Elementos de › ... › U1 › LIVRO_UNICO.pdf · 2018-01-10 · U1 Trigonometria no triângulo 9 Seção 1.1 Triângulo retângulo Olá! Seja bem-vindo! Você deve se lembrar que,

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ATEMÁTIC

A II

Elementos de matemática II

Eduardo Aparecido da Rosa Neto

Elementos de matemática II

2017Editora e Distribuidora Educacional S.A.

Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João PizaCEP: 86041-100 — Londrina — PR

e-mail: [email protected]: http://www.kroton.com.br/

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Neto, Eduardo Aparecido da Rosa

ISBN 978-85-522-0171-7

1. Matemática – Compêndios. 2. Formação profissional. I. Título.

CDD 510

Neto. – Londrina : Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2017. 232 p.

N469e Elementos de matemática II / Eduardo Aparecido da Rosa

© 2017 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo

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PresidenteRodrigo Galindo

Vice-Presidente Acadêmico de GraduaçãoMário Ghio Júnior

Conselho Acadêmico Alberto S. Santana

Ana Lucia Jankovic BarduchiCamila Cardoso Rotella

Cristiane Lisandra DannaDanielly Nunes Andrade Noé

Emanuel SantanaGrasiele Aparecida LourençoLidiane Cristina Vivaldini OloPaulo Heraldo Costa do Valle

Thatiane Cristina dos Santos de Carvalho Ribeiro

Revisão TécnicaJunior Francisco Dias

Vagner Luis Zanin

EditorialAdilson Braga Fontes

André Augusto de Andrade RamosCristiane Lisandra Danna

Diogo Ribeiro GarciaEmanuel SantanaErick Silva Griep

Lidiane Cristina Vivaldini Olo

Sumário

Unidade 1 | Trigonometria no triângulo

Seção 1.1 - Triângulo retângulo

Seção 1.2 - Trigonometria no triângulo retângulo

Seção 1.3 - Trigonometria em um triângulo qualquer

7

9

29

47

Unidade 2 | Funções e identidades trigonométricas

Seção 2.1 - Trigonometria na circunferência

Seção 2.2 - Funções trigonométricas

Seção 2.3 - Outras identidades trigonométricas

Unidade 3 | Funções exponenciais, funções logarítmicas e progressões

Seção 3.1 - Função exponencial

Seção 3.2 - Função logarítmica

Seção 3.3 - Progressões aritmética e geométrica

67

125

69

127

89

145

107

163

Unidade 4 | Números complexos

Seção 4.1 - A ideia de número complexo

Seção 4.2 - Operações com números complexos

Seção 4.3 - Forma trigonométrica ou forma polar de um número complexo

183

185

201

215

Palavras do autorEsta disciplina é imprescindível para a formação do futuro profissional

da área de Matemática, pois fornece os elementos indispensáveis para a compreensão e desenvolvimento de várias outras disciplinas.

Para tratar dos conteúdos desta disciplina, este livro está subdividido em quatro unidades, descritas a seguir.

No início da primeira unidade será realizada uma revisão envolvendo o triângulo retângulo. Ela é importante, uma vez que esses conceitos serão constantemente retomados ao longo dos demais tópicos. Em seguida, abordaremos a trigonometria, primeiro no triângulo retângulo, depois em um triângulo qualquer.

Na segunda unidade, os conceitos de seno, cosseno e tangente, antes discutidos apenas no triângulo retângulo, agora serão estendidos e formalizados na circunferência. Com essas duas abordagens, você irá reconhecer que o cosseno e o seno representam as medidas dos catetos de um triângulo retângulo com medida 1, pois são as projeções de um ponto nos eixos de uma circunferência.

A Unidade 3 visa desenvolver diversos conceitos relacionados a funções exponenciais, funções logarítmicas e progressões, sendo utilizados para isso, tanto quanto possível, exemplos e situações contextualizadas. Você perceberá padrões e regularidade em fenômenos da natureza e em situações reais do seu dia a dia.

Na Unidade 4, inicialmente por meio de uma breve abordagem histórica, você conhecerá um pouco a respeito da necessidade de construção de um novo conjunto numérico: os números complexos. Apresentada a definição formal desse conjunto, vamos explorar diversas operações algébricas, bem como suas respectivas representações geométricas no plano de Argand-Gauss.

Cabe ressaltar que você será desafiado na demonstração de teoremas. Portanto, é necessário empenho no estudo, bem como na visualização das imagens indicadas, que enriquecerão sua aprendizagem. É de extrema importância manter uma rotina de estudos que possibilite dedicar-se à realização das atividades, abrindo caminho para a autonomia intelectual.

Bons estudos!

Unidade 1

Trigonometria no triângulo

Convite ao estudo

Como você faria se alguém o desafiasse a calcular a altura de um prédio de maneira indireta, ou seja, sem subir ao seu topo ou utilizar equipamentos específicos?

O matemático grego, Tales de Mileto (640-564 a.C.), considerado um dos sete sábios da Antiguidade, deparou-se com um desafio semelhante: calcular a altura de uma das pirâmides dos faraós do Egito, utilizando somente seus conhecimentos e os recursos daquela época. As informações a seu respeito e de seus feitos são cercadas por incertezas e existem várias versões sobre o método empregado por Tales para realizar a medição. A mais antiga delas diz que Tales desenhou uma circunferência de raio igual à sua própria altura e postou-se no centro dela. Numa segunda versão, Tales, em vez do próprio corpo, usou uma vareta fincada perpendicularmente ao solo.

Nessas duas versões o raciocínio era o mesmo. Quando sua sombra (ou a sombra da vareta) atingisse a circunferência, isto é, no momento em que o comprimento de sua sombra fosse igual ao da sua altura (ou da altura da vareta), o comprimento da sombra e o da altura da pirâmide também seriam iguais. Assim, bastava que, nesse momento, a extremidade da sombra da pirâmide fosse marcada com uma estaca e seu comprimento medido por meio de uma corda bem esticada.

A realização de medições indiretas, situações nas quais não temos acesso ao que pretendemos medir, ainda é muito utilizada, por exemplo, na astronomia e na engenharia. Na topografia, por exemplo, para determinar com precisão a medida de ângulos horizontais e verticais, que possibilitem o cálculo de

distâncias, geralmente inacessíveis, é utilizado um instrumento óptico chamado teodolito e algumas relações trigonométricas que estudaremos nesta unidade.

E, para deixar o estudo ainda mais interessante, suponha que você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira. Para estimular o aprendizado dos alunos, a coordenadora pedagógica sugeriu abordar os principais conceitos de trigonometria no triângulo por meio de três atividades práticas, em sala de aula ou no ambiente escolar. Com essas oportunidades de estudos diferenciados, o interesse dos alunos em aprender será mantido. Essas atividades devem ser elaboradas com o objetivo de explorar os conceitos estudados na respectiva seção do livro, de tal maneira que o aluno seja o foco da aprendizagem, com um papel extremamente ativo.

Na primeira atividade prática, relacionada ao conteúdo da seção “Triângulo retângulo”, você terá de discutir e aplicar juntamente com os alunos uma das técnicas mais utilizadas na construção: aferir se as paredes da sala de aula estão no esquadro, ou seja, se formam um ângulo reto, sem utilizar a ferramenta esquadro. Na segunda atividade prática, relacionada ao conteúdo da seção “Trigonometria no triângulo retângulo”, o desafio será calcular a altura de alguns pontos inacessíveis na escola ou próxima a ela, utilizando um teodolito construído pelos próprios alunos. Nesse caso, os três pontos tomados como referência para o cálculo formam um triângulo retângulo. Já a terceira atividade prática, relacionada ao conteúdo da seção “Trigonometria em um triângulo qualquer”, é semelhante à atividade anterior, no entanto os três pontos tomados como referência não formam necessariamente um triângulo retângulo. Vamos lá?

U1 - Trigonometria no triângulo 9

Seção 1.1Triângulo retângulo

Olá! Seja bem-vindo!

Você deve se lembrar que, ainda na apresentação da unidade, vimos duas versões do possível método empregado por Tales de Mileto para realizar a medição da altura de uma das pirâmides dos faraós do Egito. O raciocínio de Tales culminou, com no que hoje conhecemos como teorema de Tales, assunto pelo qual iniciaremos o estudo da trigonometria no triângulo. Ainda por meio de uma abordagem histórica, estudaremos também o teorema de Pitágoras, desde a medição de terras no Egito até a sua demonstração formal. Também estudaremos outras relações métricas no triângulo retângulo, assim como a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Esses conteúdos servem como base para o trabalho que será desenvolvido posteriormente na unidade, em que serão abordadas as relações trigonométricas em um triângulo e suas propriedades geométricas.

Esse assunto é normalmente trabalhado nos anos iniciais do ensino médio na disciplina de Matemática. Você se recorda?

Diálogo aberto

Fonte: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto>. <https://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras>. Acesso em: 23 fev. 2017.

Figura 1.1 | (a) ilustração de Tales de Mileto; (b) estátua de Pitágoras de Samos

(a) (b)

U1 - Trigonometria no triângulo10

Vamos voltar também à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira, com a tarefa de elaborar uma atividade prática com o objetivo de discutir e aferir se as paredes da sala de aula estão no esquadro, ou seja, se formam um ângulo reto, sem utilizar a ferramenta esquadro.

Você conseguiria propor uma abordagem interessante para essa aula prática, com base nos conteúdos desta seção? Uma maneira de descrevê-la é por meio de um plano de aula, constando, em detalhes, as justificativas teóricas, o tempo disponível para a aula, os conteúdos matemáticos envolvidos, os materiais necessários, os resultados esperados, dentre outros aspectos.

A palavra trigonometria vem das palavras gregas trigonón, que significa “triângulo”, e metria, que significa “medição”. Assim como em sua origem, trigonometria consiste no cálculo de medidas nos triângulos. Vimos que a utilização de triângulos retângulos semelhantes para a determinação de distâncias é bastante antiga. Vamos, então, reconstruir um processo que poderia ser utilizado por Tales para medir a altura da pirâmide? Para deixar um pouco mais interessante, vamos considerar um terceiro método: o da vareta que foi fincada, perpendicularmente, ao solo em um momento qualquer do dia.

Fonte: Ribeiro (2013, p. 45).

Figura 1.2 | Parede em esquadro

Não pode faltar


Observe a representação artística desse processo e sua secção vertical.

Na Figura 1.3, temos:

• H: altura da pirâmide.

• D: distância do eixo da pirâmide à sua borda.

• S: extensão da sombra projetada no solo pela pirâmide (sombra visível).

• h: altura da vareta.

• s: extensão da sombra projetada no solo pela vareta.

Comparando os triângulos retângulos destacados:

• Como o solo é horizontal, suas bases são paralelas.

• Suas alturas são paralelas.

• Considerando que os raios solares são paralelos, seus lados também são.

Em outras palavras, os dois triângulos apresentam os três lados correspondentemente paralelos, ou seja, eles são semelhantes e seus lados são proporcionais.

Pesquise mais

Para mais detalhes sobre Trigonometria, acesse o link disponível em: <http://www.uel.br/projetos/matessencial/trigonom/trigo00.htm>. Acesso em: 3 mar. 2017. Elaborado pelo professor Ulysses Sodré, da Universidade Estadual de Londrina, esse site traz, além de vários outros assuntos, alguns dos conceitos relacionados com a Trigonometria: notações utilizadas, exemplos numéricos e aplicações práticas, com linguagem bastante acessível. Vale a pena conferir!

Fonte: elaborada pelo autor.

Figura 1.3 | (a) representação artística do processo de medição da altura da pirâmide (os elementos ilustrados não estão em proporção); (b) secção vertical do processo de medição da altura da pirâmide

(a) (b)

raios solares raios solares


Lembre-se

Dois triângulos são semelhantes quando satisfazem ao menos um dos critérios a seguir:

• Possuem dois ângulos iguais.

• Possuem um ângulo igual compreendido entre lados proporcionais.

• Possuem três lados proporcionais.

Desse modo, para obter a medida H, basta utilizar a seguinte proporção:

Hh

D Ss

=+

Isolando H:

H h D S

s= ⋅

+

Como as medidas h, D, S e s podem ser facilmente obtidas por Tales e substituídas na expressão, obtém-se H, que é a altura da pirâmide. Na resolução desse problema, Tales utilizou conhecimentos acerca de semelhança de triângulos. Esse método resultou no que atualmente denominamos teorema de Tales.


Vamos demonstrar o teorema de Tales? Para isso, devemos considerar o feixe de retas paralelas da Figura 1.4 e dois casos.

1º caso: AB e BC são congruentes, isto é, possuem a mesma medida, logo AB

BC= 1

. Devemos mostrar que DE e EF também são

congruentes, ou seja, DEEF

= 1 , consequentemente ABBC

DEEF

= = 1.

Assimile

Teorema de Tales

Um feixe de retas paralelas determina, sobre retas transversais, segmentos correspondentes proporcionais.

ABBC

DEEF

=


Figura 1.4 | Feixe de retas paralelas sobre retas transversais

Atenção

Um conjunto de três ou mais retas paralelas em um plano é chamado de feixe de retas paralelas. Na Figura 1.4, as retas r, s e t formam um feixe de retas paralelas ( r s t// // ). Já as retas u e v, que cortam o feixe de retas paralelas, são chamadas de retas transversais. Nesse feixe de retas:

• A e D, B e E, C e F são chamados pontos correspondentes.

• AB e DE , BC e EF , AC e DF são chamados segmentos correspondentes.


Vamos traçar os segmentos DM e EN , paralelos a u, obtendo os paralelogramos ABMD e BCNE, tais que AB DM≡ e BC EN≡ , como mostra a figura a seguir.

Como AB BC≡ , então DM EN≡ . Note que os triângulos DEM e EFN são congruentes pelo caso de congruência de triângulos LAAO (lado, ângulo e ângulo oposto). Logo, DE EF≡ , como queríamos. Portanto, AB

BCDEEF

= = 1 .

2º caso: AB e BC não são congruentes, isto é, não possuem a mesma medida. Devemos mostrar que AB e BC são proporcionais

aos segmentos DE e EF , ou seja, ABBC

DEEF

= .

Sem perda de generalidade, escolhemos uma medida m conveniente de modo que AB e BC possam ser divididos por essa medida uma quantidade inteira de vezes, digamos que med AB m( ) = 2 e

med BC m( ) = 3 .


Figura 1.5 | Feixe de retas paralelas sobre retas transversais e construção dos paralelogramos ABMD e BCNE (1º caso)


Vamos traçar pontos que dividem AB , traçando as retas paralelas a r, s e t, como mostra a figura a seguir.

Basta observar que, como os segmentos obtidos em u são congruentes, pelo primeiro caso, segue que os segmentos obtidos em v também são. Logo:

ABBC

mm

= =23

23 e

DEEF

nn

= =23

23

Portanto, ABBC

DEEF

= .

Reflita

A expressão “sem perda de generalidade” é muito comum em demonstrações que usam uma suposição, nesse caso a medida m. Os demais casos podem ser demonstrados de maneira semelhante. Como seria, por exemplo, a demonstração para uma medida m escolhida de tal maneira que med AB m( ) = 5 e med BC m( ) = 4 ?


Figura 1.6 | Feixe de retas paralelas sobre retas transversais, divididos em uma quantidade inteira de vezes (2º caso)


Atenção

No 2º caso, demonstramos o teorema de Tales considerando que é possível obter uma medida m que divide os segmentos AB e BC uma quantidade inteira de partes. Quando isso acontece, dizemos que esses segmentos são comensuráveis. Por escapar do conteúdo deste livro, admitiremos sem prova o caso no qual AB e BC são incomensuráveis, ou seja, quando não é possível obter uma unidade de medida na qual seja possível dividir os segmentos em uma quantidade inteira de partes.

Exemplificando

Suponha que você foi desafiado a calcular a largura de um rio utilizando apenas uma trena e seus conhecimentos acerca do assunto. Além disso, você não pode atravessá-lo para realizar medições na outra margem. Tomando alguns pontos como referência, você realizou algumas medições e construiu o esquema a seguir.

Qual a largura do rio nesse ponto?

Resolução: segundo o teorema de Tales, temos que ABBC

ADDE

= . Resolvendo essa proporção, temos:

ABBC

ADDE BC

BC BC BC= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =12 9

219 12 21 252

928

Portanto, a largura do rio nesse ponto é 28 m.


Figura 1.7 | Esquema para calcular a largura de um rio


Os triângulos semelhantes, em especial os triângulos retângulos, são de grande importância para a resolução de situações-problema, principalmente aqueles que envolvem a determinação de distâncias inacessíveis. Vamos relembrar seus elementos?

Elementos do triângulo retângulo

Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto, ou seja, mede. Nele, podemos destacar os seguintes elementos.

• Lados: AB , BC e AC .

• Ângulos internos: BAC^

, ABC^

e ACB^

.

• Medidas dos lados:

a BC

b AC

c AB

:::

medida de medida de medida de

• Medidas dos ângulos:

A BAC

B ABC

C ACB

:

:

:

medida de

medida de

medida de ^

^

^

^

^ ^

O lado BC , oposto ao ângulo reto, é chamado hipotenusa, e os lados AB e BC , adjacentes ao ângulo reto, são chamados catetos.


Figura 1.8 | Elementos do triângulo retângulo


Atenção

Para simplificar, às vezes usaremos letras gregas minúsculas α e β para indicar os ângulos internos do triângulo. Além disso, indicaremos um ângulo (ou um segmento) e sua medida por um mesmo símbolo.

Teorema de Pitágoras

Você provavelmente deve se recordar da afirmação: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.

“Há registros de que agrimensores no Antigo Egito demarcavam ângulos retos (90°) utilizando triângulos de medidas proporcionais à 3, 4 e 5, construídos com base em cordas divididas em 12 partes iguais, por 11 nós.” (ROSA NETO; BALESTRI, 2013, p. 280)

Porém, não sabemos se os antigos egípcios conheciam o teorema. “O teorema de Pitágoras, por exemplo, não aparece em forma nenhuma nos documentos egípcios encontrados, mas tabletas até do período babilônio antigo mostram que na Mesopotâmia o teorema era, largamente usado.” (BOYER, 1974, p. 29)


Assimile

Teorema de Pitágoras

Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

a b c2 2 2= +Figura 1.9 | Catetos e hipotenusa no triângulo retângulo


Atualmente, alguns operários da construção civil utilizam um método semelhante para aferirem se as paredes estão no esquadro, mesmo sem utilizar a ferramenta esquadro. Mas vamos deixar esse assunto para o tópico Sem medo de errar. Ambos os métodos decorrem da recíproca do teorema de Pitágoras, ou seja, se em um triângulo o quadrado da medida do maior lado for igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, então esse triângulo é retângulo.

O teorema de Pitágoras possui diversas demonstrações. Vamos estudar uma delas.

Considere o quadrado ABCD com lado de medida a e um triângulo retângulo, com hipotenusa também de medida a. Vamos construir, sobre cada lado desse quadrado, um triângulo congruente ao inicial. Note que obtemos um quadrado EFGH, cujo lado mede b c+ , como mostra a figura a seguir.


Figura 1.10 | Procedimento utilizado pelos egípcios para demarcar ângulo reto

Figura 1.11 | Procedimento geométrico para a demonstração do teorema de Pitágoras



Agora, vamos calcular a área do quadrado EFGH. Como há pelo menos duas maneiras distintas de calcular essa área, podemos escrever uma igualdade entre elas:

Com isso, demonstramos a relação dada pelo teorema de Pitágoras

a b c2 2 2= + .

Relações métricas no triângulo retângulo

Além do teorema de Pitágoras, os triângulos retângulos possuem outras relações métricas envolvendo as medidas de seus lados. Vamos estudar algumas delas?

Em um triângulo retângulo ABC, a altura AD em relação à hipotenusa BC divide-o em dois triângulos retângulos semelhantes ao maior e, consequentemente, semelhantes entre si.

1ª maneira: adicionando a área do quadrado ABCD e a dos quatro

triângulos retângulos.

2ª maneira: elevando ao quadrado a medida de seu lado.

a b2 2+ =

a b c2 42

+ ⋅⋅

: adicionando1ª maneira 2ª maneiraa área do quadrado e a

ABCD dos quatro triângulos

retângulos.

= +( )b c 2

:: elevandoao quadrado a medida

de seu lado.

c b2 +22 2

2 2 2

bc c

a b c

+

= +

Figura 1.12 | Triângulos retângulos DBA e DCA semelhantes ao triângulo retângulo ABC



Em que:

• a: medida da hipotenusa.

• b e c: medidas dos catetos.

• h: medida da altura relativa à hipotenusa.

• m e n: medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Vamos obter as relações métricas entre o triângulo maior e um dos triângulos menores, digamos o triângulo DBA. De fato, dados dois triângulos semelhantes, seus lados correspondentes são proporcionais. Vamos comparar os triângulos e escrever as relações.

Portanto, outras três relações métricas em um triângulo retângulo são c h b n⋅ = ⋅ , a h b c⋅ = ⋅ e c a n2 = ⋅ .

Figura 1.13 | Triângulos retângulos ABC e DBA


cn

bh

c h b n

=

⋅ = ⋅

ac

bh

a h b c

=

⋅ = ⋅

ac

cn

a n c c

c a n

=

⋅ = ⋅

= ⋅2

Faça você mesmo

Verifique as relações métricas b a m2 = ⋅ e a h b c⋅ = ⋅ comparando o triângulo maior e o triângulo DCA. Verifique também a relação métrica h m n2 = ⋅ comparando os triângulos DBA e DCA.


Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Podemos ainda utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a distância entre dois pontos do plano cartesiano. Observe como podemos determinar a distância entre os pontos B 3 8,( ) e C 10 2,( ), por exemplo. Para isso, determinamos o ponto A de modo que o triângulo ABC seja retângulo.

Note que AB = − =8 2 6 e AC = − =2 10 8 .

Aplicando o teorema de Pitágoras:

AB AC BC BC BC BC( ) + ( ) = ( ) ⇒ + = ( ) ⇒ = ( ) ⇒ =2 2 2 2 2 2 26 8 100 10

Portanto, a distância entre os pontos B 3 8,( ) e C 10 2,( ) é de 10 unidades.

Após o estudo do triângulo retângulo, vamos retomar a primeira situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Vamos relembrar! Você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira e tem a tarefa de elaborar uma atividade prática com o objetivo de discutir e aferir se as paredes da sala de aula estão no esquadro, ou seja, se formam um ângulo reto, sem utilizar a ferramenta esquadro.

Como já mencionado, no Antigo Egito já se demarcavam ângulos retos utilizando triângulos formados por uma corda dividida em 12 partes iguais, por 11 nós, conforme ilustrado na Figura 1.15.

Figura 1.14 | Triângulos retângulos ABC no plano cartesiano


Sem medo de errar


Atualmente, na construção civil, é do conhecimento do profissional pedreiro aferir o esquadro de uma parede utilizando triângulos retângulos cujas medidas também são proporcionais a 3, 4 e 5, numa mesma unidade. Digamos que as medidas escolhidas são 30 cm, 40 cm e 50 cm. Em uma das paredes, rente ao chão, o pedreiro marca um ponto a 30 cm do canto. Em seguida, na outra parede, ele marca um ponto a 40 cm do canto. Então, ele mede a distância entre os dois pontos e concluiu que:

• se a distância for 50 cm, o canto tem 90°.

• se a distância for maior que 50 cm, o canto tem mais de 90°.

• se a distância for menor que 50 cm, o canto tem menos de 90°.

Em ambos os métodos, é utilizado o conceito do teorema de Pitágoras.

Que tal descrever em um plano de aula os passos a serem realizados a fim de que os alunos experimentem na prática esse método? Uma sugestão de abordagem é organizá-los em grupos e solicitar que discutam e apresentem uma justificativa matemática para mostrar a validade desse método.

Figura 1.15 | Triângulo retângulo obtido no procedimento utilizado pelos egípcios para demarcar ângulo reto



Avançando na prática

Representação geométrica de um número irracional

Descrição da situação-problema

Suponha ainda que você é docente de certa turma do ensino médio e estão estudando os conjuntos numéricos, especificamente os números irracionais. Considere que, em uma das aulas, é necessário representar um número irracional geometricamente na reta numérica, utilizando régua, compasso e um par de esquadros. Qual seria um passo a passo interessante para realizar essa tarefa?

Resolução da situação-problema

Com base no que estudamos nesta seção, podemos utilizar novamente o conceito do teorema de Pitágoras. Por exemplo, veja como representar o número irracional 13 na reta numérica.

1. Inicialmente, construímos um triângulo retângulo com catetos medindo 2 cm e 3 cm com o auxílio do par de esquadros.

2. Determinamos a medida da hipotenusa por meio do teorema de Pitágoras.

a b c a a a2 2 2 2 2 2 22 3 13 13= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

Figura 1.16 | Construção do triângulo retângulo com catetos medindo 2 cm e 3 cm



Figura 1.17 | Transportando a medida da hipotenusa para a reta numérica


3. Por fim, transportamos para a reta numérica a medida da hipotenusa do triângulo utilizando o compasso.

Esse procedimento pode ser aplicado para representar na reta numérica os números irracionais construtíveis, isto é, números irracionais cuja medida pode ser representada por um segmento de reta construído com um número finito de passos, usando apenas um compasso e uma régua. A raiz quadrada de um número inteiro positivo é construtível, então, números irracionais do tipo

2 , 3 , 5 , 7 ,..., também são construtíveis.

Que tal agora elaborar um plano de aula para arquivar esse procedimento? Nele, você pode solicitar aos alunos que representem na reta numérica outros números irracionais, por exemplo, 17 , 41 e 53 .


Faça valer a pena

1. A Figura 1.18 representa parte do mapa de um bairro em que a linha de divisão entre os terrenos A e B e as ruas Minas Gerais e Alagoas são paralelas. Além disso, a rua Bahia é perpendicular às ruas Minas Gerais e Alagoas.

Assinale a alternativa que contém a medida do lado do terreno B que faz divisa com a Rua Goiás.a) 25 mb) 50 mc) 100 md) 40 m e) 20 m

2. O sítio de Joaquim fica a 4,5 km, contados perpendicularmente em direção a uma estrada reta. Na beira da estrada, a uma distância de 7,5 km do sítio, está localizado um posto de combustível. Também na beira dessa estrada, há um supermercado que fica igualmente distanciado do posto de combustível e do sítio de Joaquim, em linha reta, conforme representado na Figura 1.19.

Figura 1.18 | Parte do mapa de certo baixo



Figura 1.19 | Estrada reta e pontos de referência


Assinale a alternativa que contém essa distância comum, em quilômetros.a) Entre 4,5 km e 5 km.b) Menos que 4,5 km e mais que 4 km.c) Mais que 6 km e menos que 6,5 km.d) Mais que 5,5 km e menos que 6 km.e) Entre 5 km e 5,5 km.

3. O problema a seguir, citado em um livro de história da Matemática, aparece no livro Lilavati, do século Xll, de autoria de Bhaskara, o último matemático medieval importante na Índia.“Também usando o Teorema de Pitágoras temos o problema seguinte: um pavão está sobre o topo de uma coluna em cuja base há um buraco de cobra. Vendo a cobra a uma distância da coluna igual a três vezes a altura da coluna, o pavão avançou para a cobra em linha reta alcançando-a antes que chegasse a sua cova. Se o pavão e a cobra percorreram distâncias iguais, a quantos cúbitos da cova eles se encontraram?” (BOYER, 1974, p. 162)Considerando uma unidade para a altura da coluna, assinale a alternativa que contém a solução do problema, em cúbitos.a)

b) 3

c)

83

34


d)

e)

43

53


Seção 1.2Trigonometria no triângulo retângulo

Na seção anterior, estudamos o teorema de Pitágoras, que estabelece uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Agora, vamos estudar relações que envolvem também os ângulos internos do triângulo retângulo, chamadas relações trigonométricas.

Você deve se lembrar da situação hipotética apresentada no Convite ao estudo. Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira, com a tarefa de elaborar uma atividade prática com o objetivo de calcular a altura de alguns pontos inacessíveis na escola ou próxima a ela, utilizando um teodolito construído pelos próprios alunos. Nesse caso, os três pontos tomados como referência para o cálculo formam um triângulo retângulo.

Mas, afinal, o que é um teodolito? Você já viu ou utilizou um? É um instrumento que mede com precisão ângulos horizontais e verticais. No tópico Sem medo de errar, você verá que é possível construir uma versão simples desse instrumento utilizando poucos materiais. Uma maneira de descrever essa atividade prática, incluindo a construção do teodolito, é por meio de um plano de aula, constando, em detalhes, os materiais necessários, as justificativas teóricas, o tempo disponível para a aula, os conteúdos matemáticos envolvidos e os resultados esperados, dentre outros aspectos.

Nesta seção, vamos focar nosso estudo nas relações trigonométricas em um triângulo retângulo. Elas servem como base para o trabalho desenvolvido posteriormente na Seção 1.3, em que são abordadas as relações trigonométricas em um triângulo qualquer e apresentadas a lei dos senos, a lei dos cossenos e o cálculo da área de um triângulo qualquer.

Diálogo aberto

Não pode faltar


Razões trigonométricas

Considere duas semirretas de mesma origem em O, formando um ângulo agudo, digamos, de medida 30°. Veja a Figura 1.20.

Na semirreta inferior, vamos marcar os pontos A1 e A2 , distantes 4 cm e 6 cm da origem, respectivamente, e conduzir por cada um deles uma perpendicular, obtendo os triângulos retângulos semelhantes ABO1 1 e A B O2 2 , conforme ilustra a Figura 1.21.

Utilizando uma régua, vamos medir os lados desses triângulos:

Figura 1.20 | Semirretas de origem em O e abertura 30° (as medidas consideradas não estão necessariamente em verdadeira grandeza)

Figura 1.21 | Construção dos triângulos retângulos ABO1 1 e A B O2 2 (as medidas consideradas não estão necessariamente em verdadeira grandeza)



AB1 1 2 3, cm_~

A B2 2 3 5, cm_~

OB1 4 6, cm_~

OB2 6 9, cm_~

OA1 4= cm

OA2 6= cm


Calculando a razão entre esses lados, temos:

No triângulo ABO1 1 :

No triânguloA B O2 2 :

Podemos repetir esse processo indefinidamente, obtendo outros triângulos retângulos semelhantes A B O3 3 , A B O4 4 , ...,

A B On n .

Figura 1.22 | Construção dos triângulos retângulos A B O3 3A B3 3A B , A B O4 4A B4 4A B , ... A B On nA Bn nA B , (as medidas consideradas não estão necessariamente em verdadeira grandeza)


ABOB

1 1

1

2 34 6

0 5,,

,_~ _~

OAOB

1

1

44 6

0 9,

,_~ _~

ABOA

1 1

1

2 34

0 6=, ,_~_~

A BOB

2 2

2

3 56 9

0 5,,

,_~ _~

OAOB

2

2

66 9

0 9,

,_~ _~

A BOA

2 2

2

3 56

0 6, ,_~ _~


Nesses triângulos semelhantes, temos uma igualdade entre as seguintes razões envolvendo as medidas desses triângulos:

De fato, as relações acima não dependem do tamanho dos triângulos retângulos, mas apenas do valor da medida do ângulo O

^. Isso se deve ao fato de que, assim como na situação da medida da altura da pirâmide apresentada no Convite ao estudo, os triângulos apresentam os três lados correspondentemente paralelos, ou seja, eles são semelhantes e seus lados são proporcionais. Isso levou à ideia de nomear essas razões.

ABOB

A BOB

A BOB

A BOB

A BOBn n

n

1 1

1

2 2

2

3 3

3

4 4

40 5= = = = =... ,_~

OAOB

OAOB

OAOB

OAOB

OAOB

n

n

1

1

2

2

3

3

4

40 9= = = = =... ,_~

ABOA

A BOA

A BOA

A BOA

A BOAn n

n

1 1

1

2 2

2

3 3

3

4 4

40 6= = = = =... ,_~

Pesquise mais

No objeto interativo, disponível no link: <https://www.geogebra.org/m/M3vta5Uv#material/GPnb5U5Z>. Acesso em: 10 mar. 2017, é possível simular as razões trigonométricas. Ao alterar o tamanho, o formato ou a medida dos ângulos agudos nos triângulos retângulos, a simulação mostra que a igualdade entre as razões é mantida. Vale a pena conferir!


Vocabulário

Adjacente: que está posto ao lado, situado em local próximo.

Assimile

Considerando um triângulo retângulo e fixando um de seus ângulos agudos α , temos:

• Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

senα =ba

• Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

cosα =ca

• Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente ao ângulo.

tgα =

bc

Figura 1.23 | Triângulo retângulo ABC e ângulo agudo grandeza


(cateto oposto)

(cateto adjacente)


Com essas razões trigonométricas, podemos determinar a medida de um lado do triângulo retângulo, conhecendo a medida de um ângulo e de outro lado. Também é possível determinar a medida de um ângulo conhecendo a medida de dois lados.

Faça você mesmo

Existem algumas relações envolvendo seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos α e β de um triângulo retângulo, por exemplo,

sen cosα β= , que nos informa que o seno de um ângulo é igual ao cosseno do complementar desse ângulo e vice-versa.

Demonstre as seguintes relações:

•

• .

Essa última igualdade é chamada relação fundamental da trigonometria. Para demonstrá-la, utilize o teorema de Pitágoras.

Figura 1.24 | Triângulo retângulo ABC e ângulos agudos α e β


tg sencos

ααα

=

sen cos2 2 1α α+ =

Atenção

Não podemos confundir sen2 α , que é igual a senα( )2 , com

sen α 2 , que é igual a sen α α⋅( ) .


Valores para o seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo

Anteriormente, no tópico de “Razões trigonométricas”, ao construir os triângulos semelhantes ABO1 1 e A B O2 2 , obtemos valores aproximados nas razões.

A precisão desses valores depende da exatidão com que o triângulo foi construído e medido. No entanto, em alguns ângulos as razões trigonométricas podem ser determinadas algebricamente, sem se recorrer à medição direta, eliminando o inconveniente da imprecisão da régua, por exemplo. Desse modo, seus senos, cossenos e tangentes podem ser expressos com exatidão, sem necessidade de arredondamentos ou aproximações. São os ângulos de 30°, 45° e 60°, conhecidos como ângulos notáveis.

ABOB

A BOB

1 1

1

2 2

20 5= ,_~

OAOB

OAOB

1

1

2

20 9= ,_~

ABOA

A BOA

1 1

1

2 2

20 6= ,_~

Figura 1.25 | Construção dos triângulos retângulos ABO1 1AB1 1AB e A B O2 2A B2 2A B


Reflita

Por que os ângulos de medidas 30°, 45° e 60° são conhecidos como ângulos notáveis?


Considere um triângulo equilátero de lado a. Sabemos que cada um de seus ângulos internos mede 60°. Traçando a altura h e pelo teorema de Pitágoras, temos:

a h a a h a a a h h a h a2 22

2 22

22

2 22

2 4 434

32

= +

⇒ = + ⇒ − = ⇒ = ⇒ =

Então, podemos calcular as razões trigonométricas de 30° e 60°.

