=1

f ( ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x )...= = x (26)

O problema de confiabilidade envolve a determinação de uma função conjunta

de densidade de probabilidades e de seu domínio de integração, que na prática

mostra-se de difícil acesso. Para a utilização dos dados existentes na solução do

problema são utilizados métodos de transformação e métodos de simulação, tal qual

o método de simulação de Monte Carlo, que serão abordados nas seções 4 e 5

(BECK, 2019).

33

4 MÉTODOS DE TRANSFORMAÇÃO

Os métodos de transformação são assim chamados pois envolvem a

transformação linear das variáveis de distribuição conjunta de probabilidades qualquer

do espaço de projeto 𝕏 para o espaço normal padrão 𝕐, onde as variáveis passam a

ser adimensionais (BECK, 2019).

O método FOSM (First Order Second Moment) baseia-se na aproximação

linear da equação de estado limite, utilizando-se dos momentos de segunda ordem

(média e variância) das variáveis aleatórias do problema e assumindo para a

distribuição de probabilidades a distribuição normal. O método FORM (First Order

Reliability Method) utiliza dados mais completos para a resolução do problema, tais

como as distribuições de probabilidades originais e os coeficientes de correlação,

ainda com uma aproximação linear da equação de estado limite. O método SORM

(Second Order Reliability Method) aproxima a equação de estado limite por um

paraboloide, baseado em informações obtidas nos outros métodos (BECK, 2019).

Todos os três métodos serão abordados a seguir.

4.1 FOSM – MÉTODO DE TRANSFORMAÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM E SEGUNDO MOMENTO

O método FOSM deve seu nome ao fato de ser baseado em uma aproximação

de primeira ordem da probabilidade de falha em série de Taylor e utilizar como

parâmetros apenas os segundos momentos estatísticos (média e covariâncias) das

variáveis aleatórias (HASOFER; LIND; ASCE, 1974).

O modelo de confiabilidade de segundo momento consiste na análise da

probabilidade P(S > R), que por vezes pode ser limitada a um valor pequeno

considerado socialmente aceitável, conforme a Equação (27).

P(S > R) (27)

No entanto, nem sempre a informação a respeito da distribuição de S é

conhecida, e a Equação (27) pode ser reescrita apenas em termos de sua média e

desvio padrão, conforme Equação (28) (HASOFER; LIND; ASCE, 1974):

S SR + (28)

34

O coeficiente é conhecido como coeficiente de confiabilidade, e da Equação

(28) pode ser compreendido que espera-se que a maior parte da probabilidade da

variável aleatória S esteja concentrada a unidades de desvio padrão da média. A

região de segurança, ou não falha, fica definida por uma equação de estado limite, e

o critério de confiabilidade propõe que o intervalo [ S - S, S + S] deve estar

contido inteiramente na região de segurança (HASOFER; LIND; ASCE, 1974).

A formulação original do método FOSM, descrita por Cornell (1969) apud

Haldar e Mahadevan (1995), usa apenas duas variáveis aleatórias e a sua equação

de estado limite é dada pela Equação (29):

M R S= − (29)

Como R e S são independentes e com distribuição normal, a distribuição de

M também é normal e a sua média e desvio padrão são dados pelas Equações (30) e

(31), respectivamente (HALDAR; MAHADEVAN, 1995; MELCHERS; BECK, 2018).

M R S = − (30)

2 2

M R S = + (31)

Como um fator limitante, no espaço amostral original (espaço de projeto), ao

ser tomado um círculo centrado na origem, seriam encontradas regiões de maior ou

menor probabilidade ao longo de seu limite, dependendo das distribuições de

probabilidade, de forma desigual. Convém, portanto, a utilização de uma

transformação linear para a criação de um novo espaço amostral (HASOFER; LIND;

ASCE, 1974).

A transformação de Hasofer-Lind consiste na criação de um espaço padrão

com uma nova região de segurança, onde o critério de confiabilidade passa a ser o

de que o intervalo [-, ] esteja inteiramente contido na região de segurança. Em

outras palavras, pode-se dizer que a distância do ponto S à região de falha, quando

S é medido em unidades de desvio padrão, deve ser maior que (HASOFER; LIND;

ASCE, 1974). A variável M pode ser reescrita na forma de uma variável normal padrão

Y, ou seja, de forma adimensional, com média nula (centrada na origem) e desvio

padrão unitário (Equação (32)).

M

M

MY

−= (32)

A partir da transformação descrita na Equação (32), pode-se escrever a

Equação (24) conforme demonstrado na Equação (33).

35

Mf

M

p P Y

= −

(33)

A probabilidade de falha pode, então, ser representada por uma função de

distribuição cumulativa normal padrão, dada pela Equação (34).

Mf

M

p

= −

(34)

A partir das definições apresentadas, obtém-se uma medida geométrica da

probabilidade de falha, dada pela distância entre o ponto m = 0 e a origem, ou média

da distribuição de Y (a média é nula, conforme transformação dada na Equação (32)

). Tal medida é descrita pelo índice de confiabilidade de Cornell (CORNELL, 1969a

apud MELCHERS; BECK, 2018), e a Equação (34) pode ser reescrita em função

desse novo coeficiente, conforme Equação (35).

( )

( )( )

R Sf

2 2

S R

p

− − = = − +

(35)

Para problemas multidimensionais, com uma função de estado limite linear

g(X) e variáveis aleatórias normais, o índice de confiabilidade pode ser escrito de

acordo com a Equação (36):

G

G

E[g( )]

Var[g( )]

= =

X

X (36)

Da Equação (35) têm-se que quanto menor a distância entre as médias das

variáveis R e S, maior a probabilidade de falha. De maneira análoga, à medida que os

desvios padrão são aumentados, a probabilidade de falha também aumenta


A interpretação geométrica do índice de confiabilidade para duas variáveis

aleatórias pode ser obtida pela resolução de um problema de otimização dado por:

encontrar o ponto y* com coordenadas (y1*, y2*), também conhecido como ponto de

projeto, ou ponto de mínima distância da região de falha; que minimiza: d² = y1²+ y2²;

e está contido no plano definido por g(y1, y2) = 0. Para problemas multidimensionais,

o índice de confiabilidade pode ser interpretado como a norma do vetor que se desloca

da origem ao ponto de projeto a ser procurado (37):

mind = = y * (37)

36

A interpretação geométrica é exposta a seguir, e é demonstrada por Beck

(2019).

Inicialmente, é necessária a transformação de Hasofer-Lind das variáveis

aleatórias R e S nas variáveis Y1 e Y2, obtendo-se uma nova função margem de

segurança (Equação (38)).

y1 2 1 R R 2 S Sm(r,s) r s g(y ,y ) = y = − = + − − (38)

A transformação de Hasofer-Lind pode ser interpretada na Figura 1.

Figura 1 – Transformação de Hasofer-Lind das variáveis de projeto

Fonte: adaptado de Beck (2019)

Iguala-se a Equação (38) à zero para satisfazer a condição limite, e resolve-

se para y2, obtendo-se o resultado expresso na Equação (39).

1 R R S2

S

yy

+ −= (39)

37

A distância de um ponto qualquer (y1, y2) à origem é dado por d² = y1²+ y2². A

condição de mínimo consiste em otimizar a função distância, obtendo-se a condição

de mínimo quando a derivada em relação a y1 é igual a zero, para a qual encontra-se

o resultado expresso pela Equação (40).

21 2

1

y2y 2y 0

y

+ =

2 2 R1 2

S

y y 0

+ = (40)

A partir da Equação (39), é possível a obtenção da coordenada y1*, dada pela

Equação (41):

1 R R R S R1 2

S

yy

+ −=

22

1 S 1 R R R Sy y ( ) = + −

2 2

1 S R R R Sy ( ) ( ) + = −

R R S1 2 2

S R

( )y *

−=

− (41)

De maneira análoga, derivando-se em relação a y2, obtém-se a coordenada

y2* (Equação (42)).

S R S2 2 2

R S

( )y *

−=

+ (42)

A coordenada do ponto sobre m(y1, y2) = 0 mais próxima da origem é obtida

pela Equação (43):

R S1 2 R S2 2

R S

( )(y *,y *) ( , )

−= −

+ (43)

Ao substituir-se a Equação (43) em d² = y1² + y2², obtém-se o índice de

confiabilidade , ou a menor distância entre equação de estado limite e a origem do

espaço padrão 𝕐, dada pela Equação (44), que é igual ao resultado dado pela

Equação (35).

−= =

+

R Smin

2 2

R S

d (44)

38

No espaço de projeto, o coeficiente de confiabilidade pode ser interpretado

como a medida, em unidades de desvio padrão, da menor distância entre um ponto

contido em M = 0 ao ponto M (MELCHERS; BECK, 2018).

As coordenadas do ponto de projeto podem ser escritas ainda em função de

seus cossenos diretores (Equação (45)).

1 21 2

1 2 1 2 1 2

g(y ,y ) 1 g g( , ) ,

g(y ,y ) g(y ,y ) y y

= =

1 2 R S2 2

R S

1( , ) ( , )

= −

+ (45)

Utilizando o resultado da Equação (45) e os resultados expressos pelas

Equações (43) e (44), reescreve-se a coordenada dos pontos de projeto em função

dos cossenos diretores e de , conforme expresso na Equação (46).

1 2 1 2(y *,y *) ( , ) = − (46)

Para problemas multidimensionais, o ponto de projeto pode ser escrito

conforme (47), que representa o ponto sob o domínio de falha com maior

probabilidade de ocorrência.

= −y* (47)

4.1.1 Equações de Estado Limite lineares

Em uma equação de estado limite linear, os cossenos diretores não mudam

conforme a sua posição sobre o hiperplano g(y) = 0, cuja equação é dada por (48)

(MELCHERS; BECK, 2018):

1

n

i i

i

g( ) y 0 =

= + =y (48)

Ao aplicar-se a transformação de Hasofer-Lind, chega-se à Equação (49).

i

i i

n ni i

X ii=1 i=1X X

g( ) x 0

= − + = x (49)

A Equação (49) pode ser reescrita de acordo com a Equação (50).

i

n

0 i

i=1

g( ) b b x 0= + =x (50)

39

Observa-se que, conforme as Equações (6) e (7), o valor esperado da função

g(X) no espaço original é dado pela Equação (51), e a variância é dada pela Equação

(52) .

i

n

0 i X

i=1

E[g( )] b b = + =X (51)

i i

i

2n n

2 2 2i1 X X

i=1 i=1 X

Var[g( )] b 1

= = =

X (52)

Portanto, o índice de confiabilidade pode ser interpretado como o resultado

dado em (53).

(

E[g( )]

Var[g )] = = − tX

y *X

(53)

4.1.2 Equações de Estado limite não-lineares

Melchers e Beck (2018), Beck (2019) utilizam para a determinação do ponto

de projeto em equações de estado limite não-lineares um multiplicador de Lagrange,

para o qual encontra-se o problema de otimização dado pela Equação (54):

1/ 2min( ) ( ) g( ) = +ty y y (54)

Um ponto estacionário pode ser obtido pela derivada da Equação (54) em

relação a y e a e igualando a expressão a 0, conforme a Equação (55) e (56),

respectivamente.

-1d g( ) 0

= + =

y yy

(55)

g( ) 0

= =

y (56)

O ponto estacionário é dado, portanto, pela Equação (57).

esty g( )d= − y (57)

Ao assumir que o ponto estacionário é um ponto de mínimo, têm-se que o

multiplicador de Lagrange é dado pela Equação (58).

t -1/ 2( g g) = (58)

A distância do ponto estacionário à origem é dada pela Equação (59):

40

( )t

min

gd

g

−= =

ty*y * (59)

Para provar que o ponto estacionário é um ponto de mínimo, e a distância do

ponto estacionário é , é necessário uma linearização da equação de estado limite em

torno do ponto de projeto, dada pela Equação (60).

tg( ) g( ) g ( )= + −y y* y y* (60)

O valor esperado da Equação (60) é dado pela Equação (61), e a variância é

dada pela Equação (62).

*n

ii=1 i

gE[g( )] y g

y

= − = −

ty y * (61)

2n

t

i=1 i

gVar[g( )] g g

y

= =

y (62)

A partir do resultado expresso na Equação (36), obtém-se o índice de

confiabilidade dado na Equação (63).

( )1/2

t

E[g( )] g

Var[g( )] g g

− = = = −

tty y *

y *y

(63)

Observa-se que o resultado é idêntico ao resultado dado na Equação (59), o

que prova que o ponto yest é o ponto de projeto quando da linearização da equação

de estado limite.

4.1.3 Coeficientes de Sensibilidade

Os cossenos diretores obtidos em (64) representam a sensibilidade da

equação de estado limite e indicam quando é preferível a consideração de uma

variável aleatória pertencente ao problema como simplesmente determinística.

Quando o componente i de determinada variável aleatória é muito pequeno, tem

pouco impacto sobre o índice de confiabilidade (MELCHERS; BECK, 2018).

g( )

( )g( )

=y

yy

(64)

Os componentes do vetor de cossenos diretores são frequentemente referidos

como fatores de importância, e podem ser utilizados para a determinação de variáveis

41

que não apresentam tanta importância na procura do ponto de projeto (BJERAGER,

1990) .

Uma variável aleatória com um componente i grande tende a ser

considerada estocasticamente importante (HOHENBICHLER; RACKWITZ, 1986).

4.1.4 Notação matricial

Usualmente, as transformações utilizadas pelos métodos de transformação

podem ser denotadas na forma matricial, pela introdução das matrizes jacobianas,

que para a transformação de Hasofer-Lind são dadas na Equação (65), onde D é a

matriz diagonal de desvios padrão.

i

j i=1,...,n; j=1,...,n

i

j i=1,...,n; j=1,...,n

y=

x

y=

x

−

=

=

1

yx

xy

J D

J D

(65)

A transformação de Hasofer-Lind na forma matricial é, portanto, obtida a partir

da Equação (66) (BECK, 2019).

