Termodinamica Aula 4

Captulo - 4

PRIMEIRA LEI DA

TERMODINMICA

Captulo - 4 - Fundamentos da Termodinmica - pg. - 2

4 - PRIMEIRA LEI DA TERMODINMICA A primeira lei da termodinmica comumente chamada de " lei da conservao da energia". Nos cursos elementares de fsica, o estudo da conservao de energia d nfase s transformaes de energia cintica e potencial e suas relaes com o trabalho. Uma forma mais geral de conservao de energia inclui os efeitos de transferncia de calor e a variao de energia interna. Esta forma mais geral chamada de " Primeira Lei da Termodinmica ". Outras formas de energia podem tambm serem includas, tais como: energia eletrosttica, energia de campos magnticos tenso superficial etc. Energia uma noo familiar, e j conhecemos a maioria dos detalhes sobre ela. Neste captulo vrios aspectos importantes do conceito de energia so analisados alguns dos quais j foram vistos no captulo anterior. A idia bsica, aqui, que a energia pode ser armazenada dentro de um sistema, transformada de uma para outra forma de energia e transferida entre sistemas. Para o sistema fechado a energia pode ser transferida atravs do trabalho e da transferncia de calor. A quantidade total de energia conservada em todas transformaes e transferncias. 4-1 - Primeira Lei para Um Sistema Percorrendo Um Ciclo A primeira lei da termodinmica estabelece que, durante um processo cclico qualquer, percorrido por um sistema, a integral cclica (somatrio sobre todo o ciclo), do calor proporcional integral cclica do trabalho, matematicamente

dd ddQ W== (4.1-1) ou

Q Wciclociclo

== (4.1-2)

A base de todas as leis da natureza a evidncia experimental, e isto verdadeiro, tambm, para a primeira lei da termodinmica. Toda a experincia efetuada at agora provou a veracidade direta ou indiretamente da primeira lei. A primeira lei nunca foi contestada e tem sido satisfeita por muitas experincias fsicas diferentes. Como discutido no captulo 3 a unidade de calor e trabalho, para o sistema internacional, SI, o joule ou seus mltiplos. Outras unidades so freqentemente usadas, tais como aquelas do sistema prtico ingls e do sistema prtico mtrico, respectivamente, BTU (British thermal units) e a kcal (quilocaloria) 1 kcal = 4,1868 kJ 1 BTU = 1,0553 kJ

1 kcal = 3,96744 BTU 1 kw = 860 kcal / h = 3 412 BTU / h

1 hp = 641,2 kcal / h = 2 545 BTU / h


Como exemplo de grandes sistemas industriais, que operam em um ciclo termodinmico, podemos citar as termoelctricas a vapor e os sistemas de refrigerao. Estes dois sistemas so projetados, operados e controlados atravs da anlise termodinmica, mais especificamente atravs dos princpios da primeira lei da termodinmica. A seguir, como motivao, so apresentados os esquemas desses dois sistemas.

Figura 4.1-1a - Sistema termeltrico de uma central de gerao eltrica

Figura 4.1-1b - Sistema de refrigerao por compresso de vapor

4-2 - Primeira Lei para Mudana de Estado de um Sistema A Eq. 4.1-1 estabelece a primeira lei da termodinmica para um sistema operando em um ciclo. Muitas vezes, entretanto, estamos mais interessados a respeito de um processo que em um ciclo. Assim interessante obter uma expresso da primeira lei da termodinmica para um processo. Isto pode ser feito


introduzindo-se uma nova propriedade, a energia total, a qual representada pelo smbolo E. Considere-se um sistema que percorre um ciclo, mudando do estado 1 ao estado 2 pelo processo A e voltando do estado 2 ao estado 1 pelo processo B. Este ciclo est mostrado na Fig. 4.2-1. Da primeira lei da termodinmica temos;

dd ddQ W==

considerando os dois processo que constituem o ciclo separadamente obtemos;

dd dd dd ddQ Q W WA B A B++ == ++ 21

1

2

1

2

2

1

agora, consideremos outro ciclo, com o sistema mudando do estado 1 ao estado 2 pelo mesmo processo A e voltando ao estado 1 pelo processo C como indicado na Fig 4.2-1. Para este ciclo podemos escrever:

dd dd dd ddQ Q W WA C A C++ == ++ 21

1

2

1

2

2

1

Subtraindo a segunda destas equaes da primeira, temos,

dd dd dd ddQ Q W WB C B C-- == -- 21

2

1

2

1

2

1

ou, reordenando

( ) ( )dd dd dd ddQ W Q WB C-- == -- 21

2

1 (4.2-1)

Visto que B e C representam caminhos arbitrrios entre os estados 1 e 2 conclumos que a quantidade (ddQ - ddW) a mesma para qualquer processo entre o estado 1 e o estado 2. Em conseqncia, (ddQ - ddW) depende somente dos estados inicial e final no dependendo do caminho percorrido entre os dois estados. Isto nos faz concluir que a quantidade, (ddQ - ddW ), uma funo de ponto, e portanto, a diferencial exata de uma propriedade do sistema. Essa propriedade a energia total do sistema e representada pelo smbolo E. Assim podemos escrever

dd ddQ W dE-- == ou,

dd ddQ dE W== ++ (4.2-2)

Observe-se que, sendo E uma propriedade, sua diferencial escrita dE. Quando a Eq. 4.2-2 integrada, de um estado inicial 1 a um estado final 2, temos

1Q2 = E2 - E1 + 1W2 (4.2-3)


onde, 1Q2 o calor transferido para o sistema durante o processo do estado 1 para o estado 2, E1 e E2 so os valores inicial e final da energia total do sistema e 1W2 o trabalho efetuado pelo sistema durante o processo. O significado fsico da propriedade E o de representar toda a energia de um sistema em um dado estado. Essa energia pode estar presente em uma multiplicidade de formas, tais como; energia cintica, energia potencial, energia associada estrutura do tomo, energia qumica, etc. No estudo da termodinmica conveniente considerar-se separadamente as energias cintica e potencial, as demais formas de energia do sistema so agrupadas em uma nica varivel, j definida, a energia interna, representada pelo smbolo U. Assim,

E = U + EC + EP (4.2-4) sendo

EC mV==12

2 e EP mgZ== (4.2-5)

onde, m a massa do sistema, V a velocidade, g a acelerao gravitacional e Z a elevao em relao ao referencial adotado para o sistema termodinmico.

A razo para trabalhar separadamente que a energia cintica, (EC), e a energia potencial, (EP), esto associadas a um sistema de coordenadas que escolhemos, e podem ser determinadas pelos parmetros macroscpicos de massa, velocidade e elevao. A energia interna U est associada ao estado termodinmico do sistema. Como cada uma das parcelas uma funo de ponto, podemos escrever

dE = dU + d(EC) + d(EP) (4.2-6)

A primeira lei da termodinmica para uma mudana de estado de um sistema pode, ento, ser escrita como;

dd ddQ dU d EC d EP W== ++ ++ ++( ) ( ) (4.2-7)

Trs observaes podem ser feitas relativa a essa equao: 1 - A energia total, E, realmente existe e podemos fazer uso desta para escrever a primeira lei. Entretanto mais conveniente, em termodinmica, trabalhar separadamente com a energia interna, U, a energia cintica, EC, e com a energia potencial EP . 2 - A equao 4.2-3 e 4.2-7 so de fato o enunciado da conservao de energia. A variao lquida de energia do sistema sempre igual transferncia lquida de energia atravs da fronteira do sistema , na forma de calor e trabalho.

3 - A equao 4.2-3 e 4.2-7 somente tratam com variaes de energia interna, energia cintica e energia potencial. No conseguimos nos informar sobre os valores absolutos dessas quantidades atravs dessas equaes. Se quisermos atribuir valores energia interna, energia cintica e potencial, precisamos admitir estados de referncia e atribuir valores s quantidades nesses estados.


Exemplo 4.2-1 Um sistema inicialmente em repouso sofre um processo no qual recebe uma quantidade de trabalho igual a 200 kJ. Durante o processo o sistema transfere para o meio ambiente uma quantidade de calor igual a 30 kJ. Ao final do processo o sistema tem velocidade de 60 m/s e uma elevao de 50 m. A massa do sistema de 25 kg, e a acelerao gravitacional local de 9,78 m/s2. Determine a variao de energia interna do sistema durante o processo, em kJ. Soluo Conhecemos: Um sistema de massa conhecida sofre um processo recebendo uma quantidade de trabalho e transferindo uma quantidade de calor conhecidos. O sistema est inicialmente em repouso e no estado final tem velocidade de 60 m/s e elevao de 50 m. Obter: Determinar a variao de energia interna do sistema. Hiptese: 1- O sistema sob anlise um sistema fechado, constitudo da massa de 25 kg 2- No estado final o sistema est em equilbrio (velocidade uniforme) anlise: a primeira lei da termodinmica (balano de energia) para o sistema fechado

1 2 1 2Q E W== ++DD ou 1 2 1 2Q U EC EP W== ++ ++ ++DD DD DD

a variao de energia cintica e potencial :

DD DD DDE C m V V E C kgms

E C J== -- == -- ==12

12

25 60 0 4500022

12 2 2

2

2( ) ( )( )

DD DD DDEP mgZ Z EP kgmS

m EP J== -- == -- ==( ) ( ) , ( )( )2 1 225 978 50 0 12225

substituindo os valores numricos na expresso da 1 a lei obtemos o valor de DU,

DD DD DD DDU Q EC EP W U kJ kJ kJ kJ== -- -- -- == -- -- -- -- --1 2 1 2 30 450 12225 200( ) ( , ) ( , ) ( ) == -- ++ == ++DDU kJ87225 200 112775, ,

Comentrios: 1- O sinal positivo de DU indica que a energia interna do sistema aumentou. 2- Deve-se observar cuidadosamente a converso de unidades 3- O balano de energia pode ser obtido pela seguinte planilha

Entradas Variaes Internas Sadas

200 kJ (trabalho)

45,000 kJ (energia cintica)

12,225 kJ (energia potencial) 112,775 kJ

(energia interna)

30 kJ (calor transferido)

200 kJ 170,000 kJ (variao total) 30 kJ


A entrada lquida de energia excede a sada lquida de energia em 170 kJ, e portanto, a energia interna do sistema aumentou.( a energia se conservou ! ) Exemplo 4.2-2

Considere 5 kg de vapor de gua contida no interior do conjunto cilindro-pisto. O vapor sofre uma expanso do estado 1 onde P = 5,0 bar e T=240 oC para o estado 2 onde P=1,5 bar e T=200 oC. Durante o processo 80 kJ de calor transferida para o vapor. Uma hlice colocada no interior do conjunto atravs de um eixo para homogeneizar o vapor, a qual transfere 18,5 kJ para o sistema. O conjunto cilindro-pisto est em repouso. Determinar a quantidade de trabalho transferido para o pisto durante o processo de expanso.

