Wellington Evangelista Duarte Fernando Cardoso De Matos ... · Cardoso de Matos, Fernando. III. da Silva, Reginaldo Belém: XII EPAEM, 2019. (Coleção VI). 99 p. ISBN 978-65-5076-006-9

O USO DOS MATERIAIS MANIPULÁVEIS E SUAS

PESPECTIVAS NA ATIVIDADE MATEMÁTICA

Organizadores

Acylena Coelho Costa Fernando Cardoso de Matos Reginaldo da Silva

BELÉM - PARÁoutubro 2019

Wellington Evangelista DuarteFernando Cardoso De Matos

Reginaldo Da Silva

Organizadores Acylena Coelho Costa Fernando Cardoso de Matos Reginaldo da Silva

Comitê Científico - Coleção VI Demetrius Gonçalves de Araújo José Carlos de Sousa Pereira José Messildo Viana Nunes Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias Natanael Freitas Cabral Copyright © 2019 by EPAEM- 12º Edição Revisão de Texto e Bibliográfica: Os autores Projeto Gráfico e Diagramação: Demetrius Gonçalves de Araújo

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)Belém - Pará - Brasil

O Uso Dos Materiais Manipuláveis e Suas Pespectivas na Atividade Matemática

Belém : Sociedade Brasileira de EducaçãoMatemática - SBEM, 2019.

1. Educação - Finalidade e objetivos2. Aprendizado 3. Matemática (Ensino fundamental)

4. Matemática - Estudo e ensino 5. Prática de ensino 6. Professores -

Formação 7. Sala de aula - Direção I. Evangelista Duarte, Wellington. II.

Cardoso de Matos, Fernando. III. da Silva, ReginaldoBelém: XII EPAEM, 2019. (Coleção VI).

99 p.

ISBN 978-65-5076-006-9 (V.6) ISBN 978-65-5076-000-7 (Coleção) CDD 510.

Índices para catalogo sistemático:1. Matemática: Estudo e ensino 510.7

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora. Aos in-fratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei Nº 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.

XII ENCONTRO PARAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Diretoria Regional da SBEM-PA

Diretor: Fernando Cardoso de Matos Vice-diretor: Reginaldo da Silva Secretário: José Carlos de Sousa Pereira Secretário: José Messildo Viana Nunes Secretário: Demetrius Gonçalves de Araújo Secretário: Natanael Freitas Cabral Tesoureiro: Acylena Coelho Costa Tesoureiro: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias

Apresentação

Com o intuito de consolidar mais um espaço de divulgação da produção de conhecimento na região norte, a coleção Educação Matemática na Amazônia teve o lançamento de sua

sexta edição durante a realização do XII Encontro Paraense de Educação Matemática – XII EPAEM.

A partir do tema Educação Matemática: Teorias, Práticas e Reflexões, apresenta-se ao leitor um conjunto de obras diversificadas, tendo em vista os avanços dos estudos efetivados no âmbito da Educação Matemática em diversos centros de pesquisa do país.

Cada um dos 12 volumes apresenta múltiplas discussões e reflexões sobre teorias e práticas, as quais foram contempladas durante os minicursos disponibilizados no XII EPAEM. Espera-se, nesse sentido, que a publicação desse material permita que estudantes de graduação e pós-graduação, bem como professores dos níveis básico e superior, ampliem seu olhar crítico no que se refere à pluralidade de produções relativas à Educação Matemática.

Finalmente, almeja-se que essa coleção inspire reflexões e provoque transformações na trajetória acadêmica e profissional de cada um dos leitores.

Boa leitura!

Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias (Membro da Diretoria da SBEM-PA)

O USO DOS MATERIAIS MANIPULÁVEIS E SUAS PESPECTIVAS NA ATIVIDADE MATEMÁTICA

Wellington Evangelista DuarteFernando Cardoso De Matos

Reginaldo Da Silva

SUMÁRIO

ALGUMAS CONCEPÇÕES DO ENSINO DE MATEMÁTICA NO BRASIL ........................................................................................19O MATERIAL MANIPULÁVEL .....................................................37OS RECURSOS COMPUTACIONAIS ...........................................41OS JOGOS PEDAGÓGICOS ............................................................45TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS (TSD) ...........................49AS SITUAÇÕES .................................................................................55MODELAGEM DAS SITUAÇÕES ADIDÁTICAS .......................60DIALÉTICA DA AÇÃO ...................................................................61DIALÉTICA DA FORMULAÇÃO ..................................................64DIALÉTICA DA VALIDAÇÃO ......................................................66INSTITUCIONALIZAÇÃO .............................................................67ATIVIDADE ......................................................................................71REFERÊNCIAS ..................................................................................81SOBRE OS AUTORES .......................................................................91Educação Matemática na Amazônia - Coleção VI .....................93

Guiherme M. de Moraes - Wellington E. Duarte - Fernando Cardoso De Matos

13XII EPAEM -

INTRODUÇÃO

Desde os tempos mais remotos que recorrer a materiais concretos no ensino e aprendizagem de Matemática tem sido uma constante. O uso de materiais na sala de aula, iniciado no séc. XIX com Pestalozzi, tem tido altos e baixos e nem sempre foram bem aceitos ou mesmo usados corretamente. Muitas investigações foram realizadas, sobretudo durante os anos 1960-1970, sobre a sua utilização e os resultados não foram totalmente conclusivos. De qualquer modo, existem muitas situações no ambiente escolar onde os materiais se mostraram de grande utilidade, apesar de ser necessário ter atenção em vários aspectos, entre eles a própria organização da sala de aula, tendo em vista as condições e restrições pertencentes a esta organização.

Jardinetti (1991) afirma que em decorrência do elevado índice de reprovações em Matemática, surgiram no Brasil progressivas tentativas de melhoria de seu ensino. Dentre os problemas mais apontados, constatou-se que muitos livros didáticos têm transmitido uma concepção de Matemática formada por conceitos arbitrários, estanques, desconexos e justapostos. Buscando superar tal concepção muitos professores têm defendido a ideia de um ensino mais vinculado à realidade do aluno. Sob este

Coleção VI - Educação Matemática na Amazônia - V. 6

14XII EPAEM -

aspecto, é comum o discurso segundo o qual “a Matemática tem sido ensinada de maneira muito abstrata, distanciada da vivência cotidiana do aluno. É preciso torná-la mais concreta, mais próxima dos problemas que a realidade apresenta”.

Percebe-se haver aí de forma implícita uma concepção de abstrato e de concreto. O abstrato é entendido através de uma conotação pejorativa, como algo difícil de ser assimilado na medida em que se traduz por um vínculo não imediato com a realidade. Em decorrência desta não-imediaticidade, no momento pedagógico as abstrações são interpretadas como se fossem arbitrárias. Já o concreto é entendido como o imediato, como aquilo de que parte o pensamento no processo de apreensão do real. Em decorrência desse entendimento, é comum ver duas interpretações de concreto.

Na primeira interpretação, o concreto, na prática pedagógica, se traduz na utilização de “materiais concretos”, recursos audiovisuais, etc. Busca-se que o ensino não se reduza à assimilação de “enfadonhas abstrações” e, com esse objetivo, organiza-se toda sorte de atividades nas quais o “concreto” seja manipulado, observado, construído, desenhado, etc.

A segunda interpretação, de se tomar o concreto como o imediato, é aquela em que o concreto é associado ao cotidiano, ao não escolar. No caso da primeira interpretação, a ênfase pela atividade de construção, manipulação, observação, etc, de materiais “concreto-pedagógicos” muitas vezes chega a um tal grau de a-criticidade que acaba ganhando uma conotação “fetichizadora”. Esse fetichismo já fora apontado por Araújo (1987/88) em artigo da Revista “Educação em Questão”. O autor afirma (Araújo, 1987/88,


15XII EPAEM -

p.127): “Nos eventos sobre Educação Matemática, grande parte dos participantes buscam uma metodologia para ensinar melhor Matemática; uma forma mágica e fantasmagórica de eficiência, capaz, por si só, de produzir automaticamente bons resultados.

Percebe-se, em vários trabalhos apresentados, uma transparente apologia da metodologia de ensino; uma excessiva preocupação com materiais didáticos, como se fossem o ‘santo milagroso’ o fetiche - capaz de solucionar os problemas do ensino da Matemática”. Assim, mediante a organização de toda sorte de atividades, espera-se que, mediante a mera manipulação do concreto, haja, pela criança, a condução de um processo de construção do conhecimento. Nessa perspectiva, o “concreto” aparece como a solução mágica para superação das dificuldades de apreensão dos conceitos matemáticos. O problema é que, na maioria dos casos, tais atividades, na medida em que decorrem de uma reflexão a - crítica, em nada auxiliam no processo de apreensão dos conceitos pelo aluno. O “material concreto” é totalmente inadequado para os fins a que se propõe.

No ensino da Matemática demonstram que, por mais imaginativo que seja a produção e utilização de materiais “concretos”, sua ineficácia reside no fato de sua utilização não estar imbuída da lógica que permeia os conceitos. Quanto à segunda forma de tomar o concreto como o imediato, isto é, associando-o ao cotidiano, ao não-escolar. Por exemplo, é comum a defesa do uso do dinheiro como um material “concreto” eficaz para a apropriação das operações numéricas. Subentende-se que o verdadeiro concreto a ser tornado como ponto de partida do


16XII EPAEM -

processo de construção dos conceitos são situações do cotidiano da criança para serem exploradas pedagogicamente.

A conotação pejorativa dada ao abstrato e a ânsia a-crítica pela promoção de toda sorte de atividades (associadas ao cotidiano ou não) para manipulação do concreto impossibilitam a efetiva apropriação dos conceitos porque, entre outras coisas, trazem em seu bojo aspectos conflitantes para com a essência lógica que engendra e explica os conceitos matemáticos. Na verdade, o conhecimento matemático apresenta uma lógica própria de elaboração. Essa lógica engendra a formação de conceitos de tal forma que esses conceitos chegam a níveis de abstrações altíssimos que acarretam uma relação não imediata com os problemas do cotidiano. Porém a não imediaticidade das relações entre os conceitos matemáticos e o cotidiano não significa que as abstrações matemáticas sejam arbitrárias. Tais abstrações seguem pressupostos teóricos regidos por essa 1ógica que as explica e as engendra. Tal lógica se revela essencialmente relational, o que quer dizer que o conhecimento matemático tem por objeto essencialmente relações (Prado, 1956). Ao nível de seu ensino, o desafio que aí se apresenta é elaborar sequências de ensino-aprendizagem que efetivamente criem as condições para que o aluno se aproprie dessa 1ógica das relações, ou, em outras palavras, aprenda os conceitos, enquanto relações. Substituir a interconexão entre os conceitos pela sua relação com problemas empíricos na pretensa ideia de que a Matemática se estaria tornando mais “concreta” e, portanto, menos “abstrata”, em nada altera a questão fundamental, pois os conceitos matemáticos se mantêm fragmentários, estanques, aleatórios.


17XII EPAEM -

Entretanto, a literatura mostra que não se tem desenvolvido suficiente investigação sobre as relações entre os materiais didáticos e o processo de ensino e aprendizagem. A que se conhece tem-se debruçado principalmente sobre o livro didático, calculadoras, computadores e os manipuláveis. A investigação tem dado atenção especial ao livro didático, como sendo o material mais usado pelos professores do nível básico, e que indiscutivelmente tem uma grande influência no que é ensinado (Lindquist,1996). Nos últimos 20 anos, com o aparecimento das calculadoras e computadores, a investigação tem dado grandes contributos na influência que estes materiais têm no ensino da matemática, e hoje é praticamente inegável o seu valor educativo (APM, 1988; Papert, 1989; Ponte, 1997; NCTM,1980; Waits, 1997).

Ponderando o discurso acerca da utilização de materiais concretos na atividade matemática, vamos adentrar nas concepções de ensino de matemática que surgiram, historicamente, no âmbito da educação brasileira para, em seguida, designarmos as concepções as acerca deste material e qual nossa percepção com relação a sua utilização.


18XII EPAEM -


19XII EPAEM -

Capítulo 1

ALGUMAS CONCEPÇÕES DO ENSINO DE MATEMÁTICA NO BRASIL

Entendemos que, ao se falar em Educação Matemática, tendo como preocupação o ensino e a aprendizagem da Matemática, é necessário fazer considerações pertinentes sobre a qualidade do ensino dessa disciplina no Brasil e dos fatores que a influenciam no contexto histórico e social. Para Fiorentini (1995), muitos fatores estão relacionados à qualidade do ensino no Brasil. Dentre eles, o rigor e a formalização dos conteúdos matemáticos trabalhados na escola, o emprego de técnicas de ensino, o controle do processo de ensino e de aprendizagem visando à redução do número de reprovações e, ainda, a utilização de uma Matemática ligada ao cotidiano do aluno, relacionada à construção da cidadania. Concordamos com Fiorentini na perspectiva de que esses fatores são subjetivos e têm relação direta com os objetivos que cada professor pretende alcançar.

Fiorentini (1995) baseou-se na confluência de várias forças relacionadas ao processo de ensino e aprendizagem que ocorreram historicamente no Brasil, envolvendo pedagogos, psicopedagogos, matemáticos e educadores matemáticos. Dessa maneira delineou seis tendências que dizem respeito aos modos de ver e conceber o ensino de Matemática no Brasil: Tendência Formalista Clássica,


20XII EPAEM -

Empírico-Ativista, Formalista Moderna, Tecnicista e suas variações, Construtivista e a Socioetnocultural.

Fiorentini (1995) afirma que na Tendência Formalista Clássica caracterizada até final da década de 1950, o ensino da Matemática no Brasil, salvo raras exceções, caracterizava-se pela ênfase às ideias e formas da Matemática clássica, sobretudo ao modelo euclidiano* e à concepção platônica da Matemática**. Neste período, os livros didáticos brasileiros parecem produzir implicitamente o modelo euclidiano, pois geralmente partem de elementos primitivos e definições para prosseguir com a teoria (teoremas e demonstrações). Só após esta apresentação completa é que aparecem os exercícios de aplicação, havendo assim uma preocupação fundamentalista: tudo deveria ser justificado e argumentado, ou melhor, demonstrado logicamente.