( )

( )

= −

= +

yx

xy

y J x μ

x J y μ (66)

O vetor gradiente no espaço normal padrão é dado pela Equação (67).

)tg( ) = ( g( )xyy J x (67)

4.1.5 Algoritmo de Hasofer, Lind, Rackwitz e Fiessler

O algoritmo de Hasofer, Lind, Rackwitz e Fiessler, também conhecido como

algoritmo HLRF, é um processo iterativo para a solução do problema de

confiabilidade. Consiste na procura de uma melhor aproximação yk+1 para o ponto yk

que satisfaça a equação de estado limite em g(y) = 0. Para a obtenção dessa

aproximação é necessário expandir g(yk+1) em torno de yk em uma série de Taylor em

termos de primeira ordem, conforme Equação (68) (HASOFER; LIND; ASCE, 1974):

k2

g( ) g( ) g( )g( )

g( )g( )

−= = − +

k k k kk+1 k k

kk

y y y yy y

yy

(68)

42

4.1.6 Algoritmo FOSM

O algoritmo FOSM pode ser compreendido na Figura 2.

43

Figura 2 – Algoritmo FOSM

Fonte: Autoria própria (2019)

44

4.2 FORM – MÉTODO DE CONFIABILIDADE DE PRIMEIRA ORDEM

Algumas considerações que não são abordadas pelo método FOSM passam

a ser melhor consideradas pelo método FORM, tais quais a existência de variáveis

aleatórias que não possuem distribuição normal e que são possivelmente

correlacionadas (SHINOZUKA, 1983).

Um dos principais avanços do método FORM é a transformação de uma

variável aleatória Xi com distribuição contínua qualquer fXi(xi) em uma variável

aleatória gaussiana no espaço normal padrão (BJERAGER, 1990), conforme observa-

se na Figura 3.

Figura 3 – Transformação das variáveis de projeto no método FORM

Fonte: adaptado de Beck (2019)

O método FORM consiste, incialmente, em três considerações principais: a)

a transformação da variável aleatória Xi em uma variável aleatória gaussiana com

média nula e desvio padrão unitário; b) a aproximação da equação de estado limite

no espaço normal padrão; c) a computação da probabilidade de falha pela

aproximação das superfícies de falha (BJERAGER, 1990).

As variáveis aleatórias não gaussianas podem ser transformadas em variáveis

aleatórias gaussianas equivalentes a partir do princípio conhecido como Normal Tail

Approximation (SHINOZUKA, 1983), dado pela Equação (69).

i

-1

i X iz * (F (x *))= (69)

45

Onde zi* é um valor assumido por uma variável aleatória Zi pertencente ao

conjunto de variáveis aleatórias Z com distribuição normal padrão possivelmente

correlacionadas, e xi* é o valor assumido por uma variável aleatória Xi com distribuição

não-gaussiana, para o qual deseja-se encontrar uma distribuição normal equivalente,

com i

neq

X e i

neq

X .

A coordenada zi* pode ser escrita em função dos parâmetros equivalentes de

acordo com a transformação de Hasofer-Lind, conforme a Equação (70).

i

i

neq

i X

i neq

X

x *z *

−= (70)

Os parâmetros i

neq

X e i

neq

X podem ser escritos conforme a Equação (71) e

(72), respectivamente (MELCHERS; BECK, 2018).

i

i

neq iX

X i

(z *)

f (x *)

= (71)

= −i i

neq neq

X i i Xx * z * (72)

A transformação do conjunto de variáveis aleatórias X em variáveis

gaussianas pode ser escrita na forma matricial a partir do vetor de médias neq formado

pelas coordenadas obtidas na Equação (72), e a partir das matrizes jacobianas, ou

matrizes de transformação, dadas na Equação (73), onde Dneq é a matriz diagonal de

desvios padrão equivalentes obtidos em (71).

-1( )=

=

neq

zx

neq

xz

J D

J D (73)

A transformação resulta nas expressões dadas em (74).

{ }= −

= +

neq

zx

neq

xz

z J x

x J z

(74)

Ao obter-se as variáveis com distribuições normais equivalentes, é necessário

considerar a transformação dos coeficientes de correlação de forma que estes se

adequem às distribuições normais obtidas. Para isso, introduz-se uma transformação

conhecida como Modelo de Nataf. Nessa transformação, é possível obter um modelo

de distribuição conjunta para um vetor de variáveis aleatórias X a partir das suas

distribuições marginais e da distribuição normal multivariada de Z, com uma matriz de

coeficientes de correlação Rz, conforme Equação (75) (KIUREGHIAN; ASCE; LIU,

1986; LIU; KIUREGHIAN, 1986).

46

1 2 nX 1 X 2 X n

x n z

1 2 n

f (x )f (x )...f (x )f (x) (z,R )

(z ) (z )... (z )

= (75)

Em uma análise par a par, para duas variáveis aleatórias, obtém-se a Equação

(76).

=i j

i j

X i X j

X X i j i j i j

i j

f x f xf x x z z

z z2 ,

( ) ( )( , ) ( , , )

( ) ( ) (76)

A partir das Equações (75) e (76) é possível obter uma relação entre os

coeficientes de correlação da variável aleatória com distribuição conjunta Xi e os

coeficientes de correlação para uma variável aleatória com distribuição normal

multivariada Zi, dada pela Equação (77).

)

1,2 i, j

i j

i j j ji iX 2 i j Z i j

X X i j

Cov(X , X xx(z ,z , )dx dx

− −

− −= =

i, j i, jX i j 2 i j Z i jz z (z ,z , )dz dz

− −

= (77)

Segundo Kiureghian, ASCE e Liu (1986), a Equação (77) é válida quando a

Equação (69) tem mapeamento um para um, que ocorre se FXi(xi) é contínua e

estritamente crescente, e se os valores de Zi,j estão contidos entre -1 e 1. No entanto,

por se tratar de um processo iterativo, fórmulas semi-empíricas foram introduzidas por

Kiureghian e Liu (1985) apud Kiureghian, ASCE e Liu (1986),dadas na Equação (78)

com parâmetro F dados nas tabelas presentes no Anexo B.

i, j

i, j

Z

X

F

= (78)

Após a obtenção dos coeficientes de correlação em sua forma normal

multivariada é necessário ainda a eliminação da correlação entre as variáveis

aleatórias, para que seja aproveitado as propriedades de simetria da distribuição

normal padrão (BECK, 2019). Ditlevsen e Madsen (2007) citam a fatoração de

Cholesky da matriz de covariâncias do conjunto de variáveis aleatórias Z como uma

forma simples de obter uma matriz de transformação a partir da matriz de covariâncias

CZ. Deseja-se com ela obter uma matriz de transformação tal que a matriz de

covariâncias CY (79) resultante seja igual à matriz identidade.

= =t

Y ZC B C B I (79)

47

Beck (2019) mostra que a Equação (79) pode ser reescrita conforme a

Equação (80).

t -1 t -1 t -1 -1( ) ( )=ZB B C BB B IB

( t -1 -1)=ZC B B (80)

Ao denotar-se (Bt)-1 = (B-1)t = L, procura-se uma matriz L que forneça (81).

= t

ZC LL (81)

Nesse caso, as matrizes jacobianas são dadas em (82).

=

=

-1

yz

zy

J L

J L (82)

Outra maneira de garantir a eliminação da correlação entre as variáveis

aleatórias é a partir da diagonalização por decomposição ortogonal, onde procura-se

uma matriz de transformação A capaz de produzir o resultado dado na Equação (83)

.

= t

Y ZC A C A (83)

Nesse caso, são utilizadas as matrizes de autovalores e autovetores de CZ

para produzir a matriz identidade CY. Obtém-se a matriz de transformação A dada na

Equação (84) (BECK, 2019; DITLEVSEN; MADSEN, 2007) onde A é a matriz de

autovetores de CZ e -1/2Λ é a matriz diagonal inversa das raízes quadradas dos

autovalores de CZ.

= -1/ 2A AΛ (84)

Nesse caso, as matrizes jacobianas são dadas em (85).

t

-1 t

( )

( ) ( )

= =

= =

t -1/ 2

yz

t 1/ 2

zy

J A AΛ

J A Λ A (85)

Para os dois casos, a transformação é dada nas equações em (86).

=

=

yz

zy

y J z

z J y (86)

A matriz de transformação do espaço de projeto para o espaço normal padrão

é dada em (87) para a eliminação da correlação por meio da decomposição de

Cholesky e em (88) para a decomposição ortogonal.

1( )−=

=

-1 neq

yx

neq

xy

J L D

J D L (87)

48

t 1

t

( ) ( )

( )( )

− −=

=

1/ 2 neq

yx

neq 1/ 2

xy

J AΛ D

J D Λ A (88)

A transformação resultante, do espaço de projeto para o espaço normal

padrão é dada em (89).

{ }= −

= +

neq

yx

neq

xy

y J x

x J y

(89)

4.2.1 Algoritmo FORM

O algoritmo FORM é exposto na Figura 4.

49

Figura 4 – Algoritmo FORM


50

4.3 SORM – MÉTODO DE CONFIABILIDADE DE SEGUNDA ORDEM

O método FORM fornece uma aproximação linear para a probabilidade de

falha, onde o índice de confiabilidade é interpretado como a mínima distância entre a

origem e a equação de estado limite no espaço normal padrão. No entanto, em razão

da aproximação linear no ponto de projeto, problemas de precisão podem surgir com

a não linearidade de determinadas equações de estado limite (ZHAO; ONO, 1999).

O método de confiabilidade de segunda ordem (SORM) surge como uma

alternativa para alcançar melhorias de precisão pela aproximação da superfície de

estado limite por uma superfície quadrática, onde a probabilidade de falha é dada pelo

conteúdo exterior à superfície aproximada (ZHAO; ONO, 1999). É, de certa forma, um

complemento ao método FORM: para a sua construção é necessário o conhecimento

do ponto de projeto e, a partir daí, o ajuste de um paraboloide à equação de estado

limite, de forma que o conteúdo de probabilidades não seja mais aproximado

linearmente, mas sim por uma superfície de segunda ordem.

Para que possa ser feito o ajuste de um paraboloide à equação de estado

limite, é necessário a determinação de uma base ortonormal a partir de um algoritmo

de ortogonalização, tal qual o algoritmo de Gram-Schmidt, que produz os eixos ˆ ,

com i = 1,...,n-1, (BECK, 2019). Nesse caso, o enésimo vetor desse sistema é o vetor

que se desloca da origem ao ponto de projeto, na direção dos cossenos diretores

do ponto de projeto, que passa a ter coordenadas v* = (0,...,0, )t. Uma matriz de

rotação V é então criada, com ˆ dado pela Equação (90).

= −n

y*v

y*

g( )

g( )ˆ

(90)

O paraboloide ajustado às curvaturas da equação de estado limite no ponto

de projeto é dado pela Equação (91).

t

n

1( )

2 = + n-1 n-1v Av (91)

Onde A é a matriz de derivadas de segunda ordem do paraboloide, que pode

ser obtida a partir da Equação (92).

t ( )

g( )

=

V y* VA

y* (92)

51

( ) y* é a matriz de derivadas de segunda ordem da equação de estado limite,

também conhecida como matriz Hessiana (93).

²

i j i=1,...,n; j=1,...,n

g( )( )

y y

=

yy* (93)

Breitung (1984) encontrou aproximações assintóticas para a probabilidade de

falha, dadas na Equação (94).

SO

1pf Φ( )

det( )

= −

+I A (94)

De fato, ao se analisar a Equação (94), é possível observar que, quanto mais

próximos os termos aij da matriz A forem de zero, mais a probabilidade de falha

aproxima-se dos resultados obtidos pelo método FORM.

Uma forma simplificada de obter os resultados dados na Equação (94) é a

partir da escolha de um sistema de eixos ortogonais ajustados de forma à coincidir

com as curvaturas principais da equação de estado limite no ponto de projeto. Caso,

isso ocorra, o sistema de eixos ortogonais vi é dado pelos autovetores da matriz

Hessiana, e as curvaturas principais ki do paraboloide correspondem aos autovalores

da matriz A. A equação do paraboloide é dada pela Equação (95) e a expressão para

a probabilidade de falha é dada pela Equação (96) (BREITUNG, 1984).

n-1

2

n i i

i=1

1k v

2 = + (95)

n-1

SO

i=1 i

1pf ( )

1 k

= −

+ (96)

4.3.1 Algoritmo SORM

O algoritmo SORM pode ser observado na Figura 5.

52

Figura 5 – Algoritmo SORM


53

5 MÉTODO DE SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO

O método de simulação de Monte Carlo é um método que emprega números

aleatórios para a resolução de determinados problemas estocásticos ou

determinísticos, onde a passagem do tempo não representa papel importante no

problema estudado (LAW; KELTON, 1991). É considerado como referência na

validação dos métodos de aproximação (LOPEZ; BECK, 2012).

As técnicas de simulação envolvem a geração de amostras aleatórias para

simular artificialmente um grande número de experimentos. Na confiabilidade

estrutural, consiste na geração de uma amostra das variáveis aleatórias Xi e na

análise da equação de estado limite para a amostra gerada, verificando se esta é

violada em um dado número de repetições do experimento (MELCHERS; BECK,

2018).

A simulação de Monte Carlo baseia-se na interpretação de que o valor

esperado de uma determinada amostra tende a se estabilizar à medida que o tamanho

da amostra aumenta. Dessa forma, a solução analítica da probabilidade de falha pode

ser interpretada como a média dos valores obtidos num experimento estocástico

(DITLEVSEN; MADSEN, 2007).

