Prof. Jorge
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Prof. Jorge
Relacionando lados e ângulos
A trigonometria tem sua origem, portanto, na necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo.
a hipotenusa BC = a
A
B
C
a
b
c
o cateto AC = b
o cateto AB = c
A = 90º
B + C = 90º
Prof. Jorge
Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
ca2 = b2 + c2
⍺
cateto oposto a ⍺hipotenusa
=sen ⍺ =ca
cateto adjacente a ⍺hipotenusa
=cos ⍺ =ba
Prof. Jorge
Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
ca2 = b2 + c2
⍺
cateto oposto a ⍺=tg ⍺ =
cbcateto adjacente a ⍺
os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas do ângulo ⍺.
Prof. Jorge
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B.
12 16
A
BC
Teorema de Pitágoras
BC2 = AB2 + AC2
x2 = 162 + 122
x2 = 256 + 144
x2 = 400
x = 20
20
Prof. Jorge
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.
cateto oposto a B
hipotenusasen B = =
12
20=
3
5= 0,6
cateto adjac. a B
hipotenusacos B = = 16
20=
4
5= 0,8
12 16
A
BC20
Prof. Jorge
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.
cateto oposto a B
cateto adjac. a Btg B = =
12
16= 3
4= 0,75
12 16
A
BC20
Prof. Jorge
Exemplos
Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm.
5 cm16
6 cm
x
y
tg y =6
5= 1,2 ⇒ y ≈
50º
x + y = 90º
⇒ x ≈ 40º
Prof. Jorge
Outras razões trigonométricas
Prof. Jorge
Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺
hipotenusa=cosec ⍺ =
ac
cateto adjacente a ⍺
hipotenusa=sec ⍺ =
ab
=1
sen ⍺
=1
cos ⍺
Prof. Jorge
Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺=cotg ⍺ =
bc
cateto adjacente a ⍺=
1
tg ⍺
Prof. Jorge
Seno, co-seno e tangente de ângulos complementares
Prof. Jorge
Ângulos complementares
A
B
C
5
4
3
⍺ + = 90º
⍺
tg ⍺ =34
⇒Os ângulos ⍺ e são complementares
sen ⍺ =35
cos ⍺ =45
tg =43
sen =45
cos =35
Prof. Jorge
Ângulos complementares
A
B
C
a
b
c
⍺ + = 90º
⍺
tg ⍺ =1
tg
⇒Os ângulos ⍺ e são complementares
sen ⍺ = cos cos ⍺ = sen
sec ⍺ = cosec cosec ⍺ = sec cotg ⍺ = tg
Prof. Jorge
1 cm
2 cmt
Exemplo
No triângulo retângulo da figura, temos:
I. sen t = ½ II. sec t = √5
2III. tg t = 2
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
a) I b) II c) III d) II e III e) I, II e III
Prof. Jorge
Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
Prof. Jorge
Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
1tg
½ cos
½ sen
60º 45º 30º
√2/2
√2/2
√3/2
√3/2
√3/3 √3
Prof. Jorge
Exemplos
A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y.
x16
y
30º
sen 30º =x
12
12 cm
⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm
cos 30º =y
12⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm
Prof. Jorge
Exemplos
Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z.
30ºAB
C
D
xy
z 2 cm
60º
Prof. Jorge
Identidades trigonométricas
Prof. Jorge
Identidades trigonométricas
Ferramentas de grande aplicabilidade sendo utilizadas para:
Obter uma razão trigonométrica, para um dado ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido.
Simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.
Prof. Jorge
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
b2 + c2 = a2 (: a2)
b2
a2+
c2
a2=
a2
a2
ba
+ca
= 12 2
sen ⍺
+ cos ⍺ = 12 2
⇒ sen2 x + cos2 x = 1
Prof. Jorge
b/a
c/a
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
sen ⍺
cos ⍺= =
b
a.
a
c=
b
c= tg ⍺
tg x =sen x
cos x
Prof. Jorge
c/a
b/a
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
cos ⍺
sen ⍺= =
c
a.
a
b=
c
b= cotg ⍺
cotg x =cos x
sen x
Prof. Jorge
Identidades trigonométricas - Resumo
1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental
2) tg x =sen x
cos x
3) cotg x =cos x
sen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)=1
tg x
4) sec x =1
cos x
5) cosec x =1
sen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)
Prof. Jorge
Exemplos
Demonstre que sec2 x = 1 + tg2 x.
sec x =1
cos x⇒ sec2 x =
1
cos2 x
⇒ sec2 x =sen2 x + cos2 x
cos2 x
⇒ sec2 x =sen2 x
cos2 x+
cos2 x
cos2 x
⇒ sec2 x = tg2 x + 1
Prof. Jorge
Exemplos
Demonstre que cosec2 x = 1 + cotg2 x.
