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Frente 1 Frente 2 Frente 3 Frente 4
4 16 26 34
18 28 366
10 20 28 38
12 22 30 40
14 24 32 40
Toria dosConjuntos
Rlaçõs Métricas noTriângulo Rtângulo
PontoRta Plano
Matriz: concito,igualdad opraçõs
RlaçõsTrigonométricas noTriângulo Rtângulo
Prímtro ra dguras planas
Matriz: opraçõs aplicaçõs
Opraçõscom Conjuntos
ConjuntosNuméricos
Arcos - Ângulos comprimnto d arcos
Prímtro ra dguras planas
Dtrminants:concito rsolução
NúmrosComplxos
Rlaçõs trigométricasfundamntais naCircunfrência
Polígonos rgularsno cotidiano
Sistmas Linars(conceito e classicação)
Opraçõs ntrNúmros Complxos
Rlaçõs trigométricas- IdntidadsTrigonométricas
Congruências smlhanças dguras planas
Sistmas Linars(conceito e classicação)
F i c h a 1
F i c h a 2
F i c h a 3
F i c h a 4
F i c h a 5
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I ntuitivamnt, associamos à idéia d conjunto as d grupo, colção ou clas-s , à idéia d lmnto, os objtos ou “coisas” qu constitum o conjunto.Vamos aqui comçar a visualizar sss lmntos qu constitum conjuntos,
obsrvando situaçõs qu stão prsnts m nosso dia-a-dia.
Toria dos
CONJUNTOS 2. Nomeando
1. Diagrama
O qUe é Um CONJUNTO?
n Rprsntamos um conjunto poruma ltra maiúscula noaos sus lmntos ntr chavs.
Exemplo:
V= {a, e, i, o, u}
n Não existe uma denição de conjunto,
mas xist uma idéia d qu st associadaà colção d objtos, runião ou grupo dpssoas,tc.
Coo u s rprsnta u conjunto?Um conjunto pod sr rprsntado d vriasmaniras, ntr as quais três são mais usuais:
Rprsntamos um conjunto por diagramas (cur-vas fechadas) e no seu interior colocamos seus ele-mntos.
3. Propriedade característica
n Representamos um conjunto por meio de uma propriedade caracte-rística de seus elementos, sem no-meá-los
Exemplo:
V= {voais do alfabeto}
ou
V= {x/x é voal}
n A maneira de representar umconjunto não é importante. O queimporta é que que evidente o con- junto e os elementos que queremosrepresentar.
n A propósito, entre um elemeto x qualquer e um couto A qualquer existem duas e somente duas possi-bilidades de relacioná-los.
1ª PossibilidadeO elemeto x é um dos elementosque constitui o couto A. Usandosímbolos:
X ∈ A → X pertence a A
2ª PossibilidadeO elemeto x não é um dos elemen-tos que constitui o couto A. Usan-do símbolos:
X ∉ A → X não pertence a A
Sendo o conjunto M:
podemos dizer que :
4 ∈ M
5 ∉ M
dóD
V
fásol
lá
ré
misí
Con junto de carros
Con junto de casas
Con junto de árv ores
Con junto de pessoas
a
ue o
i
n Um conjunto qualqur é forma-do por lmntos. Da msma for-ma qu conjuntos, lmntos sãonts matmticos primitivos, por-tanto sem denição.
4, 7, 9,11, 13
M
F r e n t e F i c h a
0 1
0 1
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4. Conjunto vazio
5. Subconjunto
1. Você viu que entre um elemento qualquer e um conjunto qualquer existem apenas duas possibilidades de relacioná-los. Analo-gamente, entre dois conjuntos quaisquer, também existem apenas duas maneiras de relacioná-los:2. Consideremos o couto B formado pelos membros da Seleção Brasileira de Futsal. Com os elementos de B, podemos for-mar o couto H, de todos oadores da Seleção, e o couto M, de toda a comissão técica.3. Dizemos que os coutos H e M são Subconjuntos de B.4. Se um subcouto T de pessoas possui como elemento pelo menos uma pessoa que não seja membro da Seleção Brasileira,dizemos que T ão é subcouto de B.
n Como representar um conjunto vazio, ou seja, um conjunto que nãopossui elementos?
∅ ou { }
Cuidado: {∅} ≠ ∅
n Um conjunto, embora seja associado a uma coleção de objetos, às vezesnão possui elementos.
n Observe aqui a quantidade de pessoas que estão dentro da piscina...
A B
U
6. Conjunto Universo
n O conjunto Universo de um estudo éaquele ao qual pertencem todos os elemen-tos desse estudo. Gracamente, o Universoserá representado por um retângulo envol-vendo os outros conjuntos.
Idicamos esses fatos por:
H ⊂ B (lê-se: “H está contido em B”)M ⊂ B (lê-se: “M está contido em B”)
T ⊄ B (lê-se: “T não está contido em B”)
Propriedades importates:P1. O conjunto vazio é subconjunto de qual-quer conjunto.P2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
A ⊂ B e B ⊂ A etão A = B
+
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2. A = {a, b, c, d}B = {c, d, e, f}
Resp. A - B = {a, b}
3. A = {2, 4, 6, 8, 10}B = {2, 4, 6}
Resp. A - B = {8, 10}
D ados os conjuntos A e B, quais-
quer, chama-se uião ou reu-
ião de A com B, ao conjunto
formado pelos elementos que perten-
cem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Indica-se por A ∪ B e lê-se “A união B”
Opraçs co
C O N J U N T O S
Portanto:
Exemplos:
A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}
Utilizando diagramas temos:
Observe nos diagramas a seguir que, se B ⊂ A, então A ∪ B = A
Note nos diagramas como cará aunião de dois conjuntos disjuntos:
a) Sendo A = {0, 2, 4} e B = {0, 2, 6, 8},então: A ∪ B = {0, 2, 4, 6, 8}
b) Sendo A = {0, 2} e B = {0, 2, 6, 8}, en-tão: A ∪ B = {0, 2, 6, 8}
c) Sendo A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6}, en-tão: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Intersecção entre conjuntos
Diferença entre conjuntos
União entre conjutos
n Dados dois conjuntos A e B, chama-mos Diferença A – B ao conjunto forma-do pelos elementos de que pertencema A e não pertencem a B.
A - B = { x / x ∈ A e x ∉B}
Os conjuntos A e B, vamos efetuar a di-ferença A - B. A região assinalada nosdiagramas representa a diferença.
1. A = {1, 2, 3, 4}B = {7, 8, 9}
Resp. A - B = A
A B
A
B
A
8 9
7
1 3
2
4
B
A
a e
b f
B
c
d
A
8
64
2
10B
Itersecçãon Dados dois conjuntos A e B chama-se Intersecção entre A e B ao conjuntoformado pelos elementos comuns entre A e B, isto é, pelos elementos que per-tencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B}
n Diagramas de Venn representativosda intersecção entre A e B:
A B
A B
A B
B A
Observação: Dois conjuntos sãodisjuntos quando não possuem ele-mentos comuns, isto é, A ∩ B = ∅.
