UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA
MARCELO FERREIRA PAIVA
A MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL II:
utilizando conceitos da Astronomia como ferramenta no
processo de ensino e aprendizagem
SÃO PAULO
2013
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
A MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL II:
utilizando conceitos da Astronomia como ferramenta no
processo de ensino e aprendizagem
Trabalho apresentado à Banca Examinadora
da Universidade Bandeirante Anhanguera
como exigência parcial para a obtenção do
título de MESTRE EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA, sob a orientação da Profa.
Dra. Aparecida Rodrigues Silva Duarte.
SÃO PAULO
2013
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _________________________________ Local e Data ____________
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a duas mulheres que em minha trajetória, sempre me incentivaram na busca constante pelo conhecimento: Minha esposa, Denise, pela compreensão neste período e carinho dedicado a mim e ao nosso filho Vinícius. Minha Mãe, Odete, que está descansando ao lado do meu pai Alvaro em algum lugar especial no Universo, torcendo por mim, como sempre fizeram. “As pessoas que amamos não terminam, continuam conosco e nosso coração percebe isso. Viram estrelas, e delas, de alguma forma, nos vêm força e claridade”. (Osvaldo D. Tórtora).
AGRADECIMENTOS
À minha orientadora Profª Drª Aparecida Rodrigues Silva Duarte, pela
confiança e carinho com que abraçou meu projeto. Agradeço suas observações,
desde a elaboração do projeto até a redação final, decisivos para o
enriquecimento deste trabalho, assim como pelas preciosas sugestões que, sem
dúvida, fizeram que essa dissertação ganhasse mais clareza, o que já basta para
tê-la em enorme consideração.
Aos Professores Doutores da Banca Examinadora Ubiratan D`Ambrosio e
Walmir Thomasi Cardoso, pela leitura atenta na dissertação no exame de
qualificação e pelos comentários e sugestões que contribuíram em muito para a
evolução dessa dissertação.
À coordenação, corpo docente e funcionários do Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante Anhanguera,
pelo estímulo e respeito que dedicam ao corpo discente.
A direção, professores e funcionários do Colégio que nos recebeu de
braços abertos para a realização dessa investigação.
Aos alunos que se prontificaram em participar da pesquisa. Seu
comprometimento, responsabilidade e colaboração foram fundamentais para a
investigação. Aos pais, por permitirem a participação dos seus filhos no projeto.
Agradeço aos amigos do Grupo de Estudos e Pesquisas em
Etnomatemática da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, pela
amizade, ideias e sugestões que com certeza contribuíram em muito no meu
trabalho.
Finalmente, um agradecimento muito especial à minha esposa Denise e ao
meu filho Vinícius, pelo carinho, paciência e incondicional apoio que sempre
demonstraram. Muito obrigado pelas conversas e palavras de coragem nos
momentos mais difíceis.
Eternamente grato!
"... é impossível explicar honestamente as belezas
contidas nas leis da natureza de uma forma que as
pessoas possam senti-las, sem que elas tenham
uma boa compreensão da Matemática."
Richard Feynman
RESUMO
Esta investigação teve como principal objetivo contribuir com subsídios para o
estudo integrado de Matemática e Astronomia com alunos do 8º e 9º ano do
Ensino Fundamental, avaliando de que modo a utilização de conhecimentos
astronômicos em situações-problema de conteúdos matemáticos pode
proporcionar aos alunos participantes da pesquisa a aquisição e produção de
conhecimento, a partir da compreensão do mundo em que eles estão inseridos.
Para atingir o objetivo proposto, foram desenvolvidas atividades de ensino
utilizando o software Stellarium, um gnômon e o Globo Local Paralelo - GLP,
dentre outros. Um dos princípios teóricos utilizados foi a transdisciplinaridade e
interdisciplinaridade, em conformidade com D’Ambrosio (2009). As tarefas
realizadas evidenciam que a transdisciplinaridade e a interdisciplinaridade
possibilitam encontrar respostas para a compreensão de fenômenos naturais e
a tomada de atitudes mais responsáveis e democráticas no mundo em que
vivemos. Espera-se que os alunos participantes ampliem seus conhecimentos,
tornando-se cidadãos críticos e reflexivos, conscientes da necessidade de
cuidar do planeta Terra.
Palavras-chave: Matemática. Astronomia. Transdisciplinaridade.
ABSTRACT
This research aimed to provide insight for the integrated study of mathematics
and astronomy with students of 8th and 9th grade of elementary school,
assessing how the use of astronomical knowledge in the problem situations in
mathematical content can provide in the participants students research the
acquisition and production of knowledge, from understanding the world in which
they are inserted. To reach that goal, learning activities were developed using
the software Stellarium a gnomon and the Globo Local Paralelo - GLP, among
others. One of the theoretical principles used was the transdisciplinarity and
interdisciplinarity, according with D'Ambrosio (2009). The tasks carried out show
that transdisciplinarity and interdisciplinarity possible to find answers to the
understanding of natural phenomenons and have more responsible attitudes
and democratic in the world in which we live. It is expected that participating
students expand their knowledge and become critical and reflective citizens,
aware of the need to care for the planet Earth.
Keywords: Mathematics. Astronomy. Transdisciplinarity.
LISTA DE IMAGENS
Imagem 01 Gnômon 35
Imagem 02 GLP - Globo Local Paralelo 37
Imagem 03 Duplas 01 e 02 executando exercício 01 51
Imagem 04 Aluno da Dupla 01 localizando a Holanda no Planisfério 57
Imagem 05 Alunos durante a Atividade 01 62
Imagem 06 Dupla 11 resolvendo exercício 04 63
Imagem 07 Detalhes do posicionamento do gnômon 88
Imagem 08 Dupla 03 posicionado o gnômon 89
Imagem 09 Dupla-06 traçando a sombra por volta das 9h15min 90
Imagem 10 Dupla-07 preparando para traçar sombra das 9h45min 91
Imagem 11 Aluna da Dupla-06 traçando a sombra das 13h30min 94
Imagem 12
Aluna da Dupla-03 observando as sombras traçadas, em destaque sombra traçada das 14h15min (ao fundo em verde)
95
Imagem 13 Aluna da Dupla-02 construindo a bissetriz 99
Imagem 14 Aluno da Dupla-03 prolongando as sombras traçadas 99
Imagem 15 Dupla 08 preparando para traçar a Linha Norte-Sul 100
Imagem 16
Aluno da Dupla-09 observando a Linha Norte-Sul, construído por meio da bissetriz das sombras das 10h30min e 13h30min
100
Imagem 17 Aluno da Dupla-09 construindo a Linha Leste-Oeste perpendicular a Linha Norte-Sul
103
Imagem 18 Dupla 06 pintando a Linha Norte-Sul com auxílio da barra de metal
104
Imagem 19 Dupla 01 pintando a Linha Leste-Oeste 104
Imagem 20 GLP posicionado sobre as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste
105
Imagem 21 Aluna do Grupo 01 posicionando um gnômon sobre o GLP e verificando o comportamento da sua sombra
107
Imagem 22 Grupo 4 posicionando o gnômon na cidade de Alabama 109
Imagem 23 Detalhe da sombra projetada no Hemisfério Norte 112
Imagem 24
Grupo-03 posicionando o gnômon. No detalhe os alunos visualizam a sombra do gnômon na cidade de Bidon/Argélia
113
Imagem 25 Detalhe da coluna de ferro e o muro - Atividade complementar
114
Imagem 26 Alunos medindo o comprimento do gnômon 116
Imagem 27 Aluno marcando no chão o limite da trena (5metros) da
sombra da coluna de ferro 117
Imagem 28 Alunos medindo o restante da sombra da coluna de ferro 117
LISTA DE FIGURAS
Figura 01 Triângulo da Sobrevivência 31
Figura 02 Triângulo da Transcendência 32
Figura 03 Tabela dos Pontos Cardeais 47
Figura 04 Globo Terrestre - Fusos Horários 48
Figura 05 Registro: data e horário da atividade 49
Figura 06 Atividade de Ensino 01 – Exercício 01 50
Figura 07 Resolução do Exercício 01 – Dupla 11 52
Figura 08 Resolução do Exercício 02 – Dupla 09 55
Figura 09 Resolução do Exercício 02 – Dupla 11 55
Figura 10 Representação do Planisfério do Exercício 03 58
Figura 11 Resolução do Exercício 03 – Dupla 07 59
Figura 12 Resolução do Exercício 03 – Dupla 02 59
Figura 13 Quadro de Longitudes 61
Figura 14 Atividade de Ensino 01 – Exemplo para o exercício 04 62
Figura 15 Dados do exercício 04 – item a 63
Figura 16 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 07 64
Figura 17 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 10 64
Figura 18 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 03 65
Figura 19 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 08 65
Figura 20 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 09 66
Figura 21 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 06 66
Figura 22 Dados do exercício 04 – item b 67
Figura 23 Resolução do exercício 04 – item b - Dupla 12 68
Figura 24 Resolução do exercício 04 – item b - Dupla 09 68
Figura 25 Resolução do exercício 04 – item b - Dupla 07 69
Figura 26 Resolução do exercício 04 – item b - Dupla 08 69
Figura 27 Resolução do exercício 04 – item b - Dupla 06 70
Figura 28 Dados do exercício 04 – item c 70
Figura 29 Resolução do exercício 04 – item c - Dupla 04 71
Figura 30 Resolução do exercício 04 – item c - Dupla 10 71
Figura 31 Resolução do exercício 04 – item c - Dupla 08 72
Figura 32 Resolução do exercício 04 – item c - Dupla 09 73
Figura 33 Resolução do exercício 04 – item c - Dupla 07 73
Figura 34 Dados do exercício 05 – item a 74
Figura 35 Resolução do exercício 05 – item a - Dupla 12 75
Figura 36 Resolução do exercício 05 – item a - Dupla 11 76
Figura 37 Resolução do exercício 05 – item a - Dupla 06 76
Figura 38 Exercício 05 – item b 77
Figura 39 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 12 78
Figura 40 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 05 78
Figura 41 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 06 79
Figura 42 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 10 79
Figura 43 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 07 80
Figura 44 Tela: Relógio Mundial e Mapa dos Fusos Horários Mundiais
82
Figura 45 Representação do GLP colocado de forma homotética com a Terra
106
Figura 46 Tabela da Atividade complementar 1 115
Figura 47 Respostas dos alunos sobre a questão do "Pré Sal" 120
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 16
CAPÍTULO 1 22
1 PROCEDIMENTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS 22
1.1 Fundamentação teórica 22
1.2 Procedimentos metodológicos 34
1.2.1 O software Stellarium 34
1.2.3 O gnômon 35
1.2.3 O projeto internacional Globo Local 36
1.3 Sujeitos 39
1.4 Descrição e objetivos das Atividades de Ensino 39
CAPÍTULO 2 44
2 ATIVIDADE DE ENSINO 01 A MATEMÁTICA NAS COORDENADAS GEOGRÁFICAS
44
2.1 Descrição da Atividade 01 45
2.2 Exercício 01 49
2.3 Exercício 02 54
2.4 Exercício 03 58
2.5 Exercício 04 60
2.5.1 Exercício 04 – item a 63
2.5.2 Exercício 04 – item b 67
2.5.3 Exercício 04 – item c 70
2.6 Exercício 05 74
2.6.1 Exercício 05 – item a 74
2.6.2 Exercício 05 – item b 77
2.7 Relógio Mundial e Mapa dos Fusos Horários Mundiais 80
2.8 Considerações sobre a Atividade 01 82
CAPÍTULO 3 87
3 ATIVIDADE DE ENSINO 02 GLOBO LOCAL PARALELO
87
3.1 Apresentação da Atividade 87
3.2 Posicionando o gnômon 88
3.3 Traçando as sombras do gnômon 90
3.4 Traçando as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste 95
3.5 Atividade de Ensino 02 - itens a) e b) 104
3.6 Atividade de Ensino 02 - itens c), d) e e) 106
3.7 Atividade complementar 1 Medindo o comprimento de uma coluna de ferro
114
3.8 Atividade complementar 2 "Pré Sal"
119
3.9 Considerações sobre as atividades do capítulo 3 121
CAPÍTULO 4 124
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 124
REFERÊNCIAS 130
ANEXOS
ANEXO A 135
ANEXO B 142
ANEXO C 144
ANEXO D 145
INTRODUÇÃO
A Proposta Curricular do Estado de São Paulo é documento de utilização
obrigatória na rede estadual de ensino e tem como objetivo estabelecer um
sistema de ensino comum a todas as escolas do Estado, de modo a garantir um
padrão de qualidade e subsidiar as escolas com diretrizes e orientações
curriculares comuns, proporcionando ao estudante acesso aos conteúdos
básicos, saberes e competências básicas e específicas para cada nível de ensino.
Um dos temas que estruturam a Proposta Curricular de Matemática, para
os ciclos Fundamental e Médio, vem a ser a Geometria1, que diz respeito à
observação de padrões e formas do mundo como também da relação entre
formas e imagens ou representações visuais. Essa percepção do espaço, a
exploração das propriedades dos objetos e a explicitação de suas relações fazem
parte do dia a dia dos seres humanos.
Para o Ensino Fundamental, Ciclo II, verifica-se que o documento defende
um ensino de Geometria de forma ampla e diversificada. Segundo essa Proposta,
os conteúdos de Geometria são assuntos indispensáveis ao currículo, uma vez
que auxiliam o aluno a compreender, descrever e representar de modo
organizado o mundo em que vive.
Magni (2011), ao analisar a referida Proposta Curricular e os Parâmetros
Curriculares, verificou que:
Ambos os documentos curriculares enfatizam que a Geometria é um
campo importante para ser explorado com situações-problema, e é um
tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. Ensinar
noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e
medidas, pois estimula o aluno a observar, perceber semelhanças e
diferenças, identificar irregularidades, entre outros. Ensinar o aluno a
partir da exploração dos objetos do mundo físico – obras de arte, música,
manipulação de objetos, pinturas, desenhos, esculturas – permite a ele
estabelecer uma conexão entre a Matemática e as outras áreas do
conhecimento (p.61-62).
1 O currículo de matemática está estruturado em quatro grandes blocos: Números, Geometria,
Grandezas e Medidas, Tratamento da Informação.
17
Magni (2011) também reforça a necessidade de fazer com que a
Geometria a ser ensinada se articule com os demais ramos da Matemática. Assim
sendo, deve-se evidenciar a conexão entre Álgebra e Geometria, por exemplo.
A partir dessas considerações, infere-se, que utilizar conhecimentos e
atividades envolvendo conceitos de Astronomia pode proporcionar situações de
aprendizado da Geometria, uma vez que determinadas atividades que englobem
conteúdos matemáticos e astronomia permitem o reconhecimento de formas e a
exploração visual e tátil de figuras planas e espaciais.
Mais que isso, o trabalho com a Astronomia configura-se como modo
diferenciado e propício para o aprendizado de Matemática, pois propicia a
contextualização e o estabelecimento de relações com conceitos matemáticos,
oferecendo ao aluno a possibilidade de perceber como podem ser aplicados,
estimulando sua curiosidade sobre o mundo da ciência.
Tornou-se muito comum afirmar que a Astronomia foi o primeiro
conhecimento científico criado pelo homem, além de ser importante para a vida
de todos, por estar relacionada com a nossa origem, a do nosso planeta e a do
Universo. Tudo o que sabemos sobre o Universo, começou a ser estudado
através da contemplação do céu, proporcionando vários questionamentos: De
onde viemos? Qual o tamanho do Universo? Como foram formados os planetas e
as estrelas? Existe vida em outros lugares do Universo? Assim, podemos dizer
que a Astronomia está presente no nosso dia a dia: as estações do ano, os
movimentos de rotação e translação da Terra, as fases da Lua, a luz fornecida
pelo Sol, as marés, entre outros fenômenos. Dessa forma “a astronomia
representou de fato um papel essencial na construção das diversas identidades
humanas em todos os lugares da Terra” (CARDOSO apud LONGHINI,2010, p.7) .
A Matemática não pertence só a matemáticos, ela vem evoluindo também
como parte integrante no contexto de outras ciências. Além disso, ela tem um
caráter interdisciplinar, relacionando-se com outras áreas do conhecimento tais
como: a Física, a Economia, a Biologia, na Lingüística e a Engenharia. Conclui-
se, então, que, a maneira de pensar matematicamente deve ser aprendida não
apenas por aqueles que irão dedicar-se à Matemática (CARNEIRO, 2005).
18
Ademais, muitos fenômenos físicos e químicos estudados na Astronomia
são resolvidos e melhor compreendidos através de modelos matemáticos.
Segundo Langhi (2004), com o decorrer do tempo, várias disciplinas foram
supridas com informações e inspirações decorrentes da Astronomia: a Física, a
Química, a Biologia, a História, a Geografia, a Navegação, a Filosofia, a
Sociologia, a Música, a Poesia, a Literatura e muitas outras. Logo, podemos dizer
que a Astronomia apresenta possibilidades de trabalho no ensino que ressalta
esse processo interdisciplinar.
Na área educacional, o estímulo por parte dos alunos sobre tópicos
relacionados à Astronomia é verificado em diversos estudos, como aquele
realizado por Oliveira et. al.(2007) quando constatam que “os tópicos relativos a
essas questões comumente aguçam a curiosidade do jovem” (p. 82). Do mesmo
modo, para Bernardes et. al. (2006), a “Astronomia é uma das áreas que mais
atrai a atenção e desperta a curiosidade dos estudantes, desde os primeiros anos
escolares até sua formação nos cursos de graduação, abrangendo todas as
áreas, principalmente de Física” (p. 391).
Entretanto, o ensino de Astronomia não deve ser tratado como um novo
conteúdo a ser ensinado apenas nas aulas de Ciências Naturais. Pode,
igualmente, ser tratado como um elemento motivador de conteúdos específicos a
ser explorados em outras disciplinas, em particular, no ensino da Matemática. A
Astronomia permite relacionar fenômenos naturais e conteúdos matemáticos,
notadamente no campo da Aritmética, Álgebra e Geometria, sendo que uma das
mais belas características dessa ciência é sua capacidade de explicar
quantitativamente fenômenos observados (GLEISER, 2000). Tais características
propiciam um tratamento interdisciplinar dos conteúdos escolares.
Como sugere Marcelo Gleiser, “não existe nada mais fascinante no
aprendizado da ciência do que vê-la em ação. Mais importante ainda é levar os
alunos para fora da sala de aula, fazê-los observar o mundo através dos olhos de
um cientista aprendiz” (2000, p.4).
19
Procura-se, a partir da utilização de conhecimentos astronômicos em
situações-problema de conteúdos matemáticos, proporcionar aos alunos do
Ensino Fundamental, participantes desta investigação, a aquisição e produção de
conhecimento, a partir da compreensão do mundo em que estão inseridos.
Para além desse processo interdisciplinar, as atividades escolares
possibilitam introduzir questões relativas aos problemas que o Planeta Terra vem
enfrentando, de modo a sensibilizar e conscientizar os alunos sobre sua
preservação e proteção. Nesse sentido, tais ações e preocupações viabilizam
uma postura transdisciplinar no ambiente educacional. No dizer de D'Ambrosio,
Na sua essência, a transdisciplinaridade é transcultural. As reflexões transdisciplinares navegam por ideias vindas de todas as regiões do planeta, de tradições culturais diferentes. Repousam sobre as ideias de indivíduos de formação e experiências profissionais as mais diversas (2009, p.9-10).
No que tange à universidade, D'Ambrosio aconselha que "cada aula deve
ser uma oportunidade única de se ouvir o que não está nos livros, o que não está
gravado em áudio ou em vídeo e que não é repetido" (2009, p. 100). Do mesmo
modo, entendemos que desde as séries iniciais devemos propiciar um ambiente
que estimule a criatividade dos educandos, possibilitando a criação de
pensamentos originais, que os auxiliem no enfrentamento e busca de solução
para problemas que a humanidade vem atravessando.
Nessa perspectiva, o presente trabalho busca responder a seguinte
questão de pesquisa:
Como um estudo integrado de Matemática e Astronomia pode contribuir na
construção dos conhecimentos de Matemática de modo que possibilite um melhor
entendimento do mundo aos estudantes do 8º e 9º ano do Ensino Fundamental?
