Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPRpaginapessoal.utfpr.edu.br/laurogalvao/disciplinas/calculo-numeric... · função num intervalo da seguinte forma. Pode-se construir

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Campus Curitiba

Departamento Acadêmico de Matemática

Prof: Lauro Cesar Galvão Cálculo Numérico Entrega: junto com a 1a parcial

DATA DE ENTREGA: dia da 1a PROVA (em sala de aula)

Atividades Práticas Supervisionadas (APS)

(EXERCÍCIOS: 10% da 1a parcial)

Conteúdo: Noções básicas sobre Erros, Zeros reais de funções reais, Resolução de

sistemas de equações lineares e Interpolação.

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Aluno: .....PROFESSOR..... Número: ..XX.. Turma: ..XX..

Curitiba – PARANÁ

1a APS: Exercícios Cálculo Numérico

Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO

2

1 Exercícios da apostila Nos exercícios a seguir, determinar o valor de :

Exercício 1 10112 .

Resolução: 10112 0,1011 2111

10112 1110 11.

Exercício 2 11,012 .

Resolução: 11,012 0,1101 21 3,25

11,012 3,2510 3,25.


Resolução: 403,125 0,40312

4 03 10030,20,08103,28

403,125 103,2810 103,28.


Resolução:

0,1875 0,375 0,75 0,5

2 2 2 2

0,3750 0,750 1,50 1,0

0,187510 0,00112.


Resolução:

0,6 0,2 0,4 0,8 0,6

2 2 2 2 2

1,2 0,4 0,8 1,6 1,2

0,610 0,100110012.

x

10x

42

2

122

032

1

42

1 42 32

x

10x

22

2

122

132

0

42

1 2222

1

x

10x

35

5

425

035

345

1

55

2 35

255

125

2

x

2x

2x



3


Resolução:

a) 1310 ? 13 e 2

13 2

1 6 2

0 3 2

1 1

1310 11012.

b) 0,2510 ?

0,25 0,5

2 2

0,50 1,0

0,2510 0,012.

Logo: 13,2510 1310 0,2510 11012 0,012 1101,012.

Exercício 7 100101,10012 .

Resolução: 100101,10012 0,1001011001

1 32410,50,062537,5625

100101,10012 37,562510 37,5625.

Exercício 8 19,3867187510 .

Resolução:

a) 1910 ? 19 e 4

19 4

3 4 4

0 1

1910 1034.

b) 0,3867187510 ?

0,38671875 0,546875 0,1875 0,75

4 4 4 4

1,54687500 2,187500 0,7500 3,00

0,3867187510 0,12034.

Logo: 19,3867187510 1910 0,3867187510 1034 0,12034 103,12034.

2x

N N

10x

62

2

122

032

042

152

062

172

182

092

0

102

1 62

52 222

142

1

x

4x

N N



4

Exercício 9 Transforme a medida 35 48 18 para minutos.

DICA: 35:48,1860 .

Resolução: 35:48,1860 0,35:48:18 3560 48

2100 48 0,3 2148,3

35:48,1860 2148,310.

35 48 18 = 2148,3 .

Exercício 10 Transforme 35,805 horas para horas, minutos e segundos.

DICA: 35,80510 .

Resolução:

a) 3510 ? 35 e 60

3510 3560.

b) 0, 80510 ?

0,805 0,3

60 60

48,300 18,0

0, 80510 0,48:1860.

Logo: 35,80510 3510 0, 80510 3560 0,48:1860 35,48:1860.

35,805 35 48 18 .

Exercício 11 11000112 .

Resolução: 11000112 0, 1100011

21 99

11000112 9910 99.

Exercício 12 11111112 .

Resolução: 11111112 0, 1111111

21 127

11111112 12710 127.

Exercício 13 10101012 .

Resolução: 10101012 0, 1010101

1 85

10101012 8510 85.

h min seg

10x min

260

60

35260

48

360

18 26060

18

h min seg min

60x

N N

h h min seg

10x

72

2

122

132

042

052

062

1

72

1 72

62 52

x

10x

72

2

122

132

142

152

162

1

72

1 72

62 52 42 32 22

x

10x

72

2

122

032

142

052

162

0

72

1 72

62 42 22

x



5

Exercício 14 101,00112 .

Resolução: 101,00112 0, 1010011

1 5 0,125 0,0625 5 0,1875 5,1875

101,00112 5,187510 5,1875.

Exercício 15 0,01111112 .

Resolução: 0,01111112 0, 111111

0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 0,0078125 0,4921875

0,01111112 0,492187510 0,4921875.

Exercício 16 1,0100112 .

Resolução: 1,0100112 0, 10100112 2

1 1 0,25 0,03125 0,015625 1,296875

1,0100112 1,29687510 1,296875.