F r e n t e F i c h a
0 1
0 2
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4. A = {8, -8, 6, -6}B = Ø
Resp. A - B = A
Complementar
Quando dois conjuntos A e B são taisque A ⊂ B, dá-se o nome de comple-mentar de A em B à diferença B – A.Observe o diagrama. A região assinala-da representa o complementar de A emB, que indicamos por
A ⊂ B ⇒ = B - A
Operações com intervalos
Considere os conjuntos A e B e analise cada uma
das operações:
1. Uião ou reuião:
2. Iterseção:
3. Difereça:
a
a
c
b
d
d
A B
a
c
c
b
d
b
a
a
c
b
d
c
A- B
+B A
A
- 8
- 8
6
6
Obsração:
quando nos rfrios ao coplntard u conjunto A rlação aoUnirso U, utiliaos siplsnt o
síbolo A’ ou A.
Intervalos
Podemos representar o conjunto dos números reais as-sociando cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r. Assim, se convencionarmos uma origem O, associandoa ela o zero, e adotarmos um sentido positivo para estareta, teremos aquela que denominamos por Reta Real.
2
3-2 -1 20 1 2
p q p q
Intervalo fechado à direita
Números reais maiores que p e me-nores ou iguais a q.
Intervalo:] p, q]Conjunto: {x ∈ IR p < x ≤ q}
Intervalo fechado à esquerda
Números reais maiores ou iguais p emenores que q.
Intervalo: [p, q[Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x < q}
p q p q
Exemplos:
1. A = {23, 24}B = {21, 22, 23, 24, 25}
2. A = {x / x é par positivo}
B = {x / x é inteiro positivo}
= {1, 3, 5, 7, 9,...}
Chamamos de intervalo qualquer subconjunto contí-nuo de IR . Dados p e q reais (p < q), podemos denir os intervalos:
Intervalo fechado
Números reais maiores ou iguais ap ou menores ou iguais a q.
Intervalo: [p, q]Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x ≤ q}
Intervalo aberto
Números reais maiores que p e me-nores que q.
Intervalo: ]p, q[Conjunto: {x ∈ IR p < x < q}
A∩B
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É toda relação estabelecida entreconjuntos. Para isso utilizaremosos símbolos de iclusão.
⊂ Está Contido⊄ Não Está Contido⊃ Contém⊃ Não Contém
Rlação d
INCLUSÃO
Obsração:
é iportant não sucr ua Rlação d Inclusão s sráutiliada para rlacionar Conjuntoco Conjunto.
Exemplo:
No exemplo dado temos:
Exemplo:
Contextualizando com a Geografa
Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4,5}, temos:
Então, observe que nesse caso,todos os elementos do conjunto Atambém pertencem ao conjunto B.Logo, dizemos que A está contido emB, ou A é subconjunto de B, ou A éparte de B.
Indicamos que A está contido emB da seguinte maneira: A ⊂ B.
Se A ⊂ B, podemos também dizer que B contém A e indicar: B ⊃ A.
Considerando os conjuntos A= {a, b, c} e B = {a, b, m, n}, obser-vamos que nem todos os elemen-tos de A pertencem a B.
Aania LgalAaonas, Acr, Rondnia, Roraia,
Aapá, Pará, Tocantins, maranhão
mato Grosso
Rgião NortAaonas, Acr, Rondnia, Roraia,
Aapá, Pará, Tocantins
Nesse caso, dizemos que A
não está contido em B e indica-mos: A ⊄ B.
Também podemos dizer que Bnão contém A e indicar: B ⊃ A
Todo conjunto é subconjunto de simesmo, isto é: A ⊂ A. E o ConjuntoVazio é subconjunto de qualquer con- junto, isto é, Ø ⊂ A, qualquer queseja o conjunto A.
Conjuntos Iguais
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A é igual a B,se, e somente se A ⊂ B e B ⊂ A, ouseja, quando possuem os mesmoselementos, independentemente damaneira que apareçam escritos noconjunto.
Notação:
A = B
Lê-se: o couto A é iual aoCouto B.
Conjuntos das partes de um
conjunto
Consideremos o conjunto A = {3,5, 7}, vamos formar todos os seuspossíveis subconjuntos:
Sem elementosØ
conjunto vazio
Com um
elemento
{3}, {5}, {7}
Com doiselementos
{3, 5}, {3, 7},{5,7}
Com trêselementos
{3, 5, 7}
Denominamos conjunto das par-tes de um conjunto A, não-vazio, aoconjunto P(A) formado por todos ossubconjuntos do conjunto A.
P(A) = {Ø, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7},{5, 7}, {3, 5, 7}}
B A.1 .2 .4
.5.3
F r e n t e F i c h a
0 1
2 . 1
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+
Exemplos:
Operações com conjuntos
É importante observar queesses subconjuntos do conjun-to A são elementos do conjun-
to P(A). Então é correto armar que {3} ∈P(A) e não {3} ⊂ P(A).
Obsração:
O nro d lntos doconjunto das parts d uconjunto d n lntos dadopor 2n. então:
n[P(A)] = 2n
1. Determine quantos elementostem o conjunto das partes de A,sabendo que A tem 4 elementos.
Resolução:
n[P(A)] = 2n ⇒ n[P(A)] = 24
portanto n[P(A)] = 16 elementos
2. Determine o conjunto das par-tes do conjunto B = {1 , 3}.
Resolução: Não possua elementos ∅
Possua um elemento {1}, {3}Possua dois elementos {1, 3}
P(B) = {∅, {1}, {3}, {1,3}}
3. Determine quantos elementostem o conjunto das partes de B,sabendo que B tem 2 elementos.
Resolução:n[P(B)] = 2n ⇒ n[P(B)] = 22
portanto n[P(B)] = 4 elementos
Cometários:
Aplicações no dia-a-dia
n Vjamos ntão, como sria para s obtr o númro d lmntos da união d dois conjuntos.
n Vamos imaginar ntão dois grupos d xcutivos d uma mprsa, qu chamarmos d “A” “B”. Uma part dsss xcu-tivos stão dfndndo a proposta A, outra part a proposta B um númro dls qu acham qu ambas as propostas sãoboas. O diagrama a sguir rprsnta sta situação, na forma d dois conjuntos A B, a união A ∪ B pod sr rprsntadapela gura toda.
Sérgio José Rita Ruy João Beto
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N úmero é um ente matemático utilizado para descrever quantidades ou medidas. Os números estão presentes em nossodia-a-dia de maneira direta ou indireta. Nos jornais, revistas, televisão e até mesmo na música os números estão pre-sentes. É difícil imaginar um mundo sem números, pois se os números não existissem voltaríamos no tempo.
Neste Capítulo estudaremos a classicação dos números bem como os intervalos reais.