Ao procurar responder a referida questão, busca-se alcançar os seguintes
objetivos:
Verificar, por meio de uma abordagem transdisciplinar envolvendo a
Matemática, Geografia e Astronomia em aulas de Matemática, com
20
alunos do 8º ano (7ª série) e 9º ano (8ª série) do Ensino
Fundamental, quais benefícios esta proposta trará na compreensão
dos conteúdos de Matemática, bem como um melhor entendimento
de mundo em que vivem.
Realizar atividades de ensino com alunos do 8º ano (7ª série) e 9º
ano (8ª série) do Ensino Fundamental, que envolvam um estudo
interdisciplinar entre a Matemática, Astronomia e Geografia por
meio do software Stellarium e do Projeto Internacional Globo Local.
Abordar temas relacionados à Astronomia e Geografia tais como:
movimento, distância, formas e tamanhos dos astros do Sistema
Solar, coordenadas geográficas, distância entre astros, formas,
tamanho, volume e densidade dos planetas; relacionando-os com
conteúdos de Geometria como: formas, projeção, bissetriz,
mediatriz, circunferência, segmento de reta, operações matemáticas
com ângulos e unidades de tempo, entre outros. Além disso,
abordar, de forma articulada, outros conteúdos matemáticos, quais
sejam: razão e proporção, notação científica, sistema de medidas,
semelhança de triângulo, etc.
proporcionar ao aluno obter uma visão mais responsável sobre o
mundo, mostrando como suas atitudes podem influenciar ou
interferir no restante do planeta Terra.
Para atingir os objetivos propostos, esta investigação encontra-se
organizada em quatro capítulos, a saber:
O primeiro capítulo trata dos procedimentos teórico-metodológicos
adotados para a consecução dessa pesquisa. Nela, descrevemos a
fundamentação teórica e a descrição dos procedimentos adotados para a
realização das atividades realizadas junto aos alunos do 8º ano do Ensino
Fundamental. Além disso, discorremos sobre a proposta do projeto Globo Local,
bem como sobre o software Stellarium, ambos utilizados nas atividades.
O segundo e o terceiro capítulo, descrevemos cada uma das atividades de
ensino realizadas, efetuamos a descrição dos dados obtidos e analisamos as
21
soluções e comportamentos apresentados pelos sujeitos participantes desta
investigação.
Finalizando, no quarto capítulo, procuramos responder nossa questão de
pesquisa, analisando os resultados obtidos durante as atividades, à luz das
teorias que deram suporte à esta investigação.
22
CAPÍTULO 1
PROCEDIMENTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS
1.1 Fundamentação teórica
Promover situações que envolvam a criatividade dos alunos, instigando-os
a procurar soluções, formular hipóteses e comunicar-se com outros alunos, é
intenção das atividades propostas neste estudo. Nessa perspectiva, esta
pesquisa fundamenta-se, basicamente, nos conceitos propostos no Programa
Etnomatemática, conceituado por D´Ambrosio (2005), particularmente no que
tange à interdisplinaridade e a transdisciplinaridade.
O Programa Etnomatemática trata da geração, organização intelectual,
organização social e difusão do conhecimento. Diz respeito a um programa
interdisciplinar que engloba aspectos das ciências da cognição, da epistemologia,
da história, da sociologia e educação. Em todas as culturas o conhecimento está
condicionado a um contexto natural, social e cultural.
A etnomatemática é um conjunto de estratégias utilizadas pelos seres
humanos para sobreviver, ou seja, lidar com o cotidiano, e para transcender, ou
seja, explicar fatos, fenômenos e mistérios. Há inúmeras ETNOMATEMÁTICAS.
Cada uma praticada de forma diferente, por grupos culturalmente identificados
(profissionais, trabalhadores, jogadores, crianças brincando, grupos étnicos). É
uma forma de conhecimento explicado em linguagem comum, sem formalismo e
transmitido por uma pedagogia similar a do ensino mestre→aprendiz no
artesanato.
Assim sendo, o Programa Etnomatemática apresenta importantes
implicações pedagógicas. A educação deve fornecer ao educando instrumentos
que possibilitem sua sobrevivência na sociedade. Tais instrumentos só têm
significado quando inseridos na cultura do aluno ou então quando se explicita de
qual cultura advêm e inseridos num discurso crítico. “Fazer da Matemática uma
23
disciplina que preserve a diversidade e elimine a desigualdade discriminatória é a
proposta maior de uma Matemática Humanística. A Etnomatemática tem essa
característica” (D’AMBROSIO, 2006).
Ubiratan D’Ambrosio (2010), mentor do termo Etnomatemática, para a
composição dessa palavra, utilizou suas raízes para dar significado às várias
maneiras, técnicas ou habilidades (teché=tica) de explicar, de entender, de se
desempenhar na realidade (matema), dentro de um contexto cultural (etno) (p.
111).
Desse modo, a Etnomatemática, arte de ensinar ou técnica de explicar,
conhecer e de entender, nos diversos contextos culturais, é atualmente
considerada como uma subárea da História da Matemática e da Educação
Matemática, com uma relação muito natural com a Antropologia2 e as ciências da
cognição (D’AMBROSIO, 2005).
A Etnomatemática exige que os educadores repensem suas práticas de
ensino, entendendo que a matemática não se encontra somente no ambiente sala
de aula, nos programas e currículos, mas em todos os lugares e proposta de
diferentes formas. Solicita que os educadores reflitam suas práticas, sem
desconsiderar suas experiências com a educação formal, mas ampliem seu
conhecimento e método, adotando modos de explicar, de entender e de atuar na
realidade, dentro do contexto cultural do aluno.
No que diz respeito ao currículo, D'Ambrosio (1999) o define como um
conjunto de estratégias que permitem atingir as metas maiores da educação e é
composto por objetivos, conteúdos e métodos. Esse novo conceito de currículo
não privilegia os conteúdos das disciplinas. Os saberes devem ser resultado das
práticas (fazeres).
Para organizar a prática educacional, D'Ambrosio (1999) propõe subdividi-la
em duas vertentes.
2 Antropologia, de modo geral, pode ser definida como o estudo ou reflexão acerca do ser humano,
e do lhe é característico (FERREIRA, 2008, p. 81).
24
A primeira, denominada formativa, é aquela que mais se aproxima do
ensinar, no sentido tradicional, por exemplo, o ensino de uma área da matemática,
como a Geometria. A vertente formativa é a essência de um novo conceito de
currículo, baseado não na transmissão de conteúdos disciplinares programados,
mas no fornecimento, aos alunos, de competências para acessar, socializar e
ampliar o conhecimento. Nesse sentido, devem ser desenvolvidos os seguintes
instrumentos:
comunicativos, por meio de discussões críticas que promovam o
desenvolvimento da capacidade de se comunicar. Inclui leitura,
escritura, cálculo, diálogo, ecálogo, mídia, internet (LITERACIA). Por
exemplo, escrever nos roteiros das atividades. No caso da
geometria, comunicar forma e dimensão.
analíticos, aqueles que permitem interpretar e analisar as situações,
propor e utilizar modelos e simulações na vida cotidiana, elaborar
abstrações sobre representações do real [MATERACIA], de modo
que os alunos façam inferências, cheguem a conclusões sobre
determinado assunto.
materiais, quando fazem uso de instrumentos simples ou complexos,
que permitam a aprendizagem, avaliando suas possibilidades suas
limitações e sua adequação a necessidades e situações diversas
[TECNORACIA]. tais como o computador, o atlas, o gnômon, etc.
A segunda vertente, denominada informativa, fornece meios para socializar
e ampliar o conhecimento, reconhecendo o fato de que as mídia, como por
exemplo o rádio, o cinema, a televisão, os meios digitais, são responsáveis pela
difusão atualizada da informação. Assim, o professor deve estimular a crítica
sobre o que se viu, se ouviu e se observou, bem como do que se leu e do que se
imaginou, de modo a permitir aos alunos fazer uso de materiais e procedimentos
que mostrem os conhecimentos matemáticos que se inserem no cotidiano
(D'AMBROSIO, 1999).
25
Procuramos, nas atividades propostas, contribuir para a valorização da
cultura da comunidade escolar envolvida nesta investigação. O trato com a
Astronomia, Geografia e a Matemática, permite essa valorização. Gerdes
descreve este pensamento:
Numa educação que reconhece e aproveita a existência de muitas
culturas abre-se o horizonte do aluno, enriquecendo-o com experiências
doutros povos e doutros tempos.
Assim pode ser também na educação matemática: a matemática
materna, a matemática familiar, a matemática da cultura do aluno
ascender a mais conhecimentos e habilidades matemáticas, uma
alavanca para poder pensar e imaginar..., inclusive para aprender mais
(ideias) matemáticas, enriquecendo o horizonte matemático do aluno
com experiências matemáticas doutros povos e doutros tempos
(GERDES, 2007, p.160).
A cultura escolar, utilizando uma proposta etnomatemática, pode promover
uma matemática viva, ao lidar com situações reais no tempo e no espaço. Por
meio da crítica e do questionamento, podemos praticar a dinâmica cultural.
A escola constitui-se em local privilegiado para a prática de uma dinâmica
cultural em que a matemática se insere como conhecimento fundamental para a
vida na sociedade moderna. Para tanto, o professor deve estimular a discussão e
a conversação entre os alunos. Já que o aluno também aprende junto ao outro, é
importante promover a socialização do grupo, produzindo, dessa maneira,
valores, linguagem e o próprio conhecimento.
Nos dias de hoje, a interdisciplinaridade é muito procurada, sobretudo nas
escolas, transferindo métodos de algumas disciplinas para outras, permitindo
identificar novos objetos de estudos (D´AMBROSIO, 2011).
Para esta investigação, estamos entendendo por interdisciplinaridade como
aquela que:
... consiste em utilizar os conhecimentos de várias disciplinas para
resolver um problema ou compreender um determinado fenômeno sob
diferentes pontos de vista. O objetivo é contribuir para a superação do
26
tratamento estanque e compartimentado que caracteriza hoje o
conhecimento escolar. (CARNEIRO, 2005, p. 11)
A Interdisciplinaridade não é um estudo recente, como nos mostra
D´Ambrosio:
Já havia sido antecipada em 1699 por Fontenelle, Secretária da
Academia de Ciências de Paris, quando dizia que “até agora a Academia
considera a natureza só por parcelas.... Talvez chegará o momento em
que todos esses membros dispersos [as disciplinas] se unirão em corpo
regular; e se são com se deseja, se juntarão por si mesmas de certa
forma. (D´AMBROSIO, 2011, s.p)
Por se tratar de um trabalho que se utiliza de dados de fenômenos
astronômicos que interferem direta e indiretamente na vida do planeta, este
estudo caracteriza-se como um projeto que pode promover a aquisição e
produção de novos conhecimentos em um ambiente escolar. Leva-se em conta
que:
Um resultado esperado dos sistemas educacionais é a aquisição e
produção de conhecimento. Isso fundamentalmente a partir da maneira
como um indivíduo percebe a realidade nas suas várias manifestações:
a) uma realidade individual, nas dimensões sensorial, intuitiva,
emocional, racional; b) uma realidade social, que é o reconhecimento da
essencialidade do outro; c) uma realidade planetária, o que mostra sua
dependência do patrimônio natural e cultural e sua responsabilidade na
sua preservação; d) uma realidade cósmica, levando-o a transcender
espaço tempo e a própria existência, buscando explicações e
historicidade. (D' AMBROSIO, 2005, s.p)
Segundo Cardoso (2010), a Astronomia auxilia na ampliação da visão que
o ser humano tem do universo. Entretanto, enfatiza, quem sofre ou não
modificações é a pessoa. "Quem altera a atitude é o leitor, não o texto. Quem
caminha é o caminhante, não a estrada". É nessa direção que procuramos
caminhar, ao tratar de conceitos de Astronomia e Matemática junto aos alunos do
Ensino Fundamental, instigando-os a mudar de atitude em relação ao Planeta
Terra, procurando conscientizá-los dos problemas que a Terra vem enfrentando,
proporcionando-lhes oportunidade de aprender e criar estratégias de
sobrevivência diante do desconhecido (CARDOSO apud LONGHINI,2010, p.10).
27
Assim sendo, a Astronomia juntamente com outras disciplinas pode
contribuir para que a escola reflita sobre problemas que o Planeta Terra vem
enfrentando.
Destaque-se que a Matemática do Planeta Terra (APM, 2013) empenha-se
na divulgação da afirmação de que “A Matemática está em todo o lado!” e no
desenvolvimento de ações para a defesa do Planeta Terra. Entende que se pode
fazer uso de modelos matemáticos para que ocorra um consumo responsável dos
recursos naturais e de energia. Questiona sobre a gestão dos recursos naturais
ou dos consumos energéticos efetuados pelos seres humanos. Mais ainda,
algumas catástrofes naturais escapam das previsões, apesar das tecnologias
desenvolvidas nesse sentido. Por essas razões, defende-se que a matemática
pode auxiliar na prevenção e proteção do mundo em que vivemos. Essa iniciativa
recebeu apoio da UNESCO, a qual reconheceu o ano de 2013 como o ano da
Matemática do Planeta Terra.
A Associação dos Professores de Matemática de Portugal (APM-2013)
reservou um espaço para informação de atividades escolares que permitam
compreender melhor o mundo em que vivemos. Os assuntos referem-se à
matemática no planeta Terra, sob a perspectiva de educadores matemáticos,
matemáticos, astrônomos, biólogos ou geólogos.
As atividades que constam nesta investigação procuram seguir essas
diretrizes, quando procuram dar aos alunos subsídios para que eles se
conscientizem do uso benéfico da Matemática na solução dos problemas
causados pela intervenção humana no planeta, bem como pelas catástrofes
naturais, uma vez que pode fazer com que os alunos percebam a importância e a
fragilidade do planeta Terra, fomentando a formação de uma postura crítica sobre
sua preservação e proteção.
Portugal foi quem sediou, em 1994, o I Congresso Mundial da
Transdisciplinaridade, organizado pelo Centre International de Recherches et
d'Etudes Transdisciplinaires (CIRET), com a parceria da UNESCO. Nesse evento,
elaborou-se um documento denominado Carta da Transdisciplinaridade, a qual
28
trata de um conjunto de princípios fundamentais da transdisciplinaridade, que foi
assinada por 62 participantes, de 14 países.
Em seu artigo 8, a Carta reza que dignidade humana deve ir além do
planeta Terra. O ser humano tem relevante papel na história do universo desde
seu aparecimento. Um dos princípios da transdisciplinaridade é o reconhecimento
da Terra como sua pátria. Embora a nacionalidade seja um direito, ao mesmo
tempo o ser humano é um ser transnacional, ou seja, com título de habitante da
Terra. Esta dupla categoria é um dos objetivos que compõe a
transdisciplinaridade (NICOLESCU, 1999).
Segundo D’Ambrosio (2009), para a construção do conhecimento faz-se
necessário o diálogo entre as ciência e as culturas locais. Assim sendo,
Todo conhecimento é o resultado de um longo processo cumulativo, compreendendo os estágios de geração, organização social e difusão. Esses estágios são estudados na teoria da cognição, na epistemologia, na história e na educação. O processo como um todo - extremamente dinâmico e jamais finalizado - está sujeito a condições muito específicas de estímulo e de subordinação ao contexto natural, cultural e social. Assim é o ciclo da aquisição individual e social do conhecimento (D´AMBROSIO, 2009, p. 25-26).
Assim sendo, o ato de criação é uma ação que se revela como o elemento
mais importante para a aquisição do conhecimento. Manifesta-se no presente,
tendo como alicerce um passado tanto individual como cultural. A aquisição e
elaboração do conhecimento têm como objetivo criar estratégias de ação que se
revelam no presente, delineiam o futuro e trazem alterações da realidade
(D’AMBROSIO, 2009).
Sob essa perspectiva, a transdisciplinaridade permite uma visão ampla de
todas as consequências da ação. Possibilita uma abordagem de situações nas
quais o conhecimento disciplinar é insuficiente e limitado (D´AMBROSIO, 2009).
Um marco importante para as discussões sobre a transdisciplinaridade foi o
"Forum de Ciências e Cultura da UNESCO" realizado em Veneza, em 1986. O
tema abordado, intitulado "Encontro das Ciências e das Tradições" possibilitou
reflexões transdisciplinares. Este Fórum deu origem à criação, em 1987, pelo
29
físico Basarab Nicolescu, do Centre International de Recherches et études
Transdisciplinaires (CIRET), que tem sido um catalizador de pesquisas e ações
transdisciplinares (D´AMBROSIO, 2011).
A transdisciplinaridade é definida por Nicolescu como “aquilo que está ao
mesmo tempo entre as disciplinas, através das diferentes disciplinas e além de
qualquer disciplina. Seu objetivo é a compreensão do mundo presente, para o
qual um dos imperativos é a unidade do conhecimento” (1999, s/p).
A proposta transdisciplinar reconhece que a atual proliferação das
disciplinas e especialidades acadêmicas e não-acadêmicas provoca um
crescimento incontestável de poder de quem possui conhecimentos
fragmentados. Os detentores desses conhecimentos fragmentados dificilmente
poderão reconhecer e enfrentar os problemas e situações novas advindos da
complexidade do mundo atual. Nesse contexto, as disciplinas apresentam-se
como conhecimentos “engaiolados”, no que tange à sua fundamentação, critérios
de verdade e de rigor e nos seus métodos, os quais apresentam um código
linguístico próprio e inatingível aos principiantes (D´AMBROSIO, 2011).
A esse respeito, Santos (2008) constata que, durante a prática educativa,
os professores encontram um grande desafio, que é de transitar pelas diversas
ciências (biologia, física, química, matemática, astronomia, filosofia, artes,
geografia entre outras). Isso requer do profissional um espírito de enfrentamento
do novo e do diferente, vencendo fronteiras de uma pedagogia estática. Em geral,
a formação de professores assume um caráter disciplinar, de modo que, quando
os professores se deparam com a transdisciplinaridade, ficam de frente a
incertezas e diversidades que vão sendo corrigidas e ajustadas à medida que a
transdisciplinaridade é discutida e aprofundada entre eles.
Além disso, a Transdisciplinaridade exige uma postura de democracia
cognitiva, já que todos os saberes são importantes, sem que exista uma
hierarquização entre eles. Não possibilita julgar, como mais certo ou mais
verdadeiro o modo de explicar e conviver com a realidade que está ao nosso
redor (SANTOS, 2008).
30
A transdisciplinaridade maximiza a aprendizagem ao trabalhar com imagens e conceitos que mobilizam, conjuntamente, as dimensões mentais, emocionais e corporais, tecendo relações tanto horizontais como verticais do conhecimento. Ela cria situações de maior envolvimento dos alunos na construção de significados para si. Os alunos “constroem” conhecimentos, como diz Paulo Freire (1997). Trabalhar a educação com tal visão supera a mesmice do padrão educativo, encanta o aprender e resgata o prazer de aventurar-se no
mundo das idéias (SANTOS, 2008, p. 76).
Verificamos nesse momento o esforço da humanidade para a transcender
a nossa existência (Por que?). Segundo D’Ambrosio (2009), o ser (substantivo)
procura a sobrevivência, mas não se sabe qual seria o causador dessa força que
está presente em todos os seres vivos. Deste modo, podemos concluir que
transcendência e sobrevivência constituem a essência do ser (verbo) humano.
Para entendermos sobre sobrevivência nos reportamos ao triângulo da
sobrevivência (Figura 01) defendida por D`Ambrosio (2009), quando descreve as
relações entre indivíduos, a sociedade e natureza (são descritos nos vértices do
triângulo). Para que todas as espécies continuem a viver é necessário que o
equilíbrio do triângulo seja mantido. Para tanto, deve ocorrer ao mesmo tempo um
relacionamento entre os indivíduos, o ambiente e outras espécies, por meio de
ações sobre a natureza na qual todos estão imersos. Os relacionamentos
(representados pelos lados do triângulo) devem ser decididos coletivamente
dentro da sociedade, tendo como princípios a fisiologia animal, a sociobiologia e a
ecologia.
31
Figura 01 - Triângulo da Sobrevivência Fonte: D'Ambrosio (2009, p.163)
D`Ambrosio (2009) chama a atenção para que tenhamos uma visão mais
ampla sobre estes relacionamentos: sobrevivência individual, sobrevivência da
espécie e a continuidade da espécie, os quais requer uma abordagem
transdisciplinar, pois, uma abordagem disciplinar só poderia abordar um
relacionamento de cada vez. Para o autor o término da vida no planeta, poderia
ser motivado por qualquer um desses relacionamentos, ou seja, os lados do
triângulo.