O ensino nessa tendência pedagógica foi, didaticamente, de maneira acentuada, livresco e centrado no professor e no seu papel de transmissor e expositor do conteúdo. Isto, por meio de preleções ou de desenvolvimentos teóricos na lousa, com o aluno tendo uma aprendizagem considerada passiva que consistia na memorização e na reprodução precisa dos raciocínios e procedimentos ditados pelo professor ou pelos livros (FIORENTINI, 1995).

* O modelo euclidiano caracteriza-se pela sistematização lógica do conhecimento matemático a partir de elementos primitivos (definições, axiomas, postulados). Essa sistematização é expressa por meio de teoremas e corolários que são deduzidos dos elementos primitivos. (FIORENTINI, 1995).** A concepção platônica de Matemática, por sua vez, caracteriza-se por uma visão estática, a-histórica e dogmática das ideias matemáticas, como se essas existissem independente dos homens. De acordo com essa concepção inatista, a Matemática não é inventada ou construída pelo homem. (FIORENTINI, 1995).


21XII EPAEM -

Na tendência Empírico-Ativista, Fiorentini (1995) afirma que surgiu em negação ou oposição à escola clássica tradicional, que não considerava a natureza da criança em desenvolvimento, sobretudo, suas diferenças e características biológicas e psicológicas. Nessa tendência o professor deixa de ser o elemento fundamental do ensino, tornando-se orientador ou facilitador da aprendizagem. O aluno passa a ser considerado o centro da aprendizagem - um ser “ativo”. O currículo, nesse contexto, deve ser organizado a partir dos interesses do aluno e deve atender ao seu desenvolvimento psicobiológico.

Os métodos de ensino consistem nas “atividades” desenvolvidas em pequenos grupos, com rico material didático e em ambiente estimulante que permite a realização de jogos e experimentos ou o contato – visual e tátil – com materiais manipulativos.

Entretanto, epistemologicamente, o autor afirma que esta tendência não rompe com a concepção idealista de conhecimento. De fato, continua a acreditar que as ideias matemáticas são obtidas por descobertas. Assim, para o empírico-ativista, o conhecimento matemático emerge do mundo físico e é extraído pelo homem por meio dos sentidos. Contudo, não existe um consenso sobre como acontece esse processo.

Na tendência formalista moderna, após 1950, Fiorentini (1995) destaca que a educação matemática brasileira passaria por um período intenso de mobilização em virtude do engajamento de um grande número de matemáticos e professores brasileiros no movimento internacional de reformulação e modernização


22XII EPAEM -

do currículo escolar. Este ficou conhecido como o Movimento da Matemática Moderna (MMM), tendo como principal propósito a unificação dos três campos fundamentais da matemática (Teoria dos Conjuntos, Estruturas Algébricas e Funções).

Não se tratava de uma integração mecânica, mas a introdução de elementos unificadores com o objetivo de dar mais ênfase aos aspectos estruturais e lógicos da matemática em lugar do caráter pragmático, mecanizado, não justificado e regrado, presente, naquele momento, na matemática escolar. Quanto à relação professor-aluno e ao processo de ensino e aprendizagem, nesta tendência não há grandes mudanças. O ensino, de um modo geral, continua sendo acentuadamente autoritário e centrado no professor que expõe/demonstra rigorosamente tudo no quadro. O aluno, salvo algumas poucas experiências alternativas***, continua sendo considerado passivo, tendo de produzir a linguagem e os raciocínios lógico-estruturais ditados pelo professor.

Fiorentini e Miorim (1990) destacam que a finalidade do ensino de Matemática dentro desta tendência é que:

A Matemática escolar perde tanto seu papel de formadora da “disciplina mental” como o seu caráter pragmático de ferramenta para a resolução de problemas. Passa a enfatizar a dimensão formativa sob outra perspectiva: mais importante que a aprendizagem de conceitos e as aplicações da matemática, seria a apreensão da estrutura subjacente, a qual, acreditava-se, capacitaria o aluno a aplicar essas

*** Essas experiências alternativas, que ocorreram nas décadas de 1950 e 1960, referem-se àquelas oriundas de orientações escolanovistas e/ou tecnicistas. Esse é o caso, por exemplo, das experiências sobre aplicação do “método de estudo dirigido” e de outras experiências “inovadoras” realizadas pelos ginásios vocacionais.


23XII EPAEM -

formas estruturais de pensamento inteligente aos mais variados domínios, dentro e fora da Matemática. (p. 46).

Na verdade, essa proposta de ensino parecia visar não à formação do cidadão em si, mas à formação do especialista matemático.

A Tendência Tecnicista é uma corrente de origem estadunidense, que aponta como soluções para os problemas do ensino e da aprendizagem o emprego de técnicas especiais de ensino e de administração escolar. Esta seria a pedagogia “oficial” do regime militar pós-64. O tecnicismo pedagógico teve presença marcante entre nós desde o final da década de 1960 até o final da década de 1970. Fiorentini (1995) destaca que a escola teria a finalidade de preparar e integrar à sociedade, tornando-o capaz e útil ao sistema.

Psicologicamente, essa tendência encontra fundamento no Behaviorismo, para o qual a aprendizagem consiste em mudanças comportamentais por meio de estímulos. A técnica de ensino desenvolvida e privilegiada por essa corrente psicológica é a “instrução programada”, dando início à era da informática, aplicada à educação, com as “máquinas de ensinar”. A finalidade do ensino da Matemática na tendência tecnicista seria a de desenvolver habilidades e atitudes computacionais e manipulativas, capacitando o aluno para a resolução de problemas-padrão. Isto porque o tecnicismo, com base no funcionalismo, parte do pressuposto de que a sociedade é um sistema tecnologicamente perfeito, orgânico e funcional. Caberia, portanto, à escola preparar


24XII EPAEM -

recursos humanos “competentes” tecnicamente para este sistema. Assim, o autor afirma que:

Não é uma preocupação desta tendência formar indivíduos não alienados, críticos e criativos, que saibam situar-se historicamente no mundo. Esta tendência não é centrada no professor (como no ensino tradicional e no formal-moderno), nem no aluno, mas nos objetivos institucionais, nos recursos (materiais instrucionais, calculadoras, etc.) e nas técnicas de ensino que garantiriam o alcance dos mesmos. (FIORENTINI, 1995, p. 17).

Com isso, os conteúdos tendem a ser encarados como informações, regras e macetes, na qual estariam disponíveis nos livros didáticos, nos módulos de ensino, nos jogos pedagógicos, nos dispositivos audiovisuais, em programas computacionais. Isto é, professor e aluno ocupam uma posição secundária, constituindo-se em meros executores de um processo cuja concepção, planejamento, coordenação e controle ficam a cargo de especialistas.

Segundo Fiorentini (1995) a Tendência Construtivista nega a teoria empirista que sustenta que o conhecimento só é possível mediante os recursos da experiência e dos sentidos. O mundo físico seria a fonte do conhecimento matemático e não o sujeito reflexivo. Logo, para o construtivismo, o conhecimento matemático não resulta nem diretamente do mundo físico nem de mentes humanas isoladas do mundo, mas sim da ação interativa do homem com o meio ambiente e/ou com atividades. Para tanto, a ideia pedagógica de ação, concebida pelos construtivistas, é muito diferente daquela concebida pelos empíricos-ativistas.


25XII EPAEM -

Foi a partir das décadas de 1960 e 1970 que se começa a sentir, no Brasil, a presença do construtivismo piagetiano. A partir dos anos de 1980, já é possível encontrar em praticamente todas as regiões do país grupos de estudo/pesquisa em Educação Matemática que se autodenominam de construtivistas.

Nessa perspectiva, Kamii (1988) destaca que “o construtivismo vê a Matemática como uma construção humana constituída por estruturas e relações abstratas entre formas e grandezas” (p. 23), deste modo prioriza mais o processo que o produto do conhecimento.

Fiorentini (1995) corrobora Kamii (1988) e leva em consideração que a Matemática é vista como um constructo que resulta da interação dinâmica com o meio que o circunda. Tendo em vista, dessa forma, que a apreensão destas estruturas pela criança ocorre também de forma interacionista, especialmente a partir de abstrações reflexivas, realizadas mediante a construção de relações entre objetos, ações ou mesmo entre ideias já construídas.

Assim, o autor pontua que a principal finalidade do ensino da Matemática para esta corrente é de natureza formativa. Os conteúdos passam a desempenhar papel de meios úteis, mas não indispensáveis para a construção e desenvolvimento das estruturas básicas da inteligência. Ou seja, o importante não é aprender isto ou aquilo, mas sim aprender a aprender e desenvolver o pensamento lógico-formal.

A Tendência Socioetnocultural também se desenvolveu na década de 1960 e emergiu a partir do fracasso do MMM, levando-se em consideração o fracasso escolar em Matemática apresentado


26XII EPAEM -

pelas classes menos favorecidas da sociedade. Isto fez com que se voltassem às atenções para os aspectos socioculturais da Educação Matemática, apoiando-se na Etnomatemática. Possui uma perspectiva antropológica, social e política para o ensino da Matemática (FIORENTINI, 1995).

O trabalho de Fiorentini (1995) não defende ou critica esta ou aquela tendência e sim as define e apresenta com intenção de incentivar o professor a refletir sobre sua prática e decidir qual delas adotar em cada momento de seu dia a dia pedagógico. Até porque, para o autor, ora atuamos em uma perspectiva, ora em outra, dependendo da instituição. Para isso, é necessário o professor estar em constante adaptação/mutação, em busca de um processo de ensino e de aprendizagem que proporcione maior significado para o aluno.

Com isso destacamos essas concepções de Fiorentini para situarmos os movimentos históricos no Brasil, constatando que ao longo do tempo tem-se buscando a melhoria do ensino, em particular da matemática, ora a ênfase é no professor, ora no aluno, no currículo ou nos objetos matemáticos. Em determinado momento dá-se mais importância à metodologia que recorre a materiais didáticos para auxiliar no ensino. Mas fica evidente que esse uso não é “unânime”, há críticas e exaltação.

O MATERIAL DIDÁTICO

Os homens têm recorrido ao auxílio de materiais concretos para o ajudar nas atividades matemáticas desde os tempos mais


27XII EPAEM -

longínquos. Por exemplo, o homem primitivo começou por usar marcas num bastão para fazer a contagem das ovelhas; usou pedras; usou a corda com nós; etc. Mais tarde, com a introdução do sistema de numeração indo-árabe, aparece o ábaco. Este foi um dos primeiros materiais construídos especificamente para trabalhar conceitos de aritmética, tendo sido o eclesiástico Gerbert (930-1003) que aprofundou as suas aplicações. Posteriormente aparecem na geometria a régua, o compasso e o esquadro. No séc. XVI existem gravuras onde se pode ver o uso destes instrumentos. Por volta do séc. XV, materiais como o ábaco desapareceram das escolas de então quando apareceram novos métodos de cálculo — os algoritmos. Não era necessário usar os materiais concretos para encontrar um resultado, bastava que o aluno mecanizasse determinadas “regras” de cálculo.

Os métodos de ensino não eram mais do que instruções que os alunos deveriam seguir até atingir determinado fim. Ensinar Matemática utilizando materiais manipuláveis foi reintroduzido e recomendado pelos fundadores da Escola Ativa, Comenius e Pestalozzi, que apesar de serem homens de épocas e com histórias diferentes defenderam os mesmos princípios e, mais tarde por Decroly e Montessori. A partir de então foram vários os pedagogos (e.g. Castelnuovo, Dienes, Gattegno, Cuisenaire) que lhes fizeram referência e que introduziram novos materiais didáticos e novas metodologias de ensino. Hoje temos à nossa disposição numerosos materiais disponíveis para usar na aula de Matemática.

O ensino só é verdadeiro e educativo quando provém da actividade das crianças. Este método activo dá ênfase ao papel do


28XII EPAEM -

aluno no processo de construção do seu próprio conhecimento. Este método privilegia o trabalho com materiais concretos aproveitando toda a energia natural das crianças. Segundo Szendrei (1996), Pestalozzi é o pai do uso sistemático de experiências sensoriais nas escolas. Para ele, a observação e os sentidos são os primeiros passos a dar no processo de aprendizagem. Construiu, por exemplo, três tabelas para o ensino da Aritmética aos alunos. Também inventou centenas de exercícios para serem resolvidos pelos alunos. No Nosso Século, a partir dos trabalhos de Comenius e Pestalozzi, os professores tinham ferramentas que podiam manipular, permitindo-lhes ilustrar conceitos, procedimentos matemáticos e constituir um bom ambiente de aprendizagem. É assim que passados quase um século aparecem pedagogos como Decroly (1871- 1932) e Montessori (1870-1952). Decroly foi médico e psicólogo e desenvolveu um método em que materiais comuns de todos os dias como feijões, paus, conchas, castanhas, eram essenciais no ensino da Matemática na sala de aula. Utilizava no ensino da medida, antes das unidades standard, unidades ocasionais. Decroly foi um grande defensor do papel que os jogos educativos tinham no ensino. Montessori foi educadora, psicóloga e médica e dedicou-se sobretudo à construção de materiais manipuláveis para ajudar crianças com problemas de aprendizagem em Aritmética.

Montessori trabalhou sobretudo com crianças mentalmente deficientes e culturalmente desfavorecidas. Os seus métodos de ensino ficaram conhecidos pela designação de Método Montessori o qual dava grande importância ao treino sensorial num ambiente


29XII EPAEM -

organizado. Para ela eram importantes essas experiências no desenvolvimento cognitivo. Foram Decroly e Montessori que iniciaram o estudo da pedagogia científica estudando e ampliando as visões de Comenius e de Pestalozzi, inspirando-se, contudo, de diferentes maneiras, ou seja, apresentam variantes do método ativo. O de Montessori é ativo-sintético e o de Decroly é ativo-analítico. Estes métodos têm como finalidade o passo do concreto para o abstracto. O método ativo-sintético de Montessori é um método construtivista, onde o aluno tenta identificar um a um os elementos de um todo. Passa em seguida à sua organização global num sistema mais complexo. O método ativo-analítico de Decroly, baseado na psicologia da forma ou da Gestalt, defendia que a observação global do fenómeno conduz à decomposição do fenómeno à análise. E é com base na psicologia que Decroly mostra que o global é um processo intelectual típico da criança.