Conjuntos
NUméRICOSCOnjUnTO DOS núMEROS nATURAIS
COnjUnTO DOS núMEROS InTEIROS
COnjUnTO DOS núMEROS RACIOnAIS (Q)
É formado por números utilizados na contagem e ordenação de elementos.
n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} é o conjunto dos números naturais não-nulos.
É uma expansão do conjunto dos números naturais. Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
N
Para excluir os números positivos de um conjunto utilizamos o símbolo – (menos) e para excluir os negativos, utilizamoso + (mais). Deste modo:Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-nulos.Z
+= {0,1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-negativos.
Z-= {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} é o conjunto dos números inteiros não-positivos.
Z*+
= {1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros positivos.Z*
-= {..., -5, -4, -3, -2, -1} é o conjunto dos números inteiros negativos.
É formado pelos números que possuem representação fracionária com numerador e denominador inteiros (denominador não-nulo).
De modo análogo ao proposto para o conjunto dos números inteiros, temos Q*, Q+, Q
-, Q*
+e Q*
-
Os números que apresentam representação fracionária e, portanto são números racionais são:
A) nmeros iteirosTodo número inteiro possui representação fracionária, veja os exemplos:
a)5 10 15
5
1 2 3
, portanto -5 ∈Q.
b)
0 0 0
0 1 2 3
, portanto 0 ∈Q.
c)7 14 21
7
1 2 3
, portanto 7 ∈ Q.
z z
F r e n t e F i c h a
0 1
0 3
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B) Frações próprias, impróprias e meros mistosObserve os exemplos:
3 4 1a)
5 2 3, , 3 Q
C) nmeros decimais exatosNúmero decimal exato é aquele que apresenta um númeronito de casas (ordens) decimais. Observe os exemplos:
D) Dízimas periódicas simples e compostasDízimas são números decimais que apresentam innitascasas (ordens) decimais. São chamadas periódicas quan-do, após a vírgula, apresentam repetição de um númeroinnitas vezes. Este número é chamado período. Observe
alguns exemplos:
, portanto. Esta dízima é chamada periódi-
ca simples, pois imediatamente após a vírgula percebemos
a presença do período 2.
, portanto. Esta dízima é chamada periódica
composta, pois após a vírgula percebemos a presença donúmero 3 (pré-período) antes do período 2.
COnjUnTO DOS núMEROS IRRACIOnAIS (R - Q) OU I.
COnjUnTO DOS núMEROS REAIS (R)
núMEROS COMPLEXOS (C)
a) 0,20 =
b) 1,35 =
, portanto 0,2 ∈ Q
, portanto 1,35 ∈ Q
=
=
2
10
135
100
1
5
27
20
a) 0,222... =2
9
b) 0,322... =29
20
Números irracionais são as dízimas não-periódicas, isto é,são números decimais que apresentam innitas casas deci-mais, porém não possuem período. São números que nãoresultam da divisão entre dois números inteiros.
Os números irracionais mais famosos são:
a) O PI.π = 3,14159265358979323846264338322795...
b) O número de Euler.e = 2,78281828459045235360287471352
Podemos obter números irracionais extraindo raízes não-exatas como segue:
c)
d)
Chama-se número real a qualquer número racional ouirracional. Deste modo podemos dizer que o conjuntodos números reais é a união entre o conjunto dos nú-meros racionais e o conjunto dos números irracionais.R = Q ∪ IDe modo análogo ao proposto para os conjuntos dosnúmeros racionais, temos R*, R
+
, R-
, R*
+
e R*
-
.
O couto dos meros comple-xos é uma expansão do conjuntodos números reais e foi criado como surgimento da unidade imaginá-
ria i cujo valor é -1. Esta unidade
imaginária solucionou problemascomo o cálculo de raízes quadra-das de números negativos, veja:
-9 = 9 . (-1) = 9 . -1 = 3.i
2 = 1,4142135623730950488016887242097...
2 = 1,7099759466766969893531088725439...3
Q
R Zn
R - Q
ORIgEM DOS núMEROS COMPLEXOS
Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimen-tos gerais para resolução de equações algébri-cas de terceiro e quarto grau.
+
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Nros
COmPLeXOSN
enhum número multiplicado por si mesmo pode dar um número negativo. Assi, a rai uadrada d u n-ro ngatio ua opração ipossíl. Coo lidar co sss nros, já u não xist? Cardano 1539dparou-s co ls ao tntar rsolr uaçs algbricas. Aparcra coo raís d uaçs por isso forachaados d nros. Cardano rsolu o ipass lidando co ls coo s foss nros rais. mas u
dsndou o istrio foi Gauss, criando ua unidad iaginária i cujo uadrado sria -1 dando aos nros uastrutura algbrica. Coo rsultado dssa dscobrta fundantal os nros coplxos prnchra todos os aios.Tornara-s os nros por xclncia, contndo si todos os dais. os nros “scond” as suas idntidads,somente revelando o que realmente são, quando utilizados. Quer dizer, o exato signifcado de um número depende do
contxto u stá insrido.
1. INTRODUÇÃO
Rsolva, m C, a quação do 2ºgrau.
UNIDADe ImAGINÁRIA (i)
2
22
a 1
x 4x 5 0 b 4
c 5
b 4.a.c
4.1.5( 4)
16 20
4
=
− + = = −=
∆ = −−
∆ = −
bx
2a( 4) 4
x2.1
4 4x
2
=
=
± −=
− − ± −
O conjunto dos númros complxos é formado por todos os númros da forma = a + b . i, vja:
C = { | = a + bi}, com a, b ∈ R
Ond:a é a part ral d
→ a = Re(z)
b é a part imaginria d
→ b = Im(z)
explo:
1. Identique a parte real e a imaginária de cada número complexo a seguir:
a) 1 = -3 + 2i é chamado imaginrio
Solução:
a) = Re(z1) = -3b) = Im (z1) = 2
b) 3 = 7i é chamado imaginrio puro
Solução:a) = Re(z3) = 0b) = Im (z3) = 7
c) 4 = 5 é chamado ral
Solução:a) = Re(z4) = 5b) = Im (z4) = 0
O númro i é chamado unidadimaginria :
2i =
Cálculo de
-1 ou i = -1
-4
-4 = 4 . (-1) = 4 . -1 = 2 . i
4 2i
x 22.(2 i)
x2
x 2 i V {2 i, 2 i}
±
=±
=
= ± ⇒ = + −
i 1= −
2. CONJUNTO DOS COmPLeXOS
Obsraçs:
a) se b = 0, então z é realb) se b ≠ 0 , ntão z é imaginrioc) se a = 0 e b ≠ 0, ntão z é imaginrio
purod) todo número real é um complexo em
qu b = 0, portanto R ⊂ C .e) dizemos que a + bi é a forma algébri-
ca do númro complxo zf) podemos representar um número
complexo z = a + bi, pelo par ordena-do z = (a, b) , veja:
1 = 3 - 2i → z1 = (3, -2)
2 = 5i → z2 = (0, 5) 3 = 4 → z3 = (4, 0)
+
F r e n t e F i c h a
0 1
0 4
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Dois númros complxos 1 = a + bi 2 = c + di, sãoiguais s, somnt s, suas parts rais imaginrias sãoiguais rspctivamnt.
explo:Dtrmin os valors d x y m cada caso, d modo qu osnúmros complxos = 3x +yi w = 9 - 4i sjam iguais.