• sen30 2 12

° = =

a

a

• cos30

32 3

2° = =

a

a

• tg30 23

2

13

33

33

° = = ⋅ =

a

a

• sen60

32 3

2° = =

a

a

• cos60 2 12

° = =

a

a

Figura 1.26 | Triângulo equilátero de lado a e altura h



Figura 1.27 | Triângulo retângulo isósceles de lado a e hipotenusa x


• tg60

32

2

3° = =

a

a

Agora, considere um triângulo retângulo isósceles de catetos a. Sabemos que seus ângulos agudos são congruentes e medem 45°. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

x a a x a x a2 2 2 2 22 2= + ⇒ = ⇒ =

Assim, podemos calcular as razões trigonométricas de 45°.

• sen452

12

22

22

° = = ⋅ =a

a

• cos 452

22

° = =a

a

• tg45 1° = =aa

Resumidamente, podemos organizar esses valores em uma tabela de dupla entrada.


Tabela 1.1 | Valores do seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis


Para os demais ângulos, podemos utilizar uma calculadora científica ou construir uma tabela com os valores do seno, do cosseno e da tangente por meio de aproximações de números irracionais. De acordo com a necessidade, podemos obter aproximações com uma quantidade maior de casas decimais, por exemplo, sen 1° com aproximação de sete casas decimais: sen ,1 0 0174524° = .

Pesquise mais

Veja uma tabela trigonométrica com aproximação de cinco casas decimais disponível em: <http://www.ufrgs.br/biomec/materiais/Tabela%20Trigonometrica.pdf>. Acesso em: 27 mar. 2017.

Dica

Além de consultar a tabela, você pode usar uma calculadora científica para obter os valores do seno, cosseno e tangente de um ângulo. Para obter o seno do ângulo de, por exemplo, efetuamos:

Figura 1.28 | Sequência de teclas para obter o valor de sen 47°

Fonte: adaptada de Rosa Neto e Balestri (2013, p. 289).


Também é possível determinar a medida do ângulo α dado senα ,

cosα ou tgα usando a função sen−1 , cos−1ou tg−1 , respectivamente. Para determinar a medida do ângulo ao qual cos ,α = 0 974 , por exemplo, efetuamos:

Nesse caso, a medida do ângulo α é aproximadamente 13°. Vale ressaltar que algumas calculadoras científicas oferecem três opções para a unidade de medida de ângulo: graus (Deg), radianos (Rad) ou grados (Gra). Nos exemplos acima, estamos considerando a medida do ângulo em graus, conforme a indicação D no canto superior direito do visor.

Figura 1.29 | Sequência de teclas para obter a medida do ângulo ao qual

cos ,α = 0 974


Exemplificando

Ao decolar, um avião percorre um trajeto retilíneo que forma com o solo um ângulo de 25°. Seu deslocamento horizontal é de 2500 m. Determine a altura aproximada H atingida pelo avião e a distância aproximada percorrida d, conforme a figura a seguir.

Figura 1.30 | Representação do trajeto de um avião ao decolar pirâmide (os elementos ilustrados não estão em proporção)



Resolução: como a altura é perpendicular ao solo, o triângulo formado é retângulo. A razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente é dada por:

tg252 500

° =H

A razão entre as medidas do cateto adjacente e a hipotenusa é dada por:

cos25 2 500

° =d

Considerando os valores da tabela trigonométrica, temos que tg ,25 0 466° = e cos ,25 0 906° = . Substituindo os valores:

tg , ,25

2 5000 466

2 5002 500 0 466 1165° = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ =

H H H H

cos ,,

25 2 500 0 906 2 500 2 5000 906

2 759ϒ = ⇒ = ⇒ = ⇒d d

d d _~

Portanto, a altura atingida pelo avião é de aproximadamente 1165 m e a distância percorrida pelo avião é de 2759 m.

Sem medo de errar

Após o estudo do triângulo retângulo, vamos retomar a segunda situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Vamos relembrar! Você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira e tem a tarefa de elaborar uma atividade prática com o objetivo de calcular a altura de alguns pontos inacessíveis na escola ou próxima a ela. Para isso, os alunos construirão um teodolito. Será preciso providenciar:

• Fotocópias de um transferidor de 180°.

• Bases firmes para colar o transferidor (papel-cartão, papelão, etc.).

• Canudos resistentes.

• Barbante.


• Porcas, parafusos ou outro tipo de material para contrapeso.

• Tesouras e fita adesiva.

A montagem é simples e o teodolito ficaria como na figura a seguir.

O uso desse teodolito também é simples. Um aluno deve olhar pelo furo do canudo, mirando-o na direção da base do que se deseja medir, digamos a altura de uma árvore, até que o barbante sobreponha a marca de 90° do transferidor. Um segundo aluno pode ajudar na leitura desse ângulo. Um terceiro aluno fica próximo ao tronco da árvore para marcar a altura h1 orientada pelo aluno observador, como sugere o item (a) da Figura 1.32. Do mesmo local, o aluno observador aponta o canudo para a extremidade mais alta da árvore e o colega anota o ângulo indicado pelo barbante no transferidor. Esse ângulo, digamos 120°, é o complementar do ângulo desejado, no caso, 180° − 120° = 60°, como indicado no item (b) da Figura 1.32. A medida do cateto d é facilmente obtida utilizando uma trena.

Figura 1.31 | Teodolito construído com canudos, barbante e transferidor de papel

Figura 1.32 | (a) uso do teodolito para medir a altura h1 no tronco da árvore; (b) uso do teodolito para medir o ângulo interno do triângulo retângulo formado (os elementos ilustrados não estão em proporção)

(a) (b)

Fonte: Chavante (2015, p. 311).

Fonte: Chavante (2015, pg. 311).

Fonte: Chavante (2015, p. 311).


Conhecendo a medida do ângulo BAC� , do cateto d, e com base nos conteúdos desta seção, é possível obter a medida h2 e, consequentemente, a altura da árvore (h h1 2+ ).

Cabe agora a você documentar tudo por meio de um plano de aula. Explique, detalhadamente, os materiais necessários e o passo a passo da construção do teodolito, assim como o processo de medição dos ângulos, as justificativas teóricas, o tempo disponível para a prática, os conteúdos matemáticos envolvidos e os resultados esperados, dentre outros aspectos.

Escada: cada centímetro conta


Jorge é engenheiro fiscal de obras públicas. Nosso personagem irá inspecionar se a construção de uma escada na entrada de um prédio público atende as exigências da NBR 9050 (ABNT, 2004). Ergonomicamente e por razões de segurança, as normas exigem que o espelho de degraus de escadas deve ser superior a 16 cm e inferior a 18 cm e que o piso deve ser superior a 28 cm e inferior a 32 cm.

A escada tem quatro degraus iguais e foi construída com 1,2 m de comprimento e inclinação de 30° em relação ao solo, conforme ilustra a figura a seguir.


Figura 1.33 | (a) escada construída em um prédio público; (b) secção vertical da escada


(a) (b)

largura do degrau (piso)

altura do degrau (espelho)


Jorge tem a responsabilidade de verificar se o piso e o espelho dessa escada estão de acordo com a norma NBR 9050 (ABNT, 2004). Que tal ajudar nosso personagem na resolução dessa situação-problema?


Observando o item (b) da figura, notamos que o comprimento total dos quatro degraus é de 1,20 m. Para calcular a largura de cada degrau, basta dividir esse comprimento pela quantidade de degraus, ou seja, 1 20

40 3, ,= . Como cada piso tem 30 cm, eles

estão de acordo com a NBR 9050 (ABNT, 2004).

Agora, vamos verificar os espelhos. Com base no que estudamos nesta seção, podemos utilizar a relação tg

, ,, , ,30

1 203

3 1 203 1 20 3 1 20 3

30 4 3° = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

x x x x xpara determinar a altura total dos quatro degraus. Vamos indicar essa medida por x.

tg, ,

, , ,301 20

33 1 20

3 1 20 3 1 20 33

0 4 3° = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =x x x x x

Para calcular a altura de cada degrau, basta dividir esse comprimento pela quantidade de degraus, ou seja, 0 4 3

40 1 3 0 17, , ,= _~ .

Como cada espelho tem aproximadamente 17 cm, eles também estão de acordo com as normas da ABNT. Portanto, o piso e o espelho dessa escada estão de acordo com a NBR 9050 (ABNT, 2004).

Que tal verificar isso na prática? Coloque-se na situação do nosso personagem, observe ao seu redor e escolha uma escada. Elabore um relatório contendo as medidas da escada escolhida, apresentando os cálculos e a conclusão em relação à conformidade com a NBR 9050 (ABNT, 2004).


Reflita

Por que é importante estabelecer normas tão rigorosas a respeito do dimensionamento de escadas fixas? Na escada de certo metrô de Nova York, um degrau é pouco mais de 2 cm mais alto que os demais, o que é suficiente para que muitas pessoas que passem por ali acabem tropeçando. Não acredita? Veja o vídeo demonstrando esse fato curioso em: <https://youtu.be/ap-22FjgoE4>. Acesso em: 9 mar. 2017.

Faça valer a pena

1. Para demonstrar a potência da nova picape, certa concessionária montou uma ladeira em frente ao pátio de estacionamento, na qual os clientes podem realizar um test drive com o veículo. Essa ladeira possui inclinação de 30° em relação ao plano horizontal e 25 m de comprimento total.Assinale a alternativa que indica quantos metros a picape se eleva verticalmente, após percorrer toda a ladeira.a) 25 m

b) 25 3

3c) 25 3

2d) 12,5 m e) 20 m

2. Um topógrafo está usando o teodolito para medir a altura de certa torre. Primeiro ele posicionou o teodolito em um ponto A, indicando 45° em relação ao topo da torre. Depois, ele caminhou 40 metros em direção à torre, até um ponto B, indicando 30° em relação ao topo. Assinale a alternativa que indica a altura aproximada dessa torre. Considere

3 1 73 1=3 1, .


Figura 1.34 | Processo de medição da altura da torre


a) 80 m b) 57,14 m c) 137,14 m d) 40 me) 97,14 m

3. O tamanho das telas de televisores, smarthphones, tablets, monitores e diversos outros equipamentos é informado em polegadas ( 1" = 2,54 cm ). Esse valor refere-se à medida da diagonal da tela. No padrão de tela widescreen (do inglês wide: largo e screen: tela), a razão entre o comprimento e a largura da tela é de 16:9, ou seja, 16

91 78,1 7,1 7_~ . Isso quer dizer que o comprimento é

aproximadamente 1,78 vezes a altura da tela. Considere uma tela widdescreen de 50”. Assinale a alternativa que indica os valores aproximados do ângulo entre a diagonal e o lado maior, da largura e do comprimento da tela, nessa ordem.a) 29°; 62 cm; 110 cm b) 26°; 62 cm; 110 cmc) 29°; 102 cm; 61 cmd) 31°; 64 cm; 102 cme) 29°; 62 cm; 102 cm



Seção 1.3Trigonometria em um triângulo qualquer

Na seção anterior, estudamos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de ângulos agudos associados a triângulos retângulos. Agora, estudaremos relações trigonométricas associadas à triângulos que não são retângulos, envolvendo seno e cosseno de ângulos cuja medida está entre 90° e 180°. Desse modo, é possível realizar outras medições indiretas, tomando pontos como referência que não formam necessariamente um triângulo retângulo.

E, falando em medições indiretas, vamos retomar à terceira situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Assim como na segunda situação hipotética, suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira, com a tarefa de elaborar uma atividade prática com o objetivo de calcular a altura de alguns pontos inacessíveis na escola ou próxima a ela, utilizando um teodolito construído pelos próprios alunos. Dessa vez, os três pontos tomados como referência para o cálculo não formam necessariamente um triângulo retângulo.

A confecção do teodolito e o plano de aula solicitado no tópico Sem medo de errar da seção anterior nos fornecem “dicas” de como realizar essa aula prática. Resta agora elaborar um plano de aula para arquivar os detalhes dessa nova aula prática, constando os materiais necessários, as justificativas teóricas, o tempo disponível para a aula, os conteúdos matemáticos envolvidos e os resultados esperados, dentre outros aspectos.

Na próxima unidade, vamos estender as razões trigonométricas aos elementos de uma circunferência. Isso nos permitirá compreender a ideia de seno, cosseno e tangente para além dos ângulos internos de um triângulo retângulo, ou seja, para qualquer medida de ângulo maior do que 90°. No entanto, nesta seção, vamos estudar apenas as relações trigonométricas envolvendo seno e cosseno de ângulos cuja medida está entre 90° e 180°.

Diálogo aberto

Não pode faltar


Por ora, precisaremos admitir duas relações que podem ser demonstradas e serão estudadas com mais detalhes na próxima unidade.

Em outras palavras, podemos “reduzir” os valores do seno ou cosseno de ângulos obtusos para valores correspondentes nos ângulos agudos, estudados anteriormente.

Além disso, vamos definir o seno e o cosseno para o caso particular de um ângulo de medida 90°, nesse caso, sen90 1° = e cos90 0° = .

Assimile

Considere um ângulo obtuso AOB� = α , com 90 180° < < °α , e seu suplemento BOC� = ° −180 α , conforme ilustra a Figura 1.35

1. O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno de seu suplementar.

sen senα α= ° −( )180

2. O cosseno de um ângulo obtuso é igual ao oposto do cosseno de seu suplementar.

cos cosα α= − ° −( )180

Figura 1.35 | Ângulo obtuso α e seu suplemento



Lei dos senos

Um importante teorema da trigonometria é conhecido por lei dos senos. Ele relaciona os lados de um triângulo aos ângulos respectivamente opostos a ele.

Assimile

Segundo a lei dos senos, em um triângulo ABC qualquer, a medida de um lado é proporcional ao seno do ângulo oposto (vide Figura 1.36).

Figura 1.36 | Triângulo ABC qualquer e medidas dos lados


aA

bB

cCsen sen sen

= =^ ^ ^

Exemplificando

Veja como podemos calcular sen sen sen150 180 150 30 12

° = ° − °( ) = ° =, cos cos cos135 180 135 45 22

° = − ° − °( ) = − ° = −, sen sen sen ,132 180 132 48 0 743° = ° − °( ) = ° �e cos cos cos ,170 180 170 10 0 985° = − ° − °( ) = − ° = −.

• sen sen sen150 180 150 30 12

° = ° − °( ) = ° =

• cos cos cos135 180 135 45 22

° = − ° − °( ) = − ° = −

• sen sen sen ,132 180 132 48 0 743° = ° − °( ) = ° �

• cos cos cos ,170 180 170 10 0 985° = − ° − °( ) = − ° = −

Os valores de sen sen sen ,132 180 132 48 0 743° = ° − °( ) = ° �e cos cos cos ,170 180 170 10 0 985° = − ° − °( ) = − ° = − foram consultados em uma tabela trigonométrica. Utilize uma calculadora científica para verificar essas igualdades.

_~


Sem perda de generalidade, vamos fazer a demonstração para um triângulo acutângulo, ou seja, que possui os ângulos internos agudos. Considere um triângulo ABC e duas de suas alturas, conforme Figura 1.37.

Utilizando a razão senB� no triângulo retângulo BCE, temos:

sen senB ECa

EC a B= ⇒ = ⋅^ ^

Utilizando a razão senA^ no triângulo retângulo ACE, temos:

sen senA EC

bEC b A= ⇒ = ⋅^ ^

Comparando essas duas igualdades, tem-se:

a B b A aA

bB

⋅ = ⋅ ⇒ =sen sensen sen

^ ^^ ^(I)

Utilizando a razão senB^ no triângulo retângulo ABD, temos:

sen senB ADc

AD c B= ⇒ = ⋅ ^ ^

Utilizando a razão senC no triângulo retângulo ACD, temos:

sen senC ADb

AD b C= ⇒ = ⋅^ ^

Comparando essas duas igualdades, tem-se:

Figura 1.37 | Triângulo ABC acutângulo e duas de suas alturas



c B b C bB

cC

⋅ = ⋅ ⇒ =sen sensen sen

^ ^^ ^ (II)

Das relações I e II, temos aA

bB

cCsen sen sen

= =^ ^ ^, como

queríamos demonstrar. Esse resultado também é válido para triângulos obtusângulos e para triângulos retângulos, mas não vamos demonstrá-los.

Lei dos cossenos

Outro importante teorema da trigonometria é conhecido por lei dos cossenos. Ele relaciona um lado do triângulo aos outros dois e ao ângulo por eles formado.

a b c bc A2 2 2 2= + − ⋅cos ^

b a c ac B2 2 2 2= + − ⋅cos^

c a b ab c2 2 2 2= + − ⋅cos

Assimile

Segundo a lei dos cossenos, em um triângulo ABC qualquer, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados, subtraído o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles (vide Figura 1.38).




Novamente, sem perda de generalidade, vamos fazer a demonstração para um triângulo acutângulo. Considere um triângulo ABC e uma de suas alturas, conforme Figura 1.39.

Utilizando a razão cosA^ e o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACD, temos:

cos cosA ADb

AD b A= ⇒ = ⋅^ ^

b AD h h b AD h b b A h b b A2 2 2 2 2 2 2 2 2 2= ( ) + ⇒ = − ( ) ⇒ = − ⋅( ) ⇒ = − ⋅cos cos^ ^ (I)

Fazendo algumas substituições e utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCD, temos:

a h BD a h c AD h a c b A2 2 2 2 2 2 2 2 2

= + ( ) ⇒ = + −( ) ⇒ = − − ⋅( ) ⇒cos ^

⇒ = − − ⋅ + ⋅( ) ⇒h a c bc A b A2 2 2 2 22 cos cos^ ^

⇒ = − + ⋅ − ⋅ − ⋅h a c bc A b A b A2 2 2 2 2 22 cos cos cos ^^^

(II)

Das relações I e II, temos:

b b A a c bc A b A a b c bc A2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2− ⋅ = − + ⋅ − ⋅ ⇒ = + − ⋅cos cos cos cos^ ^ ^ ^

Como queríamos demonstrar. Também é possível demonstrar esse resultado para triângulos obtusângulos e para triângulos retângulos, de maneira semelhante à apresentada.

Figura 1.39 | Triângulo ABC acutângulo e uma de suas alturas



Área de um triângulo qualquer

Você deve conhecer a fórmula Ab h

=⋅2

para calcular a área de

um triângulo, em que b representa a medida de um dos lados e h a medida correspondente à altura relativa a esse lado. No entanto, pode ser que não tenhamos à disposição a medida de sua altura, mas de seus lados e ângulos.

Pesquise mais

A demonstração da lei dos senos e da lei dos cossenos para um triângulo qualquer (acutângulo, retângulo ou obtusângulo) pode ser encontrada em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo05.htm>. Acesso em: 15 mar. 2017. Nas demonstrações da lei dos senos, são utilizadas propriedades dos triângulos inscritos em uma circunferência. Vale a pena conferir!

A ab C= ⋅2

sen^

A ac B= ⋅2

sen^

Assimile

A área de um triângulo ABC qualquer é igual ao semiproduto das medidas de dois lados do triângulo pelo seno do ângulo formado por eles (vide Figura 1.40).



A bc A= ⋅2

sen ^


Mais uma vez, sem perda de generalidade, vamos demonstrar a validade dessas expressões para triângulos acutângulos. Considere um triângulo ABC e uma de suas alturas, conforme Figura 1.41.

Utilizando a razão senA^ no triângulo retângulo ABD, temos:

sen senA hc

h c A= ⇒ = ⋅^ ^

Agora, vamos utilizar a expressão Ab h

=⋅2

citada anteriormente para calcular a área desse triângulo.

A b h Ab c A

A bc A=⋅

⇒ =⋅ ⋅( )

⇒ = ⋅2 2 2

sensen ^

^

De maneira semelhante, é possível obter as demais expressões. Também é possível demonstrar esse resultado para triângulos obtusângulos e para triângulos retângulos.

Figura 1.41 | Triângulo ABC acutângulo e uma de suas alturas


Faça você mesmo

Demonstre as demais relações A ab C= ⋅2

sen^ e A

ac B= ⋅2

sen^.


Outras propriedades geométricas: alturas, medianas, bissetrizes internas e circunferências inscritas ou circunscritas

Conhecendo as medidas dos lados e dos ângulos internos de um triângulo qualquer, podemos deduzir fórmulas que permitem o cálculo de segmentos notáveis desse triângulo: alturas, medianas, bissetrizes internas, raio da circunferência inscrita ou circunscrita. A dedução dessas fórmulas utiliza os resultados estudados nessa e nas seções anteriores: teorema de Pitágoras, relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo, lei dos senos, lei dos cossenos e área de um triângulo qualquer. No entanto, devido à extensão dos cálculos vamos deduzir apenas a primeira delas. A dedução das demais ocorre de maneira semelhante e pode ser encontrada no livro do professor Gelson Iezzi (1993, p. 263).

Num triângulo ABC, conhecendo-se as medidas dos lados a, b e c, podemos calcular as três alturas. Sem perda de generalidade, considere um triângulo ABC, cuja altura h é traçada sobre o lado

BC , dividindo-o em dois segmentos de medidas m e n, como mostra a Figura 1.42.

Reflita

Dependendo das medidas conhecidas, podemos utilizar uma fórmula diferente para calcula a área do triângulo. Conhecendo as medidas da base (b) e da altura (h), utilizamos a fórmula A b h

=⋅2

. Já conhecendo as

medidas de dois lados (b e c) e do ângulo formado por eles (A^), utilizamos a fórmula A bc A= ⋅

2sen ^. Mas e se conhecermos apenas as

medidas dos três lados? Será que existe uma fórmula para calcular a área desse triângulo? Se você ficou curioso, pesquise pela fórmula de Herão, cujo nome é em homenagem ao matemático Herão de Alexandria, que viveu por volta da segunda metade do século I d.C. E porque não existe uma fórmula para calcular a área de um triângulo conhecendo apenas as medidas dos três ângulos?


Figura 1.42 | Triângulo ABC e altura relativa ao lado BC


O teorema de Pitágoras, aplicado ao triângulo retângulo DBA, deriva a expressão seguinte:

c n h2 2 2= + (1)

E, aplicado ao triângulo retângulo DCA, resulta em:

b m h h b m2 2 2 2 2 2= + ⇒ = − (2)

Como n a m= − , elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

n a m n a am m2 2 2 2 22= −( ) ⇒ = − + (3)

Substituindo (3) e (2) em (1), segue que:

c a am m b m am a b c maa b c2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1

2= − + + − ⇒ = + − ⇒ = + −( ) (4)

Substituindo (4) em (2), tem-se:

h baa b c b

a b c

a

a b a b c2 2 2 2 2

22

2 2 2 2

2

2 2 2 21

2 4

4= − + −( )

= −

+ −( )=

− + − 22 2

24( )

=a

=( ) − + −( )

=( ) + + −( )

⋅ ( ) − + −2

4

2 22 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2ab a b c

a

ab a b c ab a b c(( )

=

4 2a

=+ +( ) −

⋅ − − +( )

=

+( ) −

⋅a ab b c c a ab c

a

a b c c2 2 2 2 2 2

2

2 2 22 2

4

−− −( )

=

a b

a

2

24

=

+( ) + ⋅ +( ) − { } ⋅ + −( ) − +( ) { }=

a b c a b c c a b c a b

a

.

4 2

=

+ +[ ] ⋅ + −[ ] ⋅ + −[ ] − +[ ]a b c a b c c a b c a ba

.4 2


Chamando o perímetro do triângulo ABC por 2p , temos:

a b c pa b c a b c c p c p c

c a b a b c b p b p

+ + =

+ − = + + − = − = −( )+ − = + + − = − =

22 2 2 2

2 2 2 2 −−( )− + = + + − = − = −( )

b

c a b a b c a p a p a2 2 2 2

Substituindo essas expressões em (5), temos:

hp p c p b p a

ah

ap p a p b p c2

2

2 2 2 24

2=

⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )⇒ = −( ) −( ) −( )

x y x xy y+( ) = + +2 2 22

x y x xy y−( ) = − +2 2 22

x y x y x y2 2− = +( ) −( )

Atenção

Nos cálculos anteriores são utilizados, por mais de uma vez, os seguintes produtos notáveis:

Assimile

Dado um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c, temos:

• A altura h relativa ao lado BC é dada por:

ha

p p c p b p a= −( ) −( ) −( )2

• A mediana m relativa ao lado BC é dada por:

m b c a= +( ) −12

2 2 2

• A bissetriz interna s relativa ao lado BC é dada por:

sb c

bcp p a=+

−( )2


• O raio r da circunferência inscrita é dado por:

r

p a p b p cp

=−( ) −( ) −( )

• O raio R da circunferência circunscrita é dado por:

r abcp p a p b p c

=−( ) −( ) −( )4

Em que p é o semiperímetro do triângulo, isto é, pa b c

=+ +

2.

Sem medo de errar

Após o estudo da trigonometria em um triângulo qualquer, vamos retomar a terceira situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Vamos relembrar! Você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira, com a tarefa de elaborar uma atividade prática com o objetivo de calcular a altura de alguns pontos inacessíveis na escola ou próxima a ela, utilizando um teodolito construído pelos próprios alunos. Dessa vez os três pontos tomados como referência para o cálculo não formam necessariamente um triângulo retângulo.

A confecção e o uso do teodolito são semelhantes ao solicitado na seção anterior. Nessa nova aula prática, você poderá propor situações mais diversas. Comparando com a situação exemplificada na Seção 1.2, não será necessário marcar o ponto correspondente ao ângulo de 90° no teodolito. Isso facilita o cálculo indireto de outras distâncias, horizontais ou verticais (vide Figura 1.43).


Com base nos conteúdos desta seção, conhecendo três informações sobre o triângulo, sendo uma delas, pelo menos, o comprimento de um dos segmentos do triângulo, é possível obter as demais informações. Veja na seção Avançando na prática a seguir, os casos possíveis.

Cabe agora a você documentar tudo por meio de um plano de aula. Explique, detalhadamente, os materiais necessários e o passo a passo da construção do teodolito, assim como o processo de medição dos ângulos, as justificativas teóricas, o tempo disponível para a prática, os conteúdos matemáticos envolvidos, os resultados esperados, dentre outros aspectos.

Resolver um triângulo qualquer: os quatro problemas clássicos


Suponha ainda que você é docente de certa turma do ensino médio e estão estudando trigonometria, especificamente os assuntos trabalhados nesta seção. Você separou um momento pós-aula para a resolução de exercícios e constatou que alguns alunos apresentam dificuldades na escolha da fórmula correta para resolver o triângulo. Que tal elaborar uma proposta de atividade para discutir com os alunos os quatro problemas clássicos de resolução de triângulos quaisquer?

Figura 1.43 | Uso do teodolito para medir a altura de uma árvore, formando um triângulo que não é retângulo

Fonte: adaptada de Chavante (2015, p. 311).




Mas você já ouviu a expressão “resolva o triângulo”? Resolver um triângulo qualquer significa calcular seus elementos principais:

A^, B^

, C^

, a, b e c. Para isso, é necessário que sejam fornecidos, no mínimo, três informações sobre o triângulo, sendo uma delas, pelo menos, o comprimento de um dos segmentos do triângulo (lado, altura, mediana, bissetriz, etc.). Como já mencionado, os problemas desse tipo recaem num dos quatro problemas clássicos de resolução de triângulos quaisquer, listados a seguir.

1. Resolver um triângulo, conhecendo um lado (a) e dois ângulos adjacentes a ele (B

^ e C

^).

2. Resolver um triângulo, conhecendo dois lados (b e c) e o ângulo que eles formam (A^).

3. Resolver um triângulo, conhecendo os três lados (a, b e c).

4. Resolver um triângulo, conhecendo dois lados (a e b) e o ângulo oposto a um deles.

Vamos discutir o último caso. Considere um triângulo ABC, no qual são conhecidos a, b e A^. Precisamos calcular c, B

^ e C

^.

Há mais de um método para isso, dependendo da ordem em que eles são calculados. Por exemplo, a medida do ângulo B

^ pode ser

obtida com o auxílio de uma tabela trigonométrica ou calculadora científica ao aplicar diretamente a lei dos senos.

aA

bB

B ba

Asen sen

sen sen= ⇒ = ⋅^ ^

^^

Em seguida, com a medida do ângulo B^

obtida, podemos calcular a medida do ângulo C^.

C A B= − +( )180^ ^ ^

Por fim, obtemos a medida do lado c aplicando novamente a lei dos senos.

aA

cC

c a CAsen sen

sensen

= ⇒ =⋅

^ ^ ^

^

Ou então, aplicando a lei dos cossenos.

c a b ab c c a b ab c2 2 2 2 22 2= + − ⋅ ⇒ = + − ⋅cos cos


Que tal agora elaborar um plano de aula contendo uma maneira de resolver os triângulos dos demais casos? A resolução do último caso nos “dá dicas” sobre os demais. Você poderá prever um momento de discussão com os alunos, possibilitando que eles apresentem outras maneiras de resolver cada caso, buscando sempre a simplificações de cálculo. Esse estudo pode ser útil para o desenvolvimento da atividade proposta no tópico Sem medo de errar, apresentado anteriormente.

Faça valer a pena

1. Do ponto A, uma pessoa avista um balão sob o ângulo de 65° e a 250 metros dali, no mesmo instante, do ponto C, outra pessoa avista o mesmo balão sob o ângulo de 77°, conforme indicado na Figura 1.44.

Assinale a alternativa que contém a distância aproximada do balão à primeira pessoa, nesse instante (considere sen ,38n ,38n ,0n ,0n ,616° =n ,° =n , e sen ,77n ,77n ,0n ,0n ,974° =n ,° =n , ).a) 395,3 mb) 149,0 mc) 243,5 md) 410,3 me) 380,2 m

Figura 1.44 | Representação do momento em que duas pessoas avistam um balão, no mesmo instante (os elementos ilustrados não estão em proporção)



2. Considere uma circunferência construída por um compasso com abertura de 60°. Sabe-se que o comprimento das hastes desse compasso, da ponta até o parafuso de fixação, é de 8 cm, conforme Figura 1.45.

Assinale a alternativa que contém a medida do comprimento dessa circunferência.a) 16 cmb) 2π cm c) 16π cm

d) 3

2 cm

e) 8 cm

3. O Triângulo Mineiro é uma das regiões mais ricas do estado, com a economia voltada principalmente para o agronegócio. A região recebeu este nome justamente porque tem a forma de um triângulo, fazendo divisas com os estados de São Paulo, Goiás e Mato Grosso do Sul, e tendo como limites os rios Grande e Paraíba e as três cidades mais populosas dessa região. Observe na Figura 1.46 o triângulo formado pelas linhas retas que ligam cada uma delas e duas distâncias.

Figura 1.45 | Construção de uma circunferência por um compasso



Assinale a alternativa que contém a distância aproximada em linha reta de Uberaba a Patos de Minas, e a área aproximada da região delimitada por esse triângulo, nessa ordem.a) 9312,68; 199 km2 b) 95 km; 9312,68 km2

c) 199 km; 1644,01 km2

d) 210 km; 10213,86 km2

e) 199 km; 9312,68 km2

Figura 1.46 | Triângulo formado pelas cidades Uberlândia, Uberaba e Patos de Minas




ReferênciasASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR. 9050: 2004. Disponível em:

<http://www.pessoacomdeficiencia.gov.br/app/sites/default/files/arquivos/%5Bfield_

generico_imagens-filefield-description%5D_24.pdf>. Acesso em: 29 jun. 2017.

BOYER, Carl Benjamin. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo:

Edgard Blucher, 1974.

CASSAR, Vólia Bomfim. Direito do trabalho. 9. ed. rev. e atual. São Paulo: Método,

2014. (Obra completa e didática, com jurisprudência e caso práticos, sobre o Direito do

Trabalho e os tópicos estudados nesta unidade)

CHAVANTE, Eduardo Rodrigues. Convergências: Matemática. São Paulo: Edições SM,

2015. v. 4.

IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de matemática elementar: trigonometria. São Paulo:

Atual, 1993. v. 3.

ROSA NETO, Eduardo Aparecido da; BALESTRI, Rodrigo Dias. Matemática: interação e

tecnologia. São Paulo: Leya, 2013. v.1.

RIBEIRO, Jackson da Silva. Matemática: Ciência, linguagem e tecnologia. 2. ed. São

Paulo: Scipione, 2013. v. 3.

Unidade 2

Funções e identidades trigonométricas

Convite ao estudo

Você já participou ou teve oportunidade de assistir a uma prova de atletismo? Já percebeu que na posição de largada de algumas provas, os atletas estão em posições diferentes, ou seja, estão “desalinhados”? Além disso, eles não podem sair de suas raias até a linha de chegada. Por quê?

Esse “desalinhamento” ocorre justamente para compensar a diferença da distância percorrida no trajeto das curvas, uma vez que os atletas das raias mais externas percorrem uma trajetória com raio maior. Na parte das curvas, que são arcos de circunferência, as raias possuem raios diferentes e, consequentemente, aumentam de comprimento à medida que o raio da circunferência correspondente aumenta. Se pudéssemos “esticar” as raias a partir da largada de cada atleta, notaríamos que todos possuem o mesmo comprimento, no caso da Figura 2.1, de 200 m.


Figura 2.1 | Trajetos das raias de uma prova de 200 m (os elementos ilustrados não estão em proporção)

Mas como é possível calcular o comprimento de um arco de uma circunferência, que não é linear? Essa e outras perguntas podem ser respondidas a partir das relações que estudaremos nesta unidade.

E, para deixar o estudo ainda mais interessante, suponha que você foi contratado por uma empresa do ramo educacional para produzir três objetos virtuais interativos, abordando os principais conceitos de funções e identidades trigonométricas. Para isso, você deve utilizar um software matemático que permite construções geométricas de pontos, retas, planos, etc., e que permita também inserir funções e alterar seus parâmetros. Para criar os objetos virtuais, a empresa sugeriu o GeoGebra, que é um programa de computador gratuito com recursos dinâmicos voltados para aprendizagem de Matemática. Disponível em: <www.geogebra.org>. Acesso em: 22 abr. 2017.

Esses objetos interativos devem ser elaborados com o objetivo de explorar os conceitos estudados na respectiva seção do livro, de tal maneira que o aluno seja o foco da aprendizagem, com um papel extremamente ativo.

No primeiro objeto, relacionado ao conteúdo da seção “Trigonometria na circunferência”, o objetivo é explorar e manipular o “comportamento” das razões trigonométricas na circunferência trigonométrica. No segundo objeto, relacionado ao conteúdo da seção “Funções trigonométricas”, o desafio será construir uma representação animada para os gráficos das funções trigonométricas seno e cosseno. Já o terceiro objeto, relacionado ao conteúdo da seção “Outras identidades trigonométricas”, o objetivo é a verificação das fórmulas de transformação.

É possível construir os eixos das razões trigonométricas e as respectivas projeções de um ângulo central no círculo trigonométrico de modo que seja possível manipulá-lo, por meio de controle deslizante ou animação. Em todo caso, é importante explicar as opções de arredondamento, controle deslizante, rastro habilitado, variáveis, grid, entre outras, assim como utilizar imagens obtidas por capturas de tela do software. Vamos lá?

