1. VARIAÇÃO DA ENERGIA POTENCIALÉ t b lh li d d l l id d t t d tÉ o trabalho realizado para deslocar um corpo, com velocidade constante, de um ponto a outro num campo conservativo ( ) . 0W F dl= =∫
.dU d= −F l
Obs. sobre o sinal (-): um corpo, imerso num campo, fica sujeito á ação de uma força (F), para deslocá-lo com velocidade constante deve-se aplicar uma força (-F).
.dU dF l
2. DIFERENÇA DE POTENCIAL ( - ) bV aVÉ o trabalho realizado, por unidade de carga, para deslocar uma carga de prova, com , p g , p g p ,velocidade constante, de um ponto ‘a’ até um ponto ‘b’.
. . . .dU d q ddV dq q q
− −= = = = −
F l E l E l, logoq q q
.b
b a a
UV V V dq∆
∆ = − = = −∫ E lq
Onde:V – Potencial elétrico (ou simplesmente, potencial)
• Unidade: Volt (V), sendo que 1(V) = 1(J/C), logo a unidadedo campo E pode ser expressa em (V/m).p p p ( )
• Linhas de força apontam na direção do maiorpara o menor potencial (potencial decrescente)
• Potencial de uma carga puntiforme:g pconsidere uma carga de prova que sedesloca com velocidade constante num campoelétrico E, gerado por uma outra carga
0q
puntiforme Q, logo a variação da energia potencial:
KQdU d E d dF l 0 0. . . .²rQdU d q E dr q dr
r= − = = −F l
1 1²
b
b a a
KQV V V dr KQr r r
∆ = − = − = −
∫a
b ar r r ∫
Se definirmos um potencial zero quando ,o potencial num ponto r será:
r =∞o potencial num ponto r será:
( )rKQV =( )r r
O potencial de uma carga puntiforme é o trabalho por unidade de carga para trazer uma p g p f p g pcarga positiva desde o infinito até uma distância r, com velocidade escalar constante.
• Uma unidade de energia conveniente a nível atômico é o elétron-volt (eV), sendo que
19 191 1,6 10 . 1,6 10eV x C V x J− −= =
i t é 1 V lt d létisto é, 1 Volt vezes a carga do elétron.
EXEMPLO: Calcular o potencial elétrico devido a um próton a uma distância 100,59 10r x m−= (distância da primeira órbita de Bohr) e a energia potencial quando
se coloca um elétron nesta posição.
Solução:
( )( )9 199 10 1 6 10K −
O potencial é dado por: ( )( )10
9.10 1,6.1027,2
0,59.10KqV Vr −= = =
A energia é dada por: 19 18. 1,6.10 .27,2 4,36.10U qV J− −= = − = −
3. POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGASPUNTIFORMES
O potencial devido a um sistema de cargas puntiformes é igual a soma dos potenciais,no ponto devido as cargas puntiformes individuaisno ponto, devido as cargas puntiformes individuais.
. iK qVr
=∑i ior
Energia potencial eletrostática de um sistema de cargas puntiformes é o trabalho necessáriopara transportar uma carga, com velocidade constante, do infinito até uma posição final.
0. i
i io
K qW qr
= ∑
EXEMPLO: Três cargas puntiformes positivas deestão nos vértices de um quadrado de lado 3m, como mostra
fi C l l i l é i d d
2 Cµ
a figura. Calcular o potencial V no vértice desocupado e otrabalho necessário para trazer uma carga positiva e colocá--la no vértice desocupado.
Solução:O potencial devido as três cargas é:
KqKq Kq 31 2
1 2 3
6 6 69 2.10 2.10 2.109.10
3 3
KqKq KqVr r r
− − −
= + +
= + +
4
3 3 3 21,62.10 V
=
O trabalho necessário para trazer uma carga até o vértice será:
( )( )( )( )6 4 2. 2.10 1,62.10 3, 24.10W qV J− −= = =
4. SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS
Vi t b lh f t d t lét i d l d• Vimos que o trabalho efetuado contra o campo elétrico para deslocar uma carga de provaé e a variação de potencial
• Se o deslocamento for perpendicular a E, então o potencial não se altera
0q . .U q∆ = − ∆E l .V∆ = − ∆E l
l∆ ( )0V∆ =p p , p
•A maior variação do potencial ocorre quando é paralelo ou anti-paralelo ao campo E.Quando é paralelo e tomarmos o limite temos:
( )
V∆ l∆l∆
lim V dVEl dl
∆= − = −
∆
• Um vetor que tem a direção da maior variação da função escalar (paralelo ao campo E) e que tem módulo igual a derivada da função com relação a distância como a fórmula anteriorque tem módulo igual a derivada da função com relação a distância, como a fórmula anterioré chamado de gradiente da funçãogradiente da função (no caso anterior ‘do potencial’).