Estes métodos foram criticados pela psicologia moderna, pois é uma pedagogia que não é “livre”. A criança é obrigada a seguir certos passos que são sugeridos pelo professor ou pelo próprio material com que trabalha. E é justamente esta liberdade da construção matemática que se pretende e que está contemplada na psicologia de Piaget. Piaget (1896-1980) é um defensor da escola ativa, mas a concepção que tem do material, ou seja do recurso ao objeto e à ação é distinta da dos pedagogos referidos anteriormente.

Segundo Sprinthall & Sprinthall (1993), Piaget defende que a aprendizagem será melhorada por experiências activas ou do tipo “mãos-à-obra” combinadas com a reflexão consciente. A


30XII EPAEM -

máxima de Piaget afirma “saber de cor não é saber”. Segundo ele a memorização passiva não significa necessariamente que o aluno tenha realmente aprendido ou compreendido determinado conceito. Para Piaget (1977) o material não deve ser, por exemplo, uma necessidade para o ensino do número, mas servir no desenvolvimento de certas leis que depois serão necessárias para a aquisição do conceito de número. Tais leis consideram-se como pertença da criança desde a mais tenra idade. Piaget acreditava que os quatro níveis ou estádios desenvolvimento cognitivo da criança são úteis para o educador pois realçam o facto de que os modos de pensar das crianças, linguagem e ações diferem quer em quantidade quer em qualidade das dos adultos. Piaget dizia que as crianças não são pequenos adultos logo não podem ser tratados como tal em situações de aprendizagem. Pode-se concluir do trabalho de Piaget para a sala de aula que as crianças aprendem melhor a partir de atividades concretas.

A implementação desta teoria nas escolas vai alterar substancialmente o papel do professor e a natureza do ambiente na sala de aula. O professor torna-se menos “fornecedor de informação” e mais um facilitador da aprendizagem da criança. Isto é, será ele quem promove e guia a aprendizagem da criança mais do que ensinar tudo diretamente.

A oportunidade de trocar ideias, discutir e avaliar as suas próprias ideias e as dos outros promove na criança uma visão mais crítica e realista de si mesmo e dos outros. Apesar de ser verdade, segundo Piaget, que na adolescência a necessidade de experiências concretas é de algum modo reduzida devido à evolução de novos


31XII EPAEM -

e mais sofisticados sistemas de conceitos, já não é verdade que essa dependência seja eliminada. Os materiais manipuláveis são ajudas significativas para a aprendizagem em qualquer dos estádios. As imagens mentais e as ideias abstratas dos alunos são baseadas nas suas experiências. Assim os alunos que veem e manipulam vários tipos de objetos têm imagens mentais mais claras e podem representar ideias abstratas mais completamente do que aqueles cujas experiências são mais pobres. De acordo com Piaget, a maioria das crianças do ensino básico está no estádio das operações concretas. Quer isto dizer que necessitam de se apoiar em objetos concretos que lhes facilitam a elaboração de raciocínios lógico-matemáticos. Isto significa que os conceitos matemáticos devem ser aprendidos com apoio de modelos concretos e simbólicos. Dienes (1975) estudou e expandiu largamente as ideias de Piaget e contribuiu para o desenvolvimento das perspectivas cognitivistas da aprendizagem matemática. A sua maior preocupação—assim como a de Piaget— tinha a ver com o envolvimento dos alunos no processo de aprendizagem, através do uso de material concreto, defendendo o uso de materiais manipuláveis pela criança. Recordemos os princípios de Dienes em relação ao ensino da matemática: (a) o princípio dinâmico—sugere que a verdadeira compreensão de um novo conceito é um processo evolutivo envolvendo a criança em três fases. Preconiza actividades informais e estruturadas, manipulação e experimentação; (b) o princípio de variabilidade perceptual—sugere que um conceito que é aprendido é maximizado quando é apresentado à criança através de uma variedade de contextos e envolvimentos físicos. Defende a


32XII EPAEM -

apresentação de um conceito em situações diversas; (c) o princípio da variabilidade matemática— sugere que a generalização de um conceito matemático é realçada quando as variáveis irrelevantes são sistematicamente modificadas enquanto as variáveis relevantes continuam constantes. Dá ênfase a que todas a variáveis de um conceito devem ser exemplificadas; (d) o princípio construtivista—defende que a construção deve sempre preceder a análise. Isto é, a criança deve ter oportunidades de desenvolver os seus conceitos de um modo global intuitivo começando com as suas próprias experiências. Para Dienes há duas espécies de pensadores, o construtivista e o analítico. Tentando estabelecer um certo paralelismo com Piaget podemos dizer que o construtivista está no estádio das operações concretas e o analítico está no estádio das operações formais. Dienes introduziu atividades com diferentes balanças com feijões para ajudar os alunos a compreenderem propriedades das operações aritméticas, sobretudo a propriedade comutativa. Bruner (1962) foi influenciado pelo trabalho de Jean Piaget e trabalhou com Zoltan Dienes onde compartilharam muitas das suas perspectivas. Segundo ele podemos considerar uma ideia ou conceito em três níveis diferentes: motor, icónico e simbólico. O período motor envolve manipulação de objetos ou experiências diretas. No período icónico a criança pensa com imagens mentais sobre objetos concretos. O modo de aprendizagem neste nível é baseado no uso de meios visuais: filmes, desenhos, diagramas e outros. A aprendizagem simbólica é o estádio onde se usam os símbolos abstratos para representar a realidade. Estas interpretações são importantes e são interativas. Os manipuláveis


33XII EPAEM -

ajudam a compreender ideias abstratas a partir de situações concretas e problemáticas. Esta análise psicológica, contudo, mostra que os manipuláveis são apenas uma parte do processo de desenvolvimento dos conceitos matemáticos. Segundo Lesh (1979), outros modos de representação, por exemplo, pitorial, verbal, simbólica e situações da vida real também têm um papel a desempenhar. Quando se aprende um conceito novo é importante que os alunos “vejam” o conceito a partir de várias perspectivas ou interpretações. Lesh criou um modelo (Figura 3) que traduz as mudanças entre os vários modos de representação e que foi uma adaptação a partir do trabalho de Bruner (Behr, Lesh, et al. 1992). Os materiais manipuláveis correspondem ao nível inativo de Bruner, os desenhos ao nível icónico e os símbolos escritos ao nível simbólico. Lesh acrescentou os símbolos falados e as situações de vida real e salientou a interdependência entre os vários modos. Refletindo sobre este modelo podemos ver que estas mudanças não podem ser feitas a não ser que a criança perceba o conceito que está subjacente em cada um dos modos. Esta compreensão e reinterpretação são importantes no processo cognitivo e necessitam de ser encorajadas no processo de ensino-aprendizagem. A investigação poderá dizer qual o caminho, através do modelo, que é crucial no processo de ensino aprendizagem. A investigação pode também indicar em que é que os manipuláveis facilitam a aquisição de conceitos e a resolução de problemas. A resolução de problemas move-se a partir de situações reais para o simbolismo matemático. Segundo Post (1988) os manipuláveis ajudam na medida em que estão a meio entre o mundo real das situações


34XII EPAEM -

problemáticas concretas e o mundo abstrato das ideias e do simbolismo (oral e escrito) da matemática. Eles são símbolos visto que são feitos de materiais concretos, que por sua vez representam situações da vida real. Os materiais manipuláveis ajudam então na aprendizagem pois permitem que, a partir da realidade a criança chegue ao nível simbólico.

Apesar de se ter atravessado uma época, a da chamada Matemática Moderna, em que se valorizavam os aspectos mais formais da matemática, recorrendo a um simbolismo e rigor excessivos, havendo consequentemente uma desvalorização do uso de materiais, sobretudo os que requeriam manipulação, como se os conceitos tratados fossem matemática de ordem menor, hoje as coisas são bastante diferentes.

Numa sala de aula, quando se desenrola todo o processo de ensino e aprendizagem, há necessidade de recorrer a determinados suportes educativos. Esses suportes a que o professor tem acesso são variados. Desde a “voz”, o quadro preto e o giz, que podemos identificar como os recursos primários, até aos livros de texto, fichas, feijões, paus de gelado, acetatos, gráficos, sólidos, geoplanos, material multibase, barras cuisenaire, calculadoras simples e gráficas, computadores, etc., e mais recentemente com o avanço da tecnologia o vídeo e a Internet.

No Brasil, a utilização de recursos didáticos nas aulas de Matemática surgiu na década de 1920, no bojo da tendência empírico ativista (FIORENTINI; MIORIM, 1990), que tem como pressuposto básico a ideia de que o aluno “aprende fazendo”. Assim, para Fiorentini (1995, p.11) “a partir da manipulação e


35XII EPAEM -

visualização de objetos ou de atividades práticas envolvendo medições, contagens, levantamento e comparações de dados”, os alunos abstraem os conceitos e propriedades dos entes matemáticos.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL, 1998), o ensino de Matemática deve contribuir para a construção e a constituição da cidadania. Para isso, é necessário por parte do professor propiciar aos seus alunos metodologias que os levem à construção de estratégias, tendo em vista desenvolverem a criatividade, a autonomia para resolver problemas e saberes para trabalhar individual e coletivamente, dentre outras habilidades.

Dessa forma, ao aliar os conhecimentos matemáticos às situações contextualizadas****, os alunos são capazes de ler o mundo com outros olhares. Nesse sentido, a formação matemática pretendida na escola é aquela que forma o cidadão não apenas para um mundo de conhecimentos e abstrações, mas também para a vida em sociedade.

Por outro lado, os PCN recomendam que o ensino da Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental esteja associado a aspectos que possam ser representados pela ludicidade referentes aos seus conceitos, mesmo sabendo que os aspectos referentes aos conceitos da Matemática escolar não possuem, a priori, uma parte lúdica. Assim, faz-se necessário (mas não suficiente) um ambiente de aprendizagem do indivíduo com diversificadas oportunidades

**** O termo contextualização é citado dentro do que os PCN propõem. Contextualização no sentido do contexto no qual o aluno está inserido, levando em consideração suas vivências, experiências e seu ambiente.


36XII EPAEM -

e materiais que favoreçam o desenvolvimento e aprimoramento de conhecimentos. Como existe uma grande diversidade de materiais didáticos que auxiliam o professor nesse processo, é necessário compreender as nuances do uso desses materiais didáticos.

Neste sentido, para Lorenzato (2006 p. 18), Material Didático (MD) “é qualquer material útil no processo de ensino e aprendizagem, ou seja, um giz pode ser um MD, uma revista, um quebra-cabeça, um jogo, um slide, dentre outros”.

Tem-se, dessa maneira, a visão de numerosos materiais didáticos, podendo desempenhar várias funções conforme o objetivo a que se prestam. Por isso o professor deve sempre perguntar-se quais seus objetivos com um determinado MD.

Vale ressaltar que a utilização de qualquer MD requer intencionalidade didática, pois sem objetivos definidos não há garantia de aprendizagem. Sabendo que às vezes, mesmo que os objetivos sejam definidos, ainda há risco de não haver a aprendizagem. Nesse processo, o papel do professor é fundamental, pois cabe a ele formular/adaptar o MD. Além disso, ele é responsável por mediar e articular as situações experienciadas pelos alunos, devendo estar atento aos conceitos matemáticos envolvidos nesta articulação, proporcionando assim, posteriormente, um nível crescente de capacidade de abstrair e formalizar tais conceitos.

Não queremos dizer, com isso, que devemos deixar as verdades matemáticas. Entretanto, se observarmos nossas práticas e estudos da área da Educação Matemática e como professores de Matemática, perceberemos que quando utilizamos estratégias


37XII EPAEM -

que proporcionam um ambiente de descobertas, os alunos envolvem-se ativamente no processo. Nesse sentido, acreditamos que o professor pode por meio do MD proporcionar ao aluno para pensar, raciocinar, criar, relacionar ideias, descobrir e ter autonomia de pensamento, criando oportunidades e condições na sala de aula para o aluno expressar suas descobertas.

Em decorrência da variedade de MD elegemos três deles, a partir de nossos estudos sobre o tema, para termos um panorama do que assumimos como MD. Com isso vamos dar ênfase aos materiais manipuláveis, nos recursos computacionais e nos jogos.

Nessa perspectiva, Bittar e Freitas (2005, p. 29) defendem que “o material didático deve ser visto como um instrumento facilitador da aprendizagem, porém, não se trata de um instrumento mágico com o qual tudo poderá ser entendido e assimilado pelo aluno”. O professor precisa organizar, selecionar e estudar com antecedência o material a ser trabalhado na sala, criando condições nas quais os alunos o manuseiem efetivamente e que sirvam de subsídios para a construção de conceitos matemáticos.

O MATERIAL MANIPULÁVEL

Apresentamos algumas considerações teóricas sobre os Materiais Manipuláveis. Vamos nos referir aos materiais manipuláveis como os que trazem a percepção do toque: tiras, ábaco, pedras ou objetos, escalas, bússola, medição de instrumentos etc. Com isso, de acordo com Reys (1971), temos que os materiais


38XII EPAEM -

manipuláveis são “objetos ou coisas que o aluno é capaz de sentir, tocar, manipular e movimentar” (p. 551). Para o autor, esses materiais podem ser objetos que utilizamos em nosso dia a dia, ou podem ser objetos usados apenas para representar uma ideia. Os materiais manipuláveis são caracterizados pelo envolvimento físico dos alunos numa situação de aprendizagem ativa.

Levando em consideração os materiais manipuláveis, Lorenzato (2006, p. 25) também enfatiza que:

Para o aluno, mais importante que conhecer as verdades matemáticas, é obter a alegria da descoberta, a percepção da sua competência, a melhoria da autoimagem, a certeza de que vale a pena procurar soluções e fazer constatações, a satisfação do sucesso, e compreender que a matemática, longe de ser um bicho-papão, é um campo de saber onde ele, aluno, pode navegar.

Mendes (2009) afirma que o uso de materiais manipuláveis no ensino da Matemática, “é uma ampla alternativa didática, que contribui para a realização de intervenções do professor na sala de aula durante o semestre letivo” (p.25). Ou seja, encara-se como uma alternativa metodológica para as práticas do professor no ensino de Matemática.