A probabilidade de falha pode ser reescrita com o auxílio de uma função

indicadora I(x), dada pela expressão em (97) (BECK, 2019; MELCHERS, 1989;

MELCHERS; AHAMMED, 2004; PAPADRAKAKIS; LAGAROS, 2002).

f

f

I( ) 1 se D

I( ) 0 se D

=

=

x x

x x (97)

Nesse caso, a probabilidade de falha é interpretada como o valor esperado

de x e é dada por (98):

f

Ω

p I( )f( )dx E[I( )]= = x x x (98)

A probabilidade de falha pode ser aproximada a partir do número de falhas nf

da amostra em nS simulações, dada por (99):

ˆSn

ff k

k=1S S

n1p I( )

n n= = x (99)

A variância relacionada à probabilidade de falha da amostra é dada por (100)

que corresponde à incerteza ou erro estatístico da simulação (BECK, 2019).

54

ˆ ˆ)Sn

f k f

k=1S

1Var(p (I( ) p )²

(n 1)= −

− x (100)

O coeficiente de variação da probabilidade de falha é dado pela Equação

(101).

ˆ

ˆ )

ˆ )f

f

p

f S f

Var(p 1

E(p n p = (101)

O intervalo de confiança é obtido pela Equação (102), com k um coeficiente

relacionado ao intervalo de confiança desejado.

ˆ ˆ) )

ˆ ˆf f

f f f

S S

Var(p Var(pp k p p k

n -1 n 1− +

− (102)

5.1 GERADOR DE AMOSTRAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

A simulação de Monte Carlo depende da escolha de um gerador de amostras

eficiente para o problema analisado. O gerador randômico presente em computadores

é, para muitas aplicações, de insuficiente qualidade. Daí a necessidade de geradores

mais eficientes, tal qual o gerador linear congruencial (DITLEVSEN; MADSEN, 2007).

5.1.1 Variáveis Aleatórias Independentes

A geração de números aleatórios uk pode ser obtida a partir de algoritmos

recursivos, tais como o gerador linear congruencial (103) (SOONG E GRIGORIU,

1993 apud BECK, 2019).

k kk

a z c a z cu int

m m

+ + = −

(103)

O gerador zk é obtido pela Equação (104), e o conjunto {m, a, c} possibilita a

criação de diferentes geradores congruenciais, dependendo da escolha adequada das

variáveis a, m e c.

kk+1 k

a z cz a z c m int

m

+ = + −

(104)

55

A partir dos valores uk é possível a obtenção de amostras de variável aleatória

xk a partir da inversa da função de distribuição cumulativa de probabilidades, conforme

a Equação (105).

-1

k X kx F (u )= (105)

5.1.2 Variáveis Aleatórias Correlacionadas

Segundo Beck (2019), o Modelo de Nataf pode ser utilizado para gerar

amostras de variáveis aleatórias correlacionadas a partir de um vetor de amostras de

variáveis normais padrão sem correlação y. Para que isso seja possível, é necessário,

incialmente, a geração de uma amostra yk, e a posterior transformação dessa amostra

de variáveis sem correlação em uma amostra de variáveis aleatórias gaussianas

padrão multivariadas, conforme a Equação (106).

=k zy kz J y (106)

O jacobiano citado na Equação (106) foi previamente discutido nas Equações

(82) e (85).

O vetor uk de números aleatórios uk pode ser obtido de (107).

( )= k ku z (107)

A partir do vetor uk de probabilidades obtidas, calcula-se para cada uk a

respectiva variável xk de acordo com a Equação (105).

5.2 TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA

As técnicas de redução de variância são necessárias, mesmo com o ganho

de velocidade de computadores ao longo do tempo. Algumas simulações atuais de

maior complexidade podem necessitar horas ou dias de processamento, enquanto

outras possuem uma probabilidade muito pequena de ocorrência, e

consequentemente necessitam de um número grande de simulações. As técnicas de

redução de variância mostram-se como uma ferramenta de grande importância para

a redução de tempo computacional, de modo a dotar a simulação de uma melhor

solução prática (KLEIJNEN; RIDDER; RUBINSTEIN, 2010).

56

5.2.1 Amostragem por Importância

A amostragem por importância consiste na obtenção de uma função de

amostragem hX(x), ajustada de modo a deslocar os pontos de amostragem para

regiões importantes do domínio de falha (BECK, 2019).

A probabilidade de falha pode ser reescrita de acordo com a função de

amostragem (108).

f

f ( ) f ( )p I( ) h ( )dx E I( )

h ( ) h ( )

= =

X XX

X X

x xx x x

x x (108)

Consequentemente, se x1, ..., xns é uma amostra aleatória de hX(x), a Equação

(109) é um estimador não-tendencioso da probabilidade de falha (KLEIJNEN;

RIDDER; RUBINSTEIN, 2010; RUBINSTEIN; KROESE, 2017).

ˆSn

kf f k

k=1S k

f ( )1p p I( )

n h ( ) = X

X

xx

x (109)

A razão entre as funções de densidade pode ser interpretada como um peso

de amostragem wk, que estima a proximidade entre as funções de densidade conjunta

no ponto avaliado (110) (RUBINSTEIN; KROESE, 2017).

)

kk

k

f ( )w

h (= X

X

x

x (110)

5.2.2 Determinação da função de amostragem

Uma forma de obtenção de uma função de amostragem h(x) é concentrar os

pontos amostrais em uma região de grande probabilidade de falha, onde a região de

maior interesse é onde g( ) 0x . Uma maneira de se obter este resultado é a escolha

de h(x) tal que a média esteja sobre a região de maior probabilidade de falha, ou o

ponto de projeto (MELCHERS; BECK, 2018; SHINOZUKA, 1983).

Para tanto, para a obtenção de h(x) basta deslocar a média da função

densidade de probabilidades original até o ponto de projeto (HARBITZ, 1983 apud

ENGELUND; RACKWITZ, 1993), ou descrever h(x) por uma distribuição normal com

matriz de coeficientes de variação correspondentes aos das variáveis aleatórias

independentes originais (MELCHERS, 1984 apud MELCHERS, 1989). Isso garantirá

57

que mais valores aleatórios sejam gerados em torno da região de mais significância


Ainda que seja necessário o conhecimento do ponto de projeto, obtido por

métodos de transformação tais como o método FOSM, FORM e SORM, a utilização

do ponto de projeto como balizador da amostragem tem se mostrado como uma

alternativa de grande eficácia (IBRAHIM, 1991). Se a equação de estado limite não

for extremamente não-linear, aproximadamente metade das simulações é realizada

na região de falha (existe aproximadamente igual probabilidade do ponto amostrado

estar na região de falha ou segurança), o que reduz consideravelmente a quantidade

de simulações necessárias (ENGELUND; RACKWITZ, 1993; FUJITA; RACKWITZ,

1988; MELCHERS, 1989).

Embora os métodos de transformação ofereçam uma estimativa considerada

suficiente em diversas aplicações, dúvidas surgem em relação à acurácia desses

métodos e os erros acarretados na aproximação do hiperplano ou paraboloide à

equação de estado limite no ponto de projeto. Em alguns casos, a equação de estado

limite apresenta curvaturas que podem levar a aproximações que subestimam a

probabilidade de falha (FUJITA; RACKWITZ, 1988; HARBITZ, 1986). Em casos como

esse, a utilização de métodos de Monte Carlo com amostragem por importância no

ponto de projeto mostra-se de especial relevância para a obtenção de uma melhor

precisão nos resultados obtidos.

5.2.3 Algoritmo de Monte Carlo com Amostragem por Importância no Ponto de Projeto

O algoritmo de Monte Carlo com amostragem por importância no ponto de

projeto pode ser observado na Figura 6.

58

Figura 6 – Algoritmo de Monte Carlo com amostragem de importância no ponto de projeto


59

6 OTIMIZAÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE (RBDO)

Com o avanço de tecnologias e com a aprimoração das ferramentas

computacionais, a otimização tem sido cada vez mais utilizada na Engenharia. No

entanto, na otimização determinística, sem a consideração das incertezas que

permeiam as variáveis utilizadas em um problema, usualmente leva-se o projeto ao

limite de suas restrições, sem garantir a confiabilidade necessária frente às

imperfeições dos processos de manufatura e modelos de cálculo (DU; HUANG, 2007).

Usualmente, um problema de otimização determinística é dado conforme a expressão

em (111).

( )

( )

determine: que minimiza:

sujeito a:

0, 1,2,..,

i g

j h

f( )

g 0, i =1,2,..,n

h j n

= =

d * d

d

d

(111)

Onde d é o vetor de variáveis de projeto a serem determinadas, f(d) é a

função objetivo, gi(d) são as ng restrições de desigualdade, hj(d) são as nh restrições

de igualdade.

A otimização baseada em confiabilidade (Reliability-based Design

Optimization) é aquela nas quais as restrições são escritas em termo de

probabilidades de falha admissíveis ou índices de confiabilidade alvo T (BECK,

2019).

Na otimização baseada em confiabilidade, as médias das variáveis aleatórias

são frequentemente utilizadas como variáveis de projeto (variáveis às quais deseja-

se otimizar), e o custo é otimizado em função de restrições probabilísticas. Ela fornece

um projeto otimizado e busca atender os níveis de confiabilidade especificados (TU;

CHOI; PARK, 1999), e pode ser escrita conforme exposto em (112).

min max

determine: que minimiza:

sujeito a: ( ) , T

f( )

d * d

d d d d (112)

Onde dmin e dmax são os limites inferiores e superiores admitidos para as

variáveis de projeto em d, e nLS é o número de estados limites.

Quando deseja-se otimizar a média de uma variável aleatória Xi, tal que esta

seja uma variável aleatória de projeto, faz-se necessário a separação de tal variável

em sua parcela determinística e em sua parcela aleatória. Para tanto, na equação de

estado limite utilizada nos laços de otimização, a variável de projeto é dada pela soma

60

de sua parcela correspondente ao vetor d (variáveis determinísticas de projeto) e ao

vetor X (conjunto das variáveis aleatórias) (BECK, 2019).

A formulação do problema RBDO pode ser obtida a partir de duas principais

formas de se analisar a restrição de confiabilidade. A forma convencional é

denominada Reliability-Index Approach (RIA) e pode ser escrita na expressão em

(113).

dado , determine: que minimiza

sujeito a:

RIA ( ) =

g( , ) = 0.

d y * d y

d y (113)

Alternativamente, Tu, Choi e Park (1999) propuseram a formulação

Performance-Measure Approach (PMA), dada na Equação (114).

dado , determine: que minimiza

sujeito a: .

PMA

T

g( , )

=

d y * d y

y (114)

A solução do problema RBDO envolve, portanto, a utilização de laços de

otimização aninhados. O laço interno envolve a análise da confiabilidade estrutural e

o laço externo envolve a otimização estrutural (LOPEZ; BECK, 2012).

6.1 FORMULAÇÃO RIA DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

Beck (2019) apresenta a solução do problema de otimização RIA pelo método

Sequential Linear Programming (SLP), no qual as restrições e a equação objetivo são

linearizadas. A solução apresenta-se na expressão (115).

( ) ( )( )

( ) ( )( )

+ −

− − −

d

d

d d d d

d d d d d d d

0

k+1

t

k d k k+1 k

t

T i k d i k k+1 k LS

k 0,1,2

f f

0, i = 1,...,n ,

k i = 1,...,

min max

dado , para = ,..., até a convergência:

determine:

que minimiza:

sujeito a: ;

sendo, a cada iteração , para

( ) ( )

( )

=

k

i

d

y * d y

d y

LS

RIA i k i

i k i

n

g , = 0.

, e para fixo:

determine: que minimiza: ,

sujeito a:

(115)

Na formulação RIA, a restrição de igualdade é a superfície de falha. O ponto

de mínimo da superfície de falha é chamado de MPP, ou Most Probable Point (CHOI;

YOUN, 2002).

61

Para o laço interno de otimização, obtém-se o algoritmo recursivo a partir da

solução da função Lagrangeana em (116).

( )1/ 2

+ λg( )= ty y d,y (116)

A Equação (116) fornece o resultado expresso em (117).

( ) ( )( )

( )( )

, ,

,

,

,

t

q q q

q

q

q

q+1 q q q

q

g g

g

g

g

− =

= − = −

d y d y y

d y

d yy

d y

(117)

6.2 FORMULAÇÃO PMA DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

A aproximação PMA baseia-se no princípio de que minimizar uma função

complexa sujeita à restrições simples é mais eficiente do que minimizar funções

simples sujeitas à restrições complexas (AOUES; CHATEAUNEUF, 2010).

Na formulação PMA do problema RBDO, inicialmente determina-se os pontos

concentrados à uma distância T da origem, e posteriormente o ponto em que a

equação de estado limite possui o menor valor é selecionado. Se tal valor obtido for

negativo, infere-se que a restrição de confiabilidade foi violada (LEE; YANG; RUY,

2002).

A avaliação da restrição de confiabilidade no PMA requer a análise de

confiabilidade inversa, e o ponto de mínimo sobre a superfície de confiabilidade alvo

é chamado de MPP, ou Minimum Performance Point (CHOI; YOUN, 2002). A busca

ocorre na -esfera com raio igual ao índice de confiabilidade alvo (AOUES;

CHATEAUNEUF, 2010).

Beck (2019) apresenta a solução do problema de otimização PMA pelo

método Sequential Linear Programming (SLP), que apresenta-se na expressão (118)

.

62

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) min max


determine:

que minimiza:

sujeito a: g , , ;

sendo, a cada iteração , para

0

k+1

t

k d k k+1 k

t

i k PMA d i k PMA k+1 k LSi i

k 0,1,2

f f

g 0, i = 1,...,n ,

k

+ −

+ −

d

d

d d d d

d y * d y * d d d d d

( )

, e para fixo:

determine: ( ) que minimiza: , ,

sujeito a: .

LS

PMA i k

T

i = 1,...,n

g

=

k

i

d

y * d y

y

(118)

Para o laço interno de otimização, obtém-se o algoritmo recursivo (120) a

partir da solução da função Lagrangeana em (119).

