Capítulo 5: A teoria de Schrödinger da
Mecânica Quântica
1. Introdução
2. Argumentos plausíveis para se chegar à equação de
Schrödinger
3. A interpretação de Born para funções de onda
4. Valores esperados
5. A equação de Schrödinger independente do tempo
6. As propriedades necessárias às autofunções
7. A quantização da energia na teoria de Schrödinger
8. Resumo
Capítulo 7(Fundamentos da Física Moderna):
A Versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica
• Introdução
• A equação de Schrödinger
• A interpretação da função de onda
• A equação de Schrödinger independente do tempo
• A quantização da energia na teoria de Schrödinger
• As propriedades matemáticas das funções de onda e autofunções
• A teoria clássica de ondas transversais em uma corda esticada
• Valores esperados e operadores diferenciais
• O limite clássico da mecânica quântica
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 1:Introdução
• O papel da teoria de Schrödinger; as limitações do
postulado de de Broglie; a necessidade de uma equação
de onda diferencial
• Ondas-piloto de de Broglie caracterizadas por = h/p e
= E/h, (comprimento de onda e freqüência constantes)
como se propagam?
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 1:Introdução
• A teoria de Schrödinger da mecânica quântica é uma
extensão do postulado de de Broglie. Portanto a equação
de Schrödinger deve utilizar as grandezas físicas
relacionadas com as ondas-piloto de de Broglie.
• E as grandezas físicas relacionadas com as coordenadas
geométricas e temporal ?
• Elas são utilizadas pela ‘teoria’ de Heisenberg, através
das relações de incerteza.
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 1:Introdução
• Schrödinger não utilizou o termo ondas-piloto de de
Broglie mas como deveria expressar a propagação destas
ondas, ou seja como elas se modificam conforme a
posição, ele introduziu o termo função de onda e
‘representada’ pela função (x, t).
• Heisenberg, utilizando as relações de incerteza
representou as grandezas físicas através de matrizes.
• Os dois enfoques são distinguidos pelos termos:
versão, representação, picture
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 1:Introdução
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 2:Argumentos plausíveis para se
chegar à equação de Schrödinger
1. Ela deve ser consistente com as equações =h/p, h
2. “ E = p2/2m + V
3. Ela deve ser linear em (x, t)
4. A energia potencial em geral é V(x , t)
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 2:Argumentos plausíveis para se
chegar à equação de Schrödinger
• para partícula livre o potencial V(x,t)=cte. Portanto F=0
e assim p e E também são constantes, ou seja podemos
aplicar os postulado(s) de de Broglie.
• estendendo (postulando) que mesmo para potencial
V(x,t) não constante as soluções da equação de
Schrödinger devem resultar em funções de onda (x,t)
da partícula que se move sob a ação daquele potencial.
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 2:Argumentos plausíveis para se
chegar à equação de Schrödinger
),(),(),(),(
2
2
1
),(),(),(
),(
)()cos(),(
2
22
2
2
2
txt
itxtxVx
tx
m
i
m
i
t
txtxtxV
x
tx
tkxsentkxtx
),(2
2
2
2
),(2
22
2
2
txVm
k
h
w
k
htxVm
h
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 3:A interpretação de Born para
funções de onda
• Max Born: Se, no instante t, é feita uma medida da
localização da partícula associada à função de onda
(x,t),então a probabilidade P(x,t)dx de que a partícula
seja encontrada em uma coordenada entre x e x+dx é
igual a *(x,t) (x,t)dx
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 3:A interpretação de Born para
funções de onda
2
1
2
1
2
1
2
1
**
*
***
2
**
2
*22
2
22*
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
dxtxxm
i
dxt
idxxxxm
tiV
xm
tiV
xm
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 3:A interpretação de Born para
funções de onda
• definindo S(x,t) como fluxo de probabilidade
• a segunda equação representa a equação de
continuidade
2
1
2
1
2
1
21
1),(),(),(),(),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
2),(
**
*
**
x
x
x
x
x
x
xxxx
dxtxtxdxtxPdxtxtxdxtxP
dxtxtxt
SS
x
txtx
x
txtx
m
itxS
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 3:A interpretação de Born para
funções de onda
• Exemplos 5-5 e 5-6:
comparação das densi-
dades de probabilidade
• O movimento das partí-
culas está de acordo com
as leis da probabilidade,
mas a probabilidade se
propaga segundo a lei
da causalidade (M.Born)
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 4:Valores esperados • valor esperado = valor médio ponderado
dxtxtxftxtxf
dxtxxtx
dxtxtx
dxtxxtx
dxtxxtxdxxxPx
x
),(),...,(),(),...,(