Nos exercícios seguintes, converter os números para a base binária, determinando o

valor da variável :


Resolução: 37 e 2

37 2

1 18 2

0 9 2

1 4 2

0 2 2

0 1 3710 1001012

10x

32

2

122

032

142

052

062

1

72

1 32

2232

142

1

x

10x

12

2

122

132

142

152

1

62

1 12

22

132

142

152

162

172

1

x

10x

2

122

032

142

052

062

1

72

1

22

152

162

1

x

x

2x

N N



6


Resolução: 2345 e 2

2345 2

1 1172 2

0 586 2

0 293 2

1 146 2

0 73 2

1 36 2

0 18 2

0 9 2

1 4 2

0 2 2

0 1 234510 1001001010012

Exercício 19 Determine com 36 dígitos: 0,121710 .

Resolução:

0,1217 0,2434 0,4868 0,9736 0,9472 0,8944 0,7888 0,5776 0,1552

0,2434 0,4868 0,9736 1,9472 1,8944 1,7888 1,5776 1,1552 0,3104

0,3104 0,6208 0,2416 0,4832 0,9664 0,9328 0,8656 0,7312 0,4624

0,6208 1,2416 0,4832 0,9664 1,9328 1,8656 1,7312 1,4624 0,9248

0,9248 0,8496 0,6992 0,3984 0,7968 0,5936 0,1872 0,3744 0,7488

1,8496 1,6992 1,3984 0,7968 1,5936 1,1872 0,3744 0,7488 1,4976

0,4976 0,9952 0,9904 0,9808 0,9616 0,9232 0,8464 0,6928 0,3856

0,9952 1,9904 1,9808 1,9616 1,9232 1,8464 1,6928 1,3856 0,7712

0,121710 0,0001111100100111101110110010111111102.

2x

N N

x 2x



7

Exercício 20 Determine com 8 dígitos: 2,4710 .

Resolução:

a) 210 ? 2 e 2

2 2 210 102.

0 1

b) 0, 4710 ?

0,47

0,94

0,88

0,76

0,52

0,04

0,08

0,16

0,32

0,94 1,88 1,76 1,52 1,04 0,08 0,16 0,32 0,64

0, 4710 0,011110002.

Logo: 2,4710 210 0, 4710 102 0,011110002 10, 011110002.

Exercício 21 Utilizando o método da bissecção, determinar um valor aproximado para ,

com erro inferior a .

Resolução: Determinar é equivalente a obter o zero positivo da função = 5.

Sabe-se que o intervalo [2,3] contém este zero e a tolerância neste caso é = . Assim,

a quantidade mínima de iterações para se obter a resposta com a precisão exigida é:

6,643856. Como deve ser intero, tem-se 7.

( ) ( ) ( ) ( )/2

1 2,0 2,5 3,0 0,5

2 2,0 2,25 2,5 0,25

3 2,0 2,125 2,25 0,125

4 2,125 2,1875 2,25 0,0625

5 2,1875 2,21875 2,25 0,03125

6 2,21875 2,234375 2,25 0,015625

7 2,234375 2,2421875 2,25 0,0078125

Portanto 2,24218750,0078125

x 2x

N N

5210

5 )(xf 2x210

n2log

log)log( abn

2

1023 2

log

log)log( n

2

1021

log

loglog n

2

120

log

n n n

n a x b f a f x f b b a

5



8

Exercício 22 Um tanque de comprimento tem uma secção transversal no formato de um

semicírculo com raio r (veja a figura). Quando cheio de água até uma distância h do topo, o

volume V da água é: 𝑉 = 𝐿 ∙ [0,5 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 arcsen (ℎ

𝑟) − ℎ√(𝑟2 − ℎ2)]. Supondo que L10 ft,

r1 ft e V12,4 ft3, encontre a profundidade da água no tanque com precisão de 0,01 ft.

Resolução: Para calcular a profundidade rh da água, substitui-se os valores de r, L e V na

expressão anterior para obter a equação arcsen(ℎ) + ℎ√1 − ℎ2 + 1,24 − 0,5𝜋 = 0 cuja

raiz é h. Assim, deve-se calcular o zero da função 𝑓(ℎ) = arcsen(ℎ) + ℎ√1 − ℎ2 +1,24 − 0,5𝜋, com precisão de 𝜀 = 10−2. Para isto, primeiramente isola-se o zero desta

função num intervalo da seguinte forma.

Pode-se construir uma tabela de valores para 𝑓(ℎ) e analisar os sinais:

h 1 0 1

𝑓(ℎ)

Como , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de 𝑓(ℎ)

no intervalo [0,1].

Agora determina-se o número de iterações necessárias para se obter a precisão exigida:

6,643856

Logo são necessárias = 7 iterações.

(ba)/2

1 0 0,5 1 0,5

2 0 0,25 0,5 0,25

3 0 0,125 0,25 0,125

4 0,125 0,1875 0,25 0,0625

5 0,125 0,15625 0,1875 0,03125

6 0,15625 0,171875 0,1875 0,015625

7 0,15625 0,1640625 0,171875 0,0078125

Assim, 0,16406250,0078125 e a profundidade da água solicitada é

aproximadamente 1(0,1640625) .