Soluo: - Esquema do problema e o esquema grfico da soluo no plano P-V

hiptese: 1- o vapor o sistema termodinmica fechado. 2- no h variao de energia cintica e potencial. Anlise: O balano de energia para o sistema fechado resulta

1 2 1 2Q U EC EP W== ++ ++ ++DD DD DD , como dos dados do problema, DD DDEC EP== == 0, ento;

1 2 1 2Q U W== ++DD (1) onde, == ++1 2W W Whelice pistao, substituindo na expresso (1)

W Q W m u upistao helice== -- -- --1 2 2 1( ) (2 )

Da tabela de propriedades superaquecidas do vapor de gua obtemos para o estado 1 e 2

u kJ1 27076== , , e u kJ2 26562== ,

substituindo os valores numricos na expresso (2) temos: W kJ kJ kg kJpistao== ++ -- -- -- --( ) ( , ) , ( , , )80 185 50 26562 27076 W kJpistao== ++ 3555, Comentrios: 1) O sinal positivo do trabalho indica que o sistema (vapor de gua) realizou trabalho sobre o meio (pisto) quando o sistema sofreu a expanso 2) Em princpio, o trabalho do pisto poderia ser calculado atravs da expresso Pdv , Entretanto, no possvel utilizar tal equao uma vez que no se conhece a funo P= P(volume), mas to somente, os estados inicial e final.

3) A tabulao do balano de energia para o sistema, resulta:

Entradas Sadas 18,5 kJ (trabalho devido hlice)

80,0 kJ (calor transferido para o sistema) 355,5 kJ (trabalho sobre o pisto)

98,5 kJ 355,5 kJ A sada total de energia, pelo balano de energia, excede a energia de entrada, conseqentemente a energia do sistema diminuiu da diferena, DDU= (98,5 - 355,5) = - 257 kJ


4.3 - PRIMEIRA LEI DA TERMODINMICA EM TERMOS DE FLUXO Muitas vezes vantajoso usar a primeira lei em termos de fluxo, expressando a taxa mdia ou instantnea de energia que cruza a fronteira do sistema como calor e trabalho e a taxa de variao de energia do sistema. Procedendo desse modo estamos nos afastando do ponto de vista estritamente clssico, pois basicamente a termodinmica clssica cuida de sistemas que esto em equilbrio e o tempo no um parmetro importante para sistemas que esto em equilbrio. Entretanto, incluiremos neste texto essas equaes, em termos de fluxo, pois so desenvolvidas a partir dos conceitos da termodinmica clssica e so usadas em muitas aplicaes da termodinmica. Nesta forma, a equao do primeiro princpio para o volume de controle encontra amplas aplicaes na termodinmica, mecnica dos fluidos e transferncia de calor. Consideremos um intervalo de tempo ddt, durante o qual uma quantidade de calor ddQ atravessa a fronteira do sistema, um trabalho ddW realizado pelo sistema, a variao de energia interna DDU, de energia cintica DD(EC) e da energia potencial DD(EP). Da primeira lei, podemos escrever

ddQ = DDU + DDEC = DDEP + ddW

dividindo por ddt teremos a taxa mdia de energia trocada, como calor e trabalho e de aumento de energia do sistema.

dddd dd dd dd

dddd

Qt

Ut

ECt

EPt

Wt

== ++ ++ ++DD DD DD

calculando o limite desses valores quando ddt tende para zero temos

limdd

ddddtQt

Q

==0

, fluxo instantneo de calor

limdd

ddddtWt

W

==0

, potncia

limdd ddt

Ut

dUdt

==0

DD , lim( ) ( )

dd ddtECt

d ECdt

==0

DD , lim( ) ( )

dd ddtEPt

d EPdt

==0

DD

Portanto a primeira lei em termos de fluxo

QdUdt

d ECdt

d EPdt

W

== ++ ++ ++( ) ( )

(4.3-1)

ou

QdEdt

W

== ++ (4.3-2)


Exemplo 4.3-1 Durante a operao de carregamento de uma bateria, a corrente eltrica, I, de 20 ampres, e a tenso, ee, de 12,8 Volts, A taxa de transferncia de calor, Q

, da

bateria para o meio de 10 W. Qual a taxa de aumento de energia interna? Soluo Como no h variao de energia cintica e potencial a equao do primeiro princpio em termos de fluxo pode ser escrita na forma da Eq. 4.3-1

QdUdt

W

== ++ , onde, como sabemos a potncia eltrica dada por:

W i x Wele

== -- == -- == --ee 128 20 256,

portanto a variao de energia interna do sistema (bateria) ser:

dUdt

Q W W W J s== -- == -- -- -- ==

10 256 246( ) /

Do ponto de vista prtico, interessante escrever a equao 4.3-2 na forma

de somatrio para incluir os vrios fluxos de calor e/ou trabalho que podem ocorrer no sistema.

1 2 1 2

== ++Q

dEdt

W (4.3-3)

A figura 4.3-1, mostra um sistema termodinmico sujeito s possveis interaes com o meio, a conveno de sinais usados e o

referencial. Na Fig 4.3-1, SS Q

+ significa calor

liquido entrando no sistema, SS W

+ significa somatrio de trabalho liquido sendo realizado pelo sistema sobre o meio. A direo indicada de calor e trabalho na Fig. 4.3-1 est em acordo com a posio dos termos nas Eqs. 4.3-1, 4.3-2 e 4.3-3.


4.4 - Calor Especfico a Presso Constante e a Volume Constante Vrias propriedades relacionadas energia interna so importantes em termodinmica. Uma delas a entalpia, que j foi definida no captulo 2. Duas outras conhecidas como calor especfico a presso constante, CP, e calor especfico a volume constante, Cnn, sero aqui consideradas. Os calores especficos a presso e a volume constante, so particularmente teis para a termodinmica nos clculos envolvendo o modelo de gs ideal. As propriedades intensivas Cnn e CP so definidas para substncias puras e compressveis simples como sendo a derivada parcial das funes u(T,v) e h(T,P) respectivamente;

CuTnn

nn

== (4.4-1)

ChTP

P

==

(4.4-2)

onde os ndices nn e RR representam respectivamente (volume especfico e presso), variveis fixadas durante a derivao. Valores para Cv e Cp podem ser obtidos por mecanismos estatsticos usando medidas espectroscpicas. Elas podem tambm ser determinadas macroscopicamente atravs de medidas exatas das propriedades termodinmicas. As unidades macroscpicas de Cv e Cp, no sistema internacional, SI, so o kJ/kg-k ou kJ/kg -oC. Para unidades molares, kJ/ kmol-k. Observe que na definio de Cv e Cp esto envolvidas somente propriedades termodinmicas, e portanto Cv e Cp so tambm propriedades termodinmicas de uma substncia. Aproximaes para Lquidos e Slidos

Pode-se observar nas tabelas de propriedades saturadas e de lquido comprimido para a gua que o volume especfico do lquido varia muito pouco com a presso e que a energia interna varia principalmente com a temperatura. Este comportamento exibido por qualquer substncia na fase lquida ou slida. Para simplificar avaliaes envolvendo lquidos ou slidos, freqentemente adotamos a hiptese, bastante razovel em termos de engenharia, que o volume especfico do lquido constante e a energia interna como sendo somente funo da temperatura. A substncia assim idealizada chamada de incompressvel. Assim para uma substncia na fase lquida ou slida, que satisfaz o modelo de substncia incompressvel a energia interna varia somente com a temperatura, e portanto, o calor especfico a volume constante ser funo somente da temperatura. Logo podemos escrever a Eq. 4.4-1 como uma diferencial ordinria tendo em vista que Cv funo somente de uma varivel, a temperatura.

CdudTnn

== (incompressvel) ( 4.4-3)


Pela definio anterior de entalpia, para qualquer substncia, sabemos que ela funo da energia interna, da presso e do volume especfico em qualquer fase, de acordo com a expresso: h = u + Pv Para substncias modeladas como incompressveis, o calor especfico a presso constante CP e a volume constante, Cv so iguais, Pode-se mostrar essa afirmao derivando a equao da entalpia mantendo-se a presso constante, resultando:

hT

dudT

PdvdT

P

== ++ , sendo a substncia incompressvel

a derivada dv = 0 , portanto

hT

dudT

P

== (incompressvel) (4.4-4)

o lado esquerdo da igualdade o calor especfico a presso constante, CP e o lado direito o calor especfico a volume constante de uma substncia incompressvel, Cv. Assim;

C C CPnn == == , para slidos e lquidos (4.4-5)

O calor especfico de alguns slidos e lquidos so dados na tabela 4.4-1 a seguir.

Tabela 4.4-1 - Calor especfico de alguns slidos e lquidos a 25 OC

SLIDOS

Cp kJ/kg-K

rr kg/m3

LQUIDOS Cp kJ/kg-K

rr kg/m3

Alumnio 0,900 2700 Amnia 4,800 602 Cobre 0,386 8900 Etanol 2,456 783 Granito 1,017 2700 Freon - 12 0,977 1310 Grafite 0,711 2500 Mercrio 0,139 13560 Ferro 0,450 7840 Metanol 2,550 787 Chumbo 0,128 11310 leo (leve) 1,800 910 Borracha (macia) 1,840 1100 gua 4,184 997 Prata 0,235 10470 Estanho 0,217 5730 Madeira (maioria) 1,760 350-700

Para pequenos intervalos de variao de temperatura a variao do calor especfico de um lquido ou slido em geral desprezvel e o calor especfico nestes casos pode ser admitido constante sem acarretar erros significativos. Resultado para a entalpia e a energia interna,


dh C dTP== 12

e du C dT== nn 12

como Cp = Cv ento, dh du@@ , para lquidos e slidos Exemplo 4.4-1

Estimar o calor especfico presso constante do vapor d'gua a 6,0 MPa e temperatura de 375 OC.

