MATEMÁTICA CADERNO DE APOIO AO ALUNO
2008
Marisa Oliveira, Susana Nicola Araújo Instituto Superior de Engenharia do Porto
DEM
A-
DEP
ART
AMEN
TO D
E MATEM
ÁTIC
A
2 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Descrição:
Estes apontamentos destinam-se ao acompanhamento das aulas de matemática do curso Maiores de 23.
Contém, para cada capítulo, uma explicação teórica seguida de um conjunto de exercícios resolvidos e de exercícios propostos.
Em relação aos exercícios propostos alguns serão resolvidos nas aulas em conjunto e os restantes serão resolvidos pelos alunos para consolidação das matérias expostas nas aulas.
Introdução:
Nos dias de hoje, a Matemática ocupa um lugar de destaque, pois o homem como parte
integrante da sociedade actual necessita de conhecimentos matemáticos. Na verdade, dado o
progresso das tecnologias na nossa sociedade, é necessário criar uma Matemática cada vez
mais forte, que permita a sua contextualização na sociedade. Um dos objectivos principal
destes apontamentos é proporcionar aos alunos uma aprendizagem, de tal modo que se
sintam motivados e aprendam de facto. Apresentar uma visão da Matemática agradável,
aplicável e simples. Esperar que os alunos sintam alguma diferença na sua relação com a
disciplina e que a sua ideia da própria Matemática, como ciência se altere para algo positivo e
importante para a vida. Resumindo, procuraremos motivar os alunos para a análise e estudo
dos conteúdos desenvolvidos durante o curso mostrando a importância da matemática usando-
a de maneira que seja compreendida.
Objectivos:
Pretendemos que os alunos consigam:
• Desenvolver a capacidade de comunicar conceitos com clareza e rigor lógico;
• Usar correctamente o vocabulário específico da Matemática;
• Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e
intervenção do real;
• Descobrir relações entre conceitos de Matemática;
• Desenvolver o sentido de responsabilidade pelas suas iniciativas e tarefas;
• Desenvolver a confiança em si próprio;
• Autonomizar o processo de aprendizagem;
• Adquirir o hábito de estudar por iniciativa própria;
• Criar motivação e auto-confiança para o estudo da matemática;
• Adquirir rapidez e exactidão nos cálculos;
3 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Capítulo 1
OPERAÇÕES E PROPRIEDADES EM IR
4 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Operações em IR
Adição.
Subtracção.
Multiplicação
Divisão.
Potenciação e radiciação
Objectivos:
Utilizar as propriedades das operações para simplificar os
cálculos;
Conhecimento do conjunto dos números racionais, das diferentes
formas de representação dos elementos desses conjuntos e das
relações entre eles, bem como a compreensão das propriedades
das operações em cada um deles e a aptidão para usá-las em
situações concretas;
Aptidão para trabalhar com valores aproximados de números
racionais de maneira adequada ao contexto do problema ou da
situação em estudo;
Aptidão para operar com potências.
Pré-requisitos:
Operações com números relativos.
5 Marisa Oliveira, Susana Araújo
1. Operações em IR
1.1 Números inteiros positivos
Neste conjunto a adição é sempre possível pois, se considerarmos dois
números a e b, existe sempre um número natural c que é a soma de a com b. A
multiplicação também é sempre possível.
Quer a adição quer a multiplicação são:
- comutativas: quaisquer que sejam os números naturais a e b
a + b = b + a
a x b = b x a
- associativas: quaisquer que sejam os números naturais a, b e c
(a + b) + c = a + (b + c)
(a.b).c = a.(b.c)
- sendo ainda a multiplicação distributiva em relação à adição
(a + b).c = a.c + b.c
a.(b + c) = a.b + a.c
IR Q Z IN
IN – conjunto dos números naturais = 1, 2, 3, ....
6 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Sendo a e b números naturais, se conseguirmos determinar x, tal que:
b.x = a
ou x = a : b, o que é o mesmo que a
x
b
=
dizemos que x representa o quociente exacto de a por b.
a diz-se dividendo;
b diz-se divisor.
Exemplo: 5 = 15 : 3 pois 5 x 3 = 15
Mas a divisão exacta nem sempre é possível no conjunto dos números
naturais. Não existe nenhum número natural x, tal que 3.x = 2.
Para que a divisão exacta se torne possível, é preciso ampliar o conjunto dos
números naturais, acrescentando-lhe os números fraccionários positivos.
No exemplo anterior, o quociente de 2 por 3, que não era possível em IN,
representa agora o número fraccionário 2
3
, em que 2 é o numerador e 3 o
denominador.
1.2 Números inteiros positivos, negativos e o zero
É claro que as propriedades já enunciadas, para a adição e multiplicação,
permanecem válidas ao alargar o conjunto dos números naturais.
1.3 Números inteiros e números fraccionários relativos
Z – conjunto dos números inteiros relativos = ..., 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, ....− − −
Q – conjunto dos números racionais
7 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Números racionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de
fracção x
y
com 0y ≠ , x e y inteiros. Estes números podem ser representados
por dízimas finitas ou infinitas periódicas.
Repare que duas fracções podem representar o mesmo número, dizendo-se
fracções equivalentes.
Exemplo: 12
6
e 8
4
representam o número natural 2.
12
6
e 8
4
são fracções equivalentes.
Exemplo: São ainda equivalentes, por exemplo, as fracções 2
7
e 8
28
. Se
dividirmos ambos os membros da segunda fracção por 4 obtemos
2
7
.
Exemplo: 2
7
é uma fracção irredutível.
Exemplo: 8
28
é uma fracção redutível.
Exemplo: 3
5
é maior do que 1
5
. 7
3
é maior do que 4
3
.
Só podemos somar fracções com o mesmo denominador, sendo a b a b
c c c
+
+ =
Dadas duas fracções com o mesmo denominador elas serão
equivalentes se tiverem o mesmo numerador, caso contrário será maior
a que tiver maior numerador.
8 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplo:
a) 5 3 5 3 8
4
2 2 2 2
+
+ = = =
b) 3 7 3 7 10 5
4 4 4 4 2
+
+ = = =
Exemplo:2 1
5 3
+ . Como as fracções não têm o mesmo denominador, teremos
que reduzi-las a um denominador comum. m.m.c. (5,3) = 15
2 2 3 6
5 5 3 15
×
= =
×
1 1 5 5
3 3 5 15
×
= =
×
Logo, 2 1 6 5 11
5 3 15 15 15
+ = + =
Para multiplicar fracções, multiplicamos numerador com numerador,
denominador com denominador.
Exemplo: 11 2 11 2 22
7 3 7 3 21
×
× = =
×
A divisão em Q é sempre possível. Dividir a
b
por c
d
, é o mesmo que multiplicar
a
b
pelo inverso de c
d
; d
c
.
:a c a d ad
b d b c bc
= × =
Exemplo: 2 7 2 3 6
:
5 3 5 7 35
= × =
9 Marisa Oliveira, Susana Araújo
1.4 Números racionais e números irracionais
Números irracionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de
fracção. Estes representam-se por dízimas infinitas não periódicas.
IR ⊃ Q ⊃ Z ⊃ IN
1.5 Operações com números reais
1.5.1 Adição
a + b com a, b ∈ IR
1) Adicionar um número real com 0, dá o próprio número, pois 0 é o
elemento neutro da adição:
0 + a = a + 0 = a, ∀ a ∈ IR
2) Adicionar os números simétricos a e – a:
(- a) + a = a + (- a) = 0, ∀ a ∈ IR
3) Se as parcelas têm o mesmo sinal:
(+…) + (…+) ou (-…) + (-…)
a soma tem esse mesmo sinal e o seu módulo é igual à soma dos
módulos
4) Se as parcelas têm sinais contrários:
(+…) + (-…) ou (-…) + (+…)
IR – conjunto dos números reais
N
os inteiros positivos
N
os inteiros relativos (Z ) Zero Nos
racionais (Q ) Nos inteiros negativos
Nos
reais ( IR) Nos
fraccionários– dízimas infinitas periódicas Nos
irracionais – dízimas infinitas não periódicas
(IN)
10 Marisa Oliveira, Susana Araújo
O sinal da soma é o da parcela com maior módulo e o módulo da
soma é igual à diferença dos módulos das parcelas.
Exemplo:(+ 5) + (+ 2) = + (5 + 2) = + 7
(- 3) + (- 2) = - (3 + 2) = - 5
(- 4) + (+ 2) = - (4 – 2) = - 2
Porque |- 4| > |2|
(+ 5) + (- 3) = + (5 – 3)= 2
Porque |5| > |-3|
1.5.2 Subtracção
a - b com a, b ∈ IR
Subtrair ao número a o número b é adicionar ao número a o simétrico
de b.
a – b = a + (-b) com a, b ∈ IR
Exemplo: 1 1 14 1 13
7 7
2 2 2 2 2
− = + − = + − = +
1.5.3 Multiplicação
a . b com a, b ∈ IR
1) Qualquer que seja o número a, a.0 = 0.a = 0, o que traduz que 0 é
o elemento absorvente da multiplicação.
2) O produto tem sinal + se os factores tiverem o mesmo sinal e tem
sinal – se os factores tiverem sinais diferentes.
11 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Podemos traduzir isto pela tabela seguinte:
. + -
+ + -
- - +
Exemplo:
1.5.4 Divisão
a : b com a, b ∈ IR e b ≠ 0
Dividir a por b, não é mais que multiplicar por a o inverso de b.
1
:
a
a b a
b b
= = ×
Exemplos: Calcular:
a)
1
2 : 2.3 6
3
1 1 1 1
: 5 .
2 2 5 10
4 7 4 5 20
: .
3 5 3 7 21
= =
= =
= =
1 5
5.
2 2
5 3 5.3 15
.
2 7 2.7 14
2 3.2 6
3.
5 5 5
2 1 2 2
.
3 7 3.7 21
+ + =
− − = + = +
− + = − = −
+ − = − = −
12 Marisa Oliveira, Susana Araújo
b)
c)
1.6 Valores aproximados
1.6.1 Dizimas
As dízimas podem ser finitas, infinitas periódicas e infinitas não
periódicas
Exemplo: 0,111…. Ou 0,(1) é uma dízima infinita periódica de período 1
1 1 4 1
2 :
3 2 5 2
2 1 4
.2
3 2 5
2 1 8
.
3 2 5
2 8
3 10
2 4
3 5
(5) (3)
10 12
15 15
22
15
× +
= +
= +
= +
= +
= +
=
1 1 2 1 12 1 2
2 4 2
5 3 15 5 3 3 15
1 13 2 2 13 2 30 13 2
2 .
5 3 15 1 15 15 15 15 15
(15 )
17 2 19
15 15 15
− + + = − + +
= − + = − + = − +
= + =
13 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplo: 0,123123… ou 0,(123) é uma dízima infinita periódica de período
123
Exemplo: 1,15893571973… é uma dízima infinita não periódica (não há
repetição de algarismos ou de sequência de algarismos)
1.6.2 Valores aproximados, erro máximo cometido e valores
exactos
O erro máximo cometido é a diferença entre valor aproximado por excesso pelo
valor aproximado por defeito: 1,415 - 1,414 = 0,001. Neste caso o erro máximo
cometido é uma milésima.
Exemplo: 7 ~ 2, 64575...
O valor aproximado de 7 às milésimas por defeito é 2,645
O valor aproximado de 7 às milésimas por excesso é 2,646
O valor aproximado de 7 às centésimas por excesso é 2,65
O valor aproximado de 7 a menos de uma décima por defeito é 2,6
O valor exacto de 7 é 7
1,414 2 1,415< <
3 casas decimais 3 casas decimais
Valor exacto
Valor aproximado de 2 , por excesso a menos de 0,001
Valor aproximado de 2 , por defeito a menos de 0,001
3 casas decimais
14 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplo: 2 7+ = ?
1, 414 2, 645 2 7 1, 415 2, 646+ < + < +
4, 059 2 7 4, 061< + <
2 7+ = 4,061 é o valor aproximado por excesso a menos de 0,001
2 7+ 0 4,059 é o valor aproximado por defeito a menos de 0,001
O erro máximo cometido é 4,061 – 4,059 = 0,002
1.7 Potências
Regras de Cálculo:
I) .
p qp q
a a a
+
=
Exemplo:
a) 5 3 5 3 8
2 .2 2 2+
= =
b)
3 4 3 4 7
1 1 1 1
.
2 2 2 2
+
= =
II) ( ). .
pp
a bp
a b=
Na multiplicação de potências, com a mesma base,
mantém-se essa base e somam-se os expoentes.
Na multiplicação de potências, com o mesmo expoente,
multiplicam-se as base e mantém-se esse expoente.
15 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplo:
a)
3 3 3
1 5 5
.
3 2 6
=
b)
2 2
4 122 2( 3) . ( 4) 16
3 3
− = − = − =
III) :
p qp q
a a a
−
=
Exemplo:
a) 3 2 3 2
( 4) : ( 4) ( 4) 4−
− − = − = −
b)
3 2 1
1 1 1 1
:
5 5 5 5
− − = − = −
IV) :
p
pa b
p a
b=
Na divisão de potências, com a mesma base, mantém-se
essa base e subtraem-se os expoentes.
Na divisão de potências, com o mesmo expoente, dividem-
se as base e mantém-se esse expoente.
16 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplo:
a) 3
3 3
1 13 3( 5) : 5 : ( 5 : 3) ( 15)
3 3
− = − = − = −
b)
4 4 4 4 4 4
5 1 5 1 5 10 5
: : .2
4 2 4 2 4 4 2
= = = =
V) ( )q
p pqa a=
Exemplo:
a) ( )2
3 62 ( 2)− = −
b)
35 15
1 1
2 2
=
Nota: n
a é sempre não negativa se o expoente é par; tem o sinal de a se o
expoente é ímpar; por convenção 0
1a = e 1
a a= .
Exemplo:
a) 3
( 3) 27− = −
Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efectuar este cálculo mantém-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.
17 Marisa Oliveira, Susana Araújo
b) 2
( 4) 16− = +
c) 3
2 8=
d) 2
5 25=
Nota: 2 2
4 ( 4)− ≠ − pois 2
4 (4 4) 16− = − × = − (a base da potência é 4) e
2( 4) ( 4) ( 4) 16− = − × − = +
Se quisermos efectuar a operação 2 5
3 : 3 ?
2 2
3 3 12 53 : 3
5 2 3 33 3 .3 3
= = =
Mas por III) 2 5 2 5 3
3 : 3 3 3− −
= =
Então 1 3
33
3
−= que se trata de uma potência de expoente negativo.
VI) 1 1
n
na
na a
−= =
, com , 0 e a IR a n IN∈ ≠ ∈
Exemplo: Transformar em potência de expoente positivo:
a) 3 5 3 1 5 2 5 2 5 3
2 .2 : 2 2 : 2 2 : 2 2 2− − − + − − − − +
= = = =
O que significa que uma potência de expoente inteiro
negativo é igual ao inverso da potência de base igual e
expoente simétrico.
18 Marisa Oliveira, Susana Araújo
b)
55 5 2 2
1 2 10 1 2 10
: . : .
5 3 3 5 3 3
5 2 5 2
1 3 10 3 10
. . .
5 2 3 10 3
5 2 5 2 3
10 10 10 10
.
3 3 3 3
−− − − −
− − = − −
− − − −
= − − = − −
− −
= − − = − = −
VII) O radical
p
q p qa a= com 0; e
p
a q IN Q
q
> ∈ ∈
Exemplo: Escrever como uma potência de expoente fraccionário:
a)
3
3 22 2=
b)
1
51 15
2 2
=
c)
1
4 47 7=
d)
11133 32 2
2
−−
= =
19 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios Propostos:
1. Calcule:
a)
2 3
1 11( 5) :
5 3
−− × −
b) 2 2 3
( 3) 2 ( 6)
2 2( 2) 3
− × × −
− ×
c)
33
130 3 2( 1) : 5 2
10
−
− + ×
d)
5 2
1 12: 5
5 10
21 3 2
1 3 1
3 2 2
−
×
− −
× ×
e)
( )
( )
2 2
1 611 21 5
3 5
92 33 3 7
2 : 2 : 3
2
− + × ×
−×
20 Marisa Oliveira, Susana Araújo
2. Transforme em radicais:
a)
1
23
b) ( )1
2 55
−
c)
2
32
5
d)
5
3 61
3
e)
3
14
22
5
21 Marisa Oliveira, Susana Araújo
f)
31
44
−
g)
52
35
7
−
22 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Capítulo 2
POLINÓMIOS
23 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Polinómios:
Operações com polinómios.
Zeros de um polinómio.
Casos notáveis da multiplicação de binómios.
Decomposição de um polinómio em factores.
Objectivos:
Operar com polinómios simples;
Decompor um binómio ou trinómio em factores;
Determinar o quociente e o resto da divisão de um polinómio por
outro pelo algoritmo da divisão inteira de polinómios;
Usar a regra de Ruffini e reconhecer a validade da regra;
Decompor um polinómio em factores, encontrando por tentativas
uma raiz e depois usar a regra de Ruffini;
Determinar os zeros de um polinómio.
Pré-requisitos:
Operações com monómios e polinómios.
24 Marisa Oliveira, Susana Araújo
0 1 2 3
Miguel
anos
10 ( )2110 x+ ( )3
110 x+( )x+110
( ) ( ) ( )( )( )( )( )
10303010
13310
22110
12110
1110110
23
23
322
2
23
+++=
+++=
+++++=
+++=
++=+
xxx
xxx
xxxxx
xxx
xxx
2. Polinómios
Comecemos por analisar um exemplo da vida real onde existem, sem darmos
por isso, expressões com polinómios.
O Miguel depositou no banco Y, 10 contos. A taxa anual de juro praticada é x.
Observando a figura conclui-se que as expressões ( )2110 x+ e
( )3110 x+ representam o dinheiro que terá o Miguel ao fim de 2 e 3 anos
respectivamente.
A expressão ( )3110 x+ pode ser escrita de outra forma:
As expressões ( )3110 x+ e 10303010 23 +++ xxx são equivalentes e ambas são
polinómios, mas a segunda está escrita sob a forma de polinómio reduzido e
ordenado.
