6. CONCLUSÃO

XV CILAMCECONGRESO IBERO LATINO-AMERCANO SOBRE MÉTODOS COMPUTACIONAIS PARA ENGENHAMA

30/1 1 a 2/12 . 1994B H . M G . BRASILESCOLA DE ENGENHARIA DA UFMGAMC - Associação para Métock)sComputacionais em Engenharia

AGRADECIMENTOS

aÊ EieZ$g'BH::ã#H3'Ám.,:!m-::]bltÁLISE C04PtARATI'VA DO DB3Wb©DIFICADO BRENm ÀO )®TW DOS0R FI.EXMO B VIBltlLÇÂO Ln?RB OB PI

DO láTooo M :unção M anzm idemMS :'leITOS PARA A SOLUCAO m »DB n.!Bulia.IN .

REFERÊNCIAS

#R%ÍIÉ :;a: ::nuçsÊ:g$%yW;$g©hi:H'züsuiÊXB::ia:i3=n.'l,'L.=.;i::rü.5 nl! :ÊE.g;''ç:F FI'H':E;''' s.". c«-«;-, .--.";"«'

p.A. Mufioz R. & C.S. de Barcellos

PRANTE - Grupo de Análise de TensõesDepartamento de Engenharia Mecânica - IJFSCCaixa Postal 476 - CEP 88040-900 - Florianópolise-mail: granteeibm.ufsc.br ou granteebrufsc

sc

SUMÁRIO

O Método da Função de Green Local Modificado {MLGr)o é uma técnicanumérica fundamentada em equações integrais, resolvidas de forma aproxinndape[o Método dos E].ementas de Contorno de Galerkin (GBD4)r com o auxílio doMétodo dos Elementos Finitos {FEM) . A grande vantagem desta forlttulação resideem não ser necessário conhecer uiüta solução fundamental para o problematratado. Neste trabalho apresenta-se uma comparação do MLGETI com o Fm4 paraprobleintas de flexão .e vibração livre de placas de Mindlin. As comparações sãofeitas para deslocamentos, esforços e frequências naturais de vi.oração. Sãaempregados elementos de donúnio de 8, 9, 16, 25 e 36 n6s, seltpre aplicando noFEM o mesmo elemento finito e a mesma discreta.zação utilizados no MLGE}4.

l . INTRODUÇÃO

O Método da Função de Green Local Modificado (MUGE){) foi concebido u.sua forma atua] na década de 80, com os traba].hos de Barcellos & Silvo (1987)e Si.lva (1988) . À i.déia desta fazmulaçãa consi.ste em substitui-r uma soluçãofundamenta]., requerida no Método dos Elementos de Contorno (Bm4)convencional, por funções de Green definidas ait 'cé].umas' locais, sendo asmesmas calculadas de forma aproximada pelo Método dos Elementos Fi.Ritos. Se odoitúnio for dividido eM várias cé].u]as, a abordagem é dita p]urice].ular. Sefor empregada uma única célula abrangendo todo o domlni.o, teitt'se a abordagm.unicelular .

Vários trabalhos têm sido desenvolvidos, demonst::ando a possibilidade deaplicação generalizada do MLGFM a problemas da mecânica do contínuo. Dma boarevisão bibliográfica sobem este aspecto pode ser encontrada em Mulíoz R.(1994) . No entanto, apesar dos resultados obtidos nestes trabalhas teran sidodbinparados com o Fm(, estas comparações não foram realizadas ezq)regando omesmo elemento finito e a mesltn discretização de domínio em aitbos os !né.todos.Este fato iitipediu uma avaliação segura da potencialidade do lqLGEl{ frente aoFEM

presente trabalho pretendem atravésos dois métodos, atulisar o deseiíçenho dosem que é vantajosa a utilização

0 de uma comparação caetente entremesmos, apontando circunstânci.as

de um ou do outro. Estudam-se os problelaas de

766

flexão e vibração livre de placas de Mindlin, incluindo o comportamento doMLGElq frente ao fenómeno do "locking". A abordagem, no MLGET4, é a unicelular