Soluo: Se considerarmos uma mudana de estado presso constante sobre um pequeno intervalo de temperatura, que envolva a temperatura dada, a Eq. 4.4-2 pode ser escrita como:

ChTP

P

@@

DDDD

(1)

das tabelas de propriedades da gua para vapor superaquecido na presso

de 6,0 MPa, temos para T = 350 OC h = 3043,0 kJ/kg para T = 400 OC h = 3177,2 kJ/kg substituindo na expresso (1) temos;

C CkJ

kg kP P@@

----

@@ @@--

31772 30430400 350

134250

2684, , ,

,

Obs. Foram usadas as temperaturas de 350 OC e 400 OC por inclurem a temperatura de 375 OC no intervalo, e por serem os valores tabelados mais prximos temperatura de 375 OC

Exemplo 4.4-2 Uma barra de metal cuja massa de 0,30 kg removida de um forno temperatura inicial de 927 OC e imersa em um tanque contendo uma massa de 9,0 kg de gua com temperatura de 27 OC. Cada substncia pode ser modelada como incompressvel. Um valor apropriado para o calor especfico da gua 4,184 kJ/kg-OC e do metal 0,42 kJ/kg-K. O calor transferido do tanque para o meio externo pode ser desprezado. Determinar a temperatura final de equilbrio do sistema. Soluo:: conhecido: uma barra de metal colocada em imerso em um tanque com gua


determinar: temperatura final de equilbrio da gua e do metal hipteses: 1- a barra de metal e a gua no interior do tanque formam o sistema fechado 2- o sistema termicamente isolado 3- no h variao de energia cintica e potencial 4- a gua e a barra de metal sero modeladas cada uma como substncias incompressveis com valores conhecidos de calor especfico

A temperatura final de equilbrio pode ser avaliada de um balano de energia para sistema fechado

1 2 2 1 1 2Q U U EC EP W== -- ++ ++ ++( ) DD DD das hipteses 2 e 3 resulta que, 1Q2 = 1W2 = DEC = DEP = 0. Como a energia interna uma

propriedade extensiva, seu valor para todo o sistema a soma dos valores da gua e do metal. Assim o balano de energia fica:

DD DDU Uagua metal] ]++ == 0

considerando o metal e a gua como incompressveis podemos escrever as variaes de energia interna em funo da temperatura e dos respectivos calores especficos, logo

m C T T m C T Ta a f ia m m f im( ) ( )-- ++ -- == 0

onde Tf a temperatura final de equilbrio, Tia e Tim so as temperaturas iniciais da gua e metal respectivamente, resolvendo para Tf e substituindo os valores numricos, temos:

Tm C T m C T

m C m Cfa a ia m m im

a a m m

==++++

Tkg kJ kg C C kg kJ kg C C

kg kJ kg C kg kJ kg Cfo o o o

o o==-- ++ --

-- ++ --90 4184 27 03 042 927

90 4184 03 042, ( ) , ( / ) ( ) , ( ) , ( / ) ( )

, ( ) , ( / ) , ( ) , ( / )

T Cfo== 30

como o sistema termodinmico est em equilbrio, esta a temperatura final da gua e da barra de metal

Exemplo 4.4-3 Um conjunto mbolo cilindro, como mostrado na figura, contm no seu interior palha de ao em uma atmosfera de oxignio puro. O peso do mbolo e a presso externa mantm a presso interna do conjunto constante e igual a 1,0 bar. O ferro da palha de ao reage muito lentamente com o oxignio para formar Fe2O3. Calor removido do sistema de modo a manter a temperatura constante e igual a 25 OC. Para a reao de 2 moles de ferro, 2Fe + 1,5O2 Fe2O3, necessrio remover 831,08 kJ de calor. Adotando como sistema o oxignio e a palha de ao calcular: W e DU para o processo.

Soluo: Hipteses:

1- O sistema (oxignio + palha de ao) est em repouso 2- Tanto o Fe como o Fe2O3 so slidos, podemos considera desprezvel


o volume ocupados por eles, 3- O oxignio se comporta como gs ideal, portanto, P Tnn

_

== Da hiptese 2 e 3, para a condio inicial e final do sistema podemos escrever:

P T1 1 1nn_

== , P T2 2 2nn_

== , entretanto, V nv= , onde nn_

o volume molar, V o volume total ocupado pelo sistema (volume do oxignio), e " n " o nmero de moles do oxignio substituindo o volume molar e subtraindo a primeira da segunda equao temos:

P V P V n T n T2 2 1 1 2 2 1 1-- == --

da equao de reao qumica, para formar os dois moles de Fe2O3 so necessrios 1,5 moles de oxignio. Observe que essa quantidade de oxignio consumida no processo para formar o Fe2O3, que um slido com volume desprezvel comparado ao volume total do sistema.

P V V n n T( ) ( )2 1 2 1-- == --

assim a variao do volume do sistema resulta: DD DDV n TP

==

a) O trabalho do sistema devido variao do volume ser

1 2 1

2

1

2W PdV P dV P V P n

TP

n T== == == ==

== DD DD DD

== ----

++1 2 151

10008314 25 27315W mols

kmolsmols

JKmols K

K, ( )( )

( )( )( , )( )

== -- == --1 2 371823 372W J kJ, ,

Trabalho negativo, significa que o mbolo realizou trabalho sobre o sistema

b) Da primeira lei para o sistema temos

1 2 1 2Q U EC EP W== ++ ++ ++DD DD DD , da 1a hiptese , DEC = DEP = 0

DDU Q W kJ kJ kJ== -- == -- -- -- == --1 2 1 2 83108 372 82736( , ) ( , ) ,

Onde o sinal negativo indica que houve uma diminuio da energia interna do sistema que reflete a variao nas energias de ligao provocada pela reao qumica Exerccios 4-1) - Um tanque contendo um fluido agitado por uma hlice como mostrado na figura. O trabalho aplicado hlice de 1280 kcal. O calor transferido do tanque para o meio de 378 kcal. Considerando o tanque e o fluido como sistema, determinar a variao de energia interna do sistema, em kJ. Resposta DU = 3 738,8 kJ


4-2) - Considere um tanque contendo um volume de gua de 400 litros temperatura de 28,96 0C e na presso atmosfrica ao nvel do mar (760 mmHg ). A gua do tanque aquecida atravs de uma resistncia eltrica at que sua temperatura atinja 45,81 0C. determine a quantidade de energia, transferida para o sistema, em kcal.

Resposta Energia = 680,2 kcal 4-3) - Considere um conjunto cilindro-mbolo, como mostrado

na figura. O sistema contm 10 kg de gua temperatura de 36,16 O C e presso absoluta de 1,5 bar. Calor transferido para o sistema at se obter vapor saturado seco (x=1). Determinar a quantidade de calor transferida gua no processo, em kcal.

Resposta Q = 5 656,3 kcal 4.4) - A taxa de calor transferida de um motor eltrico, em funcionamento,

para o ambiente varia com o tempo conforme a expresso a seguir, )1.(02 05,0 teQ -

--= ,

onde, t o tempo em segundos, e a taxa de calor, Q, em kJ. O eixo do motor

tem rotao constante de ww = 100 rad / s e aplica, a uma carga externa, o torque de 18 N.m. O motor consome uma potncia eltrica constante de 2,0 kw. Obtenha uma expresso para a taxa de variao de energia total do motor (dE / dt).

Resposta, dEdt

== 02, .e t( , )--0 05 4-5) - Um recipiente que tem um volume de 5 m3 contm 0,05 m3 de lquido

saturado de gua e 4,95 m3 de vapor de gua saturada, a 10 bar. Calor transferido at que o recipiente contenha somente vapor saturado seco. Determinar o calor transferido para o sistema.

4- 6) - Um coletor solar residencial possui uma rea de 5,00 m2. A radiao solar mdia em um dia de cu limpo de 1000 W/m2 no plano do coletor solar. O coletor solar aquece a gua de um tanque termicamente isolado, o qual tem capacidade de 400,0 litros como mostra a Figura. Entre o tanque e o coletor solar existe uma bomba que faz com que a gua circule pelo coletor com uma vazo de 0,020 l/s. Admitindo-se rendimento trmico do coletor solar, hh = 45% e que o trabalho da bomba (potncia) desprezvel pede-se: Qual ser a temperatura da gua no tanque s 15 horas se s 8 horas a temperatura no tanque era de 20C ? (admita temperatura uniforme da gua no tanque). 4.5 - Energia Interna, Entalpia e Calor Especfico para Gs ideal

Para gases que obedecem o modelo de gs ideal, a energia interna especfica funo somente da temperatura, como mostrou Joule atravs de uma


experincia clssica da termodinmica em 1843. Assim , o calor especfico a volume constante, Cv, definido pela Eq. 4.4-1 funo somente da temperatura, e pode ser escrito como:

C TdudTnn

( )== (4.5-1)

ou separando as variveis, o valor da energia interna especfica para o gs ideal fica:

du C T dT== nn ( ) (4.5-2)

integrando a Eq. 4.5-2 desde a temperatura T1 at T2 obtemos:

u T u T C T dTT

T( ) ( ) ( )2 1

1

2

-- == nn (4.5-3)

A entalpia especfica foi definida no captulo 2 como:

h = u + Pv

Entretanto, para um gs ideal a equao de estado P-v-T, como j visto :

P RTnn == substituindo o valor do produto Pv na equao de definio da entalpia, temos;

h u RT== ++ (4.5-4)

A Eq. 4.5-4 mostra que no caso de gs ideal a entalpia especfica tambm funo somente da temperatura. Assim da Eq. 4.4-2 de definio do calor especfico a presso constante, resulta para o gs ideal:

C TdhdTP

( ) == (4.5-5)

ou dh C T dTP== ( ) (4.5-6)

integrando a Eq. 4.5-6 desde a temperatura T1 at T2 obtemos;

h T h T C T dTpTT

( ) ( ) ( )2 11

2

-- == (4.5-7)

Uma relao importante entre os calores especficos dos gases ideais pode ser obtida, diferenciando a Eq. 4.5-4 em relao temperatura

dhdT

dudT

R== ++ (4.5-8)

substituindo o calor especfico, obtemos: C T C T Rp( ) ( )-- ==nn (4.5-9)

ou na base molar

C T C TP_ _

( ) ( )-- == nn (4.5-10)


Assim os calores especficos para um gs ideal diferem apenas do valor da constante particular do gs. Como R sempre positivo ento, Cp > Cv e conseqentemente C CP

_ _

>> nn , Para um gs ideal o expoente da transformao isoentrpica, k, (PV cons tek == tan ), funo somente da temperatura, por definio

kC TC T

P( )( )nn

(4.5-11)

Como Cp > Cv segue-se que k >1. Combinando a Eq. 4.5-9 com a Eq. 4.5-11 resulta

C Tk RkP

( ) ==--1

(4.5-12)

C TR

knn( ) ==

--1 (4.5-13)

Os calores especficos para gases que tem comportamento de gs ideal, necessitam de equaes como funo da temperatura. Uma dessas equaes a seguinte:

CT T T T

P

_

== ++ ++ ++ ++aa bb gg dd ee2 3 4 (4.5-14)

onde a tabela 4.5 -1 fornece valores de aa, bb, gg, dd e ee para alguns gases na faixa de temperatura de 300 a 1000 K. No limite quando a presso tende para zero todos os gases tendem ao comportamento de gs ideal.