Solução:
Portanto para qu s tnha a igualdad proposta dvmostr x = 3 .
1 2z za c e b d
a bi c di=
= =+ = +
3x 9 e y 4
9x3
x 3
=
=
= = −
Dado um númro complxo = a + bi, chama-s conjugadod z, ao complxo
explo:Dtrmin o conjugado d cada númro complxo a sguir:
a) 1 - 5 + 2i b)
Solução: Solução:
Obsração: um complexo e seu conjugado possuem partesimaginárias simétricas
z a b i= −
3
4z i
3=
1z 5 2i 3
4
z i3
5.1 Multiplicação de um Real por um Complexo5.2 Adição entre Complexos
5.3 Subtração entre Complexos5.4 Multiplicação entre Complexos
explo:Dados os complxos 1 = 1 - 2i 2 = -4 + i, dtrmin:
a) 3 . 1 b) - 2 . z2
Solução: Solução:3. z1 = 3 . (1 - 2i) = 3 - 6i -2. z2 = -2 . (-4 + i) = 8 - 2i
Obsraçs:
a) Dado um número complexo z = a + bi , chama-se OPOSTO de z ao complexo-z = -a - bi.
explo:a) 1 + 2
Dados os complxos z1 = 4 - 6i, z2 = 2 + 3i, z3 = -5 + i e z4 = 7i, determine:
Solução:z1 + z2 = 4 - 6i + 2 + 3i = 6 - 3i b) 1 - 2
Solução:z1 - z2 = 4 - 6i - (2 + 3i) = 4 - 6i - 2 - 3i = 2 - 9i
c) 1 . 2
Solução:z1 . z2 = (4 - 6i) . (2 + 3i) = 8 + 12i - 12i - 18i2 = 8 + 18z1 . z2 = 26
A trigotria osnros coplxos
É mais fácil trabalhar com uma funçãoexponencial do que com um cosseno.Então o truque todo é representar nos-sas funções oscilatórias como a parte
real de certas funções complexas. Ago-ra uma força assim, F = F 0 - cosωt, podeser escrita como a parte real de um nú-mero complexo F = F 0eiωt, poiseiωt = cosωt + isenωt
3. IGUALDADe eNTRe COmPLeXOS
4. CONJUGADO De Um COmPLeXO
5. OPeRAÇõeS eNTRe COmPLeXOS +
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Opraçs ntr nros
COmPLeXOSDIvISÃO eNTRe COmPLeXOS
n Para ftuar a divisão por um númro complxomultiplicamos o numerador (dividendo) e o denomi-nador (divisor) pelo conjugado do denominador.
Obsração:a) O produto entre o complexo z = a + bi e seu conju-
gado é igual ao ral a2 + b2.
Se z = 2 + 3i, então
explo:n Dados os complxos:z1 = 4 – 6i, z2 = 2 + 3i e z3 = 3 + i, determine:
a)
Solução:
b)
Solução:
POTêNCIAS De in Vja algumas potências d i:
n
Por isto podemos armar que para n ≥ 4 tm-sin = ir, ond r é o rsto da divisão d n por 4.
exmplo:n Calcul as sguints potências d i:
a) i91
Solução:i91 = i3 = -i
z a bi= -
1
2
z
z
2z
3z
91 4-3- 22
O primiro a constatar anaturza stranha dsssnúmros foi Girolao Car-dano, (1501-1576), Cardanopublicou um tratado d l-gbra intitulado Ars Magna,ond aprsntou xmplosd númros complxos quchamou de “cticios”.
A rprsntação gométri-ca dos númros complxosfoi proposta por vrios au-tors, sndo o mais cita-do Jan Robrt Argand,guarda-livros suíço, qu a
descreveu em 1806
Um pouco de História+
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RePReSeNTAÇÃO GRÁFICA De COmPLeXOS
n Seja o número complexo z = a + bi escrito na forma de
par ordenado z = (a, b). Podemos representar z gracamenteno chamado PLANO De ARGAND-GAUSS, como sgu:
Ond:
XOY é o Plano d Argand-Gauss
OX é o eixo Ral
OY é o eixo Iaginário
O ponto P é dnominado Afxo ou Iag
GeOméTRICA De z
n A distância d O até P é chamado Módulo d zindicado por |z|
n O ângulo θ é chamado Argumnto ou Dirção d zindicado por arg(z) móDULO De Um COmPLeXO
n O módulo d um númro complxo = a + bi, é
dado por .
exmplo:
n Calcul o módulo d cada complxo a sguir:
a) Z1 = 4 + 3i Solução:
b) Z3 = -4 - i
Solução:
Obsraçs:
a) O módulo de um número complexo é o “tamanho” da“seta” que o representa gracamente.
b) O módulo de um número complexo é sempre umnúmro ral positivo.
2 24 3 16 9 25 5
Mas foi somente em 1831qu o grand matmti-co almão Carl FridrichGauss, (1777-1855), expôsa toria complta rlativa asss númros. Por isso, oplano complxo é muitasvzs chamado d planoArgand-Gauss.
2 24 3
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Rlaçs tricas no triângulo
ReTÂNGULO1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO
2. ReLAÇõeS méTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO
eXemPLO (1)
n É aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja:
BC
c
A
b
m n
a
h
Ond:
a é a hipotenusa (maior lado);
b c são os catetos (formam o ângulo reto);h é a altura relativa à hipotenusa; é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa;n é a projção ortogonal do catto c sobr a hipotnusa.
n No triângulo rtângulo ABC são vlidas as sguintsrlaçs tricas (entre as medidas mencionadas acima):
ReLAÇÃO 01 - Tora d Pitágoras: O quadrado da hipo-tnusa é igual à soma dos quadrados dos cattos.
a2 = b2 + c2
ReLAÇÃO 02 - O produto ntr a hipotnusa a altura rla-tia à hipotnusa é igual ao produto ntr os cattos.
a . h = b . c
ReLAÇÃO 03 - O uadrado d u catto é igual aoproduto ntr a hipotnusa a projção ortogonal do
catto sobr a hipotnusa.
b2 = a . c2 = a . n
ReLAÇÃO 04 - O uadrado da altura rlatia à hipotnu-sa é igual ao produto ntr as projçs ortogonais doscattos.
h2 = . n ReLAÇÃO 05 - A hipotnusa é igual à soa das projçsortogonais dos cattos.
a = + n
1. Dtrmin as mdidas a, h, n no triângulo rtân-gulo ABC a sguir:
ReSOLUÇÃO:
BC
4
A
3
a
h
n No triângulo rtângulo ABC a sguir, calcul a m-diada da projção ortogonal do catto AC sobr a hipo-tnusa.
eXemPLO (2)
CB
A
3
H5
12
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Ond:
a é a hipotenusa (maior lado);b c são os catetos (formam o ângulo reto);B C são ângulos agudos complmntars, isto é, B + C = 90º;
3. PROPRIeDADeS
1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO
2. RAzõeS TRIGONOméTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO
n É aqul qupossui um ângulo
reto (90º). Dizemosqu o triângulo asguir é rtângulom A, vja:
n No triângulo rtângulo ABC são vlidas as sguintsrlaçs trigonotricas (ntr os lmntos mnciona-
das acima):RAzÃO 01 - Sno do ângulo B: é a razão ntr o cattooposto ao ângulo B a hipotnusa.