( ) ( )( )1/ 2

Tg , + = −td y y y (119)

( )( )

( ) ( )

,

,

, ,

q

q+1 T q T

q

q+1 q T

g

g

g g

= − = −

= −

d yy

d y

d y d

(120)

Comparativamente, o método PMA mostra-se mais robusto e mais eficiente

na avaliação de restrições de probabilidade inativas, enquanto o RIA é mais eficiente

para restrições violadas. O PMA leva a maiores taxas de convergência, enquanto o

RIA leva à singularidades em alguns casos (TU; CHOI; PARK, 1999).

O algoritmo PMA encontra-se expresso na Figura 7.

63

Figura 7 – Algoritmo PMA


64

7 VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES

Para o estudo da confiabilidade estrutural aplicado a vigas de concreto

armado submetidas à flexão simples, é necessário a formulação de uma equação de

estado limite que se adeque à caracterização do problema estudado. Nos itens a

seguir, serão abordados os itens necessários para a formulação da equação de

estado limite, partindo inicialmente da abordagem dos domínios de deformação.

7.1 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO

Os domínios de deformação representam as possibilidades de ruína da seção

transversal, e dependem dos conjuntos possíveis de deformações do concreto c e

do aço s . A compreensão do domínio no qual a viga se encontra é crucial para a

determinação das equações de estado limite. A Figura 8 representa, para concretos

do grupo I, os seis domínios de deformação. Os domínios 1 e 2 e a reta “a”

correspondem ao limite último por deformação plástica excessiva, e os domínios 3, 4,

4a e 5 e a reta “b”, o estado limite último por encurtamento limite do concreto

(CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2019).

Figura 8 – Domínios de deformação

Fonte: Adaptado de ABNT NBR 6118:2014

65

A posição da linha neutra pode ser relacionada com as deformações na borda

comprimida da seção e de sua armadura tracionada. Da equação de compatibilidade,

tem-se a Equação (121).

= =− +

c s c

c s

ε ε εx d

x d x ε ε (121)

Denomina-se x o coeficiente adimensional que fornece a relação entre a

posição da linha neutra e a altura útil da seção de concreto armado, ou seja, ao centro

geométrico da armadura tracionada, conforme (122).

cx

c s

x

d

= =

+ (122)

Os domínios de deformação são descritos nos itens a seguir, conforme

Carvalho e Figueiredo Filho (2019) e Clímaco (2016).

a. A reta “a” corresponde ao alongamento da seção transversal uniforme

equivalente a 1%, com seção transversal inteiramente tracionada.

b. O domínio 1 corresponde a tração não uniforme em toda a seção, com s

= 1% e deformação no concreto variando de 0 a 1%. A posição da linha neutra varia

de − a 0. No domínio 1, a resistência da seção transversal é exclusiva do aço, uma

vez que o concreto se encontra inteiramente tracionado e fissurado.

c. O domínio 2 corresponde ao alongamento s de 1% e compressão no

concreto variando de 0 a 0,35%. A ruina ocorre por deformação plástica excessiva do

aço, e o concreto não atinge a ruptura. O concreto não trabalha na sua capacidade

máxima. A profundidade da linha neutra varia no intervalo x0 < < 0,259 .

d. O domínio 3 ocorre a com a deformação de 0,35% na borda comprimida e

uma deformação variando de 1% à yd no aço. A posição da linha neutra varia no

intervalo 34x x0,259 , onde o

34x é dado na Equação (123).

=+

x

yd

3,5

3,534 (123)

No domínio 3 a resistência da seção transversal é condicionada à participação

do concreto e do aço, onde ambos os materiais atingem sua capacidade resistente

máxima simultaneamente, e a ruptura se dá acompanhada de grandes deformações.

e. O domínio 4 envolve a deformação c = 0,35% na borda comprimida e a

deformação no aço varia entre yd e 0, com o aço não atingindo o escoamento. A

66

ruptura nesse caso é frágil, uma vez que o concreto se rompe sem que o aço atinja a

sua tensão de escoamento.

f. No domínio 4a, a linha neutra encontra-se entre a armadura e a

extremidade tracionada da viga, ou seja, no cobrimento da armadura, que por sua vez

se encontra comprimida.

g. No domínio 5 a seção é inteiramente comprimida, com a linha neutra fora

da seção transversal, com deformações no concreto variando de 0,35% a 0,2%, e

deformações no aço menores do que 0%, até 0,2% (compressão).

h. A reta “b” possui compressão uniforme com encurtamento igual a 0,2%,

com a posição da linha neutra tendendo a .

7.2 EQUILÍBRIO DA SEÇÃO TRANSVERSAL E EQUACIONAMENTO PARA DOMÍNIOS 2 E 3

Para a determinação da área de aço necessária na armadura longitudinal de

uma viga de concreto armado, bem como os momentos admissíveis máximos

atuantes, faz-se necessário o equilíbrio de forças na seção transversal. A norma NBR

6118:2014 restringe, a fim de assegurar as condições de ductilidade em vigas e lajes,

o intervalo de posições possíveis da linha neutra em concretos do grupo I (para valores

de resistência característica do concreto à compressão 50ckf MPa ) a valores até

uma razão 0,45x

d , sendo condicionada a preservação desta condição à adoção,

em certos casos, de armadura dupla .

Neste trabalho, foram avaliados apenas os casos de seções com armaduras

simples, onde o aço trabalha exclusivamente à tração e localiza-se, portanto, na

extremidade tracionada da viga. Isso exige o equacionamento das equações de

estado limite para domínios 2 e 3, que depende da definição de variáveis relacionadas

ao dimensionamento do momento fletor solicitante de cálculo. A seguinte

nomenclatura é utilizada, quando tratado a respeito das variáveis relacionadas ao

dimensionamento de vigas de concreto armado:

a. d – altura útil, ou a distância entre o centro de gravidade da armadura

longitudinal tracionada à extremidade comprimida do concreto;

b. bw - largura da seção transversal;

67

c. h – altura total da seção transversal;

d. z – distância entre a aplicação das resultantes da força de compressão no

concreto e tração no aço;

e. Rcc – força resultante das tensões de compressão no concreto;

f. fcd – resistência do concreto à compressão em valores de cálculo dado por

=cd ck cf f / , onde fck é a resistência característica do concreto à compressão e, para

combinações normais, c =1,4 , segundo a norma NBR 6118:2014;

g. Rst – força resultante das tensões de tração no aço;

h. fyd – tensão de escoamento de aço em valores de cálculo que, para

combinações normais é dado for =yd yk sf f / , onde fyk é a tensão característica de

escoamento do aço e, para combinações normais, =s 1,15 , segundo a norma NBR

6118:2014;

i. x – distância da posição da linha neutra à fibra mais comprimida do

concreto;

j. y – altura do diagrama retangular de tensões de compressão no concreto,

que aproxima o comportamento obtido com a consideração do diagrama parábola-

retângulo (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2019);

k. Msd – Momento fletor solicitante de cálculo.

68

Figura 9 – Equilíbrio na seção transversal

Fonte: Adaptado de Clímaco (2016)

Da seção transversal, conforme observado na Figura 9, tem-se as equações

de equilíbrio, dadas em (124).

cc st

sd cc st

R R 0

M R z R z

− =

= = (124)

Para os domínios 2 e 3, a expressão dada em (124) pode ser reescrita de

acordo com (125).

w cd s yd

sd w cd s yd

b y0,85f A f 0

y yM b y0,85f d A f d

2 2

− =

= − = −

(125)

Para concretos do grupo I, admite-se que a distribuição de tensões no

concreto se dê conforme o diagrama parábola-retângulo (CARVALHO; FIGUEIREDO

FILHO , 2019; CLÍMACO, 2016), que pode ser aproximado por um retângulo de altura

y 0,8x= , com tensão máxima no concreto equivalente a 0,85fcd, segundo o item

17.2.2 da norma NBR 6118:2014, e portanto pode ser reescrito na forma dada em

(126):

69

xy 0,8 d= (126)

Logo, obtém-se as relações em (127).

( ) ( )

w x cd s yd

2

d w x cd x s yd x

b d0,68 f A f = 0

M b d 0,68 f 1 0,4 A f d 1 0,4β

−

= − = −

(127)

As expressões obtidas, portanto, são dadas na Equação (128) para a posição

da linha neutra, e na Equação (129) para o momento resistente na seção transversal.

s yd

x

w cd

A f

b d0,68f = (128)

( ) ( )2

d w x cd x s yd xM b d 0,68 f 1 0,4 A f d 1 0,4 = − = − (129)

7.3 VARIÁVEIS BÁSICAS PARA O ESTUDO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

A resistência de elementos de concreto armado difere de seu valor nominal

calculado pelo engenheiro projetista, devido a variações na resistência e geometria

do material, bem como as variabilidades inerentes às equações utilizadas para

computar a sua resistência. Além disso, os valores utilizados para carregamento são

considerados constantes, quando na realidade são variáveis (MIRZA; MACGREGOR,

1982).

Os parâmetros probabilísticos de maior relevância no estudo de vigas de

concreto armado são abordados nos tópicos a seguir, de modo a expor os diversos

valores encontrados na literatura.

7.3.1 Resistência do Concreto à Compressão

Diversos autores citam distribuições normais e lognormais para a resistência

do concreto à compressão (ELLINGWOOD et al., 1980; NOWAK; SZERSZEN, 2003).

Nowak e Szerszen (2003) encontraram parâmetros de distribuição normal

para a resistência à compressão do concreto, com dados obtidos nos Estados Unidos

da América. O fator bias (razão entre a média experimental e o valor nominal) e o

coeficiente de variação apresentam-se dispostos de acordo com a classe de

resistência na Tabela 1.

70

Tabela 1 – Concreto comum moldado in loco

Valor nominal fck Distribuição Bias Coeficiente de

Variação

20,670 MPa (3,000 psi)

Normal

1,35 0,10

24,115 MPa (3,500 psi) 1,21 0,10

27,560 MPa (4,000 psi) 1,235 0,10

31,005 MPa (4,500 psi) 1,14 0,10

34,450 MPa (5,000 psi) 1,15 0,10

41,340 MPa (6,000 psi) 1,12 0,10

Fonte: Nowak e Szerszen (2003)

Os dados fornecidos por Mirza e MacGregor (1984), relativos à realidade

canadense, são mostrados na Tabela 2 e na Tabela 3, para concreto moldado in loco

e pré-moldado, respectivamente.

Tabela 2 – Concreto comum moldado in loco


Variação

20,670 MPa (3,000 psi)

Normal

0,923 0,175

27,560 MPa (4,000 psi) 0,845 0,175

34,450 MPa (5,000 psi) 0,8026 0,175

Fonte: Mirza e MacGregor (1984)

Tabela 3 – Concreto pré-moldado


Variação

20,670 MPa (3,000 psi)

Normal

0,923 0,135

27,560 MPa (4,000 psi) 0,845 0,135

34,450 MPa (5,000 psi) 0,8026 0,135

Fonte: Mirza e MacGregor (1984)

Santiago e Beck (2017a) e Santiago e Beck (2017b) estudaram a

conformidade de 28 mil corpos de prova de resistências de 20 MPa a 50 MPa de

acordo com a realidade brasileira. Os dados obtidos são mostrados na Tabela 4.

71

Tabela 4 – Concreto comum moldado in loco de acordo com a realidade brasileira

Valor nominal fck Distribuição Bias

Coeficiente de Variação

Fonte

20 MPa

Normal

1,31 0,21 (SANTIAGO; BECK, 2017)

25 MPa 1,21 0,16 (SANTIAGO; BECK, 2017)






7.3.2 Tensão de Escoamento do Aço das Armaduras

Nowak e Szerszen (2003) encontraram parâmetros de distribuição para a

resistência ao escoamento do aço de acordo com a realidade dos Estados Unidos da

América. Os dados apresentam-se dispostos de acordo com o diâmetro da barra na

Tabela 5.

Tabela 5 – Resistência do aço das armaduras ao escoamento

Bitola Distribuição Bias Coeficiente de

Variação

9,5 mm

Normal

1,20 0,04

12,5 mm 1,145 0,065

15,5 mm 1,125 0,04

19 mm 1,15 0,05

22 mm 1,165 0,05

25 mm 1,145 0,05

28 mm 1,15 0,05

31 mm 1,14 0,04

34,5 mm 1,145 0,035

Fonte: Nowak e Szerszen (2003)

72

Santiago (2019) realizou ensaios de tração para 8,7 mil barras de aço CA-50

de diferentes regiões do Brasil de acordo com diferentes diâmetros. Os resultados

encontram-se dispostos na Tabela 6.

Tabela 6 – Resistência do aço das armaduras ao escoamento para a realidade brasileira

Bitola Distribuição Bias Coeficiente de

Variação

8 mm

Normal

1,29 0,04

12,5 mm 1,19 0,04

16 mm 1,17 0,03

20 mm 1,18 0,04

25 mm 1,20 0,05

Fonte: Santiago (2019)

Os parâmetros de distribuição ajustados para qualquer diâmetro de acordo

com diferentes autores são citados na Tabela 7.

Tabela 7 – Resistência do aço das armaduras ao escoamento independe do diâmetro

Distribuição Bias Coeficiente de

Variação Fonte

Normal 1,22 0,04 (SANTIAGO, 2019)

Normal 1,145 0,05 (NOWAK;

SZERSZEN, 2003)

Normal 1,12 0,05 (JCSS, 2001)

7.3.3 Parâmetros de Geometria

Os parâmetros descritos nesta seção explanam os dados disponíveis na

literatura para as dimensões externas de vigas de concreto armado, altura útil,

cobrimento e área de aço.

73

7.3.3.1 Dimensões externas da Viga de Concreto Armado

As dimensões relacionadas ao perímetro da viga seguem distribuições

normais. JCSS (2001) generaliza, para dimensões até 1m, a média e desvio padrão

em termos das variações em relação às medidas nominais da seção transversal, tanto

para a altura h, quanto para a largura da viga bw. Os valores de bias e coeficiente de

variação podem ser observados na Tabela 8.

