Volume 1 Ana Carolina

7/23/2019 Volume 1 Ana Carolina

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Aspectos históricos darégua de cálculo para aconstrução de conceitos

matemáticos

Volume 1





Ana Carolina Costa Pereira

Volume 1

Aspectos históricos darégua de cálculo para a

construção de conceitosmatemáticos



Série História da Matemática para o Ensino

VOLUME 1

Editor responsável: José Roberto MarinhoCoordenadores da Série: Iran Abreu Mendes e Bernadete Morey

Co-edição: Sociedade Brasileira de História da Matemática

Capa, Projeto Gráfico e Diagramação: Waldelino Duarte

Revisão: a autora

Diretoria da SBHMAT

Presidente: Sergio Nobre (UNESP)

Vice-Presidente: Clóvis Pereira da Silva (UFPR)

Secretário Geral: Iran Abreu Mendes (UFRN)

Tesoureiro: Bernadete Morey (UFRN)

1° Secretário: Mariana Feiteiro Cavalari (UNIFEI)

Membros Conselheiros: Romélia Alves Souto (UFSJ)

Lígia Arantes Sad (UFES)

Conselho fiscal: Fabio Maia Bertato (UNICAMP)

Carlos Roberto Moraes (UNIARARAS)

Ficha Catalográfica

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam

quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora.

Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107

da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998

Editora Livraria da Física

www.livrariadafisica.com.br



Comissão Científica do XI SNHM

Iran Abreu Mendes Presidente da Comissão - UFRN

Antonio Vicente Marafioti Garnica UNESP/Rio Claro; UNESP/Bauru

Bernadete Barbosa Morey UFRN

Carlos Henrique Barbosa Gonçalves USPCarlos Roberto Moraes UNIARARAS/SP

Eva Maria Siqueira Alves UFS

Fabio Maia Bertato UNICAMP

Fernando Guedes Cury UFRN

Fumikazu Saito PUC/SP

Giselle Costa Sousa UFRN

Ítala Maria Loffredo D’ottaviano UNICAMP

João Cláudio Brandemberg Quaresma UFPA

John Andrew Fossa UFRNLígia Arantes Sad UFES

Liliane dos Santos Gutierre UFRN

Lucieli Trivizoli UEM/PR

Marcos Vieira Teixeira UNESP/Rio Claro

Maria Célia Leme da Silva UNIFESP/SP

Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha IFPA

Mariana Feiteiro Cavalari UNIFEI/MG

Maria Terezinha de Jesus Gaspar UNB/DF

Miguel Chaquiam UEPA/PA

Romélia Alves Souto UFSJ/MG

Sergio Roberto Nobre UNESP/RIO Claro

Tatiana Roque UFRJ

Ubiratan D’Ambrosio USP

Wagner Rodrigues Valente UNIFESP/SP





Sumário

Abertura ................................................................................................................................ 9Introdução .........................................................................................................................11

Tópico 1

A Influência dos Logaritmos para a Régua de Cálculo ..........................17A ideia do nascimento dos Logaritmos .......................................... 20Os logaritmos de Napier ............................................................................ 22Atividades do Tópico 01 ............................................................................. 30

Tópico 2

A régua de cálculo:uma história que envolve sua construção .......................................................31

Antecessores da régua de cálculo........................................................ 33Atividades do Tópico 02 ............................................................................. 45

Tópico 3

Construção da Régua de Cálculo .........................................................................47Construção da Régua de Cálculo Linear ....................................... 51Operando com a Régua de Cálculo ................................................... 53Multiplicando com a Régua de Cálculo ......................................... 53Dividindo com a Régua de Cálculo ................................................... 54Estudando potências com a Régua de Cálculo ........................ 55Extraindo raízes com a Régua de Cálculo .................................... 55



Réguas de Cálculos após Oughtred .................................................. 56Régua de Cálculo aplicada no Ensino de Matemática ....... 57

Atividade do Tópico 03 ................................................................................ 58

Referências .........................................................................................................................61

APÊNDICE. Biografias de Matemáticos .........................................................65Biografia de John Napier ............................................................................ 65Biografia de Jost Bürgi .................................................................................. 67Biografia de Henry Briggs ......................................................................... 68

