15 - M A X I M O S E M I N I M O S D E F U N C O E S D E D U A SVA R I A V E I S D E F I N I D A S E M C O N J U N T O S A B E RT O S

Prof. Benito Frazao Pires - 6 horas

Nesta secao abordaremos mınimos e maximos de funcoes f (x, y) de duas variaveisdefinidas em conjuntos abertos.

Um subconjunto D ✓ R2 e aberto se ele nao incluir as bordas (contornos) que odelimitam. Conjuntos sem bordas tambem sao considerados abertos, como e o caso doplano R2. A Figura 1 exibe alguns exemplos de conjuntos abertos contidos no plano.

Figura 1: Subconjuntos abertos do plano

Formalmente, um conjunto D ⇢ R2 e aberto se para todo (x0, y0) existir um raior > 0 tal que o disco centrado em (x0, y0) de raio r esteja inteiramente contido emD, isto e, Dr

�

x0, y0�

:= {(x, y) 2 R2 : x2 + y2 r2} ✓ D. A Figura 2 mostra que estapropriedade e verdadeira para o ponto (x0, y0) = (1, 1) do conjunto dado. Este testetem de ser feito em cada ponto do conjunto.

Figura 2: Testando se um dado conjunto e aberto

Muitas funcoes contınuas tem como domınios conjuntos abertos. Por exemplo,polinomios em duas variaveis como a funcao f (x, y) = x2 + y2 tem como domınio

o plano inteiro, que e um conjunto aberto. A funcao f (x, y) =log (x2 + y2 � 1)p

4 � x2 � y2tem

1

como domınio o conjunto D = {(x, y) : 1 < x2 + y2 < 4}, que e o conjunto abertoesbocado na Figura 2.

Muitos problemas concretos podem ser reduzidos ao problema de encontrar maximose mınimos de uma funcao de duas variaveis. O procedimento para resolver tais pro-blemas e denominado otimizacao. Eis aqui um destes problemas.

Problema 1 Uma escola deve atender alunos provenientes de tres bairros, localizados nasposicoes P1 = (1, 2), P2 = (4, 3) e P3 = (3, 7). Suponha que 5, 8 e 7 sejam os numeros dealunos dos respectivos bairros. Em qual posicao a escola deve ser construıda para minimizara distancia total percorrida pelos alunos ?

Discussao. Suponha que a escola seja construıda na posicao P = (x, y). A distanciaque um aluno do bairro localizado em P1 percorre para ir e voltar da escola ed = 2

p

(x � 1)2 + (y � 2)2. Um raciocınio analogo vale para alunos provenientesde outros bairros. Assim, levando em conta o numero de alunos de cada bairro, naoe difıcil concluir que a posicao (x, y) ideal da escola e aquela onde a funcao

f (x, y) = 10q

(x � 1)2 + (y � 2)2 + 16q

(x � 4)2 + (y � 3)2 + 14q

(x � 3)2 + (y � 7)2

atinge o valor mınimo.

Intuitivamente, dizemos que (x0, y0) e ponto de mınimo local de uma funcao f deduas variaveis se o valor de f em (x0, y0) for menor ou igual ao valor de f em todosos pontos do domınio de f num entorno de (x0, y0). Formalmente, entorno significaum disco de raio r > 0 centrado no ponto (x0, y0), isto e, o conjunto:

Dr(x0, y0) =n

(x, y) 2 R2 : (x � x0)2 + (y � y0)

2 r2o

.

Definicao 15.0.1 (mınimo local) Dizemos que (x0, y0) 2 Dom ( f ) e um ponto demınimo local de uma funcao f se existir um disco Dr(x0, y0) ⇢ Dom ( f ) de raio r > 0centrado em (x0, y0) tal que f (x0, y0) f (x, y) para todo (x, y) 2 Dr(x0, y0). Nessecaso, f (x0, y0) e chamado de valor mınimo local de f .

