Teoria de Mindlin

Teoria de Mindlin 6.1

Capítulo 6

Teoria de Mindlin

6.1 Introdução

A Teoria de Mindlin1 surge em consequência da existência de placas que não podem

ser consideradas finas para as quais os efeitos das tensões de corte transverso podem ser

significativos. Para este tipo de placas as hipóteses de Kirchhoff consideradas válidas para

as placas finas deixam de ser admissíveis.

No caso dos deslocamentos transversais serem pequenos quando comparados com a

espessura da placa é possível modificar a Teoria das placas por forma a incluir a

possibilidade de a espessura ter dimensões mais elevadas modificando as hipóteses

simplificativas. O sistema de eixos coordenados a ser considerado é o sistema Ox1x2x3

representado na figura 6.1, o qual é definido de tal modo que o plano Ox1x2 seja

coincidente com o plano médio da placa antes da deformação e o eixo Ox3 seja normal ao

plano médio da placa. A origem O do sistema de eixos existe sobre o plano médio da placa.

1 R.D. Mindlin, "Influence of Rotatory Inertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic, Elastic Plates",

Journal of Applied Mechanics,18, 31-38(1951).


O

X3

X2X1

Figura 6.1: Sistema de Eixos de Referência.

As hipóteses de Reissner-Mindlin que são consideradas válidas para placas espessas

e moderadamente espessas, utilizadas para efeitos de representação do campo de

descolamentos e das tensões em placas com isotropia total submetidas a acções normais ao

plano médio, são:

(i) A superfície média é plana e indeformável ou seja as deformações no plano Ox1x2 são

nulas:

0xpara0 3122211 ==== εεε 6.1

(ii) Os pontos pertencentes à normal ao plano médio da placa antes da deformação

permanecem numa direcção linear mas não necessariamente na normal à superfície

média flectida, como se representa na figura 6.2.

(iii) A tensão na direcção normal ao plano médio, σ33 é irrelevante quando comparada

com as tensões σ11 e σ22 pelo que se considera:

033 ≅ε 6.2

O tensor das tensões toma neste caso uma forma análoga à considerada na Teoria

Clássica de Placas que é a forma seguinte:


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

02313

232212

131211

ij

σσσσσσσσ

σ 6.3

Tendo em conta a hipótese (ii) os deslocamentos u1 e u2 de um ponto P da placa

situado a uma distância 3x do plano médio podem ser calculados a partir dos valores das

rotações θ1 e θ2 da normal que após deformação se admitiu ser linear mas não

necessariamente normal à superfície média flectida como se representa na figura 6.2. O

vector de deslocamentos {u1, u2, u3}T no ponto P é tal que:

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

21

23

13

3

2

1

x,xxx

uuu

ωθθ

6.4

eP

P' e

ω∂ω∂x1

θ1

Figura 6.2: Deslocamentos no Ponto P e no Plano Ox1x3.

As deformações no plano Ox1 x2 a uma distância x3 do plano médio da placa

atendendo às expressões (6.4) e (1.8) são para as deformações devidas à flexão:


⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

−∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

1

23

2

13

2

23

1

13

12

22

11

xx

xx

xx

xx

θθ

θ

θ

εεε

e as deformações de corte ε13 e ε23 são:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

+−

∂∂

+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

22

11

23

13

x

xω

θ

ωθ

γγ

6.5

Na superfície média a coordenada x3 = 0 e portanto é:

0212211 === εεε

As deformações de corte transversais, nesta teoria, são consideradas constantes ao

longo da espessura e são diferentes de zero, contrariamente ao que acontecia na Teoria

Clássica das Placas. As deformações ε11, ε22 e ε12 variam linearmente ao longo da espessura

da placa o que está de acordo com as hipóteses de Reissner-Mindlin atrás referidas.

A lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos, estabelece uma relação entre

as tensões e deformações no plano Ox1 x2 com a forma seguinte:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

12

22

11

12

22

11

2100

011

1

0111

1E

εεε

ννν

νν

ν

νσσσ

6.6

e uma relação entre as tensões de corte e as deformações de corte com a forma seguinte:

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

23

13

23

13

1001

10.2E

γγ

νσσ

6.7


sendo E o modulo de Young e ν o coeficiente de Poisson.

Tendo em conta as equações 6.5, 6.6 e 6.7 é possível relacionar as tensões com os

deslocamentos transversais do seguinte modo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−−=

2

2

1

13211 xx

x1

E θυ

θν

σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−−=

1

1

2

23222 xx

x1

E θν

θν

σ 6.8

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+−=

1

2

2

1312 xx

x12E θθ

νσ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−+

=1

113 x12E ω

θν

σ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−+

=2

223 x12E ω

θν

σ

As tensões σ11, σ22 e σ12 variam linearmente ao longo do eixo dos x3 x3 como se

representa na figura 6.3, sendo nulas para x3= 0, como seria de esperar tendo em conta as

hipóteses de Reissner-Mindlin (i). As tensões de corte são constantes ao longo da

espessura. Este aproximação das tensões de corte contraria o facto das tensões de corte se

anularem na realidade para x3 = e/2 e x3 =-e/2, o que sugere a possibilidade de se

considerarem teorias que sejam de ordem superior.

6.2 Esforços Generalizados e Curvaturas

Os esforços unitários, os momentos flectores unitários M11 e M22, o momento torsor

unitário M12 e os esforços transversos unitários T1 e T2 são calculados de modo análogo ao

considerado no caso das placas finas. O momento flector unitário M11, é o momento


resultante por unidade de comprimento da direcção Ox1 das tensões σ11 ao longo da

espessura da placa, ou seja:

33112/e

2/e11 dxxM σ∫= − 6.9

De modo semelhante se definem momentos unitários, M22 e M12 que resultam das

tensões σ22 e σ12, ou seja:

33222/e

2/e22 dxxM σ∫= − e 33122/e

2/e12 dxxM σ∫= − 6.10

Os esforços transversos unitários definem-se a partir das tensões σ13 e σ23 do seguinte

modo:

3232/e

2/e23132/e

2/e1 dxTedxT σσ ∫=∫= −− 6.11

O x2

x3x1

σ11σ22 σ21

Figura 6.3: Distribuição de tensões ao longo da espessura da placa.