U2 - Funções e identidades trigonométricas 69

Seção 2.1Trigonometria na circunferência

Na unidade anterior, utilizamos a trigonometria para calcular medidas de lados ou ângulos internos de triângulos. Estudamos que, para cada ângulo agudo de um triangulo retângulo, temos um valor para seno, um valor para cosseno e um valor para tangente. Nesta seção, os conceitos de seno, cosseno e tangente serão estendidos e formalizados na circunferência. Nesse caso, você irá reconhecer que o cosseno e o seno representam as medidas dos catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa 1, pois são as projeções de um ponto nos eixos de uma circunferência.

Esses conteúdos servem como base para o trabalho que será desenvolvido posteriormente na unidade, em que serão abordadas as funções trigonométricas e suas propriedades algébricas e gráficas.

Vamos voltar também à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Suponhamos que você foi contratado por uma empresa do ramo educacional para produzir um objeto virtual interativo para explorar e manipular o “comportamento” das razões trigonométricas na circunferência trigonométrica.

Você conseguiria descrever todas as etapas de elaboração desse objeto com base nos conteúdos desta seção? Uma maneira de fazer isso é por meio de um relatório detalhado, contendo o passo a passo da construção da circunferência trigonométrica e das projeções nos eixos do seno, cosseno e tangente, utilizando, sempre que possível, imagens obtidas por captura de tela do software GeoGebra.

Medida linear e medida angular de um arco

Como podemos medir um arco AB� ? Imagine um ponto na circunferência deslocando-se de A para B. Ele percorre uma distância sobre a circunferência, digamos , ao mesmo tempo que ele gira um ângulo em torno do centro da circunferência, digamos α . Nesse

Diálogo aberto

Não pode faltar

U2 - Funções e identidades trigonométricas70

caso, é uma medida linear, ou simplesmente comprimento do arco AB� , e a unidade de medida utilizada é a mesma do raio (metro, centímetro etc.), como se fosse “esticado” e medido com uma régua. Já a medida α refere-se à medida angular, ou simplesmente medida do arco AB� , e é igual à medida do ângulo central correspondente. Note que a medida depende apenas da medida do ângulo central, enquanto o comprimento depende também do raio da circunferência que o contém. Na figura a seguir, AB� e CD� têm a mesma medida (med medAB CD� �( ) = ( ) = °60 ), mas comprimentos diferentes ( 1 2< ).


Figura 2.1 | Arcos de mesma medida e comprimentos diferentes em circunferências concêntricas

Exemplificando

Considerando ainda o exemplo da Figura 2.2, para calcular 1 e 2 utilizando uma regra de três simples, pois você deve se lembrar que a circunferência inteira mede 360° e tem comprimento 2≠ r2≠ rπ = 3 14,. Quando necessário, vamos considerar π = 3 14, .


Mas o grau não é a única unidade de medida para o ângulo. Outra unidade é o radiano. Um arco de medida um radiano (1 rad) tem o mesmo comprimento do raio da circunferência que o contém.

36060

18 84 18 84 60 360

1130 4360

3 14

11

1 1

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ = ⇒

, ,

, ,

ll

l l ≅

Portanto, med medAB CD( ) = ( ) = ϒ60°, mas 1 23 14 5 23= < =, , , como citado anteriormente.

1

Medida (°) Comprimento (cm)

360

60

Medida (°) Comprimento (cm)

360

60

2 18 843 14

3⋅ =⋅≠

,

,}

{r cm

π

2 31 43 14

5⋅ =⋅≠

,

,}

{r cm

π

2

36060

31 4 31 4 60 360

1884360

5 23

22

2 2

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ = ⇒

, ,

,

ll

l l ≅


Reflita

Qual a vantagem em utilizar a medida de um arco em radianos ao invés de em graus? A resposta é que podemos fazer uma associação entre a medida e o comprimento do arco. Por exemplo, quando temos um arco que mede α radianos, podemos deduzir que seu comprimento corresponde ao de α vezes o comprimento do raio dessa circunferência.

Com base na relação entre as unidades angulares, podemos converter uma medida de arco de graus para radianos e vice-versa. Por exemplo, 1

4

de volta mede 90° ou ≠2π

rad; 12

de volta mede 180° ou ≠π rad; 34

de

volta mede 270° ou 32≠π

rad; e 1 volta mede 360° ou 2≠π rad.

Circunferência trigonométrica

Considere novamente um ponto na circunferência, deslocando-se de A para B. Em algumas situações, poderíamos questionar: em qual sentido esse ponto se desloca: horário ou anti-horário? E se esse ponto

Pesquise mais

No objeto interativo, disponível em: <https://www.geogebra.org/m/M3vta5Uv#material/zEpUdwCJ>. Acesso em: 26 abr. É possível manipular e comparar as medidas em graus e em radianos de um arco de até uma volta completa.

Dica

Algumas calculadoras científicas oferecem três opções para a unidade de medida de ângulo: graus (Deg), radianos (Rad) ou grados (Gra). Essas opções são úteis para realizar uma conversão de medida angular ou calcular o valor do seno, cosseno ou tangente de um ângulo em radianos.

Consulte essas e outras funções no manual de certo modelo de calculadora científica. Disponível em: <http://support.casio.com/storage/pt/manual/pdf/PT/004/GY300_Dtype_PT.pdf>. Acesso em: 26 abr. 2017.

Dica


girou mais do que uma volta completa? Para responder a perguntas desse tipo, vamos construir uma circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico. Para isso, tome uma circunferência de centro O e raio unitário, e, em seguida, posicione o centro dessa circunferência sob a origem de um sistema de coordenadas cartesianas, que irá dividi-la em quatro partes, denominadas quadrantes. Vamos convencionar que todo arco tem origem no ponto A 0 1,( ) e com medida positiva no sentido anti-horário e negativa no sentido horário. Desse modo, a cada ponto P da circunferência trigonométrica, está associado o arco AP de medida α (em graus ou radianos).

Observe algumas medidas de arcos na circunferência trigonométrica nos dois sentidos.


Figura 2.3 | Quadrantes e arco AP de medida α em uma circunferência trigonométrica

Atenção

É importante destacar que, como o raio da circunferência trigonométrica é 1 unidade, a medida do arco em radianos é numericamente igual ao seu comprimento. Portanto, daqui em diante, deixaremos de utilizar a notação rad para indicar um arco na circunferência trigonométrica.




Figura 2.4 | Alguns arcos no sentido anti-horário (a) e no sentido horário (b), em graus e radianos

Figura 2.5 | (a) arco AP de extremidade em 60° ou 3ππ ; (b) arco AP de extremidade

em -300° ou −53π

; (c) arco AP de extremidade em 420° ou 73≠π

a)

a)

b)

b) c)

Como o ponto P também pode dar mais de uma volta completa, ele está associado a infinitos arcos. Por exemplo, o ponto P pode estar associado à extremidade final de um arco AP de medidas 60° ou ≠

3π, -300°

ou −53π

(se ele estivesse se deslocado no sentido horário), ou mesmo

420° ou 73≠π , conforme ilustra a figura a seguir.

Note que 60 360 420° + ° = °

uma voltacompleta

ou π

ππ

32 7

3+ =

uma voltacompleta

. Além disso, o

ponto P poderia dar k voltas completas, em ambos os sentidos. Em todo caso, eles se diferenciam apenas no sentido de deslocamento ou na quantidade de voltas e podemos representar a medida do arco AP por



Figura 2.6 | Arco AP de medida α em uma circunferência trigonométrica e as projeções do ponto P nos eixos x e y

60 360° + ⋅ °k ou π

π3

2+ ⋅k , com k ∈ . Dizemos então que eles são arcos côngruos.

Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica

Considere o arco AP na circunferência trigonométrica a seguir.

Como a medida da hipotenusa no triângulo retângulo OPP ' é 1 unidade, das razões trigonométricas seno e cosseno, temos:

sen ' ' 'α = = =PPOP

PP PP1

cos ' ' 'α = = =OPOP

OP OP1

Isso nos leva a perceber que, dado um arco de medida α e extremidade P, as projeções do ponto P nos eixo x e y representam o

Assimile

A expressão geral dos arcos côngruos a um arco AP de medida α , com 0 360≤ < °α ou 0 2≤ <α π pode ser escrita como:

α + ⋅ °k 360 ou α π+ ⋅k 2 , com k ∈

O arco AP de medida α é chamado 1ª determinação positiva dos côngruos a ele.

• AP : arco cujo ângulo central tem medida

• P ' : projeção do ponto P no eixo x

• OP : raio da circunferência ( r = 1)

• OPP ' : triângulo retângulo


seno e o cosseno do arco AP, respectivamente. Dizemos, então, que o eixo y é o eixo dos senos e x, o eixo dos cossenos.

De acordo com a orientação no sistema de coordenadas cartesianas, temos a seguinte variação de sinal para os valores de seno e cosseno na circunferência trigonométrica.

Simetria e redução ao 1º quadrante

Agora faz sentido pensar em seno e cosseno de ângulos (ou arcos) maiores que 90° ou

≠2π

. Também podemos pensar em seno e cosseno de ângulos negativos. Para isso, vamos utilizar a simetria na circunferência trigonométrica em relação aos eixos. Por exemplo:



Figura 2.7 | Eixo dos senos e eixo dos cosseno

Figura 2.8 | (a) variação de sinal no eixo dos senos; (b) variação de sinal no eixo dos cossenos

a) b)


O procedimento de relacionar o seno e o cosseno de um arco do 2º, 3º ou 4º quadrante com o seno e o cosseno do arco correspondente no 1º quadrante é chamado de redução ao 1º quadrante.


Figura 2.9 | Simetria na circunferência trigonométrica para o ângulo de 45° ou ≠4ππ

e

e

e

sen senº

135 Q 1º Q

ϒ = ϒ2

45} }

° ° cos cosº

135 Q 1º Q

ϒ =− ϒ2

45} }

° °

sen senº

225 Q 1º Q

ϒ =− ϒ3

45} }

° ° cos cosº

225 Q 1º Q

ϒ =− ϒ3

45} }

° °

sen senº

315 Q 1º Q

ϒ =− ϒ4

45} }

° ° cos cosº

315 Q 1º Q

ϒ = ϒ4

45} }

° °

Figura 2.10 | Simetria para ângulos em graus e em radianos

Assimile

De modo geral, dado um arco de medida α , com 0 90≤ < °α ou

02

≤ <απ , podemos organizar as igualdades no seguinte quadro:

Redução do 2º quadrante para o 1º

quadrante:

sen sen180° −( ) =α α

cos cos180° −( ) = −α α

sen senπ α α−( ) =cos cosπ α α−( ) = −




quadrante:


quadrante:

sen sen180° +( ) = −α α

cos cos180° +( ) = −α α

sen senπ α α+( ) = −cos cosπ α α+( ) = −

sen sen360° −( ) = −α α

cos cos360° −( ) =α α

sen sen2π α α−( ) = −cos cos2π α α−( ) =

Agora, vamos fazer o mesmo com outra razão trigonométrica: a tangente. Para isso, acrescentamos um eixo t, tangenciando a circunferência trigonométrica no ponto A 0 1,( ) , ou seja, tocando a circunferência em um único ponto A. Essa reta é denominada eixo das tangentes. Assim como no eixo dos senos, convencionamos a orientação positiva “para cima” e negativa “para baixo”.


Figura 2.11 | Variação de sinal no eixo das tangentes


Desse modo, dado um arco AP de medida α , o prolongamento do segmento OP irá interceptar o eixo t em um ponto T. Utilizando a ração tangente no triângulo OAT, temos:

Portanto, tgα corresponde à medida de AT .

De acordo com a figura, é importante ressaltar dois casos:

1. Caso α = °0 (ou α = 0 ), o arco AP terá extremidade sobre o

eixo dos cossenos e OP intercepta o eixo t no ponto A 1 0,( ) , então,

AT = 0 . Em outras palavras, tg0 0° = (ou tg0 0= ). Pelo mesmo

motivo, tg tg180 360 0° = ° = (ou tg tgπ π= =2 0 ).



Figura 2.12 | Arco AP de medida α em uma circunferência trigonométrica e o prolongamento do segmento OP no eixo das tangentes

Figura 2.13 | Representação de tgα

tgα = = =ATOA

AT AT1


2. Caso α = °90 (ou απ

=2 ), o arco AP terá extremidade sobre o

eixo dos senos e OP é paralelo ao eixo t, isto é, não intercepta o eixo

t. Nesse caso, não se define tg90ϒ° (ou tg≠2π ). Pelo mesmo motivo, não

se define tg270ϒ° (ou tg 32≠π ).

Também podemos utilizar o procedimento de redução para o 1º quadrante e determinar o valor da tangente do arco correspondente em qualquer outro quadrante, como exemplificado na figura a seguir.

Pesquise mais

Além do seno, cosseno e tangente, existem outras relações que também estão associadas aos valores dessas razões trigonométricas, entre elas as chamadas cotangente (cotg), secante (sec) e cossecante (cossec):

cotgtg

αα

=1

, seccos

αα

=1

e cossecsen

αα

=1

, respeitadas

as devidas restrições para o ângulo α . Veja como é a representação dessas relações na circunferência trigonométrica, entre outras propriedades. Vale a pena conferir! Disponível em: <http://www.uel.br/projetos/matessencial/trigonom/trigo04.htm>. Acesso em: 27 abr. 2017.


Figura 2.14 | Simetria na circunferência trigonométrica para a tangente dos ângulos notáveis


Com isso, estendemos a ideia de seno, cosseno e tangente para além dos ângulos internos de um triângulo retângulo. Esse estudo é muito importante para compreendermos as funções trigonométricas, que iremos estudar na próxima seção.

Após o estudo da trigonometria na circunferência trigonométrica, vamos retomar a primeira situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Suponhamos que você foi contratado por uma empresa do ramo educacional para produzir um objeto virtual interativo para explorar e manipular o “comportamento” das razões trigonométricas na circunferência trigonométrica. Descreva, em detalhes, as etapas de elaboração desse objeto, com base nos conteúdos desta seção.

Construa uma circunferência trigonométrica de raio igual a 1, com centro O na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Em seguida, construa o ponto A 1 0,( ) de origem dos arcos e um ponto P qualquer da circunferência, exibindo o ângulo central AOP = α . Acrescente um eixo t, tangenciando a circunferência trigonométrica no ponto A 0 1,( ) e construa o prolongamento do segmento OP , interceptando o eixo t em um ponto T. Por fim, exiba o rótulo dos pontos P e T com nome e valor. Desse modo, as coordenadas do ponto P indicam o cosseno e o seno do ângulo α , pois o cosseno de α corresponde à projeção de P no eixo x e o seno de α corresponde à projeção de P no eixo y. Além disso, a abscissa do ponto T é sempre 1 e a ordenada é a tangente do ângulo α .

Sem medo de errar

Pesquise mais

No endereço eletrônico, disponível em: <https://www.youtube.com/user/ogeogebra/featured>. Acesso em: 8 maio 2017, você encontra diversas videoaulas nos aspectos técnicos do GeoGebra, com aplicações do seu uso em variadas situações do processo de ensino e aprendizagem de Matemática. Vale a pena conferir!




Figura 2.15 | Coordenadas de um ponto na circunferência trigonométrica e no eixo das tangentes

Figura 2.16 | Imagem obtida por captura de tela na construção da circunferência trigonométrica pelo software GeoGebra

Durante a construção, é importante utilizar várias imagens obtidas por captura da tela. Ao final, você deverá obter uma figura como exemplificada a seguir, na qual temos cos , ,51 3 0 63ϒ≅° ,

sen , ,51 3 0 78ϒ≅° e tg , ,51 3 1 25ϒ≅° .


Com a ferramenta mover selecionada, é possível mover o ponto P sobre a circunferência, manipulando os arcos da circunferência trigonométrica, ao mesmo tempo que são exibidos os valores do seno, cosseno e tangente de arcos no sentido positivo, de até uma volta completa.

Que tal registrar o passo a passo com mais detalhes e utilizando várias imagens obtidas por captura de tela? O GeoGebra está disponível gratuitamente para download no endereço: <https://www.geogebra.org/download>. Acesso em: 27 abr. 2017. Também é possível realizar essa construção on-line, ou seja, sem a instalação do software no computador, utilizando o endereço: <https://www.geogebra.org/apps/>. Acesso em: 27 abr. 2017, ou, ainda, utilizando o aplicativo gratuito disponível para celular ou tablet.

Atletismo: 1ª raia x 8ª raia


Você deve se lembrar do contexto da pista de atletismo, apresentado ainda na apresentação da unidade. Vamos supor que em determinada pista de atletismo de oito raias, reformada recentemente e com as faixas repintadas, o atleta da 1ª raia diz estar sempre em desvantagem em relação ao atleta da 8ª raia. Solicitado pelos atletas, você ficou responsável por verificar, algebricamente, o comprimento dos trajetos da pista.

Após tomadas as medidas, foi construído o esquema da figura a seguir, representando os ângulos percorridos no trajeto inicial das duas raias.



Fonte: adaptada de Rosa Neto; Balestri (2013, p. 15).

Figura 2.17 | Trajetos e ângulos da 1ª e 8ª raia de certa pista de atletismo (os elementos ilustrados não estão em proporção)


Supondo que a medida do raio de cada semicircunferência é constante, os atletas têm razão em desconfiar sobre a desvantagem do atleta da 1ª raia?

O percurso realizado pelos atletas, da largada até o final da curva, indicada pela linha tracejada no esquema da figura anterior, é um arco de circunferência. Para analisarmos se o atleta da 1ª raia está em desvantagem em relação ao atleta da 8ª raia, precisamos calcular a distância, em metros, do percurso desses dois participantes.

Com base no que estudamos nesta seção, podemos calcular esse comprimento utilizando uma regra de três simples.

• Atleta da 1ª raia:

Ângulo (em graus) Distância (em metros)

360

x

2 128 7420 5

⋅ ⋅ =π r,

,

167 8180 12 2

,,−


• Atleta da 8ª raia:

Portanto, os dois participantes percorrem a mesma distância de 60 m, ou seja, não há razão para desconfiar sobre uma possível desvantagem do atleta da 1ª raia.

Agora, que tal calcular qual deve ser a medida aproximada do ângulo das demais raias, de modo que a distância percorrida pelos outros participantes seja a mesma que a dos atletas da 1ª e da 8ª raia?

Ângulo (em graus) Distância (em metros)

360

x

2 185 2629 5

⋅ ⋅ =π r,

,

116 6180 512 12 2

,, ,− +( )

360116 6

185 26

116 6 185 26 360116 6 185 26

3606

,,

, ,, ,

= ⇒

⇒ ⋅ = ⇒

⇒ =⋅

⇒

xx

x x � 00 00,

360167 8

128 74

167 8 128 74 360167 8 128 74

3606

,,

, ,, ,

= ⇒

⇒ ⋅ = ⇒

⇒ =⋅

⇒

xx

x x � 00 00,

Faça valer a pena

1. Uma bicicleta sem marchas (ou de marcha única) possui uma única relação de transmissão, em que uma corrente liga duas rodas dentadas de tamanhos diferentes: a coroa (fixa nos pedais) e a catraca (fixa na roda traseira). Ao girar os pedais, a coroa também irá girar, e a corrente transmitirá o movimento para a catraca, que, por sua vez, faz com que a roda traseira gire, impulsionando a bicicleta. Considere uma bicicleta em que o raio da coroa, o raio da catraca e o diâmetro das rodas meçam 15 cm, 5 cm e 110 cm, respectivamente.Assinale a alternativa que contém a distância aproximada percorrida pela bicicleta em cada pedalada, ou seja, a cada volta completa dos pedais. Considere π = 3 14,3 1,3 1 .


a) 9,5 mb) 11,3 mc) 13,4 md) 10,4 me) 14,0 m

2. Os números do mostrador de um relógio de ponteiros estão posicionados dividindo a circunferência em 12 arcos iguais, cada um medindo 30°, pois 36012

30°= °30= °30 . Assim, à 1h os ponteiros formam dois ângulos: um menor

de 30° e um maior de 330°.

Assinale a alternativa que contém o menor dos ângulos formados pelo ponteiro do relógio que marca 3h40min.a) 110°b) 120° c) 130° d) 140° e) 150°

3. Na circunferência, um ponto P pode dar k voltas completas, em ambos os sentidos, que irá determinar arcos côngruos. A expressão geral dos arcos côngruos a um arco APos sentidos, que irá determinar arcos côngruos. A expressão geral dos

de medida α , com 0 360≤ < °α≤ <α≤ < ou

0 20 2≤ <0 2α π0 2α π0 20 2≤ <0 2α π0 2≤ <0 2 , pode ser escrita como: α + ⋅ °k+ ⋅k+ ⋅360 ou α π+ ⋅α π+ ⋅α πk+ ⋅k+ ⋅α π+ ⋅α πkα π+ ⋅α π2α π2α π O arco AP de medida α é chamado 1ª determinação positiva dos côngruos a ele.

elaborada pelo autor.

Figura 2.18 | Ângulos formados pelos ponteiros de um relógio marcando 13h


Assinale a alternativa que contém a expressão que determina todos os arcos côngruos ao arco cuja medida é 17

3≠π17π17≠π≠π .

a) π

π3

2+ ⋅k+ ⋅k+ ⋅ , com k ∈

b) 56

2ππ+ ⋅k+ ⋅k+ ⋅ , com k ∈

c) π

π6

2+ ⋅k+ ⋅k+ ⋅ , com k ∈

d) 11

62ππ+ ⋅k+ ⋅k+ ⋅ , com k ∈

e) 53

2ππ+ ⋅k+ ⋅k+ ⋅ , com k ∈



Seção 2.2Funções trigonométricas

Na seção anterior, os conceitos de seno, cosseno e tangente foram estendidos e formalizados na circunferência trigonométrica. Agora, iremos estudar as funções relacionadas a essas razões. Essa família de funções é utilizada para descrever diversos movimentos físicos e fenômenos naturais periódicos, como a duração do dia, do ano ou da incidência de luz solar, o movimento de descida e subida das marés, o movimento de um pêndulo simples ou de um corpo preso a uma mola oscilando, o movimento das ondas sonoras, entre outras situações.

Inicialmente, para compreender melhor o conceito de função seno/cosseno e reconhecer a curva senoidal que a representa, faremos uma analogia à circunferência trigonométrica, de modo a destacar a correspondência entre um ponto pertencente à circunferência e o ponto correspondente em sua representação gráfica. Discutiremos as propriedades algébricas e características gráficas dessas funções. Em seguida, vamos transladar, ampliar e comprimir a senoide, verticalmente ou horizontalmente. Discutiremos também outros tipos de funções trigonométricas, entre elas a função tangente.

Vamos voltar também à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Suponhamos que você foi contratado por uma empresa do ramo educacional para produzir um objeto virtual interativo que represente, de maneira animada, os gráficos das funções trigonométricas seno e cosseno.

Você conseguiria descrever todas as etapas de elaboração desse objeto com base nos conteúdos desta seção? Uma maneira de fazer isso é por meio de um relatório detalhado, contendo o passo a passo da construção dessa representação, utilizando, sempre que possível, imagens obtidos por captura de tela do software GeoGebra.

Diálogo aberto


Não pode faltar

Nesta seção, estudaremos as razões trigonométricas sob a ótica das funções. Vamos recordar o conceito de função? Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma função f de A em B ( f A B: → ) é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B. O conjunto A é chamado domínio de f e o conjunto B de contradomínio de f. De acordo com a lei de correspondência f, o elemento y de B, que corresponde ao elemento x de A, é chamado imagem de x por f, que indicamos por y f x= ( ) . O conjunto contendo todos os elementos de B que são imagem de algum elemento de A é chamado conjunto imagem de f, indicado por Im f( ) .

Função seno

Para construir o gráfico que representa a função seno no plano cartesiano, podemos atribuir alguns valores a x, a fim de obtermos os valores correspondentes para y f x= ( ) . Com isso, obtemos os pares ordenados x y,( ) .

Assimile

A função seno é a função f : → , dada por f x x( ) = sen , que associa a cada número real x, um único número sen x , também real.


Figura 2.19 | Diagrama de Venn representando a função f x x( )f x( )f x = sen


Vamos escolher os ângulos notáveis e os ângulos com menos de uma volta completa, no sentido anti-horário, cuja redução ao 1º quadrante também é um ângulo notável. Organizando esses valores em um quadro, temos:

No entanto, como D f( ) = , existem infinitos pontos para x e, consequentemente, infinitos pares ordenados x y,( ) . Logo, entre dois pontos qualquer da figura anterior, há infinitos pontos. Unindo esses pontos de acordo com a lei de correspondência f, obtemos o gráfico de f. Para ficar mais claro, vamos comparar, lado a lado, os valores na circunferência trigonométrica e no gráfico da função seno, para ângulos menores que uma volta completa.

Dica

Você já aprendeu a utilizar a calculadora para obter o valor do seno, cosseno e tangente de um ângulo, em graus ou radianos. Mas você sabia que existe um comando para realizar a “operação inversa”, ou seja, calcular o ângulo correspondente ao valor da razão trigonométrica? Os comandos que permitem efetuar esse tipo de cálculo são dados pela indicação sin−1

, cos−1 e tan−1

em cima das respectivas teclas das razões trigonométricas.


Tabela 2.1 | Valores do seno para ângulos notáveis e cuja redução ao 1º quadrante é um ângulo notável

0

0 1 0

x≠6π ≠

4π ≠

3π ≠

2π

74≠π 11

6≠π

2≠π

y x= sen 12

22

32

−2

2−

12

x y,( ) 0 0,( ) π6

12

,

π4

22

,

π3

32

,

π2

1,

7

42

2π , −

116

12

π , −

2 0π ,( )




Figura 2.20 | Circunferência trigonométrica e esboço do gráfico da função f x x( )f x( )f x = sen

Figura 2.21 | Gráfico da função f x x( )f x( )f x = sen

Observando essa figura, podemos verificar que cada número real representa o comprimento de um arco de medida x radianos na circunferência trigonométrica. É como se “esticássemos” a circunferência de comprimento 2≠π sobre o eixo x.

Outra característica importante acerca do gráfico da função seno é que, se um ponto P movendo-se sobre a circunferência executa mais de uma volta completa sobre ela, o ponto coincidirá com a extremidade de um arco côngruo, já representado na parte do gráfico anterior. Em outras palavras, os valores de seno se repetem de 2≠πem 2≠π . Quando isso ocorre, dizemos que a função é periódica e seu período é 2≠π . Na figura anterior, está representado apenas um período da função. Isso pode ser justificado observando que sen senx x k= + ⋅( )2≠π , com k ∈ .

De maneira prática, se estendermos o gráfico da função para valores de x menores do que zero e maiores do que 2≠π , os infinitos pontos se repetirão indefinidamente, formando uma curva chamada senoide.


Algumas características importantes que podemos observar no gráfico estão listadas a seguir:

• O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a , no entanto, como sen x é sempre um valor maior ou igual a −1, a imagem da função fica restrita ao intervalo −[ ]1 1, . Isso fica evidente na circunferência trigonométrica, pois a imagem da função seno corresponde à projeção da extremidade do arco sobre o eixo dos senos.

• A função é crescente para x k k∈ − + +

ππ

ππ

22

22, e

decrescente para x k k∈ + +

ππ

ππ

22 3

22, , com k ∈ . Isso

fica evidente na circunferência trigonométrica, pois, à medida que x aumenta, os valores de sen x aumentam do 4º para o 1º quadrante, e diminuem do 2º para o 3º quadrante.

• Dado um valor x∈ , temos sen senx x( ) = − −( ) . Quando isso ocorre, isto é, f x f x( ) = − −( ) para todo x D f∈ ( ) , dizemos que f é uma função ímpar. Isso também fica evidente devido à simetria dos pontos na circunferência trigonométrica em relação ao eixo horizontal. Observe no gráfico que:

Função cosseno

De maneira semelhante, podemos definir a função cosseno.

sen sen≠ ≠0 0} 6 74 84

= − −( )−( )

π π sen sen≠ ≠2 2

1 1678 6 744 844

= − −

− −( )

π π sen sen32

32

1 1

≠ ≠− − ( )

= − −

674 84 6 744 844π π


Assimile

A função cosseno é a função g : → , dada por g x x( ) = cos , que associa a cada número real x um único número cos x , também real.


Figura 2.22 | Diagrama de Venn representando a função g x x( )g x( )g x = cos

Assim como no caso do seno, para construir o gráfico que representa a função cosseno no plano cartesiano, podemos atribuir alguns valores a x, a fim de obtermos os valores correspondentes para y g x= ( ) . Com isso, obtemos os pares ordenados x y,( ) .

De maneira conveniente, escolhemos os mesmos ângulos:

O gráfico da função cosseno também é constituído por infinitos pontos, formando uma curva que se repete para valores de x menores do que zero e maiores do que 2≠π .


Tabela 2.2 | Valores do cosseno para ângulos notáveis e cuja redução ao 1º quadrante é um ângulo notável

0

1 0 1

x≠6π ≠

4π ≠

3π ≠

2π

74≠π 11

6≠π

2≠π

y x= sen 12

22

32

32

−2

2

x y,( ) 0 1,( ) π6

32

,

π4

22

,

π3

12

,

π2

0,

74

22

π ,

116

32

π ,

2 1π ,( )


O gráfico da função cosseno é periódica e seu período também é 2≠π , pois cos cosx x k= + ⋅( )2π , com k ∈ . Pode-se demonstrar

também que sen cosx x+

=

π2

. Isso equivale a dizer que o

gráfico da função g x x( ) = cos corresponde ao gráfico da função

f x x( ) = sen , porém transladado ≠2π unidades para a esquerda.

Por conta dessa translação, o gráfico da função cosseno possui algumas características próprias:

• O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a , no entanto, Im ,g( ) = −[ ]1 1 . Isso fica evidente na



Figura 2.23 | Gráfico da função g x x( )g x( )g x = cos

Figura 2.24 | Comparação dos gráficos das funções f x x( )f x( )f x = sen e g x x( )g x( )g x = cos

Reflita

Se a curva que descreve o gráfico da função seno pode ser chamada de senoide, como podemos chamar a curva que descreve o gráfico da função cosseno?


circunferência trigonométrica, pois a imagem da função cosseno corresponde à projeção da extremidade do arco sobre o eixo dos cossenos.

• A função é crescente para x k k∈ − +] [π π π2 2, e decrescente para x k k∈ +] [2 2π π π, , com k ∈ . Isso fica evidente na circunferência trigonométrica, pois, à medida que x aumenta, os valores de cos x aumentam do 3º para o 4º quadrante, e diminuem do 1º para o 2º quadrante.

• Dado um valor x∈ , temos cos cosx x( ) = −( ) . Quando isso ocorre, isto é, g x g x( ) = −( ) para todo x D g∈ ( ) , dizemos que g é uma função par. Isso também fica evidente devido à simetria dos pontos na circunferência trigonométrica em relação ao eixo vertical. Observe no gráfico que:

Já que falamos de translação da função seno, vamos falar de funções do tipo trigonométricas?

Funções do tipo f x a b cx d( ) = + ⋅ +( )sen e f x a b cx d( ) = + ⋅ +( )cos

De modo geral, as funções definidas por f x a b cx d( ) = + ⋅ +( )sen ou f x a b cx d( ) = + ⋅ +( )cos , sendo a, b, c e d números reais, com

b ↑ 0≠ e c ↑ 0≠ , são funções do tipo trigonométricas, e seus gráficos são senoides transladadas, ampliadas ou comprimidas, verticalmente ou horizontalmente, se comparadas com os gráficos das funções seno e cosseno. Elas são utilizadas para criar modelos matemáticos que representam situações cuja característica é ser periódica, isto é, que se repetem de maneira regular. Por exemplo, os movimentos das marés, da radiação eletromagnética, da luz visível, dos pêndulos, das molas, entre outros, todos são periódicos.

Podemos dizer, então, que as funções f x x( ) = sen e g x x( ) = cos são casos particulares de funções trigonométricas, quando a d= = 0 e b c= = 1 . Os parâmetros a, b, c e d das funções do tipo trigonométricas alteram algumas características dos gráficos das

cos cos≠ ≠− −

= −( )1 1} 6 74 84

π π cos cos≠ ≠2 2

0 0678 6 74 84

= −

π π cos cos2 21 1

≠ ≠678 6 74 84

= −( )π π

Reflita

Se dois arcos na circunferência trigonométrica são simétricos em relação ao eixo x, os valores dos cossenos desses arcos são iguais ou são opostos? E no caso dos senos?


funções seno e cosseno, estudadas anteriormente. Vamos analisar cada caso separadamente, construindo o gráfico das funções em um único plano cartesiano para apenas um período, como exemplificado na Figura 2.24. Mas lembre-se de que a curva se repete infinitamente.

• O parâmetro a nos fornece o deslocamento do gráfico na direção do eixo y. Ele translada verticalmente em a unidades para cima se a > 0 ou para baixo se a < 0 . Por exemplo, o gráfico de h x x( ) = +1 sen é semelhante ao gráfico de f x x( ) = sen , porém transladado 1 1= unidade para cima, pois a = >1 0 . Logo, Im ,h( ) = [ ]0 2 e o período é 2≠π .

• O parâmetro b nos fornece a amplitude do gráfico. Ele amplia verticalmente o gráfico da função se b > 1 ou comprime verticalmente se b < 1. Por exemplo, o gráfico de j x x( ) = ⋅2 cos é semelhante ao gráfico de g x x( ) = cos , porém ampliado verticalmente, pois b = >2 1. Logo, Im ,j( ) = −[ ]2 2 e o período é 2≠π .

• O parâmetro c nos fornece o período da função. Ele amplia o período da função se c < 1 e comprime o período se c > 1 . O

período da função é dado por pc

=2π

. Por exemplo, o gráfico de

m x x( ) = sen2 é semelhante ao gráfico de f x x( ) = sen , porém

ampliado horizontalmente, pois c = <12

1. Logo, Im ,m( ) = −[ ]1 1

e o período é p = = ⋅ =212

2 2 4ππ π .

• O parâmetro d nos fornece o deslocamento do gráfico na direção

do eixo x. Ele translada horizontalmente em dc

unidades para a

esquerda se d > 0 ou para a direita se d < 0 . Por exemplo, o

gráfico de n x x( ) = −

sen π

3 é semelhante ao gráfico de

f x x( ) = sen , porém transladado horizontalmente −

=

ππ3

1 3

unidades para a direita, pois d = − <π3

0 . Logo, Im ,n( ) = −[ ]1 1 e o período é 2≠π .



Figura 2.25 | Comparação dos gráficos das funções f x x( )f x( )f x = sen , g x x( )g x( )g x = cos ,

h x x( )h x( )h x = +1 s= +1 s= + en , j x x( )j x( )j x = ⋅2 c= ⋅2 c= ⋅ os , m x x( )m x( )m x = sen2

e n x x( )n x( )n x = −x= −x= −= −

se= −se= −n= −n= −π3

.