Fiorentini e Miorim (1990) ressaltam que geralmente o professor costuma justificar a escolha de usar um determinado material pelo seu caráter motivacional, que pode tornar as aulas mais alegres e descontraídas ou também pelo fato de muitos professores já terem ouvido falar que o ensino de Matemática deve começar pelo concreto. Essas justificativas podem fazer com que


39XII EPAEM -

o professor não faça a devida reflexão sobre a razão pela qual o Material Manipulável é importante, bem como a melhor forma e o melhor momento de utilizá-lo. Concordamos com os autores que “por trás de cada material, se esconde uma visão de Educação, de Matemática, do homem e de mundo; ou seja, existe, subjacente ao material, uma proposta pedagógica que o justifica” (p. 2). Mas é possível que haja também visões mistas em relação às concepções.

Turrioni e Perez (2006) afirmam que o material manipulável é fundamental para o ensino experimental, uma vez que “facilita a observação, análise, desenvolve o raciocínio lógico e crítico, sendo excelente para auxiliar o aluno na construção dos seus conhecimentos”. (p. 61). Nessa transição, acredita-se que o material manipulável pode ter um importante papel nesse processo, atuando como meio auxiliar de ensino, podendo ser um recurso capaz de catalisar experiências individuais de aprendizagem na construção dos conceitos matemáticos.

Os materiais manipuláveis são objetos lúdicos, dinâmicos e intuitivos, com aplicação no nosso dia a dia, que têm como finalidade auxiliar a construção e a classificação de determinados conceitos que, conforme o seu nível de abstração, necessitam de um apoio físico para orientar a compreensão, formalização e estruturação destes.

Muitos educadores matemáticos proeminentes pediram fortemente uma maior utilização de materiais manipuláveis no ensino de matemática. A justificativa para essa ênfase parece pedagogicamente eficaz. Infelizmente, as pesquisas nesta área “não foram conclusivas em qualquer suporte ou refutar o valor


40XII EPAEM -

das ajudas de manipulação” (BEOUGHER, 1967, p.31).Lorenzato (2006) afirma que assim como o MD, o material

manipulável:

(...) nunca ultrapassa a categoria de meio auxiliar de ensino, de alternativa metodológica à disposição do professor e do aluno, e, como tal, o material manipulável não é garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e não substitui o professor. (p. 18).

Deste modo, o papel do professor é de fundamental importância nesse processo, uma vez que ele deverá escolher o material adequado, de forma cuidadosa, para que se tenha sucesso durante a atividade manipulativa.

Por outro lado, Lins e Gimenes (2001) ressaltam que há muitos professores que possuem a crença de que os materiais didáticos distraem e fazem perder tempo, e que apenas o cálculo escrito é eficaz. Em compensação, há professores que, às vezes, fazem uso de materiais didáticos para “explicarem melhor”, mas esquecem de que esses materiais levam a produções de diferentes significações.

Entendemos que materiais manipuláveis, se tiverem intencionalidades de ensinar algo, também são MD. Entretanto, nem todo material didático é material manipulável. Portanto, quando fizermos afirmações sobre os materiais manipuláveis, implicitamente, estaremos nos referindo também aos materiais didáticos.


41XII EPAEM -

OS RECURSOS COMPUTACIONAIS

A partir dos anos de 1990, vários recursos didáticos foram introduzidos na escola durante o ensino da Matemática, como calculadoras e computadores. Devido ao surgimento de novas produções na área de Educação Matemática, envolvendo abordagens metodológicas como a resolução de problemas, a modelagem e o uso de tecnologias, talvez os materiais manipuláveis tenham ficado em segundo plano. Não é de hoje que se discute como os softwares educacionais interferem no processo de produção do conhecimento, em particular do conhecimento matemático, e ainda assim essa temática parece não se esgotar, pois pesquisas continuam sendo desenvolvidas tratando de questões cada vez mais específicas (NACARATO, 2004).

Santos (2004) acredita que com estes softwares é possível investigar diferentes variações de uma construção geométrica, por exemplo, e, consequentemente inferir propriedades, chegar a generalizações e verificar teoremas.

A introdução de novas tecnologias no ensino de matemática como computadores, calculadoras gráficas e suas interfaces, oportuniza o surgimento de diversas questões, que segundo Borba (2001) pauta-se nas preocupações relativas às mudanças curriculares, às novas dinâmicas da sala de aula, ao “novo” papel do professor e ao papel do computador nesta sala de aula. Esse autor ressalta que as mídias vistas como técnicas permitem que “mudanças ou progresso do conhecimento” sejam vistos como mudanças paradigmáticas, impregnadas de diferentes técnicas


42XII EPAEM -

desenvolvidas ao longo da história.De acordo com Penteado e Borba (2003, p. 64-65):

À medida que a tecnologia informática se desenvolve nos deparamos com a necessidade de atualização de nossos conhecimentos sobre o conteúdo ao qual ela está sendo integrada. Ao utilizar uma calculadora ou um computador, um professor de matemática pode se deparar com a necessidade de expandir muitas de suas ideias matemáticas e também buscar novas opções de trabalho com os alunos. Além disso, essa inserção no ambiente escolar tem sido vista como um potencializador das ideias de se quebrar a hegemonia das disciplinas e impulsionar a interdisciplinaridade.

Ainda segundo Penteado e Borba (2003), o uso dos recursos computacionais leva o professor a sair da sua zona de conforto e transitar para uma zona de risco. Zona de conforto no sentido de pertinentes àquelas situações previsíveis, conhecidas e controláveis. E zona de risco refere-se a situações que geram incertezas, imprevisibilidades, mas que têm grandes chances de melhorar o processo de ensino e aprendizagem de Matemática.

Brasil (1998, pp. 43-44) aponta que a utilização dos recursos computacionais traz significantes contribuições ao processo de ensino e aprendizagem de Matemática, pois

Relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que por meio de instrumentos esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente; Evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados problemas; Possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela realização de projetos e atividades de investigação e


43XII EPAEM -

exploração como parte fundamental de sua aprendizagem; Permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo.

Diante das considerações, concordamos com Mendes (2009) ao colocar que o computador é considerado uma das componentes tecnológicas de grande importância para efetivação da aprendizagem da Matemática.

A introdução do computador na escola altera os padrões nos quais o professor usualmente desenvolve sua prática. São alterações no âmbito das emoções, das relações e condições de trabalho, da dinâmica da aula, da reorganização do currículo, entre outras. Ao trazer o computador para a sala de aula, Penteado (2004) afirma que o professor passa a contar não só com mais um recurso para a realização de tarefas, mas também abre um novo canal de comunicação com os alunos. Deste modo, os computadores possibilitam representar e testar ideias ou hipóteses, que levam à criação de um mundo abstrato e simbólico, ao mesmo tempo em que introduzem diferentes formas de atuação e interação entre as pessoas.

As possibilidades de manipulação dessas mídias podem ser exploradas, podendo-se chegar à elaboração de conjecturas bem como a sua verificação. Desse modo, é possível estabelecer uma importante discussão acerca das possibilidades da inclusão de softwares (programas de computadores) no contexto educacional em seus diferentes níveis. Os ambientes computacionais condicionam as ações quando se tem que resolver uma atividade ou um problema matemático. No que se refere ao uso dos softwares,


44XII EPAEM -

diferentes estratégias são utilizadas em complemento ao uso do lápis e papel. Ele afeta, principalmente, o feedback proporcionado ao usuário. De acordo com Borba e Villarreal (2005) o principal feedback dado pelos softwares refere-se ao aspecto visual.

Há softwares em que os alunos podem explorar e construir diferentes conceitos matemáticos, referidos a seguir como programas de expressão. Os programas de expressão apresentam recursos que provocam, de forma muito natural, o processo que caracteriza o “pensar matemático”, ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses, esboçam conjecturas, criam estratégias para resolver problemas. (BRASIL, 2000).

O uso de recursos computacionais para o ensino de matemática, segundo Fiorentini e Lorenzato (2006), permite aos estudantes não apenas estudar temas tradicionais de maneira nova, mas também explorar temas novos. Assim, para atingir a abordagem pedagógica que se refere os PCN (aquela onde se tem como centro o aluno e suas necessidades de aprendizado), temos que a aprendizagem de um novo conceito matemático pode acontecer com o auxílio de programas de matemática dinâmica, ficando a formalização do conceito como a última etapa do processo de aprendizagem. Nesse caso, o professor atua como um mediador e orientador do processo ensino e aprendizagem, sistematizando o novo conhecimento que o aluno vai construindo.

Entendemos que os recursos computacionais estão relacionados ao computador e todos os programas referentes ao ensino de Matemática (Geogebra, Cabri, Winplot, dentre outros). Utilizando esses recursos computacionais com a intencionalidade


45XII EPAEM -

de ensinar algo e podendo auxiliar o professor em suas propostas pedagógicas, eles também serão MD. Porém, analogamente aos materiais manipuláveis, nem todo material didático é um recurso computacional. Portanto, quando fizermos afirmações sobre os recursos computacionais, implicitamente, estaremos nos referindo, também aos materiais didáticos.

OS JOGOS PEDAGÓGICOS

Dentre os diversos Materiais Manipuláveis, encontramos o jogo – do latim locu, que significa gracejo, zombaria; porém, utiliza-se ludu: jogo, passatempo, brinquedo, divertimento. De acordo com o PCN (1998):

Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções. Propicia a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o planejamento das ações. (p. 47).

Huizinga (1990) defende a ideia de que o jogo puro e simples

constitui as bases da civilização, haja vista que “num sentido puramente formal poderíamos considerar toda a sociedade como um jogo, sem deixar de ter presente que este jogo é o princípio vital de toda a civilização” (p. 28).

De acordo com Huizinga (1990) todo jogo tem regras, isto é, “não existe jogo se não há regras (verdade inabalável). E estas regras devem ser respeitadas pelos jogadores” (p. 12). Aquele que ignora ou desrespeita as regras, destrói o jogo e é expulso, pois


46XII EPAEM -

ameaça a existência da comunidade dos jogadores. Deste modo, para Huizinga (1990) afirma que uma atividade

representa jogo se for:

Atividade livre, conscientemente tomada como não séria e exterior à vida habitual, mas ao mesmo tempo capaz de absorver o jogador de maneira intensa e total. É uma atividade desligada de todo e qualquer interesse material, com a qual não se pode obter qualquer lucro, praticada dentro das limitações espaciais e temporais próprios, segundo uma certa ordem e certas regras” (HUIZINGA, 1990, p.16).

Dentro deste universo temos os jogos pedagógicos, que

têm por objetivos o ensino e aprendizagem em um contexto educacional. Nesse rol, incluímos todos os tipos de jogos em seu valor pedagógico.

Existe certa resistência de alguns teóricos em aceitar que um jogo possa ser utilizado como um fim que não seja o que eles chamam de “jogo pelo jogo”, isto é, uma atividade involuntária, como preconiza Huizinga (1990). Ao levarmos o jogo para a sala de aula, ao conferirmos um valor pedagógico ao jogo, defendem estes teóricos que “destruímos” o jogo em sua essência, na medida em que deixou de ser uma atividade a ser realizada involuntariamente, pelo simples prazer que ela proporciona. Neste sentido temos que levar em consideração que a utilização do jogo depende dos objetivos traçados pelo professor e a maneira com que ele pretende fazer a relação com o objeto matemático, acreditando que toda atividade utilizando um jogo deva ter um cunho didático e uma intencionalidade de ensinar determinado objeto.


47XII EPAEM -

Moura (1992) busca estabelecer uma definição para o jogo pedagógico que transcende a definição que tradicionalmente entende o jogo como sendo diferente de uma situação de trabalho, valorizando também a dimensão lúdica do jogo como auxiliar do ensino. Nesse sentido, define “o jogo pedagógico como aquele adotado intencionalmente de modo a permitir tanto o desenvolvimento de um conceito matemático novo como a aplicação de outro já denominado pela criança” (p.53).

A intenção, segundo Moura (1992), parte do professor, sendo estabelecida segundo seu plano pedagógico que esteja vinculado a um projeto pedagógico da escola, como um todo. O objetivo do jogo, que pode ser ou de construir um novo conceito ou aplicar um já desenvolvido, é definido pelo professor por meio de sua proposta de desencadeamento da atividade de jogo. Assim sendo, um mesmo jogo pode ser utilizado, em um determinado contexto, como construtor de conceitos e, em outro contexto como aplicador ou fixador de conceitos. Cabe ao professor determinar o objetivo de sua ação, pela escolha e determinação do momento apropriado para o jogo.

No PCN temos que com o uso do jogo, a criança poderá desenvolver seu raciocínio lógico matemático de uma maneira lúdica e concreta, interagindo com os conceitos matemáticos, como aborda Costa (2007, p.19) ao afirmar que “outra característica importante dos jogos é a de possibilitar a inter-relação dos conteúdos matemáticos, de modo que o aluno passe a perceber uma Matemática não fragmentada, que apresente relações também com as outras disciplinas”.


48XII EPAEM -

Portanto, para que um jogo, ou qualquer outro material que o professor for utilizar, seja pedagógico é necessário que ele seja útil ao processo educacional. Entendemos que os jogos, se tiverem intencionalidades de ensinar algo, são MD e materiais manipuláveis. Entretanto, nem todo material didático e nem todo material manipulável é um jogo.

Pedagogicamente há muitos critérios a serem considerados na escolha dos materiais didáticos (seja ele manipulável, recurso computacional ou jogo) , uma das considerações mais importantes é saber se os materiais servem ao propósito para que estejam destinados.

O material manipulável, ou recurso computacional, ou o

jogo mais adequado, nem sempre será o visualmente mais bonito e nem o já construído. Pode acontecer de na construção de um material, o aluno tem a oportunidade de aprender matemática de uma forma mais efetiva. Em outros momentos, o mais importante não será o material, mas sim a discussão e resolução de uma situação-problema ligada ao contexto do aluno, ou ainda, a discussão e utilização de um raciocínio mais abstrato. Sendo assim, no próximo capítulo abordamos a Teoria das Situações Didáticas (TSD) como uma alternativa de inserção desses materiais na sala de aula, com o intuito de elaborar um modelo de interação entre professor, aluno e conteúdo matemático.


49XII EPAEM -

Capítulo 2TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS (TSD)

A TSD foi elaborada por Guy Brousseau com a finalidade de desenvolver propostas didáticas ao processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos. Brousseau (1997) define as situações didáticas como as situações voltadas para ensinar determinado objeto, partindo da ideia de que uma situação envolve o aprendiz, o saber e o milieu (ou meio). Sendo assim, uma situação modeliza as relações e as interações de um ou mais agentes com um meio.