Tabela 8 – Dimensões externas de vigas de concreto armado

Parâmetro Bias Coeficiente de Variação Fonte

bw 1,01 0,04 (NOWAK;

SZERSZEN, 2003)

bw + +

b 0,003b b 3mmw w w1

b bw w

104mm 0,006b mmw

+ (JCSS, 2001)

h h 0,003h h 3mm

1h h

+ +

104mm 0,006h mm

+ (JCSS, 2001)

7.3.3.2 Altura útil da viga de concreto armado

Uma maneira de se considerar a variação da posição das armaduras na seção

transversal da viga é por meio da análise de sua altura útil. A distribuição considerada

é a normal, e os parâmetros encontram-se na Tabela 9.

Tabela 9 – Altura útil de vigas de concreto armado

Parâmetro Distribuição Bias Coeficiente de

Variação Fonte

d

Normal

0,99 0,04 (NOWAK;

SZERSZEN, 2003)

d d 10mm

d

+

10mm

(JCSS, 2001)

d d - 4,826mm

d

12,7mm

(MIRZA; MACGREGOR,

1982)

74

7.3.3.3 Cobrimento das armaduras

Devido à evidente correlação entre a altura útil e o cobrimento das armaduras

(JCSS, 2001), pode ser considerado alternativamente o cobrimento das armaduras

para a formulação da equação de estado limite (SANTIAGO, 2019). Os parâmetros

fornecidos para o cobrimento c das armaduras possuem distribuição normal (JCSS,

2001) e podem ser observados na Tabela 10.

Tabela 10 – Cobrimento da armadura em vigas de concreto armado

Parâmetro Bias Coeficiente de

Variação Fonte

Cobrimento das barras

superiores

c 5mm c 15mmc

c c c

+ + c

c c

5mm 15mm

(JCSS, 2001)

Cobrimento das barras inferiores

20c 20mm c mmc

c c c

− +

c

5mm

(JCSS, 2001)

7.3.3.4 Área de aço das armaduras longitudinais

O parâmetros para a área de aço das armaduras longitudinais As estão

dispostos na Tabela 11 e seguem distribuição normal (MIRZA; MACGREGOR, 1982).

Tabela 11 – Área de aço das armaduras longitudinais


Variação Fonte

As Normal 1,01 0,04

Adaptado (LU; LUO; CONTE, 1994; MIRZA;

MACGREGOR, 1982)

75

7.3.4 Ações

Nesta seção, são abordados os dados disponíveis na literatura para ações do

tipo permanente e variável.

7.3.4.1 Ações permanentes

Santiago (2019) realizou um estudo das ações permanentes para edifícios

comumente construídos no Brasil, em relação aos materiais empregados e às

configurações arquitetônicas, a partir de dados disponibilizados por engenheiros

calculistas de diferentes regiões do país. Ellingwood et al.(1980), disponibilizou dados

relativos às ações permanentes independente dos materiais empregados. Os dados

encontrados pelos dois autores encontram-se dispostos na Tabela 12.

Tabela 12 – Ações permanentes

Parâmetro Distribuição Bias Coeficiente de Variação Fonte

Ações Permanentes

Normal

1,06 0,12 (SANTIAGO,

2019)

1,05 0,10 (ELLINGWOOD

et al., 1980)

7.3.4.2 Ações variáveis

Santiago (2019) propôs valores relacionados às ações acidentais segundo a

metodologia proposta por JCSS (2001), que considera parcelas de ações contínuas e

intermitentes. Os valores encontrados para a ação acidental em um ponto de arbitrário

no tempo qapt e o valor máximo para um período de 50 anos q50 são dispostos na

Tabela 13.

76

Tabela 13 – Ações acidentais


Variação Fonte

qapt Gamma 0,25 0,55 (SANTIAGO,

2019)

q50 Gumbel 1,00 0,40 (SANTIAGO,

2019)

7.3.5 Incertezas de Modelo

A resistência de elementos estruturais é, em geral, expressa por uma fórmula

analítica que é derivada de uma determinada teoria ou experimento, e que pode ser

provada tanto analiticamente quanto experimentalmente. Em alguns casos, no

entanto, a base para o modelo de resistência de um elemento estrutural é puramente

teorética ou apenas empírica, onde as descrições matemáticas são idealizadas para

aproximar o comportamento físico da estrutura (ELLINGWOOD et al., 1980; FABER,

2006).

Outros fatores, como efeitos aleatórios que podem ser negligenciados pelos

modelos e simplificações matemáticas podem acarretar em resultados que não podem

ser preditos sem um erro agregado (JCSS, 2001).

Em casos como esses, é necessário a consideração das incertezas

relacionadas com os modelos utilizados e que pode ser associada diretamente com

as variáveis básicas, ou ainda na forma expressa na Equação (130).

... )1 i nY' = f(X X (130)

As incertezas de modelo para solicitações e resistências encontram-se

dispostas na Tabela 14 e Tabela 15, respectivamente.

Tabela 14 – Incertezas de solicitações (continua)


Variação Fonte

Momentos em vigas

Lognormal 1,00 0,10 (JCSS, 2001)

Esforços axiais em vigas


77

Tabela 14 – Incertezas de solicitações (conclusão)


Variação Fonte

Esforços cortantes em vigas


Tabela 15 – Incertezas de resistências


Variação Fonte

Flexão Lognormal 1,20 0,15 (JCSS, 2001)

Cisalhamento Lognormal 1,40 0,25 (JCSS, 2001)

Flexão Normal 1,14 0,14 (ELLINGWOOD

et al., 1980)

Cisalhamento Normal 1,00 0,19 (ELLINGWOOD

et al., 1980)

7.4 ÍNDICE DE CONFIABILIDADE ALVO

Segundo Melchers e Beck (2018), os índices de confiabilidade alvo a serem

adotados para a otimização de problemas de confiabilidade usualmente são obtidos a

partir da análise de confiabilidade estrutural de estruturas já existentes e que

apresentem desempenho satisfatório. Tal análise usualmente conduz a índices de

confiabilidade entre 3,0 e 3,5.

Trabalhos desenvolvidos para a calibração de normas brasileiras, tais quais

os desenvolvidos por Santiago (2019) e Souza Junior (2008) partem da adoção de um

índice de confiabilidade equivalente à 3,0 para vigas de concreto armado.

78

8 MATERIAIS E MÉTODOS

Para a compreensão dos métodos utilizados no desenvolvimento deste

trabalho, a metodologia foi subdivida na análise da confiabilidade de vigas de concreto

armado submetidas à flexão simples dimensionadas de acordo com a norma

6118:2014, e posteriormente, na metodologia utilizada para a formulação do problema

de otimização desenvolvido.

8.1 MATERIAIS

Para o desenvolvimento e implementação dos algoritmos dos métodos de

transformação FOSM (First Order Second Moment Method), FORM (First Order

Reliability Method), SORM (Second Order Reliability Method) e de simulação de

Monte Carlo foi utilizado o software MATLAB.

A metodologia para dimensionamento das vigas em concreto armado foi

baseada em recomendações disponibilizadas na norma brasileira ABNT NBR 6118:

2014 “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”.

8.2 METODOLOGIA

A metodologia deste trabalho se inicia com o estudo dos índices de

confiabilidade ofertados pela norma NBR 6118:2014. Para que tal análise seja

possível, inicialmente estabeleceu-se modelos de vigas de concreto armado com

seções julgadas comuns em obras brasileiras. A partir dos modelos formulados,

desenvolveu-se o dimensionamento econômico das vigas a partir dos critérios

normativos, para os quais estudou-se a confiabilidade por meio da implementação dos

algoritmos abordados no decorrer deste trabalho. Por fim, desenvolveu-se a

otimização baseada em confiabilidade para vigas de fck = 25 MPa e fck = 30 MPa. Os

métodos utilizados serão abordados com mais detalhes nas seções a seguir.

79

8.2.1 Análise da Confiabilidade Estrutural no Projeto Estrutural a partir da Norma NBR 6118:2014

Nesta seção serão abordados os critérios adotados para o desenvolvimento

da análise dos projetos desenvolvidos de acordo com a norma NBR 6118:2014.

8.2.1.1 Modelos de viga analisados

Para dar início ao estudo referente à confiabilidade estrutural em vigas de

concreto armado, foram formulados modelos de viga para estudo de caso, com

parâmetros de geometria, resistências e carregamento variados, bem como

coeficientes de ponderação das ações e resistências definidos de acordo com a norma

NBR 6118:2014.

Com o objetivo de investigar a influência dos parâmetros de geometria na

confiabilidade de vigas submetidas à flexão simples, os modelos de viga avaliados

tiveram a largura da base bw fixadas com dimensões de 14 e 19 cm. Para a avaliação

da influência das diferentes alturas na confiabilidade estrutural, variou-se a altura h

entre 30 cm e 100 cm, com incrementos de 10 cm e aproximação da altura útil d

equivalente à 0,9h, e para cada caso, registrou-se o índice de confiabilidade calculado

nos diferentes métodos.

As resistências do concreto fck variadas nesse trabalho foram as referentes ao

grupo I: C20, C25, C30, C35, C40, C45 e C50.

As taxas ρ de armadura foram variadas entre 0,15% até o limite prescrito pela

norma NBR 6118:2014 equivalente à x/d = 0,45 para cada seção transversal

estabelecida a partir da variação de altura e base, com incremento de 0,15% entre

cada taxa de armadura avaliada.

Variou-se a proporção entre cargas variáveis e totais a cada 10%, numa razão

de 0 a 100%, com vistas à determinação da influência dos tipos de carregamento na

probabilidade de falha da estrutura para combinações entre ações permanentes e

variáveis do tipo acidental (D + L).

80

8.2.1.2 Implementação dos algoritmos de confiabilidade estrutural e definição do problema

Foram implementados computacionalmente os métodos de transformação

FOSM, FORM, SORM e de simulação de Monte Carlo com o auxílio do software

MATLAB.

Os métodos de simulação foram desenvolvidos para duas milhões de

simulações, enquanto para os métodos de transformação FOSM e FORM, o critério

de parada utilizado, conforme citado por Beck (2019), foi o expresso na Equação (131)

, com erros arbitrados 1 = 2 = 10 -6.

( )

( )

( )

t

k+1 k+1

1

k+1 k+1

k+1 2

g1

g

g

−

y y

y y

y

(131)

Os métodos de simulação utilizaram o conjunto de gerador linear congruencial

dado por {m,a,c} = {231 - 1, 41358, 0}, com semente do gerador z0 = 111111, conforme

recomendado por Beck (2019).

Delimitou-se os dados estatísticos das variáveis aleatórias consideradas no

problema, dando-se preferência aos valores nacionais provenientes de pesquisas

direcionadas à realidade brasileira, de acordo com valores anteriormente citados

neste trabalho, que se apresentam resumidos na Tabela 16.

Tabela 16 – Variáveis aleatórias consideradas na análise (continua)

Variável Descrição Distribuição Bias Coeficiente de

Variação

X1 (1) Área de aço Normal 1,01 0,04

X2 (2) Tensão de

escoamento do aço

Normal 1,22 0,04

X3 (3) Altura útil Normal d 10mm

d

+

10mm

X4 (3) Largura da

base

Normal

b 0,003b b 3mmw w w1b bw w

+ +

104mm 0,006b mmw

+

81

Tabela 16 – Variáveis aleatórias consideradas na análise (conclusão)

X5 (2)

Resistência característica do concreto

à compressão

Normal Tabela 4 Tabela 4

X6 (2)

Momento característico

(ações permanentes

)

Normal 1,12 0,10

X7 (2)

Momento característico

(ações variáveis do

tipo acidental)

Gumbel 1,00 0,40

X8 (3) Incerteza de modelo das resistências

Lognormal 1,20 0,15

X9 (3) Incerteza de modelo das solicitações

Lognormal 1,00 0,10

Fonte: Lu, Luo e Conte (1994) e Mirza e MacGregor (1984) (1); Santiago (2019) (2); JCSS (2001) (3)

Após a reunião dos dados necessários, o trabalho consistiu no

dimensionamento das vigas de concreto armado, valendo-se das prescrições

normativas para a majoração dos esforços e minoração das resistências. Para a

norma NBR 6118:2014, o coeficiente de ponderação das ações para combinações D

+ L é de = =g q 1,4 para ações variáveis e permanentes. O coeficiente de

ponderação das resistências, como anteriormente mencionado, é de 1,4 para o

concreto, e de 1,15 para o aço.

As situações avaliadas consistiram em, inicialmente, encontrar o máximo

momento solicitante de cálculo a partir da resistência calculada em função da variação

dos diversos parâmetros anteriormente mencionados, com valores de resistência

previamente ponderados, conforme a Equação (129).

A partir das solicitações de cálculo, obteve-se as solicitações admissíveis em

seu valor característico por meio dos coeficientes de ponderação das ações, a partir

das quais foi possível a análise da confiabilidade do dimensionamento obtido, que

deu-se a partir da equação de estado limite expressa em (132).

82

( )0,4 X1 X2

g( ) X8 X1 X2 X3 1 X9 X6 + X7X4 X3 0,68 X5

= − −

X (132)

Os índices de confiabilidade foram calculados a partir dos valores

característicos de resistência e em função das solicitações admissíveis, estas obtidas

a partir do dimensionamento econômico, onde R = S. Os resultados obtidos permitiram

a análise dos diferentes índices de confiabilidade obtidos em função das diversas

configurações de projeto, bem como dos coeficientes de sensibilidade.

Foi possível a obtenção da diferença relativa entre índices de confiabilidade

obtidos pelos diferentes métodos de transformação e o método de simulação de

Monte Carlo simples. A partir da média e coeficiente de variação das diferenças,

observações a respeito da aplicabilidade dos métodos frente aos resultados dispostos

foram inferidas.