Chama-se polinómio na variável x a a toda a expressão do tipo:
ℜ∈ℵ∈
++++
−
−−
nn
nn
nn
aaaa
axaxaxa
,,...,, e n que em
...
0 110
1
1
10
25 Marisa Oliveira, Susana Araújo
reduzido polinómio 29
→+1x
No polinómio: nn
nn axaxaxa ++++ −−
1
1
10 ... ,
teindependen termo
escoeficient os são ,,...,,
termos os são ,,...,,
→
→
→
−
−
−
n
nn
nn
nn
a
aaaa
axaxaxa
110
1
1
10
Nota: Designação de polinómios “especiais”
Números de termos Designação do polinómio
Um termo.
Exemplo: 4
x−
Monómio
Dois termos.
Exemplo: 4
13 +x
Binómio
Três termos.
Exemplo: 132 2 ++ xx
Trinómio
Reduzir um polinómio é escrevê-lo de forma a que não apareçam monómios
semelhantes.
Exemplo: reduzido não polinómio →++ 12
33 xx .
Resolução: Os termos 3x e x2
3 são semelhantes uma vez que têm a mesma
parte literal. Adicionando-os obtemos:
Ordenar um polinómio é escrevê-lo segundo as potências crescentes ou
decrescentes de x .
26 Marisa Oliveira, Susana Araújo
( ) ( )
236
12134
12134
2
22
22
++=
=++++=
=++++
xx
xxx
xxx
23
102
134
2
2
++
+++
++
x
xx
xx
26x
Depois de reduzido e ordenado o polinómio, é fácil de identificar o seu grau e
verificar se é ou não um polinómio completo.
Exemplo: O polinómio 123 2 +++ xx45x tem grau 4 e é incompleto porque
tem nulo o coeficiente do termo em 3x .
Exemplo: O polinómio 23 2x x+ + tem grau 2 e é completo.
Exemplo: O polinómio 000 2 ++ xx tem os coeficientes todos nulos, é um
polinómio nulo e tem grau indeterminado.
2.1 Operações com polinómios
Qualquer polinómio fica determinado pelos seus coeficientes, ou seja se
A(x) = nn
nn axaxaxa ++++ −
−
1
1
10 ... e B(x) = mm
mm bxbxbxb ++++ −
−
1
1
10 ... são
polinómios de grau n e m, respectivamente, então tem-se A = B se e só se
mn = e 00 ba = e 11 ba = e... e mn ba = .
2.1.1 Adição
Exemplo:
Ou, usando o algoritmo da adição:
Para adicionar dois polinómios aplicam-se as propriedades comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes
27 Marisa Oliveira, Susana Araújo
( ))( baba −+=−
−+=− 3232
( ) ( )( ) ( )
xx
xxx
xxx
32
12134
12134
2
22
22
+=
−−+++=
=+−++
( ) ( )
13668
123648
12134
234
2324
22
++++=
=+++++=
=+×++
xxxx
xxxxx
xxx
2.1.2 Subtracção
Para obter a diferença de dois polinómios aplica-se a seguinte propriedade dos
números reais:
Exemplo:
Exemplo:
2.1.3 Multiplicação
Exemplo:
Exercícios Resolvidos:
1. Considere os polinómios A, B e C definidos por
A(x) = x3 + x2 + 3, B(x) = x2 + 2x + 1 e C(x) = 2x + 4.
Calcule os coeficientes e o grau do polinómio A - BC.
Resolução:
A(x) - B(x)C(x) = (x3 + x2 + 3) - (x2 + 2x + 1) (2x + 4)
Para subtrair dois números adiciona-se, ao aditivo, o simétrico do subtractivo.
Para calcular o produto de dois polinómios aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes.
28 Marisa Oliveira, Susana Araújo
= x3 + x2 + 3 - (x2 + 2x + 1) 2x - (x2 + 2x + 1) 4
= x3 + x2 + 3 - (2x3 + 4x2 + 2x) - (4x2 + 8x + 4)
= x3 + x2 + 3 - 2x3 - 4x2 - 2x - 4x2 - 8x - 4
= (x3 - 2x3) + (x2 - 4x2 - 4x2) + (-2x - 8x) + (- 4 + 3)
= -x3 - 7x2 - 10x - 1,
logo os coeficientes do polinómio A - BC são a0 = -1, a1 = -10, a2 = -7 e
a3 = -1, e o seu grau é 3.
2. Calcule os coeficientes do único polinómio A de grau 2 que verifica
A(-1) = 2 e A(0) = 5 e A(1) = 3.
Resolução: Se a0, a1 e a2 são os coeficintes de A, temos
A(x) = a2x2 + a1x + a0, para qualquer ℜ∈x .
e portanto:
A(-1) = a2 (-1)2 + a1 (-1) + a0 = a2 - a1 + a0;
A(0) = a202 + a10 + a0 = a0;
A(1) = a212 + a11 + a0 = a2 + a1 + a0.
Vemos assim que o polinómio A verifica
A(-1) = 2 e A(0) = 5 e A(1) = 3
se e só se
a2 - a1 + a0 = 2 e a0 = 5 e a2 + a1 + a0 = 3,
ou ainda
a2 - a1 = -3 e a0 = 5 e a2 + a1 = -2.
29 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Logo os coeficientes de A são a0 = 5, a1 = 1/2 e a2 = -5/2.
2.1.4 Divisão Inteira de Polinómios
No conjunto dos números naturais, ℵ , efectuar a divisão inteira de
um número D (dividendo) por um número d (divisor) é encontrar um
número natural q (quociente) e um natural r (resto), tais que:
Se o resto é zero , então qdD ×=
Exercícios Resolvidos:
1. Calcule o quociente e o resto da divisão inteira de
A(x) = 4x3 + 8x2 + 1 por B(x) = 2x2 + 3x - 1.
Resolução: Recorde que o algoritmo da divisão inteira de polinómios
permite calcular o quociente e o resto da divisão inteira de dois quaisquer
polinómios. Neste caso obtemos:
drrqdD <+×= com ,
Recorde que para quaisquer polinómios ( )xA e ( )xB existem polinómios
únicos ( )xQ e ( )xR que verificam simultaneamente:
1. ( ) ( ) ( ) ( )xRxQxBxA += .
2. ( )xR é o polinómio nulo, ou grau ( )xR < grau ( )xB .
Os polinómios ( )xQ e ( )xR chamam-se respectivamente quociente e
resto da divisão inteira de ( )xA por ( )xB . Se ( )xR é o polinómio nulo
temos ( ) ( ) ( )xQxBxA .= , e dizemos neste caso que ( )xA é divisível por
( )xB .
30 Marisa Oliveira, Susana Araújo
e portanto
Q(x) = 2x + 1 e R(x) = 2 - x.
Descrição do algoritmo da divisão:
a) Começa por se escrever, ordenadamente, o dividendo e o divisor
segundo as potências decrescentes de x, escrevendo também os
termos nulos do dividendo.
b) Dividem-se os termos de maior grau do dividendo e do divisor.
Exemplo: xxx 224 23 =:
c) Multiplica-se o divisor pelo termo de maior grau do quociente,
escreve-se o simétrico desse produto e adiciona-se ao dividendo,
obtendo assim o resto parcial. Neste caso o resto parcial será,
122 2 ++ xx .
d) Divide-se o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de
maior grau do divisor. Exemplo: 122 22 =xx : . O resultado é o
segundo termo do quociente. Repete-se em seguida todo o
processo.
2. Calcule o quociente e o resto da divisão inteira de
A(x) = x3 + 6x2 + 7x - 1 por B(x) = x + 3.
Resolução: Implementando o algoritmo da divisão obtemos:
31 Marisa Oliveira, Susana Araújo
( ) 01
1
10 =++++= −−
nn
nn aaaaA αααα ...
logo
Q(x) = x2 + 3x - 2 e R(x) = 5.
Alternativamente poderíamos utilizar a regra Ruffini. Recorde que este
algoritmo permite determinar o quociente e o resto da divisão de A(x) por
B(x) quando (e só quando) B(x) = x - a. Neste caso teríamos
e portanto Q(x) = x2 + 3x - 2 e R(x) = 5.
2.2 Raízes (ou Zeros) de um Polinómio
Dado um polinómio
diz-se que um número ℜ∈α é uma raiz real de ( )xA se
.
As raízes reais de um polinómio ( )xA são portanto as soluções reais da
equação polinomial
nn
nn axaxaxaxA ++++= −−
1
1
10 ...)(
1 6 7 - 1
-3
1
-3
3
-9
1 6 7 - 1
-3
1
-3
3 -2
6
-2
1 6 7 - 1
-3
1 3
-3 -9
5
x
x
x
32 Marisa Oliveira, Susana Araújo
( ) ( )( ) ( )αα AxxQxA +−=
01
1
10 =++++ −−
nnnn axaxaxa ....
Note que se ( )xA é um polinómio e α é um número real, então o resto
da divisão inteira de ( )xA por x - α é A(α ). Isto significa que existe um
polinómio ( )xQ tal que
(1)
e portanto
α é raiz de ( ) ( )xAxA ⇔ é divisível α−x . (2)
Recorde que esta equivalência fundamental desempenha um papel
importante no cálculo das raízes reais de um polinómio. Em particular
permite demonstrar que qualquer polinómio de grau n não pode ter mais
do que n raízes.
Exercícios Resolvidos:
1. Considere o polinómio
A(x) = x6 - x5 - 2x4 + x2 - x - 2
e os números -1, 1, -2 e 2. Verifique que dois destes números são raízes
de A.
Resolução: Temos:
A(-1) = (-1)6 - (-1)5 - 2 (-1)4 + (-1)2 - (-1) - 2 = 0,
A(1) = 16 - 15 - 2 (1)4 + 12 - 1 - 2 = - 4,
A(-2) = (-2)6 - (-2)5 -2(-2)4 + (-2)2 - (-2) - 2 = 68
A(2) = 26 - 25 - 2 (2)4 + 22 - 2 - 2 = 0.
Vemos assim que A(-1) = 0, A(1) 0, A(-2) 0 e A(2) = 0. Logo, dos
números -1, 1, -2 e 2, apenas -1 e 2 são raízes de A.
33 Marisa Oliveira, Susana Araújo
( ) ( ) ( )022222
222222
23
23
=−−+=
=−−+=
A
2. Considere o polinómio
A(x) = x3 + x2 - 2x -2.
Calcule o resto da divisão de A por 2−x . Verifique que A é divisível
por 2−x .
Resolução: Sabemos por (1) que o polinómio ( ) ( )2AxR = é o resto da
divisão de A por 2−x . Assim basta calcular
para concluir que R(x) é o polinómio nulo. Isto demonstra que A(x) é
divisível por 2−x
3. Calcule as soluções reais da equação
2x2 = 3x + 1.
Resolução: A equação
2x2 = 3x + 1
é equivalente a
2x2 - 3x - 1 = 0.
Recorde que para resolvermos a equação polinomial
ax2 + bx + c = 0,
devemos distinguir dois casos:
1º Se a = 0 e b 0 ficamos na presença de uma equação do 1ª grau.
Neste caso a equação tem solução única dada por
b
c−=α .
34 Marisa Oliveira, Susana Araújo
2º Se a 0 ficamos na presença de uma equação do 2º grau. Neste caso
a existência de soluções para esta equação depende do descriminante
∆ = b2 - 4ac.
o Se ∆ > 0 a equação tem exactamente duas soluções
dadas por
a
b
a
b
2221
∆−−=
∆+−= αα e
o Se ∆ = 0 a equação tem solução única dada por
a
b
2−=α .
o Se ∆ < 0 a equação não tem soluções reais.
Neste caso temos a = 2, b = -3 e c = -1 e portanto
∆ = (-3)2 - 4 (2) (-1) = 17 > 0,
logo a equação tem duas soluções irracionais dadas por
4
173
4
17321
−=
+= αα e .
4. Calcule as raízes do polinómio
( ) ( )( )322 −−= xxxA
Resolução: Temos
( )( ) 0302032 22 =−∨=−⇔=−− xxxx
assim, porque as raízes do polinómio 22 −x são 2− e 2 , e 3 é a
única raiz de 3−x , vemos que as raízes de A(x) são 2− , 2 e 3 .
35 Marisa Oliveira, Susana Araújo
5. Sabendo que o número 2 é uma raiz do polinómio
A(x) = x3 - 2x2 - 3x + 6,
calcule todas as raízes reais de A.
Resolução: Porque 2 é raiz de A sabemos por (2) que existe um
polinómio Q tal que
A(x) = Q(x)(x - 2).
Note que Q é o quociente da divisão de A(x) por x - 2. Assim, pela regra
de Ruffini:
1 -2 -3 6
2
x 1
2 0 -6
0 -3 0
vemos que Q(x) = x2 - 3 e portanto
A(x) = (x2 - 3)(x - 2).
Temos então
( ) ( )02030 2 =−∨=−⇔= xxxA , logo as raízes de A(x) são 2, 3−
e 3 .
6. Sabendo que uma das raízes do polinómio
A(x) = 2x3 + 14x2 - x - 7
é um número inteiro, calcule as raízes de A.
36 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Resolução: Recorde que se o polinómio
n
nn xaxaaxA 01 +++= − ...)(
é tal que Zaan ∈0,..., e 0≠na , e Z∈α é uma raiz de A(x), então tem-
se
Zan ∈α
, (3)
ou seja na é divisível por α. Este facto, útil na determinação das raízes
inteiras de um polinómio com coeficientes inteiros, decorre
imediatamente da definição de raiz.
Vemos assim por (3) que qualquer raiz inteira α de
A(x) = 2x3 + 14x2 - x - 7
terá de verificar
Z∈−
α
7.
Isto significa que as possíveis raízes inteiras de A(x) se encontram entre
os elementos de
-7, -1, 1, 7.
Assim basta calcular
A(-7) = 0, A(-1) = 6, A(1) = 8, A(7) = 1358
para concluir que -7 é a única raiz inteira de A(x). Para calcular as
restantes raízes de A(x) podemos recorrer a (2) para factorizar A(x).
Dividindo A(x) por x + 7:
37 Marisa Oliveira, Susana Araújo
vemos que
A(x) = (2x2 – 1) (x + 7)
e portanto
( ) ( )070120 2 =+∨=−⇔= xxxA
Logo as raízes de A são -7, 2
2− e
2
2.
3. Casos notáveis da multiplicação de binómios
A multiplicação de dois polinómios pode processar-se sempre do mesmo
modo.
No entanto, há produtos de polinómios que aparecem com muita frequência e
com variadas aplicações em Matemática e que nos merecem especial atenção:
o quadrado do binómio e a diferença de quadrados.
Assim chamam-se casos notáveis da multiplicação ao produto de dois binómios
iguais ( )( ) ( )2bababa +=++ ou ao produto de dois binómios conjugados
( )( )( )baba −+ .
Nota:
Área do quadrado
A =a2
Área do rectângulo
A =ab
2 14 -1 -7
-7
2
-14
0
0
-1
7
0x
a
a
b
38 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Entre todos os produtos de polinómios há três casos que têm um interesse
particular, não só pela sua aplicação a muitas situações, como pela sua ligação
à geometria.
1. O quadrado da soma
Vejamos se ( ) 2222 bababa ++=+
Temos ( ) ( )( )bababa ++=+2
Aplicando a regra geral do produto de
polinómios temos:
A = A + A + A + A
Logo,
2. O quadrado da diferença
( ) ( )( )( )
2
2
2
2 bab
babab
bababa
+−=
=+−−=
==
−−=−
2
2
a
a
b-b-ba-ab-aa
Logo,
( ) 2222 bababa ++=+
b2
a2 ab
ab
a+b
b
a
(a-b)2
ab
ba a
b
a-b
( ) 222 babba +−=− 2a
( )
( ) 222
222
2 bababa
babababa
++=+
+++=+
39 Marisa Oliveira, Susana Araújo
( )( )55252 +−=− xxx
Polinómio não factorizado
Polinómio factorizado
Polinómio não factorizado
Polinómio factorizado
( )( )11122 ++=++ xxxx
Polinómio não factorizado
Polinómio factorizado
( ) ( )( )
( ) ( )( )17163
4343163
2
2
+−=−−
+−−−=−−
xxx
xxx
( )( )22
22
ba
bababababa
−=
−−+=−+
3. Diferença de quadrados
Vejamos se ( )( ) 22 bababa −=−+
Temos
Logo,
4. Decomposição de um polinómio em factores
Decompor um polinómio em factores ou factorizar um polinómio é escrevê-
lo sob a forma de um produto de factores do menor grau possível.
( )( ) 22 bababa −=−+
a+b
a
b
a-b
40 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Seja ( ) =xP nn
nn axaxaxa ++++ −
−
1
1
10 ... um polinómio de
grau n, com n raízes nxxx ,...,, 21 , então ( )xP pode ser
decomposto em factores do seguinte modo:
2
13
4
57
4
24497
0372 2
=∨=
±=
−±=
=+−
xx
x
x
xx
Existe um teorema que diz o seguinte:
Se, por exemplo, 21 xx = , diz-se que a raíz 1x é dupla.
Um polinómio pode ter raiz dupla, tripla, etc.
Exemplos: Decompor em factores
1. Calcule-se as raízes dos trinómios.
a) 372 2 +− xx
Resolução:
Raízes: 3 e 2
1
Então, ( )
−−=+−
2
132372
2 xxxx
b) 181222 +− xx
( ) ( )( ) ( )nxxxxxxaxP −−−= ...210
RELEMBRE: Fórmula Resolvente
a
acbbx
cbxax
2
4
0
2
2
−±−=
=++
41 Marisa Oliveira, Susana Araújo
( )( )dupla raíz
2 por tudo dividindo
3
03
096
018122
2
2
2
=
=−
=+−
=+−
x
x
xx
xx
542
0542
−±=
=+−
x
xx
Resolução:
Raízes: 3 (raíz dupla)
Então, ( )( )33218122 2 −−=+− xxxx
c) 542 +− xx
Resolução:
Equação impossível
Raízes: não tem
Então, 542 +− xx não se pode decompor de modo que os factores tenham
grau inferior ao polinómio dado.