Na Definicao 15.0.1, e suficiente que exista um disco de raio r > 0 centrado em(x0, y0) satisfazendo as desigualdades mencionadas, nao importa quao pequeno sejar > 0. O termo ”local”pode ser trocado pelo termo equivalente “relativo”, usado poralguns autores. No caso em que Dom ( f ) = R2, as hipoteses de que (x0, y0) 2 R2 eDr(x0, y0) ⇢ Dom ( f ) sao automaticamente satisfeitas.

2

Definicao 15.0.2 (mınimo global) Dizemos que (x0, y0) 2 Dom ( f ) e um ponto demınimo global de uma funcao f se f (x0, y0) f (x, y) para todo (x, y) 2 Dom ( f ). Nessecaso, f (x0, y0) e chamado de valor mınimo global de f .

Na Definicao 15.0.2, o termo ”global”pode ser trocado pelo termo equivalente“absoluto”, usado por alguns autores. Segue imediatamente das Definicoes 15.0.1 e15.0.2 o seguinte resultado.

Proposicao 15.0.3 Todo ponto de mınimo global e ponto de mınimo local, mas a recıprocae falsa, isto e, nem todo ponto de mınimo local e ponto de mınimo global.

Revertendo as desigualdades nas definicoes acima, obtemos os conceitos de maximolocal (ou relativo) e maximo global (ou absoluto).

Definicao 15.0.4 (maximo local) Dizemos que (x0, y0) 2 Dom ( f ) e um ponto demaximo local de uma funcao f se existir um disco Dr(x0, y0) ⇢ Dom ( f ) de raio r > 0centrado em (x0, y0) tal que f (x0, y0) � f (x, y) para todo (x, y) 2 Dr(x0, y0). Nessecaso, f (x0, y0) e chamado de valor maximo local de f .

Definicao 15.0.5 (maximo global) Dizemos que (x0, y0) 2 Dom ( f ) e um ponto demaximo global de uma funcao f se f (x0, y0) � f (x, y) para todo (x, y) 2 Dom ( f ). Nessecaso, f (x0, y0) e chamado de valor maximo global de f .

Proposicao 15.0.6 Todo ponto de maximo global e ponto de maximo local , mas a recıprocae falsa, isto e, nem todo ponto de maximo local e ponto de maximo global.

Exemplo 15.0.7 Considere a funcao f (x, y) = x2 + y2.

(a) Mostre que (0, 0) e o unico ponto de mınimo global de f ;

(b) Mostre que (0, 0) e ponto de mınimo local de f .

Resolucao.(a) Basta checar a Definicao 15.0.2. De fato, para todo (x, y) 2 R2, temos que

f (0, 0) = 0 x2 + y2 = f (x, y).

(b) Segue de (a), pela Proposicao 15.0.3.

3

Os pontos de mınimos e de maximos de uma funcao f (x, y) pertencem a umacategoria especial de pontos denominados “pontos crıticos”.

Definicao 15.0.8 (ponto crıtico) Dizemos que (x0, y0) e ponto crıtico de uma funcaof (x, y) se pelo uma das derivadas parciais de f em (x0, y0) nao existe ou se ambas existeme sao iguais a zero, isto e,

8

<

:

fx(x0, y0) = 0

fy(x0, y0) = 0.

Teorema 15.0.9 Todo ponto de mınimo ou maximo local de uma funcao f (x, y) e pontocrıtico de f .

Os proximos dois exemplos correspondem aos graficos (a) e (b) da Figura 3, respec-tivamente.

Exemplo 15.0.10 Mostre que (0, 0) e o unico ponto de mınimo local de f (x, y) = x2 + y2.

Resolucao. Ja sabemos pela resolucao do Exemplo 15.0.7 que (0, 0) e ponto demınimo global de f . A funcao f tem derivadas parciais em todos os pontos pois eum polinomio. Resolvendo o sistema

8

<

:

fx(x0, y0) = 2x0 = 0

fy(x0, y0) = 2y0 = 0

concluımos que o unico ponto crıtico de f e (0, 0). Assim, pelo Teorema 15.0.9, se(x0, y0) 6= (0, 0), entao (x0, y0) nao e ponto crıtico de f e, portanto, nao pode serponto de mınimo local nem ponto de maximo local de f . Assim, o unico pontomınimo local de f e o ponto (0, 0).

