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ELEMENTOS DA LÓGICA MATEMÁTICA
FUNÇÕES ELEMENTARES
LIMITES E CONTINUIDADE
PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
2
1. NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA
O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos da matemática. O principal objetivo consiste na investigação da validade de argumentos.
1.1 PROPOSIÇÕES
Proposição é uma sentença declarativa, afirmativa e que deve
exprimir um pensamento de sentido completo, podendo ser escrita na
forma simbólica ou na linguagem usual.
Exemplos:
1) Sen 60° = 2
3
2) Marleide é professora.
3) Orleans se localiza no estado de Santa Catarina.
Dizemos que o valor lógico de uma proposição é a verdade (1)
se a proposição é verdadeira e é a falsidade (0) se a proposição é
falsa.
Exemplos: a) Orleans fica no nordeste.
b) Sen(30°) + cos(60°) = 1
O valor lógico da proposição a) é a falsidade (0), e da proposição b) é a verdade (1).
As proposições podem ser simples ou compostas.
SIMPLES COMPOSTA
Não contém nenhuma outra
proposição como parte integrante de si mesma.
Formada por duas ou mais
proposições relacionadas pelos conectivos “e”, “ou” e “se então” .
Notação: letras minúsculas do
alfabeto
Notação: letras maiúsculas do
alfabeto
Exemplos:
1) p: Maria é bonita. q: Maria é estudiosa.
2) p: 1+2=3
q: 21
Exemplo:
1) P(p,q): Maria é bonita e estudiosa.
2) Q(p,q): 1+2=3 ou 21.
3
1.2- PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA MATEMÁTICA
a) Princípio da Não-contradição
Uma proposição não pode ser simultaneamente “verdadeira e
falsa”.
b) Princípio do terceiro excluído
Toda proposição é verdadeira ou falsa, não havendo outro estado lógico para ela.
De acordo com esses princípios, podemos afirmar que toda
proposição admite um e um só dos valores 1 e 0.
Conectivos Lógicos: são palavras ou expressões que se usam para
formar novas proposições, a partir de proposições dadas.
Exemplos: P: O número 9 é quadrado perfeito e o número 3 é ímpar.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles.
R: Se João estuda, então sabe a matéria.
1.3- TABELA VERDADE
O número de linhas de uma tabela verdade é dado por 2n, onde n
é o número de proposições componentes.
PROPOSIÇÃO Nº DE PROPOSIÇÕES
SIMPLES
Nº DE LINHAS DA
TABELA
P 1 21 = 2
P(p,q) 2 22 = 4
P(p,q,r) 3 23 = 8
P(p,q,r,...,n-1,n) n 2n
p
0
1
p q r
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
p q
0 0
0 1
1 0
1 1
4
EXERCÍCIOS
1. Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes
proposições: a) O número 2 é o único número par que é primo. V(a)=
b) A área do quadrado de lado 3 é 6. V(b)=
c) Log3 3 = 1 V(c)=
d) A solução da equação 4x-8=12 em R é S={4}. V(d)=
e) O conjunto solução de 3x = 81 é S = {4}. V(e) = f) Todo número divisível por 5 termina em 0. V(f)=
g) –2 < 0. V(g)=
h) O par {x,x} = {x}. V(h)=
i) O par ordenado (x,x)=(x). V(i)= j) x2. x5 = x7 . V(j)=
2.Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes
proposições: a) O polinômio f(x)=x3+mx-5 é divisível por x-3 quando m é igual a
4. V(a) =
b) A função f:RR definida por f(x)=x+2, é uma função crescente.
V(b) =
c) A função f:RR definida por f(x)=x2 +1, é uma função crescente.
V(c)=
d) Se logx-logy=log2 e 9x-y = 81 então o valor de x+y é 6. V(d) =
e) A imagem da função y=x² - 2x é [-1, ∞[. V(e) =
f) A forma fatorada de x² - 4x + 4 = (x-2)² ; V(f)=
g) A forma fatorada de x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4); V(g) =
h) A fórmula para a determinação do volume do cilindro é
V = hR2 V(h) =
i) 2
1
xx V(i) =
j) x
x
x
1 V(j) =
3. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 1.
4. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 0.
5
1.4-OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES
1) Negação ( ‘ )ou : não
Exemplos:
Altera o valor lógico de uma proposição, isto é, V(p) = 0 então
V(p‟) = 1 ou se V(p) = 1 então V(p‟) = 0. Lê-se: “não p”.
Exemplos: I) p: 1+4=5 V(p)=1 p‟: 1+45 V(p‟)=0
II) q: João é estudante V(q)=0 q‟:João não é estudante
V(q‟)=1
Tabela Verdade:
p P‟
0 1
1 0
2) Conjunção ( . )
A conjunção de duas proposições p e q é verdadeira quando
V(p)=1 e V(q)=1, e falsa nos demais casos. Notação: p.q também se utiliza o símbolo : e
Lê-se: p e q
Exemplos:
I) p: Maria é alegre V(p)=1 q: Maria é simpática V(q)=1
P(p,q): p.q: Maria é alegre e simpática. V(p.q)=1
II) r: log22=1 V(r)=1 s: 20=2 V(s)=0 Q(r,s): r.s : log22=1 e 20=2 V(r.s) = 0
Tabela Verdade:
p q p.q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Obs.: Equivale a ligação em série de interruptores.
