Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos
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3
1.Equações do Modelo de Estado de
Sistemas Lineares Contínuos
Objectivo:
Mostrar que há um conjunto diversificado de sistemas que podem ser
modelados através das equações de estado.
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4
Exemplo: Suspensão magnética simples
u
y
Um modelo para o movimento da suspensão magnética é obtido a partir da lei
de Newton:
aplicadasforçasdt
ydm
2
2
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5
aplicadasforçasdt
ydm
2
2
As forças aplicadas são o peso P e a força electromagética. Admite-se que esta se
decompõe em duas parcelas, uma que compensa o peso e a outra que é proporcional
ao sinal u . Admitindo 1m e a constante de proporcionalidade entre u e a força
igual a 1, vem o modelo simplificado
udt
yd
2
2
O modelo é descrito por uma equação diferencial de 2ª ordem.
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6
Não é surpreendente que a suspensão magnética seja descrita por uma
equação diferencial de segunda ordem.
De facto, para conhecermos o movimento da esfera precisamos de duas
variáveis: A sua posição e a sua velocidade.
Isso sugere que o modelo da suspensão seja descrito por duas equações
diferenciais de primeira ordem, nestas variáveis, em vez de uma única
equação diferencial de segunda ordem.
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7
Tomem-se como variáveis a posição
)()(1 tytx
e a velocidade
)()(2 tytx
Com estas variáveis, a esfera pode ser descrita pelo seguinte sistema de
duas equações diferenciais de primeira ordem:
udt
dx
xdt
dx
2
21
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8
O sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem
udt
dx
xdt
dx
2
21
é equivalente à equação diferencial de 2ª ordem
udt
yd
2
2
Em ambos os casos devem ser especificadas duas condições iniciais.
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9
Podemos descrever o sistema de equações diferenciais
udt
dx
xdt
dx
2
21
na forma matricial equivalente
ux
x
x
x
1
0
00
10
2
1
2
1
2
101
x
xy
que constitui o modelo de estado da esfera, sendo o vector
2
1
x
x o estado do
sistema.
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10
Forma padrão do modelo de estado da suspensão magnética
ux
x
x
x
1
0
00
10
2
1
2
1
2
101
x
xy
Definam-se as matrizes
00
10A
1
0B
01C 0D
O modelo de estado escreve-se na forma padrão
buAxx
DuCxy
Em todos os casos que vamos considerar 0D (sistemas com mais pólos que
zeros).
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11
O espaço de estados da suspensão magnética
A vantagem de considerarmos o modelo de estado é podermos imaginar a
sua evolução em termos geométricos no espaço das variáveis
2
1
x
x .
A este espaço chama-se espaço de estados.
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12
A evolução das variáveis de estado pode ser pensada como trajectórias no
espaço
2
1
x
x .
Por exemplo, se o estado da esfera estiver no ponto A do espaço de estados,
ele vai inicialmente alterar-se no sentido da seta:
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13
Exemplo: Circuito eléctrico
2
2
1
2122
1
2111
R
v
R
vv
dt
dvC
R
vvi
dt
dvC u
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14
2
2
1
2122
1
2111
R
v
R
vv
dt
dvC
R
vvi
dt
dvC u
Definindo:
221212
1111
111
11
RCRCRC
RCRCA
0
11CB
10C 0D uiu
2
1
v
vx
2vy
O modelo de estado do circuito pode escrever-se na forma padrão:
DuCxy
BuAxx
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15
Servomotor DC com controlo pela armadura
Binário do motor:
)()(')( titKtT
Sendo o fluxo criado pelo circuito de campo constante,
)()( tKitT
Tensão aos terminais do rótor
bKe
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16
Circuito do rótor do motor:
ueiRdt
diL
Movimento do rótor do motor:
)(tTdt
dJ
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17
Tomem-se como variáveis de estado do motor:
ix
xx
2
1
obtêm-se as equações de estado, tomando como saída a velocidade :
u
L
x
L
R
L
KJ
K
Jxb
1
0
xy 01
Se quiséssemos modelar a posição, necessitaríamos de uma variável de
estado adicional.