Integrando as expressões 6.8 a 6.10 para os momentos, tendo em conta as equações

6.7 para as tensões, obtém-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=2

2

1

111 xx

DMθ

νθ


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=1

1

2

222 xx

DMθ

νθ 6.12

112

2 1

1 22

M Dx xθν θ⎛ ⎞∂− ∂

= +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

sendo D = E e3/12 (1 - ν2), o modulo de rigidez à flexão da placa.

As derivadas das rotações 12212211 x/x/ex/,x/ ∂∂+∂∂∂∂∂∂ θθθθ são as

curvaturas da superfície média flectida as quais poderão ser designadas por χ11, χ22 e χ12

respectivamente. Portanto as equações 6.12 podem ser escritas do seguinte modo:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

12

22

11

12

22

11

2/1000101

DMMM

χχχ

νν

ν 6.13

em função das curvaturas da superfície média flectida.

As contribuições das rotações para as deformações de corte podem ser designadas por

φ1 e φ2 e definidas do seguinte modo:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

+−

∂∂

+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

22

11

2

1

x

xω

θ

ωθ

φφ

6.14

Os esforços de corte tomam o seguinte valor em função das rotações:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1'

2

1

1001

GTT

φφ

6.15

onde ( )ν+= 10.2/EeG '


No cálculo dos esforços transversos é por vezes usual incluir um factor de correcção

a fim de melhor representar os esforços de corte. Este factor é considerado a multiplicar

pelos esforços acabados de calcular e pode tomar o valor de 5/6.

x1

x2

x3

T1

T2

M12

M21

M11

M22

M11

1

M221

M121

M211 T2

1

T11

A

B C

C

Figura 6.4: Representação dos Esforços.

Os esforços no plano médio são M11, M22, M12, T1 e T2, como se indicou e estão

representados no plano médio na figura 6.4. Estes esforços são unitários e são análogos aos

considerados para efeitos de equilíbrio na teoria das placas finas. A diferença essencial

neste caso resulta do facto da deformação de corte não ser nula o que é genericamente

positivo para as placas espessas e moderadamente espessas e de os esforços de corte

poderem ser calculados a partir das deformações de corte transverso conduzindo a valores

constantes da tensão de corte, pelo que se consideram factores de correcção para efeitos de

cálculo das tensões de corte uma vez que uma distribuição de tensões de corte constante ao

longo da espessura não parece a mais adequada, embora corresponda a uma melhoria

significativa em relação à situação verificada no caso da Teoria Clássica das Placas.


6.3 Trabalho Virtual e Energia de Deformação Interna

O trabalho virtual das tensões σij para uma deformação virtual ijε é definido do

seguinte modo:

dVT ijijV εσδ ∫= 6.16

sendo a integração estendida ao volume da placa.

Tendo em conta as equações 6.5 e 6.8 que definem as tensões e as deformações em

termos das rotações e deslocamentos, a expressão do trabalho virtual 6.16 toma a forma:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−∫∫ −

23

2

2

1

1

1

22

23

1

1

2

2

1

12

2/e2/eS x

xxx1Ex

xxx1E θθ

νθ

νθθ

νθ

ν

( ) ( ) −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−+

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+ 11

11

23

1

2

2

1

1

2

2

1

xx12Ex

xxxx12E ϖ

θω

θν

θθθθν

( ) 32

22

2 dxdSxx12

E⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−+

−ϖ

θω

θν

6.17

onde 21 e, θθϖ são deslocamentos e rotações virtuais.

Procedendo à integração ao longo da espessura e tendo em conta as expressões 6.12 a

6.14 , obtém-se:

dSxx

Mx

Mx

MT1

2

2

112

2

222

1

111S ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∫=θθθθ

δ +

dSx

Tx

T2

221

11S ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−∫ϖ

θϖ

θ 6.18


Aplicando o Teorema de Green1 aos integrais estendidos à superfície que envolvem

primeiras derivadas dos deslocamentos e rotações virtuaisutilizando a notação da figura

6.5, obtém-se:

⎢⎣

⎡+

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂−∫= 2

1

121

2

122

2

221

1

11S x

Mx

Mx

Mx

MT θθθθδ

+⎥⎦

⎤∂∂

+∂∂

+++ dSxT

xT

TT2

2

1

12211 ϖϖθθ

[ ] −+++∫+ dLcosMsenMsenMcosM 212112222111L θθθθθθθθ

[ ] dLsenTcosT 21L θϖθϖ +∫− 6.19

onde a letra L está utilizada para indicar integrais estendidos ao contorno da placa e θ é

usado para designar o ângulo da normal ao contorno com a direcção do contorno, como se

representa na figura 6.5.

Tendo em conta que as rotações segundo x1 e segundo x2 se relacionam com as

rotações segundo a normal ao contorno θn e com as rotações segundo a tangente θs ao

contorno, do seguinte modo:

θθθθθ sencos sn1 +=

θθθθθ cossen sn2 −= 6.20

e que o momento normal, Mn, o momento tangente, Ms, e o esforço transverso, T, no

contorno, se relacionam com os esforços M11, M22, M12, T1 e T2 do seguinte modo:

1 O teorema de Green pode ser representado analiticamente através da seguinte expressão :

( ) dVxuwdSauwdV

xwu vvxsv ∂

∂∫−∫=

∂∂

∫


( ) θθθθθ cossenM2senMcosMM 122

222

11n −+=

( ) ( ) ( )θθθθθ 22122211t sencosMcossenMMM −−−=

( ) θθθ senTcosTT 21 += 6.21

a equação 6.19 toma a forma:

⎢⎣

⎡+

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂−∫= 2

1

121

2

122

2

221

1

11S x

Mx

Mx

Mx

MT θθθθδ

+⎥⎦

⎤∂∂

+∂∂

+++ dSxT

xT

TT2

2

1

12211 ϖϖθθ

[ ] dLTdLMM LssnnL ϖθθ ∫−+∫+ 6.22

θ

x1

x2

θ1

θ2

θsθn

Contorno

O

θ

x1

x2

Contorno

ns

i

j

Figura 6.5: Rotações no contorno.