No conjunto dos números reais um polinomio de grau n tem no máximo n raízes reais.
42 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios Propostos
1. Indica o coeficiente e a parte literal de cada um dos seguintes
monómios:
1.1 25xy
1.2 zxy 2−
1.3 b5
4
2. Reduzindo os termos semelhantes, simplifica cada uma das
expressões seguintes:
2.1 ababa 733 +−++
2.2 xxx
xx3
27
23 22 ++−+
2.3 3
2732
1 mnnmnmmn −+−++
2.4 zyzzyzz5
7
3
8
4
1
3
2
2
1−−++
2.5 2222
5
23
4
1
2
12 uuvuuvu ++−−
3. Depois de reduzir e ordenar o polinómio:
Indique o grau, os termos nulos e o termo independente.
4. Dados os polinómios
2
312
2
133 2223 +−=+−=+−= xxTxxSxxR
4.1 TSR ++
4.2 TSR −−
4.3 TSR −+−
32
1
10
3 32
+++
xxx
,
43 Marisa Oliveira, Susana Araújo
4.4 TSR −−−
5.Efectua e simplifica
5.1 ( )2543 x−
5.2 ( ) ( )28323 2 +−−−− xxxx
5.3 ( ) ( )14322 −+−− babaaba
5.4 ( ) ( )12
13 222 +−+− mnmnmmn
6. Apresenta sob a forma de polinómio reduzido
6.1 ( )( )43 ++ ba
6.2 ( )( )43 −− aa
6.3 ( )( )836 ++ aa
6.4 ( )( )xx 532 +−
6.5 ( )( )4322 2 +−− baa
6.6 ( )( )mnnmnm +−−+ 22 5232
6.7 ( ) 332
+−x
6.8 ( ) 322
−+y
6.9
−−
−+
4
1
3
2
4
1
5
2
3
22 xxx
6.10 ( )[ ] 232652 22 −+−+−−−− xxxxx
7. Qual o polinómio que se deve subtrair 37 3 −− xx , para se obter xx 32 2 −− ?
44 Marisa Oliveira, Susana Araújo
8. Calcule aplicando a fórmula do quadrado do binómio
8.1 ( )232 −x
8.2 ( )27+x
8.3 2
2
1
+y
8.4 ( )234 ba −
8.5 ( )21−− x
8.6 ( )21+x
9. Calcule, aplicando a diferença de quadrados
9.1 ( )( )55 −+ xx
9.2 ( )( )1212 +− xx
9.3 ( )( )xx +− 11
9.4
+
− xx
2
11
2
11
10. Completa
10.1 ( ) 252
++=+ ............x
10.2 ( ) 12
+−=− ............y
10.3 ( ) ............ ++=+ zz 82
10.4 ( )( ) 49−=−+ ............ nn
10.5 ( ) ............ ++=+ 2294 x
45 Marisa Oliveira, Susana Araújo
11. Usando o algoritmo da divisão, calcule o quociente e o resto
da divisão de:
11.1 ;: 1134 2 ++− xxx
11.2 ;: 23232
1 32 −+− xxxx
11.3 321334 2523 +−++− xxxxxx :
12. Usando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão:
12.1 ( ) ( )3132 −++ xxx :
12.2 ( ) ( )2153 23 −+++ xxxx :
12.3 ( ) ( )1134 2 ++− xxx :
12.4 ( )23232
1 32 −
+− xxxx :
12.5 1
123
+
+++
x
xxx
12.6 3
15
+
+
x
x
12.7 13
553 23
−
−++
x
xxx
13. Calcule o valor numérico do polinómio ( ) 57 23 ++−= xxxxA para:
14.1 0=x
14.2 1=x
14.3 1−=x
14. Averigue quais dos seguintes números: 5231 e ; ; −− são raízes do
polinómio 1577 23 ++− xxx .
15. Determine a e b de modo que o polinómio 13234 +++− xbxaxx seja
divisível por ( )( )11 +− xx .
46 Marisa Oliveira, Susana Araújo
16 . Determine as raízes de cada um dos seguintes polinómios e decomponha-
os em factores:
16.1 12 2 −− xx
16.2 5195 2 ++ xx
16.3 xx 82 3 −
16.4 2
99
2
1 23 +−− xxx
17. Averigue a multiplicidade da raíz −2 em cada um dos seguintes
polinómios e, em seguida, decomponha-o em factores:
17.1 485 23 +++ xxx
17.2 4432 234 +−−+ xxxx
Soluções:
uvuuyzzmnmn
x 324
7210
1 2.5) ;2
20
13 2.4) ;
2
135
3
2)3.2;
6
7210x 2.2) 2b;-11a 2.1) ++−−−−++
2
1132
2
33 4.4) ;2
922
53 4.3) ;2
132
2
93 4.2) ;2
1132
2
33 4.1) ;32
23030x1 )3 −++−−−+−++−+−−+++ xxxxxxxxxxxxx
x
22
142
122
133223 5.4) ;443322 5.3) ;6272 x5.2) ;2512 )1.5 mmnmmnnmaabbabaxx +−+−+−−−−+−
4825x- 6.10) ;5
2x
3
2x - 6.9) ;142 6.8) ;1262 6.7)
;23533221536210n-m4 6.6) ;86432432 6.5)
;6725x- 6.4) ;482623a 6.3) ;1272 6.2) 1234 )1.6
++++++−
−++−+−++−−
++++−−+++
xyyxx
mnnnmnmmbaabaa
xaaa;baab
2 :literal parte
5:ecoeficient 1.1
xy z2 :literal parte
-1:ecoeficient 1.2
xy b :literal parte
5
4:ecoeficient 1.3
47 Marisa Oliveira, Susana Araújo
( ) ( )
( ) ;31522311.3)
;3
2
3
1
2
1211.2) ;874;11.1)2x4
1-1 9.4) ;2x-9.3)1 1;-24x 9.2) ; 25-2 x)1.9
1228.6)x 1;2x2 x8.5) ;29b24ab-216a 8.4) ;4
1y2 8.3) ; 4914x28.2)x 9;12x-24 )1.8
−=+++=
=+−−===
++++++++++
R(x)xxxxQ
R(x)xxxQ R(x)x-xQ
xyx
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
2; plicidade17.2)Multi 2; plicidade17.1)Multi 16.4);
2; e 2,0- :s16.3)Raíze ; 10
26119- e
10
26119- :zes1;16.2)Raí e
2
1- :s16.1)Raíze
-2;b 3a 15) ; 5 e 3 são raízes s14) ;41-13.3)A 0;113.2)A 5;013.1)A
;4362312.7)
;21271272933412.6) ;01212.5)
1 ;3
21
2
3312.4) ;87412.3)
;31155212.2) ;19612.1)
−+
==−===
−=++=
−=+−+−==+=
=+−−==−=
=++==+=
A
R(x)xxxQ
R(x)xxx xxQ R(x)xxQ
R(x)xxxQ R(x)xxQ
R(x)xxxQ R(x)xxQ
48 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Capítulo 3
Equações e Inequações do 1º
e 2º Grau
49 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Equações
Equações do 1º grau
o Equações com denominadores
o Equações literais
Equações de grau superior ao 1º
o Operações com polinómios (adição algébrica, multiplicação)
o Lei do anulamento do produto, disjunção de condições e reunião
de conjuntos
o Casos notáveis da multiplicação de binómios
Objectivos:
Interpretar o enunciado de um problema
Traduzir um problema por meio de uma equação
Procurar soluções de uma equação
Escrever o enunciado de um problema que possa ser traduzido por meio
de uma equação dada
Resolver equações do 1º grau a uma incógnita
Resolver equações literais em ordem a uma das incógnitas
Operar com polinómios simples
Decompôr um binómio ou trinómio em factores
Aplicar a lei do anulamento do produto à resolução de equações
Interpretar e criticar as soluções de uma equação no contexto de um
problema
Pré-requisitos:
Resolução de equações do primeiro grau: soluções, equações
equivalentes, redução de termos semelhantes
Resolução de problemas
50 Marisa Oliveira, Susana Araújo
3 Equações do 1º grau
Embora todos os dias se resolvam situações que envolvem cálculos mais ou
menos simples (contar dinheiro, programar o tempo, etc.), nem sempre a
solução é imediata e daí a necessidade de, por vezes, equacionar o problema.
Para verificar se um dado número é ou não raiz ou solução da equação:
Substitui-se, na equação, a incógnita pelo número dado;
Observa-se a igualdade obtida:
Se for verdadeira, esse número é raiz ou solução da equação
Se for falsa, esse número não é raiz ou solução da equação
3.1 Regras usadas na resolução de equações
3.1.1 Regra da adição
Adicionando ou subtraindo o mesmo número aos dois membros da equação, obtemos uma equação equivalente à dada, o que, na prática, se traduz por:
Numa equação podemos mudar um termo de um membro para o outro trocando-lhe o sinal.
Equação Igualdade que contém pelo menos uma letra de valor desconhecido.
Incógnita Letra ou letras que aparecem na equação e que representam valores desconhecidos.
Resolver uma equação Descobrir o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Esse valor é a raiz ou solução da equação.
Numa equação o sinal = separa a equação em duas partes, os membros.
Cada membro é formado por um ou mais termos.
Equações equivalentes são as que admitem as mesmas soluções
51 Marisa Oliveira, Susana Araújo
3.1.2 Regra da multiplicação
Numa equação podemos multiplicar ou dividir ambos os membros pelo mesmo valor (diferente de zero), que obtemos uma equação equivalente à inicial.
3.2 Classificação de equações:
Determinadas
Possíveis
Indeterminadas
Impossíveis
As equações com mais do que uma variável chamam-se equações literais.
Exemplo:
3 2 5x y+ =
Monómio é uma expressão em que apenas surge a multiplicação a ligar constantes e/ou variáveis.
Exemplo:
5xy (coeficiente: 5 ; parte literal: xy )
Grau de um monómio é a soma dos expoentes das variáveis.
Exemplo:
2 3xy z - monómio de grau 6
52 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Os monómios que têm partes literais iguais chamam-se monómios semelhantes
Exemplo:
2xy e 1
2
xy são monómios semelhantes
Grau de um polinómio é o maior dos graus dos seus termos
Exemplo:
2 33 3 1x x x+ + + -polinómio de grau 3
Adição Algébrica
Para adicionar dois polinómios, utilizam-se as propriedades usuais da adição
(comutativa, associativa, etc.) e segue-se o processo já estudado para
adicionar monómios.
Etapas Exemplo
2 2(3 2 1) ( 7 8)x x x x− + − + −
2. Desembaraçar de parêntesis
2 23 2 1 7 8x x x x− + − − +
3. Pela propriedade comutativa pode-se juntar os monómios, ou termos, semelhantes
2 23 2 7 1 8x x x x− − − + +
4. Adicionam-se os termos semelhantes até obtermos um polinómio reduzido
22 9 9x x− +
53 Marisa Oliveira, Susana Araújo
3.3 Equações do 1º grau com denominadores
Etapas Exemplo
3 3 3135
5 8 5
x x x x+ − + =
1. Desembaraçar a equação de parênteses
• Usar a propriedade distributiva da multiplicação para eliminar os parêntesis
2. Desembaraçar a equação de denominadores
• Multiplicar ambos os membros da equação pelo m.m.c.(5,8,40) = 40
3 3 9
135
5 8 40
x x x x+ − + =
(x8) (x5) (x40) (x40)
24 15 9 5400 40
40 40 40 40 40
x x x x+ − + =
• Suprimir os denominadores
24 15 9 5400 40x x x x+ − + =
3. Agrupar: • Termos com incógnitas
num membro • Termos sem incógnita
noutro membro Ao trocar um termo de membro mudar o sinal
24 15 9 40 5400x x x x+ − − = −
4. Reduzir os termos semelhantes 10 5400x− = −
5. Dividir ambos os membros de equação pelo coeficiente de x (regra da multiplicação)
540x =
54 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Verificação:
Substitui-se na equação x por 540:
3 3 3540 540 540 135 540
5 8 5
× + − × + =
3324 216 135 540
8
+ × + =
324 81 135 540+ + =
540 540=
55 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios propostos:
1. Resolva cada uma das seguintes equações:
a) 2 3
3
4 2
xx
−+ =
b) 1 2 3 1
2 4 8 4
xx
+− = +
c) 2 1 2 4 1
3 5 15
x x x− − −− =
2. Três irmãos decidem comprar um CD para oferecer à mãe no dia do
seu aniversário. O irmão mais velho paga metade; o segundo paga a
terça parte e o mais novo paga 3 €, que é o que falta. Qual é o preço
do CD?
3. Resolva cada uma das equações em ordem à letra indicada entre
parêntesis
a) 3 2a b a b+ = − ( )a
b) 2P rπ= ( )r
c) ( )3 2 1 5 2x y y− + = + ( )y
4. Um agricultor dispõe de 200€ para vedar um terreno rectangular. A
vedação deve ser feita do seguinte modo: um dos lados com tijolo e
rede nos restantes três.
Cada metro de rede custa 2€ e cada metro de parede em tijolo fica
por 4€.
a) Escreva uma equação que
Relacione x e y.
b) Resolva a equação obtida,
em ordem a y.
c) Complete o quadro ao lado.
x 10 20 30
y y
x
56 Marisa Oliveira, Susana Araújo
5. Considere as expressões:
1 2( ) 2 5
2
A x x x= − + − ; 3
( ) 4 5 1B x x x= − + ; 13 2
( ) 2 7
3
C x x x x= − + +
Determine:
a) A B+
b) A B C− +
c) 2 (3 )A C B− −
Soluções:
7
43);
2);
2
3)318€; de é CD do preço O2;
21
10);
7
3);)1 2
−==−==−==
x
ycP
rbbaaScSbSaπ
;92222310)
;61426
136);4322
134)5;5,20,35);2
350);46200)4
−−−
−+−−−−−===−=+=
xxxc
xxxbxxxayyycxybyxa
57 Marisa Oliveira, Susana Araújo
3.4 Intervalos de números reais
Condição Recta real Intervalo
:x IR a x b∈ < < ] [,a b
:x IR a x b∈ ≤ < [ [,a b
:x IR a x b∈ < ≤ ] ],a b
:x IR a x b∈ ≤ ≤ [ ],a b
:x IR x a∈ > ] [,a +∞
:x IR x b∈ < ] [, b−∞
3.4.1 Reunião e intersecção de intervalos de números reais
A reunião do intervalo A com o intervalo B representado por A B∪ é constituído
por todos os elementos de ambos os intervalos.
Exemplo:
0;5A = e 3;3B = − , na recta real temos:
] ]3; 5A B∪ = −
A intersecção do intervalo A com o intervalo B representado por A B∩ é
constituído por todos os elementos comuns aos dois intervalos.
Exemplo:
0;5A = e 3;3B = − , na recta real temos:
a b
a b
a b
a b
a b
a b
-3 3 5 0
-3 3 5 0
58 Marisa Oliveira, Susana Araújo
[ [0; 3A B∩ =
3.5 Inequações do 1º grau
Uma inequação é uma expressão onde está presente uma ou mais variáveis e
um sinal de desigualdade (>, <, ≤ ou ≥).
Exemplo:
2 5 3x − ≥
Solução de uma inequação é o valor ou conjunto de valores que ao serem
concretizados na variável, obtêm uma proposição verdadeira.
Exemplo:
3≥1+2x 5 é uma solução da inequação pois substituindo x por 5 temos:
2.(5) + 1 ≥ 3 ⇔ 10 + 1 ≥ 3 ⇔ 11 ≥ 3 proposição verdadeira
Este é o processo que utilizamos para verificar se um número é solução de
uma inequação. Duas ou mais inequações são equivalentes se tiverem o
mesmo conjunto solução.
3.5.1 Resolver uma inequação
Significa determinar o seu conjunto solução. Os passos a seguir, na resolução
de uma inequação são os seguintes:
a) Desembaraçar de parênteses, caso os haja.
b) Desembaraçar de denominadores, se existirem.
c) Todos os termos com incógnita passam para o 1º membro e os
restantes para o 2º membro.
d) Isolar a incógnita.
1º membro
2º membro
59 Marisa Oliveira, Susana Araújo
e) Apresentar o conjunto-solução.
3.5.2 Princípios de equivalência de inequações
1º Se substituirmos um ou os dois membros de uma inequação por uma
expressão equivalente, ainda obtemos uma inequação equivalente à primeira.
Exemplo:
( 2) 2( 2) 2 2 4x x x x− + ≤ − ⇔ − − ≤ −
2º Se numa inequação mudarmos um termo de um membro para o outro
trocando-lhe o sinal, ainda obtemos uma inequação equivalente à primeira.
Exemplo:
2 2 4 2 2 4x x x x− − ≤ − ⇔ − − ≤ −
3º Quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma inequação
pelo mesmo número positivo, ainda obtemos uma inequação equivalente à
primeira.
Exemplo:
2 3. 3.2 6
3 3
x x
x≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
4º Quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma inequação
pelo mesmo número negativo, teremos de inverter o sentido da desigualdade
para obtermos ainda uma inequação equivalente à primeira.
Exemplo:
2 32 3 3
2 2 2x
xx− ≥ ⇔
−≤ ⇔ ≤ −
− −
60 Marisa Oliveira, Susana Araújo
3.6 Disjunção e conjunção de inequações
À disjunção (v) de inequações está associada a reunião ( ∪ ) de conjuntos.
Exemplo:
1 2 3 1 3x x x x+ ≥ ∨ < − ⇔ ≥ ∨ < −
] [ [ [+∞∪−∞− ;13; conjunto-solução da disjunção das duas inequações.
À conjunção ( ∧ ) de inequações está associada a intersecção ( ∩ ) de conjuntos.
