I
FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA - FIEL ENGENHARIA CIVIL
Análise estrutural de lajes de concreto armado
Marcio Vinicius Marini
Luiz Gustavo Deotti
Orientador: Prof. Dr. Gilson Battiston Fernandes
Trabalho de Conclusão de Curso apresentada à Banca Examinadora da Faculdades Integradas Einstein de Limeira - (FIEL), como parte dos requisitos para obtenção do Engenharia Civil, com ênfase em Estrutura Metálica.
Limeira 2010
II
Agradecimentos
Meus agradecimentos nesta fase serão, primeiramente, aos meus familiares: Norberto Marini,
Maria Jose Ricci Marini, tia Márcia Marini e ao meu irmão e companheiro Fabio Luis Marini, por
estarem ao meu lado nesta jornada de minha pesquisa.
À minha noiva Rafaela Oliveira Campanha por apoiar e compreender este período de
dedicação, e superar algumas ausências de minha parte.
Agradecer ao meu orientador Prof. Dr. Gilson Battiston Fernandes, enriquecer os meus
conhecimentos e pela contribuição para a conclusão deste trabalho de conclusão de curso.
Aos engenheiros calculistas Caruzo e Sydney, pela flexibilidade, ensinamento e apoio.
À Deus, por me dar força, garra e dedicação nos momentos críticos.
Marcio Vinicius Marini
Agradeço primeiramente à Deus que ilumina o meu caminho todos os dias, também aos meus
familiares, minha mãe Neusa Deotti, ao meu pai José Augusto Deotti que mesmo longe me apoia,
meus irmãos José Augusto Deotti Junior, Henrique Deotti, Enio Deotti, José Deotti Neto, Mayara
Deotti, Felipe Deotti e a minha namorada Juliana Bellon.
Ao professor Orientador Prof. Dr. Gilson Battiston Fernandes, aos professores da bancada
examinadora Prof. Carlos Eduardo e Prof. Luciano Passos.
Agradeço a todos os meus amigos de sala e todos que me ajudaram.
Luiz Gustavo Deotti
III
Sumário
Lista de Figuras......................................................................................................................................VI
Lista de Tabelas.................................................................................................................................. VIII
Resumo...................................................................................................................................................IX
Abstract...................................................................................................................................................X
1-Introdução.......................................................................................................................................... 01
1.1-Objetivos e justificativas.................................................................................................................02
1.1.1-Objetivos gerais...........................................................................................................................02
1.1.2-Objetivos específicos....................................................................................................................02
1.1.3-Justificativa...................................................................................................................................03
2-Metodologia........................................................................................................................................04
2.1-Edifício residencial..........................................................................................................................04
2.2-Modelagem numérica......................................................................................................................08
2.3-Método dos Elementos Finitos........................................................................................................08
3-Lajes Maciças.....................................................................................................................................10
3.1-Lajes................................................................................................................................................10
3.2-Cargas..............................................................................................................................................11
3.2.1-Peso próprio (pp)..........................................................................................................................11
3.2.2-Carga acidental.............................................................................................................................13
3.3-Carregamentos de lajes....................................................................................................................14
3.4-Calculo das reações......................................................................................................................... 14
3.5-Calculo dos momentos fletores........................................................................................................16
3.6-Vinculação dos Painéis de Laje.......................................................................................................17
IV
3.7-Aplicação ao Projeto.......................................................................................................................18
3.8-Calculo de Armadura......................................................................................................................19
3.8.1-Detalhamento das Armaduras......................................................................................................20
3.8.2-Armadura Positiva........................................................................................................................21
3.8.3-Barras sobre os Apoios.................................................................................................................21
3.9-Verificação de Flechas....................................................................................................................24
4-Resultados..........................................................................................................................................25
5-Conclusão...........................................................................................................................................49
6-Referências.........................................................................................................................................50
APÊNDICE A - Memorial de calculo e especificação das lajes...........................................................58
APÊNDICE B - Carregamentos das lajes..............................................................................................59
APÊNDICE C - Memorial de cálculo laje 1..........................................................................................60
APÊNDICE D - Memorial de cálculo laje 2.........................................................................................61
APÊNDICE E - Memorial de cálculo laje 3.........................................................................................62
APÊNDICE F - Memorial de cálculo laje 4.........................................................................................63
APÊNDICE G - Memorial de cálculo laje 5.........................................................................................64
APÊNDICE H - Memorial de cálculo laje 6.........................................................................................65
APÊNDICE I - Memorial de cálculo laje 7...........................................................................................66