L

h h

r

010 )()( ff

2log

log)log(

abn

2

101 2

log

loglog n n

n

n a h b )(af )(hf )(bf

h r h

ft



9

Exercício 23 Encontrar o zero de com precisão , utilizando o

método do ponto fixo.

Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para ( ) e analisar os sinais:

x 3 2 1

Como , conclui-se, de acordo com o Teorema 1, que existem zeros de

no intervalo [3,2].

Procurando uma função de ponto fixo adequada pode-se fazer:

0

Procura-se agora, o extremo do intervalo I=[3,2] mais próximo do zero de 𝑓(𝑥): Para

isto, calcula-se o ponto médio do intervalo I=[3,2]: 2,5 e

2,02042. Como < , isto é 2,5 <

2,02042, então está entre 2,5 e 2, ou seja, 2 é o extremo de mais próximo de

. Desta forma, iniciando o processo recursivo pelo ponto 2, garante-se que todos

os termos da seqüência aproximadora pertencerão ao intervalo =[3,2].

Logo, utilizando a partir de 2, gera-se uma seqüência

convergente para o zero de .

0 2 2,0335524 0,0335524 > 10-6

1 2,0335524 2,0324541 0,0010983 > 10-6

2 2,0324541 2,0324895 0,0000354 > 10-6

3 2,0324895 2,0324884 0,0000011 > 10-6

4 2,0324884 2,0324884 0 < 10-6

Portanto, = 2,0324884.

Exercício 24 Encontrar a solução para a equação x = com precisão utilizando

o método de Newton-Raphson.

Resolução:

Tome 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑥 e considere que o zero da função está no intervalo fechado [0,𝜋

2].

A fórmula recursiva de Newton para este caso fica: 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −cos(𝑥𝑛)−𝑥𝑛

− sen(𝑥𝑛)−1 para 𝑛 ≥ 0.

Agora deve-se escolher 𝑥0 convenientemente: Pode-se verificar que o ponto médio

ou 0,785398163398 e 0,739536133515. Pela observação 5 concluímos que

𝑥0 = 0, pois < .

n

0 0 1 1 > 10-6

1 1 0,750363868 0,249636132 > 10-6

2 0,750363868 0,7391128909 0,011250978 > 10-6

3 0,7391128909 0,7390851333 0,000027757 > 10-6

4 0,7390851333 0, 7390851332 0,0000000001 <10-6

Portanto, = 0,739085133.

)(xf 42 xe x 610

f x

)(xf

023 )()( ff

)(xf

42 xe x 442 xx exex 4 xex)(

x̂2

23 ))(( )ˆ(x

452 52 ,),( e x̂ )ˆ(x x̂ )ˆ(x ),( 52

x̂ I

0x

I

4)( xex 0x

)(xf

nnx 1nx nn xx 1

x

xcos610

xxxfxxxx cos)(0coscos

x̂4

x̂ x̂

x̂ x̂

nx 1nx nn xx 1

x



10

Comparação entre os métodos

Nos exercícios seguintes, considerando cada método especificado, determine uma

aproximação para o zero da função.

Exercício 25 Pelo método da Bissecção, determine uma aproximação para (1,2) da

função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação tal que ( )/2 .

Resolução:

f ( a ) f ( x ) f (b ) (b a )/2

1 1 1,5 2 - + + 0,5

2 1 1,25 1,5 - - + 0,25

3 1,25 1,375 1,5 - - + 0,125

4 1,375 1,4375 1,5 - - + 0,0625

5 1,4375 1,46875 1,5 - + + 0,03125

6 1,4375 1,453125 1,46875 - + + 0,015625

7 1,4375 1,4453125 1,453125 - - + 0,0078125

8 1,4453125 1,44921875 1,453125 - + + 0,00390625

9 1,4453125 1,447265625 1,44921875 - - + 0,001953125

10 1,447265625 1,448242188 1,44921875 - + + 0,000976563

11 1,447265625 1,447753906 1,448242188 - + + 0,000488281

12 1,447265625 1,447509766 1,447753906 - + + 0,000244141

13 1,447265625 1,447387695 1,447509766 - - + 0,00012207

14 1,447387695 1,44744873 1,447509766 - + + 6,10352E-05

Logo, 1,44744873

x

1410 b a 1

n a x b

x



11

Exercício 26 Pelo método do Ponto Fixo ou Aproximações Sucessivas, determine uma

aproximação para �̅�(1,2) da função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação 𝜀1 = 𝜀1 = 10−4

tal que |𝑓(𝑥𝑛)| < 𝜀1 ou |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀2. Utilize 𝑥01,5.

Resolução:

( )

( )0 0

1( ) ( )1 em (1,2)

2( ) ( )1 em (1,2)

𝜙(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑒−𝑥2+ 𝑥 𝑥𝑛+1 = 𝜙(𝑥𝑛)

| | | ( )| Parada

0 1,5 1,465337977 0,034662023 0,01154599

1 1,465337977 1,453791987 0,01154599 0,004075472

2 1,453791987 1,449716515 0,004075472 0,001466938

3 1,449716515 1,448249577 0,001466938 0,000531683

4 1,448249577 1,447717894 0,000531683 0,000193187

5 1,447717894 1,447524708 0,000193187 7,02578E-05 |𝑓(𝑥𝑛)| < 𝜀1

Logo, 1,447524708.