Os resultados permitiram também estabelecer uma média e coeficiente de

variação para os índices de confiabilidade encontrados, de maneira a caracterizar o

problema encontrado na uniformização da probabilidade de falha para

dimensionamentos diversos. Os valores médios dos índices de confiabilidade foram

obtidos a partir de média simples e ponderada, sendo a última obtida a partir de pesos

adaptados de Ellingwood et al. (1980), para cada razão de carregamento n

n n

L

L D =

+

. Os pesos para diferentes proporções de ações variáveis do tipo acidental em

relação às totais encontram-se expressos na Tabela 17.

Tabela 17 – Pesos de frequência de ocorrência de diferentes razões de carregamento acidental

Peso

0% 10

10% 10

20% 10

30% 45

40% 40

50% 30

60% 10

70% 5

80% 0

90% 0

100% 0

Fonte: adaptado de Ellingwood et al. (1980)

83

8.2.2 Otimização Baseada em Confiabilidade de Vigas de Concreto armado

A otimização desenvolvida nesta etapa do trabalho consistiu em determinar,

por meio de otimização baseada confiabilidade, as áreas de aço correspondentes à

um índice de confiabilidade alvo T = 3, para vigas de base bw = 14 e bw = 19, alturas

com variação entre 30 e 100 cm e concretos da classe C25 e C30.

Delimitou-se a área de aço máxima em função das prescrições da norma NBR

6118:2014, a partir da posição limite da linha neutra estabelecida no item 14.6.4.3

para concretos do grupo I que, conforme mencionado anteriormente, corresponde à

uma razão de x/d = 0,45.

Determinadas as áreas de aço máximas para cada caso, desenvolveu-se o

problema de otimização referente às áreas de aço dos modelos de viga analisados,

que encontra-se disposto na expressão em (133).

( )

( )

( )


determine:

que minimiza:

sujeito a: , ;

sendo, a cada iteração , para fixo:

determine: que minimiza: , ,

sujeito a:

S

S

0

k+1 A

k A

k PMA

k

PMA k

d k 0,1,2

d

f d

g d 0

k d

g d

=

=

− y *

y * y

y 3.T= =

(133)

Onde ( ),k PMAg d y * é a equação de estado limite no espaço normal padrão.

Para a solução do laço externo de otimização, foi utilizada a ferramenta

fmincon do software MATLAB, com erro máximo do vetor y*PMA e d arbitrado em =

10-6 entre iterações.

84

9 RESULTADOS E DISCUSSÃO

Nas seções a seguir, serão abordados os resultados, que se apresentam

organizados conforme o item avaliado em cada etapa do trabalho.

9.1 ÍNDICES DE CONFIABILIDADE MÉDIOS

Obteve-se para cada modelo de viga o seu respectivo índice de confiabilidade,

calculado por meio dos métodos FOSM, FORM, SORM, Monte Carlo simples e Monte

Carlo com amostragem por importância no ponto de projeto. Para expressar de forma

imediata os resultados obtidos, de forma a fornecer uma visão geral da confiabilidade

fornecida pelos valores normativos, calculou-se as médias e coeficientes de variação

dos índices de confiabilidade de todos os modelos avaliados, por meio de média

simples e média ponderada em função de pesos disponíveis na literatura.

Para os valores não ponderados, obteve-se os índices de confiabilidade

médios expressos na Tabela 18, para os quais calculou-se também o seu respectivo

coeficiente de variação, valores máximos e mínimos.

Tabela 18 – Índices de confiabilidade médios de acordo com o método utilizado

Método Índice de

confiabilidade médio

Coeficiente de variação


máximo


mínimo

FOSM 3,077 0,101 3,533 2,453

FORM 3,131 0,189 4,084 2,222

SORM 3,117 0,189 4,061 2,214

Monte Carlo simples 3,105 0,187 4,021 2,220

Monte Carlo com

amostragem por

importância no

ponto de projeto

3,105 0,187 4,013 2,220


Utilizou-se para estabelecer a ponderação das taxas de carregamento

variável os pesos dispostos na Tabela 17, a partir dos quais observou-se os valores

85

médios dos índices de confiabilidade e seus respectivos coeficientes de variação,

conforme descrito na Tabela 19.

Tabela 19 – Índices de confiabilidade a partir de média ponderada de acordo com o método utilizado

Método Índice de confiabilidade

médio Coeficiente de variação

FOSM 3,268 0,111

FORM 3,417 0,193

SORM 3,402 0,192

Monte Carlo simples 3,384 0,190

Monte Carlo com amostragem

por importância no ponto de

projeto

3,382 0,190


Observou-se que os métodos FORM, SORM, Monte Carlo Simples e Monte

Carlo com amostragem por importância apresentaram resultados próximos em termos

de valor médio, valores máximos, mínimos e coeficiente de variação. O método FOSM

apresentou valores máximos menores e valores mínimos maiores em relação aos

demais métodos, apesar do valor médio se aproximar destes. Com vistas a identificar

as demais diferenças encontradas entre os métodos, são dispostas as demais

análises desenvolvidas no item a seguir.

9.2 ESTUDO COMPARATIVO DOS MÉTODOS DE TRANSFORMAÇÃO E SIMULAÇÃO

A partir dos algoritmos desenvolvidos, obteve-se uma comparação inicial da

eficácia dos métodos em relação aos resultados obtidos por meio do método de Monte

Carlo simples que, neste trabalho, foi utilizado como referência para comparação dos

resultados.

Calculou-se as diferenças relativas de cada um dos métodos em relação ao

método de Monte Carlo simples, e a partir destas foi possível a obtenção de seus

86

respectivos valores médios, máximos, mínimos e coeficientes de variação, conforme

observa-se na Tabela 20.

Tabela 20 – Diferenças dos índices de confiabilidade dos diferentes métodos em relação ao método de Monte Carlo simples

Método Diferença média Coeficiente de

variação

Diferença

máxima

Diferença

mínima

FOSM 2,593E-01 0,519 5,162E-01 5,024E-05

FORM 2,598E-02 1,109 3,509E-01 2,649E-05

SORM 1,571E-02 1,599 3,272E-01 9,628E-07

Monte Carlo com

amostragem por

importância no ponto

de projeto

5,702E-03 1,479 1,116E-01 4,307E-07


Observou-se que o método FOSM apresentou os resultados mais distantes

dos obtidos a partir do método de simulação de Monte Carlo, e por meio da Figura 10,

pode-se observar que a sua proximidade em relação aos demais métodos tende a ser

maior para taxas de carregamento variável entre 40% e 50%, cujos valores delimitam

as diferenças positivas e negativas em relação aos demais métodos.

87

Figura 10 – Índices de confiabilidade médios para diferentes razões de ações variáveis


Infere-se que o distanciamento nos resultados se deve principalmente à

desconsideração dos tipos de distribuição de probabilidade frente às diferentes

variáveis do problema, principalmente às variáveis que contemplam distribuições de

extremos.

De fato, a partir da Figura 11, observa-se que os coeficientes de sensibilidade

obtidos pelo método FOSM diferem dos coeficientes de sensibilidade obtidos a partir

do método FORM. No método FORM, percebe-se que o momento característico

proveniente de ações variáveis, que possui distribuição do tipo Gumbel, possui maior

influência na probabilidade de falha do que no método FOSM.

2,22,32,42,52,62,72,82,9

33,13,23,33,43,53,63,73,83,9

4

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Razão de ações variáveis em relação às totais

Índices de confiabilidade médios para diferentes razões de ações variáveis

FOSM MCS FORM SORM MCIS

88

Figura 11 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade obtido pelos métodos FOSM e FORM para diferentes proporções de ações variáveis do tipo acidental em vigas de altura h = 40 cm


Percebe-se que no método FOSM a variável com maior coeficiente de

sensibilidade é a de incerteza do modelo de resistência, alternando-se gradualmente

com a variável de momento característico devido às ações variáveis à medida que é

aumentada a proporção de ações variáveis em relação às totais, que passa a ser a

variável com maior importância a partir de proporções de ações variáveis = 0,9.

No método FORM, essa inversão ocorre para proporções muito menores de

ações variáveis ( = 0,3), o que evidencia a relevância da consideração dos tipos de

distribuição das variáveis.

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

²

Proporção de ações variáveis em relação às totais

Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade obtidos pelos métodos FOSM e FORM para diferentes proporções de ações variáveis do

tipo acidental

FOSM - Área de açoFOSM - Tensão de escoamento do açoFOSM - Altura útilFOSM - Largura da baseFOSM - Resistência característica do concreto à compressãoFOSM - Momento característico (ações permanentes)FOSM - Momento característico (ações variáveis do tipo acidental)FOSM - Incerteza do modelo de resistênciaFOSM - Incerteza do modelo de solicitaçãoFORM - Área de açoFORM - Tensão de escoamento do açoFORM - Altura útilFORM - Largura da baseFORM - Resistência característica do concreto à compressãoFORM - Momento característico (ações permanentes)FORM - Momento característico (ações variáveis do tipo acidental)FORM - Incerteza do modelo de resistênciaFORM - Incerteza do modelo de solicitação

89

O método FORM se diferencia, portanto, pela consideração de distribuições

de probabilidade não gaussianas. Tal consideração é evidenciada no modo como a

variável participa na probabilidade de falha e, portanto, nos índices de confiabilidade.

De maneira geral, o método que mais se aproximou do método de Monte Carlo

simples foi o método de Monte Carlo com amostragem por importância, seguido pelo

método SORM, cujo ajuste do paraboloide contribuiu de maneira positiva para

aproximação da probabilidade de falha, principalmente em valores da proporção de

ações variáveis a partir de 50%; e o método FORM, que apresentou resultados

satisfatórios para os casos avaliados, em termos de simplicidade de implementação e

proximidade nos valores obtidos. Os valores médios das diferenças em módulo podem

ser observados na Figura 12.

Figura 12 – Diferenças médias por método em relação ao método de Monte Carlo Simples para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental


Por meio da Figura 13 pode-se observar as probabilidades de falha em função

do número de simulações para o método de Monte Carlo simples e Monte Carlo com

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Difere

nça


Diferenças médias por método em relação ao método de Monte Carlo Simples para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental

FOSM SORM FORM MCIS

90

amostragem por importância. Observa-se que o último convergiu para a probabilidade

de falha mais rapidamente, o que ressalta as vantagens de sua implementação frente

à problemática do tempo computacional, principalmente no que se refere a

probabilidades de falha muito pequenas, que requerem um número de simulações

bastante grande para a sua convergência.

Figura 13 – Convergência dos métodos de Monte Carlo simples e Monte Carlo com amostragem por importância no ponto de projeto, considerando-se modelo de viga com bw = 14 cm, fck = 25 MPa, h = 40 cm, taxa de aço de 0,60% e 30% de cargas variáveis


Em casos específicos, abordados nos itens a seguir, o método de busca do

ponto de projeto não convergiu para resultados próximos ao Monte Carlo simples,

dado o número de simulações e para o critério de parada fixado.

91

9.3 ESTUDO DOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE

A partir da análise dos coeficientes de sensibilidade das variáveis, estes

obtidos a partir do método FORM, foi possível a obtenção de valores médios dos

coeficientes de sensibilidade, com vistas à identificação dos parâmetros que mais

contribuíram para a probabilidade de falha da estrutura.

A partir da Figura 14, observa-se que a variável com maior média do

coeficiente de sensibilidade é o momento característico devido às ações variáveis,

seguido pela incerteza do modelo de resistência, incerteza do modelo de solicitação,

momento característico devido às ações permanentes, área de aço, tensão de

escoamento do aço, altura útil, resistência característica do concreto à compressão e

largura da base, respectivamente.

Figura 14 – Média das componentes i de cada variável


-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

Variável

Média das componentes i de cada variável

Área de açoTensão de escoamento do açoAltura útilLargura da baseResistência característica do concreto à compressãoMomento característico (ações permanentes)Momento característico (ações variáveis do tipo acidental)Incerteza do modelo de resistênciaIncerteza do modelo de solicitação

92

Ao elevar-se tais valores ao quadrado, como disposto na Figura 15, pode-se

obter uma comparação das contribuições de cada variável e observa-se que, embora

haja certa contribuição das variáveis com menor coeficiente de sensibilidade, esta é

pouco relevante se comparada às demais variáveis.

Figura 15 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade de cada variável


Observa-se também que, conforme o esperado, as variáveis de resistência

possuem sua componente do vetor com valor positivo, enquanto as variáveis de

solicitação possuem valor negativo.

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

²

Variável

Média dos coeficientes do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para cada variável

Área de açoTensão de escoamento do açoAltura útilLargura da baseResistência característica do concreto à compressãoMomento característico (ações permanentes)Momento característico (ações variáveis do tipo acidental)Incerteza do modelo de resistênciaIncerteza do modelo de solicitação

93

Nas seções a seguir, serão abordados individualmente a influência da

variação de cada variável na probabilidade de falha.

9.3.1 Variação da Taxa de Carregamento Acidental

O comportamento observado para os fatores de sensibilidade para diferentes

proporções de carregamento variável pode ser observado na Figura 16.

Figura 16 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental


-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

²


Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental

Área de aço

Tensão de escoamento do aço

Altura útil

Largura da base

Resistência característica do concreto à compressão

Momento característico (ações permanentes)

Momento característico (ações variáveis do tipo acidental)

Incerteza do modelo de resistência

Incerteza do modelo de solicitação

94

Conforme abordado anteriormente, observa-se um ganho significativo no

coeficiente de sensibilidade relacionado à variável do momento característico devido

às ações variáveis, enquanto as demais variáveis sofrem decréscimo com o aumento

da proporção de ações variáveis em relação às totais.

Para razões de até 20% de ações variáveis, observa-se que as variáveis com

maior importância na probabilidade de falha são as variáveis de momento

característico devido às ações permanentes e de incerteza de modelos, embora

variáveis como a tensão de escoamento do aço e altura útil também exerçam certa

contribuição na probabilidade de falha.

A partir da razão de 20%, a variável de momento característico devido às

ações variáveis passa a exercer a maior influência na probabilidade de falha, tomando

o lugar anteriormente ocupado pela incerteza dos modelos de resistência, à medida

que a sensibilidade das demais variáveis também é reduzida.