APÊNDICE J - Memorial de cálculo laje 8...........................................................................................67
APÊNDICE K - Memorial de cálculo laje 9.........................................................................................68
V
APÊNDICE L - Memorial de cálculo laje 10.......................................................................................69
APÊNDICE M - Memorial de cálculo laje 11......................................................................................70
APÊNDICE N - Memorial de cálculo laje 12........................................................................................71
APÊNDICE O - Memorial de cálculo laje 13........................................................................................72
APÊNDICE P - Memorial de cálculo laje 14.........................................................................................73
APÊNDICE Q - Memorial de cálculo laje 15. ......................................................................................74
APÊNDICE R - Memorial de cálculo laje 16.......................................................................................75
APÊNDICE S - Memorial de cálculo laje17..........................................................................................76
VI
Lista de Figuras
Figura 2.1 - Planta de forma do pavimento superior.............................................................................05
Figura 2.2 - Planta de forma cobertura..................................................................................................06
Figura 2.3 - Resumo das etapas desenvolvidas.....................................................................................07
Figura 3.1 - Aplicação do “Método do Telhado”..................................................................................15
Figura 3.2 - Engastamento de lajes.......................................................................................................18
Figura 3.3 - Lajes em L..........................................................................................................................19
Figura 3.4 - Armadura Positiva.............................................................................................................24
Figura 3.5 - Alternativa para as armaduras negativas...........................................................................24
Figura 4.1 - Engastamento das Lajes de concreto - Global...................................................................25
Figura 4.2 - Esforços de dimensionamento: Momento X, inferior (kNxm/m) -Global.........................26
Figura 4.3 - Esforços de dimensionamento: Momento X, superior (kNxm/m) -Global........................27
Figura 4.4 - Esforços de dimensionamento: Momento Y, inferior (kNxm/m) -Global.........................28
Figura 4.5 - Esforços de dimensionamento: Momento Y, superior (kNxm/m) -Global........................29
Figura 4.6 - Deslocamento Z (mm) - Global..........................................................................................30
Figura 4.7 - Isovalores (mm) - Global....................................................................................................31
Figura 4.8 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 1) .............................................32
Figura 4.9 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 2) .............................................33
VII
Figura 4.10 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 3) ...........................................34
Figura 4.11 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE4) ...........................................35
Figura 4.12 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 5) ..........................................36
Figura 4.13 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 6) ..........................................37
Figura 4.14 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 7) ..........................................38
Figura 4.15 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 8) ..........................................39
Figura 4.16 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 9) ..........................................40
Figura 4.17 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 10).........................................41
Figura 4.18 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 11).........................................42
Figura 4.19 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 12) ........................................43
Figura 4.20 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 13) ........................................44
Figura 4.21 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 14) ........................................45
Figura 4.22 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 15) ........................................46
Figura 4.23 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE 16).........................................47
Figura 4.24 - Resultado comparativos dos Modelos de Cálculo (LAJE17) .........................................48
VIII
Lista de Tabelas
Tabela. 1 - Peso de revestimento...........................................................................................................12
Tabela. 2 - Peso de alvenaria com revestimento de argamassa nas duas faces (20mm).......................13
Tabela. 3 - Cargas acidentais em lajes...................................................................................................14
Tabela. 4 – Comprimento de Ancoragem Básico Reto..........................................................................23
IX
Resumo
Marini, Marcio V; Deotti, Luiz G. Análise estrutural de lajes de concreto armado. Limeira,
Faculdades Integradas Einstein de Limeira - FIEL, 75 p, 2010.
Lajes são elementos planos, em geral horizontais, com duas dimensões muito maiores que a
terceira, sendo esta denominada espessura. A principal função das lajes é receber os carregamentos
atuantes no andar, provenientes do uso da construção (pessoas, móveis e equipamentos) e transferí-los
para os apoios. A utilização de lajes planas data do início do século XIX, sendo que, no princípio tais
lajes eram executadas empiricamente e, posteriormente, submetidas a ensaios de carga com o
desenvolvimento da computação, a modelagem dessas estruturas tornou-se mais acessível aos
projetistas e as vantagens inerentes ao sistema tornaram-se visíveis. Mas, ao mesmo tempo em que os
computadores facilitaram o cálculo das lajes planas, começaram a surgir questionamentos sobre
determinados resultados e problemas a serem solucionados. Um deles é o fato que, teoricamente,
quando uma carga concentrada é aplicada em uma laje, essa provoca momentos fletores que tendem
ao infinito no seu ponto de aplicação. Nesse trabalho serão estudados dois modelos diferentes; os
processos teóricos utilizando tabela Czerny apresentadas no livro “Concreto Armado” de autoria do
Prof. Aderson Moreira da Rocha e o Método dos Elementos Finitos (malhas) utilizando o software
CYPE CAD versão 2010. Foram definidas lajes de referência residencial, com diferentes tipos de
vínculos de bordas e com os devidos carregamentos verticais. Foram comparados os resultados de
deformação, momentos fletores e armadura (positiva e negativa).
Palavras-Chave: Lajes, Concreto Armado, Elementos Finitos.