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18
Modelo de estado – caso geral
Equação de estado (eq. diferencial, relaciona a entrada u com o estado x ):
)()()( tButAxtx
Condição inicial no estado
0)0( xx
Equação de saída (eq. algébrica, relaciona o estado x com a saída y ):
)()()( tDutCxty
Dimensões:
pmn RtyRtuRtx )(,)(,)( mpDnpCmnBnnA
Normalmente iremos considerar 1,1,0 pmD .
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19
Diagrama de blocos do modelo de estado
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20
Escolha das variáveis de estado
As variáveis de estado constituem um conjunto de variáveis que, dadas
condições iniciais, podem ser conhecidas para qualquer instante futuro, por
integração das equações de estado.
As variáveis de estado estão muitas vezes associadas aos elementos que
armazenam energia (por exemplo, na escolha feita para o motor DC), mas
isso não é necessariamente assim, embora a energia possa ser uma ajuda
importante para estabelecer o modelo de estado e projectar o controlo.
As variáveis de estado não são únicas, nem têm de ser em número mínimo.
Estes pontos serão discutidos posteriormente.
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21
Plano de estado
Para um sistema com duas variáveis de estado, o espaço de estado reduz-se
a um plano, denominado plano de estado.
Exemplo
dx
dtx
dx
dtx x
12
21 22 2
com condição inicial x x1 20 1 0 1( ) ( ) . A solução no tempo e a
correspondente órbita no espaço (plano) de estado mostram-se na figura
seguinte.
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22
0 2 4 6 8 10-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Resposta no tempo Trajectória correspondente
no plano de estado
t1
t2
t1
t2
t
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23
2.Conversão entre o modelo de estado e a
função de transferência
Objectivo:
Após estudar este módulo, o aluno deverá ser capaz de obter as matrizes que
definem o modelo de estado dada uma função de transferência e vice-versa.
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24
Obtenção da função de transferência a partir do modelo de estado
)()(
)()()(
tCxty
tbutAxtx
Tome-se a transformada de Laplace com condições iniciais nulas:
)()(
)()()(
sCXsY
sbUsAXssX
)()()()( uTLsUxTLsX
Daqui vem
)()()( sbUsXAsI )()()( 1 sbUAsIsX
ou seja
)()()( 1 sUbAsICsY
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25
)()()( 1 sUbAsICsY
A função de transferência vem pois dada por
bAsICsG 1)()(
Dado que
)det(
)()( 1
AsI
AsIadjAsI
a função de transferência escreve-se
)det(
)()(
AsI
bAsIadjCsG
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26
Nota sobre Álgebra Linear – Adjunta de uma matriz
A adjunta de uma matriz
ij
mM é dada por
TijMMadj )(
em que ijM é o co-factor do elemento ijm , ou seja, é dada pelo determinante
da matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j , multiplicado por
ji1 .
Exemplo:
ac
bd
dc
baadj
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27
Adjunta de uma matriz – Exemplo
160
005
321
M
10630
1515
0160
10150
6116
3050
)(
T
Madj
Para verificar o resultado, observe-se que
3
10630
1515
0160
160
005
321
80
1
)det(
)(I
M
MadjM
Referência: G. Strang, Linear Algebra and its Applications, 2ª ed., p 170.
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28
Pólos e zeros
)det(
)()(
AsI
bAsIadjCsG
Os pólos são as raízes do polinómio característico da matriz A , dado por
)det( AsI
Os zeros são as raízes do polinómio
bAsIadjC )(
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29
Função de transferência a partir do modelo de estado – Exemplo
01
65A
0
1b
10C
s
sAsI
1
65
51
6
6)5(
11
s
s
ssAsI
)3)(2(
1
0
1
51
610
6)5(
1)(
sss
s
sssG
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30
Obtenção do modelo de estado – Sistemas sem zeros
Dada a função de transferência apenas com pólos:
32
2
1
3
0)(asasas
bsG
Pretende-se obter um modelo de estado que a represente.