O trabalho realizado pelas forças exteriores, no caso da placa estar sujeita a uma

distribuição de carga p (x1, x2) normal ao plano médio da placa é, δW, calculado do

seguinte modo a partir da carga e da deformada virtual:

dspW s ϖδ ∫−= 6.23

Note-se que o Teorema dos trabalhos virtuais obriga a que seja:

0WT =δ+δ 6.24


Tendo em conta as expressões 6.22 e 6.23 que definem o trabalho virtual dos esforços

internos δT e dos esforços externos δW é possível obter três equações de equilíbrio que são

coeficientes das rotações virtuais e dos deslocamentos virtuais nos integrais estendidos à

superfície da placa e as condições de contorno representadas nos integrais estendidos ao

contorno da placa.

A energia potencial é definida a partir das energias de deformação interna e potencial

externa, ou seja:

Π = E + W

sendo portanto definida de acordo com a expressão:

( ) 2121sijijv dxdxx,xpdV21

∫−∫=Π εσ

ou seja em termos dos esforços e deformações generalizadas:

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∫=Π dSxx

Mx

Mx

M21

1

2

2

112

2

222

1

111s

θθθθ

( ) ( ) dSx,xx,xpdSx

Tx

T21

2121s2

221

11s ωω

θω

θ ∫−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−∫−

6.25

ou seja:

[ ] −++∫=Π dSMMM21

121222221111s χχχ

[ ] ( ) ( ) dSx,xx,xpdSTT21

2121s22211s ωφφ ∫−+∫− 6.26


As equações de equilíbrio também podem ser determinadas a partir da energia

potencial e por minimização desta.

6.4 Equações de Equilíbrio

As equações de equilíbrio são estabelecidas em termos dos esforços unitários que

resultam das tensões actuantes num elemento paralelepipédico da placa de dimensões dx1,

segundo Ox1, dx2 segundo Ox2 e e segundo Ox3 sendo e uma dimensão igual à espessura

da placa, estas equações são análogas às equações obtidas no caso da Teoria Clássica de

Placas e são as equações resultantes do equilíbrio dos esforços que tomam a forma:

12

12

1

11 Tx

Mx

M=

∂∂

+∂

∂

21

12

2

22 Tx

Mx

M=

∂∂

+∂

∂

( )212

2

1

1 x,xpxT

xT

−=∂∂

+∂∂

6.27

onde p(x1,x2) representa a resultante de acções externas normais ao plano médio no

elemento dx1, dx2, dx3 sendo dx3 = e e representam duas equações de equilíbrio de

momentos e uma equação de equilíbrio de forças segundo o eixo Ox3x3. Note-se que estas

equações também podiam ser obtidas a partir do Teorema dos Trabalhos Virtuais como foi

referido. As condições no contorno que resultam da aplicação do Teorema dos Trabalhos

Virtuais são:

ω ou T em L

nn Mouθ em L 6.27

ss Mouθ em L


As condições de contorno conjuntamente com as equações de equilíbrio têm de ser

verificadas.

Substituindo as equações (6.13) e (6.14) na equação (6.27), obtém-se:

0x

Gxx2

1x2

1x

D 1121

22

22

12

21

12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂++

∂∂−

+∂∂

− θωθνθνθ

0x

Gxx2

1xx2

1D 22

22

22

21

22

21

12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂−

+∂∂

∂+− θ

ωθθνθν

( ) 0x,xpxxxx

G 212

2

1

122

2

21

2

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂ θθωω

6.29

Estas são as equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos transversais e das

rotações. Neste caso a solução de um problema de placas implica a determinação de três

grandezas que devem verificar as equações de equilíbrio e as condições de fronteira. Uma

vez conhecidos o deslocamento transversal e as rotações o cálculo dos esforços, tensões e

deformações é feito fazendo uso das expressões 6.12-6.14 , 6.8 e 6.5.

6.5 Condições de Contorno

Para as condições de bordo simplesmente apoiado o movimento segundo o eixo dos

x3 x3 está impedido, podendo no entanto rodar livremente. As condições de contorno

simplesmente apoiado são:

aplicadons MMe00 === θω 6.30

sendo ω o deslocamento transversal, θs a rotação tangente e Mn o momento que provoca

uma rotação normal no bordo simplesmente apoiado.

No caso de se tratar de uma placa rectangular de bordos simplesmente apoiados

paralelos aos eixos coordenados Ox1 e Ox2, de dimensões a segundo x1 e b segundo x2


como se representa na figura 6.6, as condições de contorno ao longo dos lados AB e CD

que correspondem a x2 = 0 e x2 = b são:

u3 = ω = 0 θ2 = 0 e M2 = 0

e ao longo dos lados AC e BD que correspondem a x1 = 0 e x1 = a, são:

u3 = ω = 0 θ1 = 0 e M1 = 0

D

BA

x1

x2

O = C

Figura 6.6: Placa simplesmente apoiada.

No bordo perfeitamente encastrado os deslocamentos e as inclinações têm valor nulo,

ou seja:

ω = 0 θs = 0 e θn = 0 6.31

No caso da placa encastrada representada na figura 6.7, as condições de contorno são:

AB

D

x1

x2

C

Figura 6.7: Placa com bordos encastrados.


ao longo dos lados AB e CD que correspondem a x2 = 0 e x2 = b, representadas através das

seguintes igualdades:

ω = 0 θ1 = 0 e θ2 = 0

e ao longo dos lados AC e BD que correspondem a x1 = 0 e x1 = a, traduzem-se do seguinte

modo:

ω = 0 θ1 = 0 e θ2 = 0

Se a placa tiver um ou mais lados livres, em todos os pontos do bordo livre devem

de ser nulos os momentos flectores Mn e os esforços transversos T. Estes esforços serão não

nulos, caso exista algum esforço ou momentos aplicados no bordo, nesse caso serão iguais

a uma função de x1 ou x2 conhecida. No caso de bordo livre sem cargas aplicadas, ser

coincidente ou paralelo ao eixo Ox2 as condições de bordo livre exprimem-se do seguinte

modo:

T1 = 0 e M11 = 0 para x1 = 0 e /ou x1 = a 6.32

se for coincidente ou paralelo a Ox1 as condições de bordo livre exprimem-se do seguinte

modo:

T2 = 0 e M22 = 0 para x2 = 0 e /ou x2 = b 6.33

As funções consideradas para a deformada e rotações de uma placa devem verificar

as equações de equilíbrio e as condições de contorno.