X
ABSTRACT
Slabs are flat elements, usually horizontal, with two much larger than the third, which is called
thickness. The main function of the slabs is to receive the total weight of the floor from the use of the
building (people, furniture and equipment) and transfer them to the supports. The use of flat slabs date
from the early nineteenth century, and that in principle such slabs were performed empirically and
subsequently subjected to loading tests with the development of computing, the modeling of these
structures has become more accessible to designers and advantages inherent in the system became
apparent. But at the same time that computers facilitated the calculation of flat slabs, questions began
to arise about certain results and problems to be solved. One is the fact that, theoretically, when a
concentrated load is applied on a slab, this causes the bending moments which tend to infinity at its
point of application. In this paper we will study two different models: the theoretical processes using
Czerny table presented in the book "Concrete" by Prof. Aderson Moreira da Rocha and the Finite
Element Method (mesh) using CAD software CYPE 2010 version. Were defined reference residential
slabs with different types of linkages with the appropriate edges and vertical loads. We compared the
results of deflection, bending moments and reinforcement (positive and negative).
Keywords: Slabs, Concrete, finite elements
1
1 Introdução
O dimensionamento de elementos estruturais consiste na determinação das seções de
concreto e de aço (armaduras).
Este trabalho tem por objetivo fazer o cálculo estrutural de lajes maciças de concreto armado
da superestrutura de um edifício residencial de dois (2) pavimentos, assim como aprimorar os
conhecimentos sobre resistência dos materiais e estruturas de concreto armado adquiridos durante o
presente curso.
Os dados básicos do projeto são: resistência característica do concreto igual
fck = 25MPa e resistência característica do aço CA 50/A fy=500MPa , γf = coeficiente de majoração
= 1,15 fyk=435MPa, εyd=2,07‰, revestimento cerâmico 1 kN/m² e carga acidental 3 kN/m².
Para se elaborar um projeto estrutural com a necessidade de atender todas as
expectativas de uso, é importante que seja feita uma boa distribuição de todos elementos estruturais
para que se possa minimizar os custos, evitando gastos desnecessários e super- dimensionamentos. É
Também é importante a total compatibilização com o projeto arquitetônico.
O cálculo estrutural, atualmente, é quase que totalmente informatizado, sendo
utilizados softwares que, além de maximizar a produção, tem a função de diminuir o trabalho do
projetista, sendo este responsável, apenas por inserir dados e analisar o correto comportamento dos
elementos estudados. E importante salientar que os softwares estruturais não substituem o trabalho do
calculista, mas é somente uma ferramenta, que deve ser utilizada apenas por pessoas capacitadas.
2
No presente projeto foi utilizado apenas um software para cálculo de solicitações (Cype Cad
versão 2010), comparando os resultados da Teoria da Elasticidade com os do Método dos Elementos
Finitos.
O projeto foi feito de acordo com as recomendações da norma NBR-6118/2003.
1.1 Objetivos e justificativas
1.1.1 Objetivos gerais
Este trabalho tem por objetivo avaliar a laje de concreto armado por dois modelos de calculo:
Teoria da Elasticidade e Método dos Elementos Finitos, analisando os esforços, deformação, e
armadura. Pretende-se, ainda, mapear as deformações globais e locais.
1.1.2 Objetivos específicos
- Analisar a influência das cargas nas lajes de concreto;
- Analisar os deslocamentos máximos e mínimos das lajes de concreto armado; e
- Analisar os diagramas de esforços e de deformações;
3
1.1.3 Justificativa
São duas as justificativas que motivaram a realização deste trabalho de conclusão:
• a vantagem entre os dois métodos utilizados;
• comparação entre os dois métodos utilizados mostrando as vantagens e desvantagens;
4
Metodologia
Neste capítulo, serão apresentados os procedimentos seguidos durantes o desenvolvimento do
trabalho.
2.1 Edifício residencial
O edifício no qual será baseada toda a análise consiste de um edifício de concreto armado de
dois pavimentos, pavimento superior e cobertura. Nas figuras 2.1 e 2.2 são apresentados os esquemas
das formas do pavimento superior e da cobertura, indicando a concepção estrutural utilizada.
2
5
Figura 2.1 - Planta de forma do pavimento superior.
6
Figura 2.2 - Planta de forma da cobertura.
Na concepção estrutural, optou-se pelo modelo convencional laje-viga-pilar, buscando
mostrar com clareza como ocorre a transferência de esforços entre os elementos estruturais de
um edifício.
Quanto ao carregamento utilizado no edifício, adotou-se lajes maciças de altura h=15cm
com revestimento cerâmico de 1kN/m² e carga acidental de 3kN/m² de acordo com a NBR 6120.
7
No que se refere aos materiais utilizados, foram considerados concreto com resistência
característica à compressão de 25MPa e aço CA 50. Para os valores do módulo de elasticidade e
coeficiente de Poisson adotou-se a sugestão da NBR 6118/2003.
Os esforços horizontais do vento não foram incluídos nesta estrutura.