Repare-se que este modelo de estado não é único.
Vamos começar por introduzir um tipo de variáveis de estado denominadas
variáveis de fase, em que o vector de estado é dado pela saída e pelas suas
1n primeiras derivadas. Neste exemplo, 3n .
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31
Obtenção da equação diferencial:
32
2
1
3
0)(asasas
bsG
)()()()()( 032
2
1
3 sUbsYassYasYsasYs
Daqui vem a equação diferencial:
)()()()()( 0321 tubtyatyatyaty
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32
)()()()()( 0321 tubtyatyatyaty
Variáveis de estado (saída e derivadas até à ordem 21n ):
23
12
1
xyx
xyx
yx
A equação diferencial escreve-se
)(01322313 tubxaxaxax
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33
O modelo de estado fica:
21 xx
32 xx
)(01322313 tubxaxaxax
ou, em termos matriciais:
u
b
x
aaa
x
0123
0
0
100
010
xy 001
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34
A matriz da dinâmica
123
100
010
aaa
tem uma estrutura com propriedades suficientemente importantes para
merecer um nome. Diz-se na forma companheira.
Consiste numa identidade de ordem 1n no canto superior direito, tendo ao
lado uma coluna de zeros e em baixo uma linha com os coeficientes do
polinómio característico da matriz (denominador da função de transferência).
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35
Nota sobre Álgebra Linear – Polinómio Característico de uma matriz
O polinómio característico de uma matriz quadrada A é dado por
)det( AsI
Para matrizes na forma companheira o polinómio característico pode ser
escrito por inspecção.
Posteriormente ver-se-á que as raízes do polinómio característico,
denominadas valores próprios da matriz, têm uma importante interpretação
geométrica. Já vimos que correspondem aos pólos da função de
transferência, pelo que determinam a resposta no tempo do sistema.
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36
Sistemas com zeros
32
2
1
3
10)(asasas
bsbsG
Se aplicarmos a técnica anterior, surge uma derivada da entrada, o que causa
uma dificuldade.
Uma possibilidade (há mais!) é “partir” o sistema nos zeros e nos pólos,
tomando como variáveis de estado a saída do bloco dos pólos e as suas duas
primeiras derivadas.
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37
Tem-se o diagrama de blocos:
A equação da dinâmica mantem-se.
A equação de saída é alterada:
11201110 xbxbxbxby
xbby 001
32
2
1
3
1
asasas 10 bsb
U 1X Y
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38
3.Mudanças de Coordenadas
Objectivo:
Dado um modelo de estado e uma transformação linear das
variáveis de estado, calcular as equações do modelo de estado
nas novas coordenadas.
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39
Transformação de coordenadas no modelo de estado
Considere o modelo de estado com equações
)()()( tbutAxtx
)()( tCxty
É feita uma transformação de coordenadas
)()( tTxtz
em que T é uma matriz quadrada invertível.
Qual o modelo de estado verificado pelo vector )(tz ?
Sugestão: Derive )()( tTxtz
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40
)()( tTxtz
Derivando:
)()( txTtz
Usando o modelo de estado de )(tx :
))()(()( tbutAxTtz
Usando a transformação inversa
))()()( 1 tTbutzTATtz
)()()( 1 txCTtCxty
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41
Transformação de coordenadas no modelo de estado
Dado o modelo de estado com equações
)()()( tbutAxtx )()( tCxty
é feita uma transformação de coordenadas
)()( tTxtz
em que T é uma matriz quadrada invertível.
Nas novas coordenadas as equações de estado são
)()()( tutztz )()( tHxty
1 TATE 1 CTH
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42
4.A equação homogénea
Objectivo:
Apresentar a estrutura da solução da equação homogénea.