cosec x =1
sen x⇒ cosec2 x =
1
sen2 x
⇒ cosec2 x =sen2 x + cos2 x
sen2 x
⇒ cosec2 x =sen2 x
sen2 x+
cos2 x
sen2 x
⇒ sec2 x = 1 + cotg2 x
Prof. Jorge
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sen2 x + cos2 x
⇒ 35
+2
cos2 x = 1
⇒ 925
+ cos2 x = 1
⇒9
25–cos2 x = 1 =
25 – 9
25
⇒ cos x =
=16
25
± 4/5 ⇒ cos x = 4/5
Prof. Jorge
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
tg x =sen x
cos x=
3545
=34
cotg x =1
tg x=
1
34
=43
Prof. Jorge
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sec x =1
cos x=
1
45
=54
cosec x =1
sen x=
1
35
=53
Prof. Jorge
Exemplos
Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =cotg x . sec x
cosec2 x
E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
E1 =sen xcos x
+cos xsen x
–1
cos x1
sen x.
E1 =sen2 x
sen x . cos x+ cos2 x – 1
=sen x . cos x
1 – 1= 0
Prof. Jorge
cos xsen x
1cos x
1
sen2 x
Exemplos
Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =cotg x . sec x
cosec2 x
E2 =cotg x . sec x
cosec2 x=
.
=
1sen x
1
sen2 x
E2 =1
sen x. sen2 x
1= sen x
Prof. Jorge
Ângulos e arcos na circunferência
Prof. Jorge
O
Circunferência
AB
C
DE
Pr
r
r
rr
r
Prof. Jorge
Elementos
B
A
BAO O
Corda AB Diâmetro AB
Prof. Jorge
Elementos
A
B
Arco AB
Arco BA
Prof. Jorge
Arcos e ângulos
A ≡ B A ≡ B
arco completo arco nulo
Prof. Jorge
Arcos e ângulos
AB
Arco de meia volta
O
Arco AB
Arco BA
Prof. Jorge
Arco e ângulo central
A
B
O
C
D
E F
m(AB) = ⍺
m(CD) =
m(EF) =
Prof. Jorge
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o80o90o100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o270o 280o 290o
300o
310o
320o
330o
340o
350o
O grau como unidade de medida
Prof. Jorge
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o80o90o100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o270o 280o 290o
300o
310o
320o
330o
340o
350o
O grau como unidade de medida
Prof. Jorge
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o80o90o100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o270o 280o 290o
300o
310o
320o
330o
340o
350o
1o
1º = 360 1
O grau como unidade de medida
Prof. Jorge
Exemplos
Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a circunferência em seis arcos congruentes. Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE e dos ângulos centrais correspondentes.
A
B
O
C
D
E F
AB =360º
6= 60º
CE = 2 . 60º = 120º
⍺ = 60º e = 120º
Prof. Jorge
Exemplos
A circunferência da figura tem 12 m de raio. Supondo que o arco AB mede 2 m, calcular em graus, a medida do arco e do ângulo central correspondente.
A
B
O 2 m12 m
Arco(em graus)
2 m
⍺ =360 . 2
24
Arco(em metros)
360º 24 m
⍺
= 30º C = 2rC = 2..12C = 24
Prof. Jorge
O radiano como unidade de medida
A
R
O R
R
B
Comprimento do arco (AB) = R
⇓
m(AB) = 1 radiano
⇓
= m(AB) = 1 rad
Prof. Jorge
Exemplo
A
R
O R
1,5RB
Comprimento do arco (AB) = 1,5 R
⇓
m(AB) = 1,5 rad
⇓
= m(AB) = 1,5 rad
= m(AB) =comprimento
R
Prof. Jorge
Arco completo
=comprimento
R
=2R
RR
A ≡ BO
= 2 rad
Prof. Jorge
9 cm
Exemplos
B
10,8 cm
A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB.
O
A =
comprimento
R
=10,8 cm
9 cm= 1,2 rad
Prof. Jorge
4 cm
Exemplos
B
30º
O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB.
O
Aângulo
x
x =2 .4.30
360
comprimento
360º 2 R
30º
2
3= ≈ 2, 1 cm
Prof. Jorge
R
Exemplos
B
40 cm
Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência.
O
A
R
=comprimento
R
5 =40 cm
R
5R = 40
⇒ R = 8 cm
Prof. Jorge
Arcos especiais
00oArco nulo
/290ºArco de ¼ de
volta
180ºArco de
meia-volta
2360ºArco
completo
Medida em radianos
Medida em graus
Represen-tação
O
O
O
O
Prof. Jorge
Transformando unidades
As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três.
180º correspondem a rad
Prof. Jorge
25
Exemplos
Transformar 72º em radianos.
180º rad
72º x
x = 72 .
180 = rad
Prof. Jorge
5.180
Exemplos
Exprimir rad em graus.
rad equivale a 180º.
x = 4
=
5
4
225º5.
4=