D`Ambrosio (2009) relata que desde a origem do Australopiteco até o
Homo sapiens, e finalmente, até nossa espécie, o Homo sapiens sapiens, surge
outro triângulo que sobrepõem ao da sobrevivência. Esta última espécie Homo
sapiens sapiens, denominada homem, tem suas peculiaridades internas, como
lutar pela sobrevivência individual e a continuidade da espécie - características de
todos os seres vivos. Desta maneira, amplia-se um comportamento característico,
particular da sua espécie, deliberar sobre seu comportamento. A vontade provoca
essencialmente a obrigação de explicar, entender e promover transcendência da
espécie. Nesse momento, a sobrevivência recebe uma nova orientação,
associando-se à transcendência.
Alguns fatores são apontados por D`Ambrosio (2009) como sendo
características da transcendência, como: o senso de passado e futuro, a
32
alimentação e o acasalamento. Estão relacionados ao prazer, a propriedade, a
estrutura do poder e a hierarquia. Dessa forma, o triângulo da transcendência,
(Figura 02) responsável por novas intermediações sobrepõem ao triângulo da
sobrevivência.
Sobre o triângulo da transcendência D`Ambrosio (2009), afirma que essas
novas intermediações formam o núcleo do matema, isto é, um conhecimento
reconhecido para a "aquisição de habilidades, capacitações, modos de fazer,
explicar, entender e lidar com as necessidades da sobrevivência e
transcendência" (p. 168).
Figura 02 - Triângulo da Transcendência Fonte: D'Ambrosio (2009, p.168)
Nessa perspectiva, acreditamos que este projeto, de um cunho
transdisciplinar, com olhares para sobrevivência e transcendência, poderá permitir
aos alunos uma visão mais abrangente de sua posição e importância no Planeta
Terra. Pretende-se que o aluno perceba como determinadas atitudes do homem,
podem afetar direta ou indiretamente o clima, tanto no presente como no futuro,
no seu país como em outras regiões do mundo e vice e versa.
33
Diante de tais considerações, a proposta desta pesquisa é aproveitar esta
interação entre Matemática e Astronomia, para proporcionar a compreensão de
conteúdos de Geometria e Aritmética, bem como de outras situações dos alunos
dentro e fora do ambiente de sala de aula.
Segundo D’Ambrosio (2010), não adianta a escola trabalhar com uma
apresentação do conhecimento obsoleta e ultrapassada. O uso de novas
tecnologias estimula a aquisição, a organização, a geração de um conhecimento
vivo, mais próximo das exigências da sociedade moderna.
Assim sendo, a educação deve colocar em prática conhecimentos que
sirvam para a melhoria das condições sociais:
O grande desafio para a educação é por em prática hoje o que vai servir
para o amanhã. Por em prática significa levar pressupostos teóricos, isto
é, um saber/fazer acumulado ao longo de tempos passados, ao
presente. Os efeitos da prática de hoje vão se manifestar no futuro
(D’AMBROSIO, 2010, p. 80).
O trabalho em um ambiente computacional, a utilização de softwares, a
construção de maquetes podem proporcionar um ambiente escolar mais
dinâmico, voltado para as exigências dessa sociedade denominada “sociedade do
conhecimento”. (VALENTE, 1999).
É nesse sentido que este trabalho faz uso do aplicativo Stellarium, de
calculadoras e da internet, além de estimular os alunos integrantes dessa
pesquisa a participarem do Projeto Globo Local. O envolvimento dos alunos com
assuntos dessa natureza estimula a geração de um conhecimento vivo, integrado
aos valores e expectativas da sociedade, em ambiente prazeroso. “O ideal é o
aprender com prazer ou o prazer de aprender”, manifesta-se D’Ambrosio (2010, p.
84).
Todo ser humano desenvolve conhecimento e seu comportamento reflete
esse conhecimento. À medida em que vai modificando seu comportamento, os
conhecimentos vão sendo modificados. Assim sendo, comportamento e
34
conhecimento são interdependentes e se encontram em permanente
transformação. (D’AMBROSIO, 2005).
As gerações futuras viverão em um ambiente multicultural e carregado de
tecnologia. Constata D’Ambrosio:
Nossa missão de educadores tem como prioridade absoluta obter a PAZ
nas gerações futuras. Não podemos nos esquecer de que essas
gerações viverão num ambiente multicultural, suas relações interculturais
e seu dia-a-dia será impregnado de tecnologia (2005, p. 45).
É levando em conta as observações efetuadas por D´Ambrosio que este
estudo pretende contribuir, ainda que modestamente, para que as gerações
futuras vivenciem a paz.
1.2 Procedimentos metodológicos
Para atingir nossos objetivos, desenvolvemos uma sequência de atividades
utilizando o software Stellarium, o gnômon e o Mapa Mundi Paralelo, os quais
serão comentados a seguir. Essas atividades abordam temas da Matemática,
Geografia e da Astronomia, utilizando como princípios teóricos a
Interdisciplinaridade do modo como desenvolvido por D´Ambrosio (2005).
Por se tratar de um trabalho que se utiliza de dados de fenômenos
astronômicos que interferem direta e indiretamente na vida do planeta, este
estudo referencia-se em um projeto multicultural, denominado Globo Local, que
pode promover a aquisição e produção de novos conhecimentos em um ambiente
escolar.
1.2.1 O software Stellarium
Neste estudo, foi utilizado um simulador de planetário denominado
Stellarium. Trata-se de um software livre de Astronomia para visualização do céu,
nos moldes de um planetário. Entendemos que o uso deste software é uma
35
excelente ferramenta de ensino e aprendizagem em diversas áreas da
Matemática, especialmente a Geometria, uma vez que esse aplicativo é capaz de
simular qual nossa posição na Terra e no Sistema Solar, as posições e distâncias
entre os astros, bem como simular o céu diurno, noturno, e os crepúsculos em
vários lugares da Terra.
1.2.2 O gnômon
Na Atividade de Ensino 2, descrita no Capítulo 3, foi utilizado um gnômon
(Imagem 03), instrumento astronômico provavelmente um dos mais antigos
construídos pelo ser humano. Embora tenha sido utilizado pelos egípcios antes de
1500 a.C, foram os gregos que denominaram por gnômon ao relógio de sol que
chegou até eles por meio dos babilônios (COSTA, 1997).
Trata-se de uma haste que deve ser colocada perpendicularmente ao solo.
A observação da variação de posição da sombra da haste provocada pelos raios
solares durante o dia permite encontrar a Linha Norte-sul e em seguida a Linha
Leste-Oeste.
Imagem 01 - Gnômon
Fonte: acervo próprio
36
1.2.3 O projeto internacional Globo Local
Esta pesquisa está inscrita no Projeto Internacional Globo Local que
se originou na Itália e adota uma abordagem educativa, cultural e interdisciplinar
que envolve a Astronomia, a Matemática, Geografia, História, a Cartografia, a
fotografia, dentre outras áreas do conhecimento, promovendo uma visão
democrática para o nosso planeta.
O Globo Local têm como promotores: Nicoletta Lanciano, da Università di
Roma “La Sapienza”, (Roma, Italia); Franco Lorenzoni, da CasaLaboratorio di
Cenci (Amelia, Italia); Horacio Tignanelli do Ministerio de Educación de la
República Argentina (Buenos Aires, Argentina); Néstor Camino, da Facultad de
Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia “San Juan Bosco (Esquel,
Chubut, Argentina); Enrica Giordano, da Università di MilanoBicocca. (Milano,
Italia).
O projeto propõe o uso do Mapa Mundi Paralelo. É um globo livre de forma
a assumir posições diferentes. Permite aos alunos ou qualquer pessoa
interessada "a possibilidade de refletir sobre a sua própria posição, de uma
maneira diferente daquela de todos os outros países e ajuda a perceber a Terra
como uma esfera no céu" (GLOBO LOCAL, 2011b, p.1).
O Mapa Mundi Paralelo apresenta diferentes denominações: Globo
Paralelo ou Globo Local Paralelo - GLP (Imagem 02). Trata-se de um globo
terrestre posicionado de forma homotética à Terra, respeitando a Latitude e
Longitude local, os sentidos Norte, Sul, Leste e Oeste. Deve ser colocado em
local ensolarado e, no entanto, não deve incidir sombra sobre ele. Desse modo, o
instrumento permite ver como o Sol ilumina as diferentes regiões da Terra,
promovendo a compreensão dos Fusos Horários e mudanças de estações em
tempo real:
De fato, no globo paralelo, colocado em uma posição homotética em
relação à Terra real no espaço, a luz do sol ilumina os países, a partir da
iluminação do planeta. Você pode então ver em que países naquele
37
momento o sol está nascendo e onde é noite, o polo que è iluminado e o
que está na sombra, e em que países as sombras estão no meridiano
local porque é meio-dia. Isso nos ajuda a compreender a mudança do
dia e da noite e das estações (GLOBO LOCAL, 2011b, p. 2).
Os promotores do projeto solicitam aos participantes que confeccionem o
seu próprio GLP, deixando aos integrantes do projeto um arquivo texto com as
instruções para a construção do mesmo.
Imagem 02 - GLP - Globo Local Paralelo3
Os GLP veem sendo testados e validados através de pesquisas e
atividades em locais como Itália, Espanha e Argentina principalmente na casa-
laboratório Cenci (Amelia, Itália) e pelo Grupo de Pesquisa sobre a Pedagogia do
Céu do Movimento de Cooperação Educativa (GLOBO LOCAL, 2011a, s/p).
Segundo os idealizadores do Projeto Globo Local, os valores educativos e
culturais do Globo Local Paralelo tem sido intensamente testados e validados em
diversas regiões do mundo. Os dados, imagens e resultados obtidos pelos grupos
participantes de diferentes regiões do mundo, são compartilhados entre si. Os
3 O Globo Local Paralelo que aparece na Imagem 01 foi confeccionado pelo próprio pesquisador,
com a finalidade específica de ser utilizado pelos alunos durante as atividades.
38
integrantes do projeto atestaram a eficiência do instrumento para a educação
intercultural, de forma consciente e nova (GLOBO LOCAL, 2011b).
De acordo com documento distribuído pela organização do Globo Local, os
objetivos do projeto têm como proposta:
Usar o globo paralelo como uma ferramenta para a prática didática,
propagando a idéia de educação, capaz de combinar manualidade,
observação, experimentação concreta e reflexão.
Difundir esta ferramenta em nível internacional, particularmente nos
países do sul.
Partilhar experiências sobre o uso do Globo Paralelo através da
captação de dados e imagens provenientes de países de longitude e
latitude diferentes, para que todos possam visualizá-las e usá-las,
estabelecendo o crescimento do intercâmbio e da própria ação
educativa.
Esclarecer as diferenças semânticas e simbólicas dos pares Norte-Sul,
alto-baixo, para cima- para baixo, acima-sob, subir-descer, em diferentes
línguas e culturas.
Destacar o valor político do globo paralelo, como uma ferramenta para a
educação intercultural, atenta às diferenças dos diversos pontos de vista
locais, enfatizando a relação entre cultura e democracia, no nível local e
global. (Globo Local, 2011b, s/p).
No ano de 2011, o Projeto Globo Local propôs quatro dias mundiais para a
prática de atividades utilizando os Globo Local Paralelo. Entre outubro de 2010 e
fevereiro de 2011, foram enviadas instruções para a confecção desses mapas.
Após a construção desse instrumento, foram escolhidas quatro datas: 20 de
março e 23 de setembro (dias de equinócios) e 21 de junho e 22 de dezembro
(dias de solstícios), para que, em escolas, parques, museus, ou qualquer outra
instituição praticassem, em exposição ao Sol, as atividades recomendadas pelo
Projeto, utilizando o Globo Local Paralelo.
No trato com o Globo Local Paralelo e o gnômon, o estudante necessita da
utilização de conceitos matemáticos, notadamente aqueles referentes à
Geometria, tais como medidas de segmentos, formas, projeção, bissetriz,
mediatriz, circunferência, ângulo, etc.
39
Demais aplicativos que tomarão parte das atividades: Computadores,
réguas de madeira de 1 metro, nível de bolha, compasso de madeira, barbante,
giz, apagador, tinta guache, pincel e massa de modelar.
1.3 Sujeitos
Para a Atividade de Ensino 01, realizada em agosto de 2012, os
participantes foram alunos do 8º ano (7ª série) do Ensino Fundamental II de um
colégio da rede particular da cidade de Guarulhos do Estado de São Paulo. Já
Atividade de Ensino 02, realizada em março de 2013, participaram os mesmos
alunos, os quais foram promovidos para o 9º ano (8ª série).
1.4 Descrição e objetivos das Atividades de Ensino
As atividades de Ensino foram realizadas em 4 (quatro) momentos,
descritos a seguir:
1º Momento – Atividade de Ensino 01
Título: A Matemática nas Coordenadas Geográficas
Duração: 2 horas e 30 minutos
A atividade foi realizada com os alunos do 8º ano do Ensino Fundamental
no laboratório de Informática do colégio onde se realizou a pesquisa.
Para a consecução desta atividade foram utilizados os seguintes materiais:
computador, aplicativo Stellarium, atlas geográfico, lápis, borracha, folha de
atividade e data show conectado ao computador do pesquisador.
Os próprios alunos formaram as duplas. Cada dupla teve um computador e
uma Atividade de Ensino contendo 7 (sete) folhas (ANEXO A). Para uma melhor
40
visualização, o pesquisador pode desenvolver a pesquisa com um computador
ligado a um projetor. Esta atividade foi dividida em três partes:
1) Explicação do funcionamento e os principais comandos do software
Stellarium.
2) Breve resumo dos conceitos geográficos que seriam trabalhados nas
atividades.
3) Realização dos exercícios propostos englobando de forma
interdisciplinar conceitos geográficos e conceitos matemáticos.
Conteúdos trabalhados:
Matemática: unidades de tempo, ângulos, subdivisões de ângulo,
números inteiros, operações matemáticas usando ângulos e unidades de
tempo, cálculo mental, noções de direção e sentido e contagem.
Geografia: coordenadas geográficas (Latitude e Longitude), hemisférios,
Linha do Equador, Meridiano de Greenwich, Pontos Cardeais, Fusos
Horários, Altitude e rotação da Terra.
2º Momento – Atividade de Ensino 02
Título: Globo Local Paralelo
Duração: 3 horas no período da manhã e 3 horas no período da tarde
Esta atividade foi realizada ao ar livre na quadra de esportes da escola, em
um dia ensolarado. Os materiais utilizados foram: Globo Local Paralelo (GLP),
gnômon haste (cabo de vassoura) de aproximadamente 60 cm, compasso de
madeira, régua de madeira com 1 metro de comprimento, giz colorido, nível de
bolha (usado por pedreiro), barbante com aproximadamente dois metros, fita
adesiva, guache preto e bucha de nylon tamanho 10.
41
Os alunos se dividiram em duplas e distribuídas na quadra de esportes de
forma coordenada pelo pesquisador. Cada dupla recebeu uma haste (gnômon),
giz e barbante. Materiais como régua de um metro, nível de bolha, compasso de
madeira (usado pelo professor na lousa) e o próprio GLP foi compartilhado entre
todas as duplas. A atividade foi dividida em 6 partes.
1) Em determinada hora da manhã, marcamos um ponto com giz no
solo previamente definido pelo pesquisador Em seguida,
posicionamos neste ponto o gnômon. Para que o mesmo ficasse
perpendicular ao solo os alunos usaram o nível de bolha e calços de
papelão.
2) Ainda na parte da manhã, foi traçada no solo as sombras projetadas
pelo gnômon nos horários: 9h15min, 9h45min e 10h30min.
3) No período da tarde os alunos traçaram as sombras nos horários:
13h30min e 14h15min.
4) Foi traçada com giz a Linha Norte–Sul no solo partindo das sombras
do gnômon traçadas no solo usando a bissetriz. Para traçar a
bissetriz os alunos puderam escolher os pares de sombras das:
10h30min com às das 13h30min ou 09h45min com às das 14h15min.
Como esta Linha Norte-Sul passou por cima do ponto onde estava o
gnômon, os alunos traçaram, a partir dele, uma reta perpendicular
encontrando assim a Linha Leste-Oeste.
5) Foi posicionado GLP em cima do cruzamento das Linhas Norte-Sul e
Leste-Oeste. Em seguida foram colocadas alguns gnômons (buchas
de nylon de 5 cm de comprimento) na superfície do GLP (distribuídas
no Meridiano que passa pela cidade de onde se situa o colégio em
que a atividade foi realizada).
6) Ao final, os alunos preencheram a Folha de Atividade 2 (ANEXO B).
Conteúdos trabalhados:
Matemática: operações matemáticas e arredondamento com unidades
de tempo, perpendicularidade, paralelismo, mediatriz, bissetriz, simetria,
42
circunferência, ponto, reta, plano, semirreta, segmento de reta, noções
direção e sentido e homotetia.
Geografia: Coordenadas geográficas (Latitude e Longitude), Pontos
Cardeais, Nascer e Ocaso do Sol, Estações do Ano e Polos geográficos.
Astronomia: Movimento de rotação e translação da Terra, a dinâmica
dos Astros do Sistema Solar.
3º Momento – Atividade complementar 1
Título: Medindo o comprimento da coluna de ferro
Duração: 1 hora no período da manhã
Esta atividade foi realizada ao ar livre na quadra de esportes e na sala de
aula, logo após o término da Atividade 02. Os materiais utilizados foram o
gnômon, giz, trena, nível de bolha e a folha contendo a atividade (ANEXO C).
Devido ao pouco tempo destinado para a realização da atividade, os alunos
foram divididos em dois grupos de onze alunos na quadra de esportes. Já na sala
de aula mantiveram-se as mesmas duplas da Atividade 02. Descrição da
atividade:
1) Verificação se o gnômon estava perpendicular ao solo.
2) Medir e anotar a altura do gnômon com o auxílio de uma trena.
3) Medir e anotar o comprimento da sombra do gnômon.
4) Medir e anotar o comprimento da sombra da coluna de ferro.
5) Medir e anotar a altura do muro, pois a coluna de ferro estava fixada em
cima do muro.
6) Em sala de aula (em duplas), os alunos calcularam o comprimento da
coluna de ferro de acordo com suas anotações,.
43
Conteúdos trabalhados:
Matemática: operações matemáticas com números decimais,
perpendicularidade, unidades de tempo, cálculo mental, razão e proporção e
semelhança de triângulos.
Geografia: Pontos cardeais, Linha Norte-Sul e Leste-Oeste,
Astronomia: Movimento de rotação da Terra.
4º Momento – Atividade complementar 2
Título: "Pré Sal"
Duração: 1 hora
O desenvolvimento desta atividade se deu com a leitura feita pelos alunos,
de texto intitulado "Pré Sal" (ANEXO D). Em seguida responderam ao
questionamento: "No texto comenta-se que no Pré-sal nem tudo é festa. Existe a
preocupação quanto a viabilidade econômica, pois, o desenvolvimento de novas
tecnologias e a cotação do mercado mundial podem tornar o processo de
exploração e produção inviáveis. Na sua opinião será que não devemos nos
preocupar com algo mais, além da viabilidade econômica? Justifique."
Conteúdos trabalhados:
Geologia: Processo de formação do pré sal.
Geografia: Regiões do Brasil, estados brasileiros, países produtores de
petróleo, bacias hidrográficas.
Matemática: Números inteiros, unidades de comprimento.
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CAPÍTULO 2
ATIVIDADE DE ENSINO 01:
A MATEMÁTICA NAS COORDENADAS GEOGRÁFICAS
No dia 20 de agosto de 2012 estivemos com os alunos do 8º ano do de um
colégio da rede particular do município de Guarulhos do Estado de São Paulo.
Nessa nossa conversa, explicamos sobre o projeto que gostaríamos de
desenvolver com eles.
Pontos informados aos alunos:
A importância deste trabalho para a comunidade acadêmica;
O quanto eles iriam desenvolver, trabalhando dentro de áreas como
Matemática, Astronomia, Geografia e História, dentre outras;
Informamos que o trabalho que tem um cunho internacional, pois uma das
atividades, denominada “Globo Local” tem desdobramento em outros
países;
Que os pais deveriam ler e assinar um termo de consentimento para que
pudessem participar da pesquisa.