• Numa superfície equipotencial, o potencial elétrico não se altera e o deslocamento de umap q p pcarga sobre esta superfície não efetua trabalho.
5. CÁLCULO DO POTENCIAL ELÉTRICOExistem 3 formas de calcular o potencial elétrico num ponto:
1 Devido a uma distribuição de carga em que se conhece E(l):1. Devido a uma distribuição de carga em que se conhece E(l):
.V d∆ = −∫E l
2. Devido a uma distribuição de cargas puntiformes:
iKqV =∑
3. Tratando de um elemento de carga dq como parte de uma distribuição finita de
i io
Vr
=∑
g q p çcargas (garante que potencial no infinito seja finito ou nulo)
.K dqV = ∫Vr∫
EXEMPLO: Calcular o potencial elétrico a uma distância x de um plano infinito carregado uniformemente com cargas positivas.
Solução:
O campo elétrico de um plano infinito carregado é dado por:O campo elétrico de um plano infinito carregado é dado por:
02XE σε
=
Logo, o potencial será:( )XV
( ) ( )0
x
XxV V E dx− = −∫( ) ( )0 0 Xx ∫
002
xdxσ
ε= −∫
0
02xσ
ε= −
Onde V(0) é o potencial do plano infinito.
EXEMPLO: Calcular o potencial a uma distância ‘x’ sobre o eixo de um anel de raio ‘a’ carregado com uma carga Q uniformemente distribuida.g g Q
Solução:
O potencial no ponto x devido ao anel será a integral sobre o comprimento do anel levando-se em consideração o potencial d id l d ddevido a um elemento de carga dq a uma distância 2 2s a x= +
dVEXdVEdx
= −
1 2KQ x = − ( )3/ 2 22 ² ²
xx a
= +
( )3/ 2KQx
=( )3/ 2² ²x a+
EXEMPLO: Calcular o potencial sobre o eixo de um disco de raio R, com densidade superficial de carga σ
Solução:
O potencial de uma espira de raio r largura dr e carga é (exemplo anterior):2dq r drσ πO potencial de uma espira de raio r, largura dr, e carga é (exemplo anterior):.2 .dq r drσ π=
KdqdVs
=
Logo:
2 20
2 .R K r drV dVx rσ π
= =+
∫ ∫2 2
01/ 2
RK x rσπ +
=
( )( )2 22K x R xσπ= + −
E campo elétrico:dV
2 22 1dV xE K
dx x Rσπ
= − = −
+
EXEMPLO: Calcular o potencial sobre o eixo de uma casca esférica de raio R, e carga total Q uniformemente distribuída com densidade σ
Solução:
Escolhemos um anel de carga com larguraEscolhemos um anel de carga com larguraRdθ e comprimento 2 rsenπ θ A área desteanel é:
2 . 2 ²dA Rsen Rd R sen dπ θ θ π θ θ= =2 . 2dA Rsen Rd R sen dπ θ θ π θ θ
A carga elétrica neste anel é:
2 ²dQ dA R sen dσ σ π θ θ= =
Vimos que o potencial devido a este anel é:Vimos que o potencial devido a este anel é:
KdQdV =2 ²K R sen ddV σ π θ θ
= (I)s s
( )
Por outro lado podemos relacionar as variáveis s e por:θ
² ² ² 2R R θ dif i d h² ² ² 2 coss r R rR θ= + − ∴que diferenciando chega-se a
2 2s rRsen dθ θ= ↔ sdssen drR
θ θ = (II)rR
Substituindo (II) em (I) (elimina-se da equação), temosθ
2 ²r Rr R K R d++ 2 ² 2
r R
r R r R
K R sds sdV K Rs rR r
σ π σ π+
− −
= = ∫ ∫
2 4 ²2K R K R KQRσ π σ π= = =2R
r r r= = =
Para pontos fora da casca funciona como se fosse uma carga puntiforme na origem.
Para pontos dentro da casca muda o limite inferiorPara pontos dentro da casca muda o limite inferior.
2 4 ²2 2R r
s K R K R KQdV K R rR R
σ π σ πσ π+
= = = = ∫
R rr r R R− ∫
OBS.:
• Apesar do campo elétrico ser nulo dentro da casca esférica, o potencial é constante.
• A seguir mostraremos um modo mais fácil de se calcular o potencial devido a uma casca esférica.