Para Brousseau (1997) uma situação é caracterizada em uma instituição por um conjunto de relações e de papéis recíprocos, de um ou vários sujeitos (aluno, professor etc.) com um milieu. Este milieu é constituído por objetos (físicos, culturais, sociais, humanos) com os quais o sujeito interage em uma situação. Quando o professor pretende ensinar um conteúdo ao seu aluno, ele deve elaborar uma situação que compreende tanto o meio material (materiais didáticos necessários como jogos, fichas, recursos computacionais, materiais manipuláveis, problemas, provas, experimentos) quanto a maneira com que o aluno vai interagir neste meio material, ou seja, as “regras do jogo”.

O aluno vai aprender na medida em que a situação desenvolve-se, isto é, que ele interage com o meio em busca da solução dos problemas. Com isso temos que, todo meio com o


50XII EPAEM -

qual o aluno tem de lidar diretamente (materiais, jogos etc.), é denominado de milieu.

O milieu é inicialmente definido por Brousseau (1986) como o conjunto de tudo aquilo que age sobre o aluno ou sobre o que o aluno age. Pode-se pensar na interação entre estudante e milieu na ausência de um envolvimento concreto do professor, como ao que define uma situação adidática, enquanto que, ao levar em consideração também um sistema educativo explícito (por exemplo, a figura do professor), fala-se então de situação didática, conceitos que vamos definir logo mais.

D’Amore (2007) enfatiza que às vezes o milieu é definido com base nos próprios objetos concretos, ou então esses objetos são incorporados a uma intenção pela qual foram escolhidos (eventualmente sendo estável), outras vezes como algo que se desenvolve e se modifica junto com o aluno. Deste modo, Brousseau (1997, p.6) enfatiza que “a aprendizagem é o processo pelo qual os conhecimentos se modificam”.

Para Almouloud (2010) é necessário levarmos em consideração duas categorias para análise do Milieu: o antagonista e o aliado. Para o autor:

Um milieu diz-se antagonista se é capaz de produzir retroações sobre os conhecimentos do sujeito. Dizemos que o milieu é aliado quando se ele se permite a ação do sujeito, mas não é suscetível de produzir retroações. (ALMOULOUD, 2010, p. 46).

Ao agir sobre o milieu o aprendiz manifesta seus conhecimentos, com isso Brousseau (1997, p.6) define o agir, para


51XII EPAEM -

um sujeito, consistindo em “escolher diretamente os estados do meio antagonista em função de suas próprias motivações”.

Para Brousseau (1986) o aluno aprende adaptando-se a um meio que é fator de contradições, de dificuldades, de desequilíbrios, um pouco como fez a sociedade humana. Esse saber, fruto da adaptação do aluno manifesta-se pelas respostas novas que são a prova da aprendizagem. Assim o autor destaca que nos diferentes meios as interações de um sujeito – seja ele professor ou aluno – são diferentes: ele toma decisões de acordo com regras, estratégias e conhecimentos, atua em função das informações que recebe e interpreta.

Geralmente o ensino é concebido por meio das relações entre o aluno o sistema educacional e com o professor, vinculadas à transmissão de um determinado conhecimento, interpretando-se essa relação didática como uma comunicação de informações. Sendo assim Almouloud (2010) argumenta que:

O objeto central de estudo nessa teoria não é o sujeito cognitivo, mas as situações didáticas na qual são identificadas as interações estabelecidas entre professor, aluno e saber. (ALMOULOUD, 2010, p. 32)

As formas de conhecimento que controlam as interações do sujeito foram abordadas de muitas maneiras. Brousseau (1986) destaca:

A distinção entre conhecimento e saber depende principalmente de seu status cultural; um pedaço de conhecimento é institucionalizado a partir do saber. Passar de um estado para o outro, no entanto, envolve transformações que os diferenciam, que são em parte explicados pela relação didática que estão associados a eles (BROUSSEAU, 1986, p. 73, Tradução Nossa).


52XII EPAEM -

Conhecimento e saber concretizam-se por meio de atividades de investigações ou a prova de formas em que a heurística procura descobrir. Pode-se supor que eles sejam mesmos geridos por representações, esquemas epistemológicos e cognitivos, modelos implícitos etc. Diferenciação dos tipos de conhecimento que estamos tentando deve ir mais longe do que é necessário para a organização de debate didática com o aluno. Com toda a probabilidade, a atividade mental destrói essas distinções frágeis e unifica esses modos de controle em um pensamento complexo.

Brousseau (1986) buscou teorizar os fenômenos ligados à especificidade do conhecimento ensinado. Para isso, aponta como fundamental a estrutura formada pelo triângulo didático (figura 1), considerando as interações entre professor e alunos mediadas pelo saber nas situações do ensino.

Figura 1 - Triângulo Didático

Fonte: Almouloud (2010, p. 32, Adaptado).


53XII EPAEM -

Enfrentar as questões do ensino e da aprendizagem, em termos de didática, significa que a transmissão do conhecimento é um fenômeno complexo. Esta precisa de numerosas medições e é necessário manter sempre juntos os três polos: do professor, do saber e do aluno. Todavia, sem se descuidar ou preterir, no processo de ensino e aprendizagem, nenhum dos três polos.

No Triângulo Didático presente temos o saber, o seu estudo, a sua definição pertencente aos especialistas da disciplina, que estruturam, organizam o saber, trata-se de um saber da pesquisa matemática, aquele histórico, acadêmico. Este esquema está diretamente ligado com as relações***** que o professor tem com determinado saber. Influenciam as relações que os alunos têm com este saber, destacando assim que a epistemologia do professor que influencia, por assim dizer, o “lado” que liga o professor e o saber matemático é igualmente importante aos outros dois lados. Ou seja, o lado do professor-aluno que merece um espaço próprio, mas o sintetiza com a expressão relação didática (assimétrica), e o lado aluno-saber sendo muito delicado, pois está envolvida a imagem da escola, de cultura, dentre outros. O estudante tem a sua relação pessoal específica com a Matemática e, mais em geral, com a institucionalização do saber, dependendo muito da idade,

***** Buscamos em Charlot (2000) para definirmos a esta relação, onde o autor utiliza-se dos conceitos “saber” e “aprender”. O primeiro, no sentido estrito da palavra, significa um conteúdo intelectual; o segundo tem um significado mais amplo, já que existem várias formas de aprender: pode ser adquirir um saber (aprender Fisiologia, Matemática), dominar um objeto ou uma atividade (aprender a escrever, a andar de bicicleta). Desta forma, o aprender não se limita à obtenção do conteúdo intelectual, mas abrange todas as relações que o sujeito estabelece para adquiri-lo. Neste sentido, quando Brousseau explora essa proposta usa-se na teoria o termo “relação com o saber” no lugar da palavra “aprender”.


54XII EPAEM -

das experiências prévias, da família, do tipo de sociedade em que o aluno vive.

Neste sentido Brousseau (1986, p.77) destaca que:

O aluno aprende adaptando-se a um milieu que é fato de contradições, de dificuldades, de desequilíbrios, um pouco como a sociedade humana. Esse saber, fruto da adaptação do estudante, manifesta-se com as novas respostas que são a prova da aprendizagem.

Assim, o autor supracitado faz uma referência à epistemologia construtivista de Piaget, segundo a qual, a aprendizagem decorre de processos de adaptação, no sentido biológico do termo, desenvolvidos pelo sujeito frente a situações problemáticas.

D’Amore (2007) afirma que para o estudante construir o seu próprio conhecimento, ele deve ocupar-se pessoalmente da resolução de problema que lhe foi proposto na situação didática, ou seja, ele deve empenhar-se em tal atividade. Neste caso costuma-se dizer que o aluno atingiu a devolução da situação. Assim:

A devolução é o processo ou a atividade responsável por meio da qual o professor consegue que o estudante empenhe sua própria responsabilidade pessoal na resolução de um problema (mais geral, em uma atividade cognitiva) que se torna então problema do aluno, aceitando as consequências dessa transferência momentânea de responsabilidade, particularmente no que concerne à incerteza que essa hipótese gera na situação. (D’AMORE, 2007, p.80).

Com isso, a devolução é o ato pelo qual o professor cede ao aluno uma parte da responsabilidade pela aprendizagem,


55XII EPAEM -

incluindo-o no jogo (ou situação), assumindo “os riscos” por tal ato.

Deste modo, acreditamos que a utilização de materiais didáticos pode favorecer a devolução no processo de ensino e aprendizagem. Tendo em vista que promovem a articulação e envolvimento ativo dos alunos, na qual as estratégias utilizadas por eles para o manuseio de determinado MD (sendo com material manipulável, recurso computacional ou jogo), articulada com as ações didáticas do professor, empenhe uma própria responsabilidade pessoal, tornando-se então problema para o aluno.

Como um MD pode favorecer a construção de um novo conceito, podendo provocar estratégias de utilização de manuseio, acreditamos que sua utilização favorece a devolução na perspectiva da TSD.

AS SITUAÇÕES

Para Brousseau (2008) uma “situação” é um modelo de interação de um sujeito com um milieu determinado. O recurso de que esse sujeito dispõe para alcançar ou conservar um estado favorável nesse milieu é um leque de decisões que dependem de um conhecimento preciso.

No começo da década de 1970, as situações didáticas eram “aquelas que servem para ensinar sem que seja levado em conta o papel do professor”. Para transmitir um determinado conhecimento utilizavam-se um milieu (textos, material, dentre


56XII EPAEM -

outros). A situação era, portanto, o contexto que cercava o aluno, projetado pelo professor, que a considerava uma ferramenta. Posteriormente, Brousseau (2007) identificou como situações matemáticas todas aquelas que levam o aluno a uma atividade sem a intervenção do professor.

Deste modo o autor reservou situações didáticas para os modelos que descrevem as atividades do professor e do aluno. Na busca de melhorar o ensino, Brousseau (1986) observou a sala de aula e com isso tipificou as situações.

Brousseau (1978) caracteriza como objeto central da Teoria das Situações a Situação Didática, na qual o autor a define como:

O conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou implicitamente entre um aluno ou grupo de alunos, um certo milieu (contendo eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que esses alunos adquiram um saber constituído ou em constituição (BROUSSEAU, 1978, p. 10, Tradução Nossa).

Nesta situação há a intenção explícita de ensinar. São situações de estímulos concretos para fazer atividades, para resolver problemas para executar tarefas. O aluno sabe que nesse momento estão delineando-se e se desenvolvendo-se noções que fazem parte do saber escolar.

Já na situação Não-Didática D’Amore (2007, p.234) enfatiza que é “uma situação pedagógica não específica de um saber: o professor e o aluno não têm uma relação específica e típica com o saber em jogo”. Por exemplo, as crianças em classe, na presença do professor, jogam com as peças de um jogo matemático (como fazer


57XII EPAEM -

construções utilizando as peças dos blocos lógicos). As estratégias realizadas, ainda que com instrumentos “matemáticos”, não são específicas para objetivos cognitivos escolares. Não é dito que o estudante não aprenda, apenas o professor não constrói um “ambiente didático” com o objetivo de aprendizagem de alguma noção específica do saber.

Resta definir então a situação adidática, que no entendimento de Almouloud (2010) é parte essencial da situação didática. Sendo uma situação na qual a intenção de ensinar não é revelada ao aprendiz, mas foi imaginada, planejada e construída pelo professor para proporcionar estas condições favoráveis para a apropriação do novo saber que deseja ensinar. Ou seja, estão em jogo os estudantes e o objeto de conhecimento, mas não o professor (nessa ocasião particular).

Para Brousseau (1986), uma situação adidática tem as seguintes características:

O problema matemático é escolhido de modo que possa fazer o aluno agir, falar, refletir e evoluir por iniciativa própria; o problema é escolhido para que o aluno adquira novos conhecimentos que sejam inteiramente justificados pela lógica interna da situação e que possam ser construídos sem apelo às razões didáticas******; o professor, assumindo o papel de mediador, cria condições para o aluno ser o principal ator da construção de seus conhecimentos a partir da(s) atividade(s) propostas. (BROUSSEAU, 1986, p. 41, Tradução Nossa).

Deste modo, a situação sugere exigências e os alunos

****** Para Almouloud (2010, p. 33) razão didática significa que “o aluno aprende por uma necessidade própria e não por uma necessidade aparente do professor ou da escola”.


58XII EPAEM -

respondem a elas. Não existem obrigações didáticas e, portanto, aquilo que se faz não está ligado a estímulos por parte do professor. O estudante faz tentativas (sozinho ou em grupo), verifica que elas não funcionam ou são ineficazes, que a prova deve ser refeita várias vezes, interagindo com os elementos do milieu. O estudante modifica o seu sistema de conhecimentos por causa das adaptações que realiza ao utilizar diferentes estratégias.

Brousseau (1986) descreve que:

A situação adidática pode ser estudada de maneira teórica, mas na situação didática, tanto para o professor como para o estudante, existe uma espécie de ideal cuja direção busca-se convergir: o professor deve, sem descanso, ajudar o aluno a eliminar, o máximo possível, da situação, todos os seus artifícios didáticos, para permitir-lhe o conhecimento pessoal e objetivo. (BROUSSEAU, 1986, p. 50, Tradução Nossa).

Com isso, temos que a devolução é, portanto, uma situação com base na qual o estudante “funciona” de maneira científica e não apenas em resposta a estímulos externos à situação, de tipo didático, por exemplo. Neste pensando, D’Amore (2007, p.81) complementa de que “a devolução em fazer o estudante a entrar em um funcionamento matemático, diante de um problema que se quer resolver”, por outro lado o aluno bem sabe que o problema escolhido tem sentido para possibilitar uma aprendizagem, por isso a importância dele enfrentar um problema sem razões didáticas.

Nessa perspectiva da devolução o professor atua como mediador e a situação posta deve desafiar o aluno a resolvê-la pelo seu próprio esforço, oportunizando uma autonomia do discente


59XII EPAEM -

frente à atividade proposta. Então acreditamos que tal autonomia possa ser conduzida por atividades pautadas na manipulação de MD, que conforme discussões anteriores auxiliam no processo de ensino e aprendizagem, por serem recursos que podem inferir fortemente neste processo.

