Matrizes Inversas e Matrizes Elementares
Fabio S. Bemfica
EC&T - UFRN
21 de agosto de 2012
Fabio Sperotto Bemfica Matrizes Inversas e Matrizes Elementares
A Inversa de uma Matriz
Definicao
Seja A uma matriz quadrada n × n. Se pudermos encontrar uma matriz Btambem n × n tal que
AB = BA = I ,
entao dizemos que A e invertıvel e que B e a sua inversa. Se nao existiruma matriz B que obedeca a equacao acima, entao A e ditanao-invertıvel ou singular.
Fabio Sperotto Bemfica Matrizes Inversas e Matrizes Elementares
A Inversa de uma MatrizExemplo
Fabio Sperotto Bemfica Matrizes Inversas e Matrizes Elementares
A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.4)
Se B e C sao ambas inversas da matriz A, entao B = C
Proof.
Como B e C sao ambas inversas de A, entaoC = IC = (BA)C = B(AC ) = BI = B.
Sendo assim, usamos A−1 para definir a inversa de uma matriz A qualquer.
Fabio Sperotto Bemfica Matrizes Inversas e Matrizes Elementares
A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.4)
Se B e C sao ambas inversas da matriz A, entao B = C
Proof.
Como B e C sao ambas inversas de A, entaoC = IC = (BA)C = B(AC ) = BI = B.
Sendo assim, usamos A−1 para definir a inversa de uma matriz A qualquer.
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A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.5)
A matriz
A =
[a bc d
]e invertıvel se e somente se ad − bc 6= 0, e sua inversa sera
A−1 =1
ad − bc
[d −b−c a
]
Proof.
A prova fica de exercıcio!
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A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.6)
Se A e B sao matrizes invertıveis de mesmo tamanho, entao AB einvertıvel e
(AB)−1 = B−1A−1
Proof.
A prova e direta. Vejamos se B−1A−1 e a inversa de AB:
B−1A−1AB = B−1B = I .
Da mesma forma ocorre para ABB−1A−1.
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A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.6)
Se A e B sao matrizes invertıveis de mesmo tamanho, entao AB einvertıvel e
(AB)−1 = B−1A−1
Proof.
A prova e direta. Vejamos se B−1A−1 e a inversa de AB:
B−1A−1AB = B−1B = I .
Da mesma forma ocorre para ABB−1A−1.
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A Inversa de uma MatrizExemplo
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A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.8 - Leis dos expoentes)
Se A e uma matriz invertıvel, entao
(a) A−1 e invertıvel e (A−1)−1 = A.
(b) An e invertıvel e (An)−1 = (A−1)n para n = 0, 1, 2, · · ·(c) Para qualquer escalar nao-nulo k, a matriz kA e invertıvel e
(kA)−1 = 1k A−1
Proof.
(a) Como A−1 e a inversa de A, e e unica pelo teorema anterior,entao A e a unica inversa de A−1, sendo que (A−1)−1 = A.
(b) Como A−1A = I e A−1 · · ·A−1A · · ·A−1 = I = (A−1)nAn,entao (An)−1 = (A−1)n.
(c) Se A−1 e a inversa de A, entao ( 1k A−1)(kA) = 1
k kA−1A = I .
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A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.8 - Leis dos expoentes)
Se A e uma matriz invertıvel, entao
(a) A−1 e invertıvel e (A−1)−1 = A.
(b) An e invertıvel e (An)−1 = (A−1)n para n = 0, 1, 2, · · ·(c) Para qualquer escalar nao-nulo k, a matriz kA e invertıvel e
(kA)−1 = 1k A−1
Proof.
(a) Como A−1 e a inversa de A, e e unica pelo teorema anterior,entao A e a unica inversa de A−1, sendo que (A−1)−1 = A.
(b) Como A−1A = I e A−1 · · ·A−1A · · ·A−1 = I = (A−1)nAn,entao (An)−1 = (A−1)n.
(c) Se A−1 e a inversa de A, entao ( 1k A−1)(kA) = 1
k kA−1A = I .
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A Inversa de uma MatrizExpressoes polinomiais envolvendo matrizes
Se A e uma matriz quadrada, digamos m ×m, e se
p(x) = a0 + a1x + · · · anxn
e um polinomio qualquer de grau n, entao definimos
p(A) = a0I + a1A + · · · anAn ,
onde I e a matriz identidade m ×m.
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A Inversa de uma MatrizExemplo
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A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.10)
Se A e uma matriz invertıvel, entao AT tambem e invertıvel e
(AT )−1 = (A−1)T .
Proof.
Como AA−1 = I e IT = I , temos que (AA−1)T = I = (A−1)TAT e,portanto, (AT )−1 = (A−1)T .
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A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.10)
Se A e uma matriz invertıvel, entao AT tambem e invertıvel e
(AT )−1 = (A−1)T .
Proof.
Como AA−1 = I e IT = I , temos que (AA−1)T = I = (A−1)TAT e,portanto, (AT )−1 = (A−1)T .
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Definition
Uma matriz n × n que pode ser obtida da matriz identidade In executandouma unica operacao elementar sobre linhas e chamada matriz elementar
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Exercıcio:
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Operacoes sobre linhas por multiplicacao matricial
Se a matriz elementar E resulta de uma certa operacao sobre linhas em Ime se A e uma matriz m × n, entao o produto EA e a matriz que resultaquando esta mesma operacao sobre linhas e efetuada sobre A.
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Exemplo
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Operacoes e operacoes inversas
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Theorem (Teorema 1.5.2)
Qualquer matriz elementar e invertıvel e a inversa e, tambem, uma matrizelementar.
Proof.
Seja E uma matriz elementar e E0 a matriz que resulta da operacaoinversa de E sobre I . Como E0 opera sobre as linhas de E da mesmaforma que opera sobre as linhas de I , entao E0E = I = EE0.
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Theorem (Teorema 1.5.3 - Afirmacoes equivalentes)
Se A e uma matriz n × n, entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes:
(a) A e invertıvel
(b) A~x = 0 tem somente a solucao trivial. ~x e a matriz colunade entradas x1, x2, · · · , xn
(c) A forma escalonada reduzida por linhas de A e In
(d) A pode ser expressa como um produto de matrizeselementares
Proof.
Feita no quadro.
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Metodo de inversao de matrizes
Conforme vimos, se A e uma matriz n × n invertıvel, existe uma sequenciafinita k de operacoes elementares sobre as linhas de A realizadas pelas kmatrizes elementares E ′i s que leva A a identidade In. Ou seja,
Ek · · ·E2E1A = In .
Pela definicao de inversa, na equacao acima reconhecemos
A−1 = Ek · · ·E2E1 .
Sendo assim, devemos resolver o sistema de equacoes aumentadas
[A | In] ∼ E1 [A | In]
∼ [E1A | E1]...
∼ [In | Ek · · ·E2E1] .
A matriz que obteremos a direta sera a matriz inversa A−1!Fabio Sperotto Bemfica Matrizes Inversas e Matrizes Elementares
Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Metodo de inversao de matrizes
Se nao obtemos a identidade a esquerda e porque a matriz nao einvertıvel. Exemplo: uma linha de zeros a esquerda!
Exemplo:
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Metodo de inversao de matrizes
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Exercıcios Referentes a Secao 1.4 do livro texto
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Exercıcios Referentes a Secao 1.5 do livro texto
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Exercıcios Referentes a Secao 1.5 do livro texto
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Exercıcios Referentes a Secao 1.5 do livro texto
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Respostas
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Respostas
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