Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
X-VariedadesEstáveiseCrises
ReferênciaPrincipal:ChaosK.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke
Springer(1997)
1-IntroduçãoVariedadeestável(instável):conjuntodepontosiniciaisqueconvergemparaopontodeselaparat→∞(t→-∞).
• Poincaré:cruzamentodevariedadescausamdinâmicacomplexa.• Vamosexaminarcrisescausadaspelocruzamentoentreasvariedadesestáveleinstáveldeumpontodesela.(Nãohácruzamentosdeumamesmavariedade!)
• Emgeral,variedadesnãosãodeterminadasanaliXcamente.
• Determinaçãodasvariedadesrequermapasinversíveis.
2–TeoremadaVariedadeEstável
As variedades de um ponto de sela no plano são curvas unidimensionais.
ChaosAlligoodetal.
0.59)- (1, V 2.26 -
0.88) (1, V 0.13 -
vetores-auto e valores-Auto
0.33) - 0.99, (- P fixo Ponto
uu
ss
=→=λ
=→=λ
=
!
!
!
x=-π→x=π
Conjectura:variedadeestávelseaproximadecadapontodomapa
ExemplodeVariedadeseCruzamentosdeumPontodeSela
ExemploMapa f (x, y) = ( 0.5 x + g(x, y), 3y + h(x, y) )g, h potencias com ordem maior ou igual a 2
Ponto fixo em (0, 0)
Df(0, 0) = 0.5 00 3⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⇒
0.5 -λ 00 3 -λ
= 0
auto− valor λ = 0.5 ⇒ auto-vetor !u = ex
λ = 3 ⇒ !u = ey
Variedade estável na direção de ex
Variedade instável na direção de ey
ChaosAlligoodetal.
Variedades de um Ponto de Sela no Plano
Local Global
Teorema:
f: difeomorfismo em R2 , com um ponto de sela !P
Matriz Jacobiana D f (!P) → auto-valores s ( s < 1) e u ( u > 1)
!Vs e
!Vu auto-vetores desses auto-valores
As variedades estável , S, e instável, U, de !P são unidimensionais e contem
!P.
Em !P, !Vs e
!Vu são tangentes a S e U, respectivamente.
ChaosAlligoodetal.
Ilustração do Teorema da Variedade Estável
ChaosAlligoodetal.
0) (0, :sela de Ponto0) (1, 0), ,1(:atratoresfixosPontos
)2y, xarctg 4( y) f(x,
−π
=
Exemplo de Variedades
ChaosAlligoodetal.
xy
2
eueesvetoresAuto0) (1, :sela de Ponto
0) (-1, :repulsão de fixo Ponto0) (0, :atrator fixo Ponto
)sen - ,(r )y,x(f
==−
⇒
θθ=
!!
Exemplo de Variedades
ChaosAlligoodetal.
yxs
yxu
2
33
eeV
eeV
:vetoresAuto
10 x3- 1
1 0 0) (0, Df
0) (0,:sela de Ponto
xxy
y
x0 xxx
−=
+=
−
±=λ⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⇒=+−
•
•
••
!
!
Variedades da Equação de Duffing
ChaosAlligoodetal.
Variedades do Mapa de Hénon
yxuu
yxss
e58.0eV71.1
e71.5eV18.0
0.94) (0.94, :sela de Ponto
−=⇒−=λ
−=⇒−=λ!
!
3-PontosHomoclínicoseHeteroclínicos
• Emaranhado homoclínico
• Sela caótica: conjunto caótico não atrativo
icoheteroclín ponto um de órbita :icaheteroclín Órbitaicoheteroclín ponto
um é r ,diferentes selas de pontos de es variedadforem Ue S Se
ohomoclínic ponto um de órbita :ahomoclínic Órbita
)P(f)r(f lim )P(f)r(f lim
ohomoclínic ponto é r U r S, r(U) instável e (S) estável es variedadcom sela de ponto :P
R de inversível mapa :f :Definição
k
k-
k
k
n
!
!!!!
!!!
!
→→
⇒∈∈
∞→∞→
os.homoclínic pontos em,f e fpor mapeados, são oshomoclínic Pontos -1
ChaosAlligoodetal.