Exemplo:
1 3 3 .( 2) ( 1).( 2) 3 3 2 0
2 2
x x
x x x x− ≥ − ∧ − > − ⇔ − − ≤ − − ∧ > − + ⇔ ≤ ∧ >
] ] ] [ ] ]; 2 0, 0; 2−∞ ∩ +∞ = conjunto-solução da conjunção das duas inequações
-3 1 0
2 0
61 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios propostos:
1. Considere as condições A , B, C e D :
C = : 5 3x IR x∈ − ≤ <
D = : 1x IR x∈ >
Represente sob a forma de intervalo de números reais:
a) O conjunto A
b) O conjunto B
c) O conjunto C
d) O conjunto D
e) ∪C D
f) ∪A B
g) A B∩
h) ( ) 2;A B ∪ ∩ +∞
i) ∩C D
j) ( ) 2; ∪ ∩ +∞ C D
2. Considere a inequação 2( 1) 3( 2)
1 2
3 5
x x+ −
+ ≤ −
a) Verifique se 3
2
é solução da inequação.
b) Qual é o conjunto-solução da inequação?
c) Que conjunto solução se irá obter se fizer a conjunção dessa
inequação com a inequação 2 1 2
2 1
4 2
x x− −
+ > − ?
+<+∈=
+≥−−
∈=
25
21
3:
212
1:
xxIRxB
xx
IRxA
62 Marisa Oliveira, Susana Araújo
3. Resolva cada uma das seguintes condições apresentando, sempre que
possível, o resultado sob a forma de intervalo de números reais.
a) 12 2
( 2) 1 ( 1)
2
x x− + > − −
b) 2( 1) ( 2)
16
2 3
x x x x x− +
− ≤ −
c) 1 1
1 1 13
2 3
x xx
−− ≤ − ∧ − ≤
d) 1 2 1
2 1 3 1
x x
x x
− > −
+ < −
e) 5 3
1
2 4
x
x x
−
− > −
f)
1
20 5
3
x +
≤ ≤
4. Considere que 1
( ) 2 1
3
x
f x
−
= − +
a) Resolva as equações:
a1 ( ) 0f x = b1 ( ) 1f x =
b) Resolva a inequação ( ) 5f x ≥ −
c) Quais os dois maiores números inteiros que verificam a condição
( ) 5f x ≥ − ?
d) Determine os valores de x para os quais ( )f x não é positiva.
5. Considere a inequação 1 3
1
2 5
x x
x
− +
+ < +
a) Verifique, sem resolver a inequação, que 2 pertence ao conjunto-
solução, justificando a sua resposta.
b) Qual o menor número pertencente a Z−
que satisfaz a inequação
dada?
63 Marisa Oliveira, Susana Araújo
c) Resolva a conjunção da inequação dada com a seguinte:
2( 2) 3( 1)
1 0
3 2
x x+ −
− + ≤
d) Apresente o conjunto-solução da disjunção das duas inequações.
6. Resolva os seguintes problemas:
a) A diferença do dobro de um número pela sua terça parte é maior que
o quíntuplo da soma desse número com dois
i. Traduza para linguagem matemática o enunciado do
problema.
ii. Determine o maior número inteiro que satisfaz a
condição enunciada.
b) Determine o conjunto dos números inteiros que verificam
simultaneamente as condições seguintes:
- A diferença entre cada um deles é quatro e negativa.
- A soma de quádruplo de cada um deles com dois não é
negativa.
c) A família da Sofia foi de férias no Verão passado à ilha de São
Miguel, nos Açores, e aí decidiram alugar um carro para visitar a ilha.
Tiveram a possibilidade de escolha a agência de aluguer de
automóveis “Popó” e a “Calhambeque”. A primeira praticava o preço
de 9 euros fixo mais 15 cêntimos ao km e a segunda 14 euros fixo
mais 12 cêntimos ao km. O pai da Sofia optou pela agência
“Calhambeque”, tendo percorrido 850 km. Terá sido a escolha mais
económica? Justifica a tua resposta.
64 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Soluções:
] ] ] ] [ [ [ [
] ]
] [
( ) .económicos termos em acertada foi escolha a sim );3,2,1,0);4);253
2)6
;;3);;5
23.);2)inequação; da solução é 2)5;;
2
5.)
;10 9);10;.);1.);2
5.)4;
2
29;
2
1.);
5
6;.);10;
3
2.)
;3
4;.);;
7
6.);
4
9;.)3;
19
23;
4
1);
19
23;); inequação da solução é não
2
3)2
:2:2))(;7;);5
9;);
5
9;);7;)1
21
21
cbaxx
xa
dSCcbaSCd
ecSCbSCaSCaSCfSCeSCd
SCcSCbSCaxcxba
BBAeABAdBBAcBbAa
−+>−
+∞−
+∞=−
+∞=
∞−==
=
−=
−∞−=
=
∞−=
+∞=
∞−=
∈
∞−∈
∅=+∞∩=+∞∩∪−∞−==∩
∞−==∪
∞−=−∞−=
65 Marisa Oliveira, Susana Araújo
3.7 Equações do 2º grau
Objectivos:
Traduzir o enunciado de um problema da linguagem corrente para
a linguagem matemática.
Decompor um binómio ou trinómio em factores, com vista à
resolução de equações
Resolver equações do 2º grau, procurando utilizar o processo
mais adequado a cada situação ( lei do anulamento do produto,
fórmula resolvente, noção de raiz quadrada).
Interpretar e analisar as soluções ou a impossibilidade de uma
equação no contexto de um problema.
Discutir, apresentando argumentos, o processo usado na
resolução de um problema.
66 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Equações do 2º grau
Toda a equação que seja equivalente a uma equação do tipo 2
0ax bx c+ + = em
que a, b e c são números reais e 0a ≠ , é uma equação do 2º grau.
Quando uma equação do 2º grau está escrita na forma 2
0ax bx c+ + = , em que a,
b e c são números reais e 0a ≠ dizemos que a equação está escrita na forma
canónica.
a – coeficiente do termo 2
x
b – coeficiente do termo em x
c – termo independente
3.7.1 Classificação das equações do 2º grau
As equações do 2º grau podem classificar-se em:
Completas quando 0b ≠ e 0c ≠
Incompletas quando 0b = 2
0ax c+ =
0c = 2
0ax bx+ =
0b = e 0c = 2
0ax =
Factorização de um polinómio
Factorizar é transformar num produto uma adição algébrica.
Colocação em evidência do factor comum
( )ax bx x a b+ = +
adição produto
x é o factor comum
67 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplos:
23 2 (3 2)x x x x+ = +
(2 3)( 3) (2 3) (2 3)( 3 1) (2 3)( 2)x x x x x x x+ + − + = + + − = + +
Lei do anulamento do produto
O produto de dois ou mais factores é zero quando pelo menos um deles é zero.
0 0 0a b a b× = ⇔ = ∨ =
Exemplos:
a) (2 3)( 2) 0 2 3 0 2 0x x x x+ + = ⇔ + = ∨ + =
b) ( 3) 0 0 3 0a a a a− = ⇔ = ∨ − =
3.7.2 Resolução de equações do tipo 2 0, 0ax b a+ = ≠
2 2
se 0 a equação é impossível
se 0 a equação tem duas raízes distintas
se 0 a equação tem uma única solução 0
b
a
b b bax b x x
a a a
bx
a
<
= ⇔ = > = ±
= =
Exemplos:
a)
2 2 2 5 52 5 0 2 5
2 2
5 5. . ;
2 2
x x x x
C S
− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
= −
b)
2 22 5 0 2 5 equação impossível
. .
x x
C S
+ = ⇔ = −
=`
68 Marisa Oliveira, Susana Araújo
c)
2 2 202 0 0 0
2
. . 0
x x x x
C S
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
=
3.7.3 Resolução de equações do tipo 2 0, 0ax bx a+ = ≠
20 ( ) 0
0 0
0
. . 0;
ax bx x ax b
x ax b
bx x
a
bC S
a
+ = ⇔ + =
⇔ = ∨ + =
⇔ = ∨ = −
= −
Exemplo:
22 4 0 (2 4) 0
0 2 4 0
40 2
2
. . 0;2
x x x x
x x
x x
C S
− = ⇔ − =
⇔ = ∨ − =
⇔ = ∨ = =
=
3.7.3 Equações do 2º grau completas 2 0ax bx c+ + =
1º Caso - Se for possível transformar o 1º membro no quadrado de um binómio
( )2
0 0
. .
cx d cx d
dx
c
dC S
c
+ = ⇔ + =
⇔ = −
= −
Exemplo:
2 24 4 0 ( 2) 0
2 0 2
. . 2
x x x
x x
C S
− + = ⇔ − =
⇔ − = ⇔ =
=
O primeiro membro de uma equação do 2º grau completa escrita na forma
canónica nem sempre é o desenvolvimento do quadrado de um binómio.
69 Marisa Oliveira, Susana Araújo
2º Caso – Usando a fórmula resolvente
Fórmula resolvente das equações do 2º grau:
2 4
2
b b acx
a
− ± −=
Onde a, b e c são os coeficientes dos termos da equação, com a ≠ 0
Exemplo:
2
2
3 70 0
3 3 4 1 ( 70)
2 1
3 9 280
2
3 289
2
3 17
2
14 207 10
2 2
. . 10;7
x x
x
x
x
x
x x x x
C S
+ − = ⇔
− ± − × × −⇔ =
×
− ± +⇔ =
− ±⇔ =
− ±⇔ =
⇔ = ∨ = − ⇔ = ∨ = −
= −
70 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios Propostos:
1. Resolva as seguintes equações, através do método que considere mais
adequado:
a) 2
4( 2)2
xx= − +
b) ( )2
4 25x + =
c) ( )2
3 7x + =
d) 2 18 19 0x x+ − =
e) 2 10 22 0x x− + =
f) 2 3 70 0x x+ − =
g) ( )25 1x x= − +
2. Um terreno rectangular tem 666 2m . Calcule as dimensões do terreno
sabendo que o comprimento excede em 19 m a largura.
3. O triplo da idade do Ricardo é igual ao quadrado da sua metade. Qual é
a idade do Ricardo?
Soluções:
12)3;18arg,37)2
;73;73.);1,9.);4.)1
==
+−−−=−=−=
uralocompriment
SCcSCbSCa
A = 666 2m
x
x - 19
71 Marisa Oliveira, Susana Araújo
3.8 Inequações do 2º grau
3.8.1 Gráfico da função de segundo grau
O gráfico da função definida de IR em IR por f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) é uma
curva chamada parábola, que terá concavidade voltada para cima se a > 0 ou
para baixo se a < 0.
O gráfico de qualquer função f(x) corta o eixo Ox nos seus zeros (ou raízes).
No caso da parábola, isso ocorre dependendo do valor do discriminante ∆ .
• Se ∆ > 0, a parábola intersecta o eixo Ox em dois pontos (a função tem
duas raízes distintas).
• Se ∆ = 0, a parábola intersecta o eixo Ox num único ponto (a função
tem uma raiz dupla).
• Se ∆ < 0, a parábola não intersecta o eixo Ox (a função não tem raízes
reais).
A parábola possui um eixo de simetria que passa pelo vértice V.
O vértice V pode ser um ponto de máximo (a < 0) ou um ponto de mínimo (a >
0) da função.
O vértice da parábola é dado por V ,2 4
b
a a
∆ − −
.
Para resolvermos uma inequação do 2º grau, utilizamos o estudo do sinal.
As inequações são representadas pelas desigualdades: > , > , < , < .
Exemplo:
2 3 2 0x x− + >
2 3 2 0 1 2x x x x− + = ⇔ = ∨ =
72 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero
devemos fazer um esboço do gráfico e ver quais os valores de x para os quais
isso ocorre.
Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2
C.S. = x∈ IR: x<1 ou x>2 ] [ ] [;1 2;= −∞ ∪ +∞
Exemplo:
28 2 8 0x x− < − − <
1º Passo) Separar as inequações, obedecendo o intervalo dado.
Temos:
I) 2 2 8 8x x− − > − e
II) 2 2 1 0x x− + <
2º Passo) Determinar as raízes ou zeros de cada uma das funções obtidas
pela separação 2 2 1 0x x− + < .
I) 2 2 0 0 2x x x x− = ⇔ = ∨ =
II) 2 2 1 0 1x x x− + = ⇔ = (raíz dupla)
73 Marisa Oliveira, Susana Araújo
3º Passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.
I) 0 2x x< ∨ >
II) 1x ≠
4º Passo) Calcular a solução S, que é dada pela intersecção dos intervalos de
S1 e S2.
Observação: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado.
] [ ] [. . ;0 2;C S = −∞ ∪ +∞
3.8.2 Inequação produto e inequação quociente
São as desigualdades da forma:
f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x) .g(x) < 0.
f(x) / g(x) > 0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente.
Exemplo:
a) ( )( )2 29 10 4 4 0x x x x− − − + ≤
1º Passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente
2 0 1
74 Marisa Oliveira, Susana Araújo
2 9 10 0x x− − = (I)
2 4 4 0x x− + = (II)
2º Passo) Determinar as raízes das funções
(I) 1 21; 10x x= − = (II) 1 2 2x x= =
3º Passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.
I) 1 10x x< − ∨ > II) 2x ≠
4º passo) Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da
função de origem, isto é:
> intervalo positivo e bolinha fechada
> intervalo positivo e bolinha aberta
< intervalo negativo e bolinha fechada
< intervalo negativo e bolinha aberta
Observação1: no quadro de respostas (ou soluções), se os intervalos forem
em: f(x) positivo e g(x) positivo o h(x) = f(x). g(x) será +, assim temos: + e + =
+ ; + e - = - ; - e + = - ; - e - = +
75 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Observação2: Na inequação quociente nos zeros do denominador aparece
S.S o que irá influenciar o C.S.; Nos zeros do denominador que aparecem no
C.S. o intervalo será sempre aberto.
x -∞ -1 2 10 +∞ 2 9 10x x− − + 0 - - - 0 + 2 4 4x x− + + + + 0 + + +
Produto + 0 - 0 - 0 +
Assim, as únicas regiões positivas (maiores que zero) são em 1x < − e 10x > .
Logo: ] [ ] [. . ; 1 10,C S = −∞ − ∪ +∞
76 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios Propostos
1. Complete com >,< ou =
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Determine ,em IR, o conjunto solução das condições:
a) ( )( )2 21 3 0x x x+ − ≤
b) 2
2
10
3
x
x x
+≤
−
c) ( )( )23 1 0x x− − >
d) 2
30
1
x
x
−>
−
77 Marisa Oliveira, Susana Araújo
e) 2
12
x≥
f) 2 8 16
02 1
x x
x
− +≤
−
g) 2 1x
xx
−> −
h) 1 1
3 1x x≤
+
i) 3
03 1
x x
x
−≤
+
Soluções:
1. a) 0; 0a > ∆ > ;b) 0; 0a > ∆ < ;c) 0; 0a < ∆ > ;d) 0; 0a > ∆ =
e) 0; 0a < ∆ = ; f) 0; 0a < ∆ <
2. a) ]0,3 ; b) ] [0,3 ; c) ] [ ] [; 1 1;3−∞ − ∪ ;d) ] [ ] [; 1 1;3−∞ − ∪ ;
e) 2 2
; ;2 2
−∞ − ∪ +∞
;f) 1
; 42
−∞ ∪
;g) 2 2
;0 ;2 2
− ∪ +∞
h) 1 1
;0 ;3 2
− ∪ +∞
; e) [ ]1
1; 0;13
− − ∪
78 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Capítulo 4
NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA
79 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Noções básicas de geometria:
Composição e decomposição de figuras geométricas planas.
Cálculo de perímetros, de áreas e de volumes
Semelhança de triângulos
Objectivos:
Decompor um polígono em triângulos e quadriláteros;
Por composição de figuras, obter uma figura dada;
Resolver problemas, relacionando entre si propriedades das
figuras geométricas;
Resolver problemas, no plano e no espaço, aplicando o Teorema
de Pitágoras;
Usar critérios de semelhança de triângulos e as relações entre os
elementos homólogos na justificação de raciocínios;
Relacionar os perímetros e as áreas em triângulos semelhantes;
Usar a semelhança de triângulos na análise de figuras;
80 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Determinar áreas e volumes de sólidos e de objectos da vida real.
Pré-requisitos:
Semelhança de figuras (ampliação e redução de figuras,
polígonos semelhantes);
Áreas e volumes de sólidos.
4. Noções Básicas de Geometria
O estudo da Geometria contribui para uma maior compreensão do mundo que
nos rodeia e que é essencialmente geométrico. Historicamente falando, a
Geometria é uma técnica inventada pelos Babilónios e pelos Egípcios e
transformada numa ciência pelos Gregos.
4.1 Decomposição de figuras e áreas
Decompondo e compondo um figura geométrica
Analise o que se passa em cada conjunto de figuras.
Decompondo
Compondo
Compondo
81 Marisa Oliveira, Susana Araújo
( )100100
100010
1010
1001
222
22
22
22
××
→→
=
=
=
,
,
dmmdam
dmdam
dmm
mmcm
Para calcularmos a área de um polígono qualquer podemos decompô-lo em
triângulos e quadriláteros .
4.1.1 Unidades de área
Exemplos:
Exemplos:
4.1.2 Áreas.
2km 2hm 2dam2m 2dm 2cm 2mm
X 100 X 100 X 100 X 100X 100 X 100
: 100: 100: 100: 100: 100: 100
Para passarmos de uma unidade para a
unidade imediatamente inferior,
multiplica-se por 100
( )100100
101000
001010
0101
222
22
22
22
::
,
,,
,
mmcmdm
dmmm
dmcm
kmhm
←←
=
=
= Para passarmos de uma unidade para a
unidade imediatamente superior,divide-se
por 100
Q u a d ra d o
R e c tâ n g u lo
Triâ n g u lo
Pa ra le lo g ra m o
b
h
b
c
L
L
L
l
h
2LA =
LcA ×=
2
hbA
×=
hbA ×=
82 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios Resolvidos:
A figura mostra a área de um terreno. Determine a sua área.
Resolução: As linhas a tracejado foram desenhadas para ajudar a
resolver o problema.