Exercício 27 Pelo método de Newton-Raphson, determine uma aproximação para �̅�(1,2)

da função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação tal que | ( )| ou

|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀2. Utilize 𝑥01,5.

Resolução:

( ) ( )2

( ) ( ) ( )

| | | ( )| Parada

0 1,5 1,4491235 0,0508765 0,001088623

1 1,4491235 1,447416347 0,001707153 1,32044E-06 |𝑓(𝑥𝑛+1)| < 𝜀1

Logo, 1,447416347.

f x2xe xcos

f x2xe xcos x x

x xcos2xe x '1 x

x xcos2xe x '2 x

n nx 1nx 1nx nx f 1nx

x

1 2410 f 1nx 1

f x2xe xcos 'f x x

2xe xsen

x x)('

)(

xf

xfx x

xxe

xe

x

x

sen

cos

2

2

21nx nx

n nx 1nx 1nx nx f 1nx

x



12

Exercício 28 Resolver o sistema com arredondamento em duas casas decimais na matriz

aumentada, utilizando eliminação de Gauss.

Resolução:

Linha Multiplicador m Matriz Aumentada

(1) 8,70 3,00 9,30 11,00 16,40

(2) = -( 24,50 )/( 8,70 ) 24,50 -8,80 11,50 -45,10 -49,70

(3) = -( 52,30 )/( 8,70 ) 52,30 -84,00 -23,50 11,40 -80,80

(4) = -( 21,00 )/( 8,70 ) 21,00 -81,00 -13,20 21,50 -106,30

(2) 0,00 -17,25 -14,69 -76,08 -95,88

(3) = -( -102,03 )/( -17,25 ) 0,00 -102,03 -79,41 -54,73 -179,39

(4) = -( -88,24 )/( -17,25 ) 0,00 -88,24 -35,65 -5,05 -145,89

(3) 0,00 0,00 7,48 395,27 387,72

(4) = -( 39,49 )/( 7,48 ) 0,00 0,00 39,49 384,13 344,57

(4) 0,00 0,00 0,00 -1702,66 -1702,36

Então [ ] [ ].

Logo: .

4S

4S A x b

3106521213081021

880411523084352

74914551188524

416011390378

4321

4321

4321

4321

,,,,,

,,,,,

,,,,,

,,,,,

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

0B

)(021m

)(031m

)(041m

1B

)(132m

)(142m

2B

)(243m

3B

A x b U x c A b U c

U x c

361702661702000

723872739548700

88950876691425170

416011390378

4

43

432

4321

,,

,,,

,,,,

,,,,,

x

xx

xxx

xxxx

x T001011012011 ,,,,



13

Exercício 29 Resolva com arredondamento em duas casas decimais na matriz

aumentada, utilizando eliminação de Gauss com pivoteamento completo.

.

Resolução:


(1) = -( 3,00 )/( -84,00 ) 8,70 3,00 9,30 11,00 16,40

(2) = -( -8,80 )/( -84,00 ) 24,50 -8,80 11,50 -45,10 -49,70

(3) 52,30 -84,00 -23,50 11,40 -80,80

(4) = -( -81,00 )/( -84,00 ) 21,00 -81,00 -13,20 21,50 -106,30

(1) = -( 11,41 )/( -46,29 ) 10,57 0,00 8,46 11,41 13,51

(2) 19,02 0,00 13,96 -46,29 -41,24

(4) = -( 10,51 )/( -46,29 ) -29,43 0,00 9,46 10,51 -28,39

(1) = -( 15,26 )/( -25,11 ) 15,26 0,00 11,90 0,00 3,34

(4) -25,11 0,00 12,63 0,00 -37,75

(1) 0,00 0,00 19,58 0,00 -19,60

Então [ ] [ ].

Com o cálculo retroativo de para , obtém-se: .

4S

4S A x b

3106521213081021

880411523084352

74914551188524

416011390378

4321

4321

4321

4321

,,,,,

,,,,,

,,,,,

,,,,,

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

)(012m

)(022m

0B

)(042m

)(114m

1B

)(144m

)(211m

2B

3B

A x b U x c A b U c

U x c

3

2

1

0

B

B

B

B

60190581900

75370631201125

24412946961300219

880411523084352

3

31

431

4321

,,

,,,

,,,,

,,,,,

x

xx

xxx

xxxx

3B 0B x T001001002001 ,,,,



14

Exercício 30 Resolva o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:

{

3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 10 4𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 5

Resolução:

A = (3 2 41 1 24 3 2

) e 𝑏 = (−1105

)

Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:

1ª coluna

Multiplicadores:

𝑚21(0)

=𝑎21

(0)

𝑎11(0) =

1

3 e 𝑚31

(0)=

𝑎31(0)