Biografia de Edmund Gunter ................................................................. 69Biografia de William Oughtred ............................................................. 70

A autora ...............................................................................................................................73

Volumes desta Série .....................................................................................................75



Abertura

Apublicação de livros sobre história da matemática parauso didáticos pelos professores de Matemática tevesua origem no IV Seminário Nacional de História da

Matemática (IV SNHM), realizado em Natal (Rio Grande doNorte), em 2001. Naquele ano foram publicados nove títu-los referentes a temas variados. A receptividade dos textos,por parte de estudantes de licenciatura em matemática e porprofessores dos três níveis de ensino (fundamental, médio esuperior), fez com que a sociedade brasileira de história damatemática levasse em frente o projeto, de modo a contribuirpara a divulgação e uso dessa produção nas aulas de matemá-

tica nos diversos níveis de ensino. Com essa finalidade seguiram-se as coleções de 2003no V SNHM em Rio Claro (SP), de 2005 em Brasília (DF), noVI SNHM, de 2007 em Guarapuava, no VII SN HM, em Be-lém/Pará no VIII SNHM de 2009, em Aracaju no IX SNHM de2011 e em Campinas no X SNHM de 2013.

Para o XI SNHM de 2015, consideramos importanteapresentar aos professores de Ensino Fundamental, Médio e

Superior e aos estudantes de Licenciatura em Matemática detodo o Brasil, um rol mais diversificado de temas, tendo emvista o avanço dos estudos sobre História da Matemática nos



diversos centros de estudos do país. Nessa perspectiva orga-nizamos os 09 volumes na Série História da Matemática para

o Ensino.Este volume propõe um estudo dos conceitos matemáti-

cos envolvidos na construção da Régua de Cálculo tomandocomo base as obras que deram origem ao instrumento, data-das no século XVII, nas perspectiva de agregar valores e pro-duzir no aluno uma aprendizagem de conceitos que não sãoadquiridos tão facilmente em sala de aula.

Iran abreu mendesBernadete morey(Organizadores)



Introdução

Omovimento de Educação Matemática tem se preo-cupado em estudar a diversidade de recursos di-dáticos para que o docente possa agregar valores e

produzir no aluno, uma construção de conceitos que nãosão adquiridos tão facilmente em sala de aula.

Dentre as possibilidades, o uso da História da Mate-mática no ensino pode incorporar valores que vão alem docaráter conceitual matemático, atingindo aspectos sociais,políticos e econômicos que fazem parte da formação doprofessor.

Dessa forma, a História da Matemática também estásendo utilizada como um recurso pedagógico de ensino,ganhando destaque no meio acadêmico-educacional. Den-tre pesquisas que estão sendo realizadas, podemos citar otrabalho de Fauvel e Maanen (2000) que tem como objetivoinvestigar como o ensino e o aprendizado da Matemáticapodem ser utilizados na integração da História da Matemá-tica em todos os aspectos da Educação Matemática: lições,

trabalhos de casa, texto, leituras, projetos. Concordamoscom Saito e Dias (2011) quando eles discutem a atual utili-zação da História da Matemática na sala de aula:



12 Aspectos históricos da régua de cálculo para a construção de conceitos matemáticos

(...) ressaltar que ao levar para a sala de aula Histórias queestão nos livros didáticos, atualmente representativas

de uma vertente historiográfica tradicional, o educadortende a reforçar a concepção linear do desenvolvimentodo conhecimento. Dessa maneira, o conhecimento mate-mático é visto como uma sucessão de fatos, organizadosformal e cronologicamente, omitindo debates e outrasquestões “extraMatemáticas” que, direta ou indiretamen-te, estiveram ligadas no momento de sua formulação.Além disso, essa perspectiva historiográfica apresenta aMatemática isolada e apartada de outras áreas do conhe-cimento, das quais recebeu e também deu contribuições(SAITO; DIAS, 2011, p. 10).