6
3) Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica (+)
A soma lógica de duas proposições p e q é uma proposição falsa
quando V(p)=0 e V(q)=0 e verdadeira nos demais casos. Notação: p + q também se utiliza o símbolo : ou
Lê-se: p ou q
Exemplos:
I) p: = 3 V(p)=0
q: 9-3=6 V(q)=1
V(p+q)=1
II) p: 2 < 1 V(p)=0
q: 2 < 2 V(q)=0
V(p+q) = 0
Tabela Verdade:
p q p+q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
4) Disjunção Exclusiva ( )
A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é uma proposição
verdadeira quando os valores lógicos das proposições são diferentes, isto é V(p) V(q).
Notação: pq
Lê-se: p ou q, mas não ambas.
Exemplos:
I) p: Maria é alta V(p)=1 q: Maria é baixa V(q)=0 P(p,q): (pq): Maria é alta ou baixa.
V(pq):1
II) p: < 3 V(p)=0
q: 3>2 V(q)=1
V(p,q)=1
7
Tabela Verdade
p q pq
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
5) Condicional ()
O condicional de duas proposições p e q é uma proposição falsa
quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Em todos os outros casos o resultado é verdadeiro. A proposição p é
chamada antecedente e a proposição q é o conseqüente.
Notação: p q
Lê-se: “se p então q”
Exemplos:
I) p:tg4
=1 V(p)=1
q: sen0º=0 V(q)=1
V(p,q)=1
II) p: cos2
2
4
V(p)=1
q: tg 04
V(q)=0
V(p,q)=0
Tabela Verdade
p q pq
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
8
6) Bicondicional ()
Esta operação equivale a duas operações do tipo
condicional. Seu resultado é verdadeiro quando os valores
lógicos das proposições forem iguais.
Notação: p q
Lê-se: “p se e somente se q”
Exemplos:
I) p: 2 V(p)=1
q: 2 > 1 V(q)=1
V(p,q)=1
II) p: Z3 V(p)=0
q: 13 V(q)=1
V(p,q)=0
Tabela Verdade
p q pq
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1.5- ORDEM DE PRECEDÊNCIA ENTRE OS OPERADORES
a) Negação ( „ )
b) Conjunção e Soma Lógica (.) e (+) c) Condicional ()
d) Bicondicional ()
Exemplo: a) pq r (bicondicional)
b) p + q‟ q.r (condicional)
c) p+(q‟ q.r‟) (soma lógica e condicional)
EXERCÍCIOS
1) Sejam as proposições p: João joga futebol e q: João joga tênis. Escrever na linguagem usual as seguintes proposições:
a) p+q
b) p.q
c) p.q‟
9
d) p´.q‟
e) (p‟)‟
f) (p‟.q‟)‟
2) Dadas as proposições p: Maria é bonita e q: Maria é elegante,
escrever na linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Maria é bonita e elegante.
b) Maria é bonita, mas não é elegante.
c) Não é verdade que Maria é feia ou elegante. d) É falso que Maria é feia ou que não é elegante.
3) Classificar as proposições compostas abaixo, como conjunção,
disjunção, condicional, bicondicional ou negação: a) (p.q‟)‟
b) p+(q.r‟)
c) p.(qr)
d) p.qr‟
e) (p.q‟)‟+(r+s)
f) (p+q‟)(r.s)
g) [p(q.r)].s
h) [p(q.r)]‟
i) [p+(q.r)]‟ s‟
j) (pq) r‟
4) Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
a) 3+2=7 e 5+5=10
b) sen=0 e cos=0
c) 3>2 ou sen90º>tg45º
d) se |-1|< 0 então sen90º=1
e) 3>1 30=3
f) > 4 3 > 5
g) tg =1 se e somente se sen=0
h) Não é verdade que o número 12 é um número ímpar
i) (1+1=24+3=5)‟
j) (sen0º=0 ou cos0º=1)‟
5) Sabendo que V(p)=1 e V(q)=0, determinar o valor lógico de cada uma das proposições:
a) p.q‟
b) p+q‟
c) p´.q d) p‟.q‟
e) p‟+q‟
f) p.(p´+q)
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6) Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo que:
a) V(q)=0 e V(p.q)=0
b) V(q)=0 e V(p+q)=0 c) V(q)=0 e V(pq)=0
d) V(q)=0 e V(pq)=1
e) V(q)=1 e V(pq)=0
f) V(q)=0 e V(pq)=1
As funções reais Vamos dar uma esquentadinha em nosso tico e o teco (hehehehehe), já estudaram as funções e suas principais características na disciplina de Matemática básica. Em cada caso identifique o nome de cada função a partir das características da sua representação gráfica. a) b)
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c) d)
e) f)
Agora vamos construir os gráficos das funções trigonométricas, seno,
cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Dado as funções abaixo represente graficamente e determine o domínio e a
imagem em cada caso. a) f(x) = sen(x) b) g(x) = cos(x)
12
c)f(x) = tg(x) d) f(x) = cotag(x)
e) f(x) = sec(x) f) f(x) = cossec(x)
f) f(x) = sen(2x) g) g(x) = cos(2x)
13
g) y= 2 sen(x) h) y = - 3 cos(x) Outras funções podem ser representadas graficamente desde que respeitados seu campo de definição, vejamos os exemplos:
a) Veja o gráfico da função racional f(x) = x
1
Neste caso observa-se que a função
não é definida para x = 0. Mas o que
acontece com o valor da função
quando x se aproxima se 0 pela
direita e pela esquerda?