9.3.2 Variação da Área de Aço

Com o aumento da área de aço, observou-se a diminuição nos coeficientes

de sensibilidade relativos à área de aço e tensão de escoamento do aço. No entanto,

não foram observadas mudanças significativas nos coeficientes de sensibilidade das

demais variáveis, fato que pode ser observado na Figura 17.

95

Figura 17 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes taxas de aço


9.3.3 Variação da Altura

Observou-se que conforme houve o aumento da altura da viga, também houve

a diminuição da participação da altura útil na probabilidade de falha e o aumento da

contribuição das demais variáveis, ainda que de forma pouco acentuada, conforme

observa-se na Figura 18.

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

²

Taxa de aço

Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes taxas de aço

Área de aço


Altura útil

Largura da base






96

Figura 18 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes alturas


Para a variável altura útil, o desvio padrão permanece constante independente

da altura atribuída à viga, e o fator de bias relacionado à média é reduzido à medida

que a altura da viga aumenta, devido à sua independência do valor assumido pela

variável. Como consequência, à medida que é aumentada a altura da viga, a média

aproxima-se de seu valor nominal, e o coeficiente de variação diminui

progressivamente.

Como a variável apresenta redução na sua participação na probabilidade de

falha, a diferença resulta no acréscimo da participação das demais variáveis com

maior importância – e de fato observa-se que todas as demais variáveis apresentam

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

30 40 50 60 70 80 90 100

²

Altura (cm)

Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes alturas

Área de aço


Altura útil

Largura da base






97

aumento em seu coeficiente de sensibilidade. No entanto, como a seu fator de

sensibilidade é pequeno, a variação nas demais variáveis é pouco observável,

diferentemente do que se observa para a variação de variáveis com maior coeficiente

de sensibilidade médio, tais como a variável de momento característico devido às

ações acidentais.

9.3.4 Variação da Resistência à Compressão do Concreto

A classe de resistência com maior contribuição para a probabilidade de falha

foi a classe C20, seguida pelas classes C30, C25, C35, C45, C50 e C40,

respectivamente. Assim como na variação da altura, a variação da resistência do

concreto não ofereceu mudanças significativas nos coeficientes de sensibilidade das

variáveis utilizadas no problema, conforme observa-se a partir da Figura 19.

98

Figura 19 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes resistências características do concreto à compressão


9.4 ESTUDO DAS TENDÊNCIAS OBSERVADAS NA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS

Desenvolveu-se um estudo acerca dos índices de confiabilidade obtidos a

partir da variação dos parâmetros de dimensionamento. Os resultados da variação de

cada parâmetro podem ser observados nas seções subsequentes.

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

²

Resistência característica do concreto à compressão (kN/cm²)

Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes resistências características do concreto à compressão

Área de aço


Altura útil

Largura da base






99

9.4.1 Variação da Taxa de Carregamento Acidental

Conforme observado na Figura 10, os índices de confiabilidade tendem a ser

maiores para valores com razão de ações variáveis em relação às totais

correspondente à 10%. Para valores maiores do que 10%, observa-se um aumento

na probabilidade de falha, que tende a ser mais acentuado à medida que se aumenta

a proporção.

Os valores obtidos para a proporção de 0% tendem a ser inferiores aos

obtidos para a proporção de 10% e 20% de cargas variáveis.

Conforme observa-se na Figura 20, o decréscimo tende a ser mais acentuado

no intervalo de 30 a 40%.

Figura 20 – Ganho percentual no índice de confiabilidade de acordo com o intervalo entre diferentes razões de ações variáveis


Na Figura 21, observa-se os valores de índice de confiabilidade máximos e

mínimos obtidos a partir de diferentes proporções de ações variáveis em relação às

totais. Tais resultados fornecem o intervalo de valores obtidos para diferentes

configurações de viga com mesma razão de ações variáveis.

-10%

-8%

-6%

-4%

-2%

0%

2%

4%

0% à10%

10% à20%

20% à30%

30% à40%

40% à50%

50% à60%

60% à70%

70% à80%

80% à90%

90% à100%

Ganho p

erc

entu

al no índic

e d

e

confiabili

dade

Intervalo entre razões de ações variáveis em relação às totais

Ganho percentual no índice de confiabilidade de acordo com o intervalo entre diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental

MCS FOSM FORM SORM MCIS

100

Figura 21 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental


9.4.2 Variação da Área de Aço

Observa-se que o aumento da área de aço tende a contribuir de maneira

positiva no acréscimo dos índices de confiabilidade, conforme exposto na Figura 22,

onde verifica-se os diferentes resultados obtidos conforme a proporção de

carregamentos variáveis e o método de análise. Os resultados para as configurações

de viga mais comuns podem ser verificados nas figuras disponíveis no Apêndice A

deste trabalho, com valores médios de confiabilidade para vigas de base 14 cm e 19

cm.

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4

4,1

4,2

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%


Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental

FOSMFORMSORMMCSMCIS

101

Figura 22 – Índices de confiabilidade médios para diferentes taxas de aço e razões de ações variáveis do tipo acidental


Para valores próximos ao limite de x/d = 0,45, para alguns casos, observou-

se uma diminuição progressiva nos índices de confiabilidade, que se diferenciaram

conforme o método analisado e mostrou-se mais acentuada para a classe de

resistência C20.

Conforme observa-se na Figura 23, há a discrepância entre os resultados

obtidos a partir dos métodos de simulação e métodos de transformação, que tende a

se tornar mais evidente à medida que são obtidos valores maiores para o índice de

confiabilidade.

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4

4,1

Taxa de aço

Índices de confiabilidade médios para diferentes taxas de aço e razões de ações variáveis do tipo acidental

FOSM - 0% FOSM - 10% FOSM - 20% FOSM - 30% FOSM - 40%FOSM - 50% FOSM - 60% FOSM - 70% FOSM - 80% FOSM - 90%FOSM - 100% FORM - 0% FORM - 10% FORM - 20% FORM - 30%FORM - 40% FORM - 50% FORM - 60% FORM - 70% FORM - 80%FORM - 90% FORM - 100% SORM - 0% SORM - 10% SORM - 20%SORM - 30% SORM - 40% SORM - 50% SORM - 60% SORM - 70%SORM - 80% SORM - 90% SORM - 100% MCS - 0% MCS - 10%MCS - 20% MCS - 30% MCS - 40% MCS - 50% MCS - 60%MCS - 70% MCS - 80% MCS - 90% MCS - 100% MCIS - 0%MCIS - 10% MCIS - 20% MCIS - 30% MCIS - 40% MCIS - 50%MCIS - 60% MCIS - 70% MCIS - 80% MCIS - 90% MCIS - 100%

102

Figura 23 – Índices de confiabilidade médios para diferentes áreas de aço e razões de ações variáveis do tipo acidental para classe de resistência C20


O intervalo entre os índices de confiabilidade máximos e mínimos obtidos a

partir da variação da área de aço pode ser observado na Figura 24.

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4

4,1

Taxa de aço

Índices de confiabilidade médios para diferentes taxas de aço e razões de ações variáveis do tipo acidental para classe de resistência C20

FOSM - 0% FOSM - 10% FOSM - 20% FOSM - 30% FOSM - 40%FOSM - 50% FOSM - 60% FOSM - 70% FOSM - 80% FOSM - 90%FOSM - 100% FORM - 0% FORM - 10% FORM - 20% FORM - 30%FORM - 40% FORM - 50% FORM - 60% FORM - 70% FORM - 80%FORM - 90% FORM - 100% SORM - 0% SORM - 10% SORM - 20%SORM - 30% SORM - 40% SORM - 50% SORM - 60% SORM - 70%SORM - 80% SORM - 90% SORM - 100% MCS - 0% MCS - 10%MCS - 20% MCS - 30% MCS - 40% MCS - 50% MCS - 60%MCS - 70% MCS - 80% MCS - 90% MCS - 100% MCIS - 0%MCIS - 10% MCIS - 20% MCIS - 30% MCIS - 40% MCIS - 50%

103

Figura 24 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes taxas de aço


9.4.3 Variação da Altura

Observou-se, de modo geral, a diminuição da confiabilidade estrutural com o

aumento da altura da viga, conforme Figura 25, concomitantemente à diminuição dos

coeficientes de sensibilidade relacionados à altura útil.

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4

4,1

4,2

0,15% 0,30% 0,45% 0,60% 0,75% 0,90% 1,05% 1,20% 1,35% 1,50% 1,65% 1,80% 1,95%

Taxa de aço

Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes taxas de aço

FOSMFORMSORMMCSMCIS

104

Figura 25 – Índices de confiabilidade médios para diferentes alturas e razões de ações variáveis do tipo acidental


Os valores máximos e mínimos do índice de confiabilidade para diferentes

alturas podem ser observados na Figura 26.

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4

4,1

30 40 50 60 70 80 90 100

Altura (cm)

Índices de confiabilidade médios para diferentes alturas e razões de ações variáveis do tipo acidental

FOSM - 0% FOSM - 10% FOSM - 20% FOSM - 30% FOSM - 40%FOSM - 50% FOSM - 60% FOSM - 70% FOSM - 80% FOSM - 90%FOSM - 100% FORM - 0% FORM - 10% FORM - 20% FORM - 30%FORM - 40% FORM - 50% FORM - 60% FORM - 70% FORM - 80%FORM - 90% FORM - 100% SORM - 0% SORM - 10% SORM - 20%SORM - 30% SORM - 40% SORM - 50% SORM - 60% SORM - 70%SORM - 80% SORM - 90% SORM - 100% MCS - 0% MCS - 10%MCS - 20% MCS - 30% MCS - 40% MCS - 50% MCS - 60%MCS - 70% MCS - 80% MCS - 90% MCS - 100% MCIS - 0%MCIS - 10% MCIS - 20% MCIS - 30% MCIS - 40% MCIS - 50%MCIS - 60% MCIS - 70% MCIS - 80% MCIS - 90% MCIS - 100%

105

Figura 26 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes alturas


9.4.4 Variação da Largura da Base

De modo geral, a variação da largura da base não ofereceu grandes

alterações nos índices de confiabilidade, fato que pode estar associado à pouca

influência da variável na probabilidade de falha, conforme observou-se na avaliação

dos coeficientes de sensibilidade. No entanto, o aumento da largura da base provocou

decréscimo nos índices de confiabilidade obtidos.

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4

4,1

4,2

30 40 50 60 70 80 90 100

Altura (cm)

Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes alturas

FOSMFORMSORMMCSMCIS

106

9.4.5 Variação da Resistência à Compressão do Concreto

Observou-se que a classe que apresentou o maior valor de índice médio de

confiabilidade foi a classe C20, seguida pelas classes, C30, C35, C25, C45, C50 e

C40, respectivamente, conforme observa-se na Figura 27. No entanto, esse

comportamento é dependente da área de aço, visto que essa possui influência na

probabilidade de falha, e nem todas as classes de resistência possuem o mesmo

intervalo entre a taxa de aço mínima (0,15%), e a área de aço máxima avaliada. Por

exemplo, para a taxa de aço correspondente à 0,75%, a classe de resistência

característica do concreto à compressão que fornece o maior valor de índice de

confiabilidade é a C20, seguida pela C25, C30, C35, C40, C45 e C50,

respectivamente.

107

Figura 27 – Índices de confiabilidade médios para diferentes resistências características do concreto à compressão e razões de ações variáveis do tipo acidental


O comportamento da média dos índices de confiabilidade para diferentes

intervalos de taxa de aço podem ser observados na Figura 28 e na Figura 29.

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4

4,1

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0


Índices de confiabilidade médios para diferentes resistências características do concreto à compressão e razões de ações variáveis do

tipo acidental

FOSM - 0% FOSM - 10% FOSM - 20% FOSM - 30% FOSM - 40%FOSM - 50% FOSM - 60% FOSM - 70% FOSM - 80% FOSM - 90%FOSM - 100% FORM - 0% FORM - 10% FORM - 20% FORM - 30%FORM - 40% FORM - 50% FORM - 60% FORM - 70% FORM - 80%FORM - 90% FORM - 100% SORM - 0% SORM - 10% SORM - 20%SORM - 30% SORM - 40% SORM - 50% SORM - 60% SORM - 70%SORM - 80% SORM - 90% SORM - 100% MCS - 0% MCS - 10%MCS - 20% MCS - 30% MCS - 40% MCS - 50% MCS - 60%MCS - 70% MCS - 80% MCS - 90% MCS - 100% MCIS - 0%MCIS - 10% MCIS - 20% MCIS - 30% MCIS - 40% MCIS - 50%

108

Figura 28 – Índices de confiabilidade médios para diferentes resistências características do concreto à compressão e taxas de aço discriminadas por intervalo entre 0,15% e 1,35%


109

Figura 29 – Índices de confiabilidade médios para diferentes resistências características do concreto à compressão e taxas de aço discriminadas por intervalo entre 1,50% e 1,80%


O intervalo entre valores máximos e mínimos de índices de confiabilidade para

diferentes resistências características do concreto à compressão pode ser observado

na Figura 30.

110

Figura 30 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes resistências características do concreto à compressão


9.5 OTIMIZAÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE DE ÁREAS DE AÇO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

A partir do algoritmo de otimização baseado em confiabilidade aplicado às

vigas de concreto armado, foi possível a obtenção dos gráficos expressos nas figuras

presentes no Apêndice B, os quais demostram as áreas de aço contínuas necessárias

para fornecer o momento resistente contido nas abscissas, relativo ao estado limite

último por flexão simples. As diferentes curvas presentes em um mesmo gráfico

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4

4,1

4,2

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0


Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes resistências características do concreto à compressão

FOSMFORMSORMMCSMCIS

111

denotam as diferentes proporções entre ações variáveis e totais, utilizadas conforme

a situação de projeto.

A partir da escolha do momento característico e da proporção de ações

variáveis, os valores de aço expressos no eixo das ordenadas são capazes de

fornecer um índice de confiabilidade igual a 3, para os dados estatísticos selecionados

neste trabalho.