Tabela 4.5 -1 variao de CP_

com a temperatura para alguns gases Ideais

Gs aa bb x 103 gg x 106 dd x 109 ee x 1012

CO 3,710 -1,619 3,692 -2,032 0,240 CO2 2,401 8,735 -6,607 2,002 0,000 H2 3,057 2,677 -5,810 5,521 -1,812 H2O 4,070 -1,108 4,152 -2,964 0,807 O2 3,626 -1,878 7,055 -6,764 2,156 N2 3,675 -1,208 2,324 -0,632 -0,226 AR 3,653 -1,337 3,294 -1,913 0,2763 SO2 3,267 5,324 0,684 -5,281 2,559 CH4 3.826 -3,979 24,558 -22,733 6,963 C2H2 1,410 19,057 -24,501 16,391 -4,135 C2H4 1,426 11,383 7,989 -16,254 6,749 Gases monoatmicos

2,5

0

0

0

0

Para gases monoatmicos, tais como He, Ne, Ar, C P constante em uma grande faixa de temperatura sendo aproximadamente igual a 5 / 2.


Exemplo 4.5-1 Determine a variao da entalpia especfica , em kJ/kg para o vapor de gua quando este sofre um processo desde o estado 1 onde T1 = 400 K e P1 = 0,1 MPa at o estado 2 onde T2 = 900 K e P2 = 0,5 MPa, por meio de: a) tabelas de vapor superaquecido da gua b) por integrao usando o modelo de gs ideal, com o calor especfico dado pela Eq. 4.5-14. c) repita o item " a " e " b " para presso final de 10 MPa. Resposta:

a) Da tabela de vapor superaquecido temos h1 = 2730,5 kJ/kg e h2 = 3762,2 kJ/kg , ento;

h2 - h1= 1031,7 kJ/kg

b) Substituindo a expresso de CP_

, na Eq. 4.5-7 , temos

h hM

T T T T dTT

T

2 12 3 4

1

2

-- ==

++ ++ ++ ++ ( )aa bb gg dd ee integrando,

h hM

T T T T T T T T T T1 1 2 1 22

12

23

23

24

24

25

15

2 3 4 5-- ==

-- ++ -- ++ -- ++ -- ++ --

aabb gg dd ee

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=83141802

4070900 4001108210

900 4004152310

900 40032 2

63 3,

,{ , ( )

,( )

[( ) ( ) ],( )

[( ) ( ) ]-- -- -- ++ --

-- -- ++ --2964410

900 4000807510

900 40094 4

125 5,

( )[( ) ( ) ]

,( )

[( ) ( ) ]}

h h kJ kg2 1 10250-- == , /

A diferena percentual da variao de entalpia calculada pelos dois mtodos de 0,65%, que bem prxima do valor obtida atravs da tabela.

c) O valor de h1 o mesmo do item a. Para presso de 10 MPa e T= 900 K

obtemos, da tabela de vapor superaquecido por interpolao h3 = 3691,72 kJ/kg, logo

h3 - h1 = 961,19 kJ/kg O valor a ser obtido atravs da integrao ser o mesmo do item b) pois o calor especfico funo somente da temperatura. Somente a presso diferente do caso anterior. O valor obtido com o modelo de gs ideal, agora, resulta 7% maior que o valor obtido atravs da tabela. Sem dvida, os resultados do modelo de gs ideal para o item b) onde a presso era de 0,5 MPa era esperado, pois como sabemos " todo gs tende a gs ideal quando a presso tende para zero "

Para o caso da presso de 10 MPa , que 20 vezes maior que o caso anterior, um desvio maior em relao ao valor correto era esperado.


4.6 - Conservao de Massa Na seo anterior consideramos o primeiro princpio da termodinmica para um sistema que sofre uma mudana de estado. Um sistema j foi definido como tendo uma quantidade fixa de massa. Surge agora uma pergunta: variar a massa do sistema quando houver variao de energia do sistema? Se isto acontecer, ento a nossa definio de sistema como tendo uma quantidade fixa de massa no mais ser vlida, quando variar a energia do sistema. Da teoria da relatividade, sabemos que a massa e a energia esto relacionadas pela equao bastante conhecida

E mC== 2 (4.6-1)

onde C a velocidade da luz, m a massa e E a energia. Conclumos a partir dessa equao que a massa de um sistema varia quando sua energia varia. Calculemos a grandeza dessa variao de massa para um problema tpico e determinemos se essa variao ou no significativa. Consideremos um recipiente rgido que contm 1,0 kg de uma mistura estequiomtrica de um hidrocarboneto combustvel (por exemplo, gasolina, C8H18) e ar, que constitui o nosso sistema. Do nosso conhecimento do processo de combusto, sabemos que aps a realizao desse processo, ser necessrio transferir cerca de 2900 kJ de calor do sistema para o meio para que seja restabelecida a temperatura inicial do sistema. Do primeiro princpio 1 2 2 1 1 2Q U U W== -- ++ como, 1W2 = 0, e 1Q2 = - 2 900 kJ , conclumos que a energia interna do sistema decresceu de 2 900 kJ durante o processo de troca de calor. Calculemos, agora, a diminuio de massa durante o processo, utilizando a Eq. 4.6-1. A velocidade da luz 2,9979x108 m/s. Portanto 2 900 000 (J) = m (kg) . (2,9979x108(m/s))2 m = 3,23 x10 -11 kg Portanto, quando a energia do sistema varia de 2 900 kJ a reduo de massa do sistema ser de 2,23 x 10 -11 kg. Uma variao de massa dessa ordem de grandeza no pode ser detectada pela balana analtica de maior preciso. Certamente, uma variao relativa de massa dessa ordem de grandeza est alm da preciso requerida essencialmente para todos os clculos da engenharia. Portanto se usarmos as leis de conservao de massa e energia como leis independentes no introduziremos erros significativos na grande maioria dos problemas termodinmicos, e nossa definio de sistema, tendo uma massa fixa, pode ser usado mesmo que haja variao de energia do sistema.


4.7 Conservao de Massa e o Volume de Controle Volume de controle um espao que nos interessa para um estudo ou anlise particular, igualmente como foi definido anteriormente para o sistema termodinmico. O espao demarcado pela superfcie de controle, sendo esta uma superfcie fechada. Como para o sistema, o volume de controle pode ter uma superfcie de controle real ou imaginria, fixa ou mvel rgida ou flexvel. Entretanto a superfcie deve ser determinada em relao a algum sistema de coordenadas. A massa bem como o calor e o trabalho podem atravessar a superfcie de controle, e a massa contida no interior do volume de controle, bem como suas propriedades, podem variar no tempo.

A Fig. 4.7-1 mostra o esquema de um volume de controle com transferncia de calor, trabalho de eixo, acumulao de massa dentro do volume de controle e movimento de superfcie. O princpio de conservao de massa para o volume de controle introduzido usando-se a Fig. 4.7-2, a qual mostra um sistema (linha contnua) constitudo de uma quantidade fixa de matria , m, que ocupa diferentes regies no tempo " t " e no tempo " t+dt ". No seu interior temos o volume de controle, (delimitado pelas linhas tracejadas). No tempo " t " a quantidade de massa dentro do sistema, m, sob considerao a soma

m m t mVC e== ++( ) dd (4.7-1)

onde mVC(t) a massa contida dentro do volume de controle e ddme a massa dentro da pequena regio denominada " e " adjacente ao volume de controle como mostrado na Fig. 4.7-2a . Analisemos, agora, o que ocorre com a quantidade fixa de matria " m " no decorrer do intervalo de tempo dt

Figura 4.7-2 - Ilustrao usada para desenvolver o princpio da conservao de massa para o volume de controle a) tempo " t " b) tempo " t+dt "

Figura 4.7-1 diagrama esquemtico de um volume de controle


No intervalo de tempo dt, toda massa na regio " e " atravessa a superfcie do volume de controle, enquanto um pouco de massa , chamada de ddms, inicialmente contida dentro do volume de controle, sai para encher a regio denominada " s " adjacente ao volume de controle como mostra a Fig. 4.7-2b. No instante de tempo t+dt a quantidade de matria sob considerao no sistema pode ser expressa pela equao:

m m t dt mVC S== ++ ++( ) dd (4.7-2)

Observe que as quantidades de massa nas regies " e " e " s " no so necessariamente iguais e que, a quantidade de matria dentro do volume de controle pode ter variado. Embora o sistema sob considerao ocupe diferentes regies no espao em tempos diferentes, ele contm a mesma quantidade de massa. Assim,

m t m m t dt mVC e VC s( ) ( )++ == ++ ++dd dd ou rearranjando,

m t dt m t m mVC VC e s( ) ( )++ -- == --dd dd (4.7-3)

A Eq. 4.7-3 uma " contabilidade " do balano de massa, a qual afirma que a variao de massa dentro do volume de controle durante o intervalo de tempo dt igual quantidade de massa que entra menos a quantidade de massa que sai do volume de controle. A Eq. 4.7-3 pode ser expressa na base de taxa. Primeiro dividindo-a por dt para obter:

m t dt m tdt

mdt

mdt

VC VC e s( ) ( )++ -- == --dd dd

(4.7-4)

O lado esquerdo desta equao a taxa mdia no tempo da variao de massa dentro do volume de controle durante o intervalo de tempo dt. Os termos do lado direito, envolvendo a massa que cruza a superfcie de controle, so as taxas mdias no tempo do fluxo mssico durante o mesmo intervalo de tempo dt. A equao para a taxa instantnea de massa obtida tomando-se o limite de dt tendendo para zero na Eq. 4.7-4. No limite o volume de controle e o sistema coincidem. Assim, o limite do termo do lado esquerdo da Eq. 4.7-4 :

lim( ) ( )

dt

VC VC VCm t dt m tdt

dmdt

++ --

==

0

Onde, dm

dtVC a taxa de variao de massa dentro do volume de controle no

tempo t. No mesmo limite, quando dt tende para zero, os termos do lado direito da Eq. 4.7-4 tornam-se respectivamente;


limdt

ee

mdt

m

==0

dd, lim

dt

ss

mdt

m

==0

dd

Nesta expresso me

e ms

, so as taxas instantneas de escoamento de massa na entrada e sada, respectivamente, no volume de controle. Em resumo a Eq. 4.7-4 quando dt 0 ,

dmdt

m mVC e s== --

(4.7-5)

Em geral podem existir vrias localizaes na superfcie de controle atravs das quais a massa pode entrar ou sair. Assim, a Eq. 4.7-5 reescrita introduzindo-se o somatrio nos termos do lado direito da equao, como na Eq. 4.7-6

dm

dtm mVC e

es

s

== --

( 4.7-6)

A Eq. 4.7-6 constitui a expresso geral do balano de massa para um volume de controle, admitindo-se a hiptese de escoamento uniforme dos fluxos de massa na entrada e sada do volume de controle.