14
b) Vamos pensar na função racional f(x) = 2
1
x
x
Vamos pensar eu uma função definida por várias sentenças
c) f(x) =
2,3
2,12
sex
sex
Neste caso observa-se que a função
não é definida para x =2. Mas o que
acontece com o valor da função
quando x se aproxima se 2 pela
direita e pela esquerda? Analise
sempre a linha do gráfico.
Neste caso observa-se que a função
não é definida para x =2. Mas o que
acontece com o valor da função
quando x se aproxima se 2 pela
direita e pela esquerda? Analise
sempre a linha do gráfico.
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Um dos mais importantes temas em Cálculo é a análise das relações entre as quantidades físicas e Matemáticas. Tais relações muitas vezes podem ser descritas em termos de gráficos, de fórmulas, de dados numéricos ou de palavras. As funções representam um importante instrumento de análise das relações matemáticas e físicas. Um problema: Um fabricante que produz caixas abertas de papelão de formas retangulares, dispondo de folhas com faces retangulares com 29 cm por 21 cm de comprimento. Cortando-se pequenos quadrados dos cantos e dobrando-se para cima os lados o departamento de Pesquisa e Desenvolvimento pede que você determine o tamanho do quadrado o qual resulta numa caixa com maior volume.
1. CÁLCULO UMA GRANDE INVENÇÃO HUMANA: UM POUCO DA HISTÓRIA
O cálculo foi inventado no século XVII, como instrumento para resolução de problemas que envolviam movimento. A geometria, a álgebra e a trigonometria aplicam-se a objetos que se movem com velocidade constante: os métodos de cálculo no entanto são necessários para estudar as órbitas dos planetas, para calcular o vôo de um foguete, para predizer a trajetória de uma partícula carregada através de um campo eletromagnético, e de um modo geral para tratar de todos os aspectos do movimento.
Embora o cálculo tenha sido criado para resolver problemas da física, tem inúmeras aplicações em outros campos. Uma das razões de sua versatilidade é o fato de que a derivada é aplicada ao estudo de taxa de variação em geral, e não só do movimento. Exemplos: o químico utiliza para prever resultados de diversas reações químicas, o biólogo para pesquisa da taxa de crescimento. O eletricista para descrever a variação da taxa da corrente num circuito elétrico. Os economistas para resolver problemas de lucros e perdas. Muitos problemas que envolvem máximos e mínimos podem ser tratados com auxílio da derivada, exemplos: como uma empresa pode maximizar sua receita? Como pode um fabricante minimizar seus custos na produção de um artigo?
A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos processos de limite. A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das
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partes mais elementares da matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716) descobriram a ligação entre derivadas e integrais. Em razão disto e de suas outras contribuições para o assunto, são considerados os inventores do cálculo. Muitos outros matemáticos deram inúmeras contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se considerar o cálculo como o estudo de limites, derivadas e integrais. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Durante a realização das olimpíadas um dos repórter fez a seguinte fala: “segundo estudos da evolução da capacidade humana acredita-se que o ser humano está chegando em seu limite quando ao tempo mínimo de natação”. Para que foi utilizada a palavra “limite” neste caso? Em que situações aparecem a palavra limite? Qual o significado da palavra limite em nosso contexto? O desenvolvimento do Cálculo foi estimulado por dois problemas geométricos: achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva. Esses problemas requerem um processo de limite para a sua solução. Entretanto, o processo de limite ocorre em muitas outras aplicações, na verdade tantas, que, de fato, o conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos de cálculo estão baseados.
Considere as seguintes situações: 1) Consideramos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1
Vamos desenvolver as seguintes etapas : Primeira : hachurar metade dessa figura
Segunda : hachurar metade do que restou em branco.
Área hachurada :2
1
Área hachurada : 4
3
4
1
2
1
17
Terceira : hachurar, novamente, metade do restou em branco.
Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área hachurada vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se aproximando de 1 ou tendendo a 1.
2) Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas: a) 1,2,3,4,5,... b) 1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,... c)1,0,-1,-2,-3,... d)1,3/2,3,5/4,5,7/6,7,...
Em a) os termos desta sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão tende para o infinito . Na sucessão b) os números aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Na sucessão c) os termos desta sucessão tendem para o menos infinito ou que o limite da sucessão tende para o menos infinito . Em d) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.
Área hachurada : 1 + 1 + 1 = 7
2 4 8 8
1 , 3 , 7,...,
2 4 8
Quando dizemos que a área hachurada tende a 1, significa que
ela se aproxima de 1, sem no
entanto assumir esse valor.