6.6 Flexão de Placas Rectangulares Simplesmente Apoiadas

Uma solução tipo Navier é possível para Placas simplesmente apoiadas sujeitas a um

carregamento arbitrário, esta solução toma a forma de séries duplas de Fourier para a

deformada e para as rotações, isto é:

21mn,1n,m

xsenxsenW βαω ∑=∞

=


21mn,1n,m

1 xsenxcosX βαθ ∑=∞

=

21mn,1n,m

2 xcosxsenY βαθ ∑=∞

= 6.34

sendo α = 2mπ/a e β = 2nπ/b.

No caso de se admitir que a função de carga pode ser representada por um

desenvolvimento em série dupla de Fourier do seguinte modo:

( ) 21mn,1n,m

xsenxsenPy,xp βα∑=∞

= 6.35

Os coeficientes Pmn tomam a forma:

( ) 2121

21b

0

a

0mn dxdx

bxnsen

axmsenx,xp

ab4P ππ

= ∫∫ 6.36

No caso de se tratar de uma carga uniformemente distribuída a função p (x1, x2) é

igual a uma constante p, intensidade da carga uniformemente distribuída, sendo os

coeficientes Pmn definidos do seguinte modo:

mnp16P 2mn π

= com m e n números ímpares 6.37

A necessidade de se considerarem m e n números ímpares resulta dos integrais

existentes em 6.36 serem nulos no caso de m e n serem pares, consequentemente a série

6.35 no caso da carga ser uniformemente distribuída, é uma série com m e n números

ímpares.

Substituindo as expressões contidas em 6.34 nas equações de equilíbrio obtém-se:

( ) 0XWGX2

1Y2

1XD mnmn2

mnmnmn2 =−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

+ αβν

βαν

α

( ) 0XWGYY2

1X2

1D mnmnmn22

mnmn =−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

+ββα

νβα

ν

( ) 0PYXWWG mnmnmn2

mn2

mn =−−−+ βαβα 6.38


Por resolução do sistema de equações anterior obtém-se os coeficientes Xmn, Ymn e

Wmn desde que sejam conhecidos os coeficientes Pmn. A este sistema de equações pode dar-

se a forma matricial seguinte:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmn

mn

mn

333231

232221

131211

P00

WYX

CCCCCCCCC

6.39

onde:

( )2 2 2 2 2 211 22 33

1 1; ;2 2

C D D G C D D G C Gν να β β α α β− −= + − = + − = +

12 21 13 31 23 321 ; ; ; ;

2C C D C G C G C G C Gν α β α α β β+

= = = = − = = = − 6.40

A solução do sistema de equações toma então a forma seguinte:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

mn

1

mn

mn

mn

P00

CWYX

onde C representa a matriz dos coeficientes 6.41

Uma vez conhecidos os coeficientes é possível calcular os esforços que são

calculados a partir da definição fazendo uso das expressões 6.12, 6.15 e 6.34, obtendo-se

para estes esforços as expressões seguintes:

( )[ ]21mnmn1n1m

11 xsenxsenYXDM βαβνα +∑∑=∞

=

∞

=

( )[ ]21mnmn1n1m

22 xsenxsenXYDM βαανβ +∑∑=∞

=

∞

=

( )[ ]21mnmn1n1m

2112 xcosxcosYX2

1DMM βααβν

+∑∑−

−==∞

=

∞

=

( )[ ]21mnmn1n1m

1 xsenxcosXWGT βαα −∑∑=∞

=

∞

=

( )[ ]21mnmn1n1m

2 xcosxsenYWGT βαβ −∑∑=∞

=

∞

= 6.42


Nos somatórios anteriores m e n são números ímpares como resulta do cálculo de Pmn

a partir do integral duplo 6.36.

Uma vez conhecidos os esforços, a obtenção das tensões pode ser feita tendo em

conta as equações de equivalência estática entre os esforços e as tensões. As tensões

também podem ser obtidas a partir dos deslocamentos generalizados fazendo uso das

equações 6.8, note-se que no caso da placa simplesmente apoiada sujeita a uma carga

uniformemente distribuída as tensões máximas ocorrem no centro da placa.

6.7 Flexão de Placas Ortotrópicas

6.7.1 Equações Fundamentais

O tensor das tensões tem as componentes referidas anteriormente e que são as

componentes expressas no tensor 6.5. As componentes dos deslocamentos são as definidas

por 6.4 e as deformações de flexão e corte são as definidas por 6.5.

A lei de Hooke toma a forma que resulta da consideração de ortotropia do material

1. e que pode ser reescrita, tendo em conta que σ33 = 0, com a seguinte forma:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

12

22

11

33

2212

1211

12

22

11

E000EE0EE

εεε

σσσ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

23

13

55

44

23

13

E00E

γγ

σσ

6.43

onde Eij são as constantes do material segundo os eixos materiais da placa e que são

definidas em termos dos módulos de Young e dos coeficientes de Poisson do seguinte

modo:


2112

222

2112

21212

2112

111 1

EE;

1E

E;1

EE

ννννν

νν −=

−=

−=

135523441233 GE;GE;GE === 3.44

Tendo em conta as equações 6.44 e as equações 6.5 e admitindo que há coincidência

entre os eixos materiais e os eixos da placa, as relações entre as tensões e os deslocamentos

e rotações são as seguintes:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−−=

2

2212

1

11

2112

311 x

Ex

E1

x θν

θνν

σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−−=

1

1112

2

22

2112

322 x

Ex

E1

x θν

θνν

σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=1

2

2

112312 xx

Gx θθσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−=1

11313 xG ω

θσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−=2

22323 xG ω

θσ 6.45

Os esforços generalizados definidos de acordo com as expressões 6.8, 6.11, tendo em

conta que as tensões são definidas de acordo com as equações 6.45, são:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