G(q,P)tF'u(q) = F'G(q,P)tu(q)(2.10)

de forma que essa quantidade seja adicionada e subtraída em (2.9) , resultando2 REVISÃO DA FORFiULAÇÃO DO MLGFM PARA PLACAS DE MINDLIN

u(P) : -Jm[(3r' 'p+zr')a(q, p)]'u(q)dãlq

+ jm G(q,P)t(]r + ]r')u(q)dmq+ L a(Q,P)' b(e)an

+

2.1 FORMULAÇÃO PARA O PROBLEMA DE FLEXÃO G(Q , P)' b(Q)«2a(2 . 11)

Desej a--se resolver.Mindlin, dado por

com o MUGE'lq o problema de flexão de placa deAdota-se, por conveniência, como

estabelecido por (2.4)r a expressãocondição de contorno pa :oblema

.8u = b em Q

u = =ü sobre ã).Nb = + sobre ã)p

(2.1)(2.2)(2.3)

(F ' +Br')G(q, p) = o(2 . 12 )

h::1::% %l:l::=,==' :?m';'onde u 0x

respectivamente, oNeumann associado

lwIt é.o vetou deslocamento generalizado; .A, N, a e ãí são,

operador diferencial de placa de Mindlin, o operador deA, e os valores prescritos para o vetou deslocamento

O vetar b = {q 0 0lt é definido pelo

(2 . 13)

generalizado e esta'rço generalizado.carregamento transversal externo, q.

Considere-se o operador adjunto À ú de À. e o problema associado

a kiwi (P) = 0 em m:kj podendo assumir

contorno homogêneas .

e qualquer valor parcela de condições de

À + G(Q, p) = Õ(Q, p)i (2.4) A solução procurada fica então

onde a(Q,p) é o tensos solução fundamental, õ(Q.P) é a função generali.zadadelta de Dirac e l é o tensos identidade. Q é um ponto calnpor pertencente aodonúnio, e P é um ponto fonte, taittbém pertencente ao doitúnio.

Pré-multiplicando a equação (2.1) por C(Q,p)t e a equação (2.4) poru( Q )' , tem-se

u(p) : Jm a(q. p)' r(q)aã\; + L a(Q, p)' b(Q)me(2 . 14 )

-de F(q)=(lr -F r')u(q)

Aplicando-se o teorema do traçar obtém-se para um ponto p do contorno

G(Q, P )t Z« (Q ) G(Q, P)t b(Q ) (2.5) u(p)= Ino(q,p)' F(q)dali + Jn a(Q.p)'b(Q)dne(2 . 15)

u(Q)tÀ + G(Q, P) u(Qy Õ(Q, P)As equações (2.14) e (2.15) são as expressões finais a discretizar para

o caso estático do MUGEM.(2 . 6)

Subtraindo (2.5) do transposto de (2.6) fica

[x ' G(Q, P)]' u(Q)

2 .2. FORMULAÇÃO PAIRA O PROBLEMA DE VIBRAÇÃO LIVRE

Neste caso, a equação diferencial a ser resolvida é dada poru(Q)Õ(Q, P) G(Q, P)t a,l(Q) + G(Q, P)t b(Q) (2.7)

Integrando esta equação no doitúnío Qo com relação a um sistema decoordenadas com ori-gem no ponto P E Q, tem-se como solução para u(P),

an(Q) - 0:Pu(Q)

onde .A é o mesmo operador diferencial do caso estático, P é dada Ê'or

(2 . 16)

u(p) = Jn [x 'F c(Q,p)]tu(Q)dne Jn G(Q,p)tzu(Q)jí)Q +

+L G(Q, P)'b(Q)'na(2 . 8 ) ph O O

. Ph' o12

. . .a::12

(2 . 17 )

.replicando integração por partes às duas primeiras parcelas do ladodireito da Igualdade em (2.8), vem

P

u(p) = -Jm [zr ' G(q,p)]'u(q)dâ(\ + Jm G(q, p)'m(q)dõ(\

+ .L G(Q, P)t b(Q)dÍ2a

(2.9)