Todos os alunos presentes aceitaram participar da pesquisa. Fizeram os
seguintes questionamentos: Se a investigação seria feita na própria escola? No
período de aula? Outra turma iria participar?
A essas questões, respondemos que a pesquisa seria realizada na escola
em período de aula e somente aquela turma participaria.
O primeiro encontro ocorreu no dia 31 de agosto de 2012 às 10h00min.
Constou com a presença de 24 alunos do 8º ano que foram divididos em doze
duplas, escolhidas de forma aleatória, sendo que cada dupla teve acesso a um
computador. Para a realização dessa atividade, contou-se com o apoio do
professor de Geografia do próprio Colégio.
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Além disso, esse encontro foi inteiramente filmado, visando o registro dos
trabalhos efetuados pelos alunos, sem privilegiar qualquer dupla,
independentemente do desenvolvimento de cada uma delas. Foi também utilizado
um projetor multimídia conectado ao computador do pesquisador, promovendo
uma melhor interação pois os alunos observavam em seus computadores o que a
atividade pedia.
2.1 Descrição da atividade 01
Cada dupla recebeu a Atividade de Ensino – 01, intitulada “A matemática
nas coordenadas geográficas” contendo sete páginas. (Cf. Anexo A). O início da
atividade (três primeiras páginas) teve como objetivo:
Familiarizar as duplas com o software Stellarium (página 01).
Trabalhar conceitos da Geografia, pré-requisitos para a realização
dessa atividade, dentre elas: Latitudes (paralelos), Longitudes
(Meridianos), Hemisférios, Pontos Cardeais, Meridiano de Greenwich,
Altitude e Fusos Horários (páginas 02 e 03).
Dar subsídios para que as duplas efetuassem os problemas solicitados
durante a atividade.
Durante a familiarização do Stellarium, observou-se que apenas um dos
alunos não conhecia o software, sendo necessário explicar seu funcionamento de
forma mais detalhada, o que aconteceu de forma rápida. Assim sendo,
explicamos a eles que Stellarium se tratava de um software livre, que serve como
um simulador na posição (Latitude, Longitude e Altitude) e visualização (claro ou
escuro) do céu em diversas cidades da Terra, na observação de diversos astros
dentro do Sistema Solar e de galáxias.
Nesse momento um aluno da Dupla 07, perguntou se seria possível ver
dentro de outras galáxias. Demos um tempo para que algum aluno respondesse,
mas não conseguimos ter sucesso. Então, dissemos que não seria possível,
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apenas poderíamos ver as estrelas que estavam dentro da nossa galáxia, ou seja,
a Via Láctea.
O desenvolvimento dos conceitos de Geografia decorreu de forma que os
alunos acompanhavam por meio das páginas 129 a 132 da Atividade 1, Anexo A,
ou pelo telão onde se promovia a explicação. Por meio desse procedimento,
procuramos promover a interdisciplinaridade entre a Geografia e a Matemática
com os conteúdos dos números inteiros, operações com ângulos e produto
cartesiano. O professor de Geografia acompanhou toda essa parte da Atividade 1,
aquelas que continham conteúdos de sua disciplina.
Em seguida, fizemos uma pergunta aos alunos: “o Brasil está no
Hemisfério Norte ou Sul?”. A maioria respondeu que estava no Hemisfério Sul.
Então perguntamos qual a região do Brasil estar localizado no Hemisfério Sul,
quando a maioria dos alunos respondeu que estava situado abaixo da Linha
(paralelo) do Equador. Neste momento informamos aos alunos que nem toda a
área do território nacional estava no Hemisfério Sul. Alguns alunos ficaram
intrigados com esta afirmação, mas dissemos a eles que no decorrer dessa
atividade teriam oportunidade de constatar a veracidade da informação.
A intenção desses questionamentos foi verificar se os alunos sabiam a
localização do Brasil no globo terrestre, ou seja, que a maioria do território
brasileiro encontra-se no Hemisfério Sul e uma pequena parte no Hemisfério
Norte. Dessa forma, estávamos interessados em proporcionar aos participantes a
oportunidade de perceber distâncias, noções de direção, sentido, posição e
espaço, necessárias à compreensão de conceitos geométricos e geográficos.
Chamamos a atenção dos alunos em relação ao comando do Stellarium: a
Janela de Localização [F6], em que as letras maiúsculas antecedem os valores
em graus das Latitudes e Longitudes. Essas letras são as abreviações em inglês
dos pontos cardeais. Os pontos cardeais Norte, Sul, Leste e Oeste são escritos
em inglês North, South, East e West. No software Stellarium, para direcionar as
Latitudes e Longitudes são usadas suas abreviações do inglês N (North), S
(South), E (East) e W (West).
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Na tela principal do Stellarium também se destacou os pontos cardeais,
que aparecem abreviados com a primeira letra na língua francesa. No exercício
01 as abreviações dos pontos cardeais tanto para o inglês como para o francês
foram colocadas na seguinte tabela (Figura 03).
Português Francês Inglês Português Francês Inglês
Norte Nord North Leste Est East
Sul Sud South Oeste à L`ouest West
Pontos Cardeais
Figura 03 - Tabela dos Pontos Cardeais
Fonte: Atividade de Ensino 01
Durante a explicação sobre a mudança dos Fusos Horários em função das
Longitudes, um aluno da Dupla 11 perguntou:
– Mas, não muda o Fuso Horário, não é, quando muda as Latitudes?
O aluno estava querendo confirmar se ocorre mudança de Fuso Horário em
relação às Latitudes. Em resposta, dissemos que o Fuso Horário só se altera de
acordo com as Longitudes. Essa mudança de horário é devido ao movimento de
rotação da Terra de Oeste para Leste.
Neste momento fizemos um breve comentário sobre a Conferência
Internacional do Meridiano realizada em 13 de outubro 1884 (Washington/ EUA).
Os 41 delegados de 25 países presentes decidiram que o Meridiano de
Greenwich torna-se o Meridiano principal, e que o mesmo determinava a
Longitude e estabelece os Fusos Horários pelo mundo.
Nessa ocasião o mundo foi dividido em 24 Fusos Horários. O procedimento
utilizado partiu que são gastos aproximadamente 24 horas para que a Terra
realize seu movimento de rotação completa (360º). Desse modo, cada Fuso
Horário corresponde a uma faixa de 15º de Longitude, o que equivale a uma hora.
Durante a leitura da Atividade 01 (Anexo A, p. 3), os alunos
acompanhavam, tanto por meio do texto e do telão, a explicação referente aos
Fusos Horários. A ideia era que os alunos constatassem que, nas faixas de Fusos
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Horários, a cada 15 graus que a Terra gira acrescenta-se uma hora, indo de Leste
para Oeste. Além disso, para as cidades que estavam a Oeste do Meridiano de
Greenwich os alunos deveriam subtrair uma hora e, a Leste, adicionar uma hora a
cada 15 graus.
Nessa perspectiva e observando a imagem do globo da página 131
(ANEXO A), alguns alunos confirmaram que as cidades brasileiras estariam com
seus horários atrasados em relação às cidades a leste do Meridiano de
Greenwich (Figura 04).
Figura 04 - Globo Terrestre - Fusos Horários Fonte: Atividade de Ensino 01
Para iniciarmos os trabalhos, dissemos para os participantes acertarem no
computador a hora e a data do computador. Assim, os computadores
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assinalaram a data 31 de agosto de 2012 e o horário 10h50min. A data e o
horário deveriam ser registrados página 03 da Atividade de Ensino (Figura 05).
DATA:
HORÁRIO:
Figura 05 - Registro: Data e horário da atividade
Fonte: Atividade de Ensino 01
2.2 Exercício 01
Quando os alunos executaram o software Stellarium, perceberam que a
data e horário estavam de acordo com aquele corrigidos por eles. Logo após essa
constatação, alunos das Duplas 03, 07 e 11 verificaram que a cidade que
aparecia no Stellarium era Paris–França. Nesse momento explicamos que o
software foi desenvolvido na França e vinha configurado para esta cidade e que
deveríamos alterá-lo de acordo com a primeira cidade dada no primeiro exercício
(Figura 06).
O exercício 01 solicitava aos alunos que localizassem as cidades citadas
informando suas Latitudes, Longitudes, Altitudes e as condições de luminosidade
do céu. Como a atividade foi realizada numa escola do município de
Guarulhos/SP, acreditamos ser mais coerente para os alunos a escolha desta
cidade.
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Figura 06 - Exercício 01
Fonte: Atividade de Ensino 01
Essa atividade teve como objetivo, primeiramente, executar o comando
Janela de Localização. Os alunos digitaram o nome da cidade Guarulhos,
conferiram o país (Brasil) e em seguida confirmaram. Assim, puderam verificar se
a Latitude, Longitude e Altitude eram as mesmas descritas na primeira linha da
tabela. Após essa confirmação, escreveram na última coluna da respectiva
cidade, se a imagem que aparecia na tela do computador indicava se o dia estava
claro ou escuro.
O dia ensolarado, as informações confrontadas entre a tabela e os dados
fornecidos pelo software possibilitaram a verificação de que as informações do
software eram confiáveis.
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Imagem 03
Duplas 01 e 02 executando exercício 01
A seguir, propusemos aos alunos preencher a tabela por completo. Eles
puderam ver na prática o uso valores de frações de ângulos (graus, minutos e
segundos), números inteiros negativos (altitudes de cidades “negativas”).
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Figura 07 - Resolução do Exercício 01 – Dupla 11
A consecução dessa atividade provocou nos alunos alguns
questionamentos, tais como:
Dupla 02
Em relação à cidade de Macapá:
Aluno A: Professor, como faz com 0°?
Pesquisador: 0° para Latitude ou Longitude?
Aluno B: Latitude.
Pesquisador: Verifique na página 02, onde é 0° para Latitude.
Aluno A: É na Linha do Equador.
Pesquisador Exatamente.
Aluno A: Não pode ser Latitude, ela passa pela Inglaterra.
Greenwich não passa pelo Brasil.
Pesquisador: Isso mesmo, é outro Meridiano que passa por
esta cidade.
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Dupla 06
Em relação à cidade de Toronto
Aluno A: Toronto é no Canadá?
Pesquisador: Sim, é no Canadá.
Aluno B: É eu lembro, lembrei da Fórmula Indy.
Pesquisador: Isso mesmo.
Dupla 05
Em relação aos segundos da Longitude, 47,99”, da cidade de Toronto
(W 79° 22’ 47,99”).
Aluno A: Professor aqui arredonda, né, para 48”?
Pesquisador: Perfeito, isso mesmo.
Dupla 02
Em relação à cidade de Almere.
Aluno A: Professor Netherlands é Holanda ou Irlanda?
Pesquisador: Pessoal (chamando a atenção de todos os
alunos), Netherlands é Holanda ou Irlanda?
Alguns alunos Holanda.
Dupla 01
Em relação à Altitude da cidade Almere.
Aluno A: Professor, a cidade de Almere na Holanda é
abaixo do nível do mar
Pesquisador: Sim, é.
Aluno A: Olha que da hora.
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A resposta do aluno A "olha que da hora" indica que essa informação foi
surpreendente para esse aluno, no sentido de descobrir a existência de cidades
abaixo do nível do mar. Por essa expressão, podemos inferir que a atividade
proporcionou ao aluno uma ampliação do conhecimento, pois teve acesso a algo
ainda desconhecido sobre o planeta em que habita. Naquele momento, não
fizemos comentários sobre essa questão. Entretanto, esse assunto foi comentado
em outra ocasião, quando o professor de Geografia explanou sobre cidades que
se encontram abaixo do nível do mar. Comentou que algumas cidades criam
diques para conter o avanço das águas, mantendo determinadas porções de terra
secas.
Como se pode observar, pelos diálogos entre os alunos e com o
pesquisador, houve envolvimento dos alunos durante a atividade, ocasião em que
procuraram solucionar suas dúvidas, a maioria delas referentes à localização,
arredondamento de números decimais e nomenclatura de termos de coordenadas
geográficas. Puderam, ainda, verificar uma aplicação prática para os números
inteiros não positivos, quando notaram que algumas localidades se encontram
abaixo do nível do mar.
Conceitos matemáticos foram trabalhados na área de Geografia, o que
denota uma intencionalidade de ocorrência da interdisciplinaridade. Como o
trabalho foi realizado com duplas de alunos, entendemos que, provavelmente,
ocorreu a aprendizagem de conceitos matemáticos (números decimais,
arredondamento, números inteiros positivos e não positivos, unidades de medida,
unidades de ângulo, posto que a atividade propiciava o diálogo entre as duplas e
entre o professor pesquisador e os alunos.
2.3 Exercício 02
Neste exercício, os alunos deveriam completar uma tabela retirando os
dados do exercício anterior. Eles deveriam encontrar quatro cidades que
atendessem as condições de Latitude e Longitude que o exercício pedia. A
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primeira cidade deveria estar localizada com Latitude Norte e Longitude Leste, a
segunda cidade Latitude Norte e Longitude Oeste, terceira Latitude Sul e
Longitude Oeste e, finalmente, a quarta cidade Latitude Sul e Longitude Leste.
As figuras 08 e 09 mostram respostas de algumas duplas:
Figura 08
Resolução do Exercício 02 – Dupla 09
Figura 09
Resolução do Exercício 02 – Dupla 11
Pudemos verificar que os alunos tiveram facilidade para responder a esse
exercício, mas acreditamos que, como as cidades foram escritas em uma tabela,
eles não tiveram uma visão espacial dessas cidades distribuídas no planisfério.
Prevendo essa situação, distribuímos aos alunos um Atlas cujas páginas centrais
tinha um planisfério. Assim, puderam localizar com um lápis, as cidades por eles
escolhidas.
Assim sendo, além do Stellarium, fornecemos aos alunos um planisfério
contido no Atlas Geográfico Escolar – atualizado CENSO 2010, para que os
alunos tivessem uma melhor visualização dessas cidades. Isso porque, enquanto
o Stellarium permite a visualização de uma cidade por vez, no planisfério é
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possível observar várias cidades ao mesmo tempo. No caso dessa atividade, as
quatro cidades escolhidas pelos próprios grupos de alunos.
As cidades também foram encontradas com facilidade, com exceção de
Almere, na Holanda. Sem a intervenção do pesquisador e podendo interagir entre
eles, procuraram usar as coordenadas da Latitude e Longitude. Mesmo assim,
algumas duplas tiveram dificuldade em localizar a referida cidade, pois um dos
grampos que encadernavam o Atlas estava bem em cima da Holanda, onde se
encontrava a cidade de Almere.
Situação ocorrida neste exercício:
Duplas 02 e 07
Localização de Almere no Planisfério
Aluno A:
(Dupla 07)
Cadê a Holanda?
Aluno A:
(Dupla 02)
Atrás do clipes.
Aluno A:
(Dupla 02)
Pra cima da Espanha.
Aluno A:
(Dupla 07)
Ha! Beleza encontrei.
Nesta situação, em que os alunos perceberam que cidade de Almere não
estava descrita no planisfério, as duplas localizaram o país. Esse mesmo
problema ocorreu com a localização da cidade de Nagoya, no Japão, que também
não estava descrita no planisfério. Na Imagem 04 é possível observar um aluno
da Dupla 01 localizando a Holanda no planisfério.
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Imagem 04
Aluno da Dupla 01 localizando a Holanda no Planisfério
Essa ocorrência, embora não premeditada, permitiu uma boa interação
entre as duplas. Verificou-se que, a iniciativa de indicar o país, já que não
estavam conseguindo localizar a cidade, proporcionou ainda mais a motivação
dos participantes em relação às atividades propostas.
Nossa pretensão, desse modo, foi preparar os alunos para o próximo
exercício 03, que diz respeito às coordenadas cartesianas, mais precisamente, a
nomeação dos quadrantes.
Em seguida, verificamos que iríamos passar do tempo previsto para a
realização dessa primeira atividade, então achamos melhor liberar os alunos para
descansarem por quinze minutos. Após o intervalo, os alunos realizaram os
exercícios faltantes.
Cumpre esclarecer que não foi possível cruzar os dados obtidos com
informações colhidas pela internet ou pelo globo terrestre. Os computadores,
durante essa atividade, não estavam conectados com a internet devido às
condições físicas propiciadas pelo Colégio e não havia globos terrestres
suficientes para todas as duplas de modo que fosse feito esse cruzamento de
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informações. Assim, a melhor opção foi a utilização de um planisfério contido em
Atlas escolar.
2.4 Exercício 03
O terceiro exercício continha uma elipse (simulando o planisfério) dentro de
um retângulo dividido em quatro partes congruentes (Figura 10). Procuramos dar
a ideia de quadrantes. Os alunos deveriam numerar cada uma das quatro cidades
do exercício anterior nos quadrantes.
Convém destacar que, para os alunos esclarecemos aos alunos que que a
elipse representava a planificação do globo terrestre, razão pela qual não se
apresentava como uma circunferência4.
Figura 10
Representação do Planisfério do Exercício 03
Durante esse procedimento, muitos alunos perceberam que os números
ficaram em ordem crescente, distribuídos no sentido anti-horário. Exemplificando:
4 Na projeção de Mollweide, a terra inteira é representada como uma elipse. Os paralelos de
latitude são linhas retas paralelas ao Equador. O espaçamento dos paralelos ao longo do meridiano central é calculado para assegurar que todas as áreas no mapa sejam iguais às áreas correspondentes no esferoide (PISSARRA, 2013).
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Figura 11
Resolução do Exercício 03 – Dupla 07
Figura 12
Resolução do Exercício 03 – Dupla 02
No primeiro quadrante, nas figuras 08 e 10, nota-se que o número 1 foi
colocado próximo ao Meridiano de Greenwich e próximo da Linha do Equador,
respectivamente. Perguntado sobre a razão dessas posições para o número 1, os
alunos da dupla 07 responderam que Holanda está próxima do Meridiano de
Greenwich, os da dupla 02 responderam que Nagoya está próxima da Linha do
Equador. Ao que tudo indica, os alunos perceberam a localização das cidades
sem contar com o apoio do planisfério e do Stellarium, ou seja, num plano
cartesiano contendo uma elipse ao centro.
Situação ocorrida neste exercício:
Duplas 01, 02 e 03
Duas cidades ficarem no mesmo quadrante.
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Aluno B:
(Dupla 03)
Professor ficaram duas cidades no mesmo quadrante.
Pesquisador: Como isto pode ser possível, quais são as cidades?
Aluno B:
(Dupla 02)
Rio de Janeiro e Macapá.
Pesquisador: Qual a Latitude de Macapá?
Aluno B
(Dupla 02)
Norte.
Pesquisador E qual a Latitude do Rio de Janeiro?
Alunos A e B:
(Dupla 02)
Sul.
Pesquisador: Se uma cidade está na Latitude Sul e outra está no Norte como podemos colocá-las no mesmo quadrante.
Aluno A:
(Dupla 01)
(para todos os alunos)
Em cima representa o Sul (abaixo da Linha do Equador) e em cima representa o Norte. E ele colocou os dois no Sul.
Pesquisador: Isso mesmo. Todos entenderam?
Alunos: Sim
Pudemos notar que essa dupla entendia que o Brasil está inserido
totalmente no Hemisfério Sul. Essa atividade possibilitou que eles percebessem
que uma pequena parte do Brasil se encontra no Hemisfério Norte,
particularmente a cidade de Macapá. Dessa forma, pudemos esclarecer os alunos
sobre a localização do Brasil, questão essa que havia ficado em aberto logo no
início da atividade.
2.5 Exercício 04
Para este exercício e os demais dessa atividade, desenvolvemos o Quadro
de Longitudes (Figura 13), que mostra todos os Fusos Horários do planisfério
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divididos a cada 15° e o Meridiano de Greenwich dividindo o quadro em duas
partes: Oeste e Leste.
Este exercício tinha como objetivo trabalhar as quatro operações
matemáticas básicas com ângulos inteiros e unidades de tempo bem como a
noção de sentido. No que tange à Geografia, procuramos explorar o conceito de
sentido Leste-Oeste, Meridianos e Fusos Horários. Como no Quadro de
Longitudes não estava desenhada nenhuma área territorial, achamos melhor
desenhar os Meridianos com linhas inteiras, diferentemente das linhas quebradas
apresentadas nos planisférios e globos terrestres.