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3) Pensamos na trajetória de uma bola cuja altura é uma função do tempo, expressa pelo gráfico
a) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 3s? b) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 2s? O LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Considere as seguintes funções:
1) Sabe-se que a área do quadrado é uma função do lado definida como 2A . O
que acontece com a área quando a medida do lado tende para 2?
1,8 1,9 1,98 1,99 1,999
2A
3,24 3,61 3,9204 3,9601 3,996001
2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001
2A
4,41 4,0401 4,004001 4,000400 4,00004
Esta função tende a 4 quando x tende a 2. Diz-se que se 2 então 4A . Esta situação pode ser observada no
gráfico abaixo: Se considerarmos a medida do lado como x e a medida da área como y, temos:
19
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Assim pode-se representar em termos de limite da seguinte forma: 4lim 2
2
x
x
2) Consideramos a função f definida pela equação:
1
)1.(32)(
x
xxxf . Sendo
que f esta definida para todos os valores de x exceto x = 1. Assim, se 1x , o
numerador e o denominador podem ser divididos por )1( x para obtermos:
1 xpara 32)( xxf
Estudaremos os valores da função )(xf , quando x estiver próximo a 1, mas
não igual a 1. Quadro (1):
X 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999
1
)1.(32)(
x
xxxf
)1( x
3 3,5 4 4,5 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998
Quadro (2) :
X 2 1,75 1,50 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001
1
)1.(32)(
x
xxxf
)1( x
7 6,5 6,0 5,5 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002
20
Vemos, de ambos os quadros, que quando x aproxima-se cada vez mais de 1, f(x) aproxima- se cada vez mais de 5; e quanto mais próximo x estiver de 1, f(x) estará mais próxima de 5. No gráfico visualiza-se a seguinte imagem:
Outros exemplos:
1) Consideremos o gráfico da função f :IRIR, definida por f(x) = x + 2.
O quadro a seguir indica os valores de f(x) para alguns valores de x :
x 2 2,3 2,9 2,99 ... 3,03 3,4 3,9
f(x) = x + 2 4 4,3 4,9 4,99 ... 5,01 5,4 5,9
De acordo com o exposto, podemos dizer que :
• o limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos :
5lim )(3
xx
f
• o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos :
5)(lim3
xfx
Em particular, vemos no nosso exemplo que :
5)1(
)1).(32(lim
1
x
xx
x , mas que:
)1(
)1).(32(
x
xx não
é definida para x = 1.
21
Podemos representar somente por :
2) Consideramos também o gráfico da função f : IRIR, definida por :
Observe :
• quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de 3, isto é:
• quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é:
Estes limites são chamados limites laterais e, como são diferentes, dizemos
que: Neste caso não existe o limite de f(x) quando x tende a 3.
Para que exista o limite, f(x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x se aproxima de a pela direita ou pela esquerda, isto é:
Observando a figura podemos afirmar que:
3,,2
3,,)(
xsex
xsexxf
)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax
Lg xbx
)(lim Lxg
bx
)(lim
3)(lim3
xfx
5)(lim3
xfx
5)(lim3
xfx
22
Isto é, que os limites laterais de g no ponto b são iguais. Neste caso, dizemos que a função g tem limite L no ponto b e escrevemos :
Seja f uma função definida nos reais cujo gráfico está na figura abaixo, definida à direita e a esquerda de b.
b
L1
L2
X
Y
2)(lim Lf xbx
1)(lim Lf xbx
Lg xbx
)(lim
23
Vamos retomar o conteúdo do primeiro semestre de Matemática básica ( função definida por várias sentenças. Atividade: Construa o gráfico das funções abaixo definidas em R e responda cada item
1) f(x) =
0,
0,2
2 xsex
sex
a) )(0 -
lim xx
f
b) )(0
lim xx
f
c) )(0
lim xx
f
2) f(x) =
1,3
1,12
xsex
sex
a) )(1 -
lim xx
f
b) )(1
lim xx
f
c) )(1
lim xx
f
3) (x) =
2,1
2,3
xsex
se
a) )(2
lim xx
f
b) )(2
lim xx
f
c) )(2
lim xx
f
Outros exemplos:
1. Seja h definida por:
11
11)(
-x se x
se xx-xh
a) Faça um esboço do gráfico de h. b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites:
i) )(lim1
xhx
=
ii) )(lim1
xhx
=
iii) )(lim1
xhx
=
24
2. Seja a função f definida por: f(x)=
0 xsex -3
