University of Las Palmas de Gran Canaria - Métodos ...lalvarez/teaching/mn/2012...Polinomio de Hermite H1 1 (x) Polinomio de Hermite 1 x) Luis Alvarez León Métodos Numéricos Grado

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Métodos NuméricosGrado en Ingeniería Informática

Tema 7 Interpolación de funciones II

Luis Alvarez León

Univ. de Las Palmas de G.C.

Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 1 / 34

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Contenido

1 Interpolación de Hermite

2 Interpolación por splines cúbicos.

3 Interpolación utilizando la función seno cardinal

4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos


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Contenido






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Interpolación de funciones IIEl problema de interpolación


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Interpolación de funciones IIInterpolación Lineal


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Interpolación de funciones IIInterpolación a través del polinomio de Lagrange


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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Se interpola tanto la función como su derivada

Figura:


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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Se interpola tanto la función como su derivada.


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Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite

En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpoladorP(x) para que P(xi) = f (xi).

En el caso de Hermite además deajustar el valor de la función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:

P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)

Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3.Por tanto

P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b

Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0

→{

a = 3/4b = 1/2

→ P(x) =312

x3 − 34

x +12


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En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpoladorP(x) para que P(xi) = f (xi). En el caso de Hermite además deajustar el valor de la función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:

P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)


P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b


→{

a = 3/4b = 1/2

→ P(x) =312

x3 − 34

x +12


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P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)

Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser

3.Por tanto

P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b


→{

a = 3/4b = 1/2

→ P(x) =312

x3 − 34

x +12


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P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)


P ′(x) =

a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b


→{

a = 3/4b = 1/2

→ P(x) =312

x3 − 34

x +12


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P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)


P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) =

ax3

3− ax + b


→{

a = 3/4b = 1/2

→ P(x) =312

x3 − 34

x +12


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P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)


P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b

Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema

{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0

→{

a = 3/4b = 1/2

→ P(x) =312

x3 − 34

x +12


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P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)


P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b


→{

a = 3/4b = 1/2

→ P(x) =312

x3 − 34

x +12


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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación-1,1..

Polinomio de Hermite H0−1(x) Polinomio de Hermite H0

1 (x)


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Polinomio de Hermite H1−1(x) Polinomio de Hermite H1

1 (x)


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Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0

y P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que

P(x) =

(x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b

derivando obtenemos

P ′(x) = 3ax2 + 2bx − a

Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0

→{

a = 1/4b = −1/4

→ H1−1(x) = (x2−1)(

14

x +14)

En función de los polinomios base de HermiteH0−1(x),H

01 (x),H

1−1(x),H

11 (x), el polinomio que interpola a una

función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es

P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0

1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1

1 (x)


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P(x) = (x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b

derivando obtenemos

P ′(x) =

3ax2 + 2bx − a


→{

a = 1/4b = −1/4

→ H1−1(x) = (x2−1)(

14

x +14)


01 (x),H

1−1(x),H



P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0

1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1

1 (x)


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derivando obtenemos

P ′(x) = 3ax2 + 2bx − a

Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema

{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0

→{

a = 1/4b = −1/4

→ H1−1(x) = (x2−1)(

14

x +14)


01 (x),H

1−1(x),H



P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0

1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1

1 (x)


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derivando obtenemos

P ′(x) = 3ax2 + 2bx − a


→{

a = 1/4b = −1/4

→ H1−1(x) = (x2−1)(

14

x +14)


01 (x),H

1−1(x),H



P(x) = ?H0−1(x) +?H0

1 (x) +?H1−1(x) +?H1

1 (x)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 12 / 34

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derivando obtenemos

P ′(x) = 3ax2 + 2bx − a


→{

a = 1/4b = −1/4

→ H1−1(x) = (x2−1)(

14

x +14)


01 (x),H

1−1(x),H



P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0

1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1

1 (x)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 12 / 34

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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos

Los polinomios de grado alto tienden a oscilar.

EjemploEl polinomio base de Lagrange que verifica P(0) = 1 y P(xi) = 0sobre los puntos xi = −5,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,5 es

P(x) =

(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 16)(x2 − 25)(−5)(−4)(−3)(−2)(−1)(1)(2)(3)(4)(5)


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Los polinomios de grado alto tienden a oscilar.

EjemploEl polinomio base de Lagrange que verifica P(0) = 1 y P(xi) = 0sobre los puntos xi = −5,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,5 es

P(x) =(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 16)(x2 − 25)(−5)(−4)(−3)(−2)(−1)(1)(2)(3)(4)(5)


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Cuando se trabaja con muchos puntos de interpolación, se sueleinterpolar la función utilizando polinomios a trozos, definiendo unpolinomio distinto para cada intervalo [xi , xi+1]. La técnica másconocida son los splines cúbicos, que son polinomios de grado 3. Portanto, tendremos un polinomio de grado 3 distintoP i

3(x) = di(x − xi)3 + ci(x − xi)

2 + bi(x − xi) + ai para cada intervalo[xi , xi+1]. Si hay N + 1 puntos, el número de polinomios es N. Paradefinir estos polinomios, se imponen las siguientes condiciones:

P i3(xi) = f (xi) i = 0, ..,N − 1

P i3(xi+1) = f (xi+1) i = 0, ...,N − 1

∂P i3

∂x(xi+1) =

∂P i+13

∂x(xi+1) i = 0, ..,N − 2

∂2P i3

∂x2 (xi+1) =∂2P i+1

3∂x2 (xi+1) i = 0, ...,N − 2


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TeoremaSi P i

3(x) = di(x − xi)3 + ci(x − xi)

2 + bi(x − xi) + ai , i = 0, ..,N − 1,satisface las condiciones anteriores, entonces

ai = f (xi) i = 0, ..,N di =ci+1 − ci

3hii = 0, ..,N − 1 (1)

bi =ai+1 − ai

hi− hi (2ci + ci+1)

3i = 0, ..,N − 1

hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)

hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1

para i = 1, ..,N − 1. donde hi = xi+1 − xi .. La última relacióndetermina un sistema de ecuaciones en las variables ci . Dichosistema tiene N + 1 incognitas (c0, ..., cN) y N − 1 ecuaciones. Paracompletar dicho sistema, se suele imponer que c0 = cN = 0.


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EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 =

0. En este caso hi = 1. Debemos definir3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].

Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi) :

a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2

Los términos ci se calculan utilizando la relación


hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1

lo que lleva al sistema{

4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9

→(

c1c2

)=

(−2,22,8

)


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EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este caso hi =

1. Debemos definir3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].


a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9

→(

c1c2

)=

(−2,22,8

)


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EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este caso hi = 1. Debemos definir?

que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y [2,3].


a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9

→(

c1c2

)=

(−2,22,8

)


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EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este caso hi = 1. Debemos definir3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].


a0 = ? a1 = ? a2 = ? a3 = ?



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9

→(

c1c2

)=

(−2,22,8

)


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a0 = 0 a1 = ? a2 = ? a3 = ?



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9

→(

c1c2

)=

(−2,22,8

)


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a0 = 0 a1 = 1 a2 = ? a3 = ?



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9

→(

c1c2

)=

(−2,22,8

)


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a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = ?



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9

→(

c1c2

)=

(−2,22,8

)


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a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1

lo que lleva al sistema

{4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9

→(

c1c2

)=

(−2,22,8

)


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a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9

→(

c1c2

)=

(−2,22,8

)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 34

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Los valores bi se calculan utilizando bi =ai+1−ai

hi− hi (2ci+ci+1)

3

b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133

Los valores di se calculan utilizando di =ci+1−ci

3hi

d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933

Por tanto, los polinomios son

P0(x) = −0,733x3 + 1,733x

P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1

P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)


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hi− hi (2ci+ci+1)

3

b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133


3hi

d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933


P0(x) = −0,733x3 + 1,733x

P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1

P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)


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hi− hi (2ci+ci+1)

3

b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133


3hi

d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933


P0(x) = −0,733x3 + 1,733x

P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1

P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)


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a continuación se muestra una gráfica con los 3 polinomiosconcatenados en el intervalo [0,3]. Como puede observarse no seaprecia nada irregular en las uniones de los intervalos. Parece unaúnica función


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Presentamos ahora las gráficas de la función derivada y derivadasegunda de la misma función:

derivada primera derivada segunda


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Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal

Una base de funciones interpolantes muy utilizada en la teoría deFourier es la base formada a partir de la función seno cardinal,definida por

sin c(x) =sin(x)

x


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Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0.

Dada una función f (x),su función interpolante en los puntos xi = a · i para i = M, ...,N vienedada por la función

f̃ (x) =N

∑i=M

f (xi)sin(π

( xa − i

))

π( x

a − i)

Esta base de funciones se suele utilizar cuando a partir de una señalmuestreada (por ejemplo una señal de sonido que se muestreaguardando el valor de la señal cada cierto intervalo de tiempo)queremos recuperar la señal original (por ejemplo para oir el sonidoalmacenado digitalmente).


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Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0. Dada una función f (x),su función interpolante en los puntos xi = a · i para i = M, ...,N vienedada por la función

f̃ (x) =N

∑i=M

f (xi)sin(π

( xa − i

))

π( x

a − i)



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Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0. Dada una función f (x),su función interpolante en los puntos xi = a · i para i = M, ...,N vienedada por la función

f̃ (x) =N

∑i=M

f (xi)sin(π

( xa − i

))

π( x

a − i)



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EjemploSi f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2. La interpolación utilizando lafunción seno cardinal es:

f̃ (x) = ?sin(π (x − 1))π(x − 1)

+?sin(π (x − 3))π(x − 3)


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EjemploSi f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2. La interpolación utilizando lafunción seno cardinal es:

f̃ (x) = 1sin(π (x − 1))

π(x − 1)+ 2

sin(π (x − 3))π(x − 3)


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Comparación del sin x (en azul) con su aproximación utilizandosin c(x) (en rojo) tomando como puntos de interpolaciónx=−π, −π

2 ,0, π2 ,π.