RAzÃO 02 - Cossno do ângulo B: é a razão ntr o cattoadjacnt ao ângulo B a hipotnusa.
RAzÃO 03 - Tangnt do ângulo B: é a razão ntr o cat-to oposto o catto adjacnt ao ângulo B.
De modo análogo podemos denir as razões seno, cosseno tangnt do ângulo agudo C.
CA
B
a
b
c
n Obsrv os valors d sno, cossno tangnt dos ângulosagudos B:
Para dois ângulos complmntars B C são vlidas as sguints pro-pridads:
Propridad 01: O sno d um ângulo é igual ao cossno d su com-plmntar.
snB = cos C ou sn C = cos B
Propridad 02: A tangnt d um ângulo é igual ao invrso da tan-gnt d su complmntar.
n Os valors d sno, cossno tangntdos ângulos 30º, 45º e 60º são mostrados natabla a sguir:
4. TABeLA
5. eXemPLO (3)
(UEPA) O mastro CD d um navio é prsoverticalmente por cabos de aço xo na proa(A) e na popa (B), conforme mostra a gura
a sguir. S o cabo BC mede 10 3 m então,
a altura do mastro é:
AB
C
30º
D
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Rsolução do xplo 01.D acordo com a li dos snos,
Dssa forma:
Rlaçs trigonotricas no triângulo
ReTÂNGULOA LeI DOS SeNOS e DOS COSSeNOS
n As lis (Li dos snos Li dos cossnos) constituem-se numa importante ferramenta matemática para o cálculo de me-didas d lados ângulos d triângulos quaisqur, isto é, d triângulos d “forma” arbitrria.
Li dos snos
n Para utilizarmos a li dos snos no clculo da mdida d um ou dois lados d um triangulo, prcisamos conhcr plo m-nos um dos lados o valor dos snos dos ângulos opostos aos lados dsconhcidos.
Vjamos:Dado o triangulo qualqur ABC abaixo,
A
c
a
b
A
C
B
B
C
30º
45º
6
a
Pla li dos snos, tmos:
a
sen A
b
sen B
c
sen C= =
A igualdad das razõs ntr cada um dos lados d um triângulo o sno do rspctivo ângulo oposto é chamada d li dos snos.
explo 1No triangulo abaixo dtrminar a mdida do lado a do triangulo abaixo.
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LeI DOS COSSeNOS
A
C
B
b
c
a
A
C
B
n Para utilizarmos a li dos cossnos no clculo da mdida d um lado d um triangulo, prcisamos conhcr plo mnos ocossno d um dos ângulos o valor d dois dos lados do triangulo.
Vjamos:n Dado o triangulo qualqur ABC abaixo,
n Pla li dos cossnos, tmos:
ACos.c.b.2cba222 −+=
Ou ainda:
Dependendo das informações contidas em uma situação problema, poderemos montar uma das 3 relações para utilizar.
A Li dos cossnos as diçs
“Um dtrminado ngnhiro prcisa fazr a mdi-çõs d um trrno ou d ruas na forma triangular.Um dos lados md 40 mtros, outro md 50 m-tros o ângulo formado por st dois lados é d 60°.Para ncontrar o valor do trciro lado é ncssriofazr uma nova mdição ou podmos simplsmntusar a li dos cossnos.
ACos.c.b.2cba222 −+=
CCos.b.a.2bac222 −+=
+
50
40
60º
B A
C
x
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ARCOSÂngulos coprinto d arcos
1. ARCOS e ÂNGULOS
2. UNIDADeS De meDIDA De ARCOS (e ÂNGULOS)
3. ÂNGULOS NOTÁveIS
n Obsrv a circunfrência λ dcntro O raio R a sguir:
B
A
R
O
R
sentido padrão
n As smi-rtas OA OB dtrminam o ângulo cntral α o arco AB .n O ângulo cntral α é formado plas smi-rtas OA OB possui vértic nocntro O da circunfrência λ.n O arco AB é a part da circunfrência λ limitada plos pontos A B inclusiv.n O ângulo cntral α o arco AB possum a msma mdida, isto é, md α = AB.Not qu os arcos AB BA são difrnts.
n Uma circunferência possui 360º e dividindo-a em 4 (quatro) partes iguais como mostram as guras a seguir, temos:
A E
B
C
D
AB = 90º
B
C
D
A E
AC = 180º
A E
B
C
D
AD = 270º
A E
B
C
D
AE = 360º
n Outra unidad d mdida d ar-cos ângulos é o radiano cujo com-primnto é igual ao d um raio dacircunfrência.
n Portanto, s o raio da circunfrência md 5 cm ntão o comprimnto d um arcod 1 radiano é igual a 5 cm.n Uma circunferência possui aproximadamente 6,28 radianos (rad), pois é a quan-tidad d raios qu podmos colocar na msma, vja:
B
A
R
OR
1 radiano = 1 raio
R
R
R
R
R
R
0,28.R
1. circunferência = 6,28 rad1. circunferência = 2.3,14 rad1 circunfrência = 2.π rad ou 1 circunferência = 360º,ou , ou ainda, dividindo ambos os mmbros por 2,obtmos a rlação d transforação d graus pararadianos vic-vrsa:
180 - π rad
Graus 0º 30º 45º 60º 90º
Radianos 0 rad
n Os ângulos a sguir são muito utilizados m trigonomtria, por isto é muito útil conhcr suas rspctivas mdidas mradianos.
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4. COmPRImeNTO De ARCO 5. COmPRImeNTO DA CIRCUNFeRêNCIA 6. ARCOS CôNGRUOS
7. CICLO TRIGONOméTRICO
n Sja uma circunfrência λ d raioR o arco AB dtrminado plo ân-gulo cntral α. O comprimnto l do
arco AB pod sr calculado por:
n O comprimnto C d uma circun-frência λ d raio R quival ao com-primnto do arco AB dtrminado plo
ângulo cntral α = 360º = 2π rad
n Dois arcos α β são côngru-os quando possum as msmasxtrmidads no ciclo trigono-
métrico difrnciando-s apnaspor um númro k d voltas k ∈ N, isto é:
β = α + 360º . k
β = α + 2 . k . π
Esta é a expressão geral dos arcoscôngruos.
n O ciclo trigonométrico é formado por uma circunfrência d raio unitrio R = 1 um sistma d ixos ortogonais utili-zado para rprsntar arcos AB
B
A
R
O
R
C
A B
O
R
l = α . Rx
Substituindo l = C α = 2π rad ml = α . R, obtmos: C = 2.π . R
Ond:n l é o comprimnto do arco dtr-minado por ;n R é o raio da circunferência;n α é o ângulo cntral qu dtr-mina o arco;n O comprimnto l o raio R d-vm tr a msma unidad.