Cruzamento de Variedades
Ponto no cruzamento vai para P, quando t → ∞ vai para P, quando t → - ∞
P: ponto de sela S: variedade estável U: variedade instável
ChaosAlligoodetal.
Emaranhado Homoclínico
. 0 t e 0 t para mapa, nesse permanecem que pontos pelos formado:Cantor de Conjunto
ahiperbólic ferradura da mapa oshomoclínic Pontos
1967 ferradura, da mapa :Smale S.
<>
⇒
ChaosAlligoodetal.
Construção de um Mapa da Ferradura
Área R em torno do ponto de selaP
Iterar f k (R) até encontrar um ponto homoclínico rIterar f −l (R) até encontrar esse ponto homoclínico r
Mapa f k + l (r ) = rDomínio : f −l (R)Imagem : f k (R)
Determinar R suficientemente pequena, k , l não grande demais. Procurar esticamento e contração uniformes.
f. de iterações para ohiperbólic ferradura da mapa um Há salmente transvercruzam se instável e estável Variedades
sela de fixo ponto :P
plano no smodifeomorfi :f:Teorema
cruzam) se não elas o,homoclínic ponto no am tangencise apenas elas (Se
elas. entre positivo ângulo um com mintercepta se elasse salmente transvercruzam se instável e estável Variedades
:Definições
⇒
!
ChaosAlligoodetal.
Cruzamentos transverso e não transverso
ChaosAlligoodetal.
4-Crises
• Parâmetros críticos
• Pequena alteração do parâmetro próxima ao valor crítico ⇒ mudança abrupta no atrator
• Discussão das alterações dinâmicas envolvidas
Três Tipos de Crise com Atratores Caóticos
• Tamanho do atrator caótico aumenta por colidir com órbita periódica no interior da sua bacia. Crise interior. • Destruição do atrator caótico que colide com órbita periódica na fronteira da sua bacia. Crise de fronteira. • Dois ou mais atratores se fundem ao colidirem simultaneamente com órbita na fronteira das suas bacias. Crise de fusão de atratores.
Evolução Pós Crise
Tempo Característico Para Cada Tipo de Crise
• Crise interior Tempo de visita intermitente (bursts) à região que o atrator ocupava antes do seu crescimento.
• Crise de fronteira Duração do transiente caótico após a destruição do atrator caótico. • Crise de fusão de atratores Tempo de permanência intermitente na região dos atratores originais.
ChaosAlliggodetal.
reais parâmetros R,C,C,Cy x 1
C - C
) cosy sen x (C) sen y - cosx (C R
y) (x, F
321
223
1
2
2
+++=τ
⎩⎨⎧
τ+τ
ττ+=
Atrator Caótico do Mapa de Ikeda
ChaosAlligoodetal.
Crise Interior do Atrator de Ikeda
ChaosAlligoodetal.
0 n
n ).L(f de limiteponto um é P de instável e variedadda ponto cada
salmente transverestável e variedadcruza L Curvasela de ponto :P
plano no smo difeomorfi :f
)lambdalema( Teorema
>
∪
⇒!
!
Demonstração em Palis, de Melo, Springer, 1982
ChaosAlligoodetal.
Crise Interior: colisão do atrator caótico com a variedade estável da órbita periódica (p=5)
Variedade estável da órbita periódica instavel entra na bacia do atrator Caótico.
ChaosAlligoodetal.
Antes da crise interior : cada ramo da variedade instável vai para um ramo do atrator.
Depois da crise: as duas partes preenchem o atrator.
ChaosAlligoodetal.
Alteração Dinâmica Crise interior do mapa de Hénon
ChaosAlligoodetal.
Crise de Fronteira Variedade estável não está na bacia do atrator caótico.
Transiente Caótico
ChaosAlligoodetal.