à apresentada para flexão, chega--se às equaçõesonde N + é o operador de Neumann associado ao operador A. úNeste ponto é conveniente introduzi.r um operador N' tal que

768 769

u(P)u(P)

jm c(q, p)' p(q)dã\ + o:jn G(Q, p)' P«(Q)dQe

Jm c(q, p)' r(q)dõn.; + n:jn G(Q, p)' n(Q)dna(2.18)(2 . 19) FF

Fvjn [m(Q)]' [ ]E'(Q)}mo

jn [m(Q)it [ p][ 'r (Q)}me

(2 . 32 )

(2 . 33)que devem ser, em seguida, dlscretizadasenvolvida é a mesma do problema estático. Note-se que função de Green

onde

2.3 DISCRETlzAçÃo DAS EQUAÇÕas[«( q) ]: Jn ['r ( p)]' [c(q, p)]' m.

jn ['r(p)]' ]e(e. p)]' m.

jm [+(p)]' ]a(q, p)]t da:Z.

jm l+(P)I' [a(Q, P)]' daQ

(2 . 34 )

Nas equações (2.14)r (2.15), (2.18) e (2.19), as variáveis defi.nadas no

domínio são aproximadas pelas funções de interpelação convencionais deelementos finitos, .representadas por [llf]. Par outro lado, as vara.áveisdefinidas sobre o contorno são apzoxirntadas com funções de interpelação decontorno, representadas por l+l.

Tem-se, portanto, o seguinte

1«(e)I' ( 2 . 35 )

[«( q)]: (2.36)

(2 . 37 )[m(e) ]'

u(P) : [q'(P)]Íu]'U(P) : ]+(P)]lul'

u(Q) 'r(Q)]tul'r(q) = 1+(q)]lr} b(Q) = 1'r(e)]Íb}

3 DETERMINAÇÃO APROXIMADA DAS PROJEÇÕES DA FUNÇÃO DE GREEN

(2.20)(2.21)

As projeções da função de Green podem ser calculadas mediante o auxíliojo Método dos Elementos Finitos, solucionando dois problemas associados

Substituem-se as aproximações nas equações integrais, aditando após, oprocedimento indicado a seguir

Prob].ema l

Paga o problema de flexão À ' ]m(p)] : ]'p(p)](zr ' +x')]m(p)]

(2 . 38)

(2 . 39)V P c a'),P € QNo sistana de domínio, minimiza-se o resíduo em relação à base dose].eventos finitos, obtendo Problema 2

Btf} + CF {b} (2 . 22 ) A ' ]C.(P)] : O

(N ' +N')[G.(P)] [+(p)]

(2 . 40)

(2.41)

No sisteiDa de contorno, analogamente, minimiza-se o resíduo em relação àbase dos elementos de contorno, resultando

V P € ã),P c 11)

D{ ulc Elf} + FFÍb}4 . RESULTADOS NUMÉRICOS

(2 . 23)

Para o p=ablma de vibração livre

Após o mesmo procedimento acima descrito. sobrecontorno, tem-se, respectivamente

4 . 1 . PROBLEMAS DE FLEXÃO

sisteiütas de doininio e Foram analisados problemas de placa quadrada simplesmente apoiada eengastada em todas as arestas. Em ambos os casos foi aplicado um carregamentotransversal unitárá.o uniforme. Por considerações de simetria, apenas umquadrante da p].aca foi modelado. A análise é separada em duas partes. Naprzmexra observam-se aspectos de convergência de esforços e deslocamentos do. . ...= .A.An - T n-aAMLGE'M x FEM As características da planar neste caso, são as seguintes: L6ado= a = 20.0, espessura - h = 0.2, módulo de elasticidade = E : 2.1 x lu' ecoeficiente de PoisÊon = V = 0.3. Na segunda parte estuda--se o fenómeno dolocking". Neste caso analisa-se apenas o problema de placa engastada, sendosuas características basicamente as mesmas, apenas variando a .espessura.