4.2 Teorema de Pitágoras
5
5
5
8
6
4
7
A =25 2m
( )2
2
104
768
m
mA
=
+×=
2
2
28
74
m
mA
=
×=
+ + = 2157mAtotal =
83 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Conta a lenda que Pitágoras, filósofo e matemático grego, ao olhar para o
chão verificou que:
Desta relação entre as áreas dos quadrados construídos sobre os lados de
um triângulo rectângulo surgiu o Teorema de Pitágoras.
Exercícios Resolvidos:
1. Determine o x da figura:
A=9
A=16
A=25A área de um quadrado construído sobre a
hipotenusa de um triângulo rectângulo é
igual à soma das áreas dos quadrados
construídos sobre os catetos.
35
4
222435 +=
Teorema de Pitágoras
Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados dos catetos
xcm
5cm
12cm
84 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Resolução:
Logo, cmx 13=
Determinação da altura de um poste.
Resolução: Imaginemos que o poste é um segmento de recta
perpendicular ao plano do chão e que a escada é outro segmento de
recta. Aplicamos assim o teorema de pitágoras no espaço.
Considerando x a altura do poste, vem:
Logo, a altura do poste é aproximadamente 14,7 m.
2. Determinação da diagonal de um cubo
2 2 2
2
2
12 5
144 25
169
169
13
x
x
x
x
x
= +
= +
=
=
=
( )dcx
x
x
x
x
x
., 1714
216
216
9225
9225
315
2
2
2
222
=
=
=
=−
+=
+=
85 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Resolução: Comecemos por calcular a diagonal de uma das faces.
Desenhemos o triângulo em que a hipotenusa é a diagonal do cubo.
Logo, o comprimento da diagonal é 75 .
3. A figura representa um trapézio rectângulo [ ]ABCD em que:
Resolução:
Vamos calcular a área do trapézio. Comecemos por calcular DC .
5
5
x
5
50
d
50
50
2525
55
2
2
222
=
=
+=
+=
x
x
x
x
( )
75
75
2550
550
2
2
22
2
=
=
+=
+=
d
d
d
d
A B
CD
2,5cm2cm
86 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Cálculo de DC Cálculo de AB
22 2
22 2
2 2
3,5 2
3,5 2
8,25
DC
DC
DC DC
DC
= +
= −
=
=
Área do trapézio =
4.3 Semelhança de triângulos
4.3.1 Contexto Histórico: Tales de Mileto, matemático e filósofo grego, VI
a.c, certa vez, apresentou-se ao Rei Amasis, do Egipto oferecendo-se para
calcular a altura da pirâmide de Quéops, sem escalar o monumento. Nas
proximidades da pirâmide, fincou uma estaca de madeira no solo.
Concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra da
pirâmide fosse igual ao comprimento da estaca, a altura da pirâmide
seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da
medida da base.
22 2
2
2,5 3,5
18,5
18,5
AB
AB
AB
= +
=
=
.2 8,25 18,52 2
B b DC ABh DC AB
+ +× = = + = +
O raciocínio de Tales nas pirâmides
estaca
A pirâmide de Quéops, situada a dez milhas a Oeste do Cairo,
na planície de Gizé, no Egito, a 39 metrosdo vale do rio Nilo, foi construída a cerca
de 2500 a.C.Considerada uma das sete maravilhas domundo antigo, ela tem 146 m de altura.Sua base é um quadrado, cujos lados
medem cerca de 230m.
RACIOCÍNIO MATEMÁTICO DE TALES
NA PIRÂMIDE
87 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Alturada pirâmide
(H)Altura
daestaca(2 m)
115 mbase
250 msombra
5 msombra
H = 115 + 250 → 5 H = 365 x 2 → 5 H = 730 → H = 730 → H = 1462 5 5
Altura da Pirâmide : 146 metros
•CONCEITO MATEMÁTICO
“Se dois triângulos têm os ângulos respectivamente congruentes, então seus lados são respectivamente proporcionais”
Essa propriedade tem inúmeras aplicações práticas:
Um topógrafo, para calcular a largura de um rio, sem atravessá-lo, faz uso do teodolito - aparelho para medir ângulos, estabelecendo uma distância
de sua posição à margem do rio.
Com essas informações, desenha-se um triângulo semelhante às medidas traçadas ao rio.
A
C B ST
^ ^ ^ ^ ^ ^ AB = AC = BC e C ≡≡≡≡ T B ≡≡≡≡ S A ≡≡≡≡ R RS RT ST
R
88 Marisa Oliveira, Susana Araújo
4.3.2 Casos de semelhança de triângulos
Vamos ver os casos de semelhança de triângulos recordando os casos
de igualdade de triângulos
Existe um grande paralelismo entre os casos de igualdade de triângulos
e os casos de semelhança de triângulos.
Casos de igualdade de triângulos
Casos de semelhança de Triângulos
LLL LAL ALA
Dois triângulos são iguais se os três lados de um são iguais aos três lados de outro.
Dois triângulos são iguais se tiverem dois lados e o ângulo por eles formado iguais.
Dois triângulos são iguais se têm um lado igual e os dois ângulos adjacentes a esse lado iguais.
c ba
a b
c
a′ b′
c ′
Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um sãoproporcionais aos três lados do outro
a′
b′A′
B′
C ′
A
B
C
a
b
A ′ B′
C ′
A B
C
ba
Dois triângulos são semelhantes se têm dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual.
Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos iguais.
89 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios Resolvidos:
1. Observe os triângulos. Os números representam as medidas, em
centímetros, dos segmentos a que estão associados.
1.1 Mostre que os triângulos são semelhantes e indique uma razão de
semelhança que permita construir um a partir do outro.
1.2 Escreva as relações entre os ângulos dos dois triângulos.
Resolução:
1.1 Para verificarmos se os triângulos são semelhantes teremos de
ver se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.
→==356
→==54
3
57
5
9
6
,,
Como 3
2
3
2
3
2== os triângulos [LUA] e [RIO] são semelhantes.
6
53
L
U
A R
I
O
7,54,5
9
Comprimentos dos três lados do triângulo [LUA]
por ordem decrescente
Comprimento dos três lados do triângulo [RIO] por ordem
decrescente
90 Marisa Oliveira, Susana Araújo
A razão de semelhança é 3
2=r .
1.2 Em triângulos semelhantes, a lados correspondentes opôem-se
ângulos iguais. Logo, = = = ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, e R L U I A O .
4.3.2 Relações entre perímetros e entre áreas de triângulos
semelhantes.
Vamos considerar três triângulos semelhantes.
Uma vez que são semelhantes, podemos concluir que:
[ ] cmXZ 4= e [ ] cmQR 6=
E de acordo com o quadro e comparando a 1ª com a 3ª colunas, podemos
concluir que:
Razão de
semelhança
Cálculo das
áreas
Razão das
áreas
[ ][ ]XYZ
ABC
∆
∆
2
5
25
4 4
25
[ ][ ]PQR
ABC
∆
∆
3
5
25
9 9
25
A
B
C10
x
y
z2
Q
R
3
5
91 Marisa Oliveira, Susana Araújo
[ ][ ]PQR
XYZ
∆
∆
3
2
4
9 9
4
De modo análogo,
Exercícios Resolvidos:
Os perímetros de dois triângulos semelhantes são, respectivamente, 16 cm
e 48 cm. Calcule a área do segundo triângulo sabendo que a área do
primeiro é 20 cm2.
Resolução:
Comecemos por determinar a razão de semelhança:
316
48
1
2 ===P
Pr
A razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de
semelhança:
920920
9 22
1
2 ×=== AA
A
A;;
Logo, a área do segundo triângulo é 180cm2.
A razão das áreas é igual ao quadrado da razão de
semelhança 2rA
A
x
y =
A razão dos perímetros é igual à razão de semelhança
rP
P
x
y =
92 Marisa Oliveira, Susana Araújo
base
face lateral
apotl
A
apotlA
××
=
××=
2
4
24
Paralelipípedo
ab
c
a=b=c
( )
cbaV
AAA
abA
bcacA
AbAlAt
lbt
b
l
××=
+=
=
+=
+=
2
2
Cubo
3
26
aV
aAt
=
=
4.4 Áreas e Volumes
4.4.1 Áreas de figuras planas
Já vimos no item 4.1.2 algumas áreas de figuras planas.
Área do Círculo = 2rπ
4.4.2 Áreas e Volumes de Sólidos
No cálculo da área dos sólidos temos de distinguir:
Área Lateral - Al ; Área da base – Ab ; Área Total - At
Se quisermos calcular a área lateral de uma pirâmide regular,
calculamos a área de uma face lateral e multiplicamos pelo
número de faces laterais.
No cálculo das áreas e volumes dos sólidos, iremos usar as
seguintes fórmulas:
AbAlAt
apotPb
Al
+=
×=2
93 Marisa Oliveira, Susana Araújo
hAV
AAA
hPA
b
lbt
bl
×=
+=
×=
2
hAV
AAA
apotPb
A
AnA
b
blt
l
fl
×=
+=
×=
×=
3
1
2
hAV
AAA
hPA
b
lbt
bl
×=
+=
×=
2
hAV
AAA
gP
A
b
lbt
bl
×=
+=
×=
3
1
2
Prisma recto
Pirâmide Regular
Cilindro de Revolução
Cone de Revolução
bP
alturah
Perímetro da base
n
fA
apot
Número de faces
Área da face
Apótema da pirâmide
94 Marisa Oliveira, Susana Araújo
19cm
20cm
46cm
Exercícios Propostos:
1. Determine a área da figura ao lado, considerando como unidade de área:
1.1 A área do
1.2 A área do
2. Calcule a área das seguintes figuras. (As medidas indicadas são em
centímetros.)
2.1
2.2
2.3
3. Calcule a área, em m2, do seguinte trapézio.
95 Marisa Oliveira, Susana Araújo
4. Todos os rectângulos da figura têm 7 cm por 4 cm.
4.1 Qual a área de qualquer dos rectângulos?
4.2 Qual a área de cada um dos triângulos sombreados?
5. Se a área de for 0,5 cm2, qual a área de cada uma das figuras?
6. Sabendo que o lado do quadrado mede 12 cm, determine a área da zona
sombreada de cada figura.
96 Marisa Oliveira, Susana Araújo
7. Utiliza o teorema de Pitágoras para determinar a medida indicada:
8. Classifica, quanto aos ângulos, cada um dos triângulos em que as medidas
dos lados são:
8.1 3,4 e 5 cm
8.2 3,4 e 6 cm
8.3 3,4 e 3 cm
9. Qual o comprimento da diagonal de um quadrado com 18 cm de lado?
10. A diagonal de um quadrado mede 30 cm. Qual é a área do quadrado? E o
perímetro?
11. Dois navios navegam, um para norte e outro para oeste, respectivamente
com as velocidades de 30 km/h e 40 km/h. Sabe-se que largaram à mesma
hora e que se encontraram ao fim de 15 horas. A que distância se
encontram os dois portos de onde largaram os dois barcos?
97 Marisa Oliveira, Susana Araújo
12. Pretende-se ligar por um tubo condutor de água os pontos U e A de um
terreno [UVAS] de forma quadrada e que tem 324 m2 de área. Qual será a
despesa, se cada metro de tubo custa 2,50€.
13. O volume do cubo da figura é 27 m3.
Determine:
13.1 O comprimento da diagonal [PQ].
13.2 O comprimento da diagonal [PR].
14. Sabendo que são semelhantes os pares de triângulos e que os números
representam as medidas, em cm, dos lados a que estão associados,
determine x. ( Utiliza-se o mesmo símbolo para indicar que os angulos são
iguais.)
14.1
14.2
15. Observe a figura e, de acordo com os dados, determine x.
98 Marisa Oliveira, Susana Araújo
16. Considere o seguinte paralelipípedo com as medidas apresentadas na
figura. Determine:
16.1 A área total do paralelipípedo.
16.2 O volume do paralelipípedo.
17. Uma esfera está inscrita num cubo de aresta 20 cm. Determine:
17.1 A área da superfície esférica.
17.2 O volume da esfera.
17.3 O volume do cubo.
17.4 O volume do cubo não ocupado pela esfera.
18. A figura representa uma pirâmide quadrangular. A aresta da base mede 10
cm, a altura da pirâmide é de 20 cm e E é o ponto médio da aresta da base
[DA]. Determine:
18.1 A área total da pirâmide.
99 Marisa Oliveira, Susana Araújo
18.2 VÊO
Soluções:
4263 18.2 ;5cm200100 18.1
;cm3
4000-8000 17.4 ;000cm 8 17.3 ; cm
34000
17.2 ;cm400 17.1
;125cm V16.2 ; 175cm16.1A ; 4,5 15 6,6; 14.2 ; 14.17 5,20cm;27PR 13.2
4,24cm;18PQ 13.1 63,75€; 12 750km; 11 84,9cm;P 450cm A10
;525 9 ;acutângulo 8.3 ; oobtusângul 8.2 ;rectângulo 8.1 10; d)52; c) ; b)17 ; a)13 7
;31d);31c);31b);316a) ;6 e) ;4,5 d) ;6c) ;4 b);3 a) 5
;14 4.2 ;28 4.1 ;0650 3 ;88 2.3 ; 270 2.2 ; 12 2.1 ;.48 2.1 ;.8 1.1
o
3332
32t
2
222222222
222222
′+
====
≅===
πππ
cm,
cmcmcmcmcmcmcmcmcm
cmcmm,cmcmcmauau
100 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Capítulo 5
NOÇÕES BÁSICAS DE TRIGONOMETRIA
101 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Objectivos
Determinar razões trigonométricas de um dado ângulo agudo (por construção,
utilizando tabelas, usando calculadora).
Determinar um ângulo agudo conhecida uma das suas razões trigonométricas
(por construção, utilizando tabelas, usando calculadora).
Determinar uma razão trigonométrica de um ângulo agudo, conhecida outra.
Procurar estratégias adequadas para determinar distâncias a locais
inacessíveis, alturas de edifícios, etc.
Competências
o A compreensão do conceito de forma de uma figura geométrica e o
reconhecimento das relações entre elementos de figuras semelhantes.
o A aptidão para resolver problemas geométricos através de construção,
nomeadamente envolvendo igualdade e semelhança de triângulos, assim
como para justificar os processo utilizados.
o A tendência para procurar invariantes em figuras geométricas e para utilizar
modelos geométricos na resolução de problemas reais.
o A aptidão para visualizar e descrever propriedades e relações geométricas,
através da análise e comparação de figuras, para fazer conjecturas e justificar
os seus raciocínios.
102 Marisa Oliveira, Susana Araújo
5.1 Razões Trigonométricas de um ângulo agudo
As razões trigonométricas mais conhecidas são o seno, o coseno e a tangente. Assim, em qualquer triângulo rectângulo com ângulo θ , como o do exemplo, as raízes trigonométricas são:
____
___
cateto oposto
hipotenusa
BCsen
AB
θ = =
____
___
cateto adjacente
hipotenusa
ACcos
AB
θ = =
____
___
cateto oposto
cateto adjacente
BCtg
AC
θ = =
5.2 Fórmula fundamental da trigonometria
No triângulo da figura, e de acordo com o teorema
de Pitágoras,
2 2 2b c a+ =
Dividindo ambos o membros por 2a , vem
2 22 2 2
2 2 21
b c a b c
a aa a a
+ = ⇔ + =
.
Mas, csen
aα = e cos
b
aα = .
Então ( ) ( )2 2
cos 1senα α+ =
Ou 2 2cos 1sen α α+ = Fórmula Fundamental da Trigonometria
b
c a
A
B
C α
β
Cateto adjacente
Cateto oposto hipotenusa
A
B
C θ
103 Marisa Oliveira, Susana Araújo
5.3 Fórmulas secundárias:
Partindo da fórmula fundamental:
2 2cos 1sen α α+ =
Dividindo ambos os membros por 2sen α e 2
cos α ,obtemos respectivamente as seguintes equações :
2
2 2 2
1 1 11 1
costg
tg senα
α α α+ = + =
3.4 Valores especiais
Considere-se o seguinte triângulo escaleno.
Observando a figura vem:
1 330º 60º
2 2
3 130º 60º
2 2
1 330º 60º 3
33
sen sen
cos cos
tg tg
= =
= =
= = =
60º
30º
3 3
1 2
104 Marisa Oliveira, Susana Araújo
• Considere-se o seguinte triângulo isósceles, tendo os catetos uma unidade de comprimento:
245º cos 45º
2
45º 1
sen
tg
= =
=
Em resumo, tem-se:
θ 30º 45º 60º sen θ 1
2 2
2 3
2
cos θ 3
2 2
2
1
2
tg θ 3
3
1 3
Exemplo:
Seja 3
5senα = . Então,
2 2 2 2
2
2
2
cos 1 cos 1
3 9cos 1 1
5 25
16 16cos cos
25 25
3cos
5
sen senα α α α
α
α α
α
+ = ⇔ = − ⇔
⇔ = − = − ⇔
⇔ = ⇒ = ± ⇒
=
45º
1
2 1
105 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios Propostos:
1. Uma cegonha tem o seu ninho num poste de alta tensão, com 20 metros de altura, no qual foi colocada uma placa especial de modo a que a cegonha não corra qualquer perigo. Do seu ninho, a cegonha vê um alimento no chão e voa em direcção a ele numa inclinação de 35º.
Qual foi a extensão do voo da cegonha?
2. O Tiago mede 1,80 m. Qual é o ângulo de elevação da lua, quando numa noite de lua cheia, a uma certa hora, a sombra do Tiago mede 3 metros?
3. Utilizou-se um teodolito como auxiliar para medir a altura do Padrão dos Descobrimentos, em Belém. Tenha em atenção a figura e considere que α = 2º , β
= 39º e ___
PT = 60m. Qual é a altura do Padrão dos Descobrimentos?
106 Marisa Oliveira, Susana Araújo
4. O Rui quer mudar uma lâmpada. Usou um escadote como se representa na figura ao lado. Tendo em atenção as medições que ele efectuou, as quais são indicadas na figura, determine a que altura se encontra a lâmpada do topo do escadote.