As etapas que foram necessárias para a realização da análise estrutural do edifício
residencial podem ser resumidas no fluxograma a seguir:
apresentação dos resul
Figura 2.3 - Resumo das etapas desenvolvidas.
Definição dos carregamentos
Modelagem Numérica
Conferência dos Resultados
Pré-Dimensionamento
Análise da Estabilidade Global
Dimensionamento
Detalhamento
8
2.2 Modelagem numérica
Na modelagem numérica, a estrutura tridimensional do edifício foi discretizada pelo modelo
de pórtico espacial para vigas e pilares associado a uma discretização das lajes pelo Método dos
elementos Finitos.
Adotou-se uma discretização em elementos finitos 25cm x 25cm, utilizando o elemento
retangular lagrangiano de 4 nós. Para as lajes que apresentaram formato irregular ou dimensões não
múltiplas de 50 cm, utilizou-se um refinamento da malha, com elementos finitos com dimensões
menores, buscando melhorar a precisão dos resultados. Foram obtidas as reações das lajes nas vigas
e estas foram transferidas para o pórtico espacial com o intuito de obter os esforços nas vigas e
pilares.
Os resultados dos esforços e deformações nas lajes obtidos foram comparados com os
valores calculados utilizando as tabelas de Czerny, apresentadas no livro “Concreto Armado”, de
autoria do Prof. Aderson Moreira da Rocha.
A calibração do modelo de pórtico espacial foi realizada através do processamento de um
exemplo de porte menor. Foram utilizados kN e m, como unidades de força e comprimento. A
interpretação dos resultados foi feita através de planilhas desenvolvidas em Excel.
Os resultados foram obtidos utilizando o software CYPE CAD, versão 2010.
2.3 Método dos Elementos Finitos
O Método de Elementos Finitos (MEF) é um método matemático/computacional para análise
de problemas do contínuo. O método permite que a peça em estudo tenha forma geométrica,
carregamento e condições de contorno quaisquer. Ocorre uma semelhança física entre o modelo do
MEF e a situação física real, não sendo o modelo uma abstração matemática difícil de ser
visualizada.
9
Inicialmente o MEF foi usado em cálculo estrutural (década de 60), hoje é largamente
aplicado em problemas de campo (calor, fluidos, campo elétrico e magnético).O modelo de
elementos finitos é composto por elementos (elements) conectados entre si por nós (nodes),
formando a malha (mesh) de elementos finitos.
No caso de tensões/deformações cada nó possui até 6 Graus de Liberdade (Degrees of
Fredom) ou GL's (DOF's) em relação ao sistema de coordenadas cartesianas globais, dependendo
do tipo de elemento.
Para uma análise por elementos finitos a chave teórica é achar e resolver as matrizes de
rigidez obtidas da formulação matemática da modelagem. Em programas comerciais a solução desta
matriz é transparente ao usuário. Geralmente estes programas oferecem uma ampla biblioteca de
elementos para os quais eles podem montar e resolver a matriz de rigidez.
Uma vez selecionado um elemento, todo o sistema ou a equação principal é montado. A
montagem é feita pela inserção do elemento matricial na respectiva linha e coluna da matriz. Este
processo de montagem é facilmente efetuado pelo computador
10
Lajes Maciças
3.1 Lajes
Lajes são elementos estruturais bidimensionais, ou seja, duas dimensões se sobressaem sobre a
outra, com cargas perpendiculares ao seu plano médio.
As lajes têm por objetivo transmitir cargas do piso para as vigas e classificam-se em dois tipos:
- armadas em cruz: são aquelas em que a relação do lado maior (ly) pelo lado menor (lx) é
menor ou igual a dois, ou seja, 2≤x
y
l
l;
- armadas numa só direção: são aquelas onde 2>
x
y
l
l
, sendo que sempre haverá uma
armadura de distribuição colocada perpendicularmente à armadura principal.
3
11
3.2 Cargas
3.2.1 - Cargas Permanentes (g)
Cargas permanentes são constituídas por todas as sobrecargas fixas, como, por exemplo, peso
próprio, peso de revestimento, entre outras, respeitado cada caso e destinação da estrutura.