Atrator penetra na bacia de atração do ponto fixo
Crise de Fusão de Atratores Circuito de Chua
4–VariedadesparaMapasDimensãoMaiorque2
icoheteroclín ponto um de órbita :icaheteroclín Órbitaicoheteroclín ponto
um é r ,diferentes selas de pontos de es variedadforem Ue S Se
ohomoclínic ponto um de órbita :ahomoclínic Órbita
)P(f)r(f lim )P(f)r(f lim
ohomoclínic ponto é r U r S, r(U) instável e (S) estável es variedadcom sela de ponto :P
R de inversível mapa :f :Definição
n
n-
n
n
nn
!
!!!!
!!!
!
→→
⇒∈∈
∞→∞→
ChaosAlligoodetal.
WadadeBacias
ChaosAlligoodetal.
ChaosAlligoodetal.
CrisesLaboratóriodeFenômenosNãoLineares
Principaisautoresdostrabalhosiniciais:• J.C.Sartorelli• R.D.Pinto• W.M.Gonçalves• M.S.BapXsta
• Pesquisasposteriores,desseseváriosoutrospesquisadores.
ChaosAlligoodetal.
Esquema do Equipamento
ChaosAlligoodetal.
Mapa de Retorno do intervalo de tempo entre duas gotas
Rota para o Caos
ChaosAlligoodetal.
Diagrama de Bifurcação
(Intervalos de tempo entre duas gotas)
ChaosAlligoodetal.
Mudança de Atrator (Crise interior indicada por I no diagrama de bifurcação)
ChaosAlligoodetal.
Crise de Fronteira (indicada por B no diagrama de bifurcação)
Atrator caótico Atrator com periodo 5
ChaosAlligoodetal.
Transição caos → periódico
Diagrama de Bifurcações
Ponto fixo → ciclo limite → caos
Mudanças no atrator caótico
Transiente Caótico
Ponto de Sela Variedades
Ponto vermelho: sela Linha azul: variedade instável Linha verde: variedade estável
Transição Fig. e → Fig. f atrator cruza variedade estável e sofre expansão
Duas Crises Interiores
a) antes da primeira crise b) c) entre primeira e segunda crise d) após segunda crise
Sucessão de Regimes Crises Interiores
(Página1284)
Ponto inicial na bacia do atrator caótico.
A partir da iteração 86435, a órbita deixa o atrator caótico.
Transiente Caótico do Mapa de Ikeda
críticoparâmetro:pcontrolede parâmetro:p
p p
c
c>
Grebogi et al. PRA 36 (1987)
Esquema da Tangência Heteroclínica Atrator atinge a fronteira da bacia.
s variedadedessas cruzamento Há p p
s variedadedessas cruzamento há Não p p
B de estável e variedadtangenciaA de instável Variedadep p
c
c
c
>
<
=
Crise de fronteira
Variação do Transiente X Parâmetro Crítico
crítico expoente :)p- p ( T
te transiendo média Duração
iniciais pontos de conjunto um para média duração :T
T
e )( P
inicial) ponto um para e transientdo (duração de ãoDistribuiç
c
T-
γ
≈
≅τ
τ
γ−
τ
(Página 1507)
) 4 r 1) x- 1 (r x xlogístico Mapa (
2 C 1/4- ; x- C xQuadrático Mapa
nn1 n
2n1 n
<<
=
<<=
+
+Crise de Fronteira
Bandas caóticas separadas do ponto fixo instável de periodo 3.
Bandas caóticas superpostas ao ponto fixo instável de periodo 3.
Esquema da Crise de Fronteira
Variação do intervalo de tempo entre bursts sucessivos X Parâmetro Crítico
crítico expoente :)p- p (
tempode intervalo do média Duração
iniciais pontos de conjunto um para média duração :
e )( P
inicial) ponto um para intervalo do (duração de ãoDistribuiç
c
T-
γ
≈τ
ττ
≅τ
τ
γ−
τ
) 4 r 1) x- 1 (r x xlogístico Mapa (
2 C 1/4- ; x- C xQuadrático Mapa
nn1 n
2n1 n
<<
=
<<=
+
+
Crise de Fronteira
Colisão entre órbita Instável e atrator caótico
0x x- p x 02n1 n ==+
A = 0.85 B = -0.9 κ = 0.4 p variando em torno de p-crítico pc = 7.26884894...