Vamos considerar um outro aspecto do escoamento de massa atravs de uma superfcie de controle. Para simplificar, admitamos que um fluido esteja escoando uniformemente no interior de um tubo ou duto como mostrado na Fig. 4.7-3. Desejamos examinar o escoamento em termos de quantidade de massa que cruza a superfcie, A durante o intervalo de tempo dt.

Conforme se observa na Fig. 4.7-3, o fluido se move de uma distncia dx durante esse intervalo, e portanto o volume de fluido que cruza a superfcie A Adx. Conseqentemente a massa que atravessa a superfcie A dada por

dmAdx

==nn

onde nn, o volume especfico do fluido, se agora, dividirmos ambos os membros dessa expresso por dt e tomarmos o limite para dt 0, o resultado ser:

mAV

==

r

nn (4.7-7)

onde rV a velocidade. Deve-se observar que este resultado, a Eq. 4.7-7, foi

desenvolvido para uma superfcie de controle estacionria A, e que, tacitamente admitimos que o escoamento era normal superfcie e uniforme atravs da superfcie. Deve-se tambm considerar que a Eq. 4.7-7 se aplica a qualquer uma das vrias correntes de escoamento que entra e sai do volume de controle , sujeito s hipteses mencionadas.

Figura 4.7-3 - escoamento atravs de uma superfcie de controle estacionria


Exemplo 4.7-1 Ar est escoando no interior de um tubo de 0,2 m de dimetro velocidade uniforme de 0,1 m/s. A temperatura e a presso so 25 OC e 150 kPa. Determinar o fluxo de massa .

Soluo

Da equao mAV

==r

nn, e usando o modelo de gs ideal para o ar, temos:

nn nn==

==++

==M

TP

mkg

83142897

25 27315150000

057043

,( , )

,

a rea da seo transversal do tubo : Ad

m== == ==pp pp2 2 24

024

00314( , )

,

portanto,

mx

kg s

== ==00314 01

0570400055

, ,,

, /

4.8 - Primeira Lei da Termodinmica para o Volume de Controle J consideramos a primeira lei da termodinmica para um sistema, que consiste numa quantidade fixa de massa e mostramos que para um processo ela pode ser representada pela Eq. 4.2-3, isto

1 2 2 1 1 2 == -- ++Q E E W (4.2-3)

Vimos tambm que, dividindo por dt, ela pode ser escrita em termos de uma equao de fluxo mdio num intervalo de tempo dt, como na Eq. 4.8-1

1 2 2 1 1 2Qdt

E Edt

Wdt ==

--++ (4.8-1)

A fim de escrever a primeira lei em termos de fluxo para um volume de

controle, procedemos de modo anlogo ao usado para deduzir a equao da conservao da massa em termos de fluxo. Na Fig. 4.8-1 vemos um sistema e um volume de controle. O sistema formado por toda a massa inicialmente contida no volume de controle mais a massa ddme.


Consideremos as mudanas que ocorrem no sistema e volume de controle durante o intervalo de tempo dt. Durante esse intervalo de tempo, dt a massa ddme entra no volume de controle atravs da rea discreta Ae e a massa ddms sai atravs da rea discreta As. Em nossa anlise admitiremos que o incremento de massa ddme tem propriedades uniformes, o mesmo ocorrendo com ddms. O trabalho total realizado pelo sistema durante o processo, ddW, o associado s massas ddme e ddms cruzando a superfcie de controle, que comumente chamado de trabalho de fluxo, e o trabalho Wv.c que inclui todas as outras formas de trabalho, tais como associadas com eixo que atravessa a fronteira, foras de cisalhamento, efeitos eltricos, magnticos, ou superficiais, expanso ou contrao do volume de controle. Uma quantidade de calor, ddQ, atravessa a fronteira do sistema durante dt.

Consideremos agora cada termo da primeira lei da termodinmica escrita para sistema e transformemo-lo numa forma equivalente, aplicvel ao volume de controle. Consideremos primeiramente o termo E2 - E1.

Seja Et = energia do volume de controle no instante t

Et+ dt = a energia no volume de controle no instante t+dt

Ento

E1 = Et + eeddme = a energia do sistema no instante t E2 = Et+ dt + esddms = a energia do sistema no instante t+dt

Portanto,

E2 - E1 = Et+ ddt + esddms - Et - eeddme = (Et +ddt - Et) + (esddms - eeddme) (4-8-2) O termo (esddms - eeddme) representa o fluxo de energia que atravessa a superfcie de controle durante o intervalo de tempo, dt, associado s massas ddms e ddme cruzando a superfcie de controle. Consideremos com maior detalhe o trabalho associado s massas ddme e ddms que cruzam a superfcie de controle. O trabalho realizado pela fora normal (normal rea A) que age sobre a ddme e ddms quando estas massas atravessam a superfcie de controle. Essa fora normal igual ao produto da tenso normal - ssn, pela rea A. O trabalho realizado :

-ssn A dl = - ssnddV = - ssnnn ddm (4.8-3)

Uma anlise completa da natureza da tenso normal, ssn, para fluidos reais, envolve a presso esttica, e efeitos viscosos e est fora do objetivo deste texto. Admitiremos, neste texto, que a tenso normal, ssn, num ponto igual presso

Figura 4.8-1 Diagrama esquemtico para a anlise de um volume de controle segundo a primeira lei mostrando calor, trabalho e massa atra- vessando a superfcie d e controle


esttica, P, e simplesmente notaremos que esta hiptese bastante razovel na maioria das aplicaes e que conduz a resultados de boa preciso.

Com essa hiptese, o trabalho realizado sobre a massa ddme para introduzi-la no volume de controle Penneddme e o trabalho realizado pela massa ddms ao sair do volume de controle Psnnsddms. Chamaremos a esses termos TRABALHO DE FLUXO. Na literatura encontramos muitos outros termos, como escoamento de energia, trabalho de introduo e trabalho de expulso.

Ento, o trabalho total realizado pelo sistema durante, dt, ser;

dd dd nn dd nn ddW W P m P mv c s s s e e e== ++ --. ( ) (4.8-4) dividamos, agora, as Eq. 4.8-2 e 4.8-4 por dt e substituamos na primeira lei Eq. 4.8-1. Combinando os termos e rearranjando,

dd ddnn

ddnn

ddddQdt

mdt

e PE E

dtmdt

e PWdt

ee e e

t t t ss s s

v c++ ++ ==--

++ ++ ++++( ) ( ) . (4.8-5)

Cada um dos termos de fluxo mssico dessa expresso pode ser rescrito na forma:

e P u PV

gZ hV

gZ++ == ++ ++ ++ == ++ ++nn nn2 2

2 2 (4.8-6)

usando a definio de entalpia especfica dada pela Eq. 2.2-2.

Deve ser ressaltado que o aparecimento da combinao (u + Pnn) sempre que h fluxo de massa atravs de uma superfcie de controle a principal razo para se definir a propriedade entalpia. A sua introduo antecipada relacionada com o processo a presso constante, foi feita para facilitar o uso das tabelas de propriedades termodinmicas naquela altura. Utilizando-se a Eq. 4.8-6 para as massas entrando e saindo do volume de controle, a Eq. 4.8-5 torna-se

dd dd dd ddddQdt

mdt

hV

gZE E

dtmdt

hV

gZWdt

ee

ee

t t t ss

ss

v c++ ++ ++ ==--

++ ++ ++ ++++( ) ( ) .2 2

2 2 (4.8-7)

Para reduzir essa expresso a uma equao em termos de fluxo,

consideremos o que acontece a cada um dos termos da Eq. 4.8-7 quando dt tende para zero. Os termos de calor trocado e do trabalho tornam-se quantidades associadas taxa de transferncia, como no caso visto na seo 4.3. Analogamente as duas quantidades de massa tornam-se fluxos de massa, como na seo 4.7 e o termo de energia torna-se a taxa de variao de energia com o tempo, no volume de controle, de maneira anloga ao termo de massa na equao da conservao de massa. Adicionalmente admitimos originalmente propriedades uniformes de massa dme, que entra no volume de controle atravs da rea Ae e fizemos uma hiptese anloga relativamente a ddms, que sai do volume de controle atravs da rea As. Em conseqncia, ao tomarmos os limites acima mencionados as hiptese se reduzem restrio de propriedades uniformes ao longo das reas Ae e As num dado instante. Naturalmente as propriedades podem depender do tempo.


Ao se utilizar os valores limites para exprimir a equao do primeiro princpio para um volume de controle em termos de fluxo, novamente inclumos os sinais de somatrio nos termos de escoamento para considera a possibilidade de haver correntes de fluxo adicionais entrando ou saindo do volume de controle e diversos pontos onde calor e trabalho so acrescidos ao volume de controle. Portanto o resultado :

Q m h gZdEdt

m h gZ Wv c e e

Ve

v cs s

Vs v c

e s

++ ++ ++ == ++ ++ ++ ++. . .( ) ( )2 2

2 2 (4.8-8)

que , para nossa finalidade, a expresso geral da primeira lei da termodinmica. Em outras palavras essa equao diz que a taxa lquida de transferncia de calor para o volume de controle, mais a taxa de energia que entra no mesmo como resultado da transferncia de massa, igual taxa de variao da energia dentro do volume de controle mais a taxa de energia que sai deste como resultado da transferncia de massa, e mais a potncia lquida associada a eixo, cisalhamento, efeitos eltricos e outros fatores que j foram mencionados. A Eq. 4.8-8 pode ser integrada ao longo do tempo total de um processo para se obter a variao total de energia que ocorre naquele perodo. Entretanto para se fazer isto necessrio o conhecimento da dependncia com o tempo dos vrios fluxos de massa e dos estados das massas que entram e saem do volume de controle. Um outro ponto que deve ser observado que se no houver fluxo de massa entrando ou saindo do volume de controle, aqueles termos da Eq, 4.8-8 simplesmente desaparecem da Eq. 4.8-8, que ento se reduz equao da primeira lei para sistema fechado, em termos de fluxo, j discutida na seo 4.3, ou seja,

QdEdt

W

== ++ (4.3-3) Como a abordagem pelo volume de controle mais geral, e se reduz expresso usual da primeira lei para um sistema quando no h fluxo de massa atravs da superfcie de controle, usaremos como expresso geral da 1a lei, a Eq, 4.8-8. 4.9 - O processo em Regime Permanente Nossa primeira aplicao das equaes de volume de controle ser no desenvolvimento de um modelo analtico adequado para operaes em regime permanente de dispositivos como: Turbinas, Compressores, Bocais, Caldeiras, Trocadores Calor etc. , ou seja, um grupo muito grande de problemas de interesse na engenharia. Esse modelo no incluir as fases transitria de entrada em operao e parada de tais dispositivos, abordando apenas o perodo de tempo de operao estvel.