12

22

11

33

222212

221211

12

22

11

D000DD0DD

MMM

χχχ

νν

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1

55

44

2

1

D00D

TT

φφ

6.46

onde:


( ) ( ) 12eGD;

112eE

D;112

eED

3

12332112

32

222112

31

11 =−

=−

=νννν

eGDeGD 23551344 ==

Tendo em conta as equações de equilíbrio 6.25 e as equações que definem os esforços

6.46, obtém-se:

( ) 0x

Dxx

DDx

Dx

D1

14421

22

33221222

22

3321

12

11 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂++

∂∂

+∂∂ ω

θθ

νθθ

( ) 0x

Dx

Dx

Dxx

DD2

25522

22

2221

22

3321

12

332212 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

ωθ

θθθν

( ) 0x,xpxx

Dxx

D 212

222

2

551

121

2

44 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂ θωθω 6.47

Estas são as equações de equilíbrio para placas ortotrópicas, considerando que existe

coincidência entre os eixos de ortotropia e os eixos de referência da placa, caso contrário

tem de proceder-se a uma mudança de referencial das propriedades materiais da placa.

6.7.2 Flexão de Placas Ortotrópicas Simplesmente Apoiadas

O tipo de solução a considerar é ainda uma solução tipo Navier à qual correspondem

desenvolvimentos em série dupla de Fourier como os que se representam nas expressões

6.34 e admitindo que a função de carga se pode desenvolver fazendo uso de uma série

dupla de Fourier do tipo da considerada na análise de placas isotrópicas 6.35, as equações

de equilíbrio (6.47) tomam a forma:

( ) ( ) 0XWDXDYDDXD mnmn44mn2

33mn332212mn2

11 =−−+++ αββανα

( ) ( ) 0YWDYDYDXDD mnmn44mn2

33mn2

22mn332212 =−−+++ βαββαν


( ) ( ) mnmnmn2

55mnmn2

44 PYWDXWD −=−+− ββαα

A este sistema de equações pode dar-se a forma seguinte:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmn

mn

mn

333231

232221

131211

P00

WYX

CCCCCCCCC

6.49

onde:

( ) αβανβα 4431133322122112442

332

1111 DCC;DDCC;DDDC −==+==++=

255

2443355322355

233

22222 DDC;DCC;DDDC βαβαβ +=−==++=

O sistema de equações (6.49) é facilmente resolúvel e uma vez conhecidos os

coeficientes Xmn, Ymn e Wmn determinam-se os deslocamentos e esforços generalizados

fazendo uso das formulas seguintes:

21mn,1n,m

xsenxsenWw βα= ∑∞

=

21mn,1n,m

1 xsenxcosX βα=θ ∑∞

=

21mn,1n,m

2 xcosxsenY βα=θ ∑∞

=

( )[ ]2122mn1211mn1n1m

11 xsenxsenDYDXM βαβνα +∑∑−=∞

=

∞

=

( )[ ]2122mn1222mn1n1m

22 xsenxsenDXDYM βαανβ +∑∑−=∞

=

∞

=

( )[ ]21mnmn1n1m

332112 xcosxcosYXDMM βααβ +∑∑−==∞

=

∞

=


( )[ ]21mnmn1n1m

441 xsenxcosXWDT βαα −∑∑=∞

=

∞

=

( )[ ]21mnmn1n1m

552 xcosxsenYWDT βαβ −∑∑=∞

=

∞

= 6.50

As tensões podem ser calculadas a partir das expressões (6.45) e das expressões dos

deslocamentos generalizados. O cálculo das reacções de apoio também pode ser feito tendo

em conta as expressões dos esforços e o modo como se relacionam com as reacções de

apoio.

Note-se que no caso de não haver coincidência entre os eixos de referência e os eixos

materiais se torna necessário proceder a uma mudança de sistema de eixos de referência no

que respeita às propriedades dos materiais, fazendo uso de uma matriz de transformação T

a matriz das constantes elásticas pode ser convertida numa matriz de constantes no sistema

de referência.

6.8 Métodos de Solução Analíticos

6.8.1 Método de Levy. Placas Apoiadas em Dois Lados Opostos

As equações de equilíbrio são:

0x

Gxx2

1x2

1x

D 1121

22

22

12

21

12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂++

∂∂−

+∂∂

− θωθνθνθ

0x

Gxx2

1xx2

1D 22

22

22

21

22

21

12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂−

+∂∂

∂+− θ

ωθθνθν

( ) 0x,xpxxxx

G 212

2

1

122

2

21

2

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂ θθωω 6.51

tem de acordo com Levy soluções que são representadas por uma série trigonométrica

simples do tipo:


( ) ( ) 21m1m

21 xsenxWx,x βω ∑=∞

=

( ) ( ) 21m1m

211 xsenxXx,x βθ ∑=∞

=

( ) ( ) 21m1m

212 xcosxYx,x βθ ∑=∞

= 6.52

cujos coeficientes são Wm, Xm e Ym funções de x1 e b

mπβ = .A função p(x1,x2) é

desenvolvida em série simples da forma:

( ) ( ) xsenxpx,xp 21m1m

21 β∑=∞

=

sendo o coeficiente pm (x2) determinado do seguinte modo:

( ) 2221b01m dxxsen)x,x(p

b2xp β∫= 6.53

Estas soluções, (6.52), verificam as seguintes condições ao limite:

bxe0xpara0Me0,0w 22221 ===== θ

ou seja as condições de uma placa rectangular simplesmente apoiada ao longo de dois lados

opostos. As funções ( ) ( ) ( )1m1m1m xY,xX,xW podem ser calculadas de modo a verificar

as condições de contorno ao longo dos outros dois lados da placa e as equações de

equilíbrio.