LESTE (EAST)OESTE (WEST)
Figura 13
Quadro de Longitudes
Para facilitar na resolução do quarto exercício desenvolvemos um exemplo
(Figura 14) no intuito de ajudar na resolução deste exercício como os demais. A
explicação do exemplo foi acompanhado pelos alunos no telão. Era mostrada
uma cidade (Cidade A) que estava a Longitude W 60° (Oeste 60°) cujo seu
horário é de 03h00min e outra cidade (Cidade B) localizada na Longitude E 30°
(Leste 30°). Os alunos puderam ver a resolução do problema no telão informando
que o horário da Cidade B é 09h00min. Após explicação detalhada desse
exemplo e verificação de que todos os participantes entenderam o Quadro de
Longitudes, os alunos passaram a resolver dois exercícios, contendo três e dois
itens respectivamente.
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Para resolver o exercício 04, observe o exemplo:
A Cidade A está 60° a oeste do meridiano de Greenwich.
Longitude Horário A Cidade B está a 30° a leste do meridiano de Greenwich.
Cidade A W 60° 3:00 horas Logo:
Cidade B E 30° ? 60° + 30° = 90°
Divide-se 90° por 15° resultando 6 (horas de diferença entre A e B).
Qual é o horário na cidade B? O horário da Cidade B é de 3 + 6 = 9 horas
LESTE (EAST)OESTE (WEST)
A B
Figura 14 - Exemplo para o exercício 04
Fonte: Atividade de Ensino 01
Imagem 05
Alunos durante a Atividade 01
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2.5.1 Exercício 04, item a
No primeiro item (Figura 15) esperava-se que os alunos encontrassem o
valor 90°, referente à diferença entre a Cidade C (W 120°) e a Cidade D (W 30°).
Depois, dividissem por 15°, encontrando 6 horas. Em seguida, adicionassem
essas 6 horas com o horário da Cidade C (23h00min), encontrando o horário da
Cidade D igual a 05h00min.
a) Longitude Horário
Cidade C W 120° 23:00 horas
Cidade D W 30° ?
Figura 15 - Dados do exercício 04 - item a Fonte: Atividade de Ensino 01
Imagem 06
Dupla 11 resolvendo exercício 04
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As duplas 01, 02, 05 e 07 encontraram o resultado correto, a sua resolução
foi fixar as cidades partindo da Cidade C para a Cidade D adicionando uma hora
a cada Meridiano (15°) no sentido Leste, ou seja, fizeram um cálculo mental.
Figura 16
Resolução do exercício 04.a - Dupla 07
As duplas 10, 11 e 12 fixaram as cidades no Quadro de Longitudes, mas
partindo da Cidade C já somaram uma hora, resultando no final um valor errado
de 06h00min.
Figura 17
Resolução do exercício 04.a - Dupla 10
As duplas 03 e 04, ao fixarem as cidades em vez de adicionarem uma hora
a cada 15° o fizeram a cada 30°, chegando ao valor equivocado de 02h00min.
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Figura 18
Resolução do exercício 04.a - Dupla 03
A dupla 08 fixou as cidades corretamente e montou um algoritmo de
divisão (90 ÷ 15 = 6). A este resultado adicionou 23h00min, resultando o valor
correto de 05h:00min.
Figura 19
Resolução do exercício 04.a - Dupla 08
A Dupla 09 fixou as cidades de maneira incorreta, de modo que a Cidade C
ficou na Longitude correta, mas a Cidade D foi fixada na Longitude L 30°, ao invés
de W 30°. Isso os levou a somarem as Longitudes das duas cidades. O valor
encontrado, 150°, foi dividido por 15° (um Fuso Horário) resultando 6 horas, que
foram adicionados às 23h00min da Cidade C. Para esta dupla o horário da
Cidade D foi 09h 00min.
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Figura 20
Resolução do exercício 04.a - Dupla 09
A única dupla que desenvolveu a resolução de modo muito parecido ao
exemplo dado foi a Dupla 06. Eles montaram os três algoritmos para resolução:
subtração, divisão e adição. Um fato interessante é que os alunos não fixaram as
cidades no Quadro de Longitudes, mas mesmo assim chegaram ao horário
correto.
Figura 21
Resolução do exercício 04.a - Dupla 06
67
2.5.2 Exercício 04, item b
No item (b) (Figura 22) esperava-se que os alunos encontrassem o valor
90°, que é a adição entre a Cidade E (E 60°) e a Cidade F (W 30°) depois
dividissem por 15° encontrando 6 horas. Em seguida, subtraíssem do horário da
Cidade E (06h00min), encontrando o horário da Cidade F igual a 00h00min.
Nesse item, observou-se que algumas duplas relutaram em expor os
cálculos efetuados, ou seja, frações de graus e de tempo. Após a localização das
cidades, algumas duplas não utilizaram os algoritmos propostos pelo exemplo.
Eles utilizaram a contagem visual, ou seja, contaram as linhas (Longitudes) que
estavam entre as cidades.
b) Longitude Horário
Cidade E E 60° 06:00 horas
Cidade F W 30° ?
Figura 22 - Dados do exercício 04.b Fonte: Atividade de Ensino 01
As Duplas 01, 02, 03, 04, 05, 10, 11 e 12 chegaram ao resultado correto
fixando as cidades E e F. Como o sentido das cidades era de Leste para Oeste,
eles subtraíram mentalmente as horas da Cidade E, chegando ao horário correto
de 00h00min.
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Figura 23
Resolução do exercício 04.b - Dupla 12
A Dupla 09 cometeu outro erro ao fixar as cidades. A Cidade E foi anotada
na Longitude (60° Oeste) em vez de (60° Leste) e a Cidade F na Longitude (30°
Leste) sendo que o correto seria (30° Oeste) resultando 09h00min. Acreditamos
que a dupla partiu do Oeste para Leste e contou uma hora a cada 30° de
Longitude e adicionou três horas do horário da Cidade E.
Figura 24
Resolução do exercício 04.b - Dupla 09
A Dupla 07 fez os cálculos mentalmente, mas responderam erroneamente.
A dupla apenas localizou as cidades E e F, então, não tivemos condições de
identificar o real motivo do erro.
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Figura 25
Resolução do exercício 04.b - Dupla 07
A Dupla 08 chegou ao resultado esperado. A resolução foi muito parecida
ao exemplo dado. Foram armados os três algoritmos adição, divisão e subtração
e o registro das cidades E e F.
Figura 26
Resolução do exercício 04.b - Dupla 08
A Dupla 06 errou no cálculo das Longitudes das cidades. Eles deveriam
adicionar 90° com 30°, mas em vez disso, subtraíram esses valores chegando a
um resultado errôneo. Entretanto, no local onde estava o resultado do item, a
dupla escreveu a solução correta 00h00min. Além disso, deixaram em branco o
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Quadro de Longitudes. Provavelmente, os alunos constataram o erro, refizeram
os cálculos mentalmente e não corrigiram o algoritmo.
Figura 27
Resolução do exercício 04.b - Dupla 06
2.5.3 Exercício 04, item c
No item (c) (Figura 28) esperava-se que os alunos encontrassem o valor
180°, que é a adição entre a Cidade G (W 45°) e a Cidade H (E 135°), depois
dividissem por 15° encontrando 12 horas. Em seguida adicionassem o resultado
encontrado ao horário ao da Cidade G (10h00min), encontrando o horário da
Cidade H igual a 22h00min.
c) Longitude Horário
Cidade G W 45° 10:00 horas
Cidade H E 135° ?
Figura 28 - Dados do exercício 04.c
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As duplas 01, 02, 03, 04, 05 e 06 chegaram ao horário correto da Cidade H
fixando as cidades e adicionando uma hora a cada um dos doze Meridianos que
separam as cidades G e H. A seguir, mostramos o procedimento da dupla 04.
Figura 29
Resolução do exercício 04.c - Dupla 04
As duplas 10, 11 e 12 fixaram as cidades corretamente entretanto, no
momento de partir da Cidade G (Oeste 45°) para a Cidade H (Leste 135°),
consideraram a Longitude da Cidade G, resultando treze horas a serem
adicionadas ao horário da Cidade G que era de 10h00min. O valor encontrado por
estas duplas foi 23h00min.
Figura 30
Resolução do exercício 04.c - Dupla 10
72
A dupla 08 encontrou o horário 21h00min. O erro encontrado pela dupla foi
no Quadro de Longitudes que deveria estar fixada na Longitude Oeste 45°, mas
fixaram em Oeste 30°. Os algoritmos foram montados, mas com valores errados.
Figura 31
Resolução do exercício 04.c - Dupla 08
A dupla 09 fixou as cidades corretamente no Quadro de Longitudes, mas
cometeu dois erros. Primeiro, ao adicionar as Longitudes 135° e 45° encontraram
o valor de 170 em vez 180. Com este resultado de 170° dividiram por 15°. O
quociente desta divisão foi 13 com resto 20. A dupla colocou esta resposta no
exercício, ou seja, 13h00min.
73
Figura 32
Resolução do exercício 04.c - Dupla 09
A Dupla 07 apenas desenharam a localização das cidades corretamente,
mas a resposta, foi parcialmente apagada. Identificamos o horário apagado como
21h00min.
Figura 33
Resolução do exercício 04.c - Dupla 07
Como se pode notar, os alunos tiveram a oportunidade de maneira prática
operações na base sexagesimal (frações de ângulos e tempo). A atividade
permitiu-lhes utilizar essas bases em problemas práticos.
74
2.6 Exercício 05
O quinto exercício encontra-se subdividido em dois itens. Em ambos os
casos, procuramos criar uma visão mais realista, uma vez que as cidades citadas
não são fictícias, como aquelas do exercício 04. Esclarecemos aos alunos
participantes que, para a resolução desse tópico, não seriam levadas em
consideração, também, as Latitudes das cidades.
2.6.1 Exercício 05 – item a
No item (a) (Figura 34) os alunos deveriam localizar no Quadro de
Longitudes as cidades de Brasília (W 47° 54' 36") e Lisboa (W 9° 8' 24"). Em
seguida, eles deveriam calcular a diferença, em graus, das duas cidades. Ainda,
calcular o horário de Lisboa, sabendo que o horário de Brasília é de 19h35min. As
respostas dessas atividades são: 38° 46` 12” para a diferença em graus das duas
cidades e 22h35min para o horário de Lisboa.
05 Resolva as situações dadas (desconsiderar as latitudes das cidades):
a) Brasília está localizada na longitude W 47° 54' 36" e Lisboa W 9° 8' 24" .
De acordo com as longitudes dadas, localize aproximadamente Brasília e Lisboa (Portugal) no esquema abaixo, em seguida
calcule o horário de Lisboa, sabendo que o horário em Brasília é 19 h 35 min.
HORÁRIO DE LISBOA
Qual a diferença em graus entre as
duas cidades:
Figura 34 - Dados do exercício 05.a
Fonte: Atividade de Ensino 01
75
Havia sido explicado aos alunos que a cidade de Brasília está na Longitude
W 47° 54' 36" e o seu horário se estende até a Longitude 45°. No caso da cidade
de Lisboa, com Longitude W 9° 8' 24" seu horário se estende até a Longitude 0°
(Meridiano de Greenwich). Chamamos a atenção, também, que os problemas
apresentados solicitavam aos alunos que respondessem a distância entre as duas
cidades apenas em graus e sem apresentar suas subdivisões, minutos e
segundos. Observou-se que nenhuma dupla não realizou as subtrações de
Longitudes entre as cidades com as subdivisões do grau. A partir desta
constatação, podemos levantar algumas hipóteses sobre os resultados
apresentados pelos alunos.
As duplas 01, 02, 03 04, 05, 08, 09, 10, 11, 12 responderam que a
diferença em graus entre as duas cidades era de 38°. Nenhuma dessas duplas
montou o algoritmo da subtração para encontrar a resposta que esperávamos.
Em relação ao horário, todas as duplas posicionaram as cidades no Quadro de
Longitudes corretamente, mas apresentaram os horário de 21h35min. Nas
Figuras 39 e 40 é possível ver as anotações efetuadas por algumas duplas.
Figura 35
Resolução do exercício 05.a - Dupla 12
76
Figura 36
Resolução do exercício 05.a - Dupla 11
A dupla 06 acertou 38º para a diferença em graus para as duas cidades,
mas cometeu um erro no horário de Lisboa. O horário apresentado pelo aluno foi
de 22h50min. Os cálculos feitos pela dupla foi somar 19h35min com 3h15 min.
Figura 37
Resolução do exercício 05.a - Dupla 06
Provavelmente os alunos apresentaram dificuldade em operar com as
subdivisões do grau e de tempo que é base 60, pois, em geral, não são
operações trabalhadas no cotidiano de sala de aula.
77
2.6.2 Exercício 05 – item b
Já no item (b) (Figura 38) os alunos deveriam localizar, no Quadro de
Longitudes, as cidades de Quito-Equador (W 78° 30') e Nagoya-Japão (E 136° 54'
36"). Em seguida, eles deveriam calcular em graus a diferença em graus das duas
cidades, bem como calcular o horário de Nagoya, sabendo que o horário de Quito
é 20h00min. As respostas a serem encontradas são 215° 24` 36” para a
diferença em graus das duas cidades e, para o horário aproximado de Nagoya,
10h00min.
b) Quito (Equador) está localizada na longitude W 78° 30' e Nagoya (Japão) E 136° 54' 36" .
De acordo com as longitudes dadas, localize aproximadamente Quito e Nagoya no esquema abaixo, em seguida calcule
o horário de Nagoya, sabendo que o horário em Quito é 20 h 00 min.
HORÁRIO DE NAGOYA
Qual a diferença em graus entre as
duas cidades:
Figura 38 - Dados do exercício 05.b
Fonte: Atividade de Ensino 01
As duplas 01, 02, 03 e 12, no cálculo da diferença em graus entre as duas
cidades apenas somaram os graus das duas Longitudes, encontrando o valor de
214°. Já para o horário de Nagoya, eles responderam 11h00min. Acreditamos que
este horário, encontrado pelos alunos, foi feito mentalmente somando uma hora a
cada 15° de Longitude no sentido oeste-leste até o Fuso Horário E 135°.
78
Figura 39
Resolução do exercício 05.b - Dupla 12
A dupla 05 encontrou mentalmente o valor correto de 214°. Em relação ao
horário, o procedimento foi muito parecido com os das duplas anteriores. Os
alunos somaram uma hora para cada Fuso Horário. O horário encontrado pelos
alunos foi de 12h00min. Acreditamos que os alunos contaram como hora quando
atravessaram as Longitude 75° e 135°, ou seja, duas horas a mais da resposta
correta.
Figura 40
Resolução do exercício 05.b - Dupla 05
No caso da Dupla 06 também foi encontrado 214°. Verificamos, no
momento em que foram calcular o horário da cidade de Nagoya, que os alunos
somaram 78° com 136° (valores em graus das Longitudes das cidades Quito e
Nagoya) totalizando 214°, que foram divididos por 15°. O valor encontrado por
79
eles foi 14,6 o qual foi arredondado para 15. Essa dupla, de maneira incorreta
responderam que o horário de Nagoya é 15h00min.
Figura 41
Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 06
As duplas 09, 10 e 11 responderam corretamente tanto a diferença em
graus das duas cidades como o horário de Nagoya. Essas duplas também
encontraram o valor 214 graus, desconsiderando os valores dos minutos e
segundos. Os valores encontrados, pelo que pode se observar, também foram
encontrados mentalmente.
Figura 42
Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 10
Observamos uma discussão entre as duplas 07 e 08, quando dividiram o
valor 214° (diferença em graus entre as duas cidades) por 15° e encontraram o
quociente 14,6. Ao valor inteiro 14, adicionaram 20h00min (horário de Quito)
encontrando 10h00min. Já para os 0,6 (seis décimos) fizeram uma regra de três
mentalmente (proporção), imaginando que, se fosse 0,5, seria igual a 30 minutos,
80
mas como eram 0,6, daria aproximadamente 35 minutos. O valor anotado por eles
foi 10h35min. Procuramos deixar as duplas desenvolverem este cálculo, mas, em
seguida, explicamos a eles e aos demais alunos. Que, na prática, não é assim
que funciona. As cidades estão contidas dentro de faixas (Fusos Horários). Então,
todas as cidades localizadas dentro dessa faixa, obedecem ao mesmo horário.
Outro fato interessante foi que a Dupla 07 usou o símbolo de aproximação ( )
antes da resposta, como é mostrado na Figura 43.
Figura 43 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 07
Novamente, observou-se que os alunos tiveram dificuldade em trabalhar
com número em bases diferentes daquelas a que estão acostumados, ou seja, a
base 10. A esse respeito, procuramos sanar as dúvidas que surgiram, auxiliando
e colaborando em possíveis dificuldades encontradas pelos alunos.
2.7 Relógio Mundial e Mapa dos Fusos Horários Mundiais
Finalizando essa primeira atividade, apresentamos aos alunos um Relógio
Mundial e Mapa dos Fusos Horários Mundiais (Figura 44). Ambos estão
disponibilizados na internet no endereço http://24timezones.com/hora_certa.php.
Ao expor essa página no telão, a imagem que aparece é um planisfério dinâmico
81
colorido, em que as partes claras (azul claro) indicam os locais da Terra que estão
com incidência de luz solar e as partes sombreadas (azul mais escuro) indicam
que os raios solares não estão incidindo naquelas regiões da Terra. Além disso, a
página mostra vários pontos (em amarelo) sobre o planisfério indicando algumas
cidades. Ao clicar em um dos pontos aparece no canto esquerdo inferior o nome
da cidade, país, data e horário local. Tivemos como propósito motivar, de forma
dinâmica, os assuntos que os alunos estiveram desenvolvendo até aquele
momento, mostrando em tempo real o que estava acontecendo em outras regiões
do planeta, em se tratando de horário, data e luminosidade.
Algumas cidades foram escolhidas pelos alunos, como por exemplo:
Melborurne/Austrália, Lisboa/Portugal, Tóquio/Japão. Estas cidades fizeram parte
da Atividade 01.
As Duplas 02 e 05 perguntaram: por que as linhas brancas verticais
(Meridianos) faziam alguns desvios estranhos?
Comentamos que esses desvios são chamados de linhas quebradas.
Essas linhas provocam alterações em Fusos Horários de algumas regiões. O
objetivo destas mudanças é promover uma melhor integração do país. Essas
linhas quebradas geralmente acompanham as fronteiras externas e internas dos
países. Alguns países também possuem grande extensão territorial no sentido
leste-oeste, podendo apresentar mais de um Fuso Horário. Para comprovar estas
observações nos remetemos ao Brasil.
Os alunos puderam acompanhar no telão os três Fusos Horários do Brasil.
Ao passar o mouse sobre o número -2 (duas horas a menos que a hora de
Greenwich) este Fuso Horário apresentou uma coloração diferente, de imediato
alguns alunos perceberam que neste Fuso Horário não continha nenhum estado.
O aluno A da Dupla 03 comentou que devia indicar a ilha de Fernando de
Noronha. Respondemos que ele estava correto e acrescentamos que outras ilhas
oceânicas estão dentro desse Fuso Horário.
82
Em seguida, fomos para o Fuso Horário -3. Vários alunos iniciaram um
debate em que puderam visualizar as fronteiras de alguns estados como por
exemplo: Pará, Minas Gerais, São Paulo e Rio de Janeiro.
No terceiro Fuso Horário -4, os alunos visualizaram os estados:
Amazonas, Acre e Mato Grosso.
Foi possível verificar que os alunos se esforçaram por apresentar um
resultado e estavam envolvidos com a atividade, o que lhes permitiram vivenciar
o trabalho de operar em outras bases numéricas e notar que essas bases
também estão presentes no mundo em que vivem.
Figura 44
Tela: Relógio Mundial e Mapa dos Fusos Horários Mundiais
2.8 Considerações sobre a Atividade 01
Acreditamos que conseguimos transmitir aos alunos a importância desta
primeira atividade. Eles puderam entender que antes de explorar e localizar
objetos no espaço, com uso conceitos matemáticos dentro de um ambiente
interdisciplinar, primeiramente devem conhecer o planeta onde vivem. Desse
modo, no desenvolvimento desta atividade, os alunos tiveram oportunidade de
compreender que:
83
1. as linhas imaginárias que cortam os Globos Terrestres e Planisférios
auxiliam a sua localização e de outras pessoas distribuídas pela
superfície terrestre;
2. a Terra é aproximadamente uma esfera que tem um movimento de
rotação de Oeste para Leste5;
3. diferentes cidades no mundo podem ter horários locais diferentes;
4. cidades podem ter altitudes diferentes, bem como algumas pode estar
abaixo do nível do mar;
5. os principais motivos de diferentes regiões do globo terrestre estarem
claro ou escuro são devido ao Sol e devido à Terra ter forma
aproximadamente esférica, rotação de Oeste para Leste e inclinação
de 23° 27` em relação ao Equador Celeste;
6. a importância de conceitos da Matemática já apreendidos e aqueles
que ainda apreenderão são essenciais para sua compreensão do
mundo que está ao seu redor.