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43
A equação homogénea
A equação
)()( tAxtx 0)0( xx
denomina-se equação homogénea.
A solução desta equação desempenha um papel fundamental na solução da
equação de estado.
A estrutura da solução depende dos valores próprios e dos vectores próprios
da matriz da dinâmica, A .
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44
Interpretação da solução da equação no espaço de estado
Equação homogénea:
)()( tAxtx
Aproximando a derivada por diferenças finitas:
h
khxhkxtx
)())1(()(
A equação pode aproximar-se pela equação de diferenças
)()())1(( khAxhkhxhkx
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45
)()())1(( khAxhkhxhkx
x1
x2 x
0
x(h)
x(2h)
hAx0
hAx(h)
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46
)()())1(( khAxhkhxhkx
No espaço de estados, a solução pode assim ser interpretada do seguinte
modo:
Começamos com uma condição inicial 0x no instante 0k .
Para obter o novo ponto no instante hk somamos ao vector 0x um
vector um vector proporcional a 0Ax (mais exactamente 0hAx ). Obtém-se
um ponto 0)( hAxhx .
O processo é em seguida iterado.
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47
-10 -5 0 5 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x1
x 2
O campo de vectores pode ser traçado no MATLAB com a função quiver.
Em cada ponto x do
espaço de estados a
função Ax define um
vector (campo de
vectores) que indica qual
a direcção seguida nesse
ponto pela solução da
equação diferencial.
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48
-10 -5 0 5 10 15-15
-10
-5
0
5
10
x1
x 2
x0
xA
xB
v0
vA
vB
Partindo do ponto 0x ,
a solução avança
(localmente) na
direcção 00 Axv .
Em cada ponto a
trajectória é tangente
ao campo de vectores
nesse ponto.
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49
-10 -5 0 5 10 15-15
-10
-5
0
5
10
x1
x 2
Se começarmos com outra
condição inicial, obtemos
uma outra trajectória. A figura
mostra duas trajectórias
geradas a partir de duas
condições iniciais dfiferentes.
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50
-10 -5 0 5 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x1
x 2
Começando de várias
condições iniciais (há
infinitas!) obtém-se o
chamado retrato de fase
do sistema, que aqui se
mostra sobreposto ao
campo de vectores que
define a equação
diferencial.
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51
Nota sobre álgebra linear: Valores próprios e vectores próprios
Dada uma matriz A quadrada nn , os vectores próprios iv satisfazem
iii vAv
em que i é o correspondente valor próprio.
Há, no máximo, n vectores próprios linearmente independentes (mas pode
haver menos).
Aos vectores próprios também se dá o nomde vectores modo.
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52
Determinação dos vectores próprios e dos valores próprios
Como
iii vAv
os vectores próprios satisfazem o sistema de equações algébrico
0)( ii vIA
Para que este sistema tenha soluções não triviais 0iv , ele tem de ser
indeterminado, pelo que os valores próprios i devem satisfazer a equação
polinomial:
0)det( IA i
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53
Para calcular os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz A
quadrada nn deve pois proceder-se do seguinte modo:
a) Calcular os valores próprios resolvendo a equação polinomial:
0)det( IA i
b) Para cada um dos valores próprios i obter os valores próprios
correspondentes resolvendo o sistema
0)( ii vIA
Como este sistema é indeterminado, a sua solução é obtida a menos de uma
constante de normalização, que pode ser escolhida como fôr conveniente.
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54
Cálculo dos valores e vectores próprios – Exemplo
32
54A
32
54IA
Polinómio característico da matriz:
0)det( IA
)2)(1(210)3)(4(32
542
Os valores próprios são as raízes deste polinómio:
21 21
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55
Vectores próprios:
11
0
0
22
55)(
2,1
1,1
11v
vvIA
A solução é qualquer múltiplo de
1
11v
22
0
0
52
52)(
2,2
1,2
22v
vvIA
A solução é qualquer múltiplo de
2
52v
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56
Diagonalização de matrizes
Hipótese: A matriz A tem n vectores próprios linearmente independentes.