5. O Rui quer colocar a bengala do avô numa caixa com a forma de um paralelepípedo, como se mostra na figura e com as dimensões assinaladas. Será que a bengala do avô do Rui cabe na caixa?
6. Calcule sen β sendo:
a) 1cos =
5β
b) = 2,5tg β
7. Mostre que :
a) 2cos
1 1
xsen x
sen x− =
+
b) ( ) ( )2 2
cos cos 2sen senα α α α+ + − =
c) 21
coscos
sen xx
x
−=
d) 2 2 2cos 2cos 1senβ β β− = −
107 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Soluções:
2 5º1. 24m; 2. 59 ; 3.51m; 4 70cm ou 0,7 m ; 5 A bengala do Rui cabe na caixa ; 6a)sen ; b)sen 0, 93
5α β β= = =
108 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Capítulo 6
NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA E
PROBABILIDADES
109 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Objectivos
Indicar situações da vida quotidiana ou das ciências onde a estatística
presta relevantes serviços;
Identificar, num estudo estatístico, a população, a amostra, a unidade
estatística e o tipo de variável;
Identificar variável discreta e contínua;
Construir tabelas de frequências absolutas, relativas, e acumuladas, a
partir de dados;
Construir e interpretar gráficos de barras, poligonais, circulares e
histogramas;
Usar o símbolo Σ nos cálculos;
Calcular a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados;
110 Marisa Oliveira, Susana Araújo
6.1 Noções Básicas de Estatística
É objectivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam.
No estudo de um problema envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planear a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo a que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja para a população de onde os dados provêm.
Uma noção fundamental em Estatística é a de conjunto ou agregado, conceito para o qual se usam, indiferentemente, os termos População ou universo.
População
Exemplo
Colecção de unidades individuais, que podem ser
pessoas ou resultados experimentais, com uma ou mais
características comuns, que se pretendem estudar.
Por vezes, identifica-se População com a característica populacional que se pretende
estudar. Por exemplo a população das alturas dos alunos curso de preparação para a
prova de Matemática do Concurso Maiores de 23 anos; a população das notas obtidas
no exame;
Nem sempre é possível estudar exaustivamente todos os elementos da população
porque, por exemplo:
- a população pode ser infinita.
111 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplo: a população constituída pelas pressões atmosféricas, nos
diferentes pontos de uma cidade;
- o estudo da população pode levar à destruição da população.
Exemplo: a população dos fósforos de uma caixa;
- o estudo da população pode ser muito dispendioso.
Exemplo: sondagens exaustivas de todos os eleitores, sobre
determinado candidato;
Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população,
estudam-se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra.
Amostra – conjunto de dados ou observações, recolhidos a partir de um subconjunto
da população, que se estuda com o objectivo de tirar conclusões para a população de
onde foi recolhida.
Exemplo:
Relativamente à população das alturas dos alunos matriculados no ISEP,
consideremos a seguinte amostra, constituída pelas alturas (em cm) de 20 alunos
escolhidos ao acaso
175, 163, 167, 162, 176, 169, 180, 177, 168, 167, 171, 172, 170, 168, 176, 180, 168, 177, 161, 182
É muito importante a escolha da amostra pois esta deve ser tão representativa quanto
possível da população que se pretende estudar, uma vez que vai ser a partir do estudo
da amostra que vamos tirar conclusões para a população.
A análise estatística envolve duas fases fundamentais, com objectivos distintos:
- Estatística Descritiva onde se procura descrever a amostra, pondo em
evidência as características principais e as propriedades;
112 Marisa Oliveira, Susana Araújo
- Estatística Indutiva onde conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de
uma análise descritiva da amostra), expressas por meio de proposições,
imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a existência de leis (na
população).
Esquematicamente, temos:
Exemplo:
O gerente de uma fábrica de detergentes pretende lançar um novo produto para lavar
a loiça pelo que, encarrega uma empresa especialista em estudos de mercado de
“estimar” a percentagem de potenciais compradores desse produto
População- conjunto de todos os agregados familiares do país.
Amostra- conjunto de alguns agregados familiares, inquiridos pela empresa.
Problema- pretende-se, a partir da percetagem de respostas afirmativas, de entre os
inquiridos sobre a compra do novo produto, obter uma estimativa do número de
compradores na população.
Podemos classificar os dados que constituem a Amostra, ou dados amostrais, em
dois grupos fundamentais:
- Dados qualitativos representam a informação que identifica alguma
qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de
classificação, assumindo várias modalidades;
113 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplo: O estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, assumindo as
categorias solteiro, casado, viúvo e divorciado.
Os são organizados na forma de uma tabela de frequências que apresenta o
número de elementos – frequência absoluta – de cada uma das categorias ou
classes numa tabela de frequências. Além das frequências absolutas também
se apresentam as frequências relativas, onde
frequência absolutafrequência relativa =
dimensão da amostra
Exemplo: Num inquérito realizado a 150 indivíduos, estes tiveram de assinalar
o sexo – M ou F, e o estado civil – Solteiro, casado, viúvo ou divorciado. Uma
forma de resumir informação contida nos dados, no que diz respeito ao estado
civil, é construir uma tabela de frequências em que se consideram para as
classes as diferentes modalidades que o estado civil pode tomar
Tabela de frequências
classes Frequência absoluta Frequência relativa
solteiro 78 0,52
casado 50 0,33
viúvo 5 0,03
divorciado 17 0,12
Total 150 1
- Dados quantitativos representam a informação resultante de características
susceptíveis de serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades,
que podem ser de natureza discreta (descontínua) – dados discretos, ou
contínua – dados contínuos.
Exemplo: Consideremos uma amostra constituída por 10 alunos de uma turma
em que se pretende saber o número de irmãos de cada um: 3, 4, 1, 1, 3, 1, 0,
2, 1, 2. Estes dados são de natureza discreta.
Se para os mesmos alunos considerarmos as alturas (cm): 153, 157, 161, 160,
158, 155, 162, 156, 152, 159 obteremos dados do tipo contínuo.
114 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Dados discretos – Estes dados só podem tomar um número finito ou infinito
numerável de valores distintos, apresentando vários valores repetidos – é o
caso, por exemplo, do número de filhos de uma família ou o número de
acidentes, por dia, em determinado cruzamento.
Os dados são organizados na forma de uma tabela de frequências, análoga à
construída para o caso de dados qualitativos. No entanto, em vez das
categorias apresentam-se os valores distintos da amostra, os quais vão
constituir as classes.
Exemplo:
Apresentação de dados de variáveis discretas
Consideremos a amostra constituída pelo número de irmãos dos 20 alunos de
uma determinada turma:
1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2
A tabela de frequências é a seguinte:
Tabela de frequências
Classes Frequências absolutas Frequências relativas
0 4 0,20
1 8 0,40
2 4 0,20
3 3 0,15
4 1 0,05
Total 20 1
Exemplo:
Apresentação de dados de variáveis contínuas
Fez-se um estudo sobre as alturas, em metros, dos jogadores de uma equipa e os
dados obtidos estão indicados em baixo.
1,60 1,70 1,62 1,80 1,83
1,82 1,71 1,68 1,68 1,65
1,62 1,64 1,80 1,81 1,78
1,76 1,69 1,64 1,63 1,67
1,68 1,83 1,70 1,71 1,6
115 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Vamos construir uma tabela com os dados agrupados em 5 classes.
Tabela de frequências
ix Frequências
absolutas
Frequências
relativas
[ [1,60;1,65 6 60,24
25=
[ [1,65;1,70 7 70,28
25=
[ [1,70;1,75 4 40,16
25=
[ [1,75;1,80 2 20,08
25=
[ [1,80;1,85 6 60,24
25=
n = 25 1
6.2 Medidas de localização
6.2.1 Média
Considere-se 1 2, ,..., nx x x , uma amostra de n observações
Definição: Chama-se média aritmética ou simplesmente média e representa-se por __
x
ao valor assim obtido:
Para os dados não classificados
__
1 2 1...
n
i
n i
xx x x
xn n
=+ + += =
∑
Para os dados classificados
__
1 1 2 2 1...
m
i i
n n i
f xf x f x f x
xn n
=+ + += =
∑
116 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Onde:
m é o número de classes
if é a frequência absoluta da classe i, 1
1
m
i
n f=
=∑
ix é o valor correspondente da classe i
Se os dados são discretos ou contínuos e as classes são intervalos então, ix é o
ponto médio da classe i. Neste caso o valor da média é um valor aproximado e não um
valor exacto.
Exemplo
Média em dados simples
Perguntou-se a 10 alunos as suas classificações em Estatística e obtiveram-se os
seguintes resultados:
12 15 13 14 13 16 15 15 16 16
Para determinar a classificação média destes alunos aplicamos directamente a
definição de média
__ 12+15+13+14+13+16+15+15+16+1614,5
10x = =
Exemplo:
Média em dados classificados
Suponhamos que os dados do exemplo anterior eram apresentados através da
seguinte tabela
117 Marisa Oliveira, Susana Araújo
ix if
12 1
13 2
14 1
15 3
16 3
10if n= =∑
Para determinarmos a média aproveitamos a tabela anterior para reduzir o número de
parcelas da soma
ix if
i ix f
12 1 12
13 2 26
14 1 14
15 3 45
16 3 48
10if n= =∑ 145i ix f =∑
__1 1 2 2 1... 145
14,510
m
i i
n n i
f xf x f x f x
xn n
=+ + += = = =
∑
Exemplo:
Média – dados classificados em classes
A tabela seguinte refere a área, em hectares, das quintas de uma dada região:
Área (ha) Frequência
[ [0,5 31
[ [5,10 12
[ [10,15 8
[ [15,20 5
n = 56
118 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Neste caso, como os dados estão agrupados em classes, recorre-se ao cálculo do
valor central da classe. Este valor ix (marca da classe) obtém-se determinando a
média dos extremos.
Por exemplo 1
0 50,5
2x
+= =
Deste modo, este caso reduz-se ao anterior.
Classe if Valor central
ix
i if x
[ [0,5 31 2,5 77,5
[ [5,10 12 7,5 90
[ [10,15 8 12,5 100
[ [15,20 5 17,5 87,5
56if =∑ 355i if x =∑
Temos __ 355
6,3 (1 . .)56
x c d= =
Duas outras medidas de localização são a mediana e a moda.
6.2.2 Mediana
Definição: A mediana é o valor que divide a amostra, depois de ordenada, em duas
partes com o mesmo número de observações cada. Pode ser assim calculada
1
2__
12 2
ímpar
par2
n
n n
x n
x x x
n
+
+
= +
Onde (1) ( )... nx x≤ ≤ são as observações ordenadas correspondentes à amostra
1 2, ,..., nx x x .
119 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios Resolvidos:
1. Determinação da mediana em dados simples
Determine a mediana para cada um dos seguintes conjuntos de dados
12 14 15 15 16 16 17 18
20 20 20 20 21 21 22 23
Resolução:
Os dados estão escritos por ordem crescente. O número de dados é 16. Os valores
centrais são 18 e 20. Então __ 18 20
192
x+
= =
2. Perguntou-se a 37 crianças de uma turma que número calçavam. As respostas
foram registadas na tabela seguinte.
Número de sapato, ix 28 30 32 34 36
Frequência, if 3 16 9 6 3
Calcule o número mediano.
Resolução:
n = 37, n é ímpar.
Vamos construir uma tabela de frequências absolutas acumuladas.
ix if iF
28 3 3
30 16 19
32 9 28
34 6 34
36 3 37
n = 37
120 Marisa Oliveira, Susana Araújo
O número de termos é 37. A ordem do temo mediano é:
37 119
2t
+= =
Na coluna iF aparece o número 19.
A mediana é o valor 19x , ou seja,
~
30x = .
3. Calcule a mediana para os dados da seguinte tabela:
ix 28 30 32 34 36
if 5 10 15 6 3
Resolução:
Vamos construir a tabela de frequências absolutas acumuladas.
ix if
iF
28 5 5
30 10 15
32 15 30
34 6 36
36 3 39
n = 39
O número de termos é 39, logo, a ordem do termo mediano é
39 120
2k
+= =
A mediana é o valor 20x , ou seja,
~
32x = .
121 Marisa Oliveira, Susana Araújo
4. Calcule a mediana para os dados da seguinte tabela:
ix if iF
28 4 4
30 10 14
32 12 26
34 5 31
36 3 34
n = 34
Resolução:
O número de elementos é 34, n é par.
1
3417
2k = = 2
34 218
2k
+= =
Percorrendo a coluna iF , não encontramos nem o 17 nem o 18.
Como ambos são maiores do que 14 e menores do que 26, assinalamos a linha
correspondente a 26, da coluna iF . Logo
~
32x = .
5. Calcule a mediana para os dados da tabela.
ix if
iF
28 4 4
30 13 17
32 10 27
34 4 31
36 3 34
n = 34
Resolução:
O número de elementos é 34.
122 Marisa Oliveira, Susana Araújo
1
3417
2k = =
2
34 218
2k
+= =
Neste caso, procurando estes valores, na coluna iF encontramos apenas o número
17. O outro valor (18) está na linha seguinte (18 > 17 e 18 < 27).
Logo, os termos a considerar são 17 30x = e
18 32x = .
Logo, ~ 30 32
312
x+
= =
6. Calcule a mediana para os dados da tabela.
ix if iF
28 4 4
30 13 17
32 11 28
34 3 31
36 1 32
n = 32
Resolução:
O número de elementos é 32.
1
3216
2k = = 2
32 217
2k
+= =
Neste caso, procurando estes valores, na coluna iF encontramos o número 17. Um
dos valores que vai entrar no cálculo da mediana é 17 30x = .
O outro valor, 16x , será também determinado na mesma linha (16 > 4 e 16 < 17).
Logo, os termos a considerar são 17 30x = e
18 32x = .
Logo, ~
16 17 30 3030
2 2
x xx
+ += = =
123 Marisa Oliveira, Susana Araújo
7. Determinação da mediana: dados classificados em classes
A tabela seguinte mostra os resultados de um estudo estatístico sobre as
distâncias percorridas pelos táxis de uma companhia durante um ano. Calcule a
classe mediana desta distribuição.
Distância
(milhares de km)
[ [80,85 [ [85,90 [ [90,95 [ [95,100
[ [100,105
Frequência 18 25 30 22 5
Resolução:
Para determinar a mediana, construamos uma tabela de frequências absolutas e
acumuladas.
Classe if iF
[ [80,85 18 18
[ [85,90 25 43
[ [90,95 30 73
[ [95,100 22 95
[ [100,105 5 100
n = 100
Como a distribuição apresenta os dados agrupados em classes, admite-se que os
valores da variável se distribuem igualmente em cada uma delas e considera-se a
mediana o termo de ordem 2
n , não se fazendo distinção se n é par ou ímpar.
Como o número de elementos é 100, a ordem do termo mediano é 100
502
t = = . A
mediana é o termo de ordem 50, que, apesar de não aparecer na coluna iF ,
corresponde a 3 73F = . Então, [ [50 90,95x ∈ .
Logo, [ [90,95 é a classe mediana.
124 Marisa Oliveira, Susana Araújo
6.2.3 Moda
Definição: A moda, mo, é a observação mais frequente, se existir.
Caso discreto – é o valor que ocorre com maior frequência.
Caso contínuo – só faz sentido definir-se sobre dados agrupados – é um valor do
intervalo de classe com maior frequência.
Exercícios Resolvidos
1. Determine a moda para cada um dos conjuntos de dados.
1.1
1 3 5 3 5 6 8 5
Resolução:
A moda é 5;
1.2
1 3 2 3 2 7
Resolução:
Há duas modas: 2 e 3;
1.3
1 2 3 4 5
Resolução:
O conjunto de dados não tem moda; é, portanto, amodal.
125 Marisa Oliveira, Susana Araújo
2. Pediu-se aos 21 alunos de uma turma para indicarem o género de leitura que preferem:
livros de cowboys (C); aventuras (A); ficção (F); viagens (V); animais (Na); outros (O). Os
resultados obtidos foram os seguintes:
F A An F C O A
V C F F A F F
F F A An F O V
Qual é a moda?
Resolução:
Por observação directa, verificamos que o valor mais frequente é F.
Logo, a moda é F. Assim, podemos dizer que para este grupo de alunos os livros
preferidos são os de ficção.
3. Observe a seguinte tabela:
Temperatura mínima (ºC)
em Julho, ix
Número de dias
in
12 3
14 4
15 6
16 7
17 5
18 6
Qual é a moda?
Resolução:
Por observação da tabela conclui-se que o valor da variável ix que aparece com
maior frequência é 16. Logo a moda é 16.
126 Marisa Oliveira, Susana Araújo
4. Pesaram-se 100 sacos de arroz embalados por uma máquina programada para produzir
embalagens com 1 kg. A tabela seguinte sintetiza os resultados da observação.
Peso (g) Nº de sacos
[ [994,996 4
[ [996,998 15
[ [998,1000 35
[ [1000,1002 40
[ [1002,1004 6
n = 100
Qual é a classe modal?
Resolução:
A classe [ [1000,1002 tem maior frequência. Logo, podemos dizer que a moda pertence à
classe [ [1000,1002 e que esta é a classe modal.
Exemplos:
1. Um agricultor estudou o crescimento de plantas da mesma espécie em ambiente
de estufa:
Calculou o crescimento médio das plantas em estudo e dividiu pelo nº total de
plantas:
3+6+7+5+9+10+6+4+6+7+8
11
Concluiu que o crescimento médio é de 6.5 cm.
Crescimento em, cm, de 11 plantas
3 5 6 8
6 9 4 7
7 10 6
127 Marisa Oliveira, Susana Araújo
2. Observou-se o nº de cartões amarelos mostrados por um árbitro em 12 jogos de
futebol consecutivos
Nº de cartões amarelos
3 5 6 1
6 9 8 6
1 8 3 6
A medida mais simples que se usa para representar este conjunto de dados é a
moda, ou seja, o valor da variável que ocorre com maior frequência.
