Calculo Vetorial - Segunda Prova
Professor: Roberto Carlos Antunes Thomee-mail: [email protected]
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Nome do Aluno(a):
[5,0 pontos] (1) Seja S a superfıcie do paraboloide z = 12 − 3x2 − 3y2 que esta no primeirooctante.
(a) Calcule a integral de superfıcie
∫S
∫ −→F dS, onde
−→F (x, y, z) = (x , y , z
3).
(b) Calcule a area da superfıcie S.
[2,5 pontos] (2) Calcule a integral de linha
∫c
−→F dr, onde
−→F (x, y, z) = (−z , y3 , −x2) e c
e a curva, orientada positivamente, de interseccao do plano 4x + 2y + z = 2 com o cilindrox2 + y2 = 4 .
[2,5 pontos] (3) Considere o solido E = {(x, y, z) ∈ IR3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.Se S e a superfıcie de E, isto e, S = ∂E com orientacao positiva, entao calcule a integral de
superfıcie
∫S
∫ −→F ds, onde
−→F (x, y, z) = (3x + y + z , x + 4y + 3z , 2x− 2y − z).
Formulas Uteis
∗ Integral de Superf ıcie :
∫S
∫ −→F ds =
∫D
∫ −→F (r(u, v)) ·
(∂r
∂u× ∂r
∂v
)du dv
=
∫D
∫ [−P
(∂z
∂x
)−Q
(∂z
∂y
)+ R
]dA
∗Teorema de Stokes :
∮c
→F dr =
∫S
∫rot(−→F )ds
∗Teorema da Divergencia :
∫S
∫ −→F ds =
∫ ∫E
∫div(−→F )dV
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