Duração Média dos Intervalos entre Bursts
Crise heteroclínica
AConvecçãode
Rayleigh-Bénard
ρ µdvdt
F p v! ! ! != − ∇ + ∇2
Equação da continuidade
Equação de Navier-Stokes
Equação de Condução do Calor dTdt
T= ∇κ 2
∂ρ∂
ρt
v+∇⋅ =! !( ) 0
Equações de Lorenz
dXdt
X Y= − −σ ( )
dYdt
rX Y XZ= − −
dZdt
XY bZ= −
Intermitência = pré-turbulência Estudo da origem da turbulência
Variação de Parâmetro de Controle
• Várias rotas para o caos.
• Uma rota: caos precedido de órbita homoclínica.
• Outra rota: atrator caótico precedido de intermitência.
b r, , : controle de Parâmetrossional tridimenfase de espaço z y, x,:Variáveis
z b -y x z
y -r x y x - y
y x - x
Lorenz de Sistema
σ
→
=
+=
σ+σ=
•
•
•
X é proporcional à intensidade da convecção. X=0 implica que não há movimento convectivo, ou seja, o calor é transportado apenas por condução. X>0 implica circulação horária e X<0 circulação anti-horária.
Y é proporcional à diferença de temperatura entre as correntes de fluido ascendente e descendente.
Z é proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical, relativamente a um perfil linear. Para Z=0, a temperatura decresce linearmente.
Atratores do Sistema de Lorenz
Chaos Alligood et al.
reais,estáveisCeCPontos 1 r r
ensionaldimbiestáveliedadevar0ensionaldimuniinstáveliedadevar0
instávelOPonto 1 r
0 pois ,1r0 intervalo no estável O Ponto
0 b- 0 0
0 1- r0-
jacobiana matriz da valores-auto pelos adeterminad é O ponto do deEstabilida
0r 10 8/3 b
) 1-r ,1) -(r b - ,1) -(r b- ( C
) 1-r ,1) -(r b ,1) -(r b ( C
0) 0, (0, z) y, ,(x O:fixos Pontos
3,2,1s
3,2
1
i
λʹ⇒>>⎩⎨⎧
⇒<λ
⇒>λ⇒>
<λ<<
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
λ−
λ−
σλ−σ
λ
>=σ=
≡ʹ
≡
=≡
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
ʹ⇒>
ʹ
⇒>
⇒<
⇒=>
⇒==
ʹ
<λλ
>>
ʹ
>>
)persistecaóticoatrator(seladepontosC e C74.24r
CeCatratorescomcoexiste(caóticoatrator06.24r
caóticotransiente06.24r
caosetransientecaos93.13rr
ashomoclínic Órbitas 13.93rr
atratoresC e C
0Re ,complexosrrr
O ponto do estável nalbidimensio e variedadpela separadas atração BaciasatratoresC e C1rr
0
o
2,12,1
s0
s
Origem do Atrator Caótico de Lorenz
Chaos Ott
a) O ponto fixo estável b) O instável; C, C` estáveis c) O instável, C, C` estáveis d) Idem e) Órbita homoclínica f) Atrator caótico
RotaParaCaosViaIntermitência
σ = 10 b = 8/3 r = 28
Atrator de Lorenz
z
Evolução da Variável Z Atrator Caótico
z
t
r=165
r=166
Atratores Periódicos
z
z
t
t
r=166,1
r=166,2
Rota para o Caos Intermitência
r=166,4
r=166,6
r=166,8
r=165
Análise Espectral Atrator Periódico
r=166,2
Análise Espectral Atrator Quase-Periódico
r=166,8
Análise Espectral Atrator Caótico
Intermitência no Sistema de Lorenz
Fluxos laminar turbulento
Intermitência no Sistema de Lorenz
Fluxos laminar turbulento
Intermitência no Sistema de Lorenz Transição irregular entre o regime laminar e o trubulento
I–RotaparaoCaos:IntermitênciadoTipoI
Exemplo a seguir:
Mapa unidimensional
u’ = u + ε + u 2
ε: parâmetro de controle
Origem do Mapa
u’=u+ε+u2
u’=u+ε+u2
u’=u+ε+u2