Nos dados apresentados verifica-se que o dado que aparece com maior
frequência é o 6. Logo a moda é o 6.
Para um conjunto de dados, pode existir mais do que uma moda ou até
nem existir moda.
Se o conjunto de dados tiver uma única moda, esse conjunto diz-se unimodal;
Se o conjunto de dados tiver duas moda, esse conjunto diz-se multimodal;
Se o conjunto de dados não tiver moda diz-se amodal.
3. Em cinco testes de Matemática o João obteve as seguintes classificações:
30% 50% 25% 80% 65%
Por ordem crescente as classificações são as seguintes:
25% 30% 50% 65% 80%
Mediana
Mais tarde o João fez um sexto teste e agora os dados são:
25% 30% 50% 65% 80% 85%
Valores centrais
Mediana = 50%+65%57,5
2=
128 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios Propostos:
1. Uma amostra de 25 caixas de bombons foi seleccionada de um stock de 100
caixas. O peso em gramas de cada caixa foi o seguinte:
93 100 106 104 98
97 98 104 92 94
101 103 96 100 108
100 108 97 103 100
94 104 95 101 102
a) Construa uma tabela de frequências, agrupando o peso das caixas em
intervalos de amplitude 5g.
b) Determine, em percentagem, as frequências relativas de cada classe.
2. As alturas, em centímetros, de um grupo de alunos são:
160 162 152 159 155
155 161 155 153 154
Determine a:
a) altura média;
b) altura mediana;
c) altura modal.
3. As classificações obtidas por uma turma de 24 alunos num teste de matemática,
cotado de 0 a 100 pontos, foram as seguintes:
46 64 50 35 85 42 47 72
31 42 53 47 51 31 15 81
80 72 60 52 53 47 32 50
129 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Determine:
a) A classificação média;
b) A classificação mediana;
c) A classificação modal.
4. As horas de sol por dia, registadas numa praia durante um período de 61 dias,
foram as seguintes
Horas de sol 5 6 7 8 9 10 11
Frequência
(dias) 6 12 10 9 8 8 8
a) Determine o número modal de horas de sol por dia;
b) Determine o número mediano de horas de sol por dia;
c) Determine o número médio de horas de sol por dia.
5. Pediu-se aos alunos de uma turma que contassem o número de objectos que
tinham nos seus bolsos. Os resultados obtidos apresentam-se na tabela seguinte
Nº de objectos [ [0,5 [ [5,10 [ [10,15 [ [15,20 [ [20, 25
Frequência 6 11 6 4 3
Determine o número médio de objectos e as classes modal e mediana.
Soluções:
130 Marisa Oliveira, Susana Araújo
6.3 Estatística e Probabilidades
Objectivos:
Reconhecer que em determinados acontecimentos há um grau de incerteza.
Identificar resultados possíveis numa situação aleatória.
Calcular, em casos simples, a probabilidade de um acontecimento como
quociente entre número de casos favoráveis e número de casos possíveis.
Compreender e usar escalas de probabilidades de 0 a 1 ou de 0% a 100%.
Usar conscientemente as expressões “muito provável”, “improvável”, “certo”,
“impossível”,…
Compreender e usar a frequência relativa como aproximação da probabilidade.
Competências Específicas:
o Sensibilidade para distinguir fenómenos aleatórios e fenómenos deterministas e
interpretar situações concretas de acordo com essa distinção.
o Aptidão para entender e usar de modo adequado a linguagem das probabilidades
em casos simples.
131 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Quando realizamos várias vezes a experiência deixar cair um prego para dentro de um
balde de água, verificamos que fatalmente o prego se afunda.
Existe, no entanto, outro tipo de experiências cujo resultado final não é assim tão certo.
A uma experiência cujo resultado depende do acaso, ainda que repetida nas mesmas
condições, chama-se experiência aleatória.
Exemplos: São experiências aleatórias:
- lançamento de uma moeda;
- lançamento de um dado;
- tirar ao acaso uma bola de um saco com bolas numeradas;
- tirar ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas.
Apesar de não sabermos qual vai ser o resultado de uma experiência aleatória, é
possível identificar quais são os resultados possíveis. Assim, no lançamento de um dado,
embora não se saiba qual será a face que ficará voltada para cima, conhecem-se todos
os resultados possíveis 1,2,3,4,5,6
Ao conjunto de todos os resultados possíveis numa experiência aleatória chama-se
espaço de resultados ou espaço amostral.
Acontecimentos certos são aqueles que se verificam sempre.
Exemplo:
No lançamento de um dado “sair número menor do que 7” é um acontecimento certo.
Acontecimentos impossíveis são aqueles que nunca se verificam.
Exemplo:
No lançamento de um dado “sair número negativo” é um acontecimento impossível.
Exemplo:
No lançamento de um dado é tão provável “sair número par” como “sair número ímpar”,
ou seja, são acontecimentos equiprováveis.
132 Marisa Oliveira, Susana Araújo
6.3.1 Probabilidade de um acontecimento
A probabilidade de um acontecimento A, P(A), é o quociente entre o número de casos
favoráveis e o número de casos possíveis
número de casos favoráveis( )
número de casos possíveisP A =
Exemplo:
No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número par” é:
P(“”sair nº par) = 3 1
6 2=
Acontecimentos equiprováveis
P(“”sair nº ímpar) = 3 1
6 2=
Exemplo:
No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número negativo” é:
P(“sair nº negativo”) = 00
6= Acontecimento Impossível
Exemplo:
No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número menor do que 7” é:
P(“sair nº < 7”) = 61
6= Acontecimento certo
A probabilidade de um acontecimento certo é 1 (100%)
A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 (0%)
A probabilidade de um acontecimento pode variar entre 0 e 1 (entre 0% e 100%).
133 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplo:
Num saco estão 10 bolas idênticas e numeradas de 0 a 9. Tira-se uma bola desse saco
ao acaso.
Qual a probabilidade da bola extraída:
A- “ser a bola com o número 7”?
B- “ser uma bola com número primo”?
C- “não ser uma bola com número par”?
D- “ser uma bola com número ímpar ou com número primo”?
P(A) = 1
10 = 0,1 = 10%; P(B) = 4
10 = 0,4 = 40%; P(C) = 5
10 = 0,5 = 50%,
P(D) = 6
10 = 0,6 = 60%
A contagem do número de casos favoráveis e do número de casos possíveis necessária
na determinação de uma probabilidade (aplicando a Lei de Laplace) nem sempre é tarefa
fácil. Nos problemas mais complexos é usual recorrer-se a esquemas que permitem
conhecer mais facilmente o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.
Entre estes esquemas destacam-se os:
- diagramas de Venn;
- diagramas de dupla entrada;
- diagramas de árvore.
Exemplo:
Utilização de um diagrama de Venn
Interrogaram-se os 80 trabalhadores de uma fábrica sobre o jornal que costumam ler
diariamente.
Dos 80, 25 declararam que lêem diariamente o jornal Alfa, 40 o jornal Beta e 10 afirmam
que lêem ambos.
Escolhem-se aleatoriamente um desses 80 trabalhadores.
134 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Elaborando o diagrama de Venn respectivo, temos
Ω = trabalhadores da fábrica
A = trabalhadores que lêem o jornal Alfa
B = trabalhadores que lêem o jornal Beta
Com a ajuda do diagrama de Venn facilmente se determinam as probabilidades:
P(“ler apenas o jornal Beta”) = 30 3
80 8=
P(“não ler nenhum dos jornais”) = 25 5
80 16=
P(“ler pelo menos um dos jornais”) = 55 11
80 16=
B
30 10
15
A
25
Ω
135 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplo:
Utilização de um diagrama de dupla entrada
Lançam-se dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6. Qual a
probabilidade de a soma dos pontos saídos ser 5?
Dado 2
Dado1
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Observando a tabela de dupla entrada facilmente se verifica que a probabilidade pedida
é:
P(“a soma dos pontos ser cinco”) = 4 10,1111 11,11%
36 9= = =
136 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplo:
Utilização de um diagrama de árvore
Lança-se uma moeda equilibrada ao ar três vezes seguidas. Qual é a probabilidade de se
obter duas vezes euro e uma vez face?
Observando o diagrama de árvore, verifica-se que:
P(“obter duas vezes euro e uma face”) = 30, 375 37, 5%
8= =
6.3.2 Frequência relativa e probabilidade
Lei dos grandes números: Para um número muito elevado de experiências, a
frequência relativa de um acontecimento é um valor muito aproximado da sua
probabilidade.
E ( E E E )
E
F ( E E F )
E ( E F E )
F
F ( E F F )
E ( F E E )
E
F ( F E F )F
E ( F F E )
F
F ( F F F )
E
→
→
→
→
→
→
→
→
137 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exercícios Propostos:
1. Escreva alguns acontecimentos:
a) Prováveis;
b) Certos;
c) Impossíveis.
2. Quais dos seguintes valores não correspondem à probabilidade de um
acontecimento: 2 7 9 1,1, , , 0, , 2
3 8 8 2?
3. Escolheu-se ao acaso um número entre 1 e 11. Qual a probabilidade de escolher
um número ímpar?
4. Qual é a probabilidade de escolher uma carta de copas num baralho de 52
cartas?
5. Lançou-se um dado perfeito. Calcule a probabilidade de obter:
a) O número 6;
b) Um número par;
c) Um número ímpar;
d) Um número menor que 5.
6. Uma caixa contém 6 bolas vermelhas, 5 verdes, 8 azuis e 3 amarelas. Determine
a probabilidade de, escolhendo uma bola ao acaso, ela ser:
a) Verde;
b) Vermelha;
c) Amarela;
d) Azul.
138 Marisa Oliveira, Susana Araújo
7. A professora de Matemática colocou 4 bolas pretas e 1 vermelha numa caixa.
Pediu aos alunos para determinarem a probabilidade de sair uma bola vermelha
quando se tira da caixa uma bola ao acaso.
A Maria disse que era 1
4, porque há uma bola vermelha e quatro pretas. O Miguel
disse 1
5, porque das 5 bolas só uma é vermelha.
a) Qual das respostas está correcta? Explique porque é que a outra está errada.
b) Qual é a probabilidade de sair uma bola preta?
8. Uma caixa contém 40 chocolates com a mesma forma e tamanho: 6 são de
chocolate com avelã, 15 de chocolate preto, 10 de chocolate de leite e os
restantes de chocolate branco. Retirando ao acaso um chocolate da caixa , qual a
probabilidade de:
a) Ser de chocolate com avelã?
b) Ser de chocolate de leite?
c) Ser de chocolate branco?
9. Um saco contém 3 bolas pretas e 2 brancas. Calcule a probabilidade de tirar (sem
reposição):
a) Uma bola branca;
b) Três bolas brancas (em 3 extracções consecutivas);
c) Três bolas pretas (em 3 extracções consecutivas);
d) Uma bola azul;
e) Uma bola branca ou preta (numa só extracção).
139 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Capítulo 7
FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL: AFIM,
QUADRÁTICA E MÓDULO
140 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Funções reais de variável real
Gráfico cartesiano de uma função em referencial ortogonal
Definição de função, gráfico e representação gráfico de uma
função.
Estudo do domínio, contradomínio, pontos notáveis e extremos
relativos e absolutos.
Objectivos:
Definir função;
Identificar uma correspondência entre dois conjuntos que seja
uma função;
Distinguir a variável dependente da variável independente;
Usar a simbologia das funções;
Identificar o domínio, o contradomínio, pontos notáveis, monotonia
e extremos (relativos e absolutos) de uma função quando
possível.
Determinar o domínio de uma função quando definida para uma
expressão algébrica;
Identificar uma função afim;
Conhecer as designações função linear e função constante como
casos particulares de uma função afim.
Definir zero, extremo absoluto, extremo relativo e intervalo de
monotonia de uma função.
Pré-requisitos:
Definição de função
141 Marisa Oliveira, Susana Araújo
7. Funções
Na resolução de problemas práticos usamos muitas vezes relações entre
grandezas que variam. Por exemplo, a distância percorrida numa viagem e o
tempo gasto, o número de impulsos e o preço de uma chamada telefónica a
temperatura do ar e a altitude. Em Matemática estas grandezas que variam
damos o nome de variáveis e a algumas relações entre elas chamamos
funções.
7.1 Definição, domínio e contradomínio
Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma correspondência
que associa a cada elemento a A um e um só elemento b B
(correspondência unívoca). É usual a notação
BAf →:
para representar uma função f de A em B. Para cada a A o correspondente
elemento b B é a imagem de a por f e é usualmente representado por f(a).
O conjunto A é o domínio de f, também representado por Df .
O conjunto B é o conjunto de chegada de f.
O conjunto das imagens dos elementos de A por f, isto é, o conjunto
AaBaf ∈∈ :)(
é o contradomínio de f, usualmente representado por CDf. Naturalmente, tem-
se que CDf B.
Uma função está definida quando se conhece o seu domínio, o seu conjunto de
chegada e o modo de identificar ou calcular a imagem de cada elemento do
domínio.
∈ ∈
∈
∈
⊆
142 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Uma função pode ser definida de diversas formas. Por exemplo, a função f de
A = 1, 2, 3, 4, 5 em B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 que a cada elemento de A
faz corresponder o seu dobro pode ser definida indicando explicitamente a
imagem f(a) de cada elemento a A:
Observe-se que se tem CDf = 2, 4, 6, 8, 10.
Pode também utilizar-se um diagrama:
Este tipo de diagrama designa-se usualmente por diagrama de Venn.
Pode também recorrer-se a uma expressão designatória, neste caso a
expressão designatória 2x, e escrever
Para simplificar pode omitir-se a referência “para x A” e escrever
( ) x
BAf
2=→
→
xf x
:
∈
( )
( )
( )
( )
( ) 105
84
63
42
21
=
=
=
=
=
→
f
f
f
f
f
BAf
:
( ) Axxxf
BAf
∈=
→
para
:
2
∈
143 Marisa Oliveira, Susana Araújo
ou ainda
2x x
:
→
→ BAf
Pode também recorrer-se a mais de uma expressão designatória para definir
uma função, caso em que se diz que a função está definida por troços ou
ramos.
Por exemplo, a função
associa a cada real não negativo x o seu quadrado e a cada real negativo x o
simétrico do seu quadrado.
Exemplo: Seja
a correspondência que a cada natural INx∈ faz corresponder o
natural INx∈ . Trata-se duma correspondência unívoca nos naturais, logo
temos uma função. Esta função é conhecida como função identidade nos
naturais. Neste caso, o domínio Df é o conjunto dos naturais e contradomínio
fD′ coincide com o conjunto de chegada , isto é
INCDD ff ==
Ao gráfico desta função pertencem os pares (1,1), (2,2), (5,5), por
exemplo. Em geral, escrevemos para o gráfico
cuja representação gráfica (conjunto de pontos discretos) se vê na Fig.
1.
ININf →:
144 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Fig. 1. Representação gráfica da função f
Observe-se que é possível efectuar um teste simples à representação
gráfica para determinar se se trata da representação gráfica duma
função (teste do gráfico): se qualquer recta vertical intersectar o gráfico
em, no máximo, um ponto, pode concluir-se que se trata da
representação gráfica duma função.
Se se considerar
a correspondência que a cada real IRx∈ associa o real IRx∈ também
se obtém uma função, que é conhecida como função identidade nos
reais. Observe que neste caso, o domínio Dg é o conjunto dos números
reais, bem como o contradomínio CDg, e por isso gf ≠ . A representação
gráfica desta função pode ver-se na Fig. 2.
Fig. 2. Representação gráfica da função g
IRIRg →:
145 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Vamos considerar a correspondência h que a cada +
0∈IRx associa e
. Trata-se duma correspondência que não é unívoca. Por exemplo,
temos que a x = 1 corresponde o valor 1, mas também o valor -1, logo
não temos uma função. Conforme se pode ver na Fig.3, a curva
representada não é o gráfico duma função (observe que falha o teste do
gráfico).
Fig. 3. Representação gráfica da correspondência h
7.2 Funções reais de variável real
Funções reais de variável real são funções cujo domínio é um subconjunto de
IR e o conjunto de chegada é IR.
Ao definir uma função real de variável real f através de uma expressão
designatória f(x), se não se indicar explicitamente o domínio de f deve sempre
assumir-se que este é o conjunto de todos os reais a tais que f(a) representa
um número real. Por exemplo, quando se diz “f é a função real de variável real
definida por no seu domínio” tal significa que f é a função
pois é precisamente o conjunto dos reais a para os quais
representa um número real.
146 Marisa Oliveira, Susana Araújo
De igual modo, quando se diz “f é a função real de variável real definida por
no seu domínio” tal significa que f é a função
dado que é o conjunto dos reais a para os quais representa
um número real.
7.2.1 Gráfico
Seja f uma função real de variável real.
O gráfico de f é o conjunto
A representação gráfica de G é constituída pelos pontos do plano cartesiano
que representam os pares (x, f(x)) com x Df . É usual designar a
representação gráfica do gráfico de f simplesmente por representação gráfica
de f ou gráfico de f.
Considerando o sistema de eixos Oxy na Fig. 2,
Fig. 2. Sistema de eixos Oxy
a recta Ox é usualmente designada eixo das abcissas ou eixo dos xx e a
recta Oy é usualmente designada eixo das ordenadas ou eixo dos yy.
147 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Note-se que Df se identifica graficamente com o conjunto das abcissas dos
pontos do gráfico (a azul na Fig. 2) e que CDf se identifica graficamente com o
conjunto das ordenadas dos pontos do gráfico (a cor de laranja na Fig. 2).
Fig. 2. Representação gráfica do gráfico G de uma função f com Df a cor azul e
CDf a cor de laranja.
7.2.2 Igualdade de funções
Duas funções reais de variável real f e g são iguais se
• Df = Dg
• f(x) = g(x) para cada x Df .
7.2.3 Zeros e sinal de uma função
Seja f uma função real de variável real a ∈ Df . Diz-se que
• a é um zero de f se f(a) = 0
• f é positiva em a se f(a) > 0
• f é não negativa em a se f(a) 0
• f é negativa em a se f(a) < 0
• f é não positiva em a se f(a) 0
148 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Diz-se que a função f é positiva num subconjunto A de Df se f é positiva em a
para cada a ∈ A. De igual modo se define função não negativa, negativa e não
positiva em A.