Um fato que apresentou um bom resultado para o desenvolvimento desta
atividade foi iniciarmos com um resumo de alguns conceitos geográficos (Latitude,
Longitude, Pontos Cardeais, Altitude e Fuso Horário). Como os alunos já tinham
visto estes conteúdos em anos anteriores, nas aulas de Geografia, foi apenas
uma recordação de alguns itens e de outros que foram esquecidos por eles.
Nesse sentido, o auxílio do professor de Geografia foi imprescindível, tanto
durante a elaboração da atividade bem como junto aos alunos, ao procurar sanar
as dificuldades encontradas pelos alunos.
Utilizando as ideias da Interdisciplinaridade, percebemos ligações entre a
Matemática e a Geografia, onde conceitos de ângulo, operações com ângulos,
números inteiros, plano cartesiano e operações com unidades de tempo
trabalhadas de forma significativa mostram ao aluno que ele é capaz localizar
cidades no Globo Terrestre, o horário local e, ainda, se está claro ou escuro
nessas cidades.
5 Consideramos a Terra como aproximadamente uma esfera, pois neste trabalho não é exigido
cálculos precisos para um modelo diferente, como por exemplo, um geoide.
84
Também o uso do ambiente virtual proporcionado pelo software Stellarium
possibilitou que os alunos verificassem, de forma rápida, a localização no
Planisfério (do próprio software) de algumas cidades. Além disso, também
puderam se posicionar na Terra e obter outras informações.
A questão levantada por um aluno da Dupla 07, sobre ser possível ver
dentro de outras galáxias utilizando o software Stellarium, permitiu-nos inferir que
esse questionamento mostra um certo interesse por parte desse aluno em relação
a questões científicas que extrapolam assuntos normalmente discutidos em sala
de aula. Revela, ao nosso ver, que o assunto provocou uma atitude reflexiva e um
anseio por conhecimentos sobre o Universo que a ciência ainda não tem
resposta. Abre-se uma pequena centelha rumo à questões transdiciplinares.
No exercício 1, o aluno B da dupla 6 confirmou a informação dada pelo
software de que Toronto fica no Canadá, com uma informação vista na televisão,
no campeonato de Fórmula Indy. Dessa forma, nota-se que os alunos estão a par
de eventos esportivos veiculados nos meios de comunicação, de modo que, algo
do esporte, presente no dia a dia do aluno, foi lembrado em sala de aula.
Essa situação nos remete às palavras de D'Ambrosio
A pluralidade dos meios de comunicação de massa, facilitada pelos transportes, leva essas relações interculturais à dimensões verdadeiramente planetárias. [...] Estamos vivendo um período em que os meios de captação e processamento de informação de cada indivíduo encontram, nas comunicações e na informática, instrumentos auxiliares de alcance inimaginável em outros tempos. A interação entre indivíduos também encontram, na teleinformática, grande potencial, por ora difícil de se aquilatar, de gerar ações comuns (20009, p.33).
Assim, o uso de meios tecnológicos em ambiente escolar propicia
associações com informações advindas dos meios de comunicação em massa,
que potencializa a conscientização sobre a vida do ser humano na Terra e
também sobre o desenvolvimento de atitudes que possibilitem o desenvolvimento
do conhecimento científico em prol da sobrevivência humana.
Ao final da Atividade 1, retornamos ao assunto relativo aos países baixos,
ou seja, aqueles que se encontram abaixo do nível do mar, ocasião em que o
aluno A, surpreso, comentou: "olha que da hora" (exercício 1). Para tanto, a
85
Holanda foi tomada como exemplo e comentamos sobre a preocupação desse
país quanto à proteção da população contra enchentes e também ao cuidado com
a limpeza da água, já que recebe a água de outros países. Boa parte das
dificuldades encontradas pelos países baixos foi resolvida pela criatividade do ser
humano em construir diques, de modo a assegurar que as comportas de água
estejam fechadas. Assim, essa questão permitiu dialogar com as crianças sobre
os problemas enfrentados pelo Planeta Terra e enfatizar a questão do
desenvolvimento sustentável, utilizando recursos naturais que não agridam o
meio ambiente e preserve o planeta para as futuras gerações.
As atividades desenvolvidas, no nosso entendimento, atendem aos PCN
quando se manifestam:
... como as medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a interpretação deste, as possibilidades de integração da Matemática com outras áreas do Ensino Fundamental ficam evidentes, como Ciências Naturais (densidade, velocidade, energia e létrica) ou Geografia (coordenadas geográficas, densidade demográfica, escalas de mapas e guias) (BRASIL, 1998, p. 85).
Assim, os trabalhos executados durante a Atividade 1 tiveram como base
a Geografia e a Astronomia, de modo que pudemos desenvolver vários conceitos
matemáticos, tornando a relação entre Geografia, Astronomia e Matemática
coniventes de um aprendizado interdisciplinar.
A atividade proposta foi planejada de forma a desafiar os estudantes a
estarem abertos a novos conhecimentos, fazendo interagir os conhecimentos e
experiências anteriores com os novos que lhes foram apresentadas. Por meio do
uso de novas tecnologias e do trabalho em grupo, pretendeu-se provocar nos
alunos uma atitude reflexiva, incentivada pelo diálogo e colaboração, que os
auxiliassem a produzir conhecimento e, ao mesmo tempo, os levassem a
respeitar a diversidade de ideias, valores e crenças de cada um.
Entendemos, dessa forma, que as atividades desenvolvidas
proporcionaram o desenvolvimento das vertentes formativa e informativa.
Formativa, porquanto forneceram aos alunos competências para acessar,
socializar e ampliar o conhecimento. Assim, procuramos desenvolver os
86
instrumento de comunicação, por meio das discussões ocorridas; de análise, uma
vez que os alunos efetuaram os problemas propostos, preencheram os roteiros de
atividades, realizaram cálculos e fizeram inferências; bem como de materiais, na
medida em que fizeram uso de instrumentos que permitiram a aprendizagem, tais
como o computador e o planisfério. Quanto à vertente informativa, ela se faz
presente nas tentativas de estimular a crítica dos participantes sobre as atividades
desenvolvidas, proporcionando a verificação de que os conhecimentos
matemáticos estão presentes no cotidiano.
87
CAPÍTULO 3
ATIVIDADE DE ENSINO 02: GLOBO LOCAL PARALELO
Esta atividade foi realizada com alunos do 9º ano, os mesmos que
participaram da Atividade 01 (A Matemática nas coordenadas geográficas) em
agosto de 2012, quando estavam no 8 º ano.
Deveríamos desenvolver esta atividade próximo do dia 20 de março, início
do Outono, mas nesses dias o céu se apresentou nublado ou chuvoso. Somente
no dia a 27 de março, por volta das 8h00min, quando verificamos que o céu
estava limpo, sem nuvens, principiamos o trabalho na quadra de esportes do
Colégio.
3.1 Apresentação da Atividade
Primeiramente, informamos que iríamos trabalhar com GLP - Globo Local
Paralelo e, para realizar essa atividade, deveríamos encontrar as Linhas Norte-
Sul e Leste-Oeste, para que o GLP fosse posicionado no solo de forma correta.
Para traçarmos estas linhas usaríamos as sombras projetadas por um gnômon
em determinados horários, recursos de construção geométrica e conhecimentos
de Geografia.
Também nos preocupamos em combinar os horários para a execução das
atividades. Esses horários seriam aqueles em que as sombras do gnômon
deveriam ser traçadas no solo. Assim, ficou combinado os seguintes horários:
9h45min, 10h30min, 13h30min e 14h15min.
Nesse mesmo dia, ou seja 27 de março, nos dirigimos para a quadra de
esportes, por volta das 8h30min, onde os alunos se dividiram em duplas
(formaram-se 9 duplas, num total de 18 alunos). Logo após, cada dupla recebeu
um gnômon que era confeccionado com a metade do cabo de uma vassoura
88
(aproximadamente 60 cm) e uma base retangular (Imagem 07). Solicitamos que
os alunos posicionassem os gnômons na marca pré-determinada pelo
pesquisador.
Imagem 07
Detalhes do posicionamento do gnômon
3.2 Posicionando o gnômon
Cada dupla (Imagem 08) posicionou seu gnômon no solo, usando o nível
de bolha (para encontrar a perpendicularidade do gnômon com o solo) e pedaços
pequenos de papelão que serviram para calçar a base do gnômon (para mantê-lo
estável e perpendicular ao solo).
Constatamos duas dificuldade dos alunos com o uso do nível de bolha: 1)
Para uma melhor precisão, comentamos que o nível de bolha deveria ser
89
encostado levemente paralelo ao gnômon. Neste momento, os alunos
apresentaram dúvidas sobre de que lado da base os calços deveriam ser
colocados. Após algumas explicações eles conseguiram compreender o
processo. 2) Para que a haste ficasse perpendicular ao solo, o nível de bolha
deveria ser encostado na haste em pelo menos duas posições de direção
diferentes (90º entre as duas posições). A maioria das duplas estavam
posicionando o nível em lados opostos (180º). Depois de mostrar o procedimento
correto, os alunos calçaram corretamente a base do gnômon, obtendo sucesso no
exercício.
Imagem 08
Dupla-03 posicionando o gnômon
A Dupla-02 perguntou se colocar o gnômon perpendicular ao solo, seria o
mesmo que colocar uma parede no prumo. Ao invés de responder, perguntamos
onde a dupla tinha escutado este termo. A resposta de um dos integrantes foi que
escutou seu pai conversando com um pedreiro que estava fazendo uma obra em
sua casa e utilizaram essa expressão. Em seguida, respondendo afirmativamente
à pergunta da dupla, asseveramos que um pedreiro usa uma ferramenta chamada
prumo para encontrar a perpendicularidade entre a parede e o solo. Tanto o
90
processo quanto o instrumento, no linguajar coloquial, é denominado pelo termo
"prumo".
Como a quadra de esportes estava em construção, conseguimos um
prumo e demonstramos para os alunos como este instrumento (prumo) é utilizado
pelos pedreiros nos muros que estão ao redor da escola. Assim, os alunos
puderam verificar, de forma simples, como os postes, muros e paredes são
construídos de forma perpendicular ao solo.
3.3 Traçando as sombras do gnômon
Como estávamos na quadra de esportes, a Dupla-04 sugeriu traçar uma
sombra para treinar o manuseio do gnômon, embora o horário não fosse o
combinado. Como a iniciativa foi aprovada por todas duplas, concordamos que
eles traçassem a sombra, isso por volta das 9h15min (Imagem 09) .
Imagem 09
Dupla-06 traçando a sombra por volta das 9h15min
91
Às 9h45min, os alunos traçaram a sombra do gnômon deste horário
(Imagem 10). Percebemos que ficaram em dúvida se tinham traçado a sombra
das 9h45min corretamente, pois as duas sombras (9h15min e 9h45min) estavam
com tamanhos diferentes. Respondemos que estavam certos, mas gostaríamos
que eles descobrissem sozinhos o motivo dessa diferença. Algumas duplas não
conseguiram descobrir o motivo. Sugerimos, então, que pensassem um pouco
mais e observassem melhor a próxima sombra, que seria às 10h30min.
Imagem 10
Dupla-07 preparando para traçar sombra das 9h45min
Por volta das 10h30min. na quadra de esportes, as duplas traçaram a
sombra do gnômon daquele horário. A discussão sobre o comprimento das
sombras reacendeu e as duplas iniciaram um debate sobre os motivos desse
acontecimento.
Apresentamos a seguir, os comentários e discussões entre as duplas:
Aluno A:
(Dupla 03)
Professor, a sombra das 8h45min é maior do que a sombra das 10h30min. Então a sombra do meio dia será a menor de todas na parte da manhã.
92
Pesquisador: Quem poderia ajudar no esclarecimento
dessa questão?
Aluno A:
(Dupla 09)
Acho que sim, pois após o meio dia o Sol estará no Oeste, fazendo sombra (no gnômon) no Leste, ou seja, meio dia é o
meio entre o Oeste e o Leste.
Aluno A:
(Dupla 02)
Ha! Acho que este "meio" é onde a sombra passa pelo Meridiano. É onde o Sol está mais alto no céu.
Aluno A Ah, entendi. Se o Sol está mais aqui no alto
a sombra do gnômon vai ser a menor.
Como pudemos perceber, a discussão estava se tornando muito rica para
todos. Continuamos a provocá-los.
Pesquisador
Como vocês disseram, a sombra estará sendo projetada no Leste, então no final da tarde a sombra do gnômon estará maior ou menor em relação ao primeiro horário, ou seja, 13h30min?
Aluno B:
(Dupla 03)
Estará maior, bem maior, até sumir.
Pesquisador: Ok, a sombra irá sumir e por que ela irá
sumir?
Aluno A:
(Dupla 01)
Porque a Terra está girando, então Sol estará iluminando outras partes da Terra.
Pesquisador Em que direção a Terra está girando?
Aluno B (Dupla 03)
Está girando para lá (apontando com as mãos para o Leste).
Pesquisador Quer dizer que a Terra está girando de
Oeste para Leste?
Aluno B (Dupla 03)
Sim.
Pesquisador Este movimento como se chama?
Dupla 04 Rotação.
93
Talvez por comparação entre as sombras projetadas, os alunos
perceberam que, à medida que o tempo estava passando, o Sol estava ficando
cada vez mais alto ( ou seja, com os raios solares perpendiculares, nas horas do
meio do dia), fazendo com que as sombras ficassem cada vez menores.
Nos debates acima podemos verificar que os alunos demonstraram
conhecimento do movimento de rotação da Terra e indicaram com gestos em que
sentido estava girando. A autonomia que tiveram para executar as tarefas
propostas possibilitou que refletissem sobre o movimento de rotação da Terra e
como esse movimento estabelece o dia e a noite, de modo que vissem "a ciência
em ação", observando o mundo "através dos olhos de um cientista aprendiz"
(GLEISER, 2000, p.4).
Comentamos com os alunos que poderíamos verificar o comprimento das
sombras do gnômon quando voltássemos à quadra de esportes no período da
tarde.
Em seguida, uma aluna da Dupla 02, perguntou se por meio do gnômon
que estávamos trabalhando era possível fazer um tipo de experiência como fez
Tales de Mileto6, ao medir a altura de uma pirâmide. Eles conheciam a
experiência de Tales de Mileto, pois esse assunto foi conteúdo trabalhado em
sala de aula pela professora de Matemática no ano anterior.
Consideramos muito pertinente a observação da aluna e propomos realizar
o referido experimento no próximo encontro (descrito após esta atividade). Os
alunos ficaram empolgados, tanto que a Dupla 03 e 09 sugeriram usar os
conceitos de razão e proporção.
Como era do conhecimento dos alunos que o início do Outono tinha sido
em 20 de março, explanamos que esta data é o Equinócio de Outono no
hemisfério Sul e Equinócio de Primavera no hemisfério Norte. Os equinócios
acontecem quando, tanto no hemisfério Sul quanto no hemisfério Norte, tem
6 Tales de Mileto (640 a.C.-564 a.C.) Considerado primeiro filósofo e matemático grego.
Interessado em Astronomia, provavelmente previu um eclipse solar ocorrido em maio de 585 a.C.. Interessou-se por Geometria calculando a altura da pirâmide de Quéops por meio de triângulos semelhantes (GARBI, 2007).
94
aproximadamente a mesma incidência da luz do Sol, acarretando que o dia e a
noite tenham a mesma duração.
Assim, às 13h25min os alunos já estavam no Colégio e nos dirigimos à
quadra de esportes. Quando o relógio marcou o horário combinado, 13h30min,
todas as sombras já estavam traçadas pelos alunos. Eles estavam muito
entusiasmados, uma vez que perceberam que a sombra estava aparecendo do
lado oposto ao horário da manhã e de forma simétrica ao horário das 10h30min.
Imagem 11
Aluna da Dupla-06 traçando a sombra das 13h30min
O próximo passo era traçar a sombra das 14h15min (Imagem 12). Eles
constataram que as sombras eram maiores do que a do horário anterior.
95
Imagem 12
Aluna da Dupla-03 observando as sombras traçadas, em destaque sombra traçada das 14h15min (ao fundo, em verde)
Após todas as sombras estarem traçadas no solo, solicitamos aos
alunos que anotassem os horários dessas sombras, de modo que respondessem
as questões 01 e 02 da Atividade 01, quais sejam, "Quais foram os horários que
você traçou as sombras no período da manhã?" e "Quais foram os horários que
você traçou as sombras no período da tarde?". O objetivo era fazer com que os
alunos registrassem esses horários, de modo que verificassem que as sombras
eram simétricas nos horários das 10h30min e 13h30min e pudessem traçar a
Linha Norte-Sul para, posteriormente, posicionar de forma homotética o GLP no
solo.
3.4 Traçando as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste
O próximo passo era encontrar a Linha Norte-Sul, mas o céu começou a
apresentar muitas nuvens, e corríamos o risco de não conseguir claridade
suficiente para continuarmos com a atividade naquele dia. Procuramos acelerar o
passo de modo que ficassem traçadas no solo, com tinta permanente, as Linhas
96
Norte-Sul e Leste-Oeste, pois poderíamos continuar o trabalho com o GLP em
outro dia ensolarado.
Chamamos a atenção dos alunos sobre essas linhas prolongadas,
denominadas semirretas, tendo como ponto em comum, o ponto de posição do
gnômon. Queríamos que os alunos se concentrassem em duas sombras:
10h30min. e 13h:30min, pois elas formavam um ângulo e sua bissetriz serviria
como apoio para construção da Linha Norte-Sul.
Solicitamos aos alunos que ficassem próximos das sombras traçadas pela
Dupla 05. Iniciou-se o seguinte diálogo:
Pesquisador
(Selecionamos as sombras das 10h30min e 13h30min)
Será que a sombra das 10h30min. é do mesmo tamanho da sombra das 13h30min.?
Aluno A
(Dupla 03)
Sim é o mesmo.
Pesquisador Solicitei a este aluno que usasse uma trena para medir estas sombras.
Aluno A
(Dupla 03)
Professor uma mede 45 cm e a outra está medindo 44 cm.
Pesquisador
A sombra da manhã mediu 45 cm e a sombra da tarde 44 cm. (Informei aos alunos que deve ter ocorrido um erro no momento em que os alunos traçaram as sombras)
Pesquisador
Qual o conceito geométrico que podemos nos referir em relação a estas igualdades: o tamanho das sombras da manhã e da tarde, o tempo de 1h30min antes e depois do meio dia?
Aluno A
(Dupla 09)
(Depois de uns 30 segundos e conversa em voz baixa entre os alunos)
Professor é a simetria. O que tem deste lado é igual ao outro lado (referindo-se às sombras da parte da manhã e da tarde)
97
O próximo passo foi fazer com que os alunos descobrissem que a Linha
Norte-Sul era o prolongamento da bissetriz do ângulo formado pelas sombras
projetadas das 10h30min e 13h30min.
Pesquisador
Entre essas duas sombras temos um ângulo, precisamos traçar uma semirreta que divide este ângulo ao meio. Como é chamada esta semirreta?
Alunos das Duplas 02,
03 e 08
Bissetriz
Pesquisador Neste caso, qual seria o procedimento para
traçar esta bissetriz?
Aluna A
(Dupla 02)
(Obs.:Os alunos tem aulas de Desenho Geométrico desde o 6º ano)
A aluna pegou o compasso de lousa e traçou no chão a bissetriz7 (Imagem 13).
Pesquisador
Durante os horários das 10h30min e 13h30min foram projetadas diversas sombras. Esta bissetriz traçada pode representar a sombra de que horário?
Aluno A
(Dupla 03)
A sombra do meio dia.
Pesquisador Se prolongarmos esta bissetriz passando
pelo vértice que linha encontraremos?