Refletir sobre as vantagens do uso da História da Mate-mática no ensino é importante para discussões na área. “Paratanto, deve ser observado dois aspectos importantes: o con-texto histórico no qual conceitos matemáticos são desenvol-

vidos e o movimento do pensamento em que tais conceitosforam concebidos ou articulados” (SAITO; DIAS, 2011, p. 10).A utilização de instrumentos que foram importantes no de-correr da História das Ciências é uma ponte para relacionar aHistória da Matemática e o ensino.

Os artefatos são objetos que foram produzidos em umdeterminado tempo e que retratam o contexto cultural e social

da época. Ele geralmente possui uma utilidade prática e ou-tra simbólica que marcam características de uma civilização.Para Oliveira (2009) os artefatos históricos são fotografias,imagens, documentos escritos, textos de livros de História daMatemática, de livros didáticos das disciplinas História e Ma-temática, revistas, enciclopédias, réplicas de papiros, tabletesde argila e outros documentos históricos, são instrumentosdotados de significados dentro de um contexto cultural e so-

cial, que nos fornecem informações sobre os acontecimentos etransformações ocorridas nas civilizações ao longo de toda ahistória da humanidade.





14 Aspectos históricos da régua de cálculo para a construção de conceitos matemáticos

A aplicação dos materiais concretos é influenciada porvários fatores que vão desde a didática, a prática quanto à me-

todologia. Alguns destes materiais são vendidos no comércio,outros podem ser construídos. O envolvimento dos alunos edo professor na construção desse recurso poderá ocasionaruma construção de conceitos matemáticos que serão adquiri-dos no decorrer do seu desenvolvimento, nesse caso o profes-sor tem um papel importante que é o de mediador.

Dentre as formas que podemos aplicar essa ideia, consi-

deramos que unir os materiais concretos e a História da Ma-temática poderá ser uma forma de juntar o novo com o antigoe possibilitar a expansão de conhecimentos não só matemá-ticos, mas também sociais, políticos e econômicos da época,

bem como a importância da utilização do recurso para umaépoca.

Acreditamos que a construção, a utilização e a realizaçãodas atividades propostas para uso do instrumento, possam

permitir ao aluno, visualizar as relações entre conceitos daMatemática e outras ciências, levando-o à compreensão denoções matemáticas, possibilitando, assim, a aprendizagemdos conteúdos ensinados.

Dentre os instrumentos históricos que sugerimos sertrabalhados em sala de aula classificamos-os em três tipos:matemáticos, astronômicos, de agrimensura. No que refere

aos instrumentos astronômicos, conhecemos os quadrantes(náuticos, geométrico, trigonométrico), o octante, o sextan-te, a balestilha, o kamal, o Bastão de Jacobi, etc que na suamaioria serviam para medir distâncias. Dentre os relaciona-dos à Matemática podemos citar os compassos (com pontasmóveis, proporcional, triangular, náuticos, topográfico, mili-tar, calibre, etc), transferidores, esquadros e as réguas. Os ins-trumentos de agrimensura encontramos o Chorobate que está

exposto na obra de Vitruvio (século I a.C), a dioptra de Heronde Alexandria, a Groma ou Gromaticus, galvanômetro, o gonio-

gráfico, etc.



15Série História da Matemática para o Ensino

Produzida no século XVII por William Oughtred, a Ré-gua de Cálculo teve seus estudos iniciados na Escócia, em

1588, a partir de estudos de logaritmos, quando John Napierprocurava uma relação sistemática de correspondência entreprogressões aritméticas e geométricas. Oughtred, em 1622,aperfeiçoou os estudos estruturando a Régua de Cálculo. Quetransformava multiplicações e divisões em simples somas esubtrações, no qual foi bastante utilizada em escolas de enge-nharias da época.

Nesse trabalho iremos no deter no estudo histórico da ré-

gua de cálculo, estudando o contexto social, político e econô-mico da época, sua relação com os logaritmos, os personagensque foram importantes para seu surgimento, os instrumentospercussores que serviram como base para sua confecção, suaconstrução e utilização.