As cargas permanentes a considerar no dimensionamento das lajes são:
- o peso próprio;
- peso de enchimento ( para lajes rebaixadas);
- peso de revestimento;
- peso de paredes sobre as lajes;
- carga acidental;
a) Peso próprio (pp)
Para calculo do peso próprio (pp) de lajes é preciso saber que o peso específico do concreto é igual
a3
25m
kN
então, multiplicando este valor pela altura (h), em metros, obtêm-se;
Portanto: pp (kN/m³)=25(kN/m³) x h (m)
12
b) Peso de enchimento (Enc)
O cálculo do peso de enchimento é feito da mesma forma ao cálculo do peso próprio. Basta saber
o peso específico do material que irá ser utilizado como enchimento. Então, multiplicando
pela espessura do enchimento (e) em metros obtém-se: Enc (kN/m²)
c) Revestimento (Rev)
Pode-se adotar as seguintes cargas conforme o tipo de revestimento discriminados abaixo:
Cargas
2
m
kN
Tipo de revestimento
0,5 Forro (sem acesso)
0,6 tacos de madeira
1 piso acabado de cerâmica
Tabela. 1 - Peso de revestimento
13
d) Peso de parede (Par)
Para cálculo do peso de paredes sobre lajes é adequado adotar os seguintes pesos por m² de parede
acabada:
Tipos de paredes Peso
2
m
kN
½ tijolo maciço 2,7
1 tijolo maciço 4,0
½ tijolo furado 1,5
1 tijolo furado 2,3
Tabela. 2 - Peso de alvenaria com revestimento argamassado nas duas faces (20mm)
Multiplicando-se o peso (p) pela altura da parede obtêm-se o peso por metro linear, sendo o
peso total obtido, multiplicando-se o comprimento da parede pelo peso por metro linear.
3.2.2 Carga acidental (q)
A carga acidental ou carga de utilização tem por objetivo dar valores de sobrecargas em diversos
tipos de utilização em suas condições mais desfavoráveis, em ambientes de edifícios. Segundo a NBR-
6120, tabela 2.21.2, tem-se:
14
Tabela. 3 - Cargas acidentais em lajes
3.3 Carregamento de lajes
O carregamento das lajes é feito, levando-se em consideração peso próprio (pp), enchimento (Enc),
revestimento (Rev) e paredes (Par) e a carga acidental (q) obtendo-se, então, sua carga total (p).
3.4 Cálculo das reações
Para cálculo das cargas que as lajes transmitem às vigas, o método mais indicado é o “método do
telhado”, buscando na teoria das charneiras plásticas onde são traçadas retas a 45º dos cantos da laje
obtendo-se as áreas de influencia dos apoios Ax e Ay. Ver Figura 3.1.
Supõe-se então que o lado ly receba a carga proveniente da área Ay e o lado lx a carga proveniente
da área Ax.
A reação na viga é obtida multiplicando-se a carga p na laje pela sua respectiva área e dividindo-se
esse resultado pelo comprimento do lado, ou seja:
Local Sobrecarga q
2
m
kN
Dormitórios, sala, copa, cozinha e
banheiro
1,5
Despensa, área de serviço, lavanderia 2,0
Casas de máquinas 7,5
Corredores com acesso ao público 3,0
Sem acesso ao público 2,0
Escritórios (salas de uso geral) 2,0
15
(2.1)
(2.2)
Figura 3.1 - Aplicação do “Método do Telhado”
16
3.5 Cálculo dos momentos fletores
A determinação dos momentos fletores numa laje pela Teoria das Placas Elásticas é bastante
trabalhosa. Entretanto, há tabelas já elaboradas, com os quais o cálculo torna-se expedito.
Das tabelas existentes na literatura técnica escolhemos as de Czerny, para o coeficiente de Poisson
20,0=υ .
As tabelas, que se encontram em anexo reproduzem os casos de carga uniformemente distribuída
em laje retangular. Sendo lx sempre o maior lado do retângulo.
x
x
plxM
α
2
=
(2.3)
y
y
plxM
α
2
=
(2.4)
x
bx
plxM
β
2
=
(2.5)
y
by
plxM
β
2
=
(2.6)
aEh
plxW
α3
4
max =
(2.7)
17
Onde os coeficientes αx, αy, βx, βy e αa são tabelados, (p) é a carga de serviço atuante, Mx e My
são os momentos positivos nas direções x e y, respectivamente, no centro da laje, Mbx e Mby são os
momentos negativos de borda nas direções x e y, respectivamente e Wmax é a flecha máxima.
O modulo de elasticidade secante do concreto vale:
)(4760 MPafckEE csc ==
(2.8)
3.6 Vinculação dos painéis de laje
Pode-se dizer que os painéis de laje possuem bordas engastadas, assumindo continuidade entre
elas, quando o menor dos momentos negativos, que ocorrem na união das duas lajes, não for inferior a um
terço do maior momento. Para ser determinado se há engastamento entre lajes isoladas dever-se analisar
seus respectivos momentos de borda. Sendo o maior momento (ML1) maior que três vezes o menor (ML2),
a laje 1 será considerada apoiada e a laje 2 engastada, ou vice-versa, como demonstrado na Figura 3.2.
Para o cálculo das armaduras negativas deve-se adotar o maior resultado obtido entre 80% do
maior momento e a média aritmética entre os dois.
18
laje
M
M laje1 2
Figura 3.2 - Engastamento de lajes
3.7 Aplicação ao Projeto
O cálculo dos momentos fletores Mx, My, Mbx, Mby, em m
mkN ×, das lajes do pavimento superior.
No mesmo apêndice fizemos a verificação de flecha como será explicado logo mais adiante no exemplo
de cálculo.