𝑎11(0) =

4

3

Aplicando os multiplicadores, obtém-se a matriz A(1):

𝐴(1) = (3 2 40 1/3 2/30 1/3 −10/3

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2

𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3

2ª coluna

Multiplicador:

𝑚32(1)

=𝑎32

(1)

𝑎22(1) = 1

Aplicando o multiplicado, obtém-se a matriz A(2):

A(2) = (3 2 40 1/3 2/30 0 −4

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3

Os fatores L e U são:

𝐿 = (1 0 0

1/3 1 04/3 1 1

) e 𝑈 = (3 2 40 1/3 2/30 0 −4

)

Resolvendo o sistema L(Ux)=b, tem-se:

𝐿𝑦 = 𝑏 → {

𝑦1 = −1 𝑦1

3+ 𝑦2 = 10

4𝑦1

3+ 𝑦2 + 𝑦3 = 5

𝑦 = (−1

31/3−4

)

𝑈𝑥 = 𝑦 → {

3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1𝑥2

3+

2𝑥3

3=

31

3

−4𝑥3 = −4

𝑥 = (−21291

)

Exercício 31 Resolva o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:

{

3𝑥 − 0,1𝑦 − 0,2𝑧 = −1,20,1𝑥 + 7𝑦 − 0,3𝑧 = 7,8 0,3𝑥 − 0,2𝑦 + 10𝑧 = 3,5

Resolução:



15

A = (3 −0,1 −0,2

0,1 7 −0,30,3 −0,2 10

) e 𝑏 = (−1,27,83,5

)


1ª coluna

Multiplicadores:

𝑚21 =𝑎21

(0)

𝑎11(0) = 0,0333 e 𝑚31 =

𝑎31(0)

𝑎11(0) = 0,1


A(1) = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 −0,19 10,02

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2

𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3

2ª coluna

Multiplicador:

𝑚32 =𝑎32

(1)

𝑎22(1) = −0,0271


A(2) = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 0 10,0120

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3


𝐿 = (1 0 0

0,0333 1 00,1 −0,0271 1

) e 𝑈 = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 0 10,0120

)

Resolvendo o sistema L(Ux)=b, tem-se:

𝐿𝑦 = 𝑏 → {

𝑦1 = −1,2 0,0333𝑦1 + 𝑦2 = 7,8 0,1𝑦1 − 0,0271𝑦2 + 𝑦3 = 3,5

𝑦 = (−1,27,84

3,8327)

𝑈𝑥 = 𝑦 → {

3𝑥1 − 0,1𝑥2 − 0,2𝑥3 = −1,27,0033𝑥2 − 0,2933𝑥3 = 7,8410,0120𝑥3 = 3,8327

𝑥 = (−0,33661,13550,3828

)

Exercício 32 Considere a matriz.

A = (1 1 12 1 −13 2 5

)

a) Calcule a fatoração LU de A.

b) Usando a fatoração LU, calcule o determinante de A.

Resolução:

a) Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:

1ª coluna

Multiplicadores:



16

𝑚21 =𝑎21

(0)

𝑎11(0) = 2 e 𝑚31 =

𝑎31(0)

𝑎11(0) = 3


A(1) = (1 1 10 −1 −30 −1 2

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2

𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3

2ª coluna

Multiplicador:

𝑚32 =𝑎32

(1)

𝑎22(1) = 1


A(2) = (1 1 10 −1 −30 0 5

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3


𝐿 = (1 0 02 1 03 1 1

) e 𝑈 = (1 1 10 −1 −30 0 5

)

b) Sabe-se que A = LU então:

det(A) = det(𝐿𝑈)

det(A) = det(𝐿) ∗ det(𝑈)

det(A) = (1 ∙ 1 ∙ 1) ∗ (1 ∙ (−1) ∙ 5)

det(𝐴) = −5

Exercício 33 Aplicando-se o método da decomposição LU a matriz:

A = (

?4

?−1

3 ?10 8

? −3 12 110 −2 −5 10

)

Obtiveram-se as matrizes:

𝐿 = (

?2

0?

??

??

30

0?

?1

0?

) e 𝑈 = (

??

−11

? 5? −2

? 0 3 −40 ? 0 10

)

Preencha os espaços pontilhados com valores adequados.

Resolução:

Iniciamos completando a matriz L com os elementos da diagonal principal, que são igual

a 1, e com os elementos acima da diagonal principal, que são nulos.

𝐿 = (

12

01

00

00

30

0?

11

01

)

Também podemos completar alguns elementos da matriz U, abaixo da diagonal principal,

que são nulos.