Consideremos um certo conjunto de hipteses (alm daquelas que levaram equao da 1a lei) que conduzem a um modelo razovel para esse tipo de processo, ao qual nos referimos como processo em regime permanente.

1 - O volume de controle no se move em relao ao sistema de coordenadas.

- Esta hiptese significa que todas as velocidades medidas em relao aquele sistema so tambm velocidades relativas superfcie de controle, e no h trabalho associado com a acelerao do volume de controle.

2 - Quanto massa no volume de controle, o estado da mesma em cada ponto do volume de controle no varia com o tempo. - Esta hiptese requer que

dmdt

v c. == 0, e tambm, dE

dtv c. == 0

portanto, conclumos para o processo em regime permanente, que podemos escrever a equao da continuidade, Eq. 4.7-4 como:

m ms e

== (4.9-1)

e a primeira lei da termodinmica como:

Q m h gZ m h gZ Wv c e e

Ve s s

Vs V c

e s

++ ++ ++ == ++ ++ ++. .( ) ( )2 2

2 2 (4.9-2)

3 - Quanto massa que escoa atravs da superfcie de controle, o fluxo de

massa e o estado dessa massa em cada rea discreta de escoamento na superfcie de controle no varia com o tempo. As taxas na qual o calor e o trabalho cruzam a superfcie de controle permanecem constantes. Isto requer que cada quantidade nas Eq. 4.9-1 e Eq. 4.9-2 sejam invariveis com o tempo, isto significa que a aplicao das Eq. 4.9-1 e 4.9-2 operao de tais dispositivos independente do tempo.

Exemplo 4.9-1

Vapor de gua a 0,5 MPa e 200 OC entra em um bocal termicamente isolado com uma velocidade de 50 m/s, e sai presso de 0,15 MPa e velocidade de 600 m/s. Determinar a temperatura final do vapor se ele estiver superaquecido e o ttulo se for saturado.

Soluo

Hipteses:

processo em regime permanente, dEdt

v c. == 0

volume de controle termicamente isolado, no h transferncia de calor pela superfcie de controle, Qv.c = 0, e do problema fsico, Wv.c= 0, do esquema para o problema podemos adotar para os fluxos mssicos que (EP)e @@ (EP)s


Da 1a lei da termodinmica, regime permanente resulta

h heV

sVe s++ == ++

2 2

2 2

as velocidades de entrada e sada so conhecidas, a entalpia de entrada pode ser determinada da tabela de propriedades superaquecidas para o vapor de gua, he = 2 855,4 kJ/kg. Assim substituindo os valores na 1

a lei, temos

h hV V

s ee s= +

-

2 2

2

h kJ kgm

skJ

JkJ

kgkJ

kgS = +-

= + -28554

50 6002

11000

28554 178752 2 2

2, ( ) ( ) , ( , )

h kJ kgs == 267665, /

Do diagrama de mollier para a gua a Ps = 0,15 MPa e com hs = 2 676,65 kJ, vemos que o estado 2 de vapor mido (hvs = 2693,6 kJ/kg, hls = 467,11kJ/kg ) assim,

Xh hh h

ou Xs evs ls

2 2

267665 4671126936 46711

220954222649

0992 992==----

==--

--== == ==

( , , )( , , )

,,

, , %

A temperatura obtida da tabela de propriedades saturadas, para Ps = 0,15 MPa

a temperatura , Ts = 111,4 OC

Exemplo 4.9-2

O fluxo de massa que entra em uma turbina a vapor d'gua de 1,5 kg/s e o calor transferido da turbina para o meio de 8,5 kW. So conhecidos os seguintes dados para o vapor de gua que entra e sai da turbina: Determinar a potncia fornecida pela turbina. hipteses: O volume de controle como na figura ao lado

Regime permanente, dEdt

v c. == 0, SS SSm m me s

== ==

Modelo: Tabelas de Vapor d'gua ou diagrama de Mollier Anlise: Primeira lei da termodinmica Soluo

Condies de Entrada

Condies de Sada

Presso 2,0 MPa 0,1 MPa Temperatura 350 OC ----------- Ttulo --------- 100 % Velocidade 50 m/s 200 m/s Plano de referncia 6 m 3 m acelerao da gravidade g= 9,8066 m/s2


Q m h gZ m h gZ W v cv c eV

e sV

se s

++ ++ ++ == ++ ++ ++. ( ) ( ) .

2 2

2 2 (1)

Dos dados do problema, Q v c kW

== --. ,8 5 Do diagrama de Mollier podemos ler os dados para as condies de entrada e sada da turbina he = 3137,0 kJ/kg, Se = 6,95 kJ/kg-K hs = 2675,5 kJ/kg, Ss = 7,36 kJ/kg-k Calculo dos termos de energia cintica e potencial dos fluxos mssicos

V x

xkJ

JkJ kge

2

250 50

21

1000125== ==

( )( )

, / ; gZ x xkJ

JkJ kge == ==98066 6

11000

0059,( )

( ), /

V x

xkJ

JkJ kgs

2

2200 200

21

1000200== ==

( )( )

, / ; gZ x xkJ

JkJ kgs == ==98066 3

11000

0029,( )

( ), /

Substituindo os valores numricos na equao (1) temos

-- ++ ++ ++ == ++ ++ ++

85 15 3137 125 0059 15 26755 200 0029, , ( , , ) , ( , , , ) .Wv c

portanto, W W kWv c T

== == -- ++ -- ==. , , , ,8 5 47075 40433 6557 Pode-se fazer mais duas observaes em relao a esse exemplo. Primeiro, em muitos problemas de engenharia as variaes de energia potencial (DEP), so insignificantes, quando comparadas com as outras formas de energia. No exemplo acima a variao de energia potencial no afetou o resultado de modo significativo. Na maioria dos problemas onde a variao de altura pequena, os termos de energia potencial podem ser desprezados Segundo, se as velocidades so pequenas, inferiores a cerca de 20m/s, em muitos casos a variao de energia cintica, (DEC), tambm insignificante quando comparado com os demais termos de energia. Como a variao de energia cintica que importante na equao da 1a lei os termos de energia cintica podem ser comumente desprezados quando no houver grandes diferenas entre a velocidade de entrada e sada do fluxo mssico no volume de controle. Assim em muitas aplicaes da 1a lei deve-se julgar quais valores podem ser desprezados.

Exemplo 4.9-3 Considere uma instalao motora a vapor simples como mostrada na figura abaixo. Os dados na tabela referem-se a essa instalao.

Localizao

Presso

Temperatura ou Ttulo

Sada do gerador de vapor 2,0 MPa 300 oC Entrada da turbina 1,9 MPa 290 oC Sada da turbina, entrada do condensador

15 kPa

90 %

Sada do condensador, entrada da bomba

14 kPa

45 oC

Trabalho da bomba = 4,0 kJ/ kg

Figura para o exemplo 5.5-4


Determinar as seguintes quantidades , por kg de fluido que escoa atravs da unidade. 1 - Calor trocado na linha de vapor entre o gerador de vapor e a turbina 2 - Trabalho da turbina 3 - Calor trocado no condensador 4 - Calor trocado no gerador de vapor. Existe evidente vantagem em indicar um nmero para os diversos pontos do ciclo. Por esse motivo os ndices e e s na equao da energia para um processo em regime permanente, so freqentemente substitudos por nmeros apropriados, como na figura deste exemplo. Como existem diversos volumes de controle a serem considerados na resoluo deste problema, consolidemos at um certo grau, o nosso procedimento neste exemplo.

Todos os processos: em regime permanente Modelo: Tabelas de vapor e/ou diagrama de Mollier para se obter as propriedades de todos os estados numerados na figura

Como nada foi dito sobre as velocidades dos fluxos mssicos e suas posies, as variaes de energia cintica e potencial, so desprezadas, pelos critrios discutidos no exemplo 5.5-2

As propriedades dos estados 1,2 e 3 podem ser lidos no diagrama de Mollier, assim: h1 = 3023,5 kJ/kg S1 = 6,7664 kJ/kg-K h2 = 3002,5 kJ/kg S2 = 6,7508 kJ/kg-K h3 =2361,8 kJ/kg S3 = 7,2831 kJ/kg-K exemplo para interpolao linear de valores na tabela de propriedades (valor de S3 )

Da tabela de propriedades superaquecidas S P= 1,9, e T= 250

oC S P=1,9, e T = 300 oC

T=250 oC T=300 oC

S P S P 6,6066 1,8 6,8226 1,8

S1,9 1,9 S1,9 1,9 6,5453 2,0 6,7664 2,0 interpolando

S19 6606666066 65453

19 1818 20

, ,

, ,, ,, ,

----

==----

S19 6822668226 67664

19 1818 20

, ,

, ,, ,, ,

----

==----

S19 6606619 1818 20

66066 65453, ,( , , )( , , )

( , , )== ++----

-- S19 6822619 1818 20

68226 67664, ,( , , )( , , )

( , , )== ++----

--

S19 657595, ,== S19 679450, ,== ST=290 oC e P = 1,9 Mpa


S T

6,57595 250 (valor obtido na interpolao acima) S290 290

6,79450 300 (valor obtido na interpolao acima)

S

S290 290657595

679450 657595290 250300 290

657595 679450 657595290 250300 250

67508--

--==

----

== ++ ------

==,

, ,, ( , , ) ,

S kJ kg K290 67508== --, /

As propriedades do estado 4 devem ser lidas da tabela de propriedades comprimidas ou de forma aproximada, da tabela de propriedades saturadas para a temperatura dada. Assim h4 = 188,5 kJ/kg S4 = 0,6387 kJ/kg-K Procedimento para obter os resultados especficos perguntados no problema: 1 - Calor trocado na linha de vapor entre o gerador de vapor e a turbina Aplicando-se a 1a lei por unidade de fluxo de massa temos

1 2 2 11 2

1 2 2 1 30025 30235 210Q m h hQ

mq h h kJ kg

== -- == == -- == -- == --( ) ( ) , , , /

2 - Trabalho da turbina

Aplicando-se a primeira lei turbina para fluxo unitrio, temos

Q mh mh WV c V c

++ == ++. .2 3 Uma turbina essencialmente uma mquina adiabtica. Por tanto razovel desprezar o calor trocado com o meio ambiente. Assim,

2 3 2 3 30025 23618 6407w

W

mh h kJ kg

V C== == -- == -- ==

.( ) ( , , ) , /

3 - Calor trocado no condensador Neste caso, no h trabalho, assim,

Q mh mh qQ

mh hV c

V C

++ == == == -- == --.. ( ) ( , , )3 4 3 4 4 3 1885 23618

3 4 2 1733q kJ kg== -- , /


4 - Calor trocado no gerador de vapor.

