Vetores

Segmento de Reta Orientado

Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r

Ao segmento de reta AB, podemos associar 2 sentidos : de A para B e de B para A

Escrevemos AB para representar o segmento de reta AB associado com o sentido de A para B

AB é o segmento orientado de origem A e extremidade B

BA é o segmento orientado de origem B e extremidade A

Chamamos BA , oposto de AB Se A = B então o segmento orientado AB =

BA é o segmento nulo, denotado por AA = 0

Definida uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado, pode-se associar um número real não negativo que é a sua medida em relação a esta unidade

A medida do segmento AB é denotada por med(AB)

Os segmentos nulos têm medida igual a zero. med(AB) = med(BA)

Dados dois segmentos orientados não nulos AB e CD, dizemos que eles têm mesma direção, se as retas suportes destes segmentos são paralelas ou coincidentes

Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados, se eles têm a mesma direção

Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários, mas têm a mesma direção

Exemplos – Mesmo sentido

Exemplo – Sentidos Opostos

Equipolência

O segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD se:

ambos têm mesma medida e mesmo sentido se ambos são segmentos nulos

Denota-se: AB ~ CD

Exemplos

Exemplos

Propriedades

1. AB ~ AB (reflexiva)

2. Se AB~CD então CD~AB (simétrica)

3. Se AB~CD e CD~EF então AB~EF (transitiva)

Propriedades

4. Dados um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB~CD

5. Se AB~CD então BA~DC

6. Se AB~CD então AC~BD

Vetores

Chamamos vetor determinado por um segmento orientado AB, ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB

O vetor determinado por AB, indicamos por AB

Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se AB~CD

Um vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, que são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolentes entre si

Os segmentos nulos são representantes de um único vetor, chamado vetor nulo, e denotado por 0

Dado um vetor v = AB, chamamos o vetor BA oposto de AB e indicamos por -AB ou -v

Propriedade

Decorre da propriedade 6 de equipolência a implicação:

Se AB = CD então AC = BD

Dado um vetor u , todos os seus representantes têm a mesma medida, chamada módulo do vetor u, e indicamos por |u |

Dizemos que os vetores AB e CD não nulos têm mesma direção (mesmo sentido), se AB e CD têm mesma direção (mesmo sentido)

Um vetor u é unitário se |u| = 1. Chamamos versor de um vetor não nulo u, o vetor unitário que tem mesmo sentido de u, e indicamos por u°

Dizemos que dois vetores não nulos são ortogonais, se podem ser representados por segmentos orientados ortogonais, e indicamos por u _v

O vetor Nulo é ortogonal a qualquer outro vetor no espaço

Soma – Ponto + vetor

Dados um ponto A e um vetor v, existe um único ponto B tal que AB = v. O ponto B é a soma do ponto A com o vetor v, Indicado por A + v

Propriedades

1. A + 0 = A

2. (A – v ) + v = A

3. Se A+ v =B+ v então A = B

4. Se A+ u= A+ v, então u = v

5. A + AB = B

Soma – Vetor + Vetor

Considere dois vetores u e v , e um ponto qualquer A. Sejam B = A +u e C = B + v

O vetor s = AC é chamado vetor soma de u e v e indicamos por s = u + v

Observemos que o vetor s =u+ v independe do ponto A. De fato, se considerarmos outro ponto A’ obteremos B’ =A’ + u e C’= B’+ v

Assim, AB = A’B’ e BC = B’C’

Usando a propriedade 1 de Vetores , concluímos que : AA’ = BB’ e BB’ = CC’

AA’ = CC’ e portanto AC = A’C’

Propriedades

(1) u + v = v + u ( comutativa )

(2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa )

(2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa)

(3) u + 0 = u ( elemento neutro )

(4) u +(-u)= 0 ( elemento oposto )

Indicamos o vetor u + (- v) por u - v.

Notemos que u – v ≠ v - u

Produto de um número Real por um Vetor Dados a R* e v ≠ 0 , chamamos produto

de a por v, o vetor w = av , que satisfaz as condições: 1. | w | = | a | | v | 2. A direção de w é a mesma da v 3. O sentido de w é igual ao de v se a >

0, e contrário ao de v se a < 0 Se a = 0 ou v = 0, o produto av é o vetor

nulo

Exemplos

Se a ≠ 0 , o produto 1/a v é indicado por v/a. Se v ≠ 0, é fácil mostrar que v/| v | é o versor de v

vº = v/| v |

portanto v =| v | v°

Propriedades

Considere u e v vetores quaisquer, a e b números reais quaisquer

(1) a(b v) = (ab) v (2) a(u + v) = au + av (3) (a + b)v = av + bv (4) 1 v = v

Exercícios

Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w

u

w

v

Exercícios 1

Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w

u

w

v

2u

-3v

w/2

Exercício 2

O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD, Sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB. Encontre

AD+AB BA+DA AC-BC

A N B

M CD

Exercício 2

AN+BC MD+MB BM-1/2DC

A N B

M CD

Exercício 2

AD+AB=AC BA+DA=CD+DA=CA AC-BC=AC+CB=AB AN+BC=AN+NM=AM MD+MB=MD+DN=MN BM-1/2DC=BM+MD=BD

A N B

M CD