Exemplo 15.0.11 Mostre que (0, 0) e o unico ponto de mınimo local de f (x, y) =p

x2 + y2.

Resolucao. Como f (x, y) =p

x2 + y2 � 0 = f (0, 0), temos que (0, 0) e um pontode mınimo global (e tambem local) de f . Resta mostrar que ele e o unico. Como

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todo ponto de mınimo e tambem ponto crıtico, basta estudar os pontos crıticos de f .O ponto (0, 0) e ponto crıtico de f pois

fx(0, 0) = limh!0

f (0 + h, 0)� f (0, 0)h

= limh!0

|h|h

nao existe. Nos pontos (x, y) 6= (0, 0), as derivadas parciais de f :8

>

>

<

>

>

:

fx(x0, y0) =x

p

x2 + y2

fy(x0, y0) =y

p

x2 + y2

,

existem e sao diferentes de 0. Logo, o unico ponto crıtico de f e (0, 0). Portanto,(0, 0) e o unico ponto de mınimo de f .

Figura 3: Graficos das funcoes dos Exemplos 15.0.10, 15.0.11 e 15.0.13.

E natural perguntar se todo ponto crıtico de uma funcao f e ponto de maximoou ponto de mınimo local de f . A resposta e nao, isto e, existem pontos crıticos,chamados pontos de sela, que nao satisfazem nem a Definicao 15.0.1 nem a Definicao15.0.4.

Definicao 15.0.12 (ponto de sela) Dizemos que um ponto crıtico (x0, y0) 2 Dom ( f )de uma funcao f (x, y) e um ponto de sela se para todo r > 0, existirem pontos (x1, y1) 2Dr�

x0, y0�

e (x2, y2) 2 Dr�

x0, y0�

tais que f (x1, y1) < f (x0, y0) < f (x2, y2).

Exemplo 15.0.13 Mostre que (1, 0) e um ponto de sela da funcao f (x, y) = (x � 1)3 + 2.

5

Resolucao. O ponto (1, 0) e ponto crıtico pois8

<

:

fx(1, 0) = 3(x � 1)2�

�

x=1 = 0

fy(1, 0) = 0.

Dado r > 0, escolha (x1, y1) =⇣

1 � r2

, 0⌘

e (x2, y2) =⇣

1 +r2

, 0⌘

. Plotando ospontos (x1, y1) e (x2, y2) fica facil perceber que eles estao dentro do disco de raio rcentrado no ponto (1, 0), isto e, (x1, y1) 2 Dr(1, 0) e (x2, y2) 2 Dr(1, 0).

Figura 4: Disco Dr(1, 0) de raio r centrado no ponto (1, 0).

Alem disso,

f (x1, y1) = f⇣

1 � r2

, 0⌘

= �r3

8+ 2 < 2 = f (1, 0)

f (x2, y2) = f⇣

1 +r2

, 0⌘

=r3

8+ 2 > 2 = f (1, 0),

o que mostra que 1, 0 e ponto de sela. O grafico da funcao f e dado na Figura 3.(c).

Definicao 15.0.14 (Hessiano) Seja f (x, y) uma funcao de duas variaveis que admitederivadas parciais no ponto (x0, y0). Definimos a matriz Hessiana de f como sendo amatriz:

Hf (x0, y0) =

fxx(x0, y0) fxy(x0, y0)

fyx(x0, y0) fyy(x0, y0)

!

.

Para determinar se um determinado ponto crıtico e ponto de mınimo local, maximolocal ou de sela, podemos em muitos casos usar um teste baseado nas derivadassegundas da funcao no ponto crıtico.

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Teorema 15.0.15 (Teste do Hessiano) Seja (x0, y0) um ponto crıtico de f (x, y),. Su-ponha que as derivadas parciais de segunda ordem de f existam no ponto (x0, y0). Asseguintes afirmacoes sao verdadeiras:

(i) Se Det Hf (x0, y0) < 0 entao (x0, y0) e ponto de sela;

(ii) Se Det Hf (x0, y0) > 0 e fxx(x0, y0) > 0 entao (x0, y0) e ponto de mınimo local;

(iii) Se Det Hf (x0, y0) > 0 e fxx(x0, y0) < 0 entao (x0, y0) e ponto de maximo local;

(iv) Se Det Hf (x0, y0) = 0 entao o teste e inconclusivo.