Aluno B
(Dupla 09)
Greenwich.
Aluno B
(Dupla 03)
Meridiano de Greenwich.
Pesquisador Onde fica a cidade de Greenwich?
Aluna A
(Dupla 02)
Fica na Inglaterra.
Pesquisador Esse Meridiano passa na Inglaterra e em outras cidades que estão na mesma
7 Poderíamos ter usado barbante para traçar as linhas e os arcos traçados no chão. Como
tínhamos pouco tempo e a escola disponibilizou régua e compasso de madeira, optamos por utilizá-los.
98
Longitude.
No nosso caso este Meridiano traçado no chão está passando em que cidade?
Aluno A
(Dupla 03)
Guarulhos
Aluna A
(Dupla 03)
Ah! tá.
Nossa, que bacana.
Pesquisador
Isso. Este Meridiano é o que passa aqui na marca deste gnômon.
Agora, cada um de vocês vão encontrar os Meridianos que passam pelos pontos onde ficaram os seus gnômons.
Aluno A
(Dupla 02)
Professor, este Meridiano, podemos dizer que é o eixo de simetria das sombras?
Pesquisador
Sim, podemos dizer. Isto é confirmado tomando como exemplo a sombra das 10h30min que é do mesmo tamanho da sombra das 13h30min.
Solicitamos aos alunos que fossem para suas respectivas marcações e
retirassem os gnômons. Logo após, com auxílio de giz e régua, que
prolongassem as sombras até o ponto de onde foi retirado o gnômon, pois a base
do mesmo encobria esse ponto (Imagem 14). Em seguida, cada dupla traçou a
Linha Norte-Sul (Imagem 15 e 16).
99
Imagem 13
Aluna da Dupla-02 construindo a bissetriz
Imagem 14
Aluno da Dupla-03 prolongando as sombras traçadas
100
Imagem 15
Dupla 08 preparando para traçar a Linha Norte-Sul
Imagem 16
Aluno da Dupla-09 observando a Linha Norte-Sul, construído por meio da bissetriz das sombras das 10h30min e 13h30min.
101
Prosseguindo com a atividade, ficamos posicionados em uma das Linhas
Norte Sul traçada pelos alunos, de forma que ficamos de frente para o Norte.
Iniciamos então uma discussão:
Pesquisador Do nosso lado direito é Leste ou Oeste?
Diversos alunos
Leste.
Aluno A
(Dupla 03)
O Sol nasceu atrás daquele prédio e fez sombra no gnômon do outro lado (Oeste)
Pesquisador Bom, todos de acordo que este lado é
Leste?
Alunos Sim.
Pesquisador Muito bom, se este lado é Leste, este lado
consequentemente é?
Alunos Oeste
Pesquisador
(Para representar a Linha Leste Oeste colocamos uma régua em cima da marca do gnômon cruzando a Linha Norte-Sul perpendicularmente).
Pesquisador O cruzamento da Linha Norte-Sul com a
Linha Leste-Oeste poderia nos dar qual informação?
Aluno B
(Dupla 08)
Onde você está na Terra.
Pesquisador Podemos melhorar esta resposta.
Alguns alunos
A sua localização na Terra.
Pesquisador Só a minha localização?
Alguns alunos
A nossa também.
Pesquisador Só eu e vocês que podemos ser localizados?
Aluno A
Dupla 02
Não. Acho que todas as pessoas da Terra.
Pesquisador Sim, ótimo é isso mesmo.
Aluno B
Dupla 04
Professor se todos nós temos nossa localização, como é que ficam as pessoas que moram em prédios?
102
Pesquisador
Boa pergunta, sim é verdade. Neste caso a localização é a mesma, o que muda é altura.
Aqui no colégio é um desses casos. Estamos aqui na quadra (2º andar) e temos pessoas abaixo de nós, no 1º andar e no térreo, que podem estar na mesma localização que nós.
Após essa discussão, prosseguimos propondo aos alunos que deveríamos
encontrar a localização do nosso gnômon. Precisávamos traçar a Linha Leste-
Oeste e a sugestão das duplas 02 e 03 é que deveria ser traçado uma linha com
90º em relação a Linha Norte-Sul, que passasse pelo ponto onde estava o
gnômon. A Dupla 03 comentou que eles, então, iriam traçar uma reta
perpendicular. Procuramos deixar os alunos a vontade para fazer esta
construção. Todas as duplas ficaram discutindo sobre qual o processo usariam
para a construção dessa linha perpendicular. Percebemos que as dúvidas quanto
ao procedimento na construção dessa linha foram sanadas entre eles, atingindo
assim nosso objetivo (Figura 17). Como as técnicas trabalhadas estavam
corretas, não houve necessidade de intervenção.
Chamamos a atenção dos alunos que os pontos cardeais Leste e Oeste,
não necessariamente são os as posições onde o Sol nasce ou se põe, e sim, as
direções das linhas que eles encontraram. E que durante o ano o Sol nasce em
pontos diferentes do lado nascente e se põe em pontos diferentes do poente.
103
Imagem 17
Aluno da Dupla-09 construindo a Linha Leste-Oeste perpendicular a Linha Norte-Sul
Já estava previsto pintar as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste e depois
trabalhar com o GLP, mas devido ao tempo nublado que se apresentava naquele
momento, combinamos que iríamos continuar a atividade no dia seguinte no
período da manhã, pois precisávamos de um dia ensolarado. Os alunos, então,
com auxílio de um pincel, tinta preta (à base de água) e uma barra de metal
pintaram suas linhas e os Pontos Cardeais respectivos (Imagem 18). A Dupla 03,
comentou sobre a importância de deixar as marcações registradas no solo do
quadra de esportes, pois os demais alunos das outras séries do Colégio poderiam
ter contato com aquele trabalho e também ficar interessados em conhecer o
projeto. Este fato nos chamou a atenção, pois se verifica uma preocupação de
que estes conhecimentos adquiridos fossem também transmitidos para os demais
alunos do Colégio. Denota ainda a importância dada ao trabalhado efetuado.
104
3.5 Atividade de Ensino 02 - itens a) e b)
Após os alunos encontrarem as Linhas Norte e Sul, os alunos deveriam
responder aos itens a) e b) da Atividade de Ensino 02 - GLP (ANEXO B).
Deveriam ser anotados os horários em que as sombras foram traçadas do
período da manhã e da tarde.
Imagem 18
Dupla 06 pintando a Linha Norte-Sul com auxílio da barra de metal
Imagem 19
Dupla 01 pintando a Linha Leste-Oeste
105
Já no dia seguinte, por volta das 08h20min, com os alunos na quadra de
esportes (Imagem 20), conversamos sobre como seriam desenvolvidas as
atividades daquela manhã. Todos os alunos voltaram as marcas das Linhas
Norte-Sul e Leste-Oeste traçadas por eles no dia anterior e novamente
posicionaram os gnômons com auxílio dos níveis de bolha (esta reposição será
justificada a seguir no desenvolvimento de uma atividade complementar. Como
tínhamos pouco tempo para a realização da atividade (por volta de 1h30min),
decidimos que esta atividade (ANEXO B e C) seria realizada com duas duplas ao
mesmo tempo, ou seja, com 4 alunos.
Imagem 20
GLP posicionado sobre as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste
Quando percebemos que os alunos já haviam posicionado corretamente os
gnômons, nos reunimos em torno de uma das marcações e posicionamos GLP.
Demonstramos que a Linha Norte-Sul traçada no solo, deveria ser o mais próximo
do Meridiano do GLP, ou seja, uma Longitude aproximada de 46º. Também foi
usada a régua de graus do próprio GLP, rotacionando o Globo na Latitude do
106
local (23º 14"). Comentamos que o GLP estava colocado de forma homotética em
relação a Terra (Figura 45).
Figura 45
Representação do GLP colocado de forma homotética com a Terra
3.6 Atividade de Ensino 02 - itens c), d) e e)
Iniciamos com a leitura das 3 questões faltantes da Atividade de Ensino -
Globo Local Paralelo. Devido ao pouco tempo que tínhamos para realizar a
atividade, separamos os alunos em quatro grupos, dois com 6 alunos e os outros
dois com 5 alunos, totalizando 22 alunos.
O item c da Atividade 03 (Anexo B) solicitava aos grupos encontrar, no
GLP, uma cidade que estivesse amanhecendo. Os alunos comentaram que seria
107
interessante encontrar uma cidade que apresentasse uma sombra bem comprida
do gnômon que estavam posicionando manualmente.
O relógio estava marcando 8h35min quando grupo-01 iniciou a questão 03.
Como o GLP estava posicionado com seu Meridiano paralelo ao Meridiano do
local, os grupos levaram seus gnômons (usaram lápis ou as buchas de nylon)
para ver o comportamento das sombras. O grupo 01 escolheu a cidade de David,
no Panamá.
Imagem 21
Aluna do Grupo 01 posicionando um gnômon sobre o GLP e verificando o comportamento da sua sombra
O grupo 02 teve certa dificuldade na escolha da cidade. Eles sabiam que
no decorrer do tempo o Sol nasce em diferentes lugares no horizonte e que o Sol
só nasce no Leste nos equinócios. Além disso, sabiam que os equinócios ocorrem
nos meses de março e setembro, em particular, no Hemisfério Sul, o início do
outono acontece no mês de março e a primavera no mês de setembro.
Percebemos pela discussão do grupo que alguns componentes apontavam
para esta região no céu e escolheram no GLP cidades que estavam voltadas para
o Sol como, por exemplo, alguns países da África e da Europa. No momento em
108
que íamos intervir, um aluno do grupo 03 solicitou se poderia dar a sua opinião.
Eis o relato do que se passou em seguida:
Aluno
(grupo 03)
O Sol nasce a Leste, parece que o Sol vai fazendo isso, (o movimento com o braço direito - de leste para oeste), mas quem está girando é a Terra (movimento com o braço esquerdo de Oeste para Leste)
Aluno
(grupo 03)
O Sol está parado entre aspas, a gente vai rodando, aí ele (Sol) vai subindo aqui (gesticulando com os braços)
Aluno B Aqui vai diminuindo (apontando em uma
região leste do globo)
Aluno
(grupo 03)
Sim e vai escurecendo.
Aluno C A tá, beleza entendi, então tem que ser pra
cá (apontando para países no oeste da América do Sul).
Aluno
(grupo 03)
Professor, falei certo?
Pesquisador Sim falou, foi ótimo. Parabéns.
Alunos Vamos escolher a cidade de Buenos Aires
na Argentina.
Destaque-se que o aluno A não era do grupo e ainda assim se propôs a
ajudar os colegas. Dessa forma, observa-se que o aluno se coloca numa postura
de solidariedade e colaboração com os colegas, indicando que o saber/fazer
aprendido poderá ser utilizado no futuro (D'AMBROSIO, 2010).
O grupo 03 foi mais rápido, logo pegou o gnômon e foi direto a alguns
países no oeste da América do Sul e escolheu a cidade de Mendoza na
Argentina.
O grupo 04 observou cidades na América do Sul, mas percebeu que a
região Oeste do Estados Unidos estava também amanhecendo e escolheu a
cidade do Alabama. A esse respeito ocorreu a seguinte discussão entre alguns
componentes do grupo:
109
Aluno A
- Olha a divisão aqui. (Mostrando uma linha paralela aos Meridianos que dividia onde estava claro e escuro).
Aluno B
É verdade. Mas olhem aqui nos Estados Unidos está amanhecendo (apontando para algumas regiões onde seu gnômon (Imagem
22) estava fazendo uma sombra comprida).
Aluno B Aqui vai diminuindo (apontando em uma
região leste do globo)
Aluno C Olha no Alabama está amanhecendo.
Aluno C Vamos colocar as duas cidades
Grupo Ok. vamos.
Imagem 22
Grupo 4 posicionando o gnômon na cidade de Alabama
O item d da atividade solicitava que os grupos escolhessem uma cidade no
GLP que estivesse com o Sol se pondo. Percebemos que nas discussões, os
alunos fizeram a seguinte relação: as sombras ao amanhecer ficavam mais
110
compridas e estavam a Oeste, então ao entardecer as sombras também estariam
compridas, só que no outro sentido, ou seja, a Leste.
O grupo 01 iniciou a atividade sentando no chão e procurando uma cidade
que atendia o exercício.
Aluna A Aqui ó Bangkok. (apontando com caneta no
GLP)
Aluna B Como se escreve isso?
Aluna A Bang .....kok
Pesquisador Onde fica Bangkok?
Alunas A e B Fica na China.
Pesquisador Será que fica na China?
Alunas A e B
Espera um pouco (elas ficaram olhando para o GLP procurando o país correto)
Bangkok fica na Tailândia.
Aluno C Eu vou colocar Auden, na Rússia.
Aluno do grupo
Sim, podemos colocar Bangkok e Auden.
Do mesmo modo, o grupo 02 escolheu a ilha de Madagascar, o grupo 03 a
cidade de Daca, em Bangladesh e o grupo 04 a Ilha de Nicobar, pertencente à
Índia. Durante essa atividade, as dúvidas que surgiram foram sanadas por meio
de diálogos entre os componentes dos grupos e também pela ajuda de alunos
dos outros grupos que já haviam terminado a atividade.
O item e) solicitava aos grupos encontrar, no GLP, uma cidade onde a
sombra do gnômon passasse por cima do seu Meridiano.
O grupo 01, usando o gnômon, escolheu a cidade de Kaduna, na Nigéria,
onde era projetada uma pequena sombra sobre seu Meridiano. Durante a escolha
da cidade, pelo grupo 02, tivemos que fazer uma intervenção, usando as marcas
das Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste que estavam pintadas no chão:
111
Pesquisador - Se a sombra estivesse passando sobre esta
Linha (Linha Norte-Sul), que horas seria aqui em Guarulhos?
Alunos do Grupo 2
Meio dia.
Pesquisador Então vocês devem procurar uma cidade no
GLP, onde a sombra projetada do gnômon passe por cima do Meridiano desta cidade.
Aluna A Alagoas (apontando para o globo, mas sem
usar o gnômon para se certificar).
Aluna B
Alagoas está no mesmo horário que a gente.
(A aluna coloca o gnômon na cidade de
Alagoas e compara a sombra projetada com a sombra de Guarulhos).
Olha aí, a sombra é praticamente do mesmo tamanho.
Aluna A E se escolhermos Lisboa, Portugal?
Aluno C Olha que da hora, a sombra está para o
Norte e não para o Sul (Imagem 23).
Aluno C Ah, é porque nós estamos no Hemisfério Sul
e Portugal está no Hemisfério Norte.
Este exercício solicitava que os alunos encontrassem uma cidade no GLP
que estivesse com o Sol se pondo. Como os alunos perceberam que as sombras
ao amanhecer ficavam mais compridas e estavam em direção ao Oeste, então,
concluíram que ao entardecer as sombras estariam a Leste.
O grupo-01 iniciou a atividade sentando no chão e procurando uma cidade
que atendia ao exercício.
112
Imagem 23
Detalhe da sombra projetada no Hemisfério Norte
Trabalhando com projeções, utilizando o GLP e as Linhas Norte, Sul, Leste
e Oeste traçadas no chão, procuramos fazer uma comparação entre o GLP e
essas linhas. A intenção era fazer com que os alunos entendessem que, uma
sombra projetada no chão, sobre a Linha Norte-Sul indica que é meio dia local, e
uma sombra incidindo sobre o Meridiano que passa sobre uma cidade do GLP
indica que a referida cidade também se encontra nesse mesmo horário. Enquanto
alguns alunos do grupo-02 entenderam imediatamente essa constatação, o aluno
A sentiu dificuldade nesse entendimento, apontando o estado de Alagoas, sem a
preocupação de utilizar os gnômons para se certificar. Os próprios integrantes do
grupo interviram, mostrando a ele que não era meio dia no estado de Alagoas.
Os demais grupos tiveram algumas dificuldades parecidas com a do grupo
02. Uma das dificuldades referia-se ao posicionamento do gnômon, pois as
sombras projetadas pelas mãos dos alunos encobriam essa sombra. Este fato foi
solucionado pela intervenção do pesquisador, que recomendou aos alunos que
segurassem as bases dos gnômon com as mãos mais espalmadas, possibilitando
melhor visualização da sombra projetada pelo gnômon.
O grupo 03, após resolver o problema da sombra da mão e do braço, que
inviabilizava a projeção da sombra, optou pela cidade de Marselha, na França. O
113
grupo 04 escolheu a cidade de Bidon, na Argélia, quando a mesma não
apresentava sombra do gnômon, fato este que chamou a atenção dos alunos.
Imagem 24 - Grupo-03 posicionando o gnômon. No detalhe, os alunos visualizam a sombra do gnômon
na cidade de Bidon/Argélia
De fato, na cidade de Bidon, naquele dia e horário a sombra do gnômon
estava projetada sobre o meridiano. Essa constatação respondeu a uma questão
que se encontra na questão 5 da Atividade de Ensino 02 (Anexo B).
Provavelmente, o GLP permitiu aos alunos uma melhor visualização local e
global do mundo em que vivem. O empenho era de todos e, em certos momentos,
constatamos grande entusiasmo entre os participantes gerado pela atividade, de
modo que, alguns alunos munidos dos seus gnômons (bucha de nylon ou lápis)
queriam verificar, todos ao mesmo tempo, como ficavam as sombras desses
instrumentos pela superfície do GLP.
114
3.7 Atividade complementar 1: medindo o comprimento de uma coluna de
ferro
Em seguida à Atividade 02, realizamos uma outra, complementar,
atendendo à solicitação de uma aluna da Dupla 02, ao questionar se seria
possível calcular o comprimento de uma coluna de ferro (Imagem 25) que estava
colocada em cima do muro da quadra, da mesma forma que Tales de Mileto
procedeu para calcular a altura das pirâmides. Nesse sentido, elaboramos uma
atividade que procurasse atender à essa reivindicação.
Imagem 25 Detalhe da coluna de ferro e o muro - Atividade complementar 1
Solicitamos que todas as duplas voltassem para seus respectivos gnômons
(os gnômons estavam posicionados desde o início da Atividade 2) e usassem
uma trena para medir a altura do gnômon. Para essa atividade, os alunos foram
divididos em 2 grupos de onze alunos, mas cada aluno recebeu uma folha
115
contendo a atividade (ANEXO C ) a ser realizada. Os alunos deveriam, com o
auxílio de uma trena, fazer medições e preencher o quadro abaixo (Figura 46).
a) HORÁRIO DA ATIVIDADE
b) ALTURA DO GNÔMON (DO CHÃO ATÉ SUA EXTREMIDADE)
c) COMPRIMENTO DA SOMBRA DO GNÔMON
d) ALTURA DO MURO
e) COMPRIMENTO DA SOMBRA COLUNA DE FERRO + MURO
metros
metros
metros
metros
Figura 46 Tabela da Atividade complementar 1
Os três primeiros itens desta atividade foram resolvidos em duplas. No item
a) foram anotados 09h07min, o comprimento dos gnômons era padrão e foram
anotados 61cm. Quanto ao item c, relativo ao comprimento das sombras dos
gnômons, as medidas variaram entre dois valores: 80 cm e 81 cm. Provavelmente
faltou um pouco de rigor e precisão ao coletar esses valores (Imagem 26).
116
Imagem 26
Alunos medindo o comprimento do gnômon
Para responder ao item d, os alunos mediram a altura do muro onde estava
fixada a coluna de ferro. O valor encontrado pelos alunos foi de 1,50m.
Quando os alunos foram medir o comprimento da sombra da coluna de
ferro, percebemos que alguns deles já discutiam sobre o fato da medida da
sombra encontrada não ser somente da coluna de ferro e sim da coluna de ferro
adicionada à altura do muro.
Outro detalhe que nos chamou a atenção foi que essa sombra media mais
de 5 metros. Como a trena usada tinha comprimento de 5 metros, os alunos
mediram a sombra até a referida medida e, em seguida, continuaram medindo o
restante da sombra (Figuras 27 e 28). Os valores encontrados foram 5,34m e
5,37m. Essa diferença pode ter ocorrido devido à possível dificuldade encontrada
pelos alunos durante a medição pois, por alguns minutos não tivemos claridade
suficiente para projetar a sombra da coluna de ferro.