𝑈 = (

?0

−11

? 5? −2

0 0 3 −40 0 0 10

)

Com o multiplicador 𝑚21 =𝑎21

(0)

𝑎11(0), podemos calcular os elementos 𝑎11:



17

𝑚21 =𝑎21

(0)

𝑎11(0)

2 =4

𝑎11(0)

𝑎11(0)

= 2 Comparando a primeira linha das matrizes A e U, completamos a primeira linha dessas

matrizes:

A = (

24

−1−1

310

58

?0

−3−2

12−5

1110

)

𝑈 = (

20

−11

3 5? −2

0 0 3 −40 0 0 10

)

Com o multiplicador 𝑚31 =𝑎31

(0)

𝑎11(0), podemos calcular os elementos 𝑎31:

𝑚31 =𝑎31

(0)

𝑎11(0)

3 =𝑎31

(0)

2

𝑎31(0)

= 6 Assim, temos:

A = (

24

−1−1

310

58

60

−3−2

12−5

1110

)

Com os dados obtidos da matriz A podemos calcular o elemento 𝑎23(1)

:

𝑎23(1)

= 𝑎23(0)

− 𝑚21 ∗ 𝑎13(0)

𝑎23(1)

= 10 − 2 ∗ 3

𝑎23(1)

= 4

Assim, temos:

𝑈 = (

20

−11

3 54 −2

0 0 3 −40 0 0 10

)


A(1) = (

20

−11

34

5−2

00

0−2

3−5

−410

)

Com os dados dessa matriz podemos calcular o multiplicador 𝑚42:

𝑚42 =𝑎42

(1)

𝑎22(1)

= −2

Assim, temos:

𝐿 = (

1 2

01

00

00

30

0−2

11

01

)



18

Exercício 34 Resolva o sistema a seguir, utilizando o método de Gauss-Jacobi, com 𝑥0 = 0

e 𝜀 = 10−2 = 0,01.

Resolução:

e

Neste caso a fórmula de recorrência fica:

k

0 0 0 0 -

1 0,7 -1,6 0,6 1,6

2 0,96 -1,86 0,94 0,34

3 0,978 -1,98 0,966 0,12

4 0,9994 -1,9888 0,9984 0,0324

5 0,99792 -1,99956 0,99676 0,01076

6 1,000236 -1,998936 1,000284 0,003524

Com e 0,01, o processo convergiu com 6 iterações para:

.

xA b

61032

85

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

x F x d

F

010

3

10

25

10

5

110

1

10

20

d

10

65

810

7

)( 1kx F)(kx d

10

3265

810

27

2113

3112

321

1

)(

)(

)(

)()()(

)()()(

)()()(

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

)(kx1)(kx2

)(kx3

)()(max 1

31

k

ik

ii

xx

)(0x T000

x T000284199893610002361 ,,,



19

Exercício 35 Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Seidel, com 𝜀 = 0,01.

Resolução:

k

0 0 0 0 -

1 0,7 -1,74 0,982 1,74

2 0,9498 -1,98636 1,005948 0,2498

3 0,9966772 -2,00052504 1,000822072 0,0468772

4 1,000022801 -2,000168975 1,000046132 0,003345601

.

Exercício 36 Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Seidel, com 𝜀 = 0,05.

Resolução:

k

0 0 0 0 -

1 1 0,75 -0,875 1

2 1,025 0,95 -0,9875 0,2

3 1,0075 0,99125 -0,999375 0,04125

.

xA b

61032

85

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

10

3265

810

27

12

111

3

31

112

3211

)(

)(

)(

)()()(

)()()(

)()()(

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

)(kx1)(kx2

)(kx3

)()(max 1

31

k

ik

ii

xx

x T000046100016920000231 ,,,

xA b

0633

643

55

321

321

321

xxx

xxx

xxx

6

334

365

5

12

111

3

31

112

3211

)(

)(

)(

)()()(

)()()(

)()()(

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

)(kx1)(kx2

)(kx3

)()(max 1

31

k

ik

ii

xx

x T999375099125000075001 ,,,



20

2 Exercícios diversos Exercício 37 Seja a equação )(xf x x )ln(x 0.

a) Isole o zero desta função em um intervalo [ ba, ] de extremos inteiros

consecutivos (garanta que o zero está realmente isolado no referido intervalo);

x 1 2 3 4

)(xf

)(xf x x )ln(x xxf ln)(' . Como )(' xf preserva o sinal no

intervalo [2, 3], isto é )(' xf 0, x [2 ,3], tem-se que o zero está realmente

isolado no referido intervalo ( )(xf é estritamente decrescente em [2, 3]).

O zero procurado está isolado no intervalo [ 2 , 3 ]

b) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método da Bissecção e

a tolerância de 410

.

n a x b f ( a ) f ( x ) f (b ) (b a )/2

1 2 2,5 3 + + - 0,5

2 2,5 2,75 3 + - - 0,25

3 2,5 2,625 2,75 + + - 0,125

4 2,625 2,6875 2,75 + + - 0,0625

5 2,6875 2,71875 2,75 + - - 0,03125

6 2,6875 2,703125 2,71875 + + - 0,015625

7 2,703125 2,7109375 2,71875 + + - 0,0078125

8 2,7109375 2,71484375 2,71875 + + - 0,00390625

9 2,71484375 2,716796875 2,71875 + + - 0,001953125

10 2,716796875 2,717773438 2,71875 + + - 0,000976563

11 2,717773438 2,718261719 2,71875 + + - 0,000488281

12 2,718261719 2,718505859 2,71875 + - - 0,000244141

13 2,718261719 2,718383789 2,718505859 + - - 0,00012207

14 2,718261719 2,718322754 2,718383789 + - - 6,10352E-05

x 2,718322754



21

c) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método de Newton-Raphson

e a tolerância para nn xx 1 de 410

.