Fig. 3. Gráfico de uma função f
Na Fig. 3 encontra-se o gráfico de uma função f real de variável real, com
domínio Df=[-2,11/2[. Observe-se que
• -2 e 2 são zeros da função f
• f é positiva em ]2,11/2[
• f é não negativa em [2,11/2[
• f é negativa em ]-2,2[
• f é não positiva em [-2,2]
7.2.4 Monotonia de uma função
Seja f uma função real de variável real e seja A um subconjunto de Df .
Diz-se que
• f é uma função crescente em A se
f(a) > f(b) para cada a, b ∈ A tal que a > b
• f é uma função crescente em sentido lato em A se
f(a) f(b) para cada a, b ∈ A tal que a > b
149 Marisa Oliveira, Susana Araújo
• f é uma função decrescente em A se
f(a) < f(b) para cada a, b ∈ A tal que a > b
• f é uma função decrescente em sentido lato em A se
f(a) f(b) para cada a, b ∈ A tal que a > b
Designa-se também por estritamente crescente e estritamente decrescente
em A uma função crescente e decrescente em A, respectivamente.
A função f diz-se monótona em A se for crescente em A ou se for decrescente
em A.
Quando A = Df, pode omitir-se a referência a A. Neste caso, fala-se então
simplesmente de função crescente, função decrescente, função monótona, etc.
Fig. 4. Gráfico de uma função f
Na Fig. 4 encontra-se o gráfico de uma função f real de variável real, com
domínio Df=[-2,11/2[, decrescente em [-2,0] e em [4,11/2[ (a cor de laranja na
Fig. 4) e crescente em [0,4] (a azul na Fig. 4).
150 Marisa Oliveira, Susana Araújo
7.2.5 Extremos de uma função
Vizinhança
Recorde que uma vizinhança de a ∈ IR é um intervalo com +∈∂ IR .
Seja f uma função real de variável real, a Df.
• Extremos relativos
– f tem um máximo relativo em x = a se existir uma vizinhança I de a tal
que para todo o
– f tem um mínimo relativo em x = a se existir uma vizinhança I de a tal
que para todo o
• Extremos absolutos
– f tem um máximo absoluto em x = a se para todo x Df ; f(a) é
o maior valor de CDf e é o maior dos máximos relativos
– f tem um mínimo absoluto em x = a se para todo x Df ; f(a) é
o menor valor de CDf e é o menor dos mínimos relativos
Fig. 5. Gráfico de uma função f
151 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Na Fig. 5 encontra-se o gráfico de uma função f real de variável real, com
domínio Df=[-2,11/2[. A função f tem um mínimo absoluto com valor -2 em x=0
e um máximo absoluto com valor 3 em x=4.
7.2.6 Função par e função ímpar
Seja f uma função real de variável real tal que x Df se e só se −x Df , para
todo o x . Diz-se que
• f é uma função par se f(−a) = f(a) para todo a Df
• f é uma função ímpar se f(−a) = −f(a) para todo a Df
Fig. 6. Gráfico de uma função ímpar a preto e de uma função par a azul
Note que um gráfico de uma função par é sempre simétrico relativamente ao
eixo Oy.
7.2.7 Função injectiva, sobrejectiva e bijectiva
Seja f uma função real de variável real. Diz-se que
• f é uma função injectiva se
para quaisquer a, b Df tais que a b se tem f(a) f(b)
• f é uma função sobrejectiva se
152 Marisa Oliveira, Susana Araújo
para cada b existe a Df tal que f(a) = b
• f é uma função bijectiva se é injectiva e sobrejectiva
7.2.8 Função periódica
A função real de variável real f diz-se periódica se existe um número real P
diferente de 0 tal que para todo o x Df
• x + P Df e x − P Df
• f(x + P) = f(x)
Exemplo de funções periódicas são as funções trigonométricas seno, coseno e
tangente.
7.2.9 Função inversa
Seja f uma função real de variável real injectiva. Chama-se função inversa de f
à função que se designa por f−1 e é tal que
• Df−1 = CDf
• dado y CDf , ou seja y = f(x) então f−1(y) = x.
Observe-se que f(f−1(x)) = x para todo o x Df−1 e que f−1(f(x)) = x para todo x
Df. Note-se também que CDf−1 = Df.
Note-se ainda que (f−1)−1 = f.
153 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Fig. 7. Diagrama de Venn de uma função f (setas a preto) e de f-1 (setas a cor
de laranja).
7.2.10 Operações sobre funções
Sejam f e g função real de variável real.
• A função f + g é a função real de variável real tal que
– Df+g = Df Dg
– (f + g)(x) = f(x) + g(x).
• A função f − g é a função real de variável real tal que
– Df−g = Df Dg
– (f − g)(x) = f(x) − g(x).
• A função f × g é a função real de variável real tal que
– Df × g = Df Dg
– (f × g)(x) = f(x) × g(x).
A função f x g pode também ser designada por fg.
• A função fn, com n , é a função real de variável real tal que
– Dfn = Df
– (fn)(x) = (f(x))n.
154 Marisa Oliveira, Susana Araújo
• A função é a função real de variável real tal que
–
– .
• A função , com n ímpar, é a função real de variável real tal que
–
– .
• A função , com n par, é a função real de variável real tal que
–
–
7.2.10 Composição de funções
Sejam f e g função real de variável real. A função composta de g com f é a
função real de variável real que se designa por e é tal que
• • .
As funções f e g dizem-se permutáveis se .
155 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Fig. 8. Diagrama de Venn de f e g (setas a preto) e da composição (setas as
cor de laranja).
7.2.11 Extensão e restrição de função
Seja f uma função real de variável real.
• Uma extensão, ou prolongamento, de f a um conjunto tal que
é uma função real de variável real g tal que
–
– g(x) = f(x) para cada .
Note que se existem muitas extensões de f a C, pois o valor de g(x)
quando pode ser um qualquer valor real.
• A restrição de f a um conjunto é a função real de variável real g tal
que
–
– g(x) = f(x) para cada .
É frequente usar a notação para representar a restrição da função f ao
conjunto C.
7.3 Funções cujos os gráficos são rectas. Função afim.
Existem muitas situações que podem ser traduzidas e resolvidas por
funções lineares ou afins. Estas funções constituem uma família e a
representação gráfica de cada elemento dessa família é sempre uma
recta.
156 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Qual o significado do número 4 nas expressões que definem as
funções?
As rectas que representam as funções intersectam o eixo dos yy no
ponto de ordenada 4.
Qualquer das funções representadas tem a designação de função afim.
xy = xy 4−= xy31
= xy31
−=
7.4 Função Módulo
O valor absoluto ou módulo de x representa-se por x e é definido do
seguinte modo:
<−
=
>
=
≤−
>=
<−
≥=
0 xse
0 xse 0
0 xse
ou 0 xse
0 xse ou
0 xse
0 xse
x
x
xx
xx
x
xx
A função real de variável real, xyf =→: é chamada a função módulo ou valor
absoluto.
Uma função afim é definida por uma expressão algébrica do tipo IRbabaxy ∈+= ,, ou bmxy += , m designa o declive da recta e
b a ordenada na origem.
O gráfico de uma função afim é uma recta.
157 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Outra forma de encontrar o valor absoluto de um número é elevar o
número ao quadrado e em seguida determinar a raiz quadrada.
2xx =
Exercícios Resolvidos:
Escreva a expressão algébrica das funções representadas.
Resolução:
( ) 34 +−= xxg ; ( ) xxh32
−= ;
( ) 26)( −+−= xxi ; ( ) ( ) 272 −−−= xxj .
2xy =
158 Marisa Oliveira, Susana Araújo
7.4.1 Gráfico da função ( )xf .
O que poderá acontecer ao gráfico de uma função se substituirmos
( )xf por ( )xf ?
Nas funções xy = as imagens são sempre positivas. A parte do gráfico da
função xy = que estava “abaixo” do eixo dos xx aparece simetricamente
colocada relativamente ao eixo dos xx.
159 Marisa Oliveira, Susana Araújo
7.4.2 Gráfico de função ( )xf
Quando se substitui x por x , na expressão designatória de unma função,
obtém-se uma nova função que é necessariamente uma função par.
Seja xyf =→:
O domínio da função f é +ℜ0 .
Seja xyxg =→:
O domínio da função g é ℜ
7.4.3 Generalização dos gráficos das funções ( )xf e ( )xf
a) Valor absoluto de variável dependente
160 Marisa Oliveira, Susana Araújo
O gráfico da função ( )xfy = obtém-se do gráfico da função
( )xfy = mantendo os pontos de ordenada positiva ou nula e
transformando os pontos de ordenada negativa por uma simetria
em relação ao eixo dos xx.
O gráfico de ( )xf está “acima” ou “sobre” o eixo dos xx.
( ) 0≥xf
b) Valor absoluto de variável independente
O gráfico da função ( )xfy = obtém-se do gráfico de ( )xf
mantendo os pontos de abcissa positiva e transformando os
pontos de abcissa negativa de modo a que pontos de abcissas
simétricas sejam simétricas em relação ao eixo dos yy.
161 Marisa Oliveira, Susana Araújo
7.4.4 Resolução de equações com módulos
Note que 44
44
=−
=+
axaxaxa −=∨=⇔=> ,0
444 −=∨=⇔= xxx
A distância de P a Q é de 6 unidades
Utilizando a definição de módulo, vem:
0−= xx
yx −
Assim, a distância entre P e Q é:
( ) 532 523 =−−=−−
De um modo geral, se > 0a
2→
4→
Q
P
Representa a distância do ponto de abscissa x
ao ponto de abscissa 0 (de origem)
Representa a distância do ponto de
abscissa x ao ponto de abscissa y.
ayxayxayx −=−∨=−⇔=−
162 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Exemplo:
Resolver a equação com módulos 1222 =+x
84
6262
621222
−=∨=⇔
−=+∨=+⇔
=+⇔=+
xx
xx
xx
Graficamente:
Considerem-se as funções 2+= xy e 6=y .
Exemplo:
Resolva a equação 323 +=− xx
06036
323323323
=∨−=⇔=∨=−⇔
−−=−∨+=−⇔+=−
xxxx
xxxxxx
As soluções da equação
são as abcissas dos
pontos de intersecção: -
8 e 4 .
163 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Graficamente:
7.4.5 Inequações com módulos
Exemplo:
1x5 x
232323
>∧<⇔
−>−∧<−⇔<− xxx
A condição é uma conjunção de inequações.
] [5,1=S
ayxayxaayx −>−∧<−⇔>∧<− 0
ayxayxaayx −<−∧>−⇔>∧>− 0
164 Marisa Oliveira, Susana Araújo
7.5 Função Quadrática
Uma função real de variável real f definida para cada IRx ∈ por
f(x) = ax2 + bx + c
com 0\IRa ∈ e b, c IR∈ , designa-se função quadrática. Recorde que esta
função tem as seguintes propriedades, onde ∆ = b2 - 4ac (binómio
discriminante):
• Domínio: IR
• Zeros e Sinal:
o se ∆ < 0:
não tem zeros
se a > 0 é sempre positiva
se a < 0 é sempre negativa
o se ∆ = 0:
165 Marisa Oliveira, Susana Araújo
tem um zero em a
bz
2−
=
se a > 0 é positiva em IR \z
se a < 0 é negativa em IR \z
o se ∆ > 0:
tem dois zeros em a
acbbz
a
acbbz
24
e 2
4 2
2
2
1
−+−=
−−−=
se a> 0 é positiva em ] - , z1[ ]z2, + [ e negativa em ]z1, z2[
se a< 0 é positiva em ]z1,z2[ e negativa em ] - , z1[ ]z2, + [
166 Marisa Oliveira, Susana Araújo
• Extremos e Monotonia:
o se a < 0:
não tem mínimos
tem um máximo absoluto de valor a
bm
a 2 em
4−=
∆−
crescente em ] - ,m] e decrescente em [m, + [
o se a> 0:
não tem máximos
tem um mínimo absoluto de valor a
bm
a 2 em
4−=
∆−
crescente em [m, + [ e decrescente em ] - ,m]
• Contradomínio:
o se a< 0:
∆−∞−
a4,
o se a> 0:
+∞
∆− ,
4a
• A função é contínua no seu domínio
• A função é par se b=0
• A função não é injectiva e não é sobrejectiva
• Gráfico é uma parábola com:
o vértice no ponto do plano de coordenadas
∆−−
aa
b
4,
2
167 Marisa Oliveira, Susana Araújo
o concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a
< 0
Nas figuras Fig. 1, Fig. 2 e Fig. 3 encontram-se representados os gráficos de
três funções quadráticas.
Fig. 1. Gráfico da função quadrática f(x)=x2-2x-3
Fig. 2. Gráfico da função quadrática g(x)=-x2+2x-3
168 Marisa Oliveira, Susana Araújo
Fig. 3. Gráfico da função quadrática h(x)=x2+4x+4
Exercícios Propostos:
1. Faça um estudo completo da função definida por ( ) 74 −= xxf .
2. Represente graficamente, num mesmo referencial, as funções definidas em
IR por x: 3 2 ; ;3 ;2 ; Xyx;-yxyxyxyxy −==−====
2.1 Indique as coordenadas do ponto comum aos gráficos de todas elas.
2.2 As funções representadas são todas do tipo mxy = . Relacione o valor
de m com a inclinação da cada recta.
2.3 Relacione m com a monotonia da função.
2.4 Indique para cada função os intervalos onde ela é positiva e onde é
negativa.
3.Considere a função definida por ( ) 54 −= xxf
3.1 Calcule ( ) ( ) ( )1 ;5,2 ;0 −fff
3.2 Represente graficamente a função
3.3 Resolva as seguintes condições: ( ) ( ) ( ) 5,4 ;3 ;11 >−≤= xfxfxf
4. Numa caçada assiste-se a certa altura a uma perseguição de um gato a um
rato que surge de repente e se lança em fuga. Quando o gato se apercebe da
169 Marisa Oliveira, Susana Araújo
persença do rato já este tem 11 metros de avanço. Sabe-se que a velocidade
média de fuga de um rato é aproximadamente de 10m/s e a do gato 12m/s.
4.1 Das expressões que se seguem identifique a que traduz a fuga do rato
e a que traduz a perseguição do gato:
te
te
1011
12
+=
=
4.2 Em que momento da perseguição o gato apanha o rato? Resolva
analiticamente e graficamente esta questão.
5. Represente no mesmo referencial os gráficos das seguintes funções:
( ) ( ) ( ) 3 2 −=+== xxhxxgxxf
Que conclusões se podem tirar destes gráficos?
6. Represente no mesmo referencial os gráficos das seguintes funções:
( ) ( ) ( ) 4 5 +=−== xxhxxgxxf
Que conclusões se podem tirar destes gráficos?
7. Represente graficamente a função ( ) 342 −−= xxm .
8. Resolve as seguintes condições:
8.1 1089 =+x
8.2 543 <−x
8.3 0745 >−− x
8.4 21
5 =− x
8.5 1312 −≥+x
170 Marisa Oliveira, Susana Araújo
9. Representa graficamente a função 163 −−= xy a partir da função
63 −= xy .
10. Esboça os gráficos das funções ( )xfy = e ( )xgy = e escreve as
respectivas expressões.
11. Defina por ramos as seguintes funções:
11.1 ( ) 13 +−= xxm
11.2 ( ) 102 −= xxp
11.3 ( ) 524 −−= xxt
12. Considere a função: xxyxf 3: 2 −=→ . Obtenha as representações
gráficas das funções:
12.1 ( )xf
12.2 ( )xf
13. Diga qual o sentido e concavidade do gráfico das seguintes funções:
13.1 32 +−= xy
13.2 ( ) 312 2+−−= xy
13.3 21 xxy −−=
14. Determine o eixo de simetria e o vértice da parábola que representa
graficamente a função:
171 Marisa Oliveira, Susana Araújo
14.1 3421 +−= xxy
14.2 1642 22 +−−= xxy
15. Determine os zeros das seguintes funções:
15.1 ( ) 10321 −+= xxxf
15.2 ( ) 30822 ++−= xxxf
15.3 ( ) 4423 −+−= xxxf
16. A partir do gráfico da função 2xy = , esboça o gráfico das seguintes
funções:
16.1 22 −= xy
16.2 22 +−= xy
16.3 42 2 −= xy
16.4 ( )23+= xy
16.5 ( ) 15 2−−= xy
16.6 ( ) 212 2−+= xy
17. Observe os gráficos e faz corresponder a cada um deles a respectiva
expressão analítica:
17.1 2xy =
17.2 32 −= xy
17.3 xxy 32 +=
17.4 ( )23+= xy
172 Marisa Oliveira, Susana Araújo
18. Considere a seguinte função 432 +−−= xxy :
18.1 Quais são os zeros da função?
18.2 Quais são as coordenadas do vértice da parábola correspondente à
função?
18.3 Esboçe o gráfico da função
18.4 Indique o conjunto solução da condição 0≥y .
18.5 Indique o extremo da função e os intervalos de monotonia.
19. Considere a função real de variável real definida por:
( ) 322 −−= xxxf
19.1 Escreva ( )xf na forma ( ) khx +−2 , com h , IRk ∈ .
19.2 Indique as coordenadas do vértice e escreva a equação do eixo de
simetria da parábola que representa o gráfico da função.
19.3 Determine os zeros da função.
19.4 Para que valores de x a imagem da função é negativa?
20. No instante t=0, uma bola é lançada na vertical de um ponto situado a 1,5
metros do solo. Após t segundos, a distância da bola ao solo, em metros, é
dada por: 5,162 2 ++−= tth
20.1 Determine a altura máxima que a bola consegue alcançar.
20.2 Determine, a menos de uma décima de segundo, o instante em que a
bola atingiu o solo.
20.3 Determine, a menos de uma décima de segundo, quanto tempo a bola
permanece acima dos 3 metros de altura.