Resumidamente, os parâmetros a e b alteram as características relacionadas à imagem da função e os parâmetros c e d alteram as características relacionadas ao período da função.

Exemplificando

Combinando as características dos parâmetros, podemos construir

o gráfico da função p x x( ) = + ⋅ +

3 2

2 6sen π

, por exemplo,

comparando com o gráfico da função f x x( ) = sen . Nesse caso, o gráfico de p x( ) é semelhante ao gráfico de f x( ) , porém:


Outras funções trigonométricas

Além das funções seno e cosseno, existem outras funções trigonométricas que também estão associadas aos valores dessas

razões trigonométricas, entre elas função tangente y x xx

= =tg sencos

,

função cotangente y xx

xx

= = =cotgtg

cossen

1, função secante

y xx

= =seccos

1 e função cossecante y x

x= =cossec

sen1

,

respeitadas as devidas restrições para o domínio. Embora possam ser escritas em função de seno e cosseno, elas possuem características específicas em relação ao domínio, contradomínio, imagem, período e representação gráfica. Por exemplo, as curvas que representam o gráfico dessas funções não se assemelham à senoide.

Veja algumas características da função tangente, por exemplo.

Fonte: adaptada de Rosa Neto; Balestri (2013, p. 48).

Figura 2.26 | Comparação dos gráficos das funções f x( )f x( )f x e p x( )p x( )p x

Reflita

Qual seria o aspecto do gráfico de uma função do tipo g f x f x(( ) = ( ) , com f x x( ) = sen ?


Assimile

A função tangente é a função h : → , com x k≠ +π

π2

e k ∈ ,

dada por h x x( ) = tg , que associa, a cada número real x, um único número tg x , também real.


Figura 2.27 | Diagrama de Venn representando a função h x x( )h x( )h x = tg


Figura 2.28 | Gráfico da função h x x( )h x( )h x = tg

Nesse gráfico, as retas tracejadas verticais são chamadas assíntotas e passam pelos pontos de abscissas

ππ

2+ k , com k ∈ . Algumas

características dessa função:


• É periódica e seu período é π . Isso pode ser justificado observando que: tg tgx x k= + ⋅( )π , com k ∈

• O contradomínio é , mas o domínio da função tangente é

D h x x k k( ) = ∈ ↑ + ∈

| ,≠≠

2π π≠ . No entanto, ao contrário das

funções seno e cosseno, os valores de tg x não estão restritos ao intervalo −[ ]1 1, , ou seja, Im h( ) = . Isso fica evidente na circunferência trigonométrica, pois os valores da tangente se estendem infinitamente para cima e para baixo sobre o eixo das tangentes.

• É crescente para x k k k∈ +

∪ +

02

32

, ,ππ π

ππ (1º e 3º

quadrantes) e decrescente para x k k k k∈ +

∪ +

ππ π

ππ π

232

2, ,

(2º e 4º quadrantes), com k ∈ .

• É ímpar, pois h x h x( ) = − −( ) para todo x D f∈ ( ) .

Pesquise mais

Você pode consultar um estudo detalhado sobre as propriedades algébricas e características gráficas das funções seno, cosseno e tangente e também das demais funções trigonométricas no endereço eletrônico, disponível em: em: <http://www.uel.br/projetos/matessencial/trigonom/trigo07.htm>. Acesso em: 28 abr. 2017. Vale a pena conferir!

Após o estudo da trigonometria na circunferência trigonométrica, vamos retomar a segunda situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Suponhamos que você foi contratado por uma empresa do ramo educacional para produzir um objeto virtual interativo que represente, de maneira animada, os gráficos das funções trigonométricas seno e cosseno. Descreva, em detalhes, as etapas de elaboração desse objeto, com base nos conteúdos dessa seção.

Sem medo de errar


Que tal realizar essa construção fazendo uma analogia à circunferência trigonométrica, de modo a destacar a correspondência entre um ponto pertencente à circunferência e o ponto correspondente em sua representação gráfica, semelhante à apresentada na Figura 2.19? Para isso, construa uma circunferência trigonométrica de raio igual a 1, com centro em O −( )2 0, , passando pelo ponto A 1 0,( ) . Utilizando a ferramenta Controle Deslizante , crie um ângulo

α e associe-o ao ângulo AOA ' utilizando a ferramenta Ângulo com Amplitude Fixa , sendo A ' um ponto qualquer da circunferência.

Em seguida, crie uma reta paralela ao eixo x, passando por A ' . Agora, defina o ponto B α α, sen( ) , digitando B = ( ,sin( ))αα αα no campo Entrada. Por fim, clique com o botão direito sobre o ponto B e acione o comando Habilitar Rastro. Depois, arraste o botão do controle deslizante ou clique com o botão direito sobre ele e acione o comando Animar.

Durante a construção, é importante utilizar várias imagens obtidas por captura da tela. Ao final, você deverá obter uma figura como exemplificada a seguir, em que a cada ponto da circunferência é criado o ponto correspondente e, consequentemente, sua representação gráfica (senoide) no rastro criado pela animação.


Figura 2.29 | Imagem obtida por captura de tela pelo software GeoGebra, na construção do gráfico da função seno com correspondência entre os pontos da circunferência trigonométrica


No caso da função cosseno, basta alterar as coordenadas do ponto B para B α α, cos( ) . Que tal registrar o passo a passo com mais detalhes e utilizando várias imagens obtidas por captura de tela? O GeoGebra está disponível gratuitamente para download no endereço: <https://www.geogebra.org/download/>. Acesso em: 28 abr. 2017). Também é possível realizar essa construção on-line, ou seja, sem a instalação do software no computador, utilizando o endereço: <https://www.geogebra.org/apps/>. Acesso em: 28 abr. 2017, ou, ainda, utilizar o aplicativo gratuito para celular ou tablet.

Manipulando os parâmetros de funções do tipo trigonométricas


No item Sem medo de errar, você produziu um objeto virtual interativo representando, de maneira animada, os gráficos das funções trigonométricas seno e cosseno com analogia à circunferência trigonométrica. Suponhamos que você atendeu as expectativas da empresa contratante, e ainda lhe foi solicitado um segundo objeto virtual, dessa vez com o objetivo de explorar e manipular os parâmetros a, b, c e d nos gráficos das funções do tipo f x a b cx d( ) = + ⋅ +( )sen , com b ↑ 0≠ e c ↑ 0≠ . Qual seria o passo a passo dessa construção?


Você vai precisar definir os parâmetros a, b, c e d de maneira que possibilite alterar os seus valores posteriormente. Para isso, utilize a ferramenta Controle Deslizante e clique em qualquer lugar

da área gráfica. Na janela que irá abrir, digite o nome “a” e tecle Enter. Repita esse procedimento para criar um controle deslizante para cada um dos parâmetros b, c e d. No campo Entrada, digite f(x)=a+b*sin(c*x+d) para plotar o gráfico da função. Agora, é possível arrastar os botões dos controles deslizantes para verificar o que ocorre com o gráfico de ao alterar os valores dos parâmetros a, b, c e d. Ao final da construção, você deverá obter um objeto interativo semelhante ao disponível em: <https://www.geogebra.org/m/M3vta5Uv#material/wdetmPun>. Acesso em: 28 abr. 2017.



1. Observe, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos de duas funções do tipo trigonométricas f x a b( )f x( )f x = +a b= +a b ⋅ +( )c x( )c x d( )d⋅ +( )⋅ +c x⋅ +c x( )c x⋅ +c x1 1a b1 1a ba b= +a b1 1a b= +a b ( )1 1( )c x( )c x1 1c x( )c x d( )d1 1d( )d⋅ +( )⋅ +1 1⋅ +( )⋅ +c x⋅ +c x( )c x⋅ +c x1 1c x⋅ +c x( )c x⋅ +c xco⋅ +co⋅ +s⋅ +s⋅ + e g x a b( )g x( )g x = +a b= +a b ⋅ +( )c x( )c x d( )d⋅ +( )⋅ +c x⋅ +c x( )c x⋅ +c x2 2a b2 2a ba b= +a b2 2a b= +a b ( )2 2( )c x( )c x2 2c x( )c x d( )d2 2d( )d⋅ +( )⋅ +2 2⋅ +( )⋅ +c x⋅ +c x( )c x⋅ +c x2 2c x⋅ +c x( )c x⋅ +c xse⋅ +se⋅ +n⋅ +n⋅ + , sendo a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 , d1 e d2 números reais, com b1 0≠ , b2 0

( )≠ , c1 0≠ e c2 0≠ .

Assinale a alternativa que contém os valores de x para os quais f x g x( )f x( )f x = ( )g x( )g x , com 0 20 2≤ ≤0 20 2≤ ≤0 2x0 2≤ ≤0 2π .

a) x = π6

ou x = 76π

b) x = π6

ou x = 56π

c) x = π3

ou x = 76π

d) x = π3

ou x = 56π

Confira!

No caso da função cosseno, basta digitar f(x)=a+b*cos(c*x+d) no campo Entrada. Agora, que tal registrar o passo a passo com mais detalhes e utilizando várias imagens obtidas por captura de tela?

Faça valer a pena


Figura 2.30 | gráfico das funções f x( )f x( )f x e g x( )g x( )g x em um mesmo plano cartesiano


e) x = π4

ou x = 74π

2. A partir do gráfico de uma função do tipo trigonométrica, é possível atribuir uma lei de formação. Para o gráfico a seguir, por exemplo, é possível atribuir

uma lei de formação dada por f x x( )f x( )f x = − + ⋅ +

5 3+ ⋅5 3+ ⋅32

sen π.

Também é possível atribuir uma lei de formação do tipo g x a b( )g x( )g x = +a b= +a b ⋅ +( )cx( )cx d( )d⋅ +( )⋅ +cx⋅ +cx( )cx⋅ +cxco⋅ +co⋅ +s⋅ +s⋅ + , sendo a, b, c e d números reais, com b 0Também é possível atribuir uma lei de formação do tipo

≠≠ e c 0( )g x( )g x≠≠ .

Assinale a alternativa que contém a lei de formação dessa função cosseno.

a) g x x( )g x( )g x = − + ⋅ +

5 3+ ⋅5 3+ ⋅32

cos π

b) g x x( )g x( )g x = − + ⋅ −

5 3+ ⋅5 3+ ⋅2

cos π

c) g x( )g x( )g x = − + ⋅ ( )x( )x +( )+3 5+ ⋅3 5+ ⋅ ( )2( )cos ( )π( )

d) g x x( )g x( )g x = − + ⋅ +

5 3+ ⋅5 3+ ⋅2

cos π

e) g x( )g x( )g x = − + ⋅ ( )x( )x +( )+5 3+ ⋅5 3+ ⋅cos ( )π( )

3. A função tangente f : → , com x kx k≠ +x kx k≠ +x kπx kπx kπx kπx k2

e k ∈ , dada por

f x x( )f x( )f x = tg , é periódica e seu período é p = π . Para justificar isso, basta


Figura 2.31 | Gráfico de uma função do tipo trigonométrica


verificar que tg tgx xtgx xtgx x= +x xtgx xtg= +tgx xtg( )x x( )x x k( )k= +( )= +x x= +x x( )x x= +x x ⋅( )⋅( )π( ) , para todo k ∈ .

Devido a translações, ampliações ou compressões, a função

g x x( )g x( )g x = + −

3 3= +3 3= + 3 3

3 33 33 3

3 3 2

tg3 3tg3 3 π tem o seu período alterado, se compararmos ao

gráfico de f x( )f x( )f x .

Assinale a alternativa que contém o período da função g x x( )g x( )g x = + −

3 3= +3 3= + 3 3

3 33 33 3

3 3 2

tg3 3tg3 3 π.

a) π

b) 3π

c) 2≠2π2π

d) 2π

e) 6ππ


Seção 2.3Outras identidades trigonométricas

No estudo da trigonometria no triângulo retângulo, deduzimos os valores do seno, do cosseno e da tangente para os ângulos notáveis (30°, 45° e 60°). Já na Seção 2.1, com base na simetria dos pontos da circunferência, estendemos esses valores aos ângulos com menos de uma volta na circunferência trigonométrica, também no sentido anti-horário. No entanto, como você faria para calcular os valores de sen 15° e cos 105°, por exemplo, sem recorrer a uma tabela trigonométrica ou a uma calculadora científica?

Note que esses arcos podem ser expressos como uma soma ou uma diferença de dois ângulos notáveis, ou cuja redução ao 1º quadrante é um ângulo notável:

sen sen15 60 45°( ) = ° − °( ) ou sen sen15 45 30°( ) = ° − °( )

cos cos105 60 45°( ) = ° + °( ) ou cos cos105 150 45°( ) = ° − °( )

Então, será que podemos utilizar os valores de seno e cosseno desses ângulos? A resposta é: sim! Estudaremos ainda outras identidades trigonométricas e também como resolver uma equação trigonométrica.

Vamos voltar também à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Suponhamos que você foi contratado por uma empresa do ramo educacional para produzir um objeto virtual interativo cujo objetivo é a verificação das fórmulas de transformação. Você conseguiria descrever todas as etapas de elaboração desse objeto com base nos conteúdos desta seção? Uma maneira de fazer isso é por meio de um relatório detalhado, contendo o passo a passo da construção dessa representação, utilizando, sempre que possível, imagens obtidas por captura de tela do software GeoGebra.

Agora, vamos estudar algumas fórmulas que nos permitem calcular o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo, transformando-o em uma soma ou diferença de outros dois ângulos. Em diversos casos,

Diálogo aberto

Não pode faltar


não precisamos recorrer a uma tabela trigonométrica ou a uma calculadora científica. Basta conhecer os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis (ou cuja redução ao 1º quadrante é um ângulo notável).

Fórmulas de transformação

As fórmulas de transformação que vamos descrever a seguir podem ser demonstradas, porém não é o nosso enfoque nesse momento, devido à extensão dos cálculos. Vamos deduzir apenas a primeira delas.

Na circunferência trigonométrica a seguir, considere A, B e C as extremidades dos ângulos de medidas a , −b , e a b+ , respectivamente.

Reflita

Podemos afirmar que a sentença sen sen sena b a b+( ) = + é verdadeira? Nesse caso, ela não é válida para quaisquer valores reais de a e b. Por exemplo, fazendo a = °30 e b = °60 , teríamos:

sen sen sen sen90 30 60 30 60 12

32

1 32

° = ° + °( ) = ° + ° = + =+

Que é um resultado falso, pois sen90 1° = . Reflita sobre os demais casos, considerando também o cosseno e a tangente. Dê contraexemplos e utilize uma calculadora científica ou consulte uma tabela trigonométrica.


Figura 2.32 | Alguns arcos na circunferência trigonométrica


As coordenadas desses pontos são A a acos , sen( ) , B b bcos , sen−( ) −( )( ) e C a b a bcos , sen+( ) +( )( ) . Note que o par de pontos A e B, assim como C e D, determinam arcos de medida a b+ ; logo, os segmentos AB e CD possuem mesma medida. Podemos utilizar o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos destacados nas figuras a seguir e utilizar a relação fundamental da trigonometria sen cos2 2 1α α+ = , apresentada na Seção 1.2.

AB a b a b

a b a b

( ) = − −( ) + − −( )

= −( ) + +( )

2 2 2

2

cos cos sen sen

cos cos sen sen 22

2 2 2 2

2

2 2= − ⋅ + + + ⋅ +

= +

cos cos cos cos sen sen sen sen

sen cos

a a b b a a b b

a 22

1

2 2

1

2a b b a b a( ) + +( ) − ⋅ − ⋅1 2444 3444 1 2444 3444

sen cos cos cos sen senn

cos cos sen sen

cos cos sen sen

b

a b a b

a b a b

( )

= + − ⋅ − ⋅( )= − ⋅ − ⋅( )

1 1 2

2 2


Figura 2.33 | Triângulo retângulo destacado nos pontos A e B


CD a b a b

a b a b

( ) = − +( ) + +( ) −

= − +( )( ) + +( )( )=

2 2 2

2 2

2

1 0

1

1

cos sen

cos sen

−− ⋅ +( ) + +( ) + +( )

= − +( )

2

1 2

2 2

1

cos cos sen

cos

a b a b a b

a b

1 244444 344444

++

= − +( )1

2 2cos a b


Figura 2.34 | Triângulo retângulo destacado nos pontos C e D

Mas AB CD= , então:

Utilizando a igualdade (I) e as relações sen senx x( ) = − −( ) ecos cosx x( ) = −( ) que estudamos na seção anterior, temos:

AB CD

a b a b a b

a b

( ) = ( )− ⋅ − ⋅( ) = − +( )

+( ) =

2 2

2 2 2 2cos cos sen sen cos

cos coss cos sen sena b a b⋅ − ⋅ (I)


Portanto, cos cos cos sen sena b a b a b+( ) = ⋅ − ⋅ e

cos cos cos sen sena b a b a b−( ) = ⋅ + ⋅ .

A dedução das demais fórmulas de transformação ocorre de maneira recorrente, ou seja, utilizando um resultado anterior. Para deduzir as fórmulas de transformação do seno, por exemplo,

podemos utilizar a relação sen cosx x+

=

π2

na igualdade (I).

Elas estão disponíveis no livro do professor Gelson Iezzi (1993, p. 119-138).

cos cos

cos cos sen sencos s

a b a b

a b a bb

−( ) = + −( )( ) == ⋅ −( ) − ⋅ −( )

−1 24 34

een

cos cos sen senb

a b a b

1 24 34

= ⋅ + ⋅

Assimile

Seno da soma e da diferença:

sen sen cos sen cosa b a b b a+( ) = ⋅ + ⋅

sen sen cos sen cosa b a b b a−( ) = ⋅ − ⋅

Cosseno da soma e da diferença:

cos cos cos sen sena b a b a b+( ) = ⋅ − ⋅

cos cos cos sen sena b a b a b−( ) = ⋅ + ⋅

Tangente da soma e da diferença:

tg tg tgtg tg

a b a ba b

+( ) = +− ⋅1

Válida para a k↑ +≠

≠2π π≠ , b k≠ +

ππ

2 e a b k+( ) ≠ +

ππ

2, com

k ∈ .


tg tg tgtg tg

a b a ba b

−( ) = −+ ⋅1

Válida para a k≠ +π

π2

, b k≠ +π

π2

e a b k−( ) ≠ +π

π2

, com

k ∈ .

Relações trigonométricas

Já estudamos duas relações fundamentais envolvendo seno,

cosseno e tangente, a citar: tgsencos

x xx

= e sen cos2 2 1x x+ = . Além

dessas, existem outras que também estão associadas aos valores

dessas razões, entre elas cotangente cotgtg

xx

=1

, com x k≠ π ;

secante seccos

xx

=1

, com x k≠ +π

π2

; e cossecante

cossecsen

xx

=1

, com x k≠ π , sendo k ∈ .

Delas, decorrem outras, que iremos deduzir.

Dividimos os dois membros da igualdade sen cos2 2 1x x+ = por cos2 x :

sen cos sencos

coscos cos

tg sec2 22

2

2

2 22 21 1 1x x x

xxx x

x x+ = ⇒ + = ⇒ + =

Válida para todo x k≠ +π

π2

, com k ∈ .

Dividimos os dois membros da igualdade sen cos2 2 1x x+ = por sen2 x :

sen cos sensen

cossen sen

cotg cossec2 22

2

2

2 221 1 1x x x

xxx x

x+ = ⇒ + = ⇒ + = 22 x

Válida para todo x k≠ π , com k ∈ .

Equações trigonométricas

Em diversas situações, precisamos resolver uma equação trigonométrica, ou seja, determinar todos os valores que a satisfazem. Por exemplo, para resolver uma equação trigonométrica do tipo


sen x = α , com α ∈ , não basta determinar um único valor de x que satisfaça a igualdade, pois existem infinitos valores que, atribuídos a x, também a tornam verdadeira. Ora, algebricamente não há diferença na resolução de uma equação qualquer ou de uma equação trigonométrica, desde que as devidas restrições para o ângulo α sejam respeitadas. A vantagem é que podemos nos orientar pela circunferência trigonométrica para encontrarmos todas as soluções.

No entanto, quase todas as equações trigonométricas reduzem-se a uma das três equações: sen senx = α , cos cosx = α e tg tgx = α . Por esse motivo, são denominadas equações fundamentais. Antes de tudo, é importante saber resolver as equações fundamentais para poder resolver qualquer outra equação trigonométrica.

Para resolver equações do tipo sen senx = α , podemos representar na circunferência trigonométrica o ponto P de tal modo que senα =OP . Por ele, traçamos uma reta r perpendicular ao eixo dos senos, cortando a circunferência nos pontos P ' e P " , cujas possibilidades são α π+ 2k ou π α π−( ) + 2k , com k ∈ , respectivamente.

Pesquise mais

No endereço eletrônico, disponível em: <http://sites.uem.br/profmat/ClaudioSaldan.pdf> (Acesso em: 5 maio 2017), é explicada uma construção no software GeoGebra, de forma a obter a solução de equações trigonométricas elementares, no intervalo 0 2, π[ ] . As demais soluções são dadas utilizando a notação de arcos côngruos.


Figura 2.35 | Arcos de medida α e π απ α−π α , e pontos P, P’ e P” na circunferência trigonométrica


De modo geral, temos, para k ∈ :

sen senxx k

x k= ⇔

= +

= −( ) +

αα π

π α π

2

2 ou

Portanto, o conjunto solução da equação sen senx = α é dado por:

S x x k x k k= ∈ = + = −( ) + ∈{ }| ,α ≠ ≠ α ≠2 2 ou com π π π

Agora, para resolver equações do tipo cos cosx = α , podemos representar na circunferência trigonométrica o ponto P de tal modo que cosα =OP . Por ele, traçamos uma reta r perpendicular ao eixo dos cossenos, cortando a circunferência nos pontos P ' e P " , cujas possibilidades são α π+ 2k ou − +α π2k , com k ∈ , respectivamente.

De modo geral, temos, para k ∈ :

cos cosxx k

x k= ⇔

= +

= − +

αα π

α π

2

2 ou

Portanto, o conjunto solução da equação cos cosx = α é dado por:

S x x k k= ∈ = ± + ∈{ }| ,α ≠2 com π

Por fim, para resolver equações do tipo tg tgx = α podemos representar na circunferência trigonométrica o ponto T sobre o eixo das tangentes de tal modo que tgα = AT . Por ele, traçamos uma


Figura 2.36 | Arcos



Figura 2.37 | Arcos

reta passando por O, cortando a circunferência nos pontos P ' e P " , que correspondem a α π+ k , com k ∈ .

De modo geral, temos, para απ

π≠ +2

k e k ∈ :

tg tgx x k= ⇔ = +α α π

Portanto, o conjunto solução da equação tg tgx = α é dado por:

S x x k k= ∈ = + ∈{ }| ,α ≠ com π

Para o caso απ

π= +2

k e k ∈ , o conjunto solução é vazio, isto

é, S = ∅ , pois a tangente desses arcos não existe.

Exemplificando

Para a equação sen x =32

, por exemplo, além da solução x = π3

,

temos as soluções x = 23π

e x = 73π

. Para determinarmos todas as

soluções da equação sen x =32

, devemos escrever as expressões

que determinam todos os arcos côngruos aos arcos positivos de primeira


volta que são solução da equação. Na primeira volta positiva, temos

senπ3

32

= e sen 23

32

π= , então, a solução nas infinitas voltas é:

S x x k x k k= ∈ = + = + ∈

| ,≠≠

≠≠

32 2

32 ou com π π π π

Sem medo de errar

Após o estudo das identidades trigonométricas, vamos retomar a primeira situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Suponhamos que você foi contratado por uma empresa do ramo educacional para produzir um objeto virtual interativo cujo objetivo é a verificação das fórmulas de transformação. Descreva, em detalhes, as etapas de elaboração desse objeto, com base nos conteúdos desta seção.

Vejamos como verificar as fórmulas de transformação do seno:

sen sen cos sen cosa b a b b a+( ) = ⋅ + ⋅

sen sen cos sen cosa b a b b a−( ) = ⋅ − ⋅

Uma maneira de realizar essa verificação é comparando, separadamente, os valores dos dois membros de cada fórmula. Antes, oculte os eixos e a malha da janela de visualização. Em seguida, utilizando a ferramenta Controle Deslizante , crie os ângulos a

e b, ambos com intervalo de variação de 0° a 360°. Utilizando a ferramenta Texto , clique na janela de visualização e digite

sen(a+b)=, e depois, ainda nessa janela, clique em Avançado e na aba com o símbolo para exibir os objetos a e b criados anteriormente. Escolha e clique sobre um dos ângulos, que ficará destacado por um retângulo colorido, por exemplo: . Clique no retângulo para editá-lo, complementando a fórmula

e clique em OK. Desse modo, o primeiro membro é exibido na forma de texto, e o segundo, na forma do valor correspondente de sen a b+( ) . De maneira semelhante, crie o objeto de texto para o segundo membro da fórmula de transformação


, que irá exibir o texto e o valor correspondente de sen cos sen cosa b b a( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) .

Repita o procedimento acima, criando outros dois objetos de texto, dessa vez para os dois membros da fórmula do seno da diferença. Modifique as propriedades dos textos para um arredondamento maior, digamos 5 casas decimais. Você deverá obter uma figura como exemplificada a seguir, na qual temos para os ângulos a = °258 e b = °158 , os valores aproximados de

sen sen cos sen cos ,a b a b b a+( ) = ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) 0 82904≅ e

sen sen cos sen cos ,a b a b b a−( ) = ( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ( ) 0 98481≅ .

Com a ferramenta mover selecionada, é possível manipular os valores dos ângulos a e b, ao mesmo tempo que são alterados os valores nas fórmulas de transformação. Como os demais arcos são côngruos aos de primeira volta, a fórmula também é válida.

Que tal registrar, para essa e as demais fórmulas de transformação, o passo a passo com mais detalhes e utilizando várias imagens obtidas por captura de tela?

Lembre-se, depois, de sintetizar todo o seu trabalho de elaboração

Figura 2.38 | Imagem obtida por captura de tela na verificação das fórmulas de transformação do seno



dos objetos de aprendizagem, desde a primeira seção desta unidade para finalização e entrega para a empresa que o contratou.

O GeoGebra está disponível gratuitamente para download no endereço: <https://www.geogebra.org/download/>. Acesso em: 28 abr. 2017. Também é possível realizar essa construção on-line, ou seja, sem a instalação do software no computador, utilizando o endereço: <https://www.geogebra.org/apps/>. Acesso em: 28 abr. 2017, ou, ainda, utilizar o aplicativo gratuito para celular ou tablet.

Deduzindo fórmulas do arco duplo e do arco metade


Suponha que você é docente de certa turma do ensino médio que está estudando as fórmulas de transformação trigonométricas apresentadas no início deste material. Considere que você trabalhou em sala de aula as fórmulas da soma e da diferença do seno, cosseno e tangente. Com base nessas fórmulas, combinadas com a relação fundamental sen cos2 2 1α α+ = , você pretende deduzir com os alunos as fórmulas a seguir.

Fórmulas do arco duplo:

• sen sen cos2 2a a a( ) = ⋅ ⋅

• cos cos sen2 2 2a a a( ) = −

• tg tgtg

2 21 2a a

a( ) = ⋅

−

Fórmulas do arco metade:

• sen cosa a2

12

= ±

−

• cos cosa a2

12

= ±

+

• tg coscos

a aa2

11

= ±

−+

Qual seria uma abordagem interessante para realizar essas deduções?




Com base no que estudamos nesta seção, para deduzir as fórmulas do arco duplo e do arco metade, podemos utilizar as fórmulas da soma já estudadas.

Fórmulas do arco duplo:

• sen sen cos sen cos sen sen cosa a a a a a a a a+( ) = ⋅ + ⋅ ⇒ ( ) = ⋅ ⋅2 2

• cos cos cos sen sen cos cos sena a a a a a a a a+( ) = ⋅ − ⋅ ⇒ ( ) = −2 2 2

• tg tg tgtg tg

tg tgtg

a a a aa a

a aa

+( ) = +− ⋅

⇒ ( ) = ⋅−1

2 21 2

Fórmulas do arco metade:

Utilizando a relação fundamental sen cos2 2 1α α+ = na fórmula do cosseno do arco duplo, temos:

cos cos sen cos cos cos coscos

2 2 1 22 2

1

2 2

2

a a a a a aa

( ) = − ⇒ ( ) = − −( ) ⇒−123 aa a( ) = ⋅ −2 12cos

(I)

Da mesma maneira:

cos cos sen cos sen sen cossen

2 2 1 22

1

2 2 2

2

a a a a a a aa

( ) = − ⇒ ( ) = − − ⇒ (−123 )) = − ⋅1 2 2sen a

(II)

Substituindo a por a2

na igualdade (I), temos a fórmula do

cosseno do arco metade:

cos cos cos cos cos2

22

21 2

21

22 2⋅

= ⋅

− ⇒ = ⋅

− ⇒

a a a a a

= ±

+12cosa

Já substituindo a por a2

na igualdade (II), temos a fórmula do seno do arco metade:

cos sen cos sen sen22

1 22

1 22 2

2 2⋅

= − ⋅

⇒ = − ⋅

⇒

a a a a a

= ±

−12cosa

Com essas duas fórmulas, obtemos também a fórmula da tangente do arco metade:


tgsen

costg

cos2

2

2

2

22

22

12

1a

a

aa

a

=

⇒

=

−

+ ccos tg coscosa

a aa

22

11

⇒

= ±

−+

Que tal agora elaborar um plano de aula para arquivar essas deduções? Nele, você pode propor alguns arcos e solicitar aos alunos que verifiquem os cálculos utilizando uma calculadora científica ou uma tabela trigonométrica.

1. Considere as seguintes razões trigonométricas, para ângulos em graus ou radianos com menos de uma volta completa, no sentido anti-horário.A) sen 75° B) cos 105°

C) tg 23π

Agora, considere os seguintes valores.

I) − 3

II) 6 26 2

46 2−6 2

III) 6 26 24

6 2+6 2

Assinale a alternativa que associa corretamente a razão trigonométrica ao seu respectivo valor, com a letra e o símbolo romano correspondente.a) A – I; B – II; C – III.b) A – II; B – I; C – III.c) A – III; B – I; C – II.d) A – II; B – III; C – I.e) A – III; B – II; C – I.

2. Considere uma função f Af A:f A→ do tipo trigonométrica, dada por

f x x( )f x( )f x = ⋅= ⋅ +

12 62 6

2 6

cos π, tal que A D f= ( )D f( )D f = ∈{ }x x{ }x x= ∈{ }= ∈x x= ∈x x{ }x x= ∈x x″ ″{ }″ ″{ }| 0{ }x x{ }x x| 0x x{ }x x{ }π{ }π{ }≤ ≤{ }x x{ }x x≤ ≤x x{ }x x″ ″{ }″ ″≤ ≤″ ″{ }″ ″x x″ ″x x{ }x x″ ″x x≤ ≤x x″ ″x x{ }x x″ ″x x≤ ≤≤ ≤ .

Essa função intercepta o eixo das abscissas (x) no ponto P, e o eixo das ordenadas (y) no ponto Q.

Faça valer a pena


Assinale a alternativa que contém as coordenadas dos pontos P e Q, nessa ordem.

a) P π3

0,

e Q 0 34

,

b) P π6

0,

e Q 0 32

,

c) P π3

0,

e Q 0 32

,

d) P π6

0,

e Q 0 34

,

e) P ( )0 0( )0 0,( ),0 0,0 0( )0 0,0 0 e Q π3

34

,

3. A fórmula que permite calcular a tangente da diferença de dois arcos é dada por:

tg tg tgtg tga btga btga btga btg

( )a b( )a ba b−a b( )a b−a b =a b−a b

+ ⋅tg+ ⋅tga b+ ⋅a b1 Ela é válida para a ka k≠ +a ka k≠ +a kπa kπa kπa kπa k

2, b kb k≠ +b kb k≠ +b kπb kπb kπb kπb k

2 e k( )a b( )a ba b−a b( )a b−a b ≠ +≠ +

ππkπk

2, com

k ∈ .Sabendo disso, considere um triângulo retângulo ABC. Nesse triângulo o cateto AB mede 3 cm e o cateto BC é tal que o ponto D divide-o em duas partes de medidas BD = 1 cm e CD = 2 cm . O ponto D forma ainda um ângulo CAD que vamos denotar por α .Assinale a alternativa que contém a medida desse ângulo α , em radianos.

a) 7ππ

b) 5ππ

c) 4ππ

d) 3ππ

e) 6ππ



Referências

IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de matemática elementar: Trigonometria. São Paulo:

Atual, 1993. v. 3.

ROSA NETO, Eduardo Aparecido da; BALESTRI, Rodrigo Dias. Matemática: interação e tecnologia. São Paulo: Leya, 2013. v. 2.

Unidade 3

Funções exponenciais, funções logarítmicas e progressões

Convite ao estudo

Para demonstrar a importância de pequenos investimentos, certo palestrante lançou uma pergunta aparentemente simples:

– “Hoje, vocês preferem ter um milhão de reais, ou um investimento de um centavo, que seria dobrado a cada dia durante um mês?”

Intuitivamente, a maioria dos espectadores escolhe a primeira opção, que parece óbvia.

– “Reflitam, pois é a escolha errada!”, alertou o palestrante.

Para a segunda opção, a conta é simples: 1 centavo no 1º dia, 2 centavos no 2º dia, 4 centavos no 3º dia, 8 centavos no 4º dia, 16 centavos no 5º dia, 32 centavos no 5º dia, e assim por diante. Isso não convence ninguém, pelo contrário. No entanto, os valores crescem rapidamente, a uma taxa exponencial, assunto que estudaremos na Seção 1 desta unidade. Ao final do 30º dia, teremos 536 870 912 centavos, que equivale a R$ 5 368 709 12, , ou seja, mais de cinco vezes a quantia escolhida pelos espectadores.

– “Não acreditam? Façam as contas!”, disse o palestrante.

Obviamente, esse método funciona apenas na teoria, não na prática. O exemplo é puramente hipotético, pois não existe um investimento que dobre o valor todos os dias, mas serve para ficarmos atentos ao poder dos juros compostos. Assim como dobrar os centavos todos os dias, um sistema de juros compostos se refere a juros adicionais aos já recebidos, por isso

é conhecido como “juros sobre juros”. Dívidas nesse sistema de juros começam inocentemente, com um valor relativamente baixo, na fatura do cartão de crédito, por exemplo, mas em pouco tempo podem virar uma bola de neve, a qual se transforma numa avalanche de contas atrasadas.