A fórmula de recorrência é )(1 nn xxn

n

x

x

ln

n nx )(1 nn xxn

n

x

x

ln nn xx 1

0 2,5 2,72839167 0,22839167

1 2,72839167 2,718300513 0,010091157

2 2,718300513 2,718281829 1,86844E-05

3

x 2,718281829

Exercício 38 Seja a equação )(xf 24xex , e seu zero isolado no intervalo [0,1].

a) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método do Ponto Fixo,

com ( x ) 2

2

1x

e 0x 0,5 e a tolerância para nn xx 1 de 410

.

n nx 21

2

1x

nn exx )( nn xx 1

0 0,5 0,642012708 0,142012708

1 0,642012708 0,68925717 0,047244462

2 0,68925717 0,705732791 0,016475621

3 0,705732791 0,711570497 0,005837705

4 0,711570497 0,7136505 0,002080003

5 0,7136505 0,714393084 0,000742584

6 0,714393084 0,714658381 0,000265298

7 0,714658381 0,714753186 9,48049E-05

8

x 0,714753186



22

b) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método de Newton-

Raphson e a tolerância para nn xx 1 de 410

.

A fórmula de recorrência é )(1 nn xx )(

nx

nx

nxe

xex

n

n

8

4 2

n nx 1nx )(

nx

nx

nxe

xex

n

n

8

4 2

nn xx 1

0 0,5 0,775901475 0,275901475

1 0,775901475 0,717521703 0,058379773

2 0,717521703 0,71481186 0,002709843

3 0,71481186 0,714805912 5,94753E-06

4

x 0,714805912

Exercício 39 Mostre que a fórmula

kkk

x

axx

2

11 para determinar a , com a > 0 é um

caso especial da iteração de Newton.

axxf 2)( xxf 2)('

))('

)((

n

nnn

xf

xfxx 1 )(

n

nnn

x

axxx

2

2

1

n

nn

x

axx

2

2

1

)(n

nnx

axx

2

11

Exercício 40 Obtenha uma fórmula semelhante a do exercício anterior para calcular n a ,

com a > 0 e utilize esta fórmula para calcular 3 8 , com 0x 1,5 (preencha a tabela até n=3).

axxf n )( 1 nnxxf )('

))('

)((

n

nnn

xf

xfxx 1 )(

11

nn

nn

nnnx

axxx

111

nn

nn

nnx

axnx

)(

])[(11 1

1

nn

nnx

axn

nx



23

n nx )( nn xx 1

0 1,5 2,185185185

1 2,185185185 2,015250336

2 2,015250336 2,000115115

3 2,000115115 2,000000007

x 2,000000007

Exercício 41 A função )(xf 2 x xcos possui um zero real isolado no intervalo

],[4

0

I . Consideremos o processo iterativo definido por )( nn xx 1 com 2

xx

cos)(

. Seja 0x o extremo de I mais próximo de .

a) Verifique se as condições (i), (ii) do teorema 2 estão satisfeitas, isto é:

(i) e ' são contínuas em I .

De fato, 2

xx

cos)( e

2

xx

sen)(' são contínuas em I .

(ii) ,)('max 1 xk x I .

2

4

2

)sen(sen

maxx

kIx

0,36 1

b) Determine o extremo do intervalo I mais próximo de .

O ponto médio do intervalo I é 8

x̂ e

)()ˆ(8

x 0,4620

8

0,3927.

Logo, 4

0

x é o extremo do intervalo I mais próximo de .



24

c) Efetuando arredondamentos na 4a casa decimal obtenha um valor aproximado para

.

n nx )(1 nn xx 2

cos nx

0 0,7854 0,3536

1 0,3536 0,4691

2 0,4691 0,446

3 0,446 0,4511

4 0,4511 0,45

5 0,45 0,4502

6 0,4502 0,4502

x 0,4502

d) Utilizando a fórmula 11

nnn xxk

kx , obtenha um limitante superior

para o erro cometido na 6a iteração.

5661

xxk

kx

45000450203601

36045020 ,,

,

,,

0,0001125 0,0002.

Logo 0,4502 0,0002.

Exercício 42 Utilizando o usando o método de eliminação de Gauss (forma compacta),

resolver o sistema 4S abaixo com arredondamento em duas casas decimais, na matriz

aumentada.