0 xse 2x
a) Faça um esboço do gráfico de f. b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites:
i) )(lim0
xfx
=
ii) )(lim0
xfx
=
iii) )(lim0
xfx
=
EXERCÍCIOS
1) Faça um esboço do gráfico e determine se existir o limite indicado:
a)
2 xse ,x-1
2 xse 2,
2 x ,1
2
2
)(
sex
f x
i) ( ) 2
lim xx
f
ii) )( 2
lim xx
f
iii) )(2
lim xx
f
b)
1 xparax -2
1 xpara 2
1 xpara 2
)(
x
f x
( ) ( ) ( )x 11 x 1
) lim ii) lim iii) limx x xx
i f f f
c)
121
11
112
)(
x, se x-
, se x
, se xx
f x
i) )(1 _
lim xx
f
ii) )( 1
lim xx
f
iii) )(1
lim xx
f
25
d)
0
01
02
2
2
)(
para x -x
para x
para xx
f x
i) )(0
lim xx
f
ii) )(0
lim xx
f
iii) )(0
lim xx
f
e)
1 xse ,3-
1 xse 1,-
1 x ,2
)(
se
f x
i) )(1 -
lim xx
f
ii) )( 1
lim xx
f
iii) )(1
lim xx
f
f)
1 xse 21
-1 xse 42)(
x
xxf
i) )(1- -
lim xx
f
ii) )( 1-
lim xx
f
iii) )(1-
lim xx
f
2) Seja a função f definida pelo gráfico: Intuitivamente encontre se existir:
)(lim)
)(lim)
)(lim)
)(lim)
)(lim)
4
3
3
xfe
xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
x
26
3) Seja a função f definida pelo gráfico:
Intuitivamente encontre se existir:
)(lim)
)(lim)
)(lim)
)(lim)
)(lim)
2
2
2
xfe
xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
x
4) Seja a função f definida pelo gráfico:
lim ( )x a
f x L
Intuitivamente encontre se existir:
0
0
0
2
2
2
) lim ( )
) lim ( )
) lim ( )
) lim ( )
) lim ( )
) ( )lim
x
x
x
x
x
x
a f x
b f x
c f x
d f x
e f x
f f x
27
DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE Seja f uma função definida em todo número de algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, pode ser escrito como:
Se para qualquer 0 ,mesmo pequeno, existir um 0, tal que:
Lxf )( sempre que ax0 .
Exemplo: Considere f: RR definida por y = 2x - 1. O que acontece com y
quando x está muito próximo de 3?
x 3,1 3,01 3,001 3,0001 3,00001
y = 2x-1 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002
Tab.1
x 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999
y = 2x-1 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998
Tab.2
1 =5,2-5,02=0,18
2 =5,02-5,002=0,018
3 =5,002-5,0002=0,0018
4 =5,0002-5,00002=0,00018
5 =5,00002-5,000002=0,000018
1 = 3,1-3,01=0,09
2 = 3,01-3,001=0,009
3 = 3,001-3,0001=0,0009
4 = 3,0001-3,00001=0,00009
5 = 3,00001-3,000001=0,000009 QUAL É A RELAÇÃO ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO? 0,18 e 0,09? 0,018 e 0,009? 0,0018 e 0,0009? Pode-se concluir que: 0,09 x 2 = 0,18 0,009 x 2 = 0,018
0,0009 x 2 = 0,0018 Logo podemos concluir que = 2 x
28
Outro exemplo:
O que significa provar que o 533
2lim
3
x
x?
Significa que devemos mostrar que para qualquer 0 ,mesmo pequeno, existe
um 0, tal que: Lf x)( sempre que ax0 , isto é:
Dados que neste caso tem-se:
f(x) = 33
2
x L = 5 a = 3 então:
5)33
2(
x sempre que 30 x
23
2x sempre que 30 x
3
62x sempre que 30 x
33
2x sempre que 30 x
2
33
x sempre que 30 x
Comparando-se as desigualdades tem-se que:
= 2
3
Outro modo utilizando as desigualdades temos:
3- < x < 3+ 5- < y < 5+
5- < y < 5+
5- < 33
2x < 5+
5--3 < x3
2 < 5+-3
3.(2-) < 2x < 3.(2+)
2
)2.(3 < x <
2
)2.(3
2
33
2
33
x
Logo = 2
3
Vejamos graficamente a situação descrita acima.
29
Podemos dizer que y se aproxima de 5 quando x se aproxima de 3, ou melhor, y toma valores tão próximos de 5 quanto quisermos, para valores de x
suficientemente próximos de 3. Logo 53
3
2lim
3
x
x
Exercícios
1) Usando a definição de limite prove que:
13)54(lim)
2)13(lim)
2
1
xb
xa
x
x
2) Segundo a definição de limite considera-se as seguintes condições: Se
Lxfax
)(lim é afirmar que, para qualquer número positivo , haverá sempre um
número positivo tal que | f(x) – L | < válido sempre que 0 < | x – a | < . Na
maioria dos casos o valor de depende de , e quanto menor for escolhido,
menor será o necessário. Usando a definição de limite determine um tal que
| f(x) – L | < sempre que 0 < | x – a | < .
a) f(x) = x + 3 , L = 5, a = 2, = 0,01, 5)3(lim2
xx
30
b) f(x) = 2
1x L = 3, a = 5, = 0,1, 3
2
1lim
5
x
x
PROPRIEDADES DOS LIMITES
1. Unicidade: Se x a
lim ( ) e se lim ( )x a
f x b f x c
, então b = c.
2. Se a, m e n são números reais, então namnmxax
.)(lim
Casos particulares:
1. Se f(x) = x, então lim ( ) limx a x a
f x x a
.