E como escrever uma fórmula ou construir um gráfico para representar situações desse tipo, sem a necessidade de realizar todos os cálculos separadamente? Essa e outras perguntas podem ser respondidas a partir dos conceitos que estudaremos nesta unidade. E para deixar o estudo ainda mais interessante, suponha que você foi contratado para ministrar uma palestra sobre matemática financeira, abordando os juros simples e compostos. Você deve utilizar uma situação com um capital de R$ 5.000,00 aplicado por um período de sete meses a uma taxa mensal de 6%, sob os dois sistemas de juros. Serão propostas três situações complementares a partir desse contexto inicial. Na primeira situação, relacionada ao conteúdo da seção Função exponencial, o objetivo é modelar funções que permitem determinar o montante obtido ao término de cada mês. Na segunda situação, relacionada ao conteúdo da seção Função logarítmica, o desafio será analisar e resolver equações relacionadas à situação anterior, utilizando conceitos de logaritmo. Já a terceira situação, relacionada ao conteúdo da seção Progressões aritmética e geométrica, o objetivo é comparar expressões do termo geral da progressão dos meses transcorridos para ambos os sistemas de juros. Vamos lá?

U3 - Funções exponenciais, funções logarítmicas e progressões 127

Seção 3.1Função exponencial

Nesta seção, estudaremos as funções exponenciais, um tipo de função que descreve várias situações além dos rendimentos obtidos em uma aplicação na Economia, por exemplo, na Biologia, para representar o crescimento populacional de bactérias; na Química, em situações relacionadas ao decaimento radioativo de certas substâncias, entre outras.

Vamos analisar a aplicação hipotética apresentada no Convite ao estudo: 1 centavo no 1º dia, 2 centavos no 2º dia, 4 centavos no 3º dia, 8 centavos no 4º dia, 16 centavos no 5º dia, 32 centavos no 5º dia, e assim por diante. Como estamos dobrando o valor todo dia, podemos escrever essa sequência utilizando potências de 2:

• 1º dia: 2 10 = centavo.

• 2º dia: 2 21 = centavos.

• 3º dia: 2 2 422 ==x centavos.

• 4º dia: = =2 2 2 823x x centavos.

• 5º dia: 2 2 2 2 1624 ==xxx centavos.

• 6º dia: = =2 2 2 2 2 3225xxxx centavos.

• .

Observando a regularidade, não é preciso calcular dia por dia, podemos pular para o final do 30º dia, que é obtido por

2 536 870 91229 = centavos. Nesse caso, podemos escrever a função f n n( )= −2 1 , a qual permite determinar o valor ao final do enésimo dia.

Ao final desta seção, vamos voltar também à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo. Suponhamos que você foi contratado para ministrar uma palestra sobre matemática financeira, abordando os juros simples e compostos. Você seria capaz de modelar funções que permitem determinar o montante M obtido após a aplicação de um capital c , a uma taxa i , durante certo tempo t ? Uma maneira de fazer isso é perceber uma regularidade, assim como na situação anterior com os centavos. Você deve preparar alguns slides com tabelas e gráficos comparando as duas modalidades de juros.

Diálogo aberto

U3 - Funções exponenciais, funções logarítmicas e progressões128

Não pode faltar

Antes de iniciar o trabalho com função exponencial, vamos revisar alguns conceitos de potenciação?

Revendo potenciação e suas propriedades

Uma potência com expoente não nulo equivale a uma multiplicação de fatores iguais.

Quando a base é um número não nulo e o expoente é um número negativo, o resultado é igual ao inverso da base elevado ao oposto desse expoente. Além disso, as potências com expoentes racionais podem ser escritas na forma de raiz, e vice-versa.

Exemplos:

3 13

13

1243

55

5− =

= =

32

23

23

49

2 2 2

2

=

= =

−

Assimile

• Se a é um número real diferente de zero (a 0≠ ) e n é um número natural, temos:

aa a

nn

n− =

=

1 1

• Se a é um número real positivo, m e n números inteiros, com n > 1 e a 0≠ se m 0≤ , temos:

a amnmn=


É possível demonstrar as seguintes propriedades, porém, não é o nosso enfoque nesse momento. Elas são muito úteis na resolução de uma equação ou inequação envolvendo expoentes ou logaritmos.

Exemplos:

2 2 2 23 2 3 2 5⋅ = =+

6 6 66

6 65 25

25 2 3: = = =−

5 5 52 3 2 3 6( ) = =⋅

5 53434= 2 2

53 53=

Dica

No caso das potências com expoente irracional, ou seja, potências do tipo am , em que a∈ +

* e m é irracional, podemos calcular

as potências por meio de aproximações utilizando uma calculadora científica. Como 6 2 449,≅ , utilize uma calculadora e verifique que

2 2 5 466 2 449, ,≅≅ , por exemplo.

Assimile

De maneira, geral, para a e b reais e m e n inteiros, temos:

• a a am n m n⋅ = + , com a 0≠ se m 0≤ ou n 0≤ ;

• a a am n m n: = −, com a 0≠ ;

• a am n m n( ) = ⋅ , com a 0≠ se m 0≤ ou n 0≤ ;

• a a am n m n⋅ = + , com a 0≠ se m 0≤ ou n 0≤ ;

• a b a bn n n⋅( ) = ⋅ , com a b⋅ ≠ 0 se n 0≤ ;

• a b a bn n n: :( ) = , com b 0≠ e, além disso, a 0≠ se n 0≤ .


3 3 3 32 5 2 5 7⋅ = =+

2 3 2 34 4 4⋅( ) = ⋅

12 7 127

127

12 733 3

33 3: :( ) =

= =

Função exponencial

Assimile

A função exponencial é uma função f : *→ +, dada por f x ax( ) = , com a > 0 e a 1≠ , que associa a cada número real x um único número

ax , também real.

Gráfico da função exponencial

Em diversas situações, como na apresentada no Convite ao estudo, quando dizemos que uma grandeza cresce (ou decresce) exponencialmente, é uma maneira de enfatizar que, quanto maior a quantidade existente, mais rápido ela vai aumentar (ou diminuir). Essa é uma característica da função exponencial e fica mais evidente no formato da curva que representa seu gráfico, chamada curva exponencial. Ela apresenta o aspecto representado nas figuras a seguir.

Reflita

Por que as restrições a > 0 e a 1≠ são necessárias? Caso contrário, não seria possível caracterizar uma função exponencial. Por exemplo, se

a = 1, teríamos f x a a( ) = =1 , que é uma função constante para todo

x∈ . Já se a < 0 , digamos a = −3 e x =12

, por exemplo, temos

f 12

3 312

= −( ) = − ∉ . Agora, justifique com um contraexemplo o

caso a = 0 .


Para a > 1, a função é crescente.

Para 0 1< <a , a função é decrescente.

Para exemplificar, vamos construir o gráfico de duas funções

exponenciais: f x x( )= 3 e g xx1

2

( ) = . Podemos atribuir alguns

valores a x , a fim de obtermos os valores correspondentes para y f x= ( ) . Com isso, obtemos os pares ordenados x y,( ) .



Figura 3.1 | Aspecto da função exponencial crescente

Figura 3.2 | Aspecto da função exponencial decrescente


x f x x( )= 3 x y,( )

−3 f −( )= =−3 3 127

3 −

3 1

27,

−2 f −( )= =−2 3 19

2 −

2 1

9,

−1 f −( )= =−1 3 13

1 −

1 1

3,

0 f 0 3 10( )= = 0 1,( )

1 f 1 3 31( )= = 1 3,( )

2 f 2 3 92( )= = 2 9,( )


Figura 3.3 | Gráfico da função f x x( )f x( )f x = 3


x g xx1

2

( ) = x y,( )

−3 g - =-

3 12

83

( ) = −( )3 8,

−2 g - =-

2 12

42

( ) = −( )2 4,

−1 g - =-

1 12

21

( ) = −( )1 2,

0 g 0 12

10

=( ) = 0 1,( )

1 g 1 12

12

1

=( ) = 1 1

2,

2 g 2 12

14

2

=( ) = 2 1

4,

3 g 3 12

18

3

=( ) = 3 1

8,



Figura 3.4 | Gráfico da função g xx1

2

( ) g x( ) g x =

Equação e inequação exponencial

Uma equação exponencial é uma igualdade, cuja incógnita aparece no expoente, por exemplo, a equação 4 64x = . Assim como estudamos anteriormente, com as equações trigonométricas, algebricamente, não há diferença na resolução de uma equação qualquer ou de uma equação exponencial, desde que as devidas restrições para a base a sejam respeitadas. A vantagem é que podemos utilizar as propriedades das potências.

Para resolver uma equação exponencial, podemos reduzir ambos os membros a potências de mesma base e utilizar a seguinte propriedade, apoiada no fato de que a função exponencial é injetora:

a a x yx y= ⇔ = , com a > 0 e a 1≠

Lembre-se

Uma função f A B: → é injetora quando a dois elementos distintos de A correspondem a dois elementos distintos de B , isto é, dados

x y f x f y≠ ⇒ ( ) ≠ ( ) , com x y A, ∈ e f x f x B( ) ( )∈, .


Na equação 4 64x = , temos:

4 64 2 2 2 2 2 6 32 6 2 6x x x x x= ⇒ ( ) = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Portanto, o conjunto solução da equação 4 64x = é S = { }3 .

No entanto, nem sempre é possível reduzir os membros da equação a potências de mesma base. Por exemplo, a equação 7 3 3 182⋅ − = −x x :

7 3 3 18 7 3 3 182 2⋅ − = − ⇒ ⋅ − ( ) = −x x x x

Substituindo y x= 3 , temos:

7 18 7 18 02 2y y y y− = − ⇒ − − =

Resolvendo essa equação do 2º grau, obtemos y = −2 , ou y = 9 . Para y = −2 , não há x , tal que y x= 3 , pois 3 0x > para todo x∈ . Já para y = 9 , temos:

y xx x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =9 3 9 3 3 22

Portanto, o conjunto solução da equação 7 3 3 182⋅ − = −x x é

S = { }2 .

Uma inequação exponencial é uma desigualdade, cuja incógnita aparece no expoente, por exemplo, a inequação 2 8x ≥ . Para resolvê-la, reduzimos os dois membros a potências de mesma base; depois, sabendo que a função exponencial f x ax( ) = é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 1< <a , aplicamos a seguinte propriedade:

• Se a > 1:

a a x yx y> ⇔ >

• Se 0 1< <a :

a a x yx y< ⇔ >

Na inequação 2 8x ≥ , temos a > 1, então a igualdade se mantém:

2 8 2 2 33x x x≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥

Portanto, o conjunto solução da inequação 2 8x ≥ é

S x x= ∈ ≥{ }| 3 .


Já para a inequação 12

14

1

>− +x

, como 0 1< <a , então a

igualdade é invertida:

12

14

12

12

1 2 11 1 2

> ⇒

>

⇒ − + < ⇒ > −

− + − +x x

x x

Portanto, o conjunto solução da inequação 12

14

1

>− +x

é

S x x= ∈ > −{ }� | 1 .

Função exponencial e juros compostos

O sistema de juros simples é pouco utilizado em situações financeiras reais. Em geral, grande parte das operações utiliza o sistema de juros compostos, em que, a partir do primeiro período, o juro é calculado sobre o montante do período anterior. Alguns termos utilizados são: capital (c ); juro ( j ); taxa de juro ( i ); tempo ( t ); montante (M ).

Exemplificando

Suponhamos que uma pessoa invista R$ 1.000,00 em uma instituição financeira, a uma taxa de juro composto de 6% ao ano. Vamos calcular o montante obtido nos primeiros anos.

Tabela 3.1 | Valores obtidos para o montante nos primeiros anos

t M c j= +

0 M 0 1000( ) =

1 M 1 1000 1000 0 06 1000 1 0 06 1060 1060 00( ) = + ⋅ = ⋅ +( ) = →, , ,R$

2M

M

2 1060 1060 0 06 1000 1 0 06 1 0 061 1060

( ) = + ⋅ = ⋅ +( ) ⋅ +( )( )=

, , ,1 244 344

==

= ⋅ +( ) = →1000 1 0 06 1123 6 1123 602, , ,R$



3M

M

3 1123 60 1123 60 0 06 1000 1 0 06 2

2 1123 60

( ) = + ⋅ = ⋅ +( )( )=

, , , ,,

1 2444 34444⋅ +( ) =

= ⋅ +( ) →

1 0 06

1000 1 0 06 1191 02 1191 023

,

, , ,R$ ≅

4M

M

4 1191 02 1191 02 0 06 1000 1 0 06 3

3 119102

( ) = + ⋅ = ⋅ +( )( )=

, , , ,,

1 2444 34444⋅ +( ) =

= ⋅ +( ) →

1 0 06

1000 1 0 06 1262 48 1262 484

,

, , ,R$ ≅

tM t M t M t i t

M t

( ) = −( ) + −( ) ⋅ = ⋅ +( ) ⋅ +−

−( )

1 1 1000 1 0 06 1 0 01

1

, ,1 2444 3444

66

1000 1 0 06

( ) =

= ⋅ +( ), t

Note que é possível perceber que o montante ao final de um ano t qualquer pode ser obtido por meio da função

M t t( ) = ⋅ +( )1000 1 0 06, .

Assimile

De modo geral, o cálculo do montante no sistema de juros compostos pode ser interpretado como uma função M : *→ +

definida por M t c i t( ) = ⋅ +( )1 , sendo c um número real não nulo, t e

i números reais positivos (ambas restrições com base no contexto financeiro). A taxa de juros deve ser escrita na forma decimal, sendo que o tempo e a taxa devem estar na mesma unidade de medida de tempo.

Reflita

Na prática, o que significa o valor c ser negativo?


Como o investimento exemplificado tem rendimento anual, o gráfico a seguir apresenta apenas os pontos relacionando a cada um dos 10 anos de investimento. Esses pontos pertencem à curva exponencial da função definida por M t t( ) = ⋅ +( )1000 1 0 06, , indicada pela linha tracejada.

A função M t t( ) = ⋅ +( )1000 1 0 06, , que não pode ser escrita na forma f t at( ) = , é denominada função do tipo exponencial.


Figura 3.5 | Gráfico da função M t t( )M t( )M t = ⋅ ( )1000= ⋅1000= ⋅ ( )1 0( )+( )+1 0+( )+( )06( )( ),( )

Pesquise mais

Além das situações envolvendo juros compostos, há várias outras que podem ser relacionadas à função exponencial. No endereço eletrônico a seguir, há exemplos de aplicações na lei de resfriamento dos corpos, curvas de aprendizagem, crescimento populacional e desintegração radioativa. Vale a pena conferir!

Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/exponenc.htm>. Acesso em: 29 maio 2017.


Após o estudo da função exponencial, vamos retomar a situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Vamos relembrar! Supomos que você foi contratado para ministrar uma palestra sobre matemática financeira, abordando os juros simples e compostos. Utilize uma situação com um capital de R$ 5.000,00, aplicado por um período de sete meses a uma taxa mensal de 6%, sob os dois sistemas de juros: simples e composto.

Vamos modelar o primeiro caso, referente ao sistema de juros simples. Nesse sistema, a cada período de tempo os juros são calculados considerando o capital inicial, ou seja, o crescimento do montante é constante.

• Final do 1º mês: R$ 5.000,00 mais 6% de R$ 5.000,00:

5000 6100

5000 5000 300 5300 5300 00+ ⋅ = + = →R$ ,


5300 6100

5000 5300 300 5600 5600 00+ ⋅ = + = →R$ ,


5600 6100

5000 5600 300 5900 5900 00+ ⋅ = + = →R$ ,


5900 6100

5000 5900 300 6200 6200 00+ ⋅ = + = →R$ ,

Não é preciso continuar os cálculos para perceber que, a cada mês, o valor é acrescido em R$ 300,00. Então, podemos escrever a seguinte função afim, para o final do enésimo mês:

M n n( ) = +5000 300

Nesse caso, ao final do 5º, 6º e 7º mês, temos, respectivamente:

M 5 5000 300 5 6500( ) = + ⋅ = →R$ 6500,00

M 6 5000 300 6 6800( ) = + ⋅ = →R$ 6800,00

Sem medo de errar


M 7 5000 300 7 7100( ) = + ⋅ = →R$ 7100,00

Agora, que tal modelar o segundo caso, referente ao sistema de juros compostos? Faça uma análise comparando os montantes a cada mês para os juros simples e compostos. Este último está associado a uma função do tipo exponencial, que aumenta mais rapidamente quando comparada à função afim, associada aos juros simples.

Para a palestra, prepare três slides, o primeiro com a modelagem e a função exponencial resultante, assim como apresentado no item Exemplificando; o segundo slide com uma tabela comparando os montantes obtidos para os sete meses em ambos os sistemas de juros; e o terceiro slide com o esboço dos dois gráficos em um mesmo plano cartesiano, conforme a figura a seguir. Você pode utilizar os recursos do GeoGebra, disponível em: <www.geogebra.org>. Acesso em: 2 jun. 2017.

Como o objetivo da palestra é abordar e comparar os juros simples e compostos, o último slide é fundamental para analisar os dois casos simultaneamente. Ele mostra que, para t = 0 e t = 1, o montante obtido em cada uma das aplicações é o mesmo. A partir de t = 2 ,


Figura 3.6 | Gráficos das funções associadas aos juros simples e compostos


o montante no regime de juros compostos é cada vez maior que o verificado no regime de juros simples.

Um experimento com papéis picados


No item Convite ao estudo, apresentamos um investimento hipotético, exemplificando um crescimento exponencial, no qual um centavo se transformou rapidamente em mais de cinco milhões. Agora, suponha que você é docente de certa turma do Ensino Médio e deseja propor uma questão semelhante para instigar os alunos, exemplificando um decrescimento exponencial, dessa vez, por meio de um experimento baseado nas ideias de probabilidade. Nesse caso, a probabilidade de um pedaço de papel de forma quadrada cair com uma das faces pintadas voltada para cima é de 50%. Qual seria uma abordagem interessante para realizar esse experimento?


Em qualquer atividade envolvendo ideias de probabilidade, é importante propor uma quantidade considerável de repetições para certo evento. Vamos considerar 250 pedaços de cartolina ou papel-cartão de forma quadrada, todos com a mesma medida e com um dos lados pintados.

Explique a ideia aos alunos: ao lançar aleatoriamente esses 250 papéis sobre uma mesa, vamos retirar todos aqueles que caíram com a parte pintada voltada para cima; depois, vamos repetir o procedimento com os papéis que sobraram, e assim sucessivamente, até que todos os papéis sejam retirados.

Assim como o investimento com um centavo, a ideia é bastante simples. No caso do centavo, os valores são dobrados a cada dia. Já no experimento, a cada lançamento, aproximadamente, metade dos papéis deve cair com a parte pintada voltada para cima, pois a probabilidade de isso ocorrer para cada pedaço é de 50%. Antes de discutir isso com os alunos, seria interessante questioná-los a respeito da quantidade de lançamentos necessários para que sobre apenas um pedaço sobre a



mesa. Intuitivamente, eles podem estimar uma grande quantidade de lançamento ou a metade do total, ou seja, 125 lançamentos.

A partir das anotações organizadas em um quadro, os alunos poderiam construir um gráfico que represente a quantidade ( y ) restante em função do lançamento ( x ), como exemplificado a seguir. Esse gráfico se assemelha ao gráfico de uma função exponencial, com a característica de função decrescente.

Que tal, agora, elaborar um plano de aula para arquivar esse procedimento? Nele você deve listar os materiais necessários e a orientação na construção do quadro e do gráfico. Sugira também outros questionamentos a respeito da ideia de decrescimento exponencial e como esse assunto está relacionado com o conceito de potências.


Figura 3.7 | Gráfico exemplificando os resultados do experimento

Faça valer a pena

1. A figura a seguir apresenta o gráfico de quatro funções exponenciais em um mesmo plano cartesiano, entre elas, a função f x( )f x( )f x , cuja lei de formação é dada por f x x( )f x( )f x = 2 . Duas a duas, elas possuem ao menos uma relação de simetria em relação aos eixos x e y .



Figura 3.8 | Gráfico das funções exponenciais f x( )f x( )f x , g x( )g x( )g x , h x( )h x( )h x e m x( )m x( )m x em um mesmo plano cartesiano

Assinale a alternativa que contém a lei de formação das funções g x( )g x( )g x , h x( )h x( )h x e m x( )m x( )m x representadas no gráfico.a) g x x( )( )( )

( )g x( )g x = −2 ; h x x( )h x( )h x = − −2 ; m x x( )m x( )m x = −2 .

b) g x x( )g x( )g x = − −2 ; h x x( )h x( )h x = −2 ; m x x( )m x( )m x = −2 .c) g x x( )g x( )g x = −2 ; h x x( )h x( )h x = − −2 ; m x x( )m x( )m x = −2 .d) g x x( )g x( )g x = −2 ; h x x( )h x( )h x = − −2 ; m x x( )m x( )m x = −2 .e) g x x( )g x( )g x = − −2 ; h x x( )

( )( )

( )h x( )h x = −2 ; m x x( )

( )( )( )

m x( )m x = −2 .

2. Para resolver uma equação exponencial, podemos reduzir ambos os membros a potências de mesma base e utilizar a seguinte propriedade, apoiada no fato de que a função exponencial é injetora: a a x yx ya ax ya a= ⇔a a= ⇔a ax y= ⇔x ya ax ya a= ⇔a ax ya a x y=x y , com a > 0 e a 1≠ .Assinale a alternativa que contém o conjunto solução da equação exponencial 2 32

2 42 342 3x2 3x2 3+2 3+2 32 3=2 3 .a) S = −{ }= −{ }= −{ }2 2{ }{ },{ }{ }2 2{ },{ }2 2{ } b) S = −{ }= −{ }= −{ }1 1{ }{ },{ }{ }1 1{ },{ }1 1{ } c) S = { }

{ }{ }{ }

ou S = ∅ d) S = −{ }−{ }−{ }1 1{ }{ },{ }{ }1 1{ },{ }1 1{ } e) S =

3. O site do Banco Central do Brasil disponibiliza a Calculadora do Cidadão nas versões online e para dispositivos móveis. Com esse recurso, podemos


simular operações do cotidiano financeiro envolvendo juros compostos. Na opção Valor futuro de um capital (disponível em: <https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/calcularValorFuturoCapital.do>. Acesso em: 2 jun. 2017), é possível inserir o valor de três parâmetros, clicar em Calcular e obter o quarto parâmetro como resultado. Para calcular o montante obtido para um capital de R$ 1.200,00 aplicado sob o regime de juros compostos por 36 meses, a uma taxa de 3% ao mês, basta preencher os campos, como na figura a seguir, e clicar em Calcular.

Assinale a alternativa que contém o resultado que será mostrado no campo Valor obtido ao final da figura anterior.a) R$ 1.336,64.b) R$ 3.477,93.c) R$ 3.547,95.d) R$ 2.987,15.e) R$ 3.490,00.

Fonte: <https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/calcularValorFuturoCapital.do>. Acesso em: 2 jun. 2017.

Figura 3.9 | Recurso de Valor futuro de um capital da Calculadora do Cidadão



Figura 3.10 | Diagrama de Venn representando as funções f e f −1

Seção 3.2Função logarítmica

Na seção anterior, estudamos a função exponencial f : *→ +,

dada por f x ax( ) = , com a > 0 e a 1≠ , que associa a cada número real x uma única potência ax , também real. Nesta seção, estudaremos a sua função inversa, que associa a cada potência ax um único expoente x . Grosso modo, podemos dizer que a inversa de uma função f , denotada por f −1 , é a função que “desfaz” a operação executada pela função f . Isso fica mais evidente na figura a seguir.

Ainda na seção anterior, no estudo das equações exponenciais, tratamos apenas de situações em que era possível reduzir as potências à mesma base. Quando é preciso resolver uma equação, como 9 2x = , não conseguimos utilizar esse método. Para resolver equações como essa, vamos estudar, nesta seção, os logaritmos e a função logarítmica, a qual é a inversa da função exponencial.

Utilizando o conceito e as propriedades dos logaritmos, você será convidado a resolver equações relacionadas à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo. Na seção anterior, você modelou a função exponencial que representa a situação com juros compostos

Diálogo aberto


de uma aplicação de R$ 5.000,00, aplicada por um período de sete meses a uma taxa mensal de 6%. Agora, o desafio será analisar e resolver equações relacionadas a essa função, utilizando conceitos de logaritmo. Uma sugestão é propor e responder na palestra a seguinte pergunta: “Por quanto tempo é necessário deixar o capital inicial aplicado para obtermos um montante final de, no mínimo, R$ 8.000,00?”. Sintetize os cálculos e apresente-os na forma de slides.

Qual é o expoente x ao qual se deve elevar a base 10 para obter o resultado 950? Nesse caso, não podemos utilizar as propriedades das potências para escrever 950 como uma potência de base 10, mas podemos fazer a seguinte estimativa:

10 10 10 2 32 3

100 950 1000{ { {< < ⇒ < <x x

Então, esse expoente x deve estar entre 2 e 3.

Para resolver esse e outros problemas, vamos definir o que é logaritmo.

Logaritmo

Não pode faltar

Assimile

Sendo a e b números reais e positivos, com a 1≠ , chamamos de logaritmo de b na base a o expoente ao qual se deve elevar a base a de modo que a potência ax seja igual a b .

logaxb x a b= ⇔ =

No logaritmo, podemos destacar os seguintes elementos:

• Quando a base do logaritmo é 10, não costumamos indicá-la, e denominamos por logaritmo decimal. Assim, log7 é o logaritmo de 7 na base 10.


Utilizando essa definição e voltando ao problema anterior, temos que:

x = log10 950

E para determinar x , podemos utilizar uma calculadora científica, por exemplo.

• Quando a base é o número irracional e = 2,718281828... , indicamos por loge b ou lnb , e denominamos logaritmo neperiano ou natural.

Dica

Em uma calculadora científica, podemos realizar cálculos de logaritmo

decimal com a tecla , ou de logaritmo natural com a tecla .

Veja como efetuar log10 950 :

É importante ressaltar que, para efetuar cálculos de logaritmos de outras bases, utilizamos a propriedade dos logaritmos de mudança de base, a qual estudaremos mais adiante.


Figura 3.11 | Sequência de teclas para calcular log10 950

Reflita

Por que as restrições a > 0 , b > 0 e a 1≠ são necessárias? Elas são necessárias para garantir a própria existência do logaritmo, caso contrário, teríamos equações que não são definidas no conjunto dos números reais, por exemplo:

• log1 9 1 9= ⇔ =x x

• log2 4 2 4−( ) = ⇔ = −x x


• log0 5 0 5= ⇔ =x x

Agora, justifique com um contraexemplo um caso em que a < 0 , com a 1≠ e b > 0 .

Consequências da definição

Por consequência da definição de logaritmo, temos os seguintes casos que são muito úteis para simplificar os cálculos envolvendo logaritmos, dados a > 0 , b > 0 e a 1≠ .

• O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.

loga a1 0 10= ⇔ =

• O logaritmo da própria base é igual a 1.

loga a a a= ⇔ =1 1

• O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente.

logan x na x a a x n= ⇔ = ⇒ =

• A potência de base a e o expoente loga b é igual a b .

log loga

x bb x a b a ba= ⇔ = ⇒ =

• Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.

log log

log

log

loga a

ax

ax

a

b c x

b x a b

c x a cb c

b

= =

= ⇒ =

= ⇒ =

=

= lloga c b c⇔ =

Esta última propriedade é muito importante para resolvermos uma equação logarítmica, ou seja, uma equação cuja incógnita está no logaritmando, na base ou em ambos.

Há também as propriedades operatórias e a mudança de base dos logaritmos, que estudaremos a seguir.

Propriedades operatórias dos logaritmos

Assim como no caso das potências, a grande vantagem do uso dos logaritmos é reduzir as multiplicações e divisões a operações de adição e subtração por meio de suas propriedades, facilitando os


cálculos. É possível demonstrar as seguintes propriedades, porém não é o nosso enfoque nesse momento.

Exemplos:

• log log log log5 5 58 2 4 2 4= ⋅( ) = + a

• log log log log4 4 4 45 102

10 2=

= −

• log log log100 10 2 102= = ⋅

• log loglog

loglog3

10

106 6

363

= =

Assimile

Para a , b e c reais positivos, com a 1≠ , temos:

• Logaritmo do produto: log log loga a ab c b c⋅( ) = +

• Logaritmo do quociente: log log loga a abc

b c

= −

• Logaritmo da potência: log logan

ab n b= ⋅

• Mudança de base (com c 1≠ ): log logloga

c

c

bba

=

A mudança de base é muito útil quando precisamos operar com logaritmos de bases diferentes.

Pesquise mais

Você pode consultar a demonstração das propriedades dos logaritmos no endereço eletrônico a seguir. Nele, também há um levantamento histórico dos logaritmos e diversos problemas do cotidiano que envolvem logaritmo. Vale a pena conferir!

Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/1443/2012_01250_MARINA_MARRA.pdf?sequence=1>. Acesso em: 9 jun. 2017.


Equação logarítmica

Assim como já citado, utilizando as propriedades estudadas anteriormente, podemos resolver várias equações, cuja incógnita está no logaritmando, na base ou em ambos, chamadas equações logarítmicas. No entanto, antes de afirmar qual é o conjunto solução de uma equação logarítmica, devemos ficar atentos às condições de existência do logaritmo. Veja alguns exemplos de como resolver algumas equações logarítmicas:

• log log4 2 3x =

Condição de existência: x > 0

Transformamos log4 x em logaritmo de base 2 e simplificamos:

log log loglog

log loglog

log log lo4 22

22

2

22 23

43

2 23 2x x x x= ⇒ = ⇒

⋅= ⇒ = ⋅ gg2 3

Agora, resolvemos a equação utilizando a consequência da definição log loga ab c b c= ⇔ = .

log log log log2 2 2 222 3 3 9x x x= ⋅ ⇒ = ⇒ =

Como x = 9 satisfaz a condição de existência, temos que

S = { }9 .

• 2 2log logx x= − +( )

Condição de existência: x > 0 e − + >x 2 0 .

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência e utilizando a consequência da definição, temos:

2 2 2 2 2 02 2 2log log log logx x x x x x x x= − +( ) ⇒ = − +( ) ⇒ = − + ⇒ + − =

Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos x1 2= − e x2 1= . Substituindo nas condições de existência, temos:

x1 0 2 0> ⇒ − > (falsa)

− + > ⇒ − −( ) + > ⇒ >x1 2 0 2 2 0 4 0 (verdadeira)

x2 0 1 0> ⇒ > (verdadeira)

− + > ⇒ − + > ⇒ >x2 2 0 1 2 0 1 0 (verdadeira)

Como somente x2 1= satisfaz todas as condições de existência, temos que S = { }1 .


Exemplificando

Determinado plano de investimento a longo prazo, oferecido por uma rede bancária, tem juros compostos de 15% ao ano. Considere que você pretende investir um capital c nesse plano, a fim de retirar o montante quando conseguir o equivalente a quatro vezes o capital que investiu. Quantos anos você deve deixar o dinheiro aplicado para conseguir esse valor?

Já estudamos que o montante é dado pela função exponencial

M t c i t( ) = ⋅ +( )1 , em que c é o capital inicial, i a taxa de juros e t o tempo de investimento. Então, podemos usar a definição de logaritmo e uma calculadora científica para resolver este problema:

4 1 0 15 4 115 4 1152 2

115 115

115

c ct

t t t= +( ) ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ =

, , log log ,log lo

, ,

, gg , , ,,115 115 2 4 959 9 918⇒ ⋅ ⇒t t≅ ≅

Portanto, para quadruplicar o seu capital, você deve deixar seu dinheiro investido por 10 anos.

Função logarítmica

Estudamos, na seção anterior, a função exponencial f : *→ +, dada por f x ax( ) = , com a > 0 e a 1≠ , que associa a cada número real x uma única potência ax , também real. Essa função está definida de modo que seu contradomínio é igual à sua imagem, ou seja, D f CD f( ) = ( ) = +

* . Com isso, obtemos uma função bijetora, isto é, para todo x x D f1 2, ∈ ( ) com x x1 2≠ temos f x f x1 2( ) ≠ ( ) . Então, podemos determinar a sua função inversa f −1 . Para isso, trocamos x por y , e vice versa.

y a x ax y= → =Agora, aplicamos a definição de logaritmo e isolamos y .

x a x yya= ⇒ =log

Portanto, f x xa− ( ) =1 log . Essa é a função logarítmica.

Assimile

A função logarítmica é a função g : *+ → , dada por g x xa( ) = log ,

com a > 0 e a 1≠ .


Gráfico da função logarítmica

Como a função logarítmica é inversa da função exponencial, então seus gráficos são simétricos em relação à função identidade y x= . Como já estudamos o gráfico da função exponencial na seção anterior, podemos construir o gráfico da função logarítmica conforme as figuras a seguir.

Para a > 1, as funções são crescentes.

Para 0 1< <a , as funções são decrescentes.



Figura 3.12 | Aspecto das funções exponencial e logarítmica crescente

Figura 3.12 | Aspecto das funções exponencial e logarítmica crescente


Para exemplificar, vamos construir o gráfico de duas funções logarítmicas: f x x( )= log2 e g x x( )= log /1 2 . Podemos atribuir alguns valores a x , a fim de obtermos os valores correspondentes para y f x= ( ) . Com isso, obtemos os pares ordenados x y,( ) .


Figura 3.14 | Gráfico da função f x x( )f x( )f x = log2

x f x x( )= log2 x y,( )

18

f 18

18

32 -log = = 1

83, −

14

f 14

14

22 -log = = 1

42, −

12

f 12

12

12 -log = = 1

21, −

1 f 1 1 02( )= =log 1 0,( )

2 f 2 2 12( )= =log 2 1,( )

4 f 4 4 22( )= =log 4 2,( )

8 f 8 8 32( )= =log 8 3,( )



Figura 3.15 | Gráfico da funçã g x x( )g x( )g x = log /1 2/1 2/

x g x x( )= log /1 2 x y,( )

18

g 18

18

31 2log /

= = 1

83,

14

g 14

14

21 2log /

= = 1

42,

12

g 12

12

11 2log /

= = 1

21,

1 g 1 1 01 2( )= =log / 1 0,( )

2 g 2 2 11 2( )= =−log / 2 1, −( )

4 g 4 4 21 2( )= =−log / 4 2, −( )

8 g 8 8 31 2( )= =−log / 8 3, −( )


Como consequência da análise dos gráficos e da definição de função logarítmica, podemos perceber que:

• loga f1 0 1 0= ⇒ ( ) = , ou seja, o gráfico da função logarítmica passa pelo ponto 1 0,( ) .

• O gráfico não toca o eixo y .

• O domínio da função é composto somente por valores positivos, pois apenas números positivos possuem logaritmo real.

• Quando a > 1, os números maiores que 1 têm logaritmo positivo e os números entre 0 e 1 têm logaritmo negativo.

• Quando 0 1< <a , os números maiores que 1 têm logaritmo negativo e os números entre 0 e 1 têm logaritmo positivo.

Após o estudo da função exponencial, vamos retomar a situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Suponhamos que você foi contratado para ministrar uma palestra sobre matemática financeira, abordando os juros simples e compostos. Utilize uma situação com um capital de R$ 5.000,00, aplicado por um período de sete meses a uma taxa mensal de 6%, sob os dois sistemas de juros: simples e composto. Na seção anterior, você modelou a função exponencial que representa a situação com juros compostos. Nesta seção, o desafio será analisar e resolver equações relacionadas à essa função, utilizando conceitos de logaritmo. A função obtida foi

M t t( )= ( )5000 1 06, .