Para o trabalho com o material atingir seu objetivo de colaborar na efetivação da aprendizagem é preciso que o professor, antes de tudo, tenha contato, conheça o material didático, suas limitações e possibilidades. Aliás, tanto maior a variedade de estratégias usadas para a aprendizagem, maior a eficácia desta, podendo permitir ao aluno a visualização e compreensão do objeto em estudo. Contudo, é importante que o professor correlacione o domínio do material envolvido com sua representação abstrata, a fim de certificar-se da compreensão dos alunos a respeito do assunto envolvido. Percebemos a potencialidade do material desta perspectiva devolutiva da teoria.

Na teoria das situações, o milieu é um sistema antagonista ao sujeito sendo o milieu adidático um sistema sem intenção didática, exterior ao sujeito que, por suas retroações às ações do sujeito, permite sua reflexão a respeito de suas ações e de sua aprendizagem. Ou seja, o aprendiz é o responsável pelo processo de sua aprendizagem.

Brousseau (1986) salienta que o milieu sem intenções didáticas não é capaz de conduzir uma boa relação com o saber que se deseja que ele adquira. A relação didática tem por finalidade desaparecer e o sujeito deverá, então poder utilizar os conhecimentos assim construídos fora de todo contexto com


60XII EPAEM -

intenção didática. Essas duas condições explicam a necessidade da noção do milieu na teoria das situações didáticas. A aprendizagem se produz por meio da solução de problemas. É por isso que muitas vezes se diz que a TSD é de cunho construtivista.

Brousseau (1986) afirma que o aluno constrói o conhecimento somente se ele interessar-se pessoalmente pelo problema da resolução que lhe foi proposto por meio da situação didática. Oportunizando assim uma boa relação com o saber envolvido na situação. Em tal caso, costuma-se dizer que se atingiu a devolução por parte do aluno. Aqui surge a interessante metáfora do jogo de estratégia: existem várias estratégias, mas assim como no jogo, somente algumas delas conduzem à vitória, apenas algumas conduzem à descoberta da solução do problema e, portanto, a construção o conhecimento por parte do estudante. Assim como no jogo há apostas que se quer ganhar, na situação a aposta é o conhecimento.

MODELAGEM DAS SITUAÇÕES ADIDÁTICAS

Com o intuito de analisar o processo da aprendizagem, a teoria das situações observa e decompõe esse processo em quatro fases diferentes, nas quais o saber tem funções diferentes e o aprendiz não tem a mesma relação com o saber. Nessas fases interligadas, pode-se observar tempos dominantes de ação, de formulação, de validação e de institucionalização. Brousseau (1978) modela as situações adidáticas em termos de jogo*******. Uma

******* Um jogo que teve um papel muito importante nos primeiros fundamentos da TSD foi o


61XII EPAEM -

situação capaz de provocar uma aprendizagem será aquela na qual o aluno dispõe de uma estratégia básica para começar a jogar. Esta estratégia deve permitir ao sujeito compreender o problema e as regras envolvidas no jogo. No entanto as retroações fornecidas pelo milieu permitem-lhe também perceber que essa estratégia não permitirá ganhar o jogo, ou então que seu custo didático ou cognitivo é muito grande. A TSD é uma teoria de aprendizagem de tipo construtivista, na qual a aprendizagem é produzida por meio da resolução de problemas. Neste sentido Brousseau (1978) introduz a ideia de assimilar a resolução ao processo de tomada de decisão de como resolver um jogo de estratégia. De acordo com Brousseau (2008), na perspectiva da TSD os alunos tornam-se reveladores das características das situações às quais reagem.

DIALÉTICA******** DA AÇÃO

Brousseau (2008) destaca que para um sujeito, “atuar” consiste em escolher diretamente os estados do milieu antagonista em função de suas próprias motivações. Assim:

Se o meio reage com certa regularidade, o sujeito pode relacionar algumas informações às suas decisões (feedback),

jogo “Corrida aos 20”, na qual consiste em quem de dois jogadores chegará primeiro ao número 20 somando 1 ou 2 ao número dito pelo outro, alternadamente. O que começa diz 1 ou 2; o que continua soma 1 ou 2 a esse número. Por sua vez, o primeiro jogador acrescenta mais 1 ou 2, e assim sucessivamente. O que chegar primeiro ao número 20 ganha o jogo.******** Cada situação pode fazer com que o sujeito progrida, e por isso também pode progredir, de tal modo que a gênese do conhecimento pode ser fruto de uma sucessão (espontânea ou não) de novas perguntas e respostas, em um processo chamado por Brousseau de dialética. (BROUSSEAU, 2007, p. 32).


62XII EPAEM -

antecipar suas respostas e considerá-las em suas futuras decisões. Os conhecimentos permitem produzir e mudar essas “antecipações”. A aprendizagem é o processo em que os conhecimentos são modificados. Podemos representar esses conhecimentos por meio de descrições de táticas (ou procedimentos) que o indivíduo parece seguir ou pelas declarações daquilo que parece levar em consideração, mas tudo são apenas projeções. A manifestação observável é um padrão de resposta explicado por um modelo de ação implícito. (BROUSSEAU, 2008, p.28)

O aluno reflete e simula tentativas, ao eleger um procedimento de resolução dentro de um esquema de adaptação, por intermédio da interação com o milieu, tomando as decisões que faltam para organizar a resolução do problema

Com isso, temos que a situação de ação propõe um problema para o aluno, cuja solução exige o conhecimento visado para que ele possa agir sobre o problema, retornando, assim, informações sobre sua ação, permitindo ao aluno julgamento do resultado. A Figura 2 mostra o esquema da Dialética da Ação e as relações envolvidas neste etapa.


63XII EPAEM -

Figura 2 - Esquema da Dialética de Ação


Deste modo, Almouloud (2010), destaca que:

Uma boa situação de ação não é somente uma situação de manipulação livre ou que exija uma lista de instruções para seu desenvolvimento. Ela deve permitir ao aluno julgar o resultado de sua ação e ajustá-lo, se necessário, sem a intervenção do mestre, graças à retroação do milieu. Assim, o aluno pode melhorar ou abandonar seu modelo para criar um outro: a situação provoca assim uma aprendizagem por adaptação. (ALMOULOUD, 2010, p.38).

Essa fase é fundamental para o aluno manifestar suas escolhas e decisões por ações sobre o milieu. Brousseau (2008) afirma que nesta etapa as interações estão reunidas nas tomadas de decisões, apesar de poder ocorrer trocas de informações (se os alunos trabalham em grupo, os conhecimentos dos elementos desse grupo fazem parte do milieu de cada um dos alunos, propiciando, portanto retroações), mesmo que não sejam necessárias à ação.


64XII EPAEM -

Os alunos dispõem das mesmas informações e as decisões são orientadas pelas retroações do milieu.

DIALÉTICA DA FORMULAÇÃO

Segundo Brousseau (2008):

A formulação de um conhecimento implícito muda, ao mesmo tempo, suas possibilidades de tratamento, aprendizagem e aquisição. A formulação de um conhecimento corresponderia a uma capacidade do sujeito de retomá-lo (reconhecê-lo, identificá-lo, decompô-lo e reconstruí-lo em um sistema linguístico). O milieu que exigirá do sujeito o uso de uma formulação deve, então, envolver (efetivamente ou de maneira fictícia) outro sujeito, a quem o primeiro deverá comunicar uma informação (BROUSSEAU, 2008, p.29).

Nesta fase de uma situação adidática o aluno permuta informações com uma ou várias pessoas (como emissores e receptores), trocando mensagens escritas ou orais. Estas mensagens podem estar redigidas em língua natural ou matemática, segundo cada emissor.

Como resultado, Almouloud (2010) afirma que essa formulação permite criar um modelo explícito, que pode ser formulado com sinais e regras comuns, já conhecidas ou novas. Sendo que o objetivo da formulação é a troca de informações entre o aluno e o milieu, com a utilização de uma linguagem mais adequada, sem a obrigatoriedade do uso explícito de linguagem matemática formal. Assim podendo ocorrer ambiguidade, redundância, uso de metáforas, criação de termos semiológicos novos, falta de pertinência e de eficácia na mensagem, dentro de


65XII EPAEM -

retroações contínuas. Os alunos procuram modificar a linguagem que utilizam habitualmente, adequando-a às informações que devem comunicar.

Figura 3 – Esquema da Dialética da Formulação


Deste modo, Brousseau (1986) destaca que as situações de formulação favorecem a aquisição de modelos e linguagens explícitas, se têm dimensão social explícita, fala-se então de situações de comunicação. Assim, o autor afirma que a situação de formulação consiste em proporcionar ao aluno condições para que esta construa uma linguagem compreensível por todos, que considere os objetos e as relações matemáticas envolvidas na situação adidática.


66XII EPAEM -

DIALÉTICA DA VALIDAÇÃO

Almouloud (2010) destaca a importância da etapa de validação, pois é nesta etapa que o aprendiz deve mostrar a veracidade do modelo por ele criado submetendo a mensagem matemática (modelo da situação) ao julgamento de um interlocutor. De um lado, o aluno precisa mostrar porque o modelo criado é válido, justificando a sua pertinência. O receptor, por sua vez, pode pedir explicações complementares, recusar aquelas que não compreende ou as que discorda, sempre argumentando o motivo de tal atitude tomada. Assim, a teoria funciona nos debates científicos e nas discussões entre alunos, como milieu de estabelecer provas ou de refutá-las.

Brousseau (2008) afirma que:

Os esquemas de ação e formulação implicam processos de correção, seja empírica ou apoiada em aspectos culturais, para assegurar a pertinência, a adequação, a adaptação ou a conveniência dos conhecimentos mobilizados (BROUSSEAU, 2008, p. 30).


67XII EPAEM -

Figura 4 – Esquema da Dialética da Validação


Em suma, nesta fase são pedidas verificações e, portanto, explicações sobre as teorias utilizadas e também explicitação dos meios que são submetidos os processos demonstrativos. Os alunos tentam convencer os interlocutores da veracidade das afirmações, utilizando uma linguagem matemática apropriada (demonstrações). As situações de devolução, ação, formulação e validação caracterizam a situação adidática, em que o professor permite ao aluno trilhar os caminhos da descoberta, sem revelar sua intenção didática, tendo somente o papel de mediador.

INSTITUCIONALIZAÇÃO

Em sua primeira formulação a teoria só possuía as três primeiras etapas. A evolução nas discussões e utilizações dessa teoria foi enriquecida na medida em que foi constatada a


68XII EPAEM -

necessidade do professor vincular o conhecimento em questão, determinar um objeto de ensino e identificá-lo. Dessa maneira garantir a consistência dos argumentos e modelos propostos nas fases anteriores, mostrando-se, assim, a necessidade de considerar a fase de institucionalização que deu a determinados conhecimentos o status cultural indispensável de saber.

A institucionalização fora assim definida por Brousseau (2008) como aquela em que o professor fixa convencionalmente e explicitamente o estatuto cognitivo do saber. Uma vez construído e validado, o novo conhecimento vai fazer parte do patrimônio matemático da classe, embora não tenha ainda o estatuto de saber social. Se feita muito cedo a institucionalização interrompe a construção do significado, impedindo uma aprendizagem adequada e produzindo dificuldades para o professor e os alunos. Quando feita após o momento adequado, ela reforça interpretações inexatas, atrasa a aprendizagem, dificulta as aplicações. Sendo negociada em uma dialética.

Depois da institucionalização, feita pelo professor, o saber torna-se oficial e os alunos devem incorporá-lo a seus esquemas mentais, tornando-o assim disponível para utilização na resolução de problemas matemáticos. Então a institucionalização tem por objetivo estabelecer e dar um status oficial aos conhecimentos emergidos durante a atividade em classe.

O foco sobre a TSD deve privilegiar os procedimentos adotados dentro das situações de ação, de formulação, de validação e, finalmente, de institucionalização. O professor, obedecendo àqueles procedimentos não fornece, ele mesmo, a resposta,


69XII EPAEM -

fazendo com que o aluno participe efetivamente da elaboração da cognição. O aluno pode, então, desenvolver novos saberes com base em suas experiências pessoais, com sua própria interação com o milieu.


70XII EPAEM -


71XII EPAEM -

Capítulo 3ATIVIDADE

Como sugestão, após as aulas sobre os conceitos de potencias e resolução dos exercícios pelos alunos, já descritos na seção anterior, iniciamos a intervenção pedagógica, que configura a segunda etapa desse estudo e que teve duração de três aulas. As intervenções pedagógicas são relevantes e podem colaborar para mudanças e inovações, pois são consideradas:

“[...] as investigações que envolvem o planejamento e a implementação de interferências (mudanças e inovações) destinadas a produzir avanços e melhorias nos processos de aprendizagem dos sujeitos que delas participam e posteriormente avaliação dos efeitos dessas interferências”. (DAMIANI et al., 2013, p.58)

O jogo escolhido para o desenvolvimento da atividade foi o Torre de Hanói. Esse jogo é considerado um quebra-cabeça que conforme a classificação de Grando (1995, p.129) “[...] são jogos lógicos que envolvem algum tipo de estratégia para vencer. O objetivo no ensino é “quebrar a cabeça””.

A utilização da Torre de Hanói para o ensino de conceitos da Matemática se justifica pelo fato de ser um jogo e possuir características, propriedades e regras específicas, capazes de contribuir significativamente para o aprendizado no Ensino de Matemática.


72XII EPAEM -

É composto de uma base contendo três pinos onde em um dos pinos estão dispostos alguns discos em ordem crescente de diâmetro de cima para baixo, conforme a figura 5.

Figura 5- Torre de Hanói

Fonte: LEM, IEMCI, UFPA

Torre de Hanói se caracteriza por ser um jogo que possui aplicações que podem ser basicamente usadas em escolas por professores que desejam melhorar e desenvolver o cognitivo de seus alunos, podendo ser aplicado em pequenos grupos ou individualmente além de proporcionar possibilidades de implementação de algoritmos matemáticos que se baseiam em suas regras. Por possuir regras simples e de fácil assimilação se adapta a diferentes níveis de ensino, sedo possível a sua utilização tanto no nível fundamental como médio ou até mesmo no ensino superior, em programação, indução finita e exemplos de recursividade e outros.