Neste caso no h realizao de trabalho, e a primeira lei fica

Q mh mh qQ

mh hV C

V C

++ == == == --.. ( )5 1 5 1 1 5

Na resoluo, necessitamos do valor de h5, que pode ser obtido considerando um volume de controle na bomba do sistema A primeira lei aplicada bomba, com a hiptese de que o processo adiabtico, (Q=0 ), no h transferncia de calor da bomba para o meio ou vice-versa, resulta

h4 = h5 + 4w5 , portanto, h5 = h4 - 4W5 h5 = 188,5 - (- 4,0) h5 = 192,5 kJ/kg Assim para o gerador, obtemos:

5 1 30235 1925 2831q kJ kg== -- ==( , , ) /

A soluo grfica no diagrama de Mollier fica mais rpida, como mostrado na figura abaixo

Exerccios 4-7) - Um chuveiro eltrico, cuja potncia eltrica de 4400 W , aquece a gua da temperatura de 20 OC at 35 OC. Determina o fluxo mssico de gua que est sendo aquecido.


4-8) - Em um secador de cabelo, funcionando em regime permanente, a temperatura do ar saindo de 83 OC, a velocidade de 9,1 m/s e a rea da sada do ar de 18,7 cm2. O ar entra no secador temperatura de 25 OC, presso de 1,0 bar e com velocidade de 3,7 m/s. a) - Admitindo-se que o ar se comporta como gs ideal determinar a potncia eltrica do secador. b) - Usando dados tabelados de entalpia para o ar determine a potncia eltrica e comente os dois resultados comparativamente (para T=295 K h = 295,2 kJ/kg para T = 356 K h = 356,5 kJ/kg ) 4-9) - Na Fig. 4-9 temos um coletor solar no qual est escoando 100 kg/h de gua no estado lquido. A temperatura de entrada da gua no coletor de 30 C. Se o fluxo de radiao solar que incide no coletor for de 500 kcal/h e o rendimento trmico do coletor, hh = 40% determine a temperatura da gua na sada do coletor. Admita que a presso constante e igual a 1,01325 bar. 4-10) - Na Fig. 4-10 est esquematizado um compressor aspirando refrigerante, R-12, cujo ttulo, X = 1.0 e a presso de 3,817 kgf/cm2. Admitindo-se um processo isoentrpico e sendo a presso de descarga do compressor de 9,80 kgf/cm2 determine a potncia (taxa de trabalho), que deve ser fornecida ao compressor se ele deslocar uma massa de 500 kg/h de refrigerante -12. 4-11) - Na Fig. 4-11 est esquematizado um tubo de um trocador de calor de uma caldeira. Determinar o estado termodinmico 2 quando for fornecido 1000 kcal/h de calor gua que escoa no tubo entre o ponto 1 e 2. Considere que o fluxo de gua no tubo de 100 kg/h e que est escoando presso constante. As propriedades termodinmicas no estado 1 so T=100 C e o ttulo, X=0. 4-12)- Uma turbina a vapor pode ser operada em condies de carga parcial atravs do estrangulamento do vapor que entra na turbina para uma presso mais baixa, como mostra a Fig. 4-12, (Em um processo de estrangulamento a entalpia de sada igual a entalpia de entrada). As condies do vapor de gua na linha de alimentao so: P1 = 7,0 kgf/cm2 e 320 C. Na sada da turbina, P3 = 0,07 kgf/cm2. Supondo que o processo na turbina seja adiabtico reversvel, calcular o trabalho produzido pela turbina quando em plena carga, por kg de vapor

Fig. 4-9 Coletor solar plano residencial

Fig. 4-10 - Compressor Alternativo

Fig. 4-11 - Tubo de caldeira recebendo calor

Fig. 4-12 - Turbina a vapor com controle de capacidade


passando na turbina, e a presso para a qual o vapor dever ser estrangulado para produzir 75% do trabalho de plena carga. 4-13) - Um tanque contm 45 kg de gua na fase lquida inicialmente a 45 oC com uma entrada e uma sada com igual fluxo de massa como mostra a Fig.4-13. O fluxo mssico de gua na entrada e sada de 270 kg/h. A temperatura da gua entrando no tanque de 45 oC. Uma serpentina imersa dentro da gua no tanque remove da gua 7,6 kW de calor. A gua bem mistura por uma hlice de forma que podemos considerar que a temperatura da gua dentro do tanque uniforme. A potncia introduzida na gua pela hlice de 0,6 kW. A presso da gua entrando e saindo pode ser considerada igual e constante. A variao de energia cintica e potencial pode ser desprezada. Mostrar que a temperatura da gua no tanque dada por:

T TQ W

mc

eTserp he lice

P

m

Mt

H O

T== ++--

--

--

1

2

1.

construir o grfico TT

(temperatura da gua no tanque) funo do tempo t, e

calcular a temperatura mnima da gua no tanque. (sendo m magua

== , MT a massa de gua no tanque) 4.10 - Coeficiente de Joule - Thomson e o Processo de Estrangulamento

O coeficiente de Joule - Thomson , mmJ , definido pela relao

mmJ

h cons te

TP

== tan

( 4.10-1)

Anlogo definio dos calores especficos, na seo anterior, essa quantidade definida em termos de propriedades termodinmicas e portando ela prpria uma propriedade de uma substncia.

A importncia dessa propriedade pode ser demonstrada considerando-se um processo de estrangulamento como o da Fig. 4.10-1.

Figura. 4-13 Tanque com gua no estado lquido mostrando os dados necessrios ao exerccio 4-13


Considerando-se um balano de energia, em regime permanente, por unidade de massa, para o volume de controle detalhado na Fig.4.10-1., tem-se:

1 2 112

1 222

2 1 22 2q h

vZ g h

vZ g w++ ++ ++ == ++ ++ ++( ) ( ) (4.10-1)

Na Eq. 4.10-1 podem ser feitas algumas simplificaes:

1. No h interao de energia, com a vizinhana, sob as formas de calor ou de trabalho:

1q2 = 0 e 1w2 = 0;

ento

( ) ( )hv

Z g hv

Z g112

1 222

22 2++ ++ == ++ ++ (4.10-2)

2. Desprezando-se a diferena em relao ao nvel de referncia: Z1=Z2 a Eq. 4.10-2 pode ser escrita como

hv

hv

222

112

2 2++ == ++ (4.10-3)

em geral, as parcelas relativas energia cintica, representam uma parte muito pequena da energia envolvida no processo de estrangulamento, e desta forma, a Eq. 4.10-3 toma a forma final:

h h1 2= (4.10-4)

A perda de carga envolvida na passagem do escoamento pelo ponto de estrangulamento, acarreta uma queda na presso jusante, e desta forma P2< P1. Se o fluido for um gs, com essa reduo de presso a vazo ter seu valor aumentado (se o duto for de dimetro constante) e a energia cintica tambm se elevar. Porm, esse aumento no significativo, na maioria dos casos de interesse, face energia envolvida no processo como um todo. Portanto, a importncia do coeficiente de Joule - Thomson para os processos de escoamento, em especial o de estrangulamento, est na indicao do comportamento da temperatura durante o processo. Quando mmj tem valor positivo, a temperatura sofrer uma reduo ao passar pela obstruo. Entretanto um valor negativo de mmj significa que haver uma elevao de temperatura no escoamento. Para um valor nulo do coeficiente de Joule - Thomson, temos o denominado ponto de inverso. A Fig. 4.10-2 ilustra essas observaes, onde nota-se que o lugar geomtrico definido por todos os

Fig.4.10-1 Substncia escoando atravs de uma Restrio

Fig. 4.10-2. Grfico T x P, mostrando o Comporta- mento do Coef. de Joule-Thomson


pontos de inverso constitui a curva de inverso. Freqentemente, um processo de estrangulamento envolve um processo de mudana de fase do fluido escoando. Um exemplo tpico o escoamento atravs de uma vlvula de expanso no sistema de refrigerao, na expanso do vapor.

Um Exemplo da Utilidade das Informaes contidas no Coeficiente de Joule - Thomson.

Na indstria de petrleo, durante a produo de gs natural ou associado

(que o gs que vem com o leo, quando este ltimo est sendo extrado), devido a estes serem uma mistura de vrios hidrocarbonetos e mais o vapor de gua, pode vir a ocorrer um fenmeno conhecido como a formao de hidratos. Isto pode ocorrer nas unidades de separao e tambm diretamente no local de produo do poo ("wellhead"), provocado por uma queda na temperatura do gs. Esses hidratos so compostos slidos que podem obstruir uma tubulao, causando prejuzos de milhares de dlares produo e, no raro, a necessidade de troca dos equipamentos bloqueados. Como o coeficiente de Joule - Thomson reflete o comportamento do gs em relao temperatura e presso, pode-se inferir para uma dada mistura gasosa, se ela ter tendncia a se deslocar para a regio de formao de hidratos e tentar prevenir esse problema com antecedncia. Dado um gs em condies iniciais de presso e temperatura e que sofrer um processo de expanso at um estado de presso mais baixa, freqentemente deseja-se inferir se a expanso causar a obstruo da tubulao ou no. Uma curva P x T de formao de hidratos pode ser colocada sobre um diagrama como o da Fig. 4.10-2 para determinar onde h a interseo com a curva de resfriamento de Joule - Thomson, para as condies iniciais do gs. O ponto onde ocorre a interseo d a mxima expanso que o gs pode sofrer, sem riscos de formar hidratos. A seguir, esto colocados alguns valores do coeficiente de Joule - Thomson, para o ar, em funo da temperatura e da Presso (Tabela 4.10-1.)