Agora, podemos responder a questões sobre o tempo necessário para obter certo montante, por exemplo, o tempo necessário para um imóvel valorizar 30% segundo o Índice Nacional de Custo da Construção (INCC), o tempo necessário para que uma dívida do cartão de crédito dobre de valor, ou então a questão da palestra: “Por quanto tempo é necessário deixar o capital inicial aplicado para obtermos um montante final de, no mínimo, R$ 8.000,00?”.

Para resolver essa questão, devemos resolver a seguinte equação:

8000 5000 1 06 85

1 06= ( ) ⇒ =, ,t t

Podemos aplicar o logaritmo:

Sem medo de errar


85

1 06 85

1 06106 106= ⇒ =, log log ,, ,t t

Utilizando as propriedades dos logaritmos:

log log , log log, , , ,106 106 106 10685

1 06 8 5= ⇒ − =t t

Da mudança de base, temos:

log log loglog ,

loglog ,, ,106 1068 5 8

1 065

1 06− = ⇒ − =t t

Utilizando uma calculadora científica, temos que log ,8 0 903≅ ,

log ,5 0 699≅ e log , ,1 06 0 025≅ , então:

loglog ,

loglog ,

,,

,,

,81 06

51 06

0 9030 025

0 6990 025

36 12 27− = ⇒ − = ⇒ −t t ,, ,96 8 16= ⇒t t ≅

Portanto, é preciso deixar o capital inicial aplicado por, no mínimo, 9 anos.

Agora, que tal propor e resolver outras questões em que seja preciso utilizar os conceitos de logaritmo? Na resolução, realize um passo a passo, explicando as propriedades dos logaritmos utilizadas e os valores obtidos na calculadora científica, se necessário. Acrescente o que você sintetizou aqui aos slides da palestra, preparados a partir do Sem medo de errar da primeira seção dessa unidade. Depois, esboce o gráfico da função M t− ( )1 a partir do gráfico da função

M t( ) , conforme a figura a seguir, sem utilizar recursos de softwares.



Figura 3.16 | Gráfico da função inversa de M t t( )M t( )M t = ( )5000( )1 0( )( )6( )( ),( )( )1 0( ),( )1 0( )


Logaritmo e terremotos


Suponha que você é docente de certa turma do Ensino Médio. Como complemento ao trabalho com os logaritmos, uma proposta de abordagem é por meio da escala Richter, utilizada para medir a magnitude ou intensidade dos terremotos. Que tal elaborar um plano de aula interessante para esse contexto?


Utilizando um aparelho chamado sismógrafo, é possível determinar a intensidade de um terremoto na escala Richter, desenvolvida em 1935, pelo sismólogo norte-americano Charles Richter (1900-1985). Nessa escala, a intensidade I de um terremoto é um número que parte de I = 0 até I = 8 9, para o maior terremoto registrado, dado

pela função I E=

⋅

−

23 7 10 3log , na qual E representa a energia


liberada pelo terremoto, em quilowatts-hora. De acordo com a intensidade registrada na escala Richter, um terremoto pode causar as seguintes consequências.

Podemos calcular, por exemplo, a energia liberada por um terremoto de intensidade 8:

I E E E=

⋅

⇒ =

⋅

⇒ ⋅ =

⋅

− − −

23 7 10

8 23 7 10

8 32 7 103 3 3log log log

⇒ =

⋅

⇒

⇒ = ⇒ =

−

⋅

−

127 10

10 10 10

3

12 7 10 123

log

log

E

EE

77 107 10 10 7 103

12 3 9

⋅⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅−

−E E

Assim, a energia liberada num terremoto de intensidade 8 é de

7 109⋅ kWh .

Como tem base logarítmica, podemos calcular quantas vezes a energia liberada é multiplicada ao aumentar em apenas uma unidade a intensidade do terremoto. Para isso, vamos expressar E em função de I :

Fonte:<http://www.if.ufrgs.br/mpef/mef004/20021/Marcelo/richter-escala>. Acesso em: 13 jun. 2017.

Tabela 3.2 | Intensidades de um terremoto

Intensidade ( I )Possíveis efeitos (no epicentro)

Registros (por ano)

Até 1,9 Detectável apenas por sismógrafo Muitos

2,0 - 2,9 Sentido por algumas pessoas 800000

3,0 - 3,9 Sentido pela maioria das pessoas 20000

4,0 - 4,9 Vidros partidos 2800

5,0 - 5,9 Queda de mobiliário 1000

6,0 - 6,9 Fendas no chão; queda de edifícios 185

7,0 - 7,9 Queda de pontes e barragens 14

Maior que 8,0 Desastre em larga escala 0,2


I E I E I E

=⋅

⇒ =

⋅

⇒ =− −

⋅23 7 10

32 7 10

10 103 3

32 7 10log log

log−−

−−

⇒

⇒ =⋅

⇒ = ⋅ ⋅

3

107 10

10 7 1032

3

32 3

I IE E

Sendo E * a energia liberada quando aumentamos a intensidade em uma unidade, temos:

E E EI I I

* * *= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅+( )

−+

− −10 7 10 10 7 10 10 10 7 103 1

2 33 3

2 332

32 3 ⇒⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅−E E EI

E

* *10 10 7 10 1032

32 3

32

1 244 344

Portanto, aumentando em uma unidade a intensidade, a energia

fica multiplicada por 1032 ou, aproximadamente, 31,6.

Agora, que tal elaborar um plano de aula utilizando esse contexto? Sugira e responda a outras questões envolvendo conceitos de logaritmos na resolução, por exemplo:

• Qual foi a energia liberada pelos terremotos ocorridos no Haiti, em janeiro de 2010, e na Espanha, em abril de 2011, cujas intensidades foram 7,0 e 5,1, respectivamente?

• Qual é a intensidade e suas possíveis consequências de um terremoto que libera 7 109⋅ kWh de energia?

Você também pode sugerir que os alunos esbocem o gráfico

que representa a função I E=

⋅

−

23 7 10 3log , ou então que eles

pesquisem outros terremotos já registrados, suas consequências e a quantidade de energia liberada.

Faça valer a pena

1. Considere as seguintes equações com logaritmos: I) log l8 8g l8 8g log8 8og4 3g l4 3g log4 3og8 84 38 8g l8 8g l4 3g l8 8g log8 8og4 3og8 8og4 3x x4 3g l4 3g lx xg l4 3g log4 3ogx xog4 3ogg l8 8g l4 3g l8 8g lx xg l8 8g l4 3g l8 8g l4 3x x4 3= +4 3x x4 3g l4 3g lx xg l4 3g l= +g l4 3g lx xg l4 3g log4 3ogx xog4 3og= +og4 3ogx xog4 3og8 84 38 8x x8 84 38 8= +8 84 38 8x x8 84 38 8g l8 8g l4 3g l8 8g lx xg l8 8g l4 3g l8 8g l= +g l8 8g l4 3g l8 8g lx xg l8 8g l4 3g l8 8g log8 8og4 3og8 8ogx xog8 8og4 3og8 8og= +og8 8og4 3og8 8ogx xog8 8og4 3og8 8og ( )4 3( )4 3 1( )1x x( )x x4 3x x4 3( )4 3x x4 3= +( )= +x x= +x x( )x x= +x x4 3x x4 3= +4 3x x4 3( )4 3x x4 3= +4 3x x4 3 II) logx− ( ) =1 ( )5 1( )x( )x5 1x( )x +( )+5 1+( )+ 2 III) log3 5 2( )

( )( )( )1

( )1

2( )2 5 2( )5 2x( )x +( )+ 5 2=5 2 E os seguintes conjuntos solução:A) S = { }{ }7{ }


B) S = { }{ }1{ } C) S = −{ }= −{ }= −{ }2 2{ }{ },{ }{ }2 2{ },{ }2 2{ } Assinale a alternativa que contém a associação correta da equação logarítmica e da sua solução correspondente.a) I – A; II – B; III – C. b) I – B; II – C; III – A.c) I – A; II – C; III – B.d) I – C; II – B; III – A.e) I – B; II – A; III – C.

2. O valor de certo automóvel daqui a t anos, em reais, pode ser obtido a partir da função exponencial dada por v t t( )v t( )v t = ⋅30= ⋅30= ⋅000= ⋅000= ⋅0 9,0 9,0 9 . Considere que hoje é o tempo t = 0 , ano que vem é o tempo t = 1, e assim por diante. Considere também que log ,3 0g ,3 0g ,477g ,3 0g ,=g ,3 0g , .Assinale a alternativa que contém o tempo mínimo necessário, aproximadamente, para que o valor do automóvel seja um terço do valor atual.a) Após 8 anos. b) Após 9 anos.c) Após 10 anos.d) Após 11 anos.e) Após 12 anos.

3. Na figura a seguir, estão representados, em um mesmo plano cartesiano,

os gráficos das funções logarítmicas dadas por f x x( )f x( )f x = +2= +2= + 12

log ,

g x x( )g x( )g x = +2= +2= + 2log , h x( )h x( )h x = −( )x( )x= −( )= −x= −x( )x= −xlo= −lo= −g= −g= −1= −1= −2( )2( ) e m x( )m x( )m x = −( )x( )x= −( )= −x= −x( )x= −xlo= −lo= −g= −g= −2= −2= −( )2( ) .


Figura 3.17 | Gráficos das funções logarítmicas f x x( )f x( )f x = +2= +2= + 12

log , g x x( )g x( )g x = +2= +2= + 2log , h x( )h x( )h x = −( )x( )x= −( )= −x= −x( )x= −xlo= −lo= −g= −g= −1= −1= −

2( )2( ) e m x( )m x( )m x = −( )x( )x= −( )= −x= −x( )x= −xlo= −lo= −g= −g= −2= −2= −( )2( )


Assinale a alternativa que associa corretamente cada uma dessas funções aos seus respectivos gráficos.a) f – II; g – IV; h – III; m – I. b) f – I; g – III; h – IV; m – II.c) f – I; g – II; h – III; m – IV.d) f – III; g – IV; h – I; m – II.e) f – IV; g – III; h – II; m – I.



Seção 3.3Progressões aritmética e geométrica

Nas seções anteriores, vimos que a função exponencial M c i t= ⋅ +( )1 expressa o montante M em função do tempo t , com t ≥ 0 . Nesse caso, o montante aumenta um valor cada vez maior, equivalente ao juro composto calculado sobre o montante obtido no período anterior. Como a variável tempo é uma grandeza contínua, teoricamente, obteríamos infinitos valores para os montantes correspondentes. No entanto, na prática, isso não ocorre, pois em qualquer sistema monetário consideramos os valores até a casa dos centésimos. Além disso, os montantes são atualizados de acordo com a unidade de medida de tempo considerada para o rendimento dos juros (ao dia, ao mês, ao ano etc.). É por isso que o gráfico desse tipo de situação apresenta apenas os pontos relacionados a cada um dos rendimentos, que são pertencentes à curva exponencial citada anteriormente.

Reveja, por exemplo, os 10 primeiros anos de uma aplicação de R$ 1.000,00 a uma taxa de juro composto de 6% ao ano e a curva da função exponencial M t t( ) = ⋅ +( )1000 1 0 06, , indicada pela linha tracejada, apresentada na Seção 3.1.

Diálogo aberto



Figura 3.18 | Gráfico da função M t t( )M t( )M t = ⋅ ( )1000= ⋅1000= ⋅ ( )1 0( )+( )+1 0+( )+( )06( )( ),( )

Esses montantes obtidos num sistema de juros compostos formam uma sequência denominada Progressão Geométrica (PG), assunto normalmente trabalhado nos anos iniciais do Ensino Médio, na disciplina de Matemática, e que iremos retomar nessa seção.

Para ilustrar o assunto, vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo. Suponhamos que você foi contratado para ministrar uma palestra sobre matemática financeira, abordando os juros simples e compostos. Uma sugestão é fazer uma relação dos conceitos e as propriedades da PG e de outro tipo de sequência, denominada Progressão Aritmética (PA), com os conceitos de função exponencial, estudados nas seções anteriores. Após isso, você deverá elaborar ou utilizar um problema das seções anteriores envolvendo aplicações financeiras e resolvê-lo por meio das progressões. Sintetize os cálculos e apresente-os na forma de slides.

Comumente, os termos de uma sequência são indicados por uma letra e um índice, que representa a ordem ou a posição desse termo. Por exemplo, podemos indicar o primeiro termo por a1 , o segundo termo por a2 , o terceiro termo por a3 , e assim por diante. Já para

Não pode faltar


representar um termo em uma posição qualquer, convencionamos por an , chamado de enésimo termo ou de ordem n .

Vamos representar essa sequência com os seus termos entre parênteses:

a a a an1 2 3, , , ..., , ...( )

Essa sequência pode ser finita ou infinita.

Sequências

Assim como na situação com juros, associamos as sequências ao conceito de função.

Exemplos de sequências finitas:

• Dias da semana: (segunda-feira, terça-feira, ..., domingo).

• Cinco primeiros múltiplos de 10: 0 10 100 1000 10000, , , ,( ) .

Exemplos de sequências infinitas:

• Números primos positivos: 2 3 5 7 11 13, , , , , , ...( ) .

• Seja a função f : * → , tal que f n n( ) = 2 . Essa é a sequência infinita dos números naturais pares: 2 4 6 8 2, , , , ..., , ...n( ) .

Progressão aritmética

Situações envolvendo grandezas que sofrem variações iguais em intervalos de tempo iguais são muito comuns, por exemplo, situações envolvendo juros simples. Já vimos que, em uma aplicação de R$ 5.000,00, por um período de sete meses a uma taxa mensal de 6% sob o regime de juros simples, a cada período de tempo os juros são calculados considerando o capital inicial, ou seja, o crescimento do montante é constante e pode ser representado pela sequência:

Assimile

Uma sequência é uma função definida em * , , , ..., , ...= { }1 2 3 n e obtendo valores no conjunto dos números reais, ou seja, f : * → . A sequência a a a an1 2 3, , , ..., , ...( ) é o conjunto imagem dessa função, isto é, f a1 1( ) = ,

f a2 2( ) = , ..., f n an( ) = , ...


5000 5300 5600 5900 6200 6500 6800 7100, , , , , , ,( )

Nessa sequência, cada termo a partir do segundo é obtido por meio de uma adição do termo anterior a 300. Ou seja, o montante sofre aumentos iguais de R$ 300,00, em intervalos de tempo iguais a um mês. Essa sequência é um exemplo de progressão aritmética, ou simplesmente PA. O aumento de 300 em cada termo é sempre o mesmo e é chamado de razão da progressão aritmética.

Exemplos:

• 10 15 20 25 30, , , , , ...( ) é uma PA infinita de razão r = 5 , em que a1 10= . Essa PA é crescente.

• 20 10 0 10 20 30, , , , , , ...− − −( ) é uma PA infinita de razão

r = −10 e a1 20= . Essa PA é decrescente.

• 5 5 5 5, , , , ...( ) é uma PA infinita de razão r = 0 e a1 5= . Essa PA é constante.

Por consequência, em uma PA a a a a an n1 2 3 1, , , ..., , , ...−( ) de razão r , para avançar um termo, basta somar r ao termo imediatamente anterior:

Assimile

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números reais, na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença recebe o nome de razão da PA e é representada pela letra r .

• Se r < 0 , a PA é decrescente, isto é, cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior.

• Se r = 0 , a PA é constante, isto é, todos os seus termos são iguais.

• Se r > 0 , a PA é crescente, isto é, cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior.


a a r a a ra a r a a ra a r a a r

a a r an n n

2 1 2 1

3 2 3 2

4 3 4 3

1

= + ⇒ − =

= + ⇒ − =

= + ⇒ − =

= + ⇒−

−− =−a rn 1

Consequentemente:

a a a a a a a a rn n2 1 3 2 4 3 1− = − = − = = − =−...

Desse modo, podemos encontrar o enésimo termo an , denominado termo geral da PA, por meio de uma fórmula de recorrência.

Por outro lado, escrevendo os termos da PA a a a a an n1 2 3 1, , , ..., , , ...−( ) de razão r , em função do primeiro termo

e da razão, temos:

a a ra a ra a r a r r a r

a a r a r r

1 1

2 1

3 2 1 1

4 3 1

01

2

2

= + ⋅

= + ⋅

= + = +( ) + = +

= + = +( ) + = aa r

a a r a r r a r

a a r a n rn n

1

5 4 1 1

1 1

3

3 4

1

+

= + = +( ) + = +

= + = + −( )−

Em outras palavras, em cada igualdade a razão r está sendo multiplicada por uma unidade a menos que o próprio índice do termo considerado. Portanto, também podemos encontrar o enésimo termo da PA por meio da fórmula do termo geral.

Assimile

O enésimo termo de uma PA em que a1 é o primeiro termo e a razão é r dado pela fórmula de recorrência: a a rn n= +−1 , com n∈ * e n ≥ 2 .


Assimile

O termo geral é dado por a a n rn = + −( )1 1 , em que an é o termo geral, a1 é o primeiro termo, n é a ordem do termo ou o número de termos até an e r é a razão.

Reflita

Vimos como encontrar um termo an qualquer da PA pela fórmula de recorrência, dados a razão r e o termo anterior an−1 . Também, vimos como encontrar an pela fórmula do termo geral, dados a razão r e

a1 . Mas será que é possível encontrar an dados a razão r e outro termo? A resposta é sim! Por exemplo, temos que a a r9 4 5= + , pois, ao passar de a4 para a9 , avançamos cinco termos. Agora, escreva como podemos obter a3 em função de a15 e da razão r .

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Leia o extrato a seguir do livro Introdução à história da matemática, a respeito do alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

[...] Há uma história segundo a qual o professor de Carl na escola pública, quando ele tinha dez anos de idade, teria passado à classe, para mantê-la ocupada, a tarefa de adicionar os números de 1 a 100. Quase que imediatamente Carl colocou sua lousa sobre a escrivaninha do irritado professor. Quando as lousas foram finalmente viradas, o professor surpreso verificou que Carl tinha sido o único a acertar a resposta correta, 5 050 , mas sem fazê-la acompanhar de nenhum cálculo. Carl havia mentalmente calculado a soma dos termos da progressão aritmética 1 2 3 98 99 100+ + + + + +... observando que 100 1 101+ = , 99 2 101+ = , 98 3 101+ = e assim por diante com os cinquenta pares possíveis dessa maneira, sendo a soma portanto 50 101 5 050× = . Mais tarde, quando adulto, Gauss costumava jactar-se de ter aprendido a contar antes de aprender a falar [...] (EVES, 2004, p. 519)


Na história, o menino Carl, mais conhecido por Gauss, usou o fato de que, ao se adicionar os termos extremos e os termos equidistantes, obtém-se o mesmo resultado:

Como, ao total, são 50 somas iguais a 101, Gauss concluiu que:

1 2 3 98 99 100 50 101 5 050+ + + + + + = × =...Podemos generalizar esse raciocínio de Gauss para deduzir a

fórmula da soma Sn dos n primeiros termos de uma PA qualquer. Para isso, adicionamos os termos de duas maneiras:

• Em ordem crescente: S a a a a a an n n n= + + + + + +− −1 2 3 2 1... (I)

• Em ordem decrescente: S a a a a a an n n n= + + + + + +− −1 2 3 2 1... (II)

Adicionando, membro a membro, (I) e (II), temos:

S a a a a a aS a a a a a an n n n

n n n n

= + + + + + +

+ = + + + + + +− −

− −

1 2 3 2 1

1 2 3 2 1

......

2 1 2 1 3 2

1 1

S a a a a a an n n n

a a a an n

= +( ) + +( ) + +( )− −

+ +1 24 34 1 24 344 1 24 34 1 24 34

+ + +( ) + +( ) + +( )− −

+ +

... a a a a a an n n

a a a a

n

n n

2 3 1 2 1

1 1

vezzes1 2444444444444444 3444444444444444

E como há n parcelas iguais a a an1 +( ) , podemos reescrever essa igualdade da seguinte maneira:

221

1S n a a Sn a a

n n nn= ⋅ +( ) ⇒ =

+( )

Assimile

A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por:

Sn a a

nn=

+( )1

2

Em que Sn é a soma dos n primeiros termos, a1 é o primeiro termo, n é a quantidade de termos e an é o enésimo termo.


Por exemplo, utilizando essa fórmula para calcular a soma 1 2 3 98 99 100+ + + + + +... , temos que a1 1= , n = 100 e

an = 100 , logo:

Sn a a

nn=

+( )=

+( )=

⋅= ⋅ =1

2100 1 100

2100 101

250 101 5 050

Progressão geométrica

Situações envolvendo grandezas que crescem ou decrescem através do produto por uma taxa constante podem ser resolvidas com o auxílio da função exponencial, conforme estudamos na Seção 3.1. Lá, vimos que, em uma aplicação de R$ 5.000,00, por um período de sete meses a uma taxa mensal de 6% sob o regime de juros compostos, a cada período de tempo os juros são calculados sobre o montante do período anterior, e pode ser representado pela sequência:

5000 5000 1 06 5000 1 06 5000 1 06 5000 1 06 5000 1 062 3 4 5; , ; , ; , ; , ; ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ;; , ; ,5000 1 06 5000 1 066 7⋅ ⋅( )

Nessa sequência, cada termo a partir do segundo é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo, no caso, 1,06. Ou seja, a cada intervalo de tempo igual a um mês o montante sofre um aumento a uma taxa constante de 1 06, . Essa sequência é um exemplo de progressão geométrica, ou simplesmente PG. O valor de 1,06 é chamado de razão da progressão geométrica.

Assimile

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais em que, a partir do segundo, o quociente entre um termo e seu antecessor resulta em uma constante. Esse quociente recebe o nome de razão da PG e é representado pela letra q .

• Se q < 0 , a PG é alternante, isto é, todos os seus termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais opostos.

• Se q = 1, a PG é constante, isto é, todos os seus termos são iguais.

• Se q > 1 e a1 0> ou se 0 1< <q e a1 0< , a PG é crescente, isto é, cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior.


Exemplos:

• 1 5 25 125 625, , , , , ...− −( ) , como q = −5 , essa PG é alternante.

• 2 2 2 2 2, , , , , ...( ) , como q = 1, essa PG é constante.

• 1 2 4 8 16, , , , , ...( ) , como a1 1= e q = 2 , essa PG é crescente.

• − − − − −

64 16 4 1 1

4, , , , , ... , como a1 64= − e q =

14

, essa

PG é crescente.

• − − − − −( )4 20 100 500 2500, , , , , ... , como a1 4= − e q = 5 , essa PG é decrescente.

• 18 6 20 23

29

, , , , , ...

, como a1 18= e q =

13

, essa PG é

decrescente.

De maneira semelhante à apresentada para a PA, é possível deduzir as seguintes fórmulas do termo geral da PG. Que tal deduzir essas fórmulas como exercício?

• Se q > 1 e a1 0< ou se 0 1< <q e a1 0> , a PG é decrescente, isto é, cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior.

Assimile

O enésimo termo de uma PG em que a1 é o primeiro termo e a razão é r é dado pela fórmula de recorrência:

a a qn n= ⋅−1 , com n∈ * e n ≥ 2

O termo geral também pode ser calculado por: a a qnn= ⋅ −( )

11

Em que an é o termo geral, a1 é o primeiro termo, n é a ordem do termo ou o número de termos até an e q é a razão.


Soma dos termos de uma progressão geométrica

Vamos considerar a PG finita a a a a a an n n1 2 3 2 1, , ,..., , ,− −( ) de n termos e razão q . Também, podemos dizer que esses são os primeiros termos de uma PG qualquer (finita ou infinita). Vamos indicar a soma de seus termos por Sn :

S a a a a a an n n n n= + + + + + +− −1 3 2 1... (I)

Multiplicando ambos os membros da igualdade pela razão q , obtemos:

S q a q a q a q a q a q a qS q a a a

n n n n

n

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

⇒ ⋅ = + + +− −1 2 3 2 1

2 3 4

....... + + + ⋅−a a a qn n n1 (II)

Subtraindo membro a membro I II( ) − ( ) , temos:

S a a a a a a

S q a a a a a an n n n

n n n

= + + + + + +

− ⋅ = + + + + + +

− −

−

1 2 3 2 1

2 3 4 1

...

... nn

n n n

q

S S q a a q

⋅

− ⋅ = − ⋅

1

Como a a qnn= ⋅ −( )

11

, podemos reescrever essa última igualdade da seguinte maneira:

S S q a a q

S q a a q q

S q a a q

S

n n n

nn

nn

− ⋅ = − ⋅

−( ) = − ⋅

⋅

−( ) = − ⋅

−( )1

1 11

1 1

1

1

nnn

n

n

q a q

Sa q

qq

1 1

1

11

1

1

−( ) = −( )

=−( )−

≠, com


Assimile

A soma dos n termos de uma PG finita (ou dos n primeiros termos de uma PG qualquer) é dada por:

Sa q

qqn

n

=−( )−

≠1 1

11, com

Em que Sn é a soma dos n termos, a1 é o primeiro termo, n é a quantidade de termos e q é a razão.

Por exemplo, para calcular a soma dos seis primeiros termos da PG 1 2 4 8 16, , , , , ...( ) , temos n = 6 , a1 1= e q = 2 , temos:

Sa q

qSn

n

=−( )−

⇒ =−( )−( )

=1

6

61

1

1 1 2

1 263

Verificando: 1 2 4 8 16 32 63+ + + + + = .

É possível também demonstrar a fórmula que permite calcular o limite da soma dos termos de uma PG infinita (ou simplesmente soma dos infinitos termos da PG), porém não é o nosso enfoque nesse momento.

Essa soma é chamada de série geométrica convergente.

Já quando a PG infinita é tal que q ≤ −1 ou q ≥ 1, não existe o limite lim

n nS→∞ e dizemos que é uma série geométrica divergente.

Assimile

A fórmula que permite calcular o limite da soma dos termos de uma PG infinita de razão 0 1< <q é dada por:

limn nS

aq→∞ −

1

1

Em que Sn é a soma dos infinitos termos, a1 é o primeiro termo e q é a razão.


Por exemplo, utilizando a fórmula apresentada, podemos calcular

a soma dos infinitos termos da PG 1 14

116

164

1256

11024

, , , , , , ...

,

em que a1 1= e q =14

, temos:

limn nS

aq

aq→∞ −

=−

=−

= =1 1

1 11

1 14

134

43

Portanto, o limite da soma dos infinitos termos da PG é 43

, isto é,

limn nS→∞

=43

.

Pesquise mais

No endereço eletrônico a seguir está disponível um estudo mais aprofundado sobre as sequências reais. Há também a demonstração de outros resultados acerca das progressões aritméticas e geométricas e alguns exercícios resolvidos. Vale a pena conferir!

Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/sequenc/sequenc.htm#seq15>. Acesso em: 25 jun. 2017.

Exemplificando

Suponha que você fará um investimento no valor de R$ 15.000,00. O investimento tem rendimento de 0,6% ao mês no sistema de juros compostos.

a) Qual será o montante obtido ao final de cada um dos três primeiros meses de investimento?

b) Seja n a quantidade de meses após o investimento, qual será o valor do montante em função de n ?

c) Supondo que você não realize saques nem depósitos nesse investimento,

após quanto tempo você terá 65

do valor investido inicialmente?


Dessa vez, podemos utilizar os conceitos de PA e PG para responder às perguntas, quando necessário:

a) Ao final de cada um dos três primeiros meses, temos:

1º mês: 15000 1 006 15090⋅ = →, R$ 15090,00 ;

2º mês: 15090 1 006 15180 54⋅ = →, , R$ 15180,54 ;

3º mês: 15180 54 1 006 15271 62 15271 62, , , ,⋅ →� R$ ;

b) O montante obtido ao final de cada mês forma uma PG em que

a1 15090= e q = 1 006, . Então, utilizamos a fórmula do termo geral:

a a q ann

nn= ⋅ ⇒ = ⋅− −

11 115090 1 006,

Como 15090 15000 1 006= ⋅ , , temos que o montante em função de n é dado por:

a a ann

nn

n= ⋅ ⇒ = ⋅( ) ⋅ ⇒ = ⋅− −15090 1 006 15000 1 006 1 006 15090 1 0061 1, , , , nn

c) Para obter 65

do valor investido inicialmente, temos:

ann n

n

= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒

⇒

65

15000 15000 1 006 65

15000 1 006 65

1 0061006

, ,

log ,, ==

⇒ =log ,,1006

65

30 48n

Como n deve ser inteiro, n = 31, ou seja, você terá 65

do valor investido inicialmente após 31 meses.

Sem medo de errar

Após o estudo das progressões aritméticas e geométricas, vamos retomar a situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Vamos relembrar! Suponhamos que você foi contratado para ministrar


uma palestra sobre matemática financeira, abordando os juros simples e compostos. Que tal aproveitar os conceitos de progressão aritmética e geométrica desta seção para fazer uma relação com a função exponencial, assunto das seções anteriores?

Estudamos, nesta seção, que as sequências numéricas são funções de domínio em * e contradomínio não vazio, sendo que a PG é um caso específico de sequência numérica em que, a partir do segundo termo, o quociente entre um termo e seu antecessor resulta em uma constante, chamada de razão q .

Agora, vamos considerar a função do tipo exponencial f x x( )= ⋅18

2

e a PA 0 3 6 9 12 15, , , , , , ...( ) de razão r = 3 . Calculando f 0( ) , f 3( ) ,

f 6( ), f 9( ) , f 12( ) , f 15( ) , ..., obtemos outra sequência:

Analisando os termos dessa nova sequência, percebemos que

18

1 8 64 512 4096, , , , , , ...

é uma PG, cuja razão q = 8 é igual à base

a da função, isto é, 8 23= . Além disso, temos que o expoente de

23 é igual à razão da PA, isto é, r = 3 .

Podemos formalizar o seguinte resultado:

xn 0 3 6 9 12 15 ...

f xn( )18

1 8 64 512 4096 ...

Assimile

Dada uma função do tipo exponencial f x b ax( )= ⋅ e x1, x2 , x3 , x4 , , xn , os termos de uma PA de razão r , temos que a sequência formada por f x1( ) , f x2( ) , f x3( ) , f x4( ) , , f xn( ) , , é uma PG de razão q ar= , em que a é a base de f e r é a razão da PA.



Com isso mostramos que os conceitos de função exponencial e progressões estão diretamente relacionados. Mas qual é a vantagem disso? Agora, podemos utilizar os resultados apresentados nesta seção sobre PA e PG para calcular um termo qualquer ou a soma dos primeiros termos dessas progressões, o que pode facilitar muito os cálculos envolvidos.

Que tal elaborar ou utilizar um problema das seções anteriores envolvendo aplicações financeiras e resolvê-lo por meio das progressões, assim como no Exemplificando desta seção? Você deverá sintetizar os cálculos e apresentá-los na forma de slides. Para isso, você ainda pode precisar das propriedades dos logaritmos estudadas anteriormente.

Não se esqueça de elaborar os slides restantes e finalizar a apresentação para a sua palestra!

A lenda da invenção do jogo de xadrez


Uma famosa lenda atribui ao matemático indiano Sessa ibn Daher, a criação do jogo Chaturanga, predecessor do jogo de xadrez. Muito provavelmente, a história a seguir é um mito criado pelo autor do livro que o cita.

Sessa teria inventado o jogo a fim de diminuir a agonia de um príncipe indiano pela perda de seu filho numa batalha. Maravilhado com o jogo, o príncipe disse a Sessa que poderia pedir o que quisesse como recompensa. Então, ele pediu ao príncipe um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois grãos pela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim por diante, dobrando a quantidade em progressão geométrica, até chegar à última casa, na posição sessenta e quatro.

Inicialmente, o príncipe se sentiu ofendido, pois o pedido era muito simples e aparentemente humilde, mas ordenou aos tesoureiros para separarem o trigo mesmo assim. Porém, assim que eles calcularam, verificaram que era muito mais trigo que havia em todo o reino, ou mesmo em toda a Ásia. O príncipe foi informado e chamou Sessa, reconhecendo que não poderia pagar o preço. Ele elogiou o


matemático, pois a engenhosidade do pedido o deixou ainda mais maravilhado do que a própria invenção do jogo.

Suponha que você é o tesoureiro do príncipe, responsável por calcular a quantidade de trigo que Sessa pediu. Qual é essa quantidade?


A sequência dos grãos de trigo é uma PG, tal que o primeiro termo é a1 1= e a razão é q = 2 , ou seja, 1 2 4 8 16, , , , , ...( ) . Desse modo, podemos calcular a soma dos n = 64 termos com a fórmula da soma dos termos de uma PG finita:

Sa q

qSn

n

=−( )−

⇒ =−( )−( )

=−−

= − =1

60

64 6464

1

1

1 1 2

1 21 2

12 1 18 446 744 073 7709 551615

Portanto, a quantidade de grãos que Sessa pediu ao príncipe é de 18 446 744 073 709 551615 grãos, um gigantesco número de 20 algarismos. Lemos: dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil seiscentos e quinze.

Agora, que tal elaborar um plano de aula utilizando esse contexto? Sugira e responda a outras questões envolvendo conceitos de PG na resolução, por exemplo:

• Qual é o vigésimo termo dessa sequência, ou seja, a quantidade de trigo solicitada na casa do tabuleiro de xadrez de ordem 20?

• Qual é a soma dos vinte primeiros termos dessa sequência, ou seja, a quantidade total de trigo solicitada até a casa do tabuleiro de ordem 20?

Faça valer a pena

1. Considere sequência real do tipo progressão aritmética (PA) crescente de cinco termos ( )a( )a a a a( )a a a a( )a1 2( )1 2a a a1 2a a a( )a a a1 2a a a3 4( )3 4a a a3 4a a a( )a a a3 4a a a 5( )5, , ,( ), , ,a a a, , ,a a a( )a a a, , ,a a a1 2, , ,1 2( )1 2, , ,1 2a a a1 2a a a, , ,a a a1 2a a a( )a a a1 2a a a, , ,a a a1 2a a a3 4, , ,3 4( )3 4, , ,3 4a a a3 4a a a, , ,a a a3 4a a a( )a a a3 4a a a, , ,a a a3 4a a a ,( ), tal que o produto dos extremos, ou seja, do primeiro termo (a1 ) com o último termo (a5 ) é igual a 9 (a a1 5a a1 5a a 9⋅ =a a⋅ =a a1 5⋅ =1 5a a1 5a a⋅ =a a1 5a a ). Além disso, a soma dos outros três termos é igual a 15, isto é, a a a2 3a a a2 3a a a4 15a a a+ +a a aa a a2 3a a a+ +a a a2 3a a a = .Assinale a alternativa que contém a soma dos termos dessa sequência.a) 30. b) 28.


c) 25.d) 20.e) 40.