12234

42323

12

722

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx



25


(1) 0B 2,00 2,00 1,00 1,00 7,00

(2) )(021m = -( 1,00 )/( 2,00 ) 1,00 -1,00 2,00 -1,00 1,00

(3) )(031m = -( 3,00 )/( 2,00 ) 3,00 2,00 -3,00 -2,00 4,00

(4) )(041m = -( 4,00 )/( 2,00 ) 4,00 3,00 2,00 1,00 12,00

(2) 1B 0,00 -2,00 1,50 -1,50 -2,50

(3) )(132m = -( -1,00 )/( -2,00 ) 0,00 -1,00 -4,50 -3,50 -6,50

(4) )(142m = -( -1,00 )/( -2,00 ) 0,00 -1,00 0,00 -1,00 -2,00

(3) 2B 0,00 0,00 -5,25 -2,75 -5,25

(4) )(243m = -( -0,75 )/( -5,25 ) 0,00 0,00 -0,75 -0,25 -0,75

(4) 3B 0,00 0,00 0,00 0,14 0,00

Assim, 1x 1 2x 2 3x 1 4x 0

Exercício 43 Utilizando a estratégia de pivoteamento completo (forma compacta), resolver

o sistema 4S abaixo com arredondamento em três casas decimais, na matriz aumentada.

12234

42323

12

722

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx


(1) )(011m = -( 2,00 )/( 4,00 ) 2,000 2,000 1,000 1,000 7,000

(2) )(021m = -( 1,00 )/( 4,00 ) 1,000 -1,000 2,000 -1,000 1,000

(3) )(031m = -( 3,00 )/( 4,00 ) 3,000 2,000 -3,000 -2,000 4,000

(4) 0B 4,000 3,000 2,000 1,000 12,000

(1) )(113m = -( 0,00 )/( -4,50 ) 0,000 0,500 0,000 0,500 1,000

(2) )(123m = -( 1,50 )/( -4,50 ) 0,000 -1,750 1,500 -1,250 -2,000

(4) 1B 0,000 -0,250 -4,500 -2,750 -5,000

(1) )(214m = -( 0,50 )/( -2,17 ) 0,000 0,500 0,000 0,500 1,000

(4) 2B 0,000 -1,833 0,000 -2,167 -3,667

(1) 3B 0,000 0,077 0,000 0,000 0,154

Assim, 1x 1,00002564 2x 2,00000000

3x 0,99971799 4x 0,00046147



26

Exercício 44 Resolva o sistema de equações lineares abaixo, utilizando o método de Gauss-

Jacobi, considerando )(0x (0, 0, 0), 0,01 e ITMAX5:

5663

052

54

321

321

321

,xxx

xxx

xxx

k )(kx1 )(kx2

)(kx3 )()(max 1

31

k

ik

ii

xx

0 0 0 0 -

1 1,25 0 -1,08333333 1,25

2 1,520833333 0,716666667 -1,70833333 0,716666667

3 1,497916667 0,95 -1,96319444 0,254861111

4 1,503298611 0,991805556 -1,990625 0,041805556

5 1,499704861 0,999444444 -2,00028356 0,009658565

x [ 1,499704861 , 0,999444444 , -2,00028356 ].

Exercício 45 Resolva o sistema de equações lineares abaixo, utilizando o método de Gauss-

Seidel, considerando )(0x (0, 0, 0), 0,01 e ITMAX5:

5663

052

54

321

321

321

,xxx

xxx

xxx

k )(kx1 )(kx2

)(kx3 )()(max 1

31

k

ik

ii

xx

0 0 0 0 -

1 1,25 0,5 -1,79166667 1,791666667

2 1,572916667 0,9875 -2,034375 0,4875

3 1,51171875 1,0115625 -2,00778646 0,061197917

4 1,49905599 1,001179688 -1,99972461 0,01266276

5 1,49963623 0,999799414 -1,99978468 0,001380273

x [ 1,49963623 , 0,999799414 , -1,99978468 ].



27

Exercício 46 Dado o sistema abaixo:

376

26

13

321

321

321

xxx

xxkx

xxkx

a) Usando o critério de Sassenfeld, verifique para que valores positivos de k se

tem garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma seqüência

convergente para a solução do sistema.

].[1

131211

1 aaa

]13.[1

k1

4

44

k k >4

].[1

2312122

2 aaa

]14

.[6

1

kk 1

6

5

].[1

23213133

3 aaa

]6

56

41.[

7

1

k1]5

4[

7

1

k k >2

Logo o critério de Sassenfeld é satisfeito para valores de k >4.

b) Escolha o menor valor inteiro e positivo para k (dentre aqueles encontrados no

item a) e faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtido.

Assim, usando k 5

k )(kx1 )(kx2

)(kx3 )()(max 1

31

k

ik

ii

xx

0 0 0 0 -

1 0,2 0,166666667 0,257142857 0,257142857

2 0,048571429 0,25 0,207346939 0,151428571

3 0,008530612 0,291666667 0,17735277 0,041666667

x [ 0,008530612 ; 0,291666667 ; 0,17735277 ].

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPRpaginapessoal.utfpr.edu.br/laurogalvao/disciplinas/calculo-numeric... · função num intervalo da seguinte forma. Pode-se construir