Sabemos que o campo elétrico devido a uma casca esférica é radial e é como se a carga fosseSabemos que o campo elétrico devido a uma casca esférica é radial e é como se a carga fosse puntiforme no centro da esfera:
²XKQE = para x>R
²x
Onde a carga , que é a carga total sobre a superfície. Logo:
4 ²Q Rπ σ=
0
4 ²( )²
r K R KQV r dxx rπ σ
= =∫ , para r>R
O potencial dentro da esfera deve ser igual ao potencialO potencial dentro da esfera deve ser igual ao potencial sobre a casca esférica, uma vez que o campo elétrico é nulo, logo,
Q( ) KQV rR
= para r<R
EXEMPLO: Calcular o potencial devido a uma esfera de raio R, carga total Q, com densidade volumar uniforme de carga igual a:
34Q
Rρ =
Solução: O campo elétrico fora da esfera é o mesmo de uma carga puntiforme
3
3Rπ
2
KQErr
=
e, portanto, o potencial será dado por ( ) KQV rR
=
O campo elétrico dentro da esfera é dado por: 3
KQrErR
=
r
Como o campo elétrico no interior da esfera é nulo, o potencial não será constante e deve aumentar quando deslocarmos uma carga de prova em direção ao seu centro (efetuar trabalho) logo:(efetuar trabalho), logo:
23 3
0
1( ) (0)2
r KQr KQV r V dr rR R
− = − = −∫O potencial V(0) não pode ser zero (pois ( ) 0V∞= ), pode-seescolher V(0) de tal forma que ocorra continuidade V em r=R, isto é:
23
1 3(0) (0)2 2
KQ KQ KQV R VR R R
− = − ⇒ =
Logo, o potencial no interior da esfera será:2
2( ) (3 )2KQ rV r
R R= −
2R R
EXEMPLO: Calcular o potencial a uma distância x de um fio comprido retilíneo carregado uniformemente com densidade linear de carga λSolução: O campo elétrico a uma distância x devido a um fio retilíneo comprido carregado é: 2KEx
xλ
=
Se o potencial a um a distância a é V(a), então o potencial a uma distância r do fio será dada p ( ), ppor:
2( ) ( ) 2 lr K rV V d Kλ λ∫( ) ( ) 2 ln
aV r V a dx K
x aλ− = = −∫
O potencial diminui com a distância mas não pode ser zero portanto podemos( ) 0V ∞ =O potencial diminui com a distância mas não pode ser zero, portanto podemos selecionar, convenientemente, V(a)=0, logo:
( ) 0V ∞
( ) 2 ln rV r Kλ= −( ) 2 lnV r Ka
λ= −
6. REPARTIÇÃO DE CARGAS
A diferença de potencial entre dois condutores, separados no espaço e com diferentes potenciais, depende da forma geométrica deles e de sua separação e do excesso de carga
d d lem cada um deles.
A carga elétrica de dois condutores com potenciais diferentes, após o contato,se distribui de modo que, no equilíbrio eletrostático, o campo seja nulo no interior de ambos.
Repartição de carga: é o processo de transferência de carga de um condutor para outro até que tenham o mesmo potencial.
Gerador de Van Graff:
Baseia-se no princípio de que as cargas elétricas p p q gtendem a se deslocar para a superfície externa de uma casca esférica. Pode-se aumentar o potencial desta casca
carregando-a internamente ( )KQR
através de um orifício (coloca-se carga interna e elas se deslocam para a superfície para atingir o equilíbrio eletrostático).
R
Quando o campo elétrico (diferença de potencial) é muito alto, as moléculas de ar neste campo tendem a ficar ionizadas e o ar se torna condutor ocorrendo uma descarga elétrica p g(descarga em corona). Este efeito é limitado pela rigidez dielétrica do ar (que corresponde
a um campo de para o ar e a descarga ocorre quando max 3 / 3 /E MN C MV m≈ =
KQ KQ
Poder de Ponta: quanto menor o raio de curvatura de uma superfície condutora, maior
2( ) max . max( )KQ KQV R E RR R
= > =
será a densidade de carga e o campo elétrico . ( )QÁrea ↓ 2( )KQ
R ↓
Na figura abaixo, temos um condutor anesférico;
• O campo elétrico na extremidade A é maior que em B
• A densidade de carga na extremidade A é maior que em B
• O potencial elétrico nas extremidades A e B são iguais
Portanto,
• A ruptura do dielétrico ocorre na região cujo raio da superfície tem menor curvatura
• A ruptura do dielétrico pode ocorrer em potenciais baixos desde que o condutor tenhaA ruptura do dielétrico pode ocorrer em potenciais baixos desde que o condutor tenha pontas agudas.
A d b l di•Andreza sousa e bruno claudio