Para as lajes em forma de L dificilmente serão encontradas tabelas. O calculo pela Teoria da
Elasticidade, como já foi dito é muito trabalhoso e não se justifica pela dimensão do problema.
Será fácil, então, um cálculo aproximado bem simples, a favor da segurança.
Quando o vão paralelo ao dente for maior que 2/3, do maior considera-se a área toda de início ao
fim desse vão. Ver Figura 3.3.
19
Figura 3.3 - Lajes em L.
3.8 Cálculo de Armadura
O dimensionamento será feito à flexão normal simples. Dado o momento fletor Mk de serviço
positivo ou negativo, em valor absoluto, e conhecendo também a seção, b (base) e h (altura), podemos
calcular.
(2.9)
onde:
b = base da peça;
d = altura útil (centro de gravidade da armadura até o topo da peça)
Md = momento de calculo = γf.Mk
γf = coeficiente de majoração das ações e solicitações = 1,4
De K6 resulta K3;
20
Numa tabela de dimensionamento, com K6 conhecido tiramos K3.
Resultando, portanto:
( )23 cm
d
MKA d=
(2.10)
O valor mínimo de área de armadura (As) é:
Asmin= 0,10%bh para Momento (M) positivo
As min= (0,15%) bh para Momento (M) negativo
Nas lajes armadas em duas direções, o espaçamento das barras da armadura principal na região de
maiores momentos nos vãos não deve ser maior que 20 cm e 2h. O espaçamento das barras da armadura
secundaria não deve ser maior que 33 cm. Os mesmos limites de 20 cm e 2h se aplicam ás armaduras
negativas.
Nas lajes armadas em uma direção, o espaçamento das barras da armadura principal não deve ser maior que 20 cm e 2h. A armadura de distribuição deve ter espaçamento entre barras não maior que 33 cm Os mesmos limites de 20 cm e 2h se aplicam as armaduras negativas.)
A bitola máxima é Φ max = 10
h
3.8.1 Detalhamento das Armaduras
Determinadas as bitolas e o espaçamento das barras, pode ser feito nos “croquis das formas” um
desenho esquemático das armaduras. O esquema mais importante é da armadura negativa onde aparecem
os detalhes: comprimento da barra sem considerar os ganchos e dimensões de um lado e de outro do eixo
da viga.
21
3.8.2 Armadura positiva
Separando as barras em cada laje, alguma economia pode ser conseguida fazendo no lugar de
comprimento único, barras alternadas onde cada barra pode ter seu comprimento reduzido de xl2,0
Figura 3.4 – Armadura Positiva
3.8.3 Barras sobre os Apoios
O comprimento das barras negativas deve ser determinado com base no diagrama de momentos
fletores na região dos apoios.
Em edifícios usuais, em apoios de lajes retangulares que não apresentem bordas livres, os
comprimentos das barras podem ser determinados de forma aproximada, com base no diagrama
trapezoidal indicado na Figura 3.5, adotando-se para ( l ) “um dos valores”:
• o maior entre os menores vãos das lajes adjacentes, quando ambas foram consideradas
engastadas nesse apoio;
22
• o menor vão da laje admitida engastada, quando a outra foi suposta simplesmente apoiada
nesse vínculo.
Com base nesse procedimento aproximado, são possíveis três alternativas para os comprimentos
das barras, indicadas nas figuras 3.5-a, 3.5-b e 3.5-c respectivamente.
a) Um só tipo de barra (Figura 3.5-a)
Adota-se um comprimento a1 para cada lado do apoio, dado pela condição:
+
+≥
φ1025,01l
laa bl
(2.11)
→= dal 5,1 (deslocamento do diagrama (NBR 6118, 2003) ,
→bl
(comprimento de ancoragem com gancho).
→φ
(diâmetro das barras)
23
b) Dois tipos de barras (Figura 3.5-b e 3.5-c)
Consideram-se dois comprimentos de barras, com a21 e a22 dado pela condição:
(2.12)
+
++
≥φ1025,0
2
25,0
12l
lal
ab
l
(2.13)
φ102
25,022 +
+
+
≥ l
bl
al
la
a
Tabela 4 – Comprimento de Ancoragem Básico Reto
24
Figura 3.5 - Alternativa para as armaduras negativas
3.9 Verificação de flechas
Flecha é o maior deslocamento vertical do plano inferior da laje em relação ao plano que contém
seus apoios. As flechas limites são indicadas pela Tabela 13.2 da NBR 6118-2003 na qual há várias
situações a analisar. Uma delas que pode ser situação critica, corresponde ao limite para o deslocamento
total, relativo à aceitabilidade visual dos usuários dada por:
wmax =lx / 250 (2.14)
25
4 Resultados
Pavimento Superior
Figura 4.1 - Engastamento das Lajes de concreto - Global
26
Figura 4.2 - Esforços de dimensionamento: Momento (Mx), inferior (kNxm/m) -Global
27
Figura 4.3 - Esforços de dimensionamento: Momento (Mx), superior (kNxm/m) -Global
28
Figura 4.4 - Esforços de dimensionamento: Momento (My), inferior (kNxm/m) -Global
29
Figura 4.5 - Esforços de dimensionamento: Momento (My), superior (kNxm/m) -Global
30
Figura 4.6 - Deslocamento w (mm) - Global
31
Figura 4.7 - Isovalores (mm) - Global
32
De acordo com a Figura 4.8, a Laje 1 com dois lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram maiores pelo Método de Czerny. Somente o deslocamento foi superior pelo Método de
Czerny.