Ond:n C é o comprimento da circunferência;n R é o raio da circunferência;n π ≅ 3,14,n O comprimnto C o raio R dvm tra msma unidad.
Ond:n O ponto A é a origem de marcação dos arcos;n O sntido horrio indica qu o arco é ngativo, assim como o anti-horrio indicaarcos positivos;n Os arcos podem apresentar mais de uma volta;n O ponto (extremidade) B dos arcos pode localizar-se em um eixo ou quadrante;
30
45
60
150
135
120
300º240
315º225
330210
0º
360
180
90
270
0 A
Dado um arco β qualqur, cha-ma-s priira dtrinaçãopositia d β ao arco α côngruod β que é maior que 0º (0 rad)e menor que 360º (2π rad).
U pouco da histria da Trigonotria.
O signicado da palavra Trigonometria é a medida do triângulo. Dentreos principais prcursors da Trigonomtria na antiguidad dstacam-s:Hiparco de Nicéia (por volta de 180 a 125 a.C. - pode ser considerado opai da Trigonometria), Menelau de Alexandria (100 a.C.), e Ptolomeu (séc.II d.C.). Dentre todas as obras deixadas por esses gênios a mais inuente,signicativa e elegante foi sem dúvida a Syntaxis mathematica, uma obracomposta de 13 livros escrita por Ptolomeu e que mais tarde cou conhe-cida ntr os rabs como o Almajsto
+
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n Para dtrminarmos o sno, cossno tangnt d um arco x no ciclotrigonométrico é ncssrio conhcr os sguints ixos:n O ixo dos snos é o ixo vrtical qu passa plo cntro O da circunfrênciatrigonométrica o ixo dos cossnos é o ixo horizontal qu passa plo msmoponto.n O ixo das tangnts também é vrtical, porém passa plo ponto A da circun-frência, isto é, o ixo é tangnt à circunfrência no ponto A.
Ond:n x é um arco cuja origm é o ponto A a xtrmidad é o ponto P;n A abscissa do ponto P é chamada cosseno de x e é indicada por cos x;n A ordnada do ponto P é chamada seno de x e é indicada por sen x;n Prolongando-s o sgmnto OP obtém-s a tangnt d x, indicada por tgx.
Rlaçs trigotricas fundantais na
CIRCUNFeRêNCIA1. SeNO, COSSeNO e TANGeNTe De Um ARCO NO CICLO TRIGONOméTRICO
2. CRITéRIOS De POSITIvIDADe
x
A
1
1
P
– 1
– 1
tg
sen
coscos x
sen x
tg x
x
O
n Analisarmos os sinais do sno, cossno tangnt d arcos nos quatro quadrants do ciclo trigonométrico m busca dcritérios d positividad.
x
A
x
x
A
P
cos( –)
x
O
sen(+)
tg( –)
x
A
P
cos( –)x
O
sen( –)
tg(+)
x
A
P
cos(+)x
O
sen( –)
tg( –)
1º qUADRANTesen x > 0 (positivo)cos x > 0 (positivo)tg x > 0 (positiva)
3º qUADRANTesen x < 0 (negativo)cos x < 0 (negativo)tg x > 0 (positiva)
4º qUADRANTesen x < 0 (negativo)cos x > 0 (positivo)tg x < 0 (negativa)
2º qUADRANTesen x > 0 (positivo)cos x < 0 (negativo)tg x < 0 (negativa)
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n essa anális pod sr rsuida nosguint sua:
S
T
U
C
U: todos são positios;S: o sno positio;T: a tangnt positia;C: o cossno positio.
grav a fras:USA SemPRe A TUA CABeÇA
x
A
1
1
P
– 1
– 1
tgsen
cos
cos 45º
sen 45º
tg 45º
x
O
0, 7
2
0,7
2
1
20,7
2
20,7
2
explo:
Lbr-s u:
3. vALOReS mÁXImOS e mÍNImOS
n Sja x um arco qualqur.Os valors d sno cossno d x são no mínimo -1 no mximo 1.
n A tangnt d x pod assumir qualqur valorreal, porém não existem as tangentes de 90º, 270ºe seus côngruos.
tg x ∈ R
90º
A
P
90º
O
tg
270º
A
P
270ºO
tg
A tangnt d um arco x xist para todo x difrntde 90º, de 270º e de seus côngruos.em símbolos:
0º 90º 180º 270º 360º
sn 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tg 0não
xist0
nãoxist
0
Obsrv a tabla d valors a sguir:
Trigonotria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais grgos: tri (três), gonos (ân-gulos) e tron (medir). Daí vem seu signicado mais amplo: mdida dos Tri-ângulos, assim através do studo da Trigonomtria podmos calcular as mdidasdos elementos do triângulo (lados e ângulos).Com o uso d triângulos smlhants podos calcular distâncias inacssívis,como a altura d uma torr, a altura d ua pirâid, distância ntr duasilhas, o raio da trra, largura d u rio, ntr outras.
+
euador
N
S
P2
P1
∆λ
φ1
φ2
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http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-matematica-impacto 22/4024 www.portalimpacto.com.br n MATeMáTICA
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Rlaçs trigotricas - Idntidads
TRIGONOméTRICAS1. ReLAÇõeS TRIGONOméTRICAS.
2. ReLAÇÃO FUNDAmeNTAL DA TRIGONOmeTRIA
3. ReLAÇÃO AUXILIAR (1) 4. ReLAÇÃO AUXILIAR (2)
n A scant d u arco x (sec x) é oinvrso do cossno dst msmo arco vic-vrsa.
, com cos x ≠ 0
, com sc x ≠ 0
n A soma dos quadrados do sno cossno d um arcoqualquer é igual a 1 (um).
sn2x + cos2 x = 1
n A soma ntr o quadrado da cotangnt d um arco x aunidad é igual ao quadrado da cosscant do msmo arco.
cotg2x + 1 = cossc2 x
n A soma ntr o quadrado da tangnt d um arco x aunidad é igual ao quadrado da scant do msmo arco.
tg2x + 1 = sc2x
n Dividindo Ambos os mmbros da rlação fundantalda trigonotria sn2x + cos2x = 1 por cos2x, tmos:
n Dividindo Ambos os mmbros da rlação fundantalda trigonotria sn2x + cos2x = 1 por sn2x, tmos:
n A cosscant d u arco x (cossec x)é o invrso do sno dst msmo arco vic-vrsa.
, com sn x ≠ 0
, com sc x ≠ 0
n A cotangnt d u arco x (cotgx) é o inverso da tangente deste mesmoarco vic-vrsa..