Matriz modal (as colunas são os vectores próprios):
nvvM 1
Matriz diagonal dos valores próprios
),,( 1 ndiag
Atenção: Nem todas as matrizes verificam esta hipótese.
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57
Como, para cada par vector próprio/valor próprio
iii vAv
vem
MAM
ou seja, a matriz A admite a seguinte decomposição:
1 MMA
Tem-se ainda, multiplicando à direita por M e à esquerda por 1M :
AMM 1
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58
Solução da equação homogénea por diagonalização
Válida quando a matriz da dinâmica tem n vectores próprios linearmente
independentes.
)()( tAxtx 0)0( xx
Faz-se uma transformação de variáveis associada à matriz modal:
xMz 1 ou Mzx
Nas coordenadas z a dinâmica fica
zAMzMAxMxMz 111
Ou seja, as componentes de z ficam desacopladas, pelo que as equações
podem ser resolvidas separadamente!
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59
zz
Esta equação matricial corresponde ao sistema de equações diferenciais:
nnn zz
zz
111
Como as equações estão separadas, podem ser resolvidas separadamente:
t
nn
t
nektz
ektz
)(
)( 1
11
Os ik são constantes que
dependem das condições
iniciais
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60
Estrutura da resposta nas coordenadas x :
t
t
n
ek
ek
vvMzx
2
1
2
1
1
ou seja:
t
nn
t nevkevkx
1
11
A cada um dos termos
t
iiev
dá-se o nome de modo do sistema. A resposta do sistema é uma combinação
linear dos modos em que os coeficientes dcependem das condições iniciais.
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61
Exemplo
A resposta no tempo do sistema homogéneo
)()( tAxtx
com
32
54A
5
8)0(x
é da forma (ver exemplo anterior sobre valores e vectores próprios):
tt ekektx 2
2
1
12
5
1
1)(
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62
Determinação das constantes 1k e 2k a partir das condições iniciais:
Para 0t :
212
5
1
1
5
8kk
Este sistema pode ser escrito na forma
5
8
21
51
2
1
k
k
1,3 21 kk
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63
5.A matriz de transição
Objectivo:
A solução da equação homogénea como uma transformação do estado
associada à matriz de transição.
Principais propriedades da matriz de transição
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64
A série de Peano-Baker e a matriz de transição
Axx 00)( xtx
Tem por solução
)(),()( 00 txtttx
em que a matriz ),( 0tt , denominada matriz de transição, é dada pela série
que converge uniformemente e que define a matriz exponencial:
3
0
32
0
2
0
)(
0 )(!3
1)(
!2
1)(),( 0 ttAttAttAIett
ttA
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65
Cálculo da matriz de transição com a Transformada de Laplace
Axx 0)0( xx
Tomando transformada de Laplace:
AXxsX 0
0)( xXAsI
0
1)( xAsIX
0
11 )()( xAsITLtx
Conclusão:
11
0 )(),( AsITLtt
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66
Exemplo: Cálculo da matriz de transição pela transformada de Laplace
Considere um sistema cuja matriz da dinâmica é dada por
14
11A
Determine a matriz de transição recorrendo à transformada de Laplace.
Solução:
11
0 )(),( AsITLtt
14
11
s
sAsI
)1)(3()det( ssAsI
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67
)1)(3(
1
)1)(3(
4
)1)(3(
1
)1)(3(
1
)( 1
ss
s
ss
ssss
s
AsI
1
1
3
1
2
1
13)1)(3(
1
sss
B
s
A
ss
s 2
1
13
13
A 2
1
4
2
B
tt eett 3
22112
1)()(
1
1
3
1
4
1
13)1)(3(
1
sss
B
s
A
ss 4
1A 4
1B
tt eet 3
124
1)(
tt eet 3
21 )(
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68
tttt
tttt
eeee
eeeet
33
33
2
14
1
2
1
)0,(
Fim do exemplo
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69
Cálculo da matriz de transição a partir da exponencial de A
3
0
32
0
2
00 )(!3
1)(
!2
1)(),( ttAttAttAItt
Esta série é reconhecida como a série da exponencial de uma matriz. Assim:
)(
00),(
ttAett
Repare-se que
)(),( 00 tttt
Atenção: Estas propriedades aplicam-se apenas a sistemas invariantes no
tempo, em que a matriz A é constante.