AtulD = Btf} + o2 Cv {tilD

DfuJc = Eff} + n2 Fv {ulD

(2.24)(2 . 25)

Nos sistemas (2.22) a (2.25) tem-se que

A ; ], [Y(p)]' ]V(P)}m,jm [«( q)]' [+( a)Pm.

c; : .L[«h)]']'rh)}m.Cv [M(Q)]trp]]'r(Q)}mQ

B( 2. . 26 )

(2.27)4.1.1 CARACTERÍSTICAS DE CONVERGÊNCIA h E P DO MLGEM FRENTE AO FEM

Nesta análise. empregam'se elementos lagrangeanos de 9r 16, 25 e 36 nós,sendo que nó elemento de 9 nós é aplicada a regra de subintegração . .L . x

s eletiva .

Observa-se nas Figuras 4.1 a 4.5 o comportamento dos dois métodos quanto àaproxl.mação''de esforços em pontos seleclonados, onde a solução analítica éconhecida pela teoria de placa fina (Timoshenko & Woinowsky-Krieger, 1970)Nestas figurasr N correponde ao número de elementos finitos utilizados por

llli149i=$f IÉ:i:'=àÇ=B3K:Bfr=; «=1:Os esforços são adimensionalizados segundo as seguintes regras:

(2.28)

(2.29)

D : .k]+(p)]t [+(p)Pm.E : ]m ]«(a)]'l+(a)Pm.

(2 . 30 )

(2 . 31)

Momento : M 100 M/ (qa2) Esforço Cortante : Q 10 Q/'( qa)

770

771

Placa Engastada Placa Engastada - defino h

No caso de p].aca engastada verifica-se que, para o momento normalcentral (Fig. 4.1 e 4.3), ambos os métodos convergem para um valor um poucoabaixo do fornecido por Timoshenko & Woinowsky- Krieger (1970). Essecomportamento pode ser explicado pelo fato destes autores apresentarem aso].ução com apenas dois dá-giros após a vá.rgula, o que leva a crer que o valorpara o qual a solução numérica converge, representa melhor a situação real. Aconvergência do MLGFM é marcadamente mais rápida.

g 2.00H

Êg :.''Kg

0U

U

0na0q

ã0a

ê

-1

CH

0 0.95'u©

1;60 Noranl CentralP-2

Placa Bngaatada - defino p

MLGFM

S . AnaIS.t.

g

:

.5

#

0'

g

0 . 90Mat»nto Nortnnl Central

P - 4

gH

â0

'D

d8Ue05

#

0

ag

g

gKRZ0

'a

0

é0ÉU<

0

g

g

g

a

1.010)Ba. Nnrnual cena:l

N=4

o05] "'E}' rEM---F MLGIM

1.20 0.85}üGEM

S . Anallti.ca

l.oooS . Anali.ti.ca 12345

Número de E].ementas por Lado (N)

0.801234

Número de Elementos por Lado (N)1.04

gã

ã

gK

Ê0

'a

0.991.00

Grau do Po].i.nõmio Interpolados (P)

0 . 990

Grau do Poli.nõmio Interpolados (P)

d0

!

80agg

Cd no

t='oP-2

E] rEM

S . Analíti.ca

0g 0.96 bh-m. Nomn]. noCentro do Lado

P-4Figura 4 . 1 Convergência p do }®C Sol. analítica adimensional(Ma) 2 . 31

ag

g 0.920

hg

' 0.88gKÊ0

'ua

g

0q

<

0

m

e

1.00 --------'=qS . Analítica

Mom. No=anl noCentro do Lado

N-2Número de Elementos por

l 2 3 45Lado (N) 1234

Número de Elementos por Lado (N)e MNCL da placa engastada. So].uçãc,31, No centro do ].ado = -5. 13 .