Substituindo as equações (6.52) nas equações de equilíbrio

0G/P)Y'X''WW( 'mmmmm

2 =−+−+− ββ

0X'WG'Y21

X21

''XD mmmm2

m =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

−−

−− βν

βν

0YWGY''Y21

'X21D mmm

2mm =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

−+

+− ββ

νβ

ν 6.55

A solução deste sistema de equações pode ser feita tendo em conta que o referido

sistema de equações pode tomar a forma:


rTZ´Z += 6.56

onde [ ]´Y,Y,´X,X,´W,WZ mmmmmmT=

[ ]0,0,0,0,'GP,0r mT−=

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0CC00C100000C00CC00010000C100C000010

T

876

543

21

Onde

)1(DG2

12

C,11C

,)1(D

G2C,

21

C,2

1DG

C,DG

C,C,C

2

87

652

4322

1

ννββ

νν

νβ

νβ

νββ

−+

−=

−+−=

−−

=+

=−

+=−=−==

A Solução do sistema de equações (6.56) toma a forma

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∫+=x

T- rdeK ςςeZ Tx 6.57

onde eTx representa o produto matricial seguinte:

[ ] [ ]E

e0.

e0e

Ee 1

x

x

x

Tx

6

2

1

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

λ

λ

λ

sendo [E] a matriz dos vectores próprios distintos da matriz [T], [ ]E 1− a inversa dessa

matriz e λi representam os valores próprios da matriz [T], K representa um vector que é

determinado a partir das condições de fronteira para os lados x1 =±a/2. Para as diferentes

condições de apoio as condições de fronteira são:

Bordo Simplesmente apoiado: ω=0, 02 =θ e 0M1 =

Bordo encastrado:ω=0 e 01 =θ

Bordo Livre: 0M1 = , 0T1 = e 0M12 =

Substituindo as equações (6.57) nas condições de fronteira adequadas obtém-se um sistema

de equações não homogéneo


[M]{K}={R}

que pode ser resolvido em ordem a {K}.

6.8.2 Método de Ritz

O método de Ritz (1911)1 considera a energia potencial Π, que tem a forma seguinte:

[ ] −++∫=Π dSMMM21

121222221111s χχχ

[ ] ( ) ( ) dSx,xx,xpdSTT21

2121s2211s ωφφ ∫−+∫− 3.56

ou seja em termos dos deslocamentos generalizados:

⎢⎣

⎡+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−∫=Π2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1s xxxxxx

D21 θθ

νθθθ

νθ

−⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂−

+ dSxxxx2

1

1

2

2

1

1

2

1

1 θθθθν

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−∫− dSxxxx

´G21

22

22

11

11s

ωθ

ωθ

ωθ

ωθ

( ) ( ) dSx,xx,xp 2121s ω∫− 6.57

Os deslocamentos generalizados podem considerar-se definidos fazendo uso de

funções de Ni (x1, x2, x3)e de parâmetros ai, bi, e ci do seguinte modo:

( )321ii

n

1ix,x,xNaw ∑=

=

1 W. Ritz,Gesammelte Werke.; Soc. Suisse de Physique . 192-264 (Gauthier-Villars, Paris, 1911).


( )321ii

n

1i1 x,x,xNb∑=

=θ

( )321ii

n

1i2 x,x,xNc∑=

=θ 6.58

As funções Ni (x1, x2, x3) a considerar para o cálculo dos deslocamentos e rotações

podem ser distintas para os deslocamentos e rotações sendo em geral escolhidas por forma

a satisfazerem as condições de fronteira e podem ser do tipo trigonométrico ou polinomial.

Uma vez escolhidas as funções de aproximação Ni (x1, x2, x3), substituem-se os

valores de W, θ1 e θ2 definidos pelas expressões 6.58 na expressão da energia potencial

6.57 e minimiza-se a energia potencial em relação aos parâmetros ai, bi, e ci, obtendo-se

por este processo um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os parâmetros ai, bi,

e ci.

0c

e0b

;0a iii

=∂

Π∂=

∂Π∂

=∂

Π∂ 6.59

Para efeitos de ilustração do Método de Ritz, considere-se uma placa rectangular

encastrada a qual está submetida a uma carga uniformemente distribuída de intensidade p.

As condições de fronteira no caso das placas encastradas ao longo do contorno são:

ω = θ 2 = θ 1 = 0 para x 1 = ±a ω = θ 2 = θ 1 = 0 para x 2 = ±b 6.60

Os deslocamentos e rotações podem considerar-se aproximados através das seguintes

funções:

( ) ( )2222

22211 bxaxa −−=ω

( ) ( )2222

2221111 bxaxxb −−=θ


( ) ( )2222

2221212 bxaxxc −−=θ 6.61

Outras funções podiam ser utilizadas para efeitos de obtenção da solução por ventura

mais eficientes que as funções polinomiais referidas, nomeadamente podiam usar-se mais

funções interpoladoras para efeitos de representação dos deslocamentos e rotações. O uso

de funções trigonométricas também é possível com foi referido, sendo estas funções

escolhidas de modo a verificarem as condições de fronteira.

6.9 Métodos Numéricos de Solução

6.9.1 Método das Diferenças Finitas

O método das diferenças finitas considerado na análise de placas finas também pode

ser utilizado para efeitos da análise de placas de Mindlin, neste caso o numero de variáveis

a aproximar por diferenças finitas é três, um deslocamento e duas rotações e as equações de

equilíbrio a verificar também são três obrigando à consideração de um maior número de

equações para efeitos de solução do problema. As fórmulas de diferenças centrais podem

ser utilizadas ou outras fórmulas, eventualmente a imposição das condições de fronteira

poderá causar alguns problemas na resolução de placas por diferenças finitas.

6.9.2 Método dos Elementos Finitos

6.9.2.1 Considerações Gerais

A solução das equações que regem o comportamento de placas de Mindlin é

facilitada pelo uso de métodos numéricos, dentre os métodos numéricos disponíveis para a

solução de equações diferenciais definidas em domínios arbitrários, o Método dos

Elementos Finitos tem mostrado ser o mais eficiente.