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70
Equação diferencial verificada pela matriz de transição
A matriz de transição verifica
),(),( 00 ttAttdt
d
Itt ),( 00
Estas propriedades são consequência de
)(),()( 00 txtttx
e da unicidade da solução da equação homogénea com condições iniciais
dadas.
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71
Invertibilidade da matriz de transição
Teorema de Abel-Jacobi-Liouville (caso particular):
trAttttAee
)()( 00det
em que o traço de A , representado por trA , é a soma dos elementos da
diagonal.
Daqui conclui-se que a matriz de transição é sempre invertível pois o seu
determinante nunca se anula.
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72
Semigrupo
),(),(),( 011202 tttttt 210 ,, ttt
)( 0tx
)( 1tx
)( 2tx
),( 02 tt
),( 12 tt
),( 01 tt
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73
Demonstração da propriedade de semigrupo
)(),()( 0022 txtttx
Por outro lado,
)(),(),()(),()( 001121122 txtttttxtttx
Assim:
)(),(),()(),( 00112002 txtttttxtt
Como esta igualdade se verifica )( 0tx :
),(),(),( 011202 tttttt
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74
Inversa da matriz de transição
),(),( 00
1 tttt Rtt 0,
Demonstração:
A matriz inversa ),( 0
1 tt existe sempre (Teorema de Abel-Jacobi-Liouville).
Itttttt ),(),(),( 00
Consequência: Reversibilidade no tempo
)(),()( 00 txtttx
Podemos recuperar a condição inicial a partir do estado actual.
Nem sempre é válida para sistemas discretos!
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75
Continuidade
A matriz de transição
),( 0tt
é uma função contínua em t e 0t .
Demonstração: Omitida. É uma consequência do teorema de existência e
unicidade de solução de quações diferenciais.
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76
Mudança de Coordenadas
Dado o SLIT representado pelo modelo de estado:
)()( tAxtx 00)( xtx
em que a matriz de transição é ),( 0ttA ,
)(),()( 00 txtttx A
Faz-se uma mudança de coordenadas:
)()( tTxtz
em que T é uma matriz constante e invertível.
Qual é a matriz de transição no novo sistema de coordenadas?
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77
)()( tTxtz
Derivando
)()()()( 1 tzTATtTAxtxTtz
Qual a matriz de transição associada a 1TAT ? Chamemos-lhe 1
TAT
)(),()(),()()( 0
1
000 tzTttTtxttTtTxtz AA
Conclusão:
11
TT ATAT
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78
Frequências naturais numa transformação de coordenadas
Considere o SLIT representado pelo modelo de estado:
)()( tAxtx 00)( xtx
Faz-se uma mudança de coordenadas:
)()( tTxtz
em que T é uma matriz constante e invertível.
Mostre que realizações de estado semelhantes têm as mesmas frequências
naturais (valores próprios da matriz da dinâmica).
Sugestão: Calcule os valores próprios da matriz da dinâmica nas
coordenadas z.