Exemplo 15.0.16 Encontre todos os pontos crıticos de

f (x, y) = 3x4 � 8x3 � 6x2 + 24x + 2�

y2 � 1�

classificando-os como ponto de sela, ponto de mınimo ou maximo local e ponto de mınimoou maximo global.

Resolucao. Os pontos crıticos de f sao solucoes do sistema de equacoes:

fx = 12x3 � 24x2 � 12x + 24 = 12(x � 1)(x + 1)(x � 2) = 0.

fy = 4y = 0

Assim, os pontos crıticos de f sao (1, 0), (�1, 0) e (2, 0). A matriz Hessiana de fnum ponto (x, y) e:

Hf (x, y) =

12�

3x2 � 4x � 1) 00 4

!

.

Desta forma, temos a seguinte classificacao:(1, 0) e ponto de sela pois Det Hf (1, 0) = �24 < 0.(�1, 0) e ponto de mınimo local pois fxx(�1, 0) > 0 e Det Hf (�1, 0) > 0.(2, 0) e ponto de mınimo local pois fxx(2, 0) > 0 e Det Hf (2, 0) > 0.Assim, a funcao f nao tem maximo local nem global. Isto e coerente com o fato de

que f assume valores arbitrariamente grandes conforme mostra a seguinte tabela:

(x, y) (0, 10) (0, 100) · · · (0, 10n)

f (x, y) 2 · (100 � 1) 2 · (1000 � 1) · · · 2 · (100n � 1)

Para concluir a analise, resta saber se f tem ponto de mınimo global. PelaProposicao 15.0.3, se ela tiver algum, entao ele tera de ser um dos pontos de mınimo

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locais: (�1, 0) ou (2, 0). Comparando os valores de f , obtemos que f (�1, 0) =

�21 < 6 = f (2, 0). Assim, o ponto (2, 0) esta descartado como ponto de mınimoglobal. Isto nao quer dizer que (�1, 0) seja ponto de mınimo global pois a funcaopoderia ter pontos de mınimos locais sem ter ponto de mınimo global. No casoem particular, a funcao e coerciva, isto e, f (x, y) ! • quando k(x, y)k ! •,isto garante a existencia de um ponto de mınimo global que, como acabamos deargumentar, so poder ser o ponto (�1, 0). A Figura 5 ilustra bem este fato.

Figura 5: Grafico de f (x, y) = 3x4 � 8x3 � 6x2 + 24x + 2�

y2 � 1�

.

O Teste do Hessiano nao pode ser aplicado no seguinte exemplo.

Exemplo 15.0.17 Faca um estudo dos pontos crıticos das funcoes dadas abaixo.(a) f (x, y) = x4 + y4 (b) f (x, y) = x4 � y4 (c) f (x, y) = �x4 � y4

Resolucao. E facil ver que (0, 0) e o unico ponto crıtico de cada uma das funcoesdadas acima. Alem disso, Det Hf (0, 0) = 0, o que revela que o Teste do Hessiano naopode ser aplicado. Entretanto, podemos mostrar diretamente, usando as Definicoes15.0.1, 15.0.4 e 15.0.12, que nos casos (a), (b) e (c), respectivamente, o ponto (0, 0) eponto de mınimo global (e local), de sela e de maximo global (e local). A Figura 6exibe o grafico das tres funcoes.

8

Figura 6: Graficos de f (x, y) = x4 + y4, f (x, y) = x4 � y4 e f (x, y) = �x4 � y4.

O proximo exemplo mostra que o fato de uma funcao ter pontos de mınimo e demaximo locais nao garante que a funcao tenha mınimo e maximo global.

Exemplo 15.0.18 Mostre que f (x, y) = 13 x3 � 1

3 y3 � x � y tem um ponto de mınimolocal, um ponto de mınimo local mas nenhum ponto de mınimo nem de maximo global.