0 . 96/

/--E] rnMe- MLGFM

E'igura 4 . 3 - Convergênciaanalítica adimensional (Ma)

h para }WCCentral = 2

0 . 92Ana llg'ica

bbm. Morlna]. noCepÉ='o do Lado

.d'' N - 4Placa Siaçli ite Apoiada - defino p

0.88: : FEM g

É0

'a

da0naã

i0

ê

H

a

H

d

1.008

1.006

1.004

1.002

0000

0 . 998

Ê

g ..«-+234Grau do Polinõmio Interpolados

MLGFV

]. it i. ca

[&xn. No=nn] Central.N-2

-8-- r'nlM16FM

S . Analítica

N

FEM

S. A.nalltXcaGrau do Polinõmio Interpolados (PI

4

Figura 4 . 2 Convergência p do MNCL Sol analítica adimensi.anal (Ma ) 5 . 13

No caso do momento normal do centro do lado a convergência ocorre para ovalor fornecido por Timoshenko & Woinowsky-Kriege-r, apesar deste tei: sidotruncado com duas casa decimais. Isto leva a crer que a contribuição daterceira casa em diante, nesta solução, é mui.to pequena. Por outro lado, deveser considerada a diferença na escala do eixo vertical das E'iguras 4.2 e 4.1. 2 3 . 4 5

Grau do Pollnõmio Interpolados (P) Grau do Polin6mio Interpolados (P)

8 1.40ã'g i.30

Baf . Cortante noCentro dc> Lado

N = 3 v = 0.3. A discretização é realizada com 48 elementos fi.netos lagrangeanosquadráticos com subintegração seletiva no domínio, e uma malha adicional, noMLGET4, com 16 elementos de contorno do mesmo grau. A malha utilizada nodomínio é mostrada na Figura 4.7, e os resultados obtidos para frequênciasnaturais , na Tabela 4 . 2 .

MLGFM

S . Analíticag

€

.! 1.20 S . Analítica

ã

G. do Poli.nómlo Interpolados(P) Grau do Pollnómlo Interpolados (P)

3 4 S

Figura 4.4 - Convergência p para MNC e ECCL da placa simplesmente apoiadaSoluções analíticas adímensionalizadas: MNC (Ma)= 4.7887, ECCL (Qa)= -3.3765.

Figura 4 . 7 Ma[ha de Domínio da P].aca Circu]ar

Placa SiWleannte ]B»fada - defino hTabela 4 . 2 - Placa Circular En

Parâmetro de Frequência n

.stada

À522

9.2589.240

À,:8

17 . 85817 . 834

À27.2527 . 25627 . 214

X

30 . 75630.211

À'537 . 2737.27937 . 109

243 . 55242 . 409

47 . 75847.340

0.20 Ide et al

S . Àna ]. l tida 5 . CONCLUSÕES

gQ

g#

0

Os exemplos Ilustrados evidenciam claramente as excelentescaracterísticas de convergência do MLGEM para cálculo de esforços, sendoestas bastante superiores às do FEM. Por outro lado, mediante a formulaçãounice[u[ar. o cá]cu].o de des]ocamentos e frequências naturais forneceresultados semelhantes aos obtidos empregando o FEM, inclusive em relação aofenómeno do "locki-ng". O FEM parece ser, então, uma melhor alternativa nessescasos, face a seu menor esforço computaci.onal em relação ao MLGFT4.

FEM

MLGFM

ê :."12

Número de EI3It

45PQr Lado (N)

o . 94 -'F--l

N'2

ro de EI 34por Lado (N)

Eaf . Cortan te noCentro da PI aca

P=3

8 1.16Ó

e MLGTM

Eaf Cortante nal n

t

Centro do LadoP-4

AGRADECIMENTOS

Os autores gostariam de agradecer à CAPAS, pelo suporte financeiro dadoa esta pesquisa .

FEM

MLGFM

8 1.12

S . Anall Liga8 l.08

!

# :.''

S . Ana 1 1 ti.caREFERÊNCIAS

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igura 4.5 - Convergência h para MNC e ECCL da placa simplesmente apoiada;oluções analíti-cas adimensionalizadas: }41-lC (Ma)= 4.7887, ECCL (Qa)= -3.3765. Muâoz R., P.A., ''Desenvolvimentos na Aplicação do Método da Função de Green

Local Modifi.cada a Problemas de Placa de Mindlin", Dissertação de Mestrado,Uni.versldade Federal de Santa Catarina, 1994.Em todos os casos i.lustrados o MLGFM apresenta melhores características

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'Theory of ,Platex and Shells Mc

774