2. Se f(x) = n, então nnax
lim (o limite de uma constante é a própria constante).
3. Se cxgbxfaax
)(lim e )(limx
, então:
a) cbxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)]()([lim
b) cbxgxfxgxfaxaxax
.)(lim).(lim)]().([lim
c) )0()(lim
)(lim
)(
)(lim
c
c
b
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
d) kbxfkxfkaxax
)(lim)(.lim
e) *Zn ,)(lim)]([lim
nn
ax
n
axbxfxf
f) imparxfxfbxfxfaxax
nn
ax
n
ax
** Zn e 0)(lim seou Zn e 0)(lim se ;)(lim)(lim
4. Funções Polinomiais
Se ,...)( 01
1
1 axaxaxaxf n
n
n
n
então:
)(...)(lim 001
1
10
xfaxaxaxaxf n
n
n
nxx
31
Exemplos:
1)
)65(lim3
xx
2)
xx 4lim
3)
)833(lim 2
2xx
x
4)
5
13lim
2
x
x
5)
2
1 1lim x
x
6)
)7853(lim 23
2xxx
x
7)
5
32lim
2
3
2 x
xx
x
8)
2
4 )75(lim x
x
9)
3
4 17lim
x
x
x
32
EXERCÍCIOS
Encontre o valor dos seguintes limite
4/1
3/1
4
16
3
23
23
2
1
234
1
2
4
223
2
6
1
)32(lim)8
1lim)7
4.1lim)6
3
365lim)5
1lim)4
2
14lim)3
1523lim)2
12lim)1
x
x
x
tt
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
x
x
x
t
x
x
x
x
x
3
18lim)12
821
1lim)11
133lim)10
1
1lim)9
1
2
2
1
2
3
1
1
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
x
x
33
CÁLCULO DE LIMITES e SUAS INDETERMINAÇÕES O que significa uma indeterminação? Como sair de uma indeterminação?
As expressões 00, , ,0 ,0 , ,1
0
, são ditas indeterminações. O
que fazer quando se encontra tais situações?
Por exemplo 0
0.
Sejam f e g funções tais que 0)(lim)(lim
xgxfaxax
. Nada se pode afirmar, a
princípio sobre o limite do quociente g
f. Dependendo das funções ele pode
assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que 0
0 é um
símbolo de indeterminação. Exemplo:
Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2.
0)(lim)(lim00
xgxfxx
e 0limlim)(lim
)(lim
02
3
0
0
0
xx
x
xg
xf
xx
x
x
Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são necessários. Obs.: Sempre que estamos diante de um limite com ax , que resulte a
indeterminação 0
0 e a função dada é do tipo racional
xempolinômios
xQ
xPxf
)(
)()( é possível fazer uma simplificação, pois os
polinômios serão divisíveis por (x-a). Exemplos:
1
1lim)1
2
1 x
x
x
34
32
1074lim)2
2
33
1 xx
xxx
x
3
27lim)3
3
3 x
x
x
4
412lim)4
4 x
x
x
35
EXERCÍCIOS
Encontre o valor dos limites:
52
532lim)10
36254
20173lim)9
5
227lim)8
28lim)7
93lim)6
5
312lim)5
1
21lim)4
2012
65lim)3
3
6lim)2
2
8lim)1
2
2
5
2
2
4
5
5
3
0
2
0
5
1
2
2
2
2
3
3
2
x
xx
xx
xx
x
x
h
h
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
xx
x
x
x
x
x
h
x
x
x
x
x
x
36
LIMITES INFINITOS E LIMITES PARA X TENDENDO AO INFINITO
O símbolo não representa um número; portanto, não se efetuam com ele as operações que realizamos com os números reais.
Alguns exemplos:
1) Observe o gráfico da função x
xf1
)( :
01
lim xx
, ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é
zero.
01
lim xx
, ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é
zero.
xx
1lim
0
, ou seja, quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce
indefinidamente e o limite é infinito (+).
xx
1lim
0
, ou seja, quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y
decresce indefinidamente e o limite é menos infinito (-).
37
2) Observe o gráfico da função .1
)(2x
xf
Quando x cresce ou decresce indefinidamente a função se aproxima de
zero, ou seja y tende a zero. Simbolicamente temos: 01
lim2
xx e
01
lim2
xx.
Quando x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, y cresce
indefinidamente, isto é, y tende a mais infinito e indicamos:
20
1lim
xx
e
20
1lim
xx
.
3) Considere :1
)(3x
xf
38
De modo análogo às situações anteriores, percebe-se que quando x cresce ou decresce indefinidamente, a função se aproxima de zero. Notação:
01
lim3
xx.
Definição: Se nN* e se f: R* R é a função definida por
nxxf
1)( , então:
01
lim)(lim nxx x
xf e 01
lim)(lim nxx x
xf
De modo geral: 0lim
nx x
k
4) Seja a função f: R-{2} R tal que 2
3)(
xxf cujo gráfico é:
Observa-se que:
)(lim2
xfx
)(lim2
xfx
)(lim2
xfx
não existe, pois os limites laterais são diferentes.