117
Imagem 27
Aluno marcando no chão o limite da trena (5metros) em relação à sombra da coluna de ferro
Imagem 28
Alunos medindo o restante da sombra da coluna de ferro
118
Com todos dados obtidos para a conclusão da atividade, os alunos foram
para uma sala de aula para elaborar um croquis do gnômon, da coluna de ferro
com o muro e suas sombras, com seus respectivos comprimentos. Aguardamos
alguns minutos e provocamos os alunos sobre como deveriam encontrar o
comprimento da coluna de ferro a partir dos dados encontrados.
Aluno A Podemos resolver por razão e proporção.
Aluno B Como assim?
Aluno A Professor posso explicar na lousa?
Pesquisador Sim, sem problemas.
Alguns alunos
Professor, nós entendemos, podemos ir resolvendo o exercício.
Pesquisador Sim, podem resolver.
Pesquisador Aluno A, pode vir explicar para os demais.
Aluno A
A razão entre a altura do gnômon que nós
medimos com a altura da coluna de ferro que nós não temos, podemos chamar de x.
Proporcional entre a sombra do gnômon e a
sombra da coluna de ferro.
Alguns alunos
Há... Lembrei.
Aluno C Professor, mas tem um detalhe.
Pesquisador
Qual seria?
(A maioria dos alunos ficaram prestando a atenção).
Aluno C Se “fazermos” isso. Encontraremos a altura
da coluna de ferro adicionada com a altura do muro.
Pesquisador Ok. O que você sugere então?
Aluno C
Depois que a gente encontrar o valor pelo método que o Aluno A falou, devemos subtrair da altura do muro que é de.....(procurando na folha de atividades) 1,5m.
Pesquisador Muito bom. Isso mesmo, parabéns.
119
Agora vamos todos resolver a atividade
Este debate com os alunos foi muito proveitoso, pois percebemos a
participação e colaboração de todos. Para altura do muro adicionado ao
comprimento da coluna de ferro, alguns alunos encontraram o resultado de 3,95
m e 3,99 m. Como esses valores foram subtraídos pela altura do muro (1,50 m),
os resultados finais foram 2,45 m e 2,49 m.
3.8 Atividade complementar 2: Pré Sal
Em outro momento, em sala de aula, propusemos aos alunos uma
atividade que envolveu a preservação a natureza (no caso os oceanos) e a
exploração do petróleo. O propósito dessa atividade foi estimular os alunos a
refletirem sobre o respeito que se deve ter pelo meio ambiente.
Os alunos foram dispostos em duplas de forma aleatória, onde leram um
texto intitulado "Pré Sal" (ANEXO D) e, em seguida, fizemos o seguinte
questionamento: "No texto comenta-se que no Pré-sal nem tudo é festa. Existe a
preocupação quanto à viabilidade econômica, pois, o desenvolvimento de novas
tecnologias e a cotação do mercado mundial podem tornar o processo de
exploração e produção inviáveis. Na sua opinião será que não devemos nos
preocupar com algo mais, além da viabilidade econômica? Justifique"8.
À essa solicitação, obtivemos diversas respostas, dentre as quais
destacamos as que seguem:
8 O texto "Pré Sal" foi elaborado a partir de dois outros, extraídos dos sites
http://www.conexaoaluno.rj.gov.br/especial.asp?EditeCodigoDaPagina=1478 e http://pt.wikipedia. org/wiki/Camada_pr%C3%A9-sal.
120
Figura 47 Respostas dos alunos sobre a questão do "Pré Sal"
As respostas dos alunos mostraram preocupação com o meio ambiente, no
sentido de se perguntarem se esse tipo de exploração se faz realmente
necessário, a que preço e a que risco. Os alunos fizeram comentários sobre
empresários gananciosos, que visam somente lucro, sem se preocupar com
possíveis desastres ecológicos, como a destruição da vida marítima e a poluição
do mar e das praias. Esta preocupação vem ao encontro das ideias defendidas
por D`Ambrosio (2009), explicitados em seu "Triângulo da Sobrevivência",
considerando que, com a destruição da natureza não poderemos dar continuidade
à espécie.
Enfim, essa questão nos auxilia a perceber quando um problema é tratado
com um olhar transdisciplinar, de forma que conhecimentos de diversas áreas
podem ser estudados e aplicados, possibilitando explicar, entender e lidar com as
necessidades de sobrevivência e de transcendência (D`AMBROSIO, 2009).
121
3.9 Considerações sobre as atividades do capítulo 3
"Quem altera a atitude é o leitor, não o texto. Quem caminha é o caminhante, não a estrada"
Walmir T.Cardoso, 2010.
Pudemos constatar o envolvimento e aceitação das atividades pelos
alunos, quando expuseram suas opiniões, fizeram inferências e solicitaram novas
atividades, utilizando conceitos trabalhados anteriormente. Do mesmo modo que
na Atividade 02, no desenvolvimento desta última atividade de ensino, os alunos
tiveram oportunidade de compreender que:
1. a utilização do gnômon bem como do nível de bolha, compasso e
régua, possibilitou colocarem em prática conceitos matemáticos como
reta, semirreta, projeção, ângulos, bissetriz, perpendicularidade, arco de
circunferência, simetria, semelhança de triângulos e proporcionalidade.
2. trabalhar com o gnômon permite verificar o efeito do movimento de
rotação da Terra, uma vez que a luz do sol incidindo sobre o gnômon
vai projetando sombras em posições diferentes no decorrer do dia.
3. desde as primeiras horas do dia até o meio dia, as sombras vão
diminuindo de tamanho e, no período da tarde, a sombra vai
aumentando à medida que o sol vai se pondo.
4. o gnômon possibilitou encontrar as posições desses alunos na Terra,
ao traçarem no solo as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste e os Pontos
Cardeais.
5. o GLP pode proporcionar como se dá o movimento de rotação da
Terra, as diferenças entre o hemisfério Sul e hemisfério Norte e como
as sombras se comportam em cada um desses hemisférios.
6. ao meio dia, em alguns lugares, o gnômon não projeta sombras e em
outros, a sombra está sobre o Meridiano local.
A Atividade Complementar 01 originou-se da curiosidade de uma
participante da pesquisa, quando fez uma comparação entre as sombras do
gnômon com o feito de Tales de Mileto ao medir a altura de uma pirâmide. A
122
aluna percebeu a possibilidade de medir a altura de uma coluna de ferro que se
encontrava no muro da quadra de esportes. Esse fato nos chamou a atenção,
pois a referida aluna conseguiu relacionar um matemático com as atividades
realizadas com o gnômon e um objeto comum nos dias de hoje, qual seja, a
coluna de ferro.
O anseio de conhecer mais e a iniciativa de calcular a barra de ferro
utilizando o mesmo processo de Tales de Mileto foi um exercício de redescoberta
da aluna, ao reviver um trabalho realizado no Egito antigo. Seu desejo contagiou
os alunos participantes desta investigação. Exerceu-se, assim, a essência do
aprendizado, Foi um momento privilegiado ocorrido durante a pesquisa, pois
despertou nos alunos a vontade de fazer o mesmo que Tales fez. Tratou-se,
então, de valorizar a dúvida dos alunos: Será que o feito de Tales funciona
mesmo? Esse questionamento provocou nos alunos a curiosidade sobre
conhecimentos matemáticos, mais precisamente, geométricos. Dessa forma, a
Atividade de Ensino 02 sofreu dessa forma uma modificação, foi aumentada em
função da dúvida e anseios dos alunos. Foi um momento de solidariedade,
envolvimento e de satisfação pelos resultados obtidos.
Houve a intenção de produzir um trabalho interdisciplinar na medida em
que as atividades foram trabalhadas e interligadas dentro de um contexto em que
as disciplinas Matemática, Geografia, História se fizeram presentes. O professor
de Geografia participou da elaboração de parte das atividades desenvolvidas,
aquelas referentes ao encontro das linhas Norte-Sul; Leste e Oeste; aos Pontos
Cardeais e às questões que solicitavam aos alunos encontrar no GLP cidades
que estavam amanhecendo ou entardecendo.
Do mesmo modo como na Atividade de Ensino 01, os trabalhos realizados
e descritos neste capítulo também proporcionaram o desenvolvimento das
vertentes formativas e informativas, pois, relativamente ao instrumento
comunicativo, observou-se que os alunos e professor discutiram, leram e
escreveram durante o procedimento para determinar a altura da coluna; ao
analítico, quando os alunos efetuaram cálculos, inferências e tiraram conclusões;
aos materiais, quando fizeram uso do gnômon e da trena. Percebeu-se
123
igualmente a presença da vertente informativa, quando os alunos socializaram os
resultados encontrados.
Dessa forma, procurou-se estimular nos alunos refletir sobre questões
relativas à atualidade, entendendo que existem problemas gerais e globais que
merecem sua atenção. O uso do texto relativo ao Pré-Sal teve intenção de
despertar nos alunos essa responsabilidade para com a sobrevivência do Planeta
Terra. Tomamos como fundamento a Carta da Transdisciplinaridade destacando
que um dos princípios da transdisciplinaridade é justamente o ser humano
reconhecer a Terra como sua pátria e a necessidade de preservá-la. Assim
sendo, procurou-se proporcionar uma visão mais ampla dos relacionamentos de
sobrevivência individual, da espécie humana e de sua continuidade.
O espírito de colaboração relatado neste capítulo ocorreu durante todas as
suas atividades, indicando que os assuntos e modo como foram abordados
propiciaram a interação, a participação, o interesse, a criatividade, a reflexão, a
iniciativa e a solidariedade entre os participantes dessa investigação.
124
CAPÍTULO 4
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O presente trabalho foi desenvolvido a partir de atividades de ensino que
envolviam problemas que relacionavam conteúdos de Matemática com conteúdos
de outras áreas do conhecimento, em particular, da Astronomia. Fundamentou-se,
basicamente, no Programa Etnomatemática, elaborado por D´Ambrosio (2005),
notadamente no que tange à interdisplinaridade e a transdisciplinaridade.
A questão de pesquisa proposta para orientar este trabalho foi:
Como um estudo integrado de Matemática e Astronomia pode
contribuir na construção dos conhecimentos de Matemática de modo que
possibilite um melhor entendimento de mundo aos estudantes do 8º e 9º
ano do Ensino Fundamental?
Para responder a esse questionamento, realizamos atividades de ensino,
utilizando conceitos da Matemática e de Astronomia, dentre outras áreas do
conhecimento, tendo como sujeitos alunos do 8º ano (7ª série) e 9º ano (8ª série)
do Ensino Fundamental II de um colégio da rede particular do município de
Guarulhos, no estado de São Paulo.
As atividades foram realizadas em dois momentos. No primeiro, os alunos
foram levados ao laboratório de informática onde puderam trabalhar conteúdos
matemáticos bem como de Astronomia, por meio do software Stellarium e de um
planisfério. No segundo, os alunos foram conduzidos para a quadra de esportes
onde, por meio de um gnômon e o GLP - Globo Local Paralelo puderam refletir a
respeito de sua posição e de outras pessoas sobre a superfície da Terra,
conduzidos por conceitos de Matemática e Astronomia, como também de
Geografia.
No primeiro momento, os alunos do 8º ano foram distribuídos de forma
aleatória, em duplas. Diante de um ambiente virtual propiciado pelo aplicativo
125
Stellarium os alunos tiveram a oportunidade de expor seus pensamentos,
validando, ou não, suas hipóteses diante das atividades propostas.
Com os instrumentos disponíveis como o computador, software Stellarium
e um planisfério, os alunos participantes deveriam responder questões ligadas às
coordenadas geográficas, Fusos Horários, Altitude, rotação da Terra. Para
respondê-las, desenvolveram hipóteses, as quais eram conferidas no aplicativo
Stellarium, discutiram seus resultados com outras duplas e eventualmente
reformularam suas conjecturas.
A Atividade 1 (Primeiro Momento) propiciou aos alunos a oportunidade de
entrar em contato com conteúdos matemáticos como plano cartesiano, esfera e
sua planificação, operações com números inteiros, ângulos e unidades de tempo.
Pelo modo como a atividade transcorreu constatou-se que ideias de
Interdisciplinaridade estavam presentes, quando os alunos puderam perceber
ligações entre Matemática, Astronomia e também Geografia.
Diante das diversas observações feitas pelos alunos, consideramos que as
atividades realizadas proporcionaram aos participantes momentos de reflexão e
aprendizagem, especialmente quando estavam diante de fatos ligados ao seu dia
a dia, como sua localização e de outras pessoas na Terra. Esses momentos
despertaram a curiosidade dos alunos, por exemplo, sobre a existência de
cidades que estão abaixo do nível do mar e das linhas de Fusos Horários
quebradas.
No segundo momento (Atividade 2 e atividades complementares) os alunos
já se encontravam no 9º ano. Boa parte das atividades foi realizada com os
alunos dispostos em duplas, também formadas aleatoriamente.
Nessa Atividade 2, de posse de um gnômon, giz, régua de 1 metro e nível
de bolha, as duplas deveriam traçar as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste, a partir
das sombras do gnômon projetadas no solo. Com estas linhas traçadas no solo
foi possível posicionar o GLP - Globo Local Paralelo, permitindo assim responder
as questões solicitadas na referida atividade. O GLP possibilitou aos alunos
descobrir como a Terra está posicionada no espaço em relação ao Sol; que o
126
movimento de rotação da Terra é o fator determinante do dia e da noite; o que
ocorre em cidades distribuídas pela superfície da Terra em relação ao horário e
se é dia ou noite; que ao meio dia, em algumas cidades, o gnômon não projeta
sombra, e em outras cidades, a sombra está sobre o seu Meridiano local.
Pudemos observar que, neste segundo momento, à medida que eram
feitas as atividades, os alunos passaram a utilizar terminologias como Longitudes,
Meridianos e Linha Norte-Sul, o que nos leva a concluir que eles fizeram uma
apropriação dessas nomenclaturas.
Ao que tudo indica, as atividades propostas promoveram nos alunos um
papel de transcendência nos seus conhecimentos. No momento em que estavam
comparando as sombras do gnômon e o comprimento do mesmo, a aluna da
Dupla 02, questionou sobre a possibilidade de calcular a altura de uma coluna de
ferro que estava disposta em cima do muro em torno da quadra de esportes,
fazendo uma analogia com a altura das pirâmides feita por Tales de Mileto. Para
responder essa questão, desenvolvemos uma atividade complementar, quando
utilizamos conceitos matemáticos (razão e proporção e semelhança de triângulos)
e o uso dos instrumentos disponíveis (gnômon e trena).
Assim as atividades propostas tiveram papel provocador na troca de ideias
entre os alunos com assuntos recentes e que levaram a questões sobre o
desenvolvimento sustentável, a preservação do meio ambiente, a preocupação
com o planeta e o anseio por conhecimentos sobre o Universo, incluindo aqueles
os quais a ciência ainda não tem resposta. Desse modo, acreditamos que essas
atividades revelaram um pensamento transdisciplinar, que se manifestou no
compartilhamento dos saberes apreendidos, promovendo nos alunos um papel de
transcendência de seus conhecimentos.
Constamos, entre os alunos, grande respeito e preocupação em ajudar os
que tinham dificuldades. Acreditamos ter oferecido a eles, ainda que
parcialmente, a oportunidade de repensar o mundo, de reconhecer que um
depende do outro, e que devemos ter a natureza do nosso lado. Quando
desrespeitamos a natureza devemos saber interpretar suas manifestações. A
127
Matemática nos deu a possibilidade de compreender fenômenos naturais durante
o desenvolvimento deste trabalho. Então, como podemos usá-la em prol da
natureza e de um mundo mais pacífico? Esta constatação está acordada com a
afirmação de que “A Matemática está em todo o lado!” e no desenvolvimento de
ações para a defesa do Planeta Terra (APM, 2013). Nesse sentido, em sala de
aula, propusemos aos alunos uma atividade que envolveu a preservação da
natureza (no caso a dos oceanos) e a exploração do petróleo.
Dessa forma, procurou-se despertar nos alunos questões relativas à
atualidade, entendendo que existem problemas gerais e globais que merecem
sua atenção. O texto relativo ao Pré-Sal procura despertar nos alunos essa
responsabilidade para com a sobrevivência do Planeta Terra. Tomamos como
fundamento a Carta da Transdisciplinaridade destacando que um dos princípios
da transdisciplinaridade é justamente o reconhecimento para o ser humano da
Terra como sua pátria e a necessidade de preservá-la. Assim sendo, procurou-se
proporcionar uma visão mais ampla dos relacionamentos de sobrevivência
individual, da espécie humana e de sua continuidade.
Concebendo o conhecimento como resultante da busca pela sobrevivência
e pela transcendência (D’AMBROSIO, 2009), as atividades propostas procuraram
relacionar diversos conhecimentos científicos. Ao que tudo indica, as atividades
desenvolvidas proporcionaram o desenvolvimento das vertentes formativa e
informativa, ao permitir aos alunos a possibilidade de acessar, sociabilizar e
ampliar seus conhecimentos.
No desenvolvimento deste trabalho, defrontamo-nos com as mais variadas
situações, exteriorizadas nos diálogos, discussões, espontaneidades,
curiosidades e solidariedades, estampadas nos rostos dos alunos, quando
ficavam maravilhados por uma nova descoberta ou quando conseguiam
compreender os fenômenos estudados. Assim sendo, as atividades implicaram
em uma mudança no modo de ver dos alunos, não somente em relação aos
conteúdos matemáticos, como também aos de outras áreas do conhecimento,
possibilitando-lhes uma visão mais real e democrática do mundo, ao tentar obter
respostas e realizar descobertas.
128
A nosso ver, este trabalho difere daquele que, em geral, é praticado no
ensino tradicional. A forma como as atividades foram elaboradas e conduzidas,
fizeram com que os alunos entrassem em ação. O manuseio de instrumentos
como: gnômon, régua, compasso, GLP e trena, por diversas vezes impulsionou
os alunos a ver, pensar, repensar, ouvir e discutir, validando assim, suas
hipóteses ou respondendo suas questões.
Também foi possível observar que os alunos fizeram uso de conceitos
adquiridos nas aulas de Matemática em curso na escola. Durante o processo de
encontrar e traçar as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste usaram conceitos de reta,
segmento de reta, simetria, bissetriz e perpendicularidade, bem como manuseio
de régua e compasso, necessários para a construção destes conceitos.
Como impacto resultante deste estudo, destacamos que algumas semanas
após a realização desse trabalho, fomos procurados por alguns pais dos alunos
que participaram das atividades. Devido ao entusiasmo apresentado pelos alunos
durante o trabalho desenvolvido, os pais manifestaram interesse em desenvolver
atividades semelhantes aquelas desenvolvidas por seus filhos. Dessa conversa
ficamos acordados que iríamos promover outras atividades, só que desta vez com
a presença dos pais. Após comunicar essa notícia com a direção do colégio,
agendamos para o mês de novembro de 2013, a realização de um trabalho
semelhante à Atividade de Ensino 02, fazendo uso do gnômon e do GLP.
O olhar dos pais para as atividades escolares de seus filhos e o desejo de
obter maiores conhecimentos a respeito dos assuntos trabalhados que os
empolgaram também pode ser visto como um aspecto transcendente, pois, esse
olhar para ações de seus filhos, ao vê-los crescer e participar ativamente de suas
atividades, lhes proporcionaram a possibilidade de refletir sobre o mundo em que
vivem, a conscientização dos problemas que a Terra vem enfrentando e a criação
de estratégias de sobrevivência..
Como sugestão para futuras pesquisas, propomos o estudo dos erros dos
alunos cometidos ao longo do desenvolvimento da Atividade 01. Embora
entendermos a importância desse tema, não nos foi possível trabalhá-lo,
129
porquanto o tempo destinado para a realização desta dissertação não nos
permitiu dar prosseguimento a um estudo dessa natureza. Outro tema passível de
pesquisa e que pelo mesmo motivo não foi possível trabalhar, diz respeito às
diferenças entre o meio dia solar e o meio dia do relógio.
Esperamos que as atividades de ensino abordadas nesta investigação
despertem nos professores a possibilidade de trabalhá-las em suas aulas, de
maneira que seus alunos participem de forma ativa e efetivamente da construção
de sua aprendizagem, fazendo com que a interdisciplinaridade e a
transdisciplinaridade se façam presentes, possibilitando a eles o encontro de
respostas para a compreensão de fenômenos naturais, assumindo atitudes
responsáveis e democráticas para com o mundo em que vivemos.
130
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