Resolucao. Os pontos crıticos de f sao solucoes do sistema de equacoes:

fx = x2 � 1 = 0

fy = y2 � 1 = 0.

Assim, os pontos crıticos de f sao (1, 1) e (1,�1), (�1, 1) e (�1,�1). A matrizHessiana de f num ponto (x, y) e:

Hf (x, y) =

2x 00 2y

!

.

Desta forma, temos a seguinte classificacao:(1,�1) e (�1, 1) sao pontos de sela pois Det Hf (1,�1) = Det Hf (1,�1) < 0.(�1, 0) e ponto de mınimo local pois fxx(1, 1) > 0 e Det Hf (1, 1) > 0.(2, 0) e ponto de maximo local pois fxx(�1,�1) < 0 e Det Hf (�1,�1) > 0.Assim, a funcao f nao tem mınimo global nem maximo global pois

limx!•

f (x, 0) = limx!•

13

x3 � x = • e limx!�•

f (x, 0) = limx!�•

13

x3 � x = �•.

A Figura 7 mostra o grafico de f (x, y).

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Figura 7: Funcao tendo mınimo local e maximo local mas nenhum extremo global

aplicacoes

Em construcao...

Exemplo 15.0.19 Mostre que, dentre todos os paralelepıpedos retangulos de mesma areasuperficial, o cubo e aquele que tem o maior volume.

Resolucao. A area superficial e o volume de um paralelepıpedo retangulo de arestasmedindo x, y e z sao dados, respectivamente, pelas expressoes:

A(x, y) = 2xy + 2xz + 2yz

V(x, y, z) = xyz

Estamos interessados em estudar a colecao de todos os paralelepıpedos retangulosde area superficial constante A(x, y) = A. Os paralelepıpedos desta colecao podem

ser construıdos escollhendo x > 0 e y > 0 livremente e tomando z =

A2� xy

x + y.

Portanto, o volume dos paralelepıpedos retangulos de area A(x, y) = A e dado pelafuncao de duas variaveis:

V(x, y) =✓

A2� xy

◆

xyx + y

=

A2� xy

1x+

1y

.

Note que tanto z quanto V(x, y) podem assumir valores negativos. Isto nao e umproblema porque vamos mostrar que no ponto de maximo a funcao V e positiva.

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Como as arestas x e y tem medidas positivas, a funcao V(x, y) esta definida noconjunto aberto

Dom (V) = {(x, y) : x > 0 e y > 0}.

Os pontos crıticos de V sao solucoes do sistema de equacoes:

Vx =�y2 �2x2 + 4xy � A

�

2(x + y)2 = 0

Vy =�x2 �2y2 + 4xy � A

�

2(x + y)2 = 0

Como x > 0 e y > 0, este sistema equivale ao seguinte sistema de equacoes:

Vx = 2x2 + 4xy � A = 0

Vy = 2y2 + 4xy � A = 0

Substituindo a primeira equacao na segunda resulta na equacao 2(y2 � x2) = 0, istoe, y = x ou y = �x (impossıvel porque x e y) tem o mesmo sinal. Desta forma,

x = y e, portanto, x = y =

r

A6

. Como A = 2xy + 2xz + 2yz =A3+ 4z

r

A6

, resulta

que z =

r

A6

. Sendo assim,

x = y = z =

r

A6

.

Em particular, os valores encontrados sao todos iguais e portanto sao arestas de umcubo. Alem disso, das igualdades

Vxx(x, y) = �y2 �A + 2y2�

(x + y)3 , HV(x, y) = �2x2y2 �2x2 + 8xy + 2y2 � 3A

�

(x + y)4 ,

obtemos

Vxx

r

A6

,r

A6

!

= �r

A6< 0, HV

r

A6

,r

A6

!

=A8> 0.

Assim, (x, y) =

r

A6

,r

A6

!

e um ponto de maximo local de V(x, y). A Figura 8

exibe um grafico do volume V(x, y) para A(x, y) = 1.

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Figura 8: Grafico de V(x, y) e de seu ponto de maximo projetado no grafico.

Atualizado em 23 de Novembro de 2016.

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