No entanto, o valor de confiabilidade alvo adotado não indica

necessariamente o dimensionamento ótimo dadas as condições de projeto. É

necessária uma avaliação dos riscos envolvidos na estrutura avaliada, além de uma

análise dos custos relativos às medidas de segurança, conforme propõe a

metodologia exposta por JCSS (2001).

A utilização de áreas de aço com valores diferentes dos obtidos por meio dos

gráficos não definem, portanto, um dimensionamento inseguro, nem tampouco

antieconômico. Cada dimensionamento pode estar suscetível a probabilidades de

falha diferentes, cuja avaliação deve ser desenvolvida a partir de critérios pré-

estabelecidos.

Os valores normativos frequentemente fornecem diferentes valores de

confiabilidade para uma mesma área aço e momento característico, conforme pôde

ser observado durante o desenvolvimento deste trabalho, fato atribuído as diferentes

proporções de ações variáveis.

É importante ressaltar que a utilização de áreas de aço otimizadas conforme

as figuras do Apêndice B não visa substituir a necessidade de verificação das áreas

de aço conforme prescrições normativas, mas auxiliar na identificação das áreas de

aço aproximadas necessárias para atingir um mesmo nível de confiabilidade em

diversas configurações de projeto.

A partir das imagens contidas no Apêndice B, observa-se a grande

variabilidade de áreas de aço para um mesmo momento característico, o que justifica

e reforça a necessidade de dar-se maior atenção quando tratado a respeito das ações

variáveis no tipo de problema estudado.

112

10 CONCLUSÃO

A análise da confiabilidade de vigas de concreto armado submetidas à flexão

simples, conforme desenvolvida nesse trabalho, possibilitou a compreensão do

comportamento dos diversos dimensionamentos possíveis em resposta à variação de

suas propriedades.

Os resultados demonstraram a necessidade de se dar atenção à variável de

ações variáveis com maior ênfase, uma vez que essa possui uma influência

considerável na probabilidade de falha, e seu aumento acarreta no consequente

decréscimo no índice de confiabilidade. A norma NBR 6118:2014 não faz distinção,

em suas considerações, da proporção de cargas variáveis em relação às totais para

o dimensionamento de vigas, o que poderia implicar em dimensionamentos com níveis

de segurança não conformes e talvez, inadequados.

Em contrapartida, variáveis tais quais a resistência característica do concreto

à compressão, largura da base e altura útil da viga apresentaram pouca influência na

probabilidade de falha comparado às demais variáveis, fato que poderia justificar

futuras pesquisas na identificação da necessidade de sua consideração como

variáveis aleatórias, podendo possivelmente serem consideradas determinísticas. Tal

pesquisa poderia incluir a verificação da adoção de áreas de aço discretas para a

determinação da confiabilidade e, portanto, da variação da posição da armadura

longitudinal na seção transversal, que neste trabalho foi considerada equivalente à

0,9h.

A consideração de novas variáveis para a resolução do problema também

poderia ser critério de comparação, uma vez que a escolha das variáveis aleatórias

utilizadas no problema difere conforme o formato utilizado para a equação de estado

limite, e nem todas refletem a realidade brasileira. Na consideração de diferentes

variáveis, é cabível também o estudo de sua possível correlação.

Observou-se que o aumento da área de aço tende a contribuir positivamente

no ganho de confiabilidade, em oposição ao aumento da altura da viga, que acarretou

no decréscimo da confiabilidade. A variável largura não apresentou variação

significativa na probabilidade de falha, embora o aumento da largura tenha também

acarretado na diminuição da confiabilidade dos modelos de viga em estudo.

No que concerne os métodos avaliados, o método FOSM, embora apresente-

se como uma solução simples e de apresentação bastante didática, não se mostrou

113

adequado para a proposta deste trabalho. Apresentou resultados próximos aos

demais métodos apenas em faixas de proporção de cargas variáveis entre 40% e 50%

em relação às totais. Os demais métodos apresentaram resultados próximos em

termos de índices de confiabilidade obtidos, caracterizando-se como uma solução

viável ao problema proposto.

De modo geral, os índices de confiabilidade obtidos para a variação de

proporção de cargas variáveis no dimensionamento das vigas de acordo com a NBR

6118:2014 apresentaram grandes variações, e ressaltam a importância de se buscar

um dimensionamento calibrado com base em confiabilidade estrutural, para que se

obtenham valores mais uniformes.

114

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SANTIAGO, W. C.; BECK, A. T. A new study of Brazilian concrete strength conformance. Revista Ibracon de Estruturas e Materiais, v. 10, n. 4, p. 906–914, 2017.

SANTIAGO, W. C.; BECK, A. T. Um Estudo da Conformidade do Concreto de Resistência Moderada Produzido no Brasil. 60o Congresso Brasileiro do Concreto - CBC2018 - 60CBC2018. Anais...2018

SHINOZUKA, M. Basic Analysis of Structural Safety. Journal of Structural Engineering, v. 109, n. 3, p. 721–740, 1983.

TU, J.; CHOI, K. K.; PARK, Y. H. A NEW STUDY ON RELIABILITY BASED DESIGN OPTIMIZATION. ASME Journal of Mechanical Design, v. 121, n. 4, p. 557–564, 1999.

ZHAO, Y.-G.; ONO, T. New Approximations for SORM: Part 1. Journal of Engineering Mechanics, v. 2, n. January, p. 79–85, 1999.

119

APÊNDICE A - Índices de confiabilidade obtidos a partir de diferentes configurações de vigas

120

Figura 31 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 25 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 10%




121





122





123





124


Fonte: Autoria própria (2019) Figura 40 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 25 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 40%


125





126





127





128





129

APÊNDICE B - Áreas de aço otimizadas a partir de confiabilidade

130

Figura 49 – Área de aço de acordo com o momento característico e diferentes razões de ações acidentais em relação às totais para índice de

confiabilidade = 3,0 (fck = 25,0 MPa, bw = 14,0 cm, h = 30,0 cm)


131




132




133




134




135




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159




160




161




162

ANEXO A - Tabelas de coeficiente de correlação

163

Tabela 21 – Grupos de distribuição

Grupo 1 Grupo 2

Nome Símbolo Nome Símbolo

Uniforme UN Lognormal LN

Exponencial SE Gamma GM

Rayleigh SR Frechet máximos T2L

Gumbel máximos T1L Weibull mínimos T3S

Gumbel mínimos T1S Fonte: Kiureghian e Liu (1985) apud Kiureghian, ASCE e Liu (1986)

Tabela 22 – Categoria 1 - Xi Normal e Xj pertencente ao Grupo 1

Xj F = constante Erro máximo (%)

Uniforme 1,023 0,0

Exponencial 1,107 0,0

Rayleigh 1,014 0,0

Gumbel máximos 1,031 0,0

Gumbel mínimos 1,031 0,0

Fonte: Kiureghian e Liu (1985) apud Kiureghian, ASCE e Liu (1986)

Tabela 23 – Categoria 2 - Xi Normal e Xj pertencente ao Grupo 2

Xj F = constante Erro máximo (%)

Lognormal 2

j

ln(1 )j

+

Exato

Gamma 21,001 0,007 0,007

j j − + 0,0

Frechet máximos 2

1,030 0,238 0,364j j

+ + 0,1

Weibull mínimos 2

1,031 0,195 0,328j j

− + 0,1

Valores do coeficiente de variação para um intervalo de 0,50,1j


164

Tabela 24 – Categoria 2 - Xi e Xj pertencentes ao Grupo 1

Xj

Xi

UN SE

UN 1,047 0,047 ²−

Erro máximo: 0,0%

SE ²1,133 0,029+

Erro máximo: 0,0%

1,229 0,367 0,153 ² − +

Erro máximo: 1,5%

SR 1,038 0,008 ²−

Erro máximo: 0,0%

1,123 0,100 0,021 ² − +

Erro máximo: 0,1%

T1L 1,055 0,015 ²+

Erro máximo: 0,0%

1,142 0,154 0,031 ² − +

Erro máximo: 0,2%

T1S 1,055 0,015 ²+

Erro máximo: 0,0%

1,142 0,154 0,031 ² + +

Erro máximo: 0,2%




Xj

Xi

SR T1L T1S

UN

SE

SR 1,038 0,029 ²−

Erro máximo: 0,0%

T1L 1,046 0,045 0,006 ² − +

Erro máximo: 0,0%

1,064 0,069 0,005 ² − +

Erro máximo: 0,0%

T1S 1,046 0,045 0,006 ² + +

Erro máximo: 0,0%

1,064 0,069 0,005 ² + +

Erro máximo: 0,0%

²1,064 0,069 0,005 − +

Erro máximo: 0,0%



165

Tabela 26 – Categoria 4 - Xi pertencente ao grupo 1 e Xj pertencentes ao Grupo 2

Xj

Xi

UN

LN 1,019 0,014 0,010 ² 0,2498 ²

j j + + +

Erro máximo: 0,7%

GM 1,023 0,007 0,002 ² 0,127 ²

j j − + +

Erro máximo: 0,1%

T2L 1,033 0,305 0,074 ² 0,405 ²

j j + + +

Erro máximo: 2,1%

T3S 1,061 0,237 0,005 ² 0,379 ²

j j − − +

Erro máximo: 0,5%




Xj

Xi

SE

LN 1,098 0,003 0,019 0,025 ² 0,303 0,437

j j j + + + + −

Erro máximo: 1,6%

GM ² ² 1,104 0,003 0,008 0,014 0,173 0,296

j j j + − + + −

Erro máximo: 0,9%

T2L 1,109 0,152 0,361 0,130 ² 0,455 ² 0,728 ²

j j j − + + + −

Erro máximo: 4,5%

T3S 1,147 0,145 0,271 0,010 ² 0,459 ² 0,467

j j j + − + + −

Erro máximo: 0,4%



166


Xj

Xi

SR

LN ²

j j j1,011 0,001 0,014 0,004 ² 0,231 0,130 + + + + −

Erro máximo: 0,4%

GM ²

j j j1,014 0,001 0,007 0,002 ² 0,126 0,090 + − + + −

Erro máximo: 0,9%

T2L 1,036 0,038 0,266 0,028 ² 0,383 ² 0,229

j j j − + + + −

Erro máximo: 1,2%

T3S ²

j j j1,047 0,042 0,212 0,353 0,136 + − + −

Erro máximo: 0,2%




Xj

Xi

T1L

LN ²

j j j1,029 0,001 0,014 0,004 ² 0,233 0,197 + + + + −

Erro máximo: 0,3%

GM 1,031 0,001 0,007 0,003 ² 0,131 ² 0,132

j j j + − + + −

Erro máximo: 0,3%

T2L ² ²

j j j1,056 0,060 0,263 0,020 ² 0,383 0,332 − + + + −

Erro máximo: 1,0%

T3S ²

j j j1,064 0,065 0,210 0,003 ² 0,356 0,211 + − + + −

Erro máximo: 0,2%



167


Xj

Xi

T1S

LN ²

j j j1,029 0,001 0,014 0,004 ² 0,233 0,197 +− + + +

Erro máximo: 0,3%

GM 1,031 0,001 0,007 0,003 ² 0,131 ² 0,132

j j j − − + + +

Erro máximo: 0,3%

T2L ² ²

j j j1,056 0,060 0,263 0,020 ² 0,383 0,332 ++ + + +

Erro máximo: 1,0%

T3S ²

j j j1,064 0,065 0,210 0,003 ² 0,356 0,211 +− − + +

Erro máximo: 0,2%




Xj

Xi

LN

LN

( )

( ) ( )

In 1i j

ln 1 ² ln 1 ²i j

+

+ +

Erro máximo: Exato

GM

²i j i

²j i i j j

1,001 0,033 0,004 0,016 0,002 ² 0,223

0,130 0,104 0,029 0,119

+ + − + +

+ − + −

Erro máximo: 4,0%

T2L

²i j i

²j i i j j

1,026 0,082 0,019 0,222 0,018 ² 0,288

0,379 0,441 0,126 0,277

+ − − + +

+ − + −

Erro máximo: 4,3%

T3S

²i j i

²j i i j j

1,031 0,052 0,011 0,210 0,002 ² 0,220

0,350 0,005 0,009 0,174

+

+ + − + +

+ + −

Erro máximo: 2,4%

Valores do coeficiente de variação para um intervalo de i j, 0,50,1


168


Xj

Xi

GM

LN

GM

( )

( ) ( )

i j

² ²i j i j i j

1,002 0,022 0,012 0,001 ²

0,125 0,077 0,014

+ − + + +

+ − + +

Erro máximo: 4,0%

T2L

²i j i

²j i i j j

1,029 0,056 0,030 0,225 0,012 ² 0,174

0,379 0,313 0,075 0,182

+ − + + +

+ − + −

Erro máximo: 4,2%

T3S

²i j i

²j i i j j

1,032 0,034 0,007 0,202 0,121

0,339 0,006 0,003 0,111

− +

+ − − +

+ −

Erro máximo: 4,0%




Xj

Xi

GM

LN

GM

T2L

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

² ²i j i j

³ ³i j i j i j

² ²i j i j i j i j

1,086 0,054 0,104 0,055 ² 0,662

0,570 0,203 0,020 ³ 0,218

0,371 0,257 ² 0,141

+ +

+ +

+ + ++

+ + − +

− + − −

− +

Erro máximo: 4,3%

T3S

²i j i

²j i i j j

1,065 0,146 0,241 0,259 0,013 ² 0,372

0,435 0,005 0,034 0,481

+ +

+ + − + +

+ −

Erro máximo: 3,8%



169


Xj

Xi

T3S

LN

GM

T2L

T3S

( )

( ) ( )i j

² ²i j i j i j

1,063 0,004 0,200 0,001 ²

0,337 0,007 0,007

+

+ +

− − −

+ + −

Erro máximo: 2,6%



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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ …repositorio.roca.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/... · Simples para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental .....89