Há vários tipos de modelos de elementos finitos desenvolvidos para serem utilizados

no contexto das teorias de placas. Estes modelos podem agrupar-se em três modelos que


são: modelos baseadas numa formulação em termos de deslocamentos, modelos mistos e

híbridos e modelos de equilíbrio. Os modelos formulados em termos dos deslocamentos são

baseados no teorema dos trabalhos virtuais sendo as equações correspondentes formuladas

em termos dos deslocamentos. Os modelos mistos e híbridos são baseados em princípios

variacionais mistos da teoria das placas sendo as tensões e deslocamentos aproximadas de

forma independente. Os modelos de equilíbrio são baseados no princípio das forças

virtuais. Dentre os modelos referidos o que é mais frequentemente utilizado é o modelo

baseado numa formulação em termos de deslocamentos. O modelo aqui referido é um

modelo deste tipo.

Na formulação do Método dos Elementos Finitos considera-se que:

1. O domínio do problema é formado por um conjunto de subdomínios simples que não se

interceptam e que são chamados Elementos Finitos. O sistema físico ou região material

sobre a qual tem de verificar-se o sistema de equações que regem o processo é o

domínio. A subdivisão do domínio em elementos finitos é designada por discretização

por elementos finitos sendo o conjunto de elementos finitos designado por malha de

elementos finitos do domínio, sendo possível para cada domínio a consideração de

várias malhas de elementos finitos, cada malha representa uma possível aproximação

do domínio.

2. Para cada elemento finito do domínio a solução do sistema de equações que rege o

fenómeno é aproximada por uma combinação linear de parâmetros desconhecidos e

funções de aproximação em geral designadas por funções de forma e que são na maior

parte dos casos polinómios.

3. O processo de colocação dos elementos de forma a representarem o todo é designado

por 'Assemblagem' ou Agrupamento dos elementos. Neste processo torna-se necessário

compatibilizar entre si os subdomínios por forma a obter uma aproximação contínua no

domínio o que muitas vezes é feito impondo a continuidade da solução por elementos

finitos e algumas vezes a continuidade das derivadas nas interfaces dos elementos ou

nalguns pontos da interface.


No caso da função a interpolar ser um deslocamento, por exemplo, o deslocamento

u(x), este pode ser interpolado a partir de valores do deslocamento em determinados pontos

do elemento os chamados nós ou pontos nodais, no elemento pode considerar-se que é:

( ) ( ) ( )xNuxuxu ej

ej

1je ∑==

∞

= 6.62

onde eju representa o vector dos deslocamentos nodais e e

jN representa o conjunto das

funções de forma ou interpolação do elemento que está a ser considerado.

Um dos modos de encarar o método dos elementos finitos é como uma técnica de

produção de funções de aproximação para serem utilizadas em métodos variacionais de

aproximação, como por exemplo o método de Rayleigh-Ritz, mínimos quadrados,

subdomínio, etc. A escolha das funções de aproximação é em geral condicionada sendo no

entanto possível ter vários modelos de elementos finitos para uma dada equação.

No processo de definição de funções de aproximação há uma metodologia de

formulação muito utilizada que faz uso do conceito de elemento isoparamétrico. Este

conceito veio permitir a consideração de fronteiras do elemento com formas mais

complexas do que as usualmente permitidas por outro tipo de elementos.

Um aspecto fundamental da formulação por elementos finitos consiste na escolha das

funções a interpolar que representam as variáveis a determinar no problema. No caso de se

tratar de um elemento finito a ser considerado no âmbito da Teoria de Mindlin de Placas as

variáveis a interpolar no contexto de uma formulação em termos dos deslocamentos são o

deslocamento transversal ω e as rotações 21 e θθ que podem ser inseridas num princípio

variacional nomeadamente podem ser inseridas no chamado Teorema dos Trabalhos

Virtuais. Esta formulação conduz em geral a um sistema de equações cujas incógnitas são

os valores das funções interpoladas nos chamados pontos nodais dos elementos finitos que

constituem o domínio.


6.9.2.2 Discretização. Elemento de Placa de Mindlin

O campo de deslocamentos do elemento de placa de Mindlin [ ]T21,, θθω para o

elemento pode ser definido a partir dos valores dos deslocamentos generalizados

21 e, θθω num conjunto discreto de pontos, os nós, de dimensão n, fazendo uso das

funções de forma Ni, ou seja:

n

i ii 1

u N d=

= ∑ 6.63

onde [ ] [ ] iT

i2i1iiT

21 Ne,,Wd,,,u θθθθω == representa a matriz das funções nodais. A

matriz das funções de forma Ni é Ni I3 onde I3 é a matriz identidade de ordem 3 e Ni são as

funções de forma para o elemento. As funções de forma utilizadas para efeitos de

interpolação dos deslocamentos e rotações, para o modelo considerado, são as mesmas.

Considerando o conceito de elemento isoparamétrico, então as funções de forma Ni

são definidas em coordenadas locais ξ e η, como se representa na figura 6.7 para elementos

de quatro e oito nós e as coordenadas de um ponto do elemento (x, y) podem ser calculadas

a partir das coordenadas nodais (xi, yi) do seguinte modo:

n n

i i i ii 1 i 1

x N x e y N y= =

= =∑ ∑ 6.64

Note-se que as dimensões do elemento isoparamétrico no sistema de eixos local são

dois por dois sendo as coordenadas do canto do elemento (-1, -1), (1, -1), (1, 1) e (-1, 1).

No caso do elemento de 8 - nós os pontos nodais são colocados nos cantos do elemento e a

meio dos lados como se representa na figura 6.7.


ξ

η

ξ

η

Graus de liberdade por nó: Wi , θ1i , θ2i

Figura 6.7: Elementos Isoparamétricos de Serendipity.