0)(lim
xfx
LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA X TENDENDO A MAIS OU MENOS
INFINITO
Considere a função polinomial f(x), de grau n, com an0.
01
1
1 ...)( axaxaxaxf n
n
n
n
n
nxx
xaxf
lim)(lim
Obs.: Esses limites são iguais a + ou - conforme o sinal de an e a paridade de n. Quando temos o limite de um quociente de polinômios, com x tendendo a
+, podemos aplicar a seguinte regra prática:
39
qpse
qpseb
a
qpse
xb
xa
bxbxbxb
axaxaxa
q
p
q
q
p
p
xq
q
q
q
p
p
p
p
x
0
lim...
...lim
01
1
1
01
1
1
Analogamente se x tender a -.
PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO
40
Exemplos: 1) Dada a função f(x) = 2x3 -5x2 + 2x -1, calcular:
)(lim)
)(lim)
xfb
xfa
x
x
2) Calcular 734
152lim
2
2
xx
xx
x.
41
3) Calcular 4
12lim
23
4
xx
xx
x.
Teorema: Se 0)(lim
xhax
e cxgax
)(lim com c 0, então:
1) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores positivos, então .)(
)(lim xh
xg
ax
2) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores negativos, então .)(
)(lim xh
xg
ax
3) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores positivos então .)(
)(lim xh
xg
ax
4) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores negativos então .)(
)(lim xh
xg
ax
Exemplos:
xxx
x
xx
xx
xx
xx
x
x
x
2
1lim)3
6
13lim)2
166
562lim)1
231
2
2
2
2
2
2
42
EXERCÍCIOS
1) O estudo dos limites nos permite analisar o comportamento de uma função quando ela se aproxima de um ponto ou quando ela tende ao infinito. A existência do limite de uma função está condicionado a sua igualdade quando tende a um ponto pela direita e pela esquerda. Com base nos estudos realizados sobre limites, calcule os limites abaixo.
xx
xxj
xx
xxi
xx
xxh
xx
xxg
x
xxf
xxe
xxd
xxc
xxb
xxxa
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6
36
3
5
8
5
4
5
3
36
12
23
5
6
45
1
13412lim)
5321
16lim)
532
26lim)
532
16lim)
13
1312lim)
)544(lim)
)3(lim)
)2(lim)
)473(lim)
)122(lim)
2) Calcule os seguintes limites:
23
23
1
4
1
22
4
1
9
4lim)
9
4lim)
1
2lim)
4lim)
4lim)
4
2lim)
4lim)
1
2lim)
x
xh
x
xg
x
xf
x
xe
x
xd
x
xc
x
xb
x
xa
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1lim)
43
232lim)
32
15lim)
2lim)
1
2lim)
2
2
2
2
4
2
2
3
2
2
1
x
xn
xx
xxm
xx
xxl
x
xj
x
xi
x
x
x
x
x
43
LIMITES QUE ENVOLVEM INFINITO e as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E ASSÍNTOTAS VERTICAIS
Exemplos:
a) Observe o gráfico da função f(x) = 32
4
xquando x tende para 3/2 pela
esquerda e pela direita
Assim podemos concluir que:
32
4lim
2
3
x
x
= e 32
4lim
2
3
x
x
=
Por outro lado no exemplo acima temos que :
32
4lim
xx = e
32
4lim
xx =
b) Observe o gráfico da função f(x) = 1
12
xquando x tende para 1 pela
esquerda e pela direita e quando x tende ao
44
Assim podemos concluir que:
1
12lim
1
xx = e
1
12lim
1
xx =
Por outro lado no exemplo acima temos que :
1
12lim
xx = e
1
12lim
xx =
Pode –se observar que quando x tende a 1 pela direita e pela esquerda os limites são infinitos. Por outro lado quando x tende a infinito positivo ou infinito negativo f(x) tende a 2. Pode-se concluir que 1 é uma assíntota vertical e 2 é uma assíntota horizontal.
DEFINIÇÃO: ASSÍNTOTA VERTICAL:
Veja o gráfico da função f(x) = 12 x
x
Assíntota horizontal y = 2
Assíntota vertical x = 1
45
No caso tem-se que para os valores de x = -1 e x = 1 a função não está definida, estes valores se constituem nas assíntotas verticais conforme segue: Uma linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida:
1)
)(lim xfax
2)
)(lim xfax
3)
)(lim xfax
4)
)(lim_
xfax
ASSÍNTOTA HORIZONTAL
No caso tem-se que para os valores de y = 2 a função nunca atinge este valor , e observe que quando x tende para o infinito a função se aproxima deste valor sem nunca assumir, este valor de aproximação se constituem nas assíntotas horizontais conforme segue: A linha horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida:
1) bxfx
)(lim 2) bxfx
)(lim
Outros exemplos: Determine as assíntotas das funções abaixo:
a) f(x) = 1
3
x
x b) f(x) =
5
62
x
x c) g(x) =
x
x
53
21
46
LIMITE FUNDAMENTAIS ( 2ª parte da apostila) Passa a discussão dos casos que denominamos limites fundamentais 1) Primeiro Limite Fundamental
1sen
lim0
x
x
x
2) Segundo Limite Fundamental
ax
a x
xln
1lim
0
(a > 0 e a 1)
De modo geral: axu
a xu
xln
)(
1lim
)(
0
Em particular: 1ln1
lim0
e
x
e x
x
3) Terceiro Limite Fundamental
ex
x
x
11lim
De modo geral: exu
xu
x
)(
)(
11lim
Teorema do Confronto
Sejam f, g, h funções e a um ponto tal que para todo xa, tem-se g(x)
f(x) h(x).