A possibilidade de um trabalho envolvendo indução finita é muito interessante, mas o que chama mais a atenção são as possibilidades didáticas e lúdicas de ideias matemáticas que a


73XII EPAEM -

princípio não são percebidas. O principal interesse aqui é expor uma possibilidade de trabalho com alunos do ensino médio, incorporar de forma séria e objetiva o espírito investigativo, importantes no processo de desenvolvimento de ideias matemáticas e promover a socialização.

Pretende-se explorar os conceitos matemáticos relativos a Progressões Geométricas, que estão intimamente ligadas as regras do jogo, proporcionando um contato inicial com os mesmos, induzir os alunos a perceberem as leis matemáticas, trabalhar com o desenvolvimento de habilidades mentais tais como: concentração e estabelecimento de plano de ação, algoritmos matemáticos, socialização e desenvolvimento cognitivo. Atividades como essa proporcionam a percepção da matemática como uma ferramenta poderosa a ser aplicada em problemas reais e através da utilização de conceitos matemáticos os resolver. Se valendo do aspecto lúdico de uma proposta como esta, se permiti que o processo ensino-aprendizagem de matemática, seja mais interessante e divertido.

A atividade proposta destina-se aos professores que atuam no Ensino Médio, inclusive, pesquisadores e alunos da graduação em Matemática, tendo duração de 3 horas aproximadamente. Os participantes podem ser divididos em grupos, com 4 participantes em cada grupo. A metodologia proposta está constituída por diferentes atividades descritas na sequência deste texto. Após a apresentação do jogo, foram propostas atividades e resolução de problemas envolvendo conceitos matemáticos relativos a Função Exponencial, Progressões Geométricas e Sequências Recursivas.

No início da atividade sugere-se a leitura compartilhada da


74XII EPAEM -

lenda do jogo Torre de Hanói (atividade 1), exposta em tela (data show). Depois da leitura apresenta-se o jogo, (material concreto) para manipulação e exploração, a partir de uma abordagem histórica, com a finalidade de facilitar a compreensão das regras do jogo, conta-se para os participantes quem o desenvolveu, quando e onde, bem como sua finalidade e seus principais aspectos físicos e metodológicos.

Atividade 1: A Lenda: Assim, Édouard Lucas anexou ao seu brinquedo à seguinte lenda romântica:

No tempo de Benares, cidade santa da Índia, sob a cúpula que marcava o centro do mundo, existia uma bandeja de bronze com três agulhas de diamantes, cada uma de um palmo de altura e da grossura do corpo de uma abelha. Durante a Criação, Deus colocou 64 discos de ouro puro em uma das agulhas, o maior deles imediatamente acima da bandeja e os demais, cada vez menores, por cima. Esta torre foi chamada de Torre de Brahma. Dia e noite os sacerdotes trocavam os discos de uma agulha para outra, de acordo com as leis imutáveis de Brahma. Essa lei dizia que o sacerdote do turno não poderia mover mais de um disco por vez, e que o disco fosse colocado na outra agulha, de maneira que o debaixo nunca fosse menor do que o de cima. Quando todos os 64 discos tivessem sido transferidos da agulha colocada por Deus no dia da Criação para outra agulha, o mundo deixaria de existir. Dizem os sábios que o mundo foi criado há 4 bilhões de anos aproximadamente e os monges, desde a criação, estão movendo os discos na razão de 1 disco por segundo. Será que veremos o mundo acabar? (FERRERO, 1991).


75XII EPAEM -

Araújo (2009), salienta que, ao abordar problemas que estejam relacionados à Matemática, é sempre necessário nos perguntarmos ‘de que Matemática estamos falando? De que realidade estamos falando? E qual o papel da Matemática na realidade? Sabemos que ao expor a lenda do jogo, não nos referimos à realidade, mas, nesse contexto, fica evidente a urgência da necessidade de compreender a Matemática como espaço de Construção humana, proveniente de conhecimentos históricos, construídos pela humanidade, que de certa forma, evidencia extrema relação entre Contextualização e Modelagem Matemática, capazes de compreender a real situação em diferentes contextos de vida.

Assim sendo, jogo “Torre de Hanói” foi desenvolvido pelo Matemático Édouard Lucas, em 1883. É formado por uma torre com oito discos, inicialmente empilhados por tamanhos decrescentes, em uma base retangular ou triangular e em três pinos conforme proposto.

A regra básica do jogo consiste em:A. Transferir todos os discos de um pino para o outro.B. Transferir apenas um disco por movimento.C. Utilizar um pino como auxiliar.D. Posicionar os discos menores sobre os maiores, ou seja,

primeiro os maiores e em seguida os menores, nunca posicionar discos maiores sobre discos menores.

E. Realizar o menor número de movimentos possíveis.Ao realizar as jogadas, caso o participante realize movimentos

errôneos durante suas ações, vale orientar que fica invalidado sua pontuação, tendo que recomeçar a jogar para dar continuidade


76XII EPAEM -

às atividades. A atividade 1 consiste na apresentação inicial da lenda e da história do jogo seguidas da apresentação das regras do mesmo. A atividade proposta pelo professor configura uma situação didática na medida em que não trazem explicitamente o conhecimento em jogo, ou seja, o conhecimento que pretendíamos revelar, Função Exponencial e Progressões Geométricas.

A atividade 2 consiste em preencher a tabela auxiliar, como demonstrada na tabela 1, relacionando o número de peças com o número mínimo de movimentos necessários para o transporte dos discos. Como sugestão o participante poderá contar os movimentos e observar as regras, bem como anotar ou preencher enquanto os outros jogam.

Após entregar a tabela para que os alunos a preencham, é importante que o professor o oriente a iniciar as jogadas com o menor número de discos possíveis para que neste momento, os alunos possam compreender a sequência de números que serão produzidas à medida em que vão avançando.

Ao jogar com um disco, dois discos, três discos e assim sucessivamente, é esperado que o aluno perceba e anote nas colunas indicadas na tabela para cada peça denominadas, (Pç 1, Pç 2, Pç 3...) a quantidade de movimentos que estão sendo realizadas e na última colunam, faça o registro da quantidade total.


77XII EPAEM -

Tabela1 – Número mínimo de movimentos para 6 peças.Quantidade de discos da torre

Quantidade de movimento de cada peça Total de movimentosP1 P2 P3 P4 P5 P6

123456

Fonte: adaptado de ‘Torre de Hanói, uma Proposta de Atividade para o Ensino Médio’

A atividade 3 deve ser apresentada aos participantes depois da atividade 2 concluída e consiste em um conjunto de questões que devem ser respondidas por escrito, a partir da observação dos participantes do que foi produzido durante as jogadas e as discussões entre os participantes.

Atividade 3: O número de movimentos é alterado quando a torre é transportada para o outro pino?

Para responder esta questão, é esperado que durante as jogadas o sujeito faça a contagem do número de movimentos realizados com cada peça e preencha a tabela proposta, assim como perceba que qualquer alteração relacionada a quantidade de discos, altera a quantidade de movimentos.

A atividade 4 consiste nas seguintes perguntas: Acrescentando uma peça à torre, em quanto aumentaria o número de movimentos?

Quando se propõe atividade com esse questionamento, é esperado que o estudante realize a contagem do número de movimentos e faça as observações que se relacionam com a quantidade de peças e consequentemente perceba que a quantidade


78XII EPAEM -

de movimentos se altera na medida em que se amplia o número de discos de uma jogada para outra.

Existe alguma relação matemática entre o número mínimo de jogadas necessárias para transportar uma torre, e o número necessário para transportar a torre acrescida de uma peça?

Para interpretar melhor essa situação didática, é esperado que o participante perceba que a relação matemática existente entre o número mínimo de jogadas necessárias ao transporte da torre acrescida de um disco será sempre o dobro da quantidade de peças utilizadas na jogada anterior.

Atividade 5: Existe alguma relação entre estes números e o que ocorre no jogo?

A relação existente entre os números produzidos com as jogadas e o que ocorre no jogo, verifica-se partir do momento em que o participante registra na tabela as sequências encontradas e explicita que o número de movimentos em relação a quantidade de peças utilizada será sempre o dobro em relação a quantidade utilizadas anteriormente.

Atividade 6: Você utiliza alguma ideia matemática para escolher suas jogadas? Em caso afirmativo, qual ou quais? Como você mobiliza essas ideias?

Ao responder essa atividade é esperado que o estudante entenda os processos sequenciais que ocorrem a partir de cada peça utilizada e posteriormente, entender a essência Matemática embutida em cada jogada. Assim entendida, acredita-se ficar evidente que o conhecimento em jogo estará sendo construído pelas ações dos participantes no envolvimento e nas ações com a


79XII EPAEM -

situação. Atividade 6: O que você observa na tabela, em especial às

colunas Peça 1, Peça 2, Peça 3, Peça 4, Peça 5... E o que você nota nessas colunas e nas linhas?

Aqui é esperado que o participante, compreenda as regularidades existente em cada coluna e socialize suas respostas com os outros grupos, entendendo assim que, da forma como está posta, a tabela, haverá repetições de coluna para coluna de acordo com o acréscimo de peças no jogo e sempre em ordem crescente.

Atividade 7: Escreva a sequência de movimentos encontrados no jogo com as seis peças. O que você pode nos dizer do termo seguinte em relação ao termo anterior?

Na corrida ao encontro da solução da atividade 7, momento de validação, é esperado que os participantes explicitem, de forma colaborativa, informações como por exemplo, uma das sequências numéricas, (2, 4, 8, 16, 32, 64...), produzida ao observar os números situados em cada coluna da tabela proposta na atividade 2. Considera-se esta sequência relevante para a exposição dos conceitos matemáticos em questão, sobretudo os conhecimentos relacionados aos conceitos que envolvem Progressões Geométricas. Nesta etapa do jogo cabe ao professor, conduzir os alunos a discutirem mais sobre a sequência encontrada e até mesmo a possibilidade de encontrar ou produzirem novas sequências.

Atividade 8: Qual é a lei de formação para sequência que você escreveu?

Nesta etapa, o professor pode circula entre os grupos de modo a observar, assim como registrar as discussões e oferecer


80XII EPAEM -

ajudas necessárias para que o jogo aconteça de forma construtiva, ou seja, por meio da Indução Matemática, para que os participantes desenvolvam as soluções das situações que serão necessárias para a construção da fórmula matemática, N = 2n – 1, envolvida no jogo, para essa fórmula, considera-se N, como sendo um número natural qualquer. Encontrada a fórmula, o professor o professor poderá propor atividades complementares que permita calcular qualquer N (número de movimentos realizados) em função de um dado n (número de discos utilizados), por exemplo, se n = 18, então, sem ter calculado n = 10, 11, 12, etc... Será possível encontrar o valor para qualquer N.

Atividade 9: O que é progressão Geométrica?A partir da atividade 9, os participantes deverão ser

envolvidos pelo professor, por meio de questionamentos, de modo a conduzi-los no processo de construção de conceitos matemáticos intimamente relacionados ao jogo, aqui, trata-se da Progressão Geométrica e Função Exponencial, podendo o professor, propor outras atividades relacionadas ao conteúdo mencionado.

Esta é a fase considerada a fase da institucionalização, uma das mais importantes, pois é neste momento que faremos a revelação aos participantes de quais são os conhecimentos que estão sendo explorados na situação proposta, neste momento, é esperado tanto por parte do professor, quanto dos participantes, o desfecho da situação, de modo a tornar o conhecimento ‘explícito’, seja por parte dos participantes, ou da nossa como intermediadores na atividade.


81XII EPAEM -

REFERÊNCIAS

ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: Ed. UFPR, 2007.

ANDRADE, R.C. D. e GUERRA, R. B. Tarefa fundamental em um percurso de estudo e pesquisa: um caso de estudo para o ensino da Geometria Analítica. Educação Matemática e Pesquisa. São Paulo, v.16, n.4, 2014.

ARAÚJO, J. L. Uma Abordagem Sócio-Crítica da Modelagem Matemática: a perspectiva da educação matemática crítica, ALEXANDRIA Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n.2, p.55-68, jul. 2009.

ARTIGUE, M. Épistémologie et didactique. Recherches em didactique des Mathématiques. Grenoble: La PenseéSauvade – Éditions, v. 10-2.3, 1990.

BACHELARD, G. A formação do espírito científico. São Paulo: Contraponto, 1996.

BARBOSA, J. C. A “contextualização” e a modelagem na educação matemática ensino do médio. In: Anais do Encontro Nacional de Educação Matemática, V. 8, 2004, Recife: SBEM. 1 CD-ROM.

BENINI, Marli Balzan Cavalaro. Laboratório de Ensino de Matemática e Laboratório de Ensino de Ciências: uma comparação. 2006. 108f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina.

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. (3º e 4º ciclos do ensino fundamental). Brasília: MEC/SEF, 1998.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e


82XII EPAEM -

Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais. (EnsinoMédio). Brasília: MEC, 2000.

BEOUGHER, E. E. The review of the literature and research related to the use manipulative aids in the teaching of mathematics. Mich: special publication of division of instruction, Oakland School, 1967.

BORBA, M. C. Coletivos Seres-Humanos-com-Mídias e a Produção de Matemática. In: Simpósio brasileiro de psicologia da educação matemática, Curitiba: UFPR, PUCPR, Universidade Tuiuti do Paraná, 2001.

BORBA, M. C.; VILLARREAL, M. V. Humans-With-Media and the reorganization of Mathematical thinking: information and communication technologies, modeling, experimentation and visualization. v. 39, New York: Springer, 2005.

BROUSSEAU, G. Etudelocale des processu d’acquisition em situations scolaires. Boudeaux: Etudes surl’enseignem emtélémentaire, v.18, p. 7-21, 1978.

___________. Les obstacles épistemologiques et les problémes em mathématiques. Grenoble, Recherchesendidactiquedesmathematiques.v. 4, n. 12. p. 165-198. 1983.

____________. Fondements et méthodes em didactique des mathematiques, Rechercehs em didactique des mathématiques, Grenoble, v. 7, n. 2 , p. 35 - 115, 1986.

____________. Le Contratdidactique: Le Milieu. Rechercehs em didactique des mathématiques. Grenoble: La pensé es auvage, Vol 9.3 , p 309 – 336, 1990.

____________. Theory of didactial situations in mathematics: didactique des mathématiques. [Edited and Translated by Nicolas Balacheff] Dordrecth: Kluwer Academic Publishers, 1997.