As funções de forma para os elementos isoparamétricos mais usuais estão

representadas no quadro 6.1. Estão representados os elementos lineares e parabólicos das

famílias de Lagrange e Serindipity e é feita referência ao elemento de Heterósis. As

deformações generalizadas [ ]21122211ij ,,,, φφχχχε = são definidas em função dos

deslocamentos generalizados, sendo:

ii1i

ij dB∑=∞

=ε 6.65

onde Bi representa a matriz das deformações, ou seja:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

i1

i

i

1

i

1

i

2

i

2

i

1

i

si

fii

N0xN

0NxN

xN

xN

0

xN00

0xN

0

BBB 6.66


Ni ( ξ , η ) = 14 ( 1 + ξ ξi ) ( 1 + η ηi )

com i = 1, 4

Elemento de quatro nós

ξ

η

ξ

η

1 2 3

4

567

8

ξ

η

1 2 3

4

567

8

1 2

34

Cantos

Ni ( ξ , η ) = 14 ( 1 + ξ ξi ) ( 1 + η ηi ) ( ξ ξi+ η ηi − 1 )

com i = 1,3,5,7

Elemento de 8-nós de Serendipity

Nós do Meio dos Lados

Ni = ξi

2

2( 1 + ξ ξi ) ( 1 − η

2) + ηi

2

2( 1 + η ηi ) ( 1 − ξ

2)

com i = 2,4,6,8

ξ

η

1 2 3

4

567

8

Elemento de 9-nós de Lagrange

Ni = 14 ( ξ

2+ ξ ξi ) ( η

2+ η η i)

com i = 1,3,5,7

Nós canto

Nós do Meio dos Lados

Ni = 12 ηi

2( η

2+ η ηi ) ( 1 − ξ

2) + 1

2 ξi2( ξ

2+ ξ ξi) ( 1 − η

2)

com i = 2,4,6,8

Nó Central

Ni = ( 1 − ξ2) ( 1 − η

2)

Heterosis Element

Nós do canto e nós do meio dos lados as funções de formasão definidas de acordo com o o elemento de 8-nós dafamília Serendipity e o nó central tem uma função de formado tipo bolha:

Ni = ( 1 − ξ2) ( 1 − η

2)

Quadro 6.1: Funções de Forma.


Os esforços generalizados σ relacionam-se com as deformações generalizados ε

através da matriz de elasticidade D de acordo com as expressões 6.13 e 6.15, ou seja:

( )

( )

( ) ⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

2

1

12

22

11

2

2

1

12

22

11

s

f

210000

02

1000

002

10000010001

1E

TT

MMM

D0

0DD

φφχχχ

ν

ν

νν

ν

νφχ

εσ 6.67

Tendo em conta a expressão da energia potencial (6.26) e as expressões (6.66) e (6.67),

obtém-se:

WdSD21dSD

21

sT

sfT

s −∫+∫=Π φφχχ 6.68

Tendo em conta a equação 6.65 que define a deformação em termos dos

deslocamentos nodais e designando o vector deslocamentos nodais para o elemento por eδ ,

obtém-se a energia potencial para o elemento com a seguinte forma:

[ ] eTeesese

Tfesefefe

Tfes

Te WdsBDBdsBDB

21

−∫+∫=Π δδ 6.69

A energia potencial total é:

e

N

eΠ∑=Π 6.70

Por minimização da energia potencial total obtém-se o sistema de equações seguinte:

ijij FK =Δ 6.71


onde Kij é a matriz de rigidez da placa obtida por 'assemblagem' das matrizes de rigidez

elementares, Δj é o vector dos deslocamentos da placa obtido a partir dos vectores de

deslocamentos elementares e Fi é o vector das acções externas da placa obtido a partir dos

vectores das acções elementares. Estes vectores e matrizes são determinados a partir dos

valores para o elemento procedendo a um somatório adequado dos elementos, a chamada

'assemblagem' dos elementos, ou seja:

[ ]eseseTseSefefe

TfeS

N

eeee

TeS

N

e

eij

N

eij dSBDBdSBDBdSBDBKK

eee∫+∫∑=∫∑=∑=

e

Nδ

ε∑=Δ

[ ] eT

iS

N

ee

N

edS0,0,NpfF

e∫∑=∑= 6.72

Note-se que no processo de cálculo das matrizes de rigidez elementares intervêm a

matriz das deformações a qual faz uso das derivadas das funções de forma em ordem às

coordenadas globais x, y sendo portanto necessário proceder ao cálculo destas derivadas a

partir das derivadas em coordenadas locais, para isso é preciso definir o jacobiano da

transformação, ou seja:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

ηξ

ηξyy

xx

J 6.73

sendo x e y determinados de acordo com a transformação isoparamétrica de coordenadas ξ,

η em x, y definida pela equação 6.64. As derivadas em ordem a x e y são calculadas a

partir da matriz inversa da Jacobiana de acordo com a fórmula seguinte:


[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂

∂

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂

∂−

η

ξi

i

1

i

i

N

N

J

yNx

N

6.74

Por outro lado os integrais envolvidos nas expressões (6.72) devem ser calculados

numericamente, sendo necessário proceder também à transformação de coordenadas x1 e x2

em ξ e η.

Problemas

1. No caso de considerar uma placa constituída por duas camadas ortotrópicas de

espessuras e1 e e2 que tem um comportamento que pode ser modelado pela teoria de

Mindlin e sendo as dimensões da placa a segundo x e b segundo y, determine as

expressões que representam:

a) As Tensões no plano e as Tensões de Corte Transverso.

b) Os Momentos flectores e Torsores e os Esforços Transversos .

c) As Equações de Equilíbrio da Placa .

2. Considere uma Placa simplesmente apoiada ao longo do contorno e sujeita a uma carga

uniformemente distribuída e determine a Solução de Navier para uma Placa de

dimensões a segundo x e b segundo y no caso de ser composta por duas camadas

ortotrópicas de espessuras e1 e e2. Considere que a placa tem um comportamento

modelável pela Teoria de Mindlin.

3. Considere uma placa quadrada encastrada ao longo do contorno de lado a e sujeita a

uma carga uniformemente distribuída. Admitindo que a placa tem um comportamento

de Placa de Mindlin determine uma expressão para a deformada e para o deslocamento

no ponto médio fazendo uso do Método de Ritz e das funções seguintes:


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222

2221

223

2222

2221

212

2222

22211 bxaxxabxaxxabxaxa −−+−−+−−=ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222

2221

513

2222

2221

312

2222

2221111 bxaxxbbxaxxbbxaxxb −−+−−+−−=θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222

2221

523

2222

2221

322

2222

2221212 bxaxxcbxaxxcbxaxxc −−+−−+−−=θ

Documents

Teoria de Mindlin