2. Considere a sequência real de três termos dada por ( )−( )−( )6 4( )( )64( )( ), ,( )( )6 4( ), ,( )6 4( ) . Note que essa sequência não é uma progressão aritmética nem geométrica. No entanto, ao adicionarmos a cada termo dessa sequência um determinado número inteiro a , obtemos os três primeiros termos de uma progressão geométrica de razão q . Assinale a alternativa que contém o termo geral dessa progressão geométrica.a) an

n= ⋅ −2 6= ⋅2 6= ⋅ 1 b) an

n= ⋅ −6 2= ⋅6 2= ⋅ 1

c) ann= ⋅2 6= ⋅2 6= ⋅

d) ann= −6 2

e) ann= ⋅6 2= ⋅6 2= ⋅

3. Certo vídeo foi publicado na internet. No primeiro dia, houve quatro visualizações do vídeo; no segundo dia, 20 visualizações; e no terceiro dia, 100 visualizações. Suponha que o número de visualizações continue crescendo, dia a dia, nesse mesmo ritmo.Assinale a alternativa que contém a quantidade total de visualizações do vídeo até o final do décimo segundo dia.a) 195 312 496 b) 48 828 125c) 4 194 303d) 244 140 624 e) 48 828 124



ReferênciasEVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. Domingues.

Campinas: Editora da Unicamp, 2004.

ROSA NETO, Eduardo Aparecido da; BALESTRI, Rodrigo Dias. Matemática: interação e

tecnologia. v. 1. São Paulo: Leya, 2013.

Unidade 4

Números complexos

Convite ao estudo

Como você faria se alguém lhe desafiasse a dividir um segmento de 10 unidades em duas partes, cujo produto é 40? O matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576) publicou esse problema, aparentemente simples, em seu famoso livro Ars magna. Ainda nesse livro, Cardano deduziu uma fórmula para resolver equações de terceiro grau do tipo x ax b3 0+ + = . Mais tarde, Rafael Bombelli (1526-1573), que era admirador de Cardano, utilizou essa fórmula para resolver a equação cúbica x x3 15 4 0− − =, chegando à solução x = 4 , que é verdadeira. No entanto, para chegar a essa solução, foi preciso resolver uma expressão envolvendo a raiz quadrada de um número negativo, −121 , que não faz sentido no conjunto dos números reais.

A questão que motivou Cardano, Bombelli e vários outros matemáticos foi: como um número real pode ser obtido como resultado de uma expressão que contém a raiz quadrada de números negativos? E para deixá-los ainda mais instigados, os trabalhos mostravam que era possível operar como esses números “imaginários”, o que fazia ainda menos sentido.

Inicialmente, por meio de uma abordagem histórica, você conhecerá um pouco a respeito da necessidade de construção desse “novo” conjunto numérico. Apresentada a definição formal na forma algébrica, vamos explorar suas representações geométricas no plano de Argand-Gauss, bem como diversas operações algébricas, propriedades, forma trigonométrica, forma polar, entre outras características. Em outras palavras, estudaremos, nesta unidade, a construção de um conjunto numérico.

Cabe ressaltar que, ao contrário das situações envolvendo medição indireta que aparecem nas unidades de trigonometria, ou dos contextos de aplicações financeiras que permeiam a unidade de função exponencial, função logarítmica e progressões, os números complexos não possuem aplicações assim tão imediatas ou simples, o que não minimiza a importância desse assunto. Os números complexos surgiram como uma das maiores contribuições ao desenvolvimento da Álgebra, e sem a presença deles hoje seria impossível imaginar o desenvolvimento de algumas áreas, como Engenharia, Aerodinâmica, Mecânica dos Fluidos, Física Quântica, Relatividade, entre outras.

E para deixar o estudo ainda mais interessante, suponha que você é docente de certa turma do ensino médio, em início de carreira. Para estimular o que os alunos aprendem, a coordenadora pedagógica sugeriu abordar as principais características dos números complexos por meio de três objetos virtuais interativos, utilizando o software GeoGebra, que é um programa de computador gratuito com recursos dinâmicos voltados para a aprendizagem de Matemática. Ele pode ser obtido em: <www.geogebra.org>. Acesso em: 9 jul. 2017.

As atividades devem ser elaboradas com o objetivo de explorar os conceitos estudados na respectiva seção da unidade. No primeiro objeto, relacionado ao conteúdo da seção A ideia de número complexo, o objetivo é construir uma representação manipulável do número complexo no plano de Argand-Gauss. No segundo objeto, relacionado ao conteúdo da seção Operações com números complexos, o desafio é explorar a interpretação geométrica das operações com esses números. Já o terceiro objeto, relacionado ao conteúdo da seção Forma trigonométrica ou forma polar de um número complexo, o objetivo, novamente, é a interpretação geométrica, dessa vez relacionada à ideia de rotação de um ponto no plano.

Vamos iniciar! Bom estudo!

U4 - Números complexos 185

Seção 4.1A ideia de número complexo

Nesta seção, iremos estudar um pouco a respeito do processo de construção de um “novo” conjunto numérico: os números complexos. Apresentada a definição de conjunto dos números complexos, vamos identificar as representações algébrica e geométrica, bem como associar um número complexo aos seus respectivos afixo e vetor no plano de Argand-Gauss.

Esse assunto, normalmente, é introduzido nos anos iniciais do ensino médio, na disciplina de Matemática. Você se recorda?

Esses conteúdos servem como base para o trabalho que será desenvolvido na unidade posteriormente, em que serão exploradas as operações usuais e as propriedades das operações, tais como comutativa, distributiva, entre outras.

Vamos voltar também à situação hipotética apresentada no convite ao estudo. Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio, em início de carreira. Para estimular o que os alunos aprendem, você deve produzir um objeto virtual interativo, com o objetivo de interpretar geometricamente um número complexo no plano de Argand-Gauss.

Você conseguiria descrever todas as etapas de elaboração desse objeto, com base nos conteúdos desta seção? Uma maneira de fazer isso é através de um plano de aula contendo o passo a passo da construção desse objeto, utilizando, sempre que possível, imagens obtidas por captura de tela do software GeoGebra.

Antes de definir o conceito de número complexo, vamos conhecer um pouco da história que levou ao surgimento desse novo número.

Diálogo aberto

Não pode faltar

U4 - Números complexos186

Contexto histórico: a descoberta de um novo número

Antigamente, para uma equação ter significado, ela precisava ter uma formulação baseada em um contexto real, isto é, em uma necessidade. Desse modo, se a solução dessa equação envolvesse um cálculo com raiz quadrada de um número negativo, o problema era abandonado e dizia-se simplesmente que não havia solução, ou que a solução era impossível.

Vamos considerar um problema desse tipo, publicado no capítulo 37, do livro Ars magna, de Girolamo Cardano (1501-1576):

Como dividir um segmento de 10 unidades em duas partes, cujo produto é 40?

Vamos indicar por x o comprimento de uma dessas partes, consequentemente, a outra será 10 − x .

Como o produto dessas partes é 40, o problema consiste em resolver a seguinte equação:

x x⋅ −( ) =10 40

Resolvendo essa equação por qualquer método, obtemos as soluções 5 15+ − e 5 15− − , em unidades de comprimento, ou seja, envolvem o cálculo com raiz quadrada de um número negativo. De fato, Cardano admite no livro que esse problema não tem solução, pois −15 não faz sentido no conjunto dos números reais, mas, logo em seguida, ele supõe que as operações usuais nesse conjunto sejam válidas para esse caso e adicionam os dois valores da solução da equação x x⋅ −( ) =10 40 :

5 15 5 15 5 5 10+ − + − − = + =

E ainda multiplica:

5 15 5 15 25 5 15 5 15 15 25 15 402

+ −( ) − −( ) = + − − − − −( ) = − −( ) =


Figura 4.1 | Segmento de 10 unidades divididas em duas partes


Mostrando que satisfazem a condição do problema.

Ainda nesse livro, Cardano publicou uma fórmula resolutiva para equações cúbicas do tipo x mx n3 0+ + = , em que m > 0 e n > 0 , conhecida por fórmula de Tartáglia-Cardano.

x n n m n n m= − +

+

+ − −

+

2 2 3 2 2 3

2 33

2 33

Pesquise mais

Ficou curioso sobre o nome de fórmula de Tartáglia-Cardano? Imaginou que Cardano foi o descobridor original dela? Saiba que há uma história interessante entre Cardano e o matemático Niccolo Tartaglia (c.1500-1557). Ela envolve conversas por cartas, juramentos e arrependimento. Pesquise mais!

Veja um trecho extraído do livro História da matemática, de Carl Benjamim Boyer:

Sugerimos também a leitura do capítulo 4, do livro intitulado História da matemática, da autora Tatiane Roque.

ROQUE, Tatiane. História da matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2012. Disponível em: <https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788537809099/cfi/6/24!/4/462/2@0:0>. Acesso em: 12 jul. 2017.

[...] Deve-se assinalar imediatamente, porém, que Cardano (ou Cardan) não foi o descobridor original da solução quer da cúbica quer da quártica. Ele próprio admitiu isso francamente em seu livro. A sugestão para resolver a cúbica, ele afirma, lhe tinha sido dada por Niccolo Tartaglia (c.1500-1557); a solução da quártica tinha sido descoberta primeiramente pelo antigo amanuense de Cardano, Ludovico Ferrari (1522-1565). O que Cardano deixou de mencionar na Ars magna foi o solene juramento que havia feito a Tartaglia de não revelar o segredo, pois esse último pretendia firmar sua reputação publicando a solução da cúbica como coroação de seu tratado sobre álgebra [...]. (BOYER, 1974, p. 206-7)


Rafael Bombelli (1526-1572) estudou profundamente o trabalho de Cardano, principalmente os casos que levam a raízes de números negativos. Podemos dizer que ele foi o primeiro a dar a devida importância e perceber que um novo tipo de número estava surgindo na Matemática. Admirador de Cardano, Bombelli utilizou a fórmula deste para resolver a equação x x3 15 4 0− − = , mesmo contrariando as condições iniciais para o uso da fórmula, pois m = − <15 0 en = − <4 9 (BOYER, 1974).

Vejamos:

x = −−

+

+

−

+ −

−−

+

−

=

42

42

153

42

42

153

2 33

2 33

22 121 2 1213 3+ − + − −

Note que o valor de x envolve o cálculo de −121 , que não está definido no conjunto dos números reais. No entanto, Bombelli supôs mesmo assim, no que ele chamou de “ideia louca”, que as propriedades operatórias usuais são válidas, e considerou ainda que os dois membros obtidos anteriormente poderiam ser escritos na forma a b+ e a b− . Ele efetuou os cálculos e obteve a = 2 e b = 1.

Com isso, as duas partes com −121 se anulariam:

x = + − + − −

= + − + − −

=

2 121 2 121

2 1 2 14

3 3

Portanto, ele obteve x = 4 como uma solução da equação, que pode ser facilmente verificado:

x x3 315 4 4 15 4 4 0− − = − ⋅ − =

Esse fato evidenciou o que Bombelli desconfiava: realmente, existe uma solução para uma equação envolvendo o cálculo da raiz quadrada de um número negativo em um dos membros, desde que fossem válidas as propriedades operatórias das operações, tais como comutativa, distributiva, entre outras.

Inspirados por esse trabalho, vários outros matemáticos dedicaram-se ao estudo das raízes quadradas de números negativos, pois ainda havia muito a se investigar sobre esse novo conjunto que surgia.


Para simplificar a notação, em algum momento foi definido que o número i é a unidade imaginária, tal que i = −1 . Portanto, a expressão 3 4+ − , por exemplo, passou a ser escrita por:

3 4 1 3 2 1 2 4+ ⋅ −( ) = + − = + i

Mais adiante veremos que essa forma é a representação algébrica de um número complexo.

O conjunto dos números complexos

Como dito anteriormente, os conjuntos numéricos que os matemáticos consideravam eram apenas o conjunto dos números naturais:

= { }0 1 2 3 4 5 6, , , , , , , ..., , ...n

Para que a operação de subtração fizesse sentido, estenderam e obtiveram o conjunto dos números inteiros:

= − − − −{ }..., , ..., , , , , , , , ..., , ...n n3 2 1 0 1 2 3

Para que a operação de divisão também fizesse sentido, estenderam e obtiveram o conjunto dos números racionais:

= ∈ ∈ ↑

ab

a b b, , com e 0≠

Nesse conjunto, a equação x2 2= , por exemplo, não fazia sentido, pois as soluções x = 2 e x = − 2 não pertencem ao conjunto , então criaram o conjunto dos números irracionais, indicados por I . Finalmente, da união dos racionais com os irracionais surgiu o conjunto dos números reais:

= ∪ I Desse forma, podemos representar as relações ⊂ ⊂ ⊂ e

I ⊂ no seguinte diagrama de Venn:

Reflita

Naquela época, o estudo com situações envolvendo o cálculo com raízes quadradas de números negativos parecia não ter significado prático, ou seja, situações impossíveis de se resolver na prática. Isso nos leva a refletir sobre o uso da palavra “imaginário” e “complexo” para descrever esse tipo de número, em sentido pejorativo.




Figura 4.2 | Diagrama de Venn representando o conjunto dos números reais

Figura 4.3 | Diagrama de Venn representando o conjunto dos números complexos

Como explicado anteriormente, foi preciso, novamente, estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto, chamado conjunto dos números complexos ( ), que também podem ser somados, multiplicados e extraídos da raiz quadrada de um número negativo.

Representação algébrica: parte real e parte imaginária

Ao longo do tempo, os números complexos foram definidos de diversas formas. A mais comum é chamada de forma algébrica, ou forma binomial de um número complexo.


Note que, nessa representação, o número tem duas partes, chamadas de parte real de z e parte imaginária de z , indicadas por Re z x( ) = e Im z y( ) = , respectivamente:

Veja outros exemplos:

• z i= +3 2 , tal que Re z( ) = 3 e Im z( ) = 2 .

• z i= − +5 3 , tal que Re z( ) = −5 e Im z( ) = 3 .

• z = 8 , tal que Re z( ) = 8 e Im z( ) = 0 .

• z i=23

, tal que Re z( ) = 0 e Im z( ) = 23 .

• z i= +3 2 , tal que Re z( ) = 3 e Im z( ) = 2 .

Por definição, quando a parte imaginária de um número complexo é nula, ou seja, Im z( ) = 0 , dizemos que o número é real. Por outro lado, quando a parte real de um número complexo é nula, isto é, Re z( ) = 0 , e a parte imaginária é diferente de zero, dizemos que o número é imaginário puro. Identifique esses casos nos exemplos anteriores.

Representação geométrica: afixo, imagem geométrica ou vetor

Outra maneira de representar um número complexo z é por meio de um par ordenado de números reais.

A associação dos números complexos a pontos no plano cartesiano, de tal maneira que a parte real e imaginária correspondam

Assimile

Forma algébrica

Todo número complexo z pode ser escrito na forma algébrica, de maneira única:

z x yi= +

Onde x e y são números reais e i é a unidade imaginária, isto é,

i = −1 ou i 2 1= .

Parte real de z: Re(z) Parte imaginária de z: Im(z)

z x yi= +


à distância horizontal e vertical dos eixos cartesianos, respectivamente, é atribuída a três matemáticos: Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855). No entanto, o trabalho de Wessel demorou quase cem anos para ser reconhecido, por isso o plano cartesiano em que esses números são representados é conhecido até hoje apenas como plano de Argand-Gauss, ou simplesmente plano complexo (EVES, 2004).

Sobre a representação do número complexo em um plano cartesiano:

[...] fez com que os matemáticos se sentissem muito mais à vontade com os números imaginários, pois esses números podiam agora ser efetivamente visualizados, no sentido de que a cada número complexo corresponde um único ponto do plano e vice-versa. Ver é crer, e ideias anteriores sobre a não existência e o caráter fictício dos números imaginários foram geralmente abandonadas. (EVES, 2004, p. 524)

Assimile

Cada número complexo z x yi= + pode ser associado a um par ordenado z x y= ( ), , com x e y reais. O eixo x é chamado eixo real (Re) e o eixo y , eixo imaginário (Im).

O ponto P é chamado afixo ou imagem geométrica do número complexo z .


Figura 4.4 | Representação geométrica de um número complexo z x yi= +z x= +z x


Como esse par ordenado representa um ponto no plano complexo, a cada ponto P x y,( ) do plano podemos associar um único número complexo z x yi= + , e vice-versa.

Exemplificando

Veja como podemos representar, em um plano de Argand-Gauss, os pontos (afixos) associados a alguns números complexos na forma algébrica.

Número complexoz x yi= +

Afixo P x y,( )

z i1 3 4= + P1 3 4,( )

z i2 2 2= − + P2 2 2−( ),

z i3 4 2= − + − P3 4 2− −( ),

z i4 4 5= − P4 4 5, −( )

z5 6= P5 6 0,( )

z i6 5= P6 0 5,( )


Figura 4.5 | Pontos no plano de Argand-Gauss


Reflita

Sobre qual eixo estão localizados todos os números imaginários puros? E todos os números reais?

O número complexo z x yi= + também pode ser representado por um vetor com uma extremidade na origem 0 0,( ) , e outra no ponto de coordenadas x y,( ) .

Após o estudo inicial dos números complexos, vamos retomar a situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Vamos relembrar! Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio, em início de carreira. Para estimular que os alunos aprendam, você deve produzir um objeto virtual interativo, com o objetivo de interpretar geometricamente um número complexo no plano de Argand-Gauss. Descreva, em detalhes, as etapas de elaboração desse objeto, com base nos conteúdos desta seção.

No GeoGebra, um número complexo é definido por meio da representação algébrica z x yi= + e pode ser representado na janela de visualização do programa se considerarmos que y é o eixo imaginário e x é o eixo real. Isso acontece porque os números complexos são tratados como números "normais" na maioria


Figura 4.6 | Representação do vetor associado ao número complexo z x yi= +z x= +z x

Sem medo de errar


das vezes e, além disso, as funções pré-definidas trabalham com argumentos de complexos, por exemplo, bastaria entrar com o comando cos 5 2+( )i que o programa reconhecerá. Por outro lado, na atual versão do programa, ainda não é possível representar funções com esses números.

Para indicar o afixo correspondente ao ponto z i= +3 4 , basta digitar no campo Entrada a expressão 3 4+ i e pressionar Enter. Para auxiliar na visualização desse número, podemos utilizar um vetor que parte da origem 0 0+ i e tem extremidade em 3 4+ i . Para isso, primeiro, definimos o ponto na origem digitando 0 0+ i e, depois, criamos o vetor usando a ferramenta Vetor . Inicialmente, clicamos na origem e, em seguida, na extremidade. Também é interessante incluir, na janela de visualização, dois campos de Texto para exibição, um para a parte real e outro para a parte imaginária do número complexo. Agora, com a ferramenta Mover selecionada, é possível manipular o ponto sobre o plano, ao mesmo tempo em que são exibidos os valores da parte real e imaginária do número complexo.

Durante a construção, é importante utilizar várias imagens obtidas por captura da tela. Ao final, você deverá obter uma figura, como a exemplificada a seguir, na qual temos a representação do vetor correspondente ao número complexo z i= +3 4 .


Figura 4.7 | Imagem obtida por captura de tela na representação do vetor correspondente ao número complexo z iz i= +z i3 4z i3 4z iz i= +z i3 4z i= +z i pelo software GeoGebra


Que tal descrever com mais detalhes e utilizando várias imagens obtidas por captura de tela? O GeoGebra está disponível gratuitamente para download para computadores, tablets e celulares em: <https://www.geogebra.org/download>. Acesso em: 9 jun. 2017.

Também é possível realizar essa construção online, ou seja, sem a instalação do software no computador, em: <https://www.geogebra.org/apps/>. Acesso em: 22 abr. 2017.

Um pouco mais de história da Matemática


Suponha ainda que você é docente de certa turma do ensino médio. De fato, a Matemática ainda se apresenta um tanto isolada das demais disciplinas, restrita apenas a poucas explorações relacionadas à história da Matemática. Na maioria das vezes, recai-se ao isolamento, com suas teorias e definições apresentadas sem um apelo histórico do que levou à necessidade deste ou daquele resultado. Nessa perspectiva, com a história da Matemática, temos a oportunidade de levar o aluno a ver e entender essa disciplina, tornando-a mais agradável. Ela pode estar presente na sala de aula em vários contextos, uma vez que ela acompanha a história da humanidade, mas nem todo aluno tem iniciativa própria ou acesso a livros especializados. Cabe, então, ao professor, em formação continuada, participar de cursos, leituras e pesquisas para melhorar a preparação de sua aula. Diante desse contexto, que tal aproveitar a fascinante história do surgimento dos números complexos e elaborar um plano de aula sobre a história da Matemática?


Uma sugestão para uma abordagem por meio da história da Matemática é propor algumas questões para os alunos responderem, por exemplo:

1. Antigamente, uma equação precisava ter uma formulação baseada em um contexto real, isto é, em uma necessidade. Por mais simples que a situação parecesse, poderia recair em uma equação envolvendo um cálculo com raiz quadrada de um número negativo. Qual foi o problema



aparentemente simples que levou aos primeiros estudos sobre os números complexos? Onde e por quem ele foi publicado?

2. Qual é a equação quadrada associada ao problema da questão anterior? Explique como ele foi modelado.

3. Por que a fórmula resolutiva para equações cúbicas do tipo x mx n3 0+ + = , em que m > 0 e n > 0 , é conhecida por fórmula de Tartáglia-Cardano, embora tenha sido publicada apenas por Cardano?

4. Quem foi Rafael Bombelli (1526-1572) e qual foi a sua contribuição no desenvolvimento do estudo dos números complexos?

5. A quais matemáticos é atribuída a representação dos números complexos no plano complexo? Como esse plano complexo é conhecido?

6. Quem foi o responsável pela simplificação da notação da unidade imaginária i = −1 ou i 2 1= − ?

7. Qual foi a contribuição do matemático alemão Karl Friedrich Gauss no desenvolvimento dos números complexos?

A maioria das questões anteriores pode ser resolvida com base nos conteúdos desta seção; outras precisam ser pesquisadas. Veja a resposta da primeira delas.

1. O problema foi publicado no Capítulo 37, do livro Ars magna, de Girolamo Cardano (1501-1576), e tinha o seguinte enunciado: como dividir um segmento de 10 unidades em duas partes, cujo produto é 40?

Que tal, agora, elaborar um plano de aula para arquivar as respostas das demais questões? Nele você também poderá elaborar outras questões que julgar interessantes e sugerir alguns livros ou sites para os alunos pesquisarem.

Faça valer a pena

1. O número complexo z x yi= +z x= +z x também pode ser representado por um vetor com uma extremidade na origem ( )0 0( )0 0,( ),0 0,0 0( )0 0,0 0 , e outra no ponto de coordenadas ( )x y( )x yx y,x y( )x y,x y .


Considere os seguintes números complexos.I) z iz i= +z i2 6z i2 6z iz i= +z i2 6z i= +z i . II) z iz i= −z i5 5z i5 5z iz i= −z i5 5z i= −z i . III) z iz i= −z i5 4z i5 4z iz i+z i5 4z i+z i . IV) z iz i= +z i5 3z i5 3z iz i= +z i5 3z i= +z i . V) z iz i= −z i3 6z i3 6z iz i−z i3 6z i−z i .

E os vetores representados no plano complexo:

A)

B)


C)

D)

E)

Assinale a alternativa que associa corretamente o número complexo à sua respectiva representação vetorial, com a letra e o símbolo romano correspondente. a) A – I; B – II; C – III; D – IV; E – V.b) A – I; B – II; C – III; D – V; E – IV.c) A – III; B – I; C – II; D – IV; E – V.d) A – II; B – III; C – I; D – V; E – IV.e) A – III; B – II; C – I; D – IV; E – V.

2. Considere as equações do segundo grau:I) 2 18 022 122 12 1x2 1+ =2 1+ =2 18 0+ =8 0 . II) x x2x x2x x6 1x x6 1x x 3 0x x+ +x x6 1+ +6 1x x6 1x x+ +x x6 1x x 3 0=3 0 . III) x x2x x2x x8 1x x8 1x x 7 0x x− +x x8 1− +8 1x x8 1x x− +x x8 1x x 7 0=7 0 . IV) x x

2

45 0− +x− +x 5 0=5 0 .


E os seguintes afixos em um mesmo plano complexo:

Assinale a alternativa que associa corretamente as equações e os pontos das suas respectivas soluções no plano complexo, com o símbolo romano e os afixos correspondentes.a) I – P2P2P e P6P6P ; II – P3P3P e P5P5P ; III – P4P4P e P8P8P ; IV – P1P1P e P7P7P .b) I – P1P1P e P7P7P ; II – P3P3P e P5P5P ; III – P4P4P e P8P8P ; IV – P2P2P e P6P6P .c) I – P1P1P e P7P7P ; II – P4P4P e P8P8P ; III – P3P3P e P5P5P ; IV – P2P2P e P6P6P .d) I – P4P4P e P8P8P ; II – P1P1P e P7P7P ; III – P3P3P e P5P5P ; IV – P2P2P e P6P6P .e) I – P4P4P e P8P8P ; II – P1P1P e P7P7P ; III – P2P2P e P6P6P ; IV – P3P3P e P5P5P .

3. Por definição, quando a parte imaginária de um número complexo é nula, ou seja, Im ( )z( )z = 0 , dizemos que o número é real. Por outro lado, quando a parte real de um número complexo é nula, isto é, Re ( )z( )z = 0, e a parte imaginária é diferente de zero, dizemos que o número é imaginário puro. Assinale a alternativa que contém os valores de k , com k ∈ , para os quais o número complexo z k k iz k= −z k( )z k( )z k= −( )= −z k= −z k( )z k= −z k ( )k i( )k i( )2( )9 3( )9 3( ) + −9 3+ −( )9 3( )k i( )k i9 3k i( )k i+ −( )+ −9 3+ −( )+ −k i+ −k i( )k i+ −k i9 3k i+ −k i( )k i+ −k i é imaginário puro.a) k = 3 ou k = −3 .b) k = 3 .c) k = −3 .d) k = 9 .e) k = −9 .


Seção 4.2Operações com números complexos

Na seção anterior, estudamos um pouco a respeito do processo de construção de um “novo” conjunto numérico: os números complexos. Apresentada a definição formal e as representações algébrica e geométrica, agora estudaremos as operações elementares nesse conjunto: adição, subtração, multiplicação e divisão. Abordaremos ainda algumas propriedades operatórias conhecidas até então apenas no conjunto dos números reais. As operações de adição e subtração também serão exploradas na forma geométrica.

E falando em representação geométrica, vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio, em início de carreira. Para estimular que os alunos aprendam, você deve produzir um objeto virtual interativo, com o objetivo de interpretar, geometricamente, as operações de adição e subtração com números complexos no plano de Argand-Gauss.

Você conseguiria descrever todas as etapas de elaboração desse objeto com base nos conteúdos dessa seção? Uma maneira de fazer isso é através de um plano de aula contendo o passo a passo da construção desse objeto, utilizando, sempre que possível, imagens obtidas por captura de tela do software GeoGebra.

Antes de apresentar as operações, vamos definir a igualdade de dois números complexos. Para simplificar a notação, usaremos outras letras no lugar de x e y para representar a forma algébrica de um número complexo z x yi= + .

Igualdade de dois números complexos

Diálogo aberto

Não pode faltar


Assimile

Dados dois números complexos z a bi1 = + e z c di2 = + , eles são iguais se, e somente se, suas partes reais e suas partes imaginárias são, respectivamente, iguais, ou seja:

a bi c di a c b dz z+ = + ⇔ = =

1 2

{ { e

Por exemplo:

• z i1 4 2= − é igual a z i2164

4= − , pois:

Re Rez z1 24 164

( ) = = = ( ) e Im Imz z1 22 4( ) = − = − = ( )

• z i1 3= − não é igual a z i2 3= + , pois:

Re Rez z1 23( ) = = ( ) , mas Im Imz z1 21 1( ) = − ≠ = ( )

Operações elementares com números complexos

Usando a forma algébrica dos números complexos, as operações de adição, subtração e multiplicação são intuitivas e ocorrem da mesma maneira que fazemos com expressões algébricas. É como se considerássemos i sendo uma variável qualquer, assim como x ou y . Por exemplo, na multiplicação, basta aplicar a propriedade distributiva já conhecida na multiplicação de binômios. No entanto, é preciso lembrar que i 2 é um número real que vale −1.

Veja alguns exemplos:

• 1 2 3 1 2 1 3 3 4+( ) + +( ) = +( ) + +( ) = +i i i i

• 5 2 3 4 5 3 2 4 8 2−( ) + +( ) = +( ) + −( ) + = +i i i i

Reflita

Dados dois números complexos, além de afirmar se eles são iguais ou diferentes, podemos realizar a adição, subtração, multiplicação e divisão entre eles. No entanto, não podemos verificar se um é maior que o outro, ou seja, estabelecer uma relação de ordem entre eles. Em sua opinião, porque isso não é possível? Reflita!


• 7 1 0 1 7 1 1 6i i i i+ −( ) = +( ) + + −( ) = +

• 3 2 5 4 3 5 2 4 2 2+( ) − +( ) = −( ) + −( ) = − −i i i i

• 8 3 2 5 8 2 3 5 6 8−( ) − +( ) = −( ) + −( ) − = −i i i i

• 6 2 6 2 0 1 4− +( ) = −( ) + −( ) = −i i i

• 1 2 2 1 2 1 2 2 2+( ) +( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =i i i i i i

= + + + = + − =−

2 4 2 2 5 2 52

1i i i i i{

• 3 4 5 7 3 5 3 7 4 5 4 7−( ) +( ) = ⋅ + ⋅ + −( ) ⋅ + −( ) ⋅ =i i i i i i

= + − − =

−

15 21 20 28 2

1i i i{

= + + = +15 28 43i i

Pesquise mais

Você deve se recordar de uma questão da seção anterior que deixou os antigos matemáticos instigados na construção do “novo” conjunto numérico: como entender algebricamente uma soma a bi+ , considerando que as parcelas a e bi são de espécies diferentes? Era como somar laranjas e maçãs atualmente.

Quem tomou a si essa difícil tarefa foi Wiliam Rowan Hamilton (1805-1865).

[...] Foi num artigo de 1833, apresentado à Academia Irlandesa, que Hamilton introduziu a álgebra formal dos números complexos. Estes, segundo sua ideia básica, passavam a ser encarados como pares ordenados a b,( ) de números reais, com os quais se operava segundo as leis

a b c d a c b d, , ,( ) + ( ) = + +( )

a b c d ac bd ad bc, , ,( ) ⋅ ( ) = − +( )

Nessa ordem de ideias, um par a,0( ) equivale ao número real a ; em particular −( ) = −1 0 1, . Assim, fazendo i = −( )0 1, , i 2 0 1 0 1 1 0 1= −( ) ⋅ −( ) = −( ) = −, , , . Finalmente obtinha-se uma explicação lógica para o símbolo −1 .Mas o que Hamilton tinha em vista quando colheu esses resultados era algo mais pretensioso [...]. (IEZZI et al., 1993, p. 53)


Mesmo não sendo necessário decorar regras, vamos formalizar as três operações exemplificadas, destacando também os elementos oposto e neutro em .

Assimile

Considere dois números complexos z a bi1 = + e z c di2 = + .

Para realizar a adição, adicionamos, separadamente, as partes reais e as partes imaginárias, ou seja:

a bi c di a c b d iz z

+( ) + +( ) = +( ) + +( )1 2

124 34 124 34

O elemento 0 0 0+ =i é chamado elemento neutro para a adição, que somado a qualquer complexo z dá como resultado o próprio z .

Para cada número complexo há um elemento oposto complexo, tal que a soma deles é zero, ou seja:

a bi a bi a a b bz

z

+( ) + − −( ) = −( ) + −( )1

1

124 34 1 24 34elemento

oposto de

ii i= +0 0

Para realizar a subtração, subtraímos, separadamente, as partes reais e as partes imaginárias, ou seja:

a bi c di a c b d iz z

+( ) − +( ) = −( ) + −( )1 2

124 34 124 34

Para realizar a multiplicação, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação e fazemos i 2 1= − , ou seja:

a bi c di ac ad i bc i bd i ac bd adz z

+( ) ⋅ +( ) = + + + = −( ) + +−

1 2

2

1124 34 124 34 { bbc i( )

O elemento 1 0 1+ =i é chamado elemento neutro para a multiplicação, o qual, multiplicado por qualquer complexo z , dá como resultado o próprio z .


Conjugado de um número complexo

Entre as operações elementares, falta definir a divisão entre números complexos. Antes, porém, precisamos da propriedade do inverso multiplicativo de um número complexo, ou seja, um número 1z

tal que 1 1 1z

z zz

⋅ = ⋅ = , com z 0≠ . Mas qual o significado de 1z ?

Para responder a essa pergunta, precisamos definir o conjugado de um número na forma z a bi= + , que nada mais é do que o número na forma z a bi= − , isto é, invertemos o sinal da parte imaginária.

Por exemplo:

• Se z i= − +1 2 , então z i= − −1 2 .

• Se z i= −3 7 , então z i= +3 7 .

• Se z = 4 , então z = 4 .

• Se z i= 5 , então z i= −5 .

Uma característica interessante envolvendo um número complexo e seu conjugado é que o produto entre z e z é igual a um número real não negativo, dado pela soma dos quadrados da parte real e imaginária de z . Vejamos:

z z a bi a bi a abi abi b i a b⋅ = +( ) −( ) = − + − = +−

2 2 2 2 2

1{

Você deve se lembrar do problema que Cardano propôs em seu livro, apresentado na seção anterior: como dividir um segmento de 10

Reflita

Represente, em um plano de Argand-Gauss, os afixos de um número complexo e de seu oposto. O que você percebeu sobre a posição deles em relação à origem?

Reflita

Agora, represente, em um plano de Argand-Gauss, os afixos de um número complexo e de seu conjugado. O que você percebeu sobre a posição deles em relação ao eixo y ? Em quais casos temos z z= ?


unidades em duas partes, cujo produto é 40? Cardano obteve como resposta os números complexos 5 15+ − e 5 15− − , em que um é conjugado do outro.

Usando a propriedade anterior, é fácil verificar que o produto desses números é de fato 40, pois é igual ao quadrado da parte real mais o quadrado da parte imaginária do primeiro número:

5 15 5 15 5 15 25 15 402 2+ −( ) − −( ) = + ( ) = + =

Divisão com números complexos

Usando essa propriedade, agora podemos “transformar” a divisão de dois números complexos em uma multiplicação de números complexos divididos por um número real.


• 3 42

3 4 22 2

6 3 8 44

10 55

2

2

1

1

++

=+( ) −( )+( ) −( )

=− + −

−=

+−

−

ii

i ii i

i i ii

i}

{== + = +

105

55

2i i

• 2 62 4

2 6 2 42 4 2 4

4 8 12 244 16

2

2

1

1

+−

=+( ) +( )−( ) +( )

=+ − +

−

−

−

ii

i ii i

i i ii

}

{{=− +

= − + = − +20 20

202020

2020

1i i i

Perceba que, nas operações com multiplicação e divisão com números complexos, utilizamos a igualdade i 2 1= − .