Figura 4.8 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 1)
33
De acordo com a Figura 4.9, a Laje 2 com três lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram maiores pelo Método de Czerny Somente o deslocamento foi superior pelo Método de
Czerny.
Figura 4.9 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 2)
34
De acordo com a Figura 4.10, a Laje 3 com dois lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram variáveis, pelos dois Métodos. Somente o deslocamento foi superior pelo Método de
Czerny
Figura 4.10 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 3)
35
De acordo com a Figura 4.11, a Laje 4 com três lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram variáveis, pelos dois Métodos. Somente o deslocamento foi superior pelo Método de
Elementos Finitos.
Figura 4.11 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 4)
36
De acordo com a Figura 4.12, a Laje 5 com quatro lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram maiores, pelo Método de Elementos Finitos e o deslocamento se manteve superior.
Figura 4.12 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 5)
37
De acordo com a Figura 4.13, a Laje 6 com quatro lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram maiores, pelo Método de Elementos Finitos e o deslocamento também.
Figura 4.13 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 6)
38
De acordo com a Figura 4.14, a Laje 7 com quatro lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram maiores pelo Método de Elementos Finitos e o deslocamento maior segundo Czerny.
Figura 4.14 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 7)
39
De acordo com a Figura 4.15, a Laje 8 com três lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram maiores pelo Método de Elementos Finitos e o deslocamento também.
Figura 4.15 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 8)
40
De acordo com a Figura 4.16, a Laje 9 com quatro lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram maiores pelo Método de Elementos Finitos e o deslocamento também.
Figura 4.16 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 9)
41
De acordo com a Figura 4.17, a Laje 10 com três lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram variáveis e imprecisos e o deslocamento maior segundo Czerny.
Figura 4.17 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 10)
42
De acordo com a Figura 4.18, a Laje 11 com três lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram maiores pelo Método de Elementos Finitos e o deslocamento foi menor.
Figura 4.18 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 11)
43
De acordo com a Figura 4.19, a Laje 12 com quatro lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram maiores pelo Método de Elementos Finitos e o deslocamento também.
Figura 4.19 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 12)
44
De acordo com a Figura 4.20, a Laje 13 com três lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram maiores pelo Método de Elementos Finitos e o deslocamento foi superior.
Figura 4.20 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 13)
45
De acordo com a Figura 4.21, a Laje 14 com três lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram semelhantes em relação aos M.E.F e Czerny e o deslocamento foi maior segundo Czerny.
Figura 4.21 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 14)
46
De acordo com a Figura 4.22, a Laje 15 com dois lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram variáveis, pelos dois Métodos. Somente o deslocamento foi superior pelo Método de
Elementos Finitos.
Figura 4.22 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 15)
47
De acordo com a Figura 4.23, a Laje 16 com dois lados engastados os resultados dos momentos
fletores foram maiores, pelo Método dos Elementos Finitos o deslocamento foi o mesmo pelos dois
Métodos.
Figura 4.23 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE 16)
48
De acordo com a Figura 4.24, a Laje 17 com um lado engastados os resultados dos momentos
fletores foram variáveis, onde o deslocamento se manteve maior pelo M.E.F.
Figura 4.24 - Resultado comparativo dos Modelos de Cálculo (LAJE17)
49
5 Conclusão
Conforme resultados comparativos das lajes de concreto em relação aos dois Métodos de Calculo,
do pavimento superior, constatou-se que os resultados dos momentos fletores são variáveis em relação ao
tipo de vínculo que a laje se possui. Porém com relação ao deslocamento ou flecha das lajes, nota-se
praticamente igualdade entre o número de casos que o Método fornece resultado maior que o outro.
O cálculo das lajes pelo M.E.F, estabelece a busca da melhor precisão dos resultados, e vantagens
na velocidade dos resultados de deformações e o comportamento global da estrutura, o que beneficia a
visualização do projetista/calculista.
Constatou-se que relação entre lx e ly influencia nos resultados, e estabelece essa discrepância
encontrada nos resultados.
50
6 Referências
1 - ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de
estruturas de concreto. 2003.
2 - ____.NBR 6120: Cargas para cálculo de estruturas de edificação. 1980.