83XII EPAEM -

Disponível em: http://www.cfem.asso.fr/actualites/Brousseau.pdf. Acessado em: 11/05/2016.

____________. Introdução ao estudo das situações didáticas: Conteúdos e Métodos de Ensino [Tradução Camila Bogéa]. São Paulo: Ática, 2008.

CEDRO, Wellington Lima. O motivo e a atividade de aprendizagem do professor de matemática: uma perspectiva histórico-cultural. 242f. Tese (Doutorado). Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2008.

CHARLOT, B. Da relação com o saber: elementos para uma teoria. Porto Alegre: Artmed, 2000.

CHAVES, M. I. A. Percepções de professores sobre repercussões de suas experiências com modelagem matemática. 132 f. Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Pará, Instituto de Educação Matemática e Científica, Belém, 2012. Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas.

CHAUÍ, M. Convite à filosofia. São Paulo: Editora Ática, 1994.

COSTA, Iêda Maria de Araújo Câmara. (org.). Metodologia e prática de ensino de matemática. Manaus: UEA Edições, 2007.

CURI, E. Formação de professores polivalentes: uma análise de conhecimentos para ensinar Matemática e de crenças e atitudes que interferem na constituição desses conhecimentos. Tese de Doutorado em Educação Matemática. São Paulo: PUC, 2004.

D’AMORE, B. Elementos de didática da matemática. [Tradução Maria Cristina Bonomi] São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007.

DAMIANI, M. F.; ROCHEORT, R. S.; CASTRO, R. F. de; DARIZ, M. R.; PINHEIRO, S. S. Discutindo pesquisa do tipo intervenção pedagógica. Cadernos de Educação – Faculdade de Educação, UFPeL, n.45, 2013.


84XII EPAEM -

DUARTE, J. Entrevista em profundidade. In: DUARTE, J; BARROS, A. (org) Métodos e técnicas de pesquisa e comunicação. São Paulo: Atlas, 2005.

FERRERO, L. El juego y la matemática. Madrid: La Muralla, 1991.

FIORENTINI, D. Alguns modos de ver e conceber o ensino da matemática no Brasil. Campinas: Zetetiké, ano 3, n. 4, p. 1 – 37, 1995.

FIORENTINI, D.; NACARATO, A. M.; PINTO, R. A. Saberes da experiência docente em Matemática e Educação Continuada. Portugal: Quadrante Revista teórica e de investigação, V. 8, 1999.

FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas, São Paulo: Autores Associados, 2006.

FIORENTINI, D; MIORIM, M. A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da matemática. In: Boletim da SBEM-SP, n. 7, de julho-agosto de 1990.

GONÇALVES, H. J. L.; NUNES, J. M. V. Obstáculos didáticos e epistemológicos no ensino de noções de análise combinatória, probabilidades e estatística. Sinergia, São Paulo, v. 11, nº 1, p. 86-95, jan./jun. 2010.

GRANDO, R. C. O Jogo e suas Possibilidades metodológicas no Processo Ensino-Aprendizagem da Matemática. Campinas, SP,1995. 175p. Dissertação de Mestrado. Faculdade de Educação, UNICAMP

HUIZINGA, J. Homo ludens: o jogo como elemento da cultura. São Paulo: Ed. Perspectiva, 2ª ed.,. Tradução: João Paulo Monteiro, 1990.

JACONBSEN, D. R.; MAFFEI, L. D. Q.; SPEROTTO, R. I. Jogos Eletrônicos: um artefato tecnológico para o ensino e para a aprendizagem. In: Anais XI Encontro Nacional de Educação Matemática. XI ENEM. Curitiba, 2013.


85XII EPAEM -

JARDINETTI, J. R. B. A relação entre o abstrato e o concreto no ensino da geometria analítica a nível do 19 e 29 graus. São Carlos: UFSCar. 1991. 298 p. (Dissertação de Mestrado).

JUSTOS, Henrique. Ensino e aprendizagem segundo Carl Ransom Rogers: aprendizagem centrada no aluno. La Salle: Canoas, 2003.

KAMII, C. A criança e o número: implicações educacionais da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1988.

KNIJNIK, G.; BASSO, N. V. de A.; KLÜNSENER, R. Aprendendo e ensinando matemática com o geoplano. 2.ª ed. Ijuí, RS: Ed. Unijuí: 2004. (Biblioteca do professor. Coleção Programa do Livro na Escola), 2004.

KOPNIN, P. A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, 1978.

LIBÂNEO, J. C. Organização e gestão da escola: teoria e prática. 5. ed. v.1. 319. p. Goiânia: MF Livros, 2008.

Lindquist, M. Communication—an Imperative for Change: A Conversation with Mary Lindquist. Em Communication in Mathematics K-12 and Beyond. Reston: NCTM, 1996.

LINS, R. C.; GIMENES, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XIX. São Paulo: Papirus, 2001.

LORENZATO, Sérgio. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos manipuláveis. In: LORENZATO, S (org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.

LORENZATO, S.. Para aprender matemática. 2.ª Ed. Campinas, SP: Autores Associados, 2008.

MENDES, I. A. Matemática e investigação em sala de aula: tecendo


86XII EPAEM -

redes cognitivas na aprendizagem. 2.ª ed. São Paulo, SP: Editora Livraria da Física, 2009.

MENEZES, J. E. (org.). Conhecimento, interdisciplinaridade e atividades de ensino com jogos matemáticos: uma proposta metodológica. Recife, PE: UFRPE, 2008. (Série Contexto Matemático).

MIGUEL, A.; FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A. Álgebra ou Geometria: para onde pende o pêndulo? In: Revista Pro-Proposições. São Paulo, Cortez ed., vol. 3, nº 1, p. 39-54, 1992.

MIOLA, A. F. S. Uma análise de reflexões e de conhecimentos construídos e mobilizados por um grupo de professores no ensino de números decimais para o sexto ano do ensino fundamental. 150 p. Mestrado Acadêmico em Educação Matemática. Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu Educação Matemática. Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS), Campo Grande, MS, 2011.

MIRANDA, W. S.; SILVA, F. H. S. A inter-relação entre avaliação, obstáculo e erro. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011.

MOURA, M. O. O professor em formação. São Paulo: USP, 1992.

NACARATO, A. M. Eu trabalho primeiro no concreto. Revista de Educação Matemática, São Paulo, v. 9, n. 9-10, p. 1-6, 2004.

NASCIMENTO, A. M. G.; SOUZA, E. L. C.; SILVEIRA, I. R.; DUARTE, W. E. Metodologia do Ensino da Matemática: vivacidade, instigante, interdisciplinar. In: PIMENTEL, A. (Org.). In: Gestaltens: pesquisa em educação, saúde e violências. Belém: Amazonas Edições, 2012.

NICOLET, J. L. Intuición matemática y dibujos animados. In: Comisión internacional para el estudo e mejora de la enseñanza de las matemáticas. Tradução de Gonzalo Medina. Madrid: Aguilar, 1967.

PAIS, L. C. Didática da matemática: uma análise da influência francesa.


87XII EPAEM -

Belo Horizonte: Autêntica, 2001.

__________. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

PENTEADO, M. G. Redes de Trabalho: expansão das possibilidades da informática na educação matemática da escola básica. In: Educação matemática: pesquisa em movimento. BICUDO, M. A.V.; BORBA, M. C. (Org.). São Paulo: Cortez, 2004.

PENTEADO, M. G.; BORBA, M. de C. Informática e educação matemática. Belo Horizonte, MG: Autêntica, 2003.

PIMENTA, S. G. Formação de professores: identidade e saberes da docência. In: PIMENTA, S. G. (Org.). Saberes pedagógicos e atividade docente. São Paulo: Cortez, 4.ª ed. 2005.

PONTE, J. P. O conhecimento profissional dos professores de matemática (Relatório final de Projecto “O saber dos professores: Concepções e práticas”). Lisboa: DEFCUL, 1997.

RANDOLPH, J. J. A guide to writing the dissertation literature review. Practical Assessment Research Evaluation.14, 2009.

REYS, R. Considerations for teaching using manipulatives materials. Arithmetic Teacher. 1971.

SAIZ, I. Dividir com dificuldade ou a dificuldade de dividir. In: PARRA, C. et al. (Org.) Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Trad. Juan AcuñaLlorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.

SANTOS, M. Pensando o Espaço do Homem. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2004.

SAVIANI, D. Escola e democracia. 24.ª ed. São Paulo: Cortez, 1991.


88XII EPAEM -

SCHUBRING, G. Um outro caso de obstáculos epistemológicos: o princípio de permanência. Bolema. São Paulo: Rio Claro, Ano 20, nº 28, p. 1-20, 2007.SERRAZINA, Maria de Lurdes. Teacher’s professional development in a period of radical change in primary mathematics education in Portugal. Tese de Doutorado, Universidade de Londres. Lisboa: APM, 1998

SILVA. S. F.; NÚÑEZ. I. B.. O Ensino por problemas e trabalho experimental dos estudantes - reflexões teórico-metodológicas. Revista Química Nova, v.25, n.6b, p.1197-1203, dez. 2002. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0100-40422002000700023>. Acessado em: 14/05/2016.

THOMPSON, A. G. A relação entre concepções de matemática e de ensino de matemática de professores na prática pedagógica. Tradução Gilberto F. A. de Melo. Zetetiké, Campinas: FE – UNICAMP, v. 5, n. 8, p. 11- 14, dez. 1997.

TRIGO, Carmen Esperança Cesar. Análise de uma experiência de intervenção pedagógica com uso de experimentos matemáticos: discutindo a importância da extensão universitária na formação docente. 99 p. Mestrado Profissional em Ensino de Ciências. Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Ensino de Ciências. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro (IFRJ), Nilópolis, RJ, 2011.

TURRIONI, A. M. S.; PEREZ, G. Implementando um laboratório de educação matemática para apoio na formação de professores. In: LORENZATO, Sérgio. Laboratório de ensino de Matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006.

VARIZO, Zaíra C. M. Os caminhos da didática e sua relação com a formação de professores de Matemática. In: NACARATO, Adair Mendes; PAIVA, Maria A.V. (orgs.). A formação do professor que ensina matemática: perspectivas e pesquisas. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.


89XII EPAEM -

VOS, P.; KUIPER, W. Exploring the potencials of hands-on investigative tasks for curriculum evaluations. In: A. D. Cockburn & E. Nardi (Eds.), Proceeding of the 26th annual conference of the international group for the Psychology of Mathematics Education, (V.4, pp.329-336)


90XII EPAEM -


91XII EPAEM -

SOBRE OS AUTORES

Wellington Evangelista Duarte é licenciado em Matemática pela UFPA, mestre em Educação em Ciências e Matemática pelo Programa de pós-graduação em Educação em Ciências e

Matemáticas - PPGECM/UFPA, doutorando em Educação em Ciências e Matemáticas pelo PPGECM/UFPA.

Fernando Cardoso de Matos é Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado do Pará, Especialista em educação Matemática pela Universidade do Estado do Pará em 2000,

Mestre em Ciências Ambientais, pela Universidade de Taubaté em São Paulo e Doutor em Educação em Ciências e Matemática, pela Universidade do Estado do Pará. Professor do Instituto Federal do Pará e da secretaria do Estado de Educação do Pará. Líder do Grupo de Pesquisa Grupo Interdisciplinar Para a Educação Em Ciências E Matemática. Atualmente é Diretor da SBEM PA.

Reginaldo da Silva possui graduação em Licenciatura em Matemática pela Universidade da Amazônia (1992); Mestrado e Doutorado em Educação Matemática pela Universidade

Federal do Pará (2013). Doutorado em Educação Matemática pela Universidade Federal do Pará (2016). Atualmente é Professor efetivo - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará. Tem experiência na área de Matemática, com ênfase na área de Educação Matemática. Diretor de pesquisa do Campus Belém.


92XII EPAEM -


93XII EPAEM -

Educação Matemática na Amazônia - Coleção - VIVolume 1 – Ensino da matemática por meio da geometria dinâmica com o desmos.Autores: Demetrius Gonçalves de Araújo, Fábio José da Costa Alves e Gilvan Lira Souza.

Volume 2 – A noção do raciocínio combinatório nos anos iniciais do ensino fundamental a partir da teoria antropológica do didático.Autores: Guilherme Motta de Moraes, José Carlos de Souza Pereira e José Messildo Viana Nunes.

Volume 3 – Educação Matemática e Educação Hospitalar: um paralelo entre o solo oncológico e solo geométrico. Autores: Marcos Evandro Lisboa de Moraes, Felipe Moraes dos Santos, Elielson Ribeiro Sales.

Volume 4 – Altas habilidades em matemática no contexto escolar: reflexões iniciais.Autores: Maria Eliana Soares, Elielson Ribeiro de Sales e Edson Pinheiro Wanzeler.

Volume 5 – Pelas trilhas históricas do pesar e do medir.Autora: Elenice de Souza Lodron Zuin.

Volume 6 – O uso de materiais manipuláveis e suas perspectivas na atividade matemática.Autores: Fernando Cardoso de Matos, Reginaldo da Silva e Wellington Evangelista Duarte.

Volume 7 – O ensino de Frações por atividades.Autores: Pedro Franco de Sá e Kamilly Suzanny Felix Alves.

Volume 8 – Criatividade na história da criação matemática: potencialidades para o trabalho do professor.Autor: Iran Abreu Mendes.

Volume 9 – Sequências didáticas: olhares teóricos e construção.Autores: Acylena Coelho Costa e Natanael Freitas Cabral.

Volume 10 – Limite de uma função: História e atividades para o ensinoAutores: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias e João Cláudio Brandemberg.

Volume 11 – O ensino de fatoração algébrica por atividaes.Autores: Glaucianny Amorim Noronha e Pedro Roberto Sousa da Silva.

Volume 12 – Medidas Lineares e de Superfície: um enfoque histórico e matemático.Autores: Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha, Francisco Fialho Guedes Ferreira e Francisca Janice dos Santos Fortaleza.

Documents

Wellington Evangelista Duarte Fernando Cardoso De Matos ... · Cardoso de Matos, Fernando. III. da Silva, Reginaldo Belém: XII EPAEM, 2019. (Coleção VI). 99 p. ISBN 978-65-5076-006-9