Nosso intuito é apresentam ao professor a partir naconstrução conceitual da régua de cálculo, aspectos matemá-

ticos que possam introduzir e/ou reforçar conteúdos. Nessesentido, esse instrumento seria uma forma de colaborar compráticas que podem ajudar a desmistifica a Matemática e aomesmo tempo construir conceitos que os alunos consideramdistante da sua realidade.





Tópico

1

A Influência dos Logaritmospara a Régua de Cálculo





19Série História da Matemática para o Ensino

AEuropa, a partir do século XIV, começa a sofrer trans-formações econômicas advindas de uma revoluçãocomercial impulsionada pelas cruzadas e das novas

tecnologias na construção de navios, ocasionando nos próxi-

mos dois séculos o florescimento cultural denominado Renas-cimento.O Renascimento foi um movimento de renovação e revi-

goramento intelectual verificado no campo Literário, Artísti-co e Científico, em continuação a cultura medieval e inspiradanos modelos da cultura grego-romana que renovou o interes-se pela arte e a ciência antiga e se processou na Europa nosséculos XV e XVI.

No Renascimento Literário, um grande personagemque contribuiu consideravelmente foi o Cardeal Bessarion,que chegou a possuir 600 manuscritos gregos, criando umambiente propício e entusiasmado para as letras. Fizeramsucesso autores como Camões, em Portugal; Miguel de Cer-vantes, na Espanha; Ariosto, nas Itália; etc. No RenascimentoArtístico, área que atingiu a mais elevada perfeição, produziu

artistas com características de universalidades, ou seja, o ar-tista eram pintores, arquitetos, escultores, e ate mesmo poe-tas, engenheiros, anatomista, físico, inventor, cartógrafo, geó-logo, astrônomo, compositor, cozinheiro e Matemático, comoLeonard da Vinci (1452-1519) considerado por muitos autorescomo “o homem do Renascimento”. Artistas italianos comoNicolo Maquiavel (1469-1527), Bramante (1444-1514), Buo-narroti Michelangelo (1475-1584), Rafael (1483-1520) fizeram

sucesso com suas obras.Porém, não foi só o movimento literário e artístico que

foram desenvolvidos no Renascimento, o Científico também



A t hi tó i d é d ál l t ã d it t áti

teve bastante impulso. A Astronomia, Astrologia, Construçãode Navios, Problemas de balística, Construção civil, Pers-

pectiva, Aritmética e Álgebra, etc. foram desenvolvidasnesse período. Nomes como Johann Müller Regiomontanus(1436-1476) que traz a discussão do primeiro texto de tri-gonometria “pura” escrito na Europa; Gerônimo Cardano(1501-1576), Scipione del Ferro (1465-1526), Niccolò Fonta-na Tartaglia (1500-1557) e Rafael Bombelli (1526 – 1572)com as soluções das equações do terceiro e quarto grau;Nicolau Copérnico (1473-1543) e o sistema heliocêntrico, a

arte analítica de François Viète (1540-1603), Johannes Ke-pler (1571-1630) e as orbitas elípticas, entre outros contri-

buíram para o desenvolvimento de muitas áreas.Na história do desenvolvimento da Matemática pode-

mos perceber que, a partir do século XVI, ramos indepen-dentes dessa ciência começaram a florescer com mais in-tensidade, embora muitas dessas áreas tiveram sua origem

na antiguidade. Dentre essas áreas, podemos encontrar osLogaritmos, criando por John Napier (1550 – 1617) com ointuito de diminuir o trabalho envolvido em cálculos nu-méricos. Isso se deu principalmente pelo fato que na se-gunda metade do século XVI vários matemáticos dedica-ram-se ao cálculo das tabelas de funções trigonométricasnaturais. Dentre os cientistas mais proeminentes a este fatoencontramos o Georg Joachim Rheticus que construiu uma

tabela de senos para cada 10 segundos com 15 casas deci-mais publicado em 1613 por Bartholomeus Pitiscus (1561-1613). (Hobson, 1914).

A ideia do nascimento dos Logaritmos

Existem duas versões sobre o nascimento da ideia dos

logaritmos. A primeira está relacionada à utilização de formastrigonométricas que transformava multiplicação em adição esubtração. Ela se baseia no fato que nesse período muitos cál-

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