, com tg x ≠ 0
, com cot x ≠ 0
Obsraçs:
a) A scant possui o so sinal do cossno;b) A cosscant possui o so sinal do sno;c) A cotangnt possui o so sinal da tangnt.
S
T
U
C
U: todos são positios;S: o sno positio;
T: a tangnt positia;C: o cossno positio.
grav a fras:USA SemPRe A TUA CABeÇA
x
– 1
cosx
senx 1
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Obsração: 5. IDeNTIDADeS TRIGONOméTRICAS
n A tangnt d u arco x é iguala quocint ntr o sno o cossnodst msmo arco.
, co cosx ≠ 0
n A cotangnt d u arco x é igualao quocint ntr o cossno o snodst msmo arco.
, co snx ≠ 0
explo:
(UNEB) Se x pertence ao intervalo
tgx = 2 , ntão cosx val:
a) d)
b) e)
c)
ReSOLUÇÃO:n Como x é um arco do primiro qua-drant todas as razõs trigonométri-cas são positivas.
n Calculamos o cossno d x plarlação:
ALTeRNATIvA (D)
n Calculamos a scant d x pla R-lação Auxiliar 1:
n Idntidads Trigonométricas são igualdads nvolvndo as razõs trigonométri-cas, que são vericadas para todo arco x que podem ser atribuídos a tais razões:
explo:(UCDB) Para todo x ∈ R tal qu , k ∈ Z, expressão cos2x . tg2x + 1 éigual a:
a) d) 2 senx
b) 1 + cosx e) senx + cosx
c) 1
ReSOLUÇÃO:
Como tg2x + 1 = sec2x, tmos: cos2x . tg2x + 1 = cos2x . sc2x = cos2x .
ALTeRNATIvA (C)
engnharia
Trigonomtria é um instrumnto potnt dclculo, qu além d su uso na Matmtica,também é usado no estudo de fenômenos fí-sicos, eltricidad, Mcânica, Música, Topo-graa, Engenharia entre outro.
+
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PONTORta Plano
1. NOÇõeS PRImITIvAS
2. POSIÇõeS ReLATIvAS eNTRe
3. ÂNGULOS eNTRe
n As noçõs primitivas m gomtria são o ponto, a rta o plano conhcidasintuitivamnt.
n Duas rtas
DUAS ReTAS
n Ângulo AOB cuja mdida é α;n
O ponto O é o rtic;n As smi-rtas OA OB são os lados;
ReTA e PLANO
DOIS PLANOS
n Ângulo Didro ou Didro é o ân-
gulo formado ntr dois planos comomostra a figura.
TeODOLITO
O teodolito é um instrumentoóptico de medida utilizado natopografia e na agrimensura pararealizar medidas de ângulos ver-ticais e horizontais
n Rta plano
n Dois planos
plano
αA
ponto
r
rta
r s r ≡s r s
A
Reta Contida
no Plano
Reta Secante
ao Pl ano
Reta Paralela
ao Plano
A
A
r r
B
Secantes ou
Concorrente
Paralelos Coincidentes
r
r
s O
A
B
A
r
+
Diedro
ângulo de elevação
posição do sol
Horizonte = 0º
Norte = 0º
ângulo horizontal
F r e n t e F i c h a
0 3
0 1
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4. eSTUDO DOS ÂNGULOS
4.1. UNIDADe De meDIDA
n O grau é d uma circunfrência.
Obsraçs:a) Uma circunferência possui 360º;b) Um grau possui 60 minutos (60’);c) Um minuto possui 60 segundos (60’’).
4.2. TIPOS De ÂNGULOS.
4.3. BISSeTRIz De Um ÂNGULO
n É a smi-rta qu divid o ângulo ao mio.
4.6. ÂNGULOS FORmADOS POR DUAS PARALeLAS COR-TADAS POR UmA TRANSveRSAL.
4.4. ÂNGULO OPOSTO PeLO véRTICe
n Dois ângulos são opostos plo vértic (OPv) quando seuslados são smi-rtas opostas.
4.5. CLASSIFICAÇÃO
n Ângulos coplntars: dois ângulos α e β são comple-mntars s a soma ntr ls é igual a 90º.
α + β = 90º
n Ângulos suplntars: dois ângulos α e β são sumple-mentares se a soma entre eles é igual a 180º.
α + β = 180º
Obs: Ângulos OPV possum a msma mdida.
α = β
O transfridor é utiliza-
do para mdir ângulos.
1º = 60’1’ = 60’’1º = 3600’’
A smi-rta OM
é a bisstriz doângulo α
α β são ân-gulos opostosplo vértic.
Reto
90º =
Agudo
0º 90º< <
Obtuso
90º 180º< <
Raso ou de Meia Volta
180º =
Cheio ou de Uma Volta
360º=
2
20
M
0
g
cd
ba
s
r
t
h
ef
r / /sn É a smi-rta qudivid o ângulo aomio.
n Ângulos corrspon-dnts são aquls quocupam a msma po-sição um m cada umadas parallas.
n Ângulos cola-trais são aqulsqu s localizamdo msmo ladoda transvrsal.
n Ângulos altr-nos são aqulsqu s localizamm lados difrn-ts da transvrsal.
Possum a msmamdida.
Ângulos Correspondentes(possuem a mesma medida)
a ee
b e f
c eg
d eh
Ângulos Colaterais(são suplementares)
Internos
Externos
c e f
d ee
a eh
b eg
Ângulos Alternos(possuem a mesmamedida)
Internos
Externos
e ec
d e f
a eg
b e
h
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PeRÍmeTROe área de fguras planas
1. PeRÍmeTRO
2. ÁReA De Um POLÍGONO
3. ReTÂNGULO
4. qUADRADO
6. TRIÂNGULOS CASOS eSPeCIAIS
5. TRIÂNGULO
7. TRIÂNGULO eqUILÁTeRO
n Prítro d um polígono éa soma d sus lados.
n Ára é o númro ral positivo qu rprsnta a suprfíci ocupada plopolígono.
n Parallograo
n O prímtro do contorno in-trno dsta TV m qu m sualargura temos 80 cm e em sua al-
tura temos 60 cm é de 280 cm. 80c
60c
b
h A = b . h
b
h
A = b . h
P = 2 . (b + h)
A = l2
P = 4 . l
l
l
ll
b
h
l
l
l
A = p . (p - a) . (p - b) . (p - c)
a
c
b
A =b . h
2
Ond p =a + b + c
2
A =b . c . snα
2
c
α
b
OndA =
l2 . 3
4
P = 3 . l
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0 2 - 0 3
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Aplicações noCaderno de Exercícios
A = π . (R 2 - r2)
8. LOSANGO 9. TRAPézIO
10. CÍRCULO
D
d
OR
A = π . R 2
ond π = 3,14
C = 2. π . R ond π = 3,14
A =(B + b) . h
2
b
B
hA = D . d2
11. SeTOR CIRCULAR
SeTOR CIRCULAR
αR l
A =α . π . R 2
360ºα graus
ond l ocoprinto
do arco
A = l . R 2
Or
R
Prítro do pscoço aisprciso u ImC para dtctar
obsidad, di psuisa.