Se Lxgax
)(lim e ,)(lim Lxhax
então .)(lim Lxfax
O teorema do confronto
será utilizado para demonstrar o limite fundamental.
47
Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. 1) Primeiro Limite Fundamental
1sen
lim0
x
x
x
Demonstração:
Da figura temos:
Vamos considerar x 1º quadrante.
Área do triângulo AOM área do setor circular AOM área do triângulo AOT
tgxxx
tgxx
x
sen
2
.11..
2
1
2
sen.1 2
Dividindo por senx temos:
1sen
coscossen
1
cos
1
sen1
x
xxx
x
x
xx
x
11lim
10coscoslim
0
0
x
xx
Pelo Teorema do Confronto, temos: 1sen
lim0
x
x
x
Graficamente, temos:
48
De modo geral: 1)(
)(senlim
0
xu
xu
x
Exemplos:
x
tgx
xsen
xsen
x
xsen
x
x
x
0
0
0
lim)3
4
3lim)2
2lim)1
x
x
x
xsen
x
x
2
cos1lim)6
5
2lim)4
0
0
2) Segundo Limite Fundamental
ax
a x
xln
1lim
0
(a > 0 e a 1)
De modo geral: axu
a xu
xln
)(
1lim
)(
0
Em particular: 1ln1
lim0
e
x
e x
x
Exemplos:
1
1lim)5
5
17lim)4
14lim)3
1lim)2
3
1lim)1
2
1
1
3
0
2
0
3
0
3
0
x
e
x
x
x
e
x
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
49
3) Terceiro Limite Fundamental
ex
x
x
11lim
De modo geral: exu
xu
x
)(
)(
11lim
Seja a função
x
xxf
11)(
, definida num domínio D.
O domínio D é determinado pelos valores reais de x que satisfazem a relação
01
1 x
.
,01,D
Atribuindo valores de D a x, temos;
x y
1 2,000
2 2,250
3 2,369
5 2,489
10 2,594
100 2,705
1000 2,717
10000 2,718
-2 4
-3 3,375
-10 2,868
-100 2,732
-1000 2,720
-10000 2,718
. .
. .
. .
e
Para os valores de x que crescem ou decrescem indefinidamente, correspondem valores de y que vão se aproximando do número irracional e, chamado número de Euler.
e = 2,71828182....
50
OBSERVE O GRÁFICO:
A partir do gráfico, temos que:
exx
x
x
x
x
11lim
11lim
Exemplos:
4
4
21lim)4
11lim)3
6lim)2
11lim)1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
51
CONTINUIDADE
Definição
A função f é contínua em um número a se as três condições seguintes forem
satisfeitas: i) f(a) existe
ii) existexfax
)(lim
iii) )()(lim afxfax
Se uma ou mais destas condições não está satisfeita em a, dizemos que a função f é descontínua em a.
Mostra de gráficos de funções que não são contínuas em x=a.
Exemplos: Verifique a continuidade das seguintes funções. Faça um esboço do gráfico.
a)
1 xse 1
1 xse 1)(
x
xxf em x = 1
52
b)
1 xse 4
1 xse 12)(
xxf em x = 1
c)
1 xse 2-
1 xse 1-
1 xse 2
)(xf em x = 1
d)
1 xse 76x
1 xse 1)(
2 x
xxf em x = 1
e)
1 xse 1
1 xse 1
1
)(
2
x
x
xf em x = 1
53
f)
-1 xse 1x-
-1 xse 3)(
xxf em x = -1
Exercícios 1) Trace o gráfico das funções e determine os limites indicados:
1
12
1
)()2 xsex
xse
xsex
xfa
)(lim*
)(lim*
0
1
xf
xf
x
x
01
02
01
)()
xsex
xse
xsex
xgb
)(lim*
)(lim*
)(lim*
1
0
1
xg
xg
xg
x
x
x
01
04)()
2 xsex
xsexxgc
)(lim*
)(lim*
)(lim*
)(lim*
9
0
0
0
xg
xg
xg
xg
x
x
x
x
54
12
1)()
xsex
xsexxpd
)(lim*
)(lim*
)(lim*
)(lim*
15
1
1
1
xp
xp
xp
xp
x
x
x
x
2) A função g está definida por
27
21)(
2
xsex
xsexxg
Esboce o gráfico de g. a) Calcule limite de g quando x tende a 2 pela direita e pela esquerda. b) A função tem limite em x = 2.. 3) Dado a função
a)Esboce o gráfico e verifique se a função é contínua em x = -1 e x = 1
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