Tabela 4.10-1. O Coeficiente de Joule - Thomson para o ar, em funo da Temperatura e da Presso. Presso

(atm) T = -25oC T = 0 oC T = 25oC T = 50oC T = 75oC T = 100oC T= 150oC

1 0,3225 0,2745 0,2320 0,1956 0,1614 0,1355 0,0961 20 0,3020 0,2580 0,2173 0,1830 0,1508 0,1258 0,0883 60 0,2610 0,2200 0,1852 0,1571 0,1293 0,1062 0,0732 100 0,2130 0,1820 0,1550 0,1310 0,1087 0,0884 0,0600


Exemplo 4.10-1

Consideremos um processo der estrangulamento atravs de uma vlvula de expanso, ou atravs de um tubo capilar, num ciclo de refrigerao por compresso de vapor. Nesse processo a presso do refrigerante cai da alta presso no condensador para a baixa presso no evaporador e, durante este processo, uma parte do lquido se vaporiza. Se considerarmos o processo como adiabtico, o ttulo do refrigerante ao entrar no evaporador pode ser calculado. Seja considerado o seguinte processo, no qual a amnia o fluido refrigerante. A amnia entra na vlvula de expanso presso de 12,617 kgf/cm2 e temperatura de 32 OC. Sua presso ao deixar a vlvula de 1,342 kgf/cm2 Calcular o ttulo da amnia na sada da vlvula de expanso. Soluo

Para o processo de estrangulamento de um escoamento atravs de uma vlvula, como sabemos as hipteses leva a primeira lei da termodinmica a ser escrita como:

he = hs

Das tabelas de saturao para a amnia a 32 OC ou diagrama de propriedades,

hs=he @ hls= 136,18 kcal/kg.

Para a presso de 1,342 kgf/cm2 as condies de saturao so T= -28 OC, e hls = 69,56 kcal/kg e hvs = 392,95 kcal/kg

Da relao entre ttulo e uma propriedade na regio de vapor mido,

Xh hh h

X oulsvs ls

22

2

13618 695639295 6956

666232339

0206 206==----

==----

== ==, ,, ,

,,

, , %

Exemplo 4.10-2 Em um sistema de refrigerao, onde o fluido de trabalho o refrigerante, R-134a, este entra no compressor a 144,54 kPa e -10 oC e sai com 1 000 kPa e 90 oC. A vazo de refrigerante no sistema de 0,013 kg/s, e a potncia consumida pelo compressor de 1,2 kW. O refrigerante aps sair do compressor entra em um condensador, resfriado com gua, com aproximadamente 1000 kPa e 80 oC e sai como lquido a 964,14 kPa e 34 oC. A gua entra no condensador em contra corrente com o refrigerante, a 28 oC e sai com 33 oC . Determinar: 1 - A taxa de calor transferido para o meio pelo compressor. 2 - A vazo de gua de resfriamento atravs do condensador. Hiptese:


1 - O sistema de refrigerao opera em regime permanente, (figura ao lado) 2 - A variao de energia cintica e potencial em cada equipamento do sistema desprezvel 3 - As propriedades do sistema so as do refrigerante 134a - no estado indicado - tabelas e diagrama 4 -Os volumes de controle so os indicados na figura, Volume de controle 1 e volume de controle 2 Anlise: Primeira lei da termodinmica para cada um dos equipamentos sob anlise 1 - considerando o compressor, o volume de controle 1, sendo regime permanente e D(EC)=D(EP) = 0, das tabelas ou diagrama para o R-134a, obtemos h2 = 473,1 kJ/kg , h1 = 395,0 kJ/kg

A 1a lei, resulta: Q mh mh Wv c v c

++ == ++. .1 2 substituindo os valores, temos,

Q kWcomp

== -- ++ -- == --00134731 3950 12 0185, ( , , ) ( , ) ,

2- considerando o condensador como volume de controle 2, para regime permanente e D(EC)=D(EP) = 0, admitindo-se processo adiabtico (Qv.c = 0), das tabelas ou diagrama para o R -134a, obtemos, para P=1000 kPa e T=80 oC, h2'= 462,7 kJ/kg. O estado 3 de lquido comprimido. O valor de h3 pode ser lido de uma tabela de lquido comprimido, ou do diagrama de propriedades, ou ainda, de forma aproximada, da tabela de propriedades saturadas para a temperatura de 34 oC, h3 = 247,7 kJ/kg aplicando-se a 1a lei para este volume de controle, ela se reduz, com as hipteses a;

SS SSm h m he e s s

==

onde o somatrio considera todos os fluxos entrando e sado do volume de controle, que neste caso a gua e o refrigerante R-134a..

Assim, m h m h m h m hagua e agua R a e R a agua s agua R a s R a

++ == ++, , , ,134 134 134 134 Uma hiptese bastante interessante, mas no obrigatria, adotar o modelo de escoamento incompressvel para a gua. Um valor adequado para o calor especfico , Cp = 4,184 kJ/kg

oC. A gua entra no estado lquido e sai no estado lquido. Separando os termos, temos

mm h h

C T Tkg s kg hagua

R a R a

agua s e agua

====--

==----

== ==134 2 3 134 00134627 2477

4184330 2800134 481

( )( )

, ( , , ), ( , , )

, / /'

Este problema pode, tambm, ser resolvido considerando-se dois volumes de controle separados, um dos quais tem o fluxo do refrigerante R-134a atravs de sua superfcie de controle , enquanto o outro tem o fluxo de gua. O calor de um dos volumes de controle transferido ao outro volume de controle. Como sabemos o calor transferido do corpo de maior temperatura para o de menor temperatura.


Neste caso, o volume de controle de maior temperatura , sem dvida, o volume de controle onde escoa o refrigerante R - 134a. Assim o calor deste volume de controle ser negativo enquanto o volume de controle onde ocorre o fluxo de gua receber o calor que positivo. A figura ao lado mostra o esquema para esta soluo.

Aplicando-se a 1a lei para o volume de controle do R-134a temos

Q m h m hV C R a e R s

--

--++ ==. 134 134 ou

( ) ( ) , ( , , ).Q m h hV C R a R a s e R a

--

== -- == --1234 134 134 00132477 4627

( ) ,.Q kJV C R a

-- == --134 2795

Aplicando-se, agora, a 1a lei para o volume de controle da gua, temos

Q m h m hV C agua e agua s

++ ==.

separando as variveis e explicitando magua

, com o modelo de escoamento incompressvel, obtemos

mQ

h h

Q

C T Tkg sagua

V C Agua

s e agua

V c Agua

agua s e

==--

==--

==--

==( )

( )

( )

( ),

, ( ), /

. . 2795418433 28

0134

4.11 - Processo em Regime Uniforme

Na seo 4.9 consideramos o processo em regime permanente e vrios exemplos de sua aplicao. Muitos processos de interesse em engenharia envolvem o escoamento transitrio, que no se enquadram naquela categoria. Um certo grupo desses processos transitrios por exemplo, o enchimento de tanques fechados com um gs ou lquido, ou a descarga de tanques fechados podem ser razoavelmente representados por um outro modelo simplificado, chamado de processo em regime uniforme. As hiptese bsicas desse processo so:

1- O volume de controle permanece fixo em relao ao sistema de coordenadas. 2- O estado da massa interna ao volume de controle pode variar com o tempo, porm em qualquer instante o estado uniforme em todo o volume de controle (ou sobre vrias regies identificveis que compem o volume de controle total.) 3 - O estado da massa que atravessa cada uma das reas de fluxo na superfcie de controle constante com o tempo, embora as vazes possam variar com o tempo.

Examinemos as conseqncias dessas hiptese e deduzamos uma expresso para a primeira lei que se aplique a esse processo. A hiptese que o volume de controle permanece estacionrio j foi discutida na seo 5.9 as demais hipteses levam s seguintes simplificaes da conservao de massa e da primeira lei.

Todo o processo ocorre durante o tempo, t. Em qualquer instante, durante o processo, a equao da continuidade :


dmdt

m mV C s e. == --

SS SS

Integrando-se essa expresso em relao ao tempo t obtm-se a variao de massa no volume de controle durante todo o processo

dm

dtdt m mV C

t

v c.

.( )

== --0 2 1

A massa total que deixa o volume de controle durante o tempo, t :

SS SSm dt mst

s

==0

e a massa total que entra no volume de controle durante o tempo, t

SS SSm dt met

e

==0

Portanto para esse perodo de tempo , t podemos escrever a equao da continuidade para o processo em regime uniforme como

( m2 - m1)v.c + SSms - SSme = 0 (4.11-1)

Como em qualquer instante o estado no interior do volume de controle

uniforme, a primeira lei torna-se:

Q m hV

gZddt

m uv

gZ m hV

gZ WV C e ee

e

V C

s ss

s V C

++ ++ ++

== ++ ++

++ ++ ++

++.

..

2 2 2

2 2 2 (4.11-2)

cuja integrao em relao ao tempo t, resulta

SS SSQ dt Qt

V CV C

==0 . . .

m hv

gZ dt m hv

gZe ee

e

t

e ee

e

++ ++

== ++ ++

2

0

2

2 2

m hv

gZ dt m hv

gZs es

s

t

s ss

s

++ ++

== ++

2

0

2

2 2

W dt Wt

V CV C

==0 . .


ddt

m uv

gZt

V C0

2

2 ++ ++

==.

== ++ ++

-- ++ ++

m u

vgZ m u

vgZ

V C

2 222

2 1 112

12 2.

resultando, ento:

Q m hv

gZV C e ee

e. ++ ++ ++

==

2

2

m uv

gZ m uv

gZV C

2 222

2 1 112

12 2++ ++

-- ++ ++

++. .

m hv

gZs ss

s ++ ++

++

2

2WV C.

(4.11-3)

Passando a ser esta a equao para o caso onde o modelo de escoamento uniforme seja aplicvel

Exemplo 4.11-1 Vapor d'gua presso de 1,4 MPa e 300 OC escoa em um tubo , conforme mostra a figura. Um tanque em vcuo est ligado a este tubo atravs de uma vlvula. Abre-se a vlvula e o vapor enche o tanque at que a presso seja de 1,4 MPa, quando ento a vlvula fechada. O processo adiabtico e as variaes de energia cintica e potencial so desprezveis. Determinar a temperatura final do vapor no tanque. Volume de controle : Tanque como mostrado na figura Estado inicial do tanque : em vcuo massa m1 = 0 Estado final: conhecido P2 Estado de entrada: conhecidos Pe e Te Processo de enchimento : hiptese processo uniforme Modelo para as propriedades do sistema - Tabelas ou diagrama Anlise: Primeira lei da termodinmica - Soluo

Q m hv

gZV C e ee

e. ++ ++ ++

==

2

2

m uv

gZ m uv

gZV C

2 222

2 1 112

12 2++ ++

-- ++ ++

++. .

m hv

gZs ss

s ++ ++

++

2

2WV C.

Do problema: no h trabalho, Wv.c = 0, O

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Termodinamica Aula 4