3 - FUSCO P. B. Estrutura de concreto solicitações normais, LTC – Livros Técnicos e Científicos
Editora S.A . Rio de Janeiro 1981Vols 1 e 2, editora Globo S.A. Rio de Janeiro, RJ.
4 - HENNRICHS. C. A.; Estudo sobre a modelagem de lajes planas de concreto armado. Santa
Catarina, 2003. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Santa Catarina, 21 p.
5 - ROCHA A. M. Concreto armado. Vols 1, 2 e 3, livraria Nobel S.A. São Paulo, SP.
6 - SUSSEKIND J. C. Curso de concreto. Vols 1 e 2, editora Globo S.A. Rio de Janeiro, RJ.
7 – Cype Cad 2010 Software Especifico de Concreto Armado.
51
ANEXO A - Tabela de valores de K6 e K3
52
ANEXO B - Tabela de seção de ferros redondos
Secção de ferros redondos (As cm²)
Largura mínima para fiada de ferros (bw cm)
DIÂMETRO PESO PESO NÚMERO DE BARRAS
Pol. cm Kg/m 10% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
As 0,18 0,36 0,53 0,71 0,89 1,07 1,25 1,43 1,60 1,78
3/16 0,48 0,14 0,154 bw int. 8 11 13 16 18 21 23 26 28
ext. 9 10 14 17 19 22 24 27 29
As 0,32 0,63 0,95 1,27 1,58 1,90 2,22 2,53 2,85 3,17
1/4 0,64 0,25 0,275 bw int. 8 11 14 16 19 22 24 27 30
ext. 9 12 15 17 20 23 25 28 31
As 0,49 0,99 1,48 1,98 2,47 2,97 3,46 3,95 4,45 4,95
5/16 0,79 0,39 0,429 bw int. 9 12 14 17 20 23 25 28 31
ext. 10 13 15 18 21 24 26 29 32
As 0,71 1,42 2,13 2,84 3,55 4,26 4,97 5,68 6,69 7,10
3/8 0,95 0,56 0,616 bw int. 9 12 15 18 21 24 27 30 33
ext. 10 13 16 19 22 25 28 31 34
As 1,27 2,53 3,80 5,07 6,33 7,60 8,87 10,13 11,43 12,70
1/2 1,27 0,99 1,089 bw int. 10 13 16 19 23 26 29 33 36
ext. 11 14 17 20 24 27 30 34 37
As 1,98 3,96 5,94 7,92 9,90 11,88 13,86 15,83 17,82 19,80
5/8 1,59 1,55 1,705 bw int. 10 14 18 21 25 28 32 36 39
ext. 11 15 19 22 26 29 33 37 40
As 2,85 5,70 8,55 11,40 14,30 17,10 20,00 22,80 25,70 28,50
3/4 1,91 2,24 2,646 bw int. 11 15 19 23 27 31 35 38 42
ext. 12 16 20 24 28 32 36 39 43
As 3,88 7,76 11,64 15,52 19,40 23,30 27,20 31,00 34,90 38,90
7/8 2,22 3,05 3,355 bw int. 12 16 21 25 30 34 38 43 47
ext. 13 17 22 26 31 35 39 44 48
As 5,07 10,13 15,21 20,27 25,30 30,40 35,49 40,56 45,60 50,70
1 2,54 3,98 4,378 bw int. 13 18 23 28 33 38 43 48 53
ext. 14 19 24 29 34 39 44 49 54
As 7,82 15,83 23,75 31,67 39,50 47,50 55,42 63,34 71,25 79,71
1 1/4 3,18 6,22 6,842 bw int. 8 15 21 27 34 40 47 53 59 66
ext. 9 16 22 28 35 41 48 54 60 67
53
ANEXO C - Tabela de CZERNY
54
55
56
57
APÊNDICE A - Memorial de calculo e especificação das lajes
APÊNDICE B - Carregamentos das lajes
60
APÊNDICE C - Memorial de calculo laje 1
61
APÊNDICE D - Memorial de calculo laje 2
62
APÊNDICE E - Memorial de calculo laje 3
63
APÊNDICE F - Memorial de calculo laje 4
64
APÊNDICE G - Memorial de calculo laje 5
65
APÊNDICE H - Memorial de calculo laje 6
66
APÊNDICE I - Memorial de calculo laje 7
67
APÊNDICE J - Memorial de calculo laje 8
68
APÊNDICE K - Memorial de calculo laje 9
69
APÊNDICE L - Memorial de calculo laje 10
70
APÊNDICE M - Memorial de calculo laje 11
71
APÊNDICE N - Memorial de calculo laje 12
72
APÊNDICE O - Memorial de calculo laje 13
73
APÊNDICE P - Memorial de calculo laje 14
74
APÊNDICE Q - Memorial de calculo laje 15
75
APÊNDICE R - Memorial de calculo laje 16
76
APÊNDICE S - Memorial de calculo laje 17.
Recommended