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79
Nas novas coordenadas a dinâmica é
)()( 1 tzTATtz
O polinómio característico de 1TAT é
11 )(det)det( TAsITTATsI
)det(
1)det()det()det()det()det( 1
TAsITTAsIT
)det( AsI
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80
Cálculo de Ate por diagonalização
Caso em que há n vectores próprios linearmente independentes
Sendo Axx então )0()( xetx At
Havendo n vectores próprios linearmente independentes, a matriz modal M é
invertível.
nvvM ||1 ),,( 1 ndiag 1 MMA
Mudança de coordenadas:
)()( tMztx
)()()()()( 111 tztAMzMtAxMtxMtz
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81
Nas coordenadas z:
)()( tztz
Sendo diagonal, é fácil somar a série que define a sua exponencial:
t
t
t
ne
e
ttIe
0
0
!2
1
1
22
)0()0()()( 1xMMezMetMztx tt
1 MMee tAt
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82
A
Ate
te
Transformação de coordenadas
Transformação
inversa
? Trivial
AMM 1
1 MMee tAt
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83
Os dois diagramas são
equivalentes se a matriz A tiver
n vectores próprios
linearmente independentes
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84
Exemplo – Cálculo da matriz de transição por diagonalização
Dada a matriz da dinâmica
14
11A
determine a correspondente matriz de transição por diagonalização.
1)()(
000),(
MMeettttttA
A
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85
Polinómio característico da matriz A:
)1)(3()21)(21(4)1(14
11)det( 2
AI
Os valores próprios são as raízes do polinómio característico:
31 21
Cálculo dos vectores próprios:
0
0
14
11
2
1
i
i
v
v
Como a carecterística desta matriz é 1 para 21, , apenas se considera uma
das equações:
ii vv 21)1(
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86
ii vv 21)1(
Faça-se a normalização
11 iv
Vectores próprios:
2
11v
2
12v
Matriz modal:
22
11M
12
12
4
11M
Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos
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87
12
12
224
1
4
1
12
12
0
0
22
113
3
3
1
tt
tt
t
t
tAt
ee
ee
e
eMMee
tttt
tttt
At
eeee
eeeee
33
33
2244
22
4
1
Fim do exemplo
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88
6.Sistemas não homogéneos
Objectivo:
Cálculo da resposta no tempo de um SLIT não homogéneo descrito pelo
modelo de estado.
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89
Sistemas não homogéneos (caso contínuo)
No caso de sistemas não homogéneos a solução obtém-se da solução da
equação homogénea tendo em conta a entrada e recorrendo ao Princípio de
Sobreposição.
Sendo o sistema descrito pela equação de estado
)()()( tbutAxtx
a evolução temporal do estado vem dado por
t
t
tAttAdbuexetx
0
0 )()( )(
0
)(
Regime
livre
Regime forçado
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90
7.Modelo de estado de sistemas discretos
Objectivo:
Estudo muito abreviado da resposta no tempo de sistemas discretos
representados pelo modelo de estado.
Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos
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91
Equação homogénea (sistemas discretos)
00 )()()1( xkxkAxkx
Uma vez mais o estado no instante k está relacionado com o estado no
instante kk 0 por um operador matricial linear (matriz de transição de
estado):
)()( 00 kxAkx
kk
Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos
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92
Não invertibilidade da matriz de transição no caso discreto
Uma diferença com consequências do caso discreto em relação ao contínuo é
que, no caso discreto, a matriz de transição pode não ser invertível (ao
contrário dos sistemas contínuos em que a matriz de transição é sempre
invertível). Se a matriz A fôr singular as suas potências também o serão.
Isto sognifica que há sistemas discretos para os quais, sabendo o estado no
instante k , não podemos inferir qual a condição inicial de onde ele partiu, ao
contrário dos sistemas contínuos em que isso é sempre possível.
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93
Solução da equação não homogénea (caso discreto)
11
0
0
0 )()(k
kj
jkkkjbuAxAkx
Com condições iniciais nulas:
)1()1()0()( 21 kbubuAbuAkx kk
Este resultado pode ser facilmente demonstrado através do Princípio de
Sobreposição.
Regime livre Regime forçado
Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos
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94
Conhecida a sequência de entrada e a condição inicial do estado, as
expressões anteriores permitem calcular o estado no final do intervalo de
tempo (quer em tempo contínuo, quer discreto).
Pode naturalmente pensar-se no problema inverso. Este será estudado
posteriormente.