A mdida do prímtro do pscoço st ajudando médicos aprvr risco d obsidad, apnia do sono hiprtnsão tantom adultos quanto m crianças. Um trabalho publicado na r-vista “Pdiatrics” comprovou a ligação ntr um pscoço maislargo ocorrência d complicaçõs por xcsso d pso.Os médicos argumntam qu a mdida do pscoço é maisprecisa que o conhecido Índice de Massa Corporal (IMC), usa-do para classificar pso normal, sobrpso obsidad
+
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POLÍGONOSrgulars no cotidiano
1. POLÍGONOS
2. POLÍGONOS ReGULAReS e NOmeNCLATURA
5. POLÍGONO ReGULAR INSCRITO
3. SOMA DOS ângULOS InTERnOS
4. ângULO InTERnO
n É mais comum do que se imagi-na encontramos polígonos regula-res no cotidiano, por exemplo:
n É todo polígono que possui lados e ulos coruetesetre si. O ome de um políoo reular será dado de acor-do com seu mero de lados.
n Todo polígono regular é inscritível, istoé, pode ser inscrito em uma circunferência.Na gura a seguir temos um triangulo, umquadrado e um hexágono regular de lado
l inscrito em uma circunferência de raio R.Observe que a circunferência passa por to-dos os vértices do polígono.
n A soma dos ângulos internos de um po-lígono regular de n lados é dada por:
Si = (n − 2).180º
n A medida de um ângulo interno de umpolígono regular de lados é dada por:
As abelhas utilizam-se do he-
xágono regular nas colméias.
Alguns modelos debolas de futeboltambém apresen-tam guras base-adas em polígo-nos regulares.
Triulo equilátero = 3
Quadrado = 4
Petáoo Reular = 5
Exáoo Reular = 6
Heptáoo Reular = 7
Octóoo Reular = 8
Eeáoo Reular = 9
Decáoo Reular = 10
Udecáoo Reular = 11
Dodecáoo Reular = 12
Petadecáoo Reular = 15
Icosáoo Reular = 20
Ai = =Si
n(n - 2) . 180º
n
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4. POLÍGONO ReGULAR CIRCUNSCRITO
n Políoo circuscrito a uma circuferêcia é o que possui seus lados taetes à circuferêcia. Ao mesmotempo, dizemos que esta circunferência está iscrita o políoo.
+ Polígonos na ida cotidiana
Andando plas ruas d qualqur cidad do mundo podmos vr uma grandquantidade de formas que nos lembram os polígonos; uma placa de trânsito,um smforo ou uma faixa d pdstrs. Também m casa vmos numrosasformas poligonais nos objtos qu nos crcam: nos móvis, nos utnsílios dcozinha, nos pisos, nos formatos dos azuljos.
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CONGRUêNCIASe semelhanças de fguras planas
1. SemeLHANÇAS
2. PROPRIeDADeS 3. CONGRUêNCIA
n Dois polígonos são semelhantes quando tem os ângulos internos correspondentes de mesma medida e os ladoscorrespondentes proporcionais.
n A razão entre os perímetrosde dois polígonos semelhantes éigual à constante de proporciona-lidade k.
n Dois polígonos semelhantes são ditos congruentes quando a constantede proporcionalidade é igual a 1 (k = 1) , isto é, seus ângulos e lados corres-pondentes são congruentes.
n Se os polígonos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, escrevemos:
ABCD ≡ A’B’D’C’.
n Os ângulos correspondentes são congruentes:
A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’
n Os lados correspondentes são congruentes:
AB ≡ A ‘B’ , BC ≡ B’C’ , CD ≡ C’D’ e DA ≡ D’ A ‘
n A razão entre as áreas de doispolígonos semelhantes é igual aoquadrado da constante de propor-cionalidade k.
ABCD ~ A’B’D’C’ (lê-se “polígonos ABCD é semelhanteao polígono A’B’D’C’ “)
n Os ângulos correspondentes são congruentes:
A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’
n Os lados correspondentes são proporcionais:
Onde k é uma constante de proporcionalidade chamadade razão de semelhança.
A
B
CD
A
B
CD
A’
B’
C’D’
A’
B’
C’D’
k = == =ABA’B’
BCB’C’
CDC’D’
DAD’A’
k ==AB + BC + CD + DA
A’B’ + B’C’+ C’D’ +D’A’PP’
k 2=ÁReAÁReA’
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+
Iual ao oriial
Na produção de um lme, na gravação de uma novela ou atémesmo na hora de fotografar, captura-se uma imagem seme-lhante à do ambiente natura.
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mATRIzConcito, igualdad opraçs
eSTUDO De mATRIzeS
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OPeRAÇõeS COm mATRIzeS+
n ADIÇÃO
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mATRIzOpraçs aplicaçs
PROPRIeDADeS DA ADIÇÃO DA mATRIz
SUBTRAÇÃO
mULTIPLICAÇÃO De Um NúmeRO POR UmA mATRIz
n Podemos observar que a marca 1 o melhor desem-penho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenhofoi da Amazônia Celular.
■ Defnição: A diferença entre duas matrizes de mes-ma ordem é dada pela soma da primeira com a opostada segunda, ou seja, A - B = A + (-B).
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mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS
PROPRIeDADeS DA mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS
mATRIz INveRSA
+
n Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é cha-mada matriz singular.
Cotribuições das matrizes para a educação
n Na educação como um todo as matrizes também estão presentes. No que diz res-peito à organização da Escola elas se fazem presentes através de quadros compara-tivos de desempenho escolar, assim como tabelas que visam alcançar determinadosobjetivos pedagógicos.nAs matrizes tornam-se material obrigatório de consulta e/ou instrumento de me-dição de desempenho da instituição escolar.n No contato cotidiano com a informática, o aluno tambémse confrontará com as matrizes, e daí a importância deincentivar o contato e o entendimento desta matéria,pois a informática faz parte da realidade do aluno naatualidade.
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DeTeRmINANTeSConcito Rsolução
DeTeRmINANTeS
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PROPRIeDADeS DeTeRmINANTeS
+
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SISTemASLineares (conceito e classifcação)
SISTemAS LINeAReS
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SISTemAS HOmOGêNeOS
ReGRA De CRAmeR
Dado um sistma:
1º Calcula-s o dtA2º Calcula-s o dtrminant das varivis, substituindo-se os seus coecientes pelos termos independentes.3º Cada varivl é a razão ntr su dtrminant odeterminante dos coecientes.
SISTemAS LINeAReS NÃO qUADRADOS
+
nnnn33n22n11n
2nn2323222121
1nn1313212111
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
Adet
xdetx;
Adet
xdetx;
Adet
xdetx 3
3
2
2
1
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