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Interpolación de funciones IIComparación de la interpolación de Lagrange, los splines cúbicos y seno cardinal.

Polinomio de Lagrange (línea verde), splines cúbicos (línea azul), y lainterpolación por sin c(x) (línea roja).


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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos para aproximar funciones ondulatoriasperiódicas

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x)


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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Funciones base

f (x) = 2︸︷︷︸amplitud

cos( 1︸︷︷︸frecuencia

x) −2︸︷︷︸amplitud


x)+ 6︸︷︷︸amplitud


x)

azulcos ?x

rojocos ?x

verdecos ?x


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x)

azulcos 1x

rojocos ?x

verdecos ?x


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x)

azulcos 1x

rojocos 2x

verdecos ?x


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x)

azulcos 1x

rojocos 2x

verdecos 4x


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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos

Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx =

cos kx + i sin kx

cos kx =eikx + e−ikx

2sin kx =

eikx − e−ikx

2

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =

= 1eix + 1e−ix − 1ei2x − 1e−i2x + 3ei4x + 3e−i4x

Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π)usando polinomios trigonométricos

f (x) ≈N

∑k=−N

ckeikx


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Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = cos kx + i sin kx

cos kx =

eikx + e−ikx

2sin kx =

eikx − e−ikx

2

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =



f (x) ≈N

∑k=−N

ckeikx


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2sin kx =

eikx − e−ikx

2

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =



f (x) ≈N

∑k=−N

ckeikx


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2sin kx =

eikx − e−ikx

2

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =

= ?eix +?e−ix −?ei2x −?e−i2x +?ei4x +?e−i4x


f (x) ≈N

∑k=−N

ckeikx


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2sin kx =

eikx − e−ikx

2

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =



f (x) ≈N

∑k=−N

ckeikx


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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de lospolinomios trigonométricos

TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio

E(c−N , .., cN) =∫ π

−π

(f (x)−

N

∑k=−N

ckeikx

)2

dx son ck =

∫ π−π f (x)e−ikxdx

2π

Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :

∂E∂ck

(c−N , ..., cN) =

2∫ π

−π

(f (x)−

N

∑l=−N

cleilx

)eikxdx = 0

la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π

−πeilxeikxdx =

∫ π

−πei(l+k)xdx =

ei(l+k)x

i(l + k)

]π

−π

=

{2π si l = −k0 si l 6= k


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E(c−N , .., cN) =∫ π

−π

(f (x)−

N

∑k=−N

ckeikx

)2

dx son ck =


2π


∂E∂ck

(c−N , ..., cN) = 2∫ π

−π

(f (x)−

N

∑l=−N

cleilx

)eikxdx =

0


−πeilxeikxdx =

∫ π

−πei(l+k)xdx =

ei(l+k)x

i(l + k)

]π

−π

=

{2π si l = −k0 si l 6= k


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E(c−N , .., cN) =∫ π

−π

(f (x)−

N

∑k=−N

ckeikx

)2

dx son ck =


2π


∂E∂ck

(c−N , ..., cN) = 2∫ π

−π

(f (x)−

N

∑l=−N

cleilx

)eikxdx = 0


−πeilxeikxdx =

∫ π

−πei(l+k)xdx =

ei(l+k)x

i(l + k)

]π

−π

=

{2π si l = −k0 si l 6= k


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E(c−N , .., cN) =∫ π

−π

(f (x)−

N

∑k=−N

ckeikx

)2

dx son ck =


2π


∂E∂ck

(c−N , ..., cN) = 2∫ π

−π

(f (x)−

N

∑l=−N

cleilx

)eikxdx = 0


−πeilxeikxdx =

∫ π

−πei(l+k)xdx =

ei(l+k)x

i(l + k)

]π

−π

=

{2π si l = −k0 si l 6= k


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E(c−N , .., cN) =∫ π

−π

(f (x)−

N

∑k=−N

ckeikx

)2

dx son ck =


2π


∂E∂ck

(c−N , ..., cN) = 2∫ π

−π

(f (x)−

N

∑l=−N

cleilx

)eikxdx = 0


−πeilxeikxdx =

∫ π

−πei(l+k)xdx =

ei(l+k)x

i(l + k)

]π

−π

=

{2π si l = −k0 si l 6= k


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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación

Consideremos la función

f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]

Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3.Los valores de ck son

c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =

∫ π−π f (x)e−ixdx

2π=

1π

= c−1

c2 =

∫ π−π f (x)e−2ixdx

2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3

Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es

P3(x) =12+

2π

cos(x)− 23π

cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+

2π

cos(x)− 23π

cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+

2π

cos(x)− 23π

cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+

2π

cos(x)− 23π

cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) = ?+? cos(x)−? cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+? cos(x)−? cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+

2π

cos(x)−? cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+

2π

cos(x)− 23π

cos(3x)


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La siguiente gráfica muestra la aproximación entre f (x) y P3(x):


Documents

University of Las Palmas de Gran Canaria - Métodos ...lalvarez/teaching/mn/2012...Polinomio de Hermite H1 1 (x) Polinomio de Hermite 1 x) Luis Alvarez León Métodos Numéricos Grado