Hay 2 tipos de soluciones:

1. Usando simetrias

2. Contando segmentos

Lo mas facil, visual y elegante es usando simetrias.  Las soluciones de Maito (su solucion 1) y Miquel son muy

buenos ejemplos. JCMM tambien recurre a las simetrias sin esquemas. Las simetrias horizontal y vertical se

usan siempre sin problema. Se puede recurrir a las simetrias respecto a las diagonales o no, pero al hacerlo no

hay que olvidarse que tanto los segmentos superpuestos a las diagonales como los que las cortan

perpendicularmente son la imagen de ellos mismos. Hay que emparejarlos o contarlos y ver que son multiplos

de 8 (ver solucion de Miquel). Jabon, tu solucion fue la mas corta pero se te paso contar los segmentos

perpendicularres a las diagonales.  De todas estas destaco las de Maito y Miquel por sus ilustraciones (las de

Miquel muy navidenyas).

Un poco mas tecnico es recurrir a contar segmentos, ver las soluciones impecables de Javier D y Pedro Correa.

JC tambien opto por este camino pero se olvido de las pendientes como x,y=(2,3) o (4,7), etc.

Nadie ha demostrado correctamente que pasa cuando N es impar (Javier D y Miquel lo intuyen sin

demostrarlo). Veamos que el unico N impar con segmentos multiplos de 8 es N=3.

Prosigamos con el razonamiento de Javier D

x,y (lo que el llama f,c) han de ser primos relativos. Esto se cumple si y solo si existen

dos numeros enteros a,b, tal que:

ax+by=1

Para todo par de primos relativos x,y tal que y>2, y>x, existe otro par de primos relativos

dado por: y-x, y

facilmente demostrable pues:

-a(y-x)+(b+a)y = ax+by= 1

Esta propiedad es como otra simetria mas del problema. Por ejemplo para el caso de la diagonal larga

(x,y)=(1,3) su simetrica “primo relativo” es (2,3). Tambien hay un caso que es su propia imagen en

esta simetria, este es (1,2).

Asi pues a partir de y=3 los primos relativos vienen siempre de 8 en 8.

Usando esta propiedad el numero de segmentos para N>4 se puede reescribir como:

donde el primer sumando comprende los pares (1,0), (0,1), (1,1) y (-1,1) y es multiplo de 8 siempre.

El segundo sumando comprende (2,1), (-2,1), (1,2) y (-1,2) y solo es multiplo de 8 para N par.

Por ultimo, el sumatorio comprende todos los casos con y>2. La funcion PR(x,y) es 1 si x,y

son primos relativos, en caso contrario PR(x,y) vale 0. Esta ultima contribucion es siempre multiplo de 8.

Aqui ya se puede concluir que solo existe un N impar con segmentos multiplos de 8, N=3

(otro enunciado interesante para el problema). Para simplificar la ecuacion y por cuestiones

didacticas se puede reemplazar el sumatorio sobre x por la funcion indicatriz de Euler (o phi), que nos da el

numero de primos relativos  x,y tal que x<y, asi quedaria:

La funcion indicatriz de Euler es par para todo y>2.

Todas las formas de calculo me han llevado a que para N=50 hay 476160 segmentos

(como decian alfalfa, Javier D, Miquel y creo que Pedro (no corri el Excel)).

Tal y como decia alfalfa, en esta ecuacion se ve que cuando N es par y no es multiplo de 4 (por lo que

N-2 si es multiplo de 4) todos los terminos son multiplos de 16 (pues 4*(N-2) es multiplo de 16 y 8*(N-2y) con

N par tambien es multiplo de 16). Este es otro enunciado interesante para el problema.

Me han gustado mucho todas las soluciones, como son pocas podeis echarles un ojo y elegir vosotros la mejor.

Creo que la de Maito es particularmente clara, la de Miquel navidenya y las de Javier D y Pedro rigurosas y

tecnicas. Por supuesto esto es solo mi opinion personal, y vosotros que pensais?