Vamos deduzir uma propriedade interessante que pode nos ajudar a calcular qualquer potência i n , com n∈ . Faremos isso de maneira recursiva, até o expoente 12:

• i 0 1=

• i i1 =

Assimile

Dados dois números complexos z a bi1 = + e z c di2 = + , com

z2 0≠ , para realizar a divisão entre z1 e z2 , multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, ou seja:

zz

z zz z

1

2

1 2

2 2=

⋅⋅


• i 2 1= −

• i i i i i3 2 1= ⋅ = −( ) ⋅ = −

• i i i4 2 2 1 1 1= ⋅ = −( ) ⋅ −( ) =

• i i i i i5 4 1= ⋅ = ⋅ =

• i i i6 4 2 1 1 1= ⋅ = ⋅ −( ) = −

• i i i i i7 4 3 1= ⋅ = ⋅ −( ) = −

• i i i8 4 4 1 1 1= ⋅ = ⋅ =

• i i i i i9 8 1 1= ⋅ = ⋅ =

• i i i10 8 2 1 1 1= ⋅ = ⋅ −( ) = −

• i i i i i11 8 3 1= ⋅ = ⋅ −( ) = −

• i i i12 8 4 1 1 1= ⋅ = ⋅ =

Perceba que os valores de i n se repetem a cada ciclo de quatro expoentes, isto é:

• i i i i0 4 8 12 1= = = =

• i i i i1 5 9= = =

• i i i2 6 10 1= = = −

• i i i i3 7 11= = = −

Portanto, sem efetuar cálculos, sabemos que os próximos são i i13 = , i14 1= − e i i15 = − .

Mas como você faria para calcular para um expoente qualquer, por exemplo, i 62 ? Uma maneira é dividir o expoente por 4 e, se o resto for:

• 0, o valor é 1.

• 1, o valor é i .

• 2, o valor é −1.

• 3, o valor é −i

Efetue a divisão e calcule i 62 .


Exemplificando

Ao contrário do que você pode ter imaginado, a propriedade para i n não é muito útil para calcular a potência de um número complexo na forma algébrica.

Nesse momento, para realizar um cálculo desse tipo, ainda devemos realizar uma multiplicação de fatores iguais. Por exemplo, para calcularmos z3 , com z i= +2 3 , efetuamos:

z z z zi i i

i i i i

i

3

2

2 3 2 3 2 3

4 6 6 9 2 3

5 12

= ⋅ ⋅ =

= +( ) +( ) +( ) == + + +( ) +( ) == − +( )) +( ) == − − + + == − +

2 3

10 15 24 3646 9

2

i

i i ii

Na próxima seção, veremos uma maneira mais prática de calcular potenciação de números complexos, dessa vez representando o número complexo na forma trigonométrica. Ela é chamada de primeira fórmula De Moivre.

Após o estudo inicial das operações fundamentais com números complexos, vamos retomar a situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Vamos relembrar! Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio, em início de carreira. Para estimular o que os alunos aprendem, você deve produzir um objeto virtual interativo, com o objetivo de interpretar geometricamente as operações de adição e subtração com números complexos no plano de Argand-Gauss. Descreva, em detalhes, as etapas de elaboração desse objeto, com base nos conteúdos desta seção.

Assim como explicado na seção anterior, represente dois números complexos por vetores no plano de Argand-Gauss, digamos z i1 2 4= − + e z i2 6= + . Depois, faça a translação do vetor z1 , fazendo com que a origem dele coincida com a extremidade de z2 . Para isso, com a

Sem medo de errar


Note que, se ao invés de transladar o vetor z1 , tivéssemos transladado o vetor z2 , seguindo o mesmo procedimento, o resultado seria o mesmo. Desse modo, os quatro vetores formam, no plano

ferramenta Vetor a partir de um ponto selecionada, clique em z1 e, depois, na extremidade de z2 , não nessa ordem necessariamente.

Desse modo, a solução geométrica de z z i1 2 4 5+ = + é dada pelo vetor que tem como origem o ponto 0 0,( ) e extremidade igual à do vetor z1 transladado.

Durante a construção, é importante utilizar várias imagens obtidas por captura da tela. Também é interessante incluir na janela de visualização dois campos de Texto para a exibição dos vetores z1 , z2 e z z1 2+ na forma algébrica.

Ao final, você deverá obter uma figura, como a exemplificada a seguir, na qual os vetores

u ,

v ,

b ,

w e

c representam o número

complexo z1 , o número complexo z2 , a translação de z1 , a translação de z2 e o número complexo z z1 2+ , respectivamente.


Figura 4.8 | Imagem obtida por captura de tela na representação dos vetores correspondentes aos números complexos z i1z i1z i2 4z i2 4z iz i= −z iz i2 4z i+z i2 4z i , z i2z i2z i6z i6z iz i= +z iz i6z i= +z i6z i e z z i1 2z z1 2z z 4 5+ =z z+ =z z1 2+ =1 2z z1 2z z+ =z z1 2z z 4 5+4 5 pelo software GeoGebra


complexo, um paralelogramo, e é por isso que esse procedimento é conhecido por Regra do paralelogramo.

Agora, com a ferramenta Mover selecionada, é possível manipular z1 e z2 e verificar que a ideia da construção para z z1 2+ é mantida para quaisquer números complexos z1 e z2 . Já para o caso da subtração, basta lembrar que z z z z1 2 1 2− = + −( ) e proceder de maneira semelhante, dessa vez, ao invés de z2 , devemos representar seu oposto −z2 .

Que tal descrever com mais detalhes e utilizando várias imagens obtidas por captura de tela? O GeoGebra está disponível gratuitamente para download no endereço <https://www.geogebra.org/download> (Acesso em: 9 jun. 2017). Também é possível realizar essa construção online, ou seja, sem a instalação do software no computador, em: <https://www.geogebra.org/apps/>. Acesso em: 9 jun. 2017.

Algumas propriedades dos números complexos


Suponha que você é docente de certa turma do ensino médio, a qual está estudando os números complexos, especificamente as propriedades operatórias da adição, da multiplicação e do conjugado desses números. Considere que, em uma das aulas, você propôs aos alunos que demonstrassem a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, mas muitos deles demonstraram dificuldade. De modo geral, eles se confundem nas etapas em que é preciso remanejar termos para chegar à expressão final.

Que tal elaborar um plano de aula, com o objetivo de proporcionar uma apreensão significativa das demonstrações matemáticas, envolvendo as propriedades operatórias dos números complexos?


Ao definir as operações de adição e multiplicação com números complexos, é possível verificar algumas propriedades que facilitam cálculos envolvendo esses números.



Vamos listar algumas delas, que são válidas para todo z1 , z2 e z3

em :

1. Associativa da adição: z z z z z z1 2 3 1 2 3+( ) + = + +( ) .2. Associativa da multiplicação: z z z z z z1 2 3 1 2 3⋅( ) ⋅ = ⋅ ⋅( ) .3. Comutativa da adição: z z z z1 2 2 1+ = + .

4. Comutativa da multiplicação: z z z z1 2 2 1⋅ = ⋅ .

5. Distributiva da multiplicação em relação à adição: z z z z z z z1 2 3 1 2 1 3⋅ +( ) = ⋅ + ⋅

6. Propriedades do conjugado:

a. z z z+ = ⋅ ( )2 Re

b. z z z i− = ⋅ ( ) ⋅2 Im

c. z z z= ⇔ ∈

d. z z z z1 2 1 2+ = +

e. z z z z1 2 1 2⋅ = ⋅

Para demonstrar a propriedade (5), proposta na descrição da situação-problema, vamos utilizar, de maneira recursiva, a definição de multiplicação a bi c di ac bd ad bc i

z z

+( ) ⋅ +( ) = −( ) + +( )1 2

124 34 124 34. Vejamos:

z z z a bi c di e fi

a bi ce df cf de i

1 2 3⋅ +( ) = +( ) +( ) + +( ) =

= +( ) −( ) + +( ) =

= −( ) − +( ) + +( ) + −( ) =

= − −

a ce df b cf de a cf de b ce df i

ace adf bccf bde acf ade bce bdf i

ac bd e ad bc f ac bd f ad

− + + + −( ) =

= −( ) − +( ) + −( ) + + bbc e i

ac bd ad bc i e fi

z z z z

( ) =

= −( ) + +( ) +( ) == ⋅ + ⋅1 2 1 3

Agora, elabore um plano de aula para arquivar a demonstração dessa e das demais propriedades.

Se julgar conveniente, ao invés de utilizar a forma algébrica

z a bi= + , você pode representar o número complexo por um par ordenado de números reais a b,( ) , como foi sugerido por Hamilton na seção Pesquise mais desta unidade.


Faça valer a pena

1. Dados dois números complexos z a bi1z a1z a= +z a= +z a e z c di2z c2z c= +z c= +z c , com z2z2z 0≠ , para realizar a divisão entre z1z1z e z2z2z , devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, ou seja:

zz

z zz z

1z1z

2z2z1 2z z1 2z z

2 2z z2 2z z=

z z⋅z zz z⋅z z

Com base nisso, assinale a alternativa que contém o valor de a para que o

resultado da divisão − +3 2− +3 2− + ia i−a i−

seja real.

a) 23

b) 32

c) 1

d) 12

e) 13

2. Sabemos que, para realizar uma divisão com números complexos, devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Então, considere um número complexo na forma algébrica z a bi= +z a= +z a . Considere ainda que z 0≠ , assim seu conjugado z também é diferente de zero.Assinale a alternativa que contém o inverso multiplicativo de z , que pode

ser indicado por z−1 ou

1z

, tal que zz⋅ =⋅ =1 1.

a) z

a b2 2a b2 2a ba b+a ba b2 2a b+a b2 2a b

b) z

a b

2

2 2a b2 2a ba b+a ba b2 2a b+a b2 2a b

c) z

( )a b( )a ba b+a b( )a b+a b 2

d) z

a ba b+a b

e) z

a b2 2a b2 2a ba b+a ba b2 2a b+a b2 2a b

3. Uma equação quadrática ax bx c2 0+ +bx+ +bx = tal que ∆ = b a− <b a− <2b a2b a4 0− <4 0− <b a4 0b a− <b a− <4 0− <b a− <c4 0c− <c− <4 0− <c− <


só admite solução no conjunto dos números complexos , pois nele consideramos i = −= −1 . Nesse caso, a solução é dada por um par de números complexos conjugados.Assinale a alternativa que contém o par de números complexos conjugados que são soluções da equação quadrática x x2x x2x x4 5x x4 5x x 0x x+ +x x4 5+ +4 5x x4 5x x+ +x x4 5x x = .a) 2 + i e 2 − i . b) − +2− +2− + i e 2 − i . c) − +1 2− +1 2− + i e − −1 2− −1 2− − i . d) − +2− +2− + i e − −2− −2− − i . e) 2 + i e − −2− −2− − i .



Seção 4.3Forma trigonométrica ou forma polar de um número complexo

Conforme estudamos nas seções anteriores, os números complexos podem ser representados de várias formas. Até agora vimos a forma algébrica z x yi= + e a forma geométrica, por meio de um par ordenado de números reais x y,( ) , que são as coordenadas cartesianas do ponto z . Foi Jean Robert Argand (1768-1822) e Karl Friedrich Gauss (1777-1855) que, de forma independente e em épocas distintas, tiveram a mesma ideia para a representação geométrica, e eles só usavam a notação x y,( ) . É por isso que o plano complexo é conhecido por plano de Argand-Gauss (BOYER, 1974).

Mas qual a vantagem em representar geometricamente um número complexo no plano? Veja um trecho extraído do livro Introdução à história da matemática, de Howard Eves:

Ainda respondendo à pergunta anterior, o conjunto dos números reais representa, em sua totalidade e geometricamente, uma reta, à qual podemos associar apenas dois parâmetros: um sentido e a distância dos pontos à origem. Já os números complexos, por sua vez, representam todo um plano. Nesse caso, a principal vantagem

Diálogo aberto

A simples ideia de considerar as partes real e imaginária de um número complexo como as coordenadas retangulares de um ponto do plano fez com que os matemáticos se sentissem muito mais à vontade com os números imaginários, pois esses números podiam agora ser efetivamente visualizados, no sentido de que a cada número complexo corresponde um único ponto do plano e vice-versa. Ver é crer, e ideias anteriores sobre a não existência e o caráter fictício dos números imaginários foram geralmente abandonadas. (EVES, 2004, p. 522-4)


Vamos considerar um número complexo z a bi= + , cuja representação geométrica é o ponto P a b,( ) no plano de Argand-Gauss. Consideramos ainda, um segmento OP , tal que O é a origem do plano. Desse modo, podemos calcular o comprimento de OP e o ângulo formado entre ele e o eixo real, no sentido anti-horário.

Em linguagem vetorial, o comprimento do segmento OP é chamado de módulo do número complexo z , o qual indicamos por z . Já o ângulo α , tal que 0 2≤ <α π , é chamado de argumento de z , o qual indicamos por arg z( ) .

Não pode faltar

é que, no plano de Argand-Gauss, podemos associar a cada número complexo um segmento, ao qual podemos determinar o comprimento e o ângulo formado com o eixo das abscissas. Nesta seção, veremos que esses parâmetros, que são as coordenadas polares do ponto z, permitem representam um número complexo na forma trigonométrica ou forma polar.

E falando em comprimento e ângulo de um segmento, vamos voltar também à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio, em início de carreira. Para estimular que os alunos aprendam, você deve produzir um objeto virtual interativo, com o objetivo de explorar novamente a interpretação geométrica, dessa vez relacionada à ideia de rotação de um ponto no plano de Argand-Gauss.

Você conseguiria descrever todas as etapas de elaboração desse objeto, com base nos conteúdos desta seção? Uma maneira de fazer isso é através de um plano de aula contendo o passo a passo da construção desse objeto, utilizando, sempre que possível, imagens obtidos por captura de tela do software GeoGebra.


Para o comprimento, vamos adotar que a unidade de medida é a mais intuitiva, ou seja, que a unidade que separa dois números inteiros consecutivos de cada eixo.

Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos calcular o comprimento de OP :

OP a b z a b( ) = + ⇒ = +2 2 2 2 2


• z i= +3 4

z = + = =3 4 25 52 2

O segmento OP mede 5 unidades.



Figura 4.9 | Módulo e argumento de um número complexo z trigonométrico

Figura 4.10 | Módulo de z iz i= +z i3 4z i3 4z iz i= +z i3 4z i= +z i


• z i= − −5 3

z = −( ) + −( ) =5 3 342 2

O segmento OP mede 34 unidades.

Ainda em relação ao módulo de um número complexo, temos algumas propriedades:

• z z z⋅ =

2

• z z=

• z z z z1 2 1 2⋅ = ⋅

• zz

zz

1

2

1

2= , com z2 0≠

A demonstração de cada uma delas fica como exercício.

Forma trigonométrica ou forma polar de um número complexo

Agora, vamos relacionar o módulo de z com o ângulo formado entre OP e o eixo real, no sentido anti-horário, ou seja, o argumento de z .


Figura 4.11 | Módulo de z iz i= −z i5 3z i5 3z iz i−z i5 3z i−z i


Já estudamos, na Unidade 1 deste livro, que:

cos cosα α= ⇒ = ⋅az

a z

sen cosα α= ⇒ = ⋅bz

b z sen cosα α= ⇒ = ⋅bz

b z

Substituindo esses valores na forma algébrica z a bi= + , temos:

z a bi z z i z i= + = ⋅ + ⋅ ⋅ = +( )cos sen cos senα α α α

Portanto:

z z i= +( )cos senα α

Essa representação é chamada de forma trigonométrica, ou forma polar do número complexo z .

Multiplicação, divisão e potenciação de números complexos na forma trigonométrica

Vamos estudar algumas operações com números complexos na forma trigonométrica. Antes, porém, vamos relembrar duas fórmulas de transformação estudadas na Unidade 2:

Seno da soma e da diferença:

sen sen cos sen cosa b a b b a+( ) = ⋅ + ⋅ (I)


Figura 4.12 | Triângulo retângulo obtido pelo ponto P a( )P a( )P a b( )b,( ),


sen sen cos sen cosa b a b b a−( ) = ⋅ − ⋅ (II)

Cosseno da soma e da diferença:

cos cos cos sen sena b a b a b+( ) = ⋅ − ⋅ (III)

cos cos cos sen sena b a b a b−( ) = ⋅ + ⋅ (IV)

Agora, considere os números complexos z1 e z2 :z z i1 1 1 1= +( )cos senα α

z z i2 2 2 2= +( )cos senα α

O produto z z1 2⋅ é dado por:

z z z i z i

z z i1 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 2

⋅ = +( ) ⋅ +( )= +

cos sen cos sen

cos cos co

α α α α

α α ss sen sen cos sen sen

cos cos sen s

α α α α α α

α α α

1 2 1 22

1 2

1 2 1 2 1

+ +( )= −

i i

z z een cos sen sen cosα α α α α2 1 2 1 2+ +( ) i

Fazendo a substiutição das fórmulas de transformação (I) e (III), fica:

z z z z i1 2 1 2 1 2 1 2⋅ = +( ) + +( ) cos senα α α α

Portanto, o produto de dois números complexos z1 e z2 escritos na forma trigonométrica é o número complexo z z1 2⋅ , cujo módulo é igual ao produto dos módulos dos fatores e cujo argumento é igual à soma dos argumentos dos fatores, reduzida à primeira volta, isto é, 0 21≤ <α π e 0 22≤ <α π . Em outras palavras, basta multiplicar os módulos e somar seus argumentos.

De maneira recursiva, podemos generalizar para n números complexos:

z z z z z z z z in n n1 2 3 1 2 3 1 2 3 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + + +( ) + +... ... cos ... senα α α α α α22 3+ + +( ) α α... n

Considerando z z z z zn= = = = =1 2 3 ... e, consequentemente, α α α α α= = = = =1 2 3 ... n , essa fórmula nos levará à potenciação de números complexos na forma trigonométrica:

z z z z z z z z z in = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + + +( ) + + + + +( )... ... cos ... sen ...α α α α α α α α

Portanto:


z z n i nn n= ( ) + ( ) cos senα α

Então, podemos dizer que a potência de ordem n de um número complexo escrito na forma trigonométrica é o número complexo, cujo módulo é igual ao módulo do número elevado a n e cujo argumento é igual ao argumento do número multiplicado por n , reduzido à primeira volta, isto é, 0 2≤ <α π . Em outras palavras, basta calcular a potência dos módulos e somar seus argumentos.

De maneira semelhante à demonstrada para a multiplicação e fazendo a substiutição das fórmulas de transformação (II) e (IV),

podemos mostrar que o quociente zz

1

2, com z2 0≠ , é dado por:

zz

zz

i1

2

1

21 2 1 2= −( ) + −( ) cos senα α α α

Outra maneira de mostrar essa relação é verificando que o produto

entre z2 e a expressão zz

i1

21 2 1 2cos senα α α α−( ) + −( ) é igual a

z1 . Escolha um desses métodos e faça a demonstração mencionada.

Portanto, o quociente de dois números complexos z1 e z2 escritos

na forma trigonométrica é o número complexo zz

1

2, cujo módulo é

igual ao quociente dos módulos e cujo argumento é igual à diferença dos argumentos, reduzida à primeira volta, isto é, 0 21≤ <α π e 0 22< <α π . Em outras palavras, basta dividir os módulos e subtrair seus argumentos.

Assimile

Para um número complexo na forma trigonométrica

z z i= +( )cos senα α , a potência zn , n∈ é dada por:


Essa relação é conhecida como 1ª fórmula de De Moivre.


Reflita

Considerando os números complexos z a bi= + e w c di= + como pontos no plano, a definição de módulo nos permite estabelecer algumas conexões interessantes com a Geometria analítica. Uma delas é que o módulo da diferença entre esses pontos representa a distância entre eles:

z w d z w c a d b− = ( ) = −( ) + −( ), 2 2

Exemplificando

Você deve saber que as imagens na tela de um computador ou televisão são formadas por pequenos pontos, chamados pixels. Se a imagem de resolução da tela é 800x600 pixels, por exemplo, ela tem

800 600 480 000⋅ = pixels organizados em 800 colunas e 600 linhas. Quando essa imagem é refletida, rotacionada ou sua escala é alterada, na verdade, está “mudando” a posição dos pixels que a formam. Basicamente, essas transformações se resumem a quatro: rotação, reflexão, escala e translação.

Podemos considerar esses pixels como sendo pontos de um plano cartesiano. A rotação de um ponto no plano, por exemplo, é uma interessante aplicação da multiplicação de números complexos na forma trigonométrica, pois multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Em outras palavras, se um ponto a b,( ) deve ser rotacionado no plano de Argand-Gauss em relação à origem em α graus no sentido anti-horário, basta multiplicar o número complexo a bi+ pelo complexo 1 cos senα α+( )i .

Considerando, por exemplo, os números complexos

z i1 3 30 30= ° + °( )cos sen e z i2 1 90 90= ° + °( )cos sen e calculando z z1 2⋅ , temos:

z z i i1 2 3 30 30 1 90 90

3 1 30

⋅ = ° + °( ) ⋅ ° + °( )

= ⋅

cos sen cos sen

cos °° + °( ) + ° + °( ) = ° + °( )

90 30 90

3 120 120

i

i

sen

cos sen


Veja que o número complexo z z i1 2 3 120 120⋅ = ° + °( )cos sen possui módulo igual ao de z1 , pois z2 1= . Além disso, como o argumento de z z1 2⋅ é a soma dos argumentos de z1 e z2 , a representação geométrica de z z1 2⋅ é igual à de z1 rotacionada 90° em torno da origem, no sentido anti-horário.

De modo geral, se um ponto P representa um número complexo z1 no plano de Argand-Gauss, para rotacionarmos ele em α graus em torno da origem, no sentido anti-horário, multiplicamos z1 pelo número complexo z i2 = +cos senα α .


Figura 4.13 | Representação

Pesquise mais

Os números complexos surgiram como uma das maiores contribuições ao desenvolvimento da Álgebra. Em algum momento da história da Matemática, notou-se que, para resolver equações que envolvessem raízes quadradas de números negativos, somente os números reais não eram suficientes, portanto precisava-se de algo a mais. A partir de Cardano, foram muitos anos de estudos, com contribuições de diversos matemáticos, como a formalização rigorosa de Gauss, até surgirem os números complexos e toda a teoria matemática que estudamos até aqui.

Além de possuírem grande aplicação na área da Matemática, na qual são estudados em geometria analítica, álgebra linear, entre outros, sem a presença deles hoje seria impossível imaginar o desenvolvimento de algumas áreas, como engenharia, aerodinâmica,


Após o estudo da forma trigonométrica ou forma polar de um número complexo, vamos retomar a situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Vamos relembrar! Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio, em início de carreira. Para estimular que os alunos aprendam, você deve produzir um objeto virtual interativo, com o objetivo de interpretar a ideia de rotação de um ponto no plano de Argand-Gauss, como apresentado na seção exemplificando.

Com base nisso, descreva, em detalhes, as etapas de elaboração dessa representação com o auxílio do GeoGebra. Por exemplo, para rotacionar um ponto P correspondente ao número complexo z i1 1 2= − , defina esse número digitando 1 2− i no campo Entrada. Em seguida, represente o vetor associado a ele, assim como explicado na Seção 4.1. Em seguida, utilizando a ferramenta Controle Deslizante , crie o ângulo a com intervalo de variação de 0° a 360°. Depois, defina o número complexo z i2 1= +( )cos senα α digitando 1* cos * sina i a( ) + ( ) no campo Entrada. Por fim, você vai definir o número complexo z3 digitando z z_ * _1 2 no campo Entrada. Modifique as propriedades dos pontos para exibir o nome e o valor. Também é importante representar os vetores associados a z2 e z3 , além do ângulo formado entre z1 e z3 .

Agora, é possível mover o controle deslizante e verificar que o número z i2 1= +( )cos senα α é responsável por rotacionar o número z i1 1 2= − em torno da origem, no sentido anti-horário. O resultado dessa rotação é o próprio número complexo z z z3 1 2= ⋅ . Note que o

mecânica dos fluidos, física quântica, eletromagnetismo, relatividade, teoria do caos, entre outras.

No link a seguir, você pode consultar um tópico específico com algumas aplicações dos números complexos, mesmo que não tão imediatas ou simples, o que não minimiza a importância desse assunto.

Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/NC2.pdf>. Acesso em: 9 jun. 2017.

Sem medo de errar


argumento de z3 corresponde ao ângulo de rotação também exibido no controle deslizante. Para verificar que essa rotação é válida para qualquer ponto, basta mudar a posição do número complexo z1 com a ferramenta Mover selecionada.

Durante a construção, é importante utilizar várias imagens obtidas por captura da tela. Ao final, você deverá obter uma figura, como a exemplificada a seguir, na qual temos a representação dos vetores correspondentes aos números complexos z i1 1 2= − , z i i2 1 76 76 0 24 0 97= ϒ+ ϒ( ) +cos sen , ,≅° ° e z z z i3 1 2 2 18 0 49= ⋅ +, ,≅ .

Que tal descrever com mais detalhes e utilizando várias imagens obtidas por captura de tela? O GeoGebra está disponível gratuitamente para download para computadores, tablets e celulares em:<https://www.geogebra.org/download>. Acesso em: 9 jun. 2017.

Também é possível realizar essa construção online, ou seja, sem a instalação do software no computador, em: <https://www.geogebra.org/apps/>. Acesso em: 9 jun. 2017.


Figura 4.14 | Imagem obtida por captura de tela do software GeoGebra, na representação da rotação do vetor z1z1z de acordo com o ângulo indicado no controle deslizante


Agora que você elaborou três objetos virtuais com o objetivo de explorar os conceitos estudados nas respectivas seções desta unidade, sistematize a sucessão de três planos de aula em um único arquivo, sugerindo o aproveitamento de um objeto para a construção do seguinte. Durante esse processo, você pode aproveitar para explorar outras propriedades dos números complexos.

Segunda fórmula de De Moivre


Suponha que você é docente de certa turma do ensino médio, a qual está estudando a forma trigonométrica ou polar dos números complexos, especificamente a primeira fórmula de De Moivre. Considere que, em uma das aulas, você propôs aos alunos que pesquisassem e demonstrassem a segunda fórmula de De Moivre, mas muitos deles demonstraram dificuldade. De modo geral, eles se confundem nas operações envolvendo módulo e argumento de um número complexo na forma trigonométrica. Que tal elaborar um plano de aula com o objetivo de proporcionar uma apreensão significativa dessa fórmula?


A 1ª fórmula de De Moivre permite calcular a potência zn , n∈ , para um número complexo na forma trigonométrica z z i= +( )cos senα α , por meio da seguinte relação:


Já a 2ª fórmula de De Moivre está relacionada com a radiciação de números complexos na forma trigonométrica. Vamos calcular a raiz enésima zn , n∈ , ou seja:

z z in n= +( )cos senα α

Calcular essa raiz significa determinar um número complexo w tal que w zn = , isto é:

w z in = +( )cos senα α



Vamos considerar w w i= +( )cos senβ β , então:

w z w i z in n= ⇒ +( ) = +( )cos sen cos senβ β α α

Ora, podemos utilizar a 1ª fórmula de De Moivre no primeiro membro, que fica:

w n i n z in cos sen cos senβ β α α+( ) = +( )

Chegamos, então, a uma igualdade de números complexos na forma algébrica. Para que a igualdade seja verdadeira, é preciso que os módulos sejam iguais e os argumentos sejam ângulos congruentes. Então:

• w z w zn n= ⇒ =

• n k kn

β α π βα π

= + ⇒ =+2 2

, com k ∈

Com isso, podemos reescrever a seguinte igualdade, agora com

w em função de k :

w z kn

i knk

n=+

+

+

cos senα π α π2 2

Que é conhecida como 2ª fórmula de De Moivre. Analisando os valores de k , podemos verificar que os valores de wk começam a se repetir após k n= −1, pois recaem em argumentos côngruos. Portanto, qualquer número complexo z , não nulo, admite n raízes distintas, uma para cada valor de k variando de 0 a n −1.

Que tal elaborar um plano de aula para arquivar essa demonstração? Nele você também poderá elaborar e responder a algumas questões sugeridas para o aluno, por exemplo, para determinar e interpretar 14 + i .

Faça valer a pena

1. Um número complexo z pode ser representado na forma algébrica z a bi= +z a= +z a , na forma geométrica ( )a b( )a b,( ),a b,a b( )a b,a b ou na forma trigonométrica

z zz z= += +z z= +z zz z= +z z ( )i( )i= +( )= +( )co( )= +( )= +co= +( )= +( )s s( )i( )is si( )i= +( )= +s s= +( )= +( )en( )( )α α( )( )s s( )α α( )s s( )i( )is si( )iα αi( )is si( )i= +( )= +s s= +( )= +α α= +( )= +s s= +( )= +( )en( )α α( )en( ) , em que z é o módulo de z , e α é o argumento de z .Assinale a alternativa que contém os números complexos

z i1z i1z i2z i2z i4 4

z i= +z iz i= +z iz i2z i= +z i2z iz iz iz i= +z iz i= +z iz i= +z iz i= +z iz iz iz iz iz i= +z iz i= +z iz i= +z iz i= +z i

coz icoz iz i= +z icoz i= +z is sz is sz iz i= +z is sz i= +z iz i= +z is sz i= +z i enπ πz iπ πz i e z i2z i2z i8z i8z i8 7z i7z i6

76

z i= +z iz i= +z iz i8z i= +z i8z iz iz iz i= +z iz i= +z iz i= +z iz i= +z iz iz iz iz iz i= +z iz i= +z iz i= +z iz i= +z i

coz icoz iz i= +z icoz i= +z is sz is sz iz i= +z is sz i= +z iz i= +z is sz i= +z i enπ πz iπ πz i 7π π7 na forma algébrica e

geométrica.


a) z iz i1z i1z i2 22 2z i2 2z iz i= +z iz i= +z iz i2 2z i= +z i2 2z i e z i2z i2z i4 34 3z i4 3z iz i4 3z iz i4z iz i= −z iz i−z i ; ( )( )( )2 2( )2 22 2( )2 2,( ),2 2,2 2( )2 2,2 2 e ( )( )− −( )− −( )4 3( )( )4 3( )( )4 3( )( )4 3( )− −( )− −4 3− −( )− −− −( )− −4 3− −( )− −( )4( )( ),( )

b) z iz i1z i1z i2 22 2z i2 2z iz i= −z iz i= −z iz i2 2z i= −z i2 2z i e z i2z i2z i4 34 3z i4 3z iz i4 3z i4 34 3z i4 3z iz i4 3z iz i4z iz i= −z iz i4 3z i= −z i4 3z iz i4 3z i= −z i4 3z i ; ( )( )( )2 2( )2 22 2( )2 2,( ),2 2,2 2( )2 2,2 22 2−2 2( )2 2−2 2 e ( )( )4 3( )4 34 3( )4 3 4( )4,( ), −( )−

c) z iz i1z i1z i2 22 2z i2 2z iz i= +z iz i= +z iz i2 2z i= +z i2 2z i e z i2z i2z i4 34 3z i4 3z iz i4 3z iz i4z iz i= −z iz i+z i ; ( )( )( )2 2( )2 22 2( )2 2,( ),2 2,2 2( )2 2,2 2 e ( )( )−( )−( )4 3( )( )4 3( )( )4( )( ),( )

d) z iz i1z i1z i2 22 2z i2 2z iz i= −z iz i2 2z i+z i2 2z i e z i2z i2z i4 34 3z i4 3z iz i4 3z iz i4z iz i= −z iz i+z i ; ( )( )( )−( )−( )2 2( )( )2 2( )( ),( )( )2 2( ),( )2 2( ) e ( )( )−( )−( )4 3( )( )4 3( )( )4( )( ),( )

e) z i1z i1z i2 22 2z i2 2z iz i2 2z iz i2 2z iz i2 2z i 2z i= −z iz i2 2z i= −z i2 2z iz i2 2z i= −z i2 2z i e z i2z i2z i4 34 3z i4 3z iz i4 3z iz i4z iz i= −z iz i−z i ; ( )( )( )2 2( )2 22 2( )2 2,( ),2 2,2 2( )2 2,2 22 2−2 2( )2 2−2 2 e ( )( )− −( )− −( )4 3( )( )4 3( )( )4 3( )( )4 3( )− −( )− −4 3− −( )− −− −( )− −4 3− −( )− −( )4( )( ),( )

2. Considere os seguintes subconjuntos de :I) S z1S z1S zS z= ∈S z{ }{ }S z{ }S z z{ }z 4{ }4= ∈{ }= ∈S z= ∈S z{ }S z= ∈S z ={ }={ };{ } II) S z2S z2S zS z= ∈S z{ }{ }S z{ }S z z i{ }z i2 1{ }2 12 1{ }2 1z i2 1z i{ }z i2 1z i= ∈{ }= ∈S z= ∈S z{ }S z= ∈S z z i+ =z i{ }z i+ =z i2 1+ =2 1{ }2 1+ =2 12 1+ =2 1{ }2 1+ =2 1z i2 1z i+ =z i2 1z i{ }z i2 1z i+ =z i2 1z i{ };{ } III) S z3S z3S zS z= ∈S z{ }

{ }{ }{ }{ }S z{ }S z z{ }z 1 3{ }1 31 3{ }1 3= ∈{ }= ∈S z= ∈S z{ }S z= ∈S z − ″{ }− ″− ″{ }− ″1 3− ″1 3{ }1 3− ″1 31 3− ″1 3{ }1 3− ″1 3{ };{ }{ }≤{ }1 3{ }1 3≤1 3{ }1 31 3− ″1 3{ }1 3− ″1 3≤1 3− ″1 3{ }1 3− ″1 3≤

E as seguintes circunferências ou círculos no plano de Argand-Gauss:

A)

B)


C)

Assinale a alternativa que contém a associação entre o subconjunto de e a sua representação geométrica, com a letra e o símbolo romano correspondente.a) I – A; II – B; III – C.b) I – B; II – A; III – C.c) I – B; II – C; III – A.d) I – A; II – C; III – B.e) I – C; II – B; III – A.

3. No plano de Argand-Gauss representado na figura a seguir, os pontos A e B representam os afixos dos números complexos z1 e z2 .

Assinale a alternativa que contém o módulo do produto entre os conjugados de z1z1z e z2z2z , ou seja, z z

1 2z z1 2

z zz z⋅z z .a) 10 b) 6c) 10d) 4 54 5 e) 8 28 2


Representação dos pontos A e B associados aos números complexos z1 e z2 , respectivamente.



ReferênciasBOYER, Carl Benjamin. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo:

Edgard Blucher, 1974.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. Domingues.

Campinas: Editora da Unicamp, 2004.

IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de matemática elementar: complexos, polinômios,

equações. São Paulo: Atual, 1993. v. 6.

ROQUE, Tatiane. História da matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2012. Disponível em: <https://

integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788537809099/cfi/6/24!/4/462/2@0:0>.

Acesso em: 12 jul. 2017.

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