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*____________
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_____
*
*
*
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – operadores
2
2
2
22
,
,
,
,
,
,
11
cotcos
coscot
,,,,
)(
)(
)(
sensen
senL
iL
sengiL
gseniL
rzyx
xy
yxiLzL
zx
xziLyL
yz
zyiLxL
tiE
xip
xx
op
opz
opy
opx
opzop
opyop
opxop
op
op
op
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 4:Valores esperados • valor esperado = valor médio ponderado
2______
*____________
2*
_____
**__
*___
**
___
2
),(,,),(),,(
),(),(2
),(),(),(),()(
),(),(
),(),(),(),()(
x
p
p
q
dxtxtx
ixftxtpxf
dxtxxtx
dxt
txtxidxtx
titxdxxEPE
x
txtxi
dxx
txtxidxtx
xitxdxxpP
op
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 5:A equação de Schrödinger
independente do tempo
• método de separação de variáveis:
• ‘método do exp(pt)’ para resolver equação diferencial em t
(transforma a equação diferencial em equação algébrica)
)...()()(,...,...),,(f
0...)()(
2
2
1
1
Zdt
dB
dt
tfdA
dt
tfdn
n
n
n
n
n
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 5:A equação de Schrödinger
independente do tempo
Etixtx
xxVEm
dx
xdxExxV
dx
xd
m
ECh
CCCtit
Cttdt
iC
t
tdC
dt
td
ti
Cdt
td
tixxV
dx
xd
mx
txt
itx
txxVtxxmtx
txt
itxxVtxxm
xVtxV
txtx
tt
exp)(),(
0)()(2)(
)()()()(
2
2exp)()(ln)(
)()(
)(
1
)(
)(
1)()(
)(
2)(
1
)()()()(
1)()()()()(
2)()(
1
)()()()()()()(2
)(),(
)()(),(
22
2
2
22
00
2
22
2
22
2
22
A teoria/versão de Schrödinger da
Mecânica Quântica – 6:As propriedades
necessárias às autofunções
• A autofunção x) e suas
derivadas d (x)/dx
devem ser:
• finitas
• unívocas
• contínuas
• descontinuidade da deriva-
da no exemplo 5-9
A teoria/versão de Schrödinger da
Mecânica Quântica – 7:A quantização da
energia na teoria de Schrödinger
• potencial interatômico de molécula diatômica para
situação de V(x) – E > 0
A teoria/versão de Schrödinger da
Mecânica Quântica – 7:A quantização da
energia na teoria de Schrödinger
• considerações sobre concavidades
)()(2)(
22
2
xExVm
dx
xd
A teoria/versão de Schrödinger da
Mecânica Quântica – 7:A quantização da
energia na teoria de Schrödinger
• resultados qualitativos para um ponto x0 na região 2,
ou seja: x’ < x0 < x’’
A teoria/versão de Schrödinger da
Mecânica Quântica – 7:A quantização da
energia na teoria de Schrödinger
• autofunções n(x) possíveis para autovalores
discretos En
A teoria/versão de Schrödinger da
Mecânica Quântica – 7:A quantização da
energia na teoria de Schrödinger
initesimalEE
initesimaldx
xd
dx
xd
EE
ExVExV
dx
d
dx
d
nn
xx
inf
inf)()(
lim
)()(
1
2
1
2
2
2
2
12
12
2
1
2
2
2
2
0
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 8:Resumo
• para um particular V(x) existem soluções da equação de
Schrödinger, n(x) (autofunções), somente para valores
discretos de energia En denominados autovalores, onde n é
o número quântico principal, e a cada autovalor corres-
ponde uma função de onda n(x,t)= n(x)exp[-iEnt2 /h]
• portanto a função de onda completa para um particular
potencial V(x) é a combinação linear de todas as funções
de onda n(x,t) multiplicadas por constantes arbitrárias,
geralmente complexas, an.
tEixatxatx n
n
nn
n
nn exp)(),(),(11
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 8:Resumo
• densidade de probabilidade P(x,t)dx = (x,t) (x,t)dx
• densidade de probabilidade de uma partícula que se
encontra em estado estacionário, ou auto-estado
tEEixxaaxaadxtxP
tEixatx
tEixatx
tn
nln
nl n
l
n
nnnn
l
l
ll
n
n
nn
exp)()()(),(
exp)(),(
exp)(),(
*
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*
1
**
1
***
1
)()(exp)(exp)(),(),( *** xxtE
ixtE
ixdxtxtx nnn
n
nnnn
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 8:Resumo
• a densidade de probabilidade P(x,t)dx = (x,t) (x,t)dx
integrada em todo o espaço x não pode depender da coor-
denada temporal e resulta na probabilidade = 1, para todas
as autofunções n(x) normalizadas.
0)(*0)()(
0exp)()(
11)(
1exp)()()(
1),(
)(*
1
*
*
1
*
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*
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**
*
1
*
1
**
dxxnl
dxxxaa
dxtEE
ixxaa
aadxxaa
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ixxaaxaa
dxtxP
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tnnln
nl n
l
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n
nnnn
tn
nln
nl n
l
n
nnnn
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 8:Resumo
• portanto as autofunções n(x) são ortogonais e se as auto-
funções n(x) forem normalizadas, as 2 condições, de
ortogonalidade e de normalidade são escritas de maneira
compacta, conhecida como condição de ortonormalidade
nlse
nlsenlnl dxxx
1
0,
* )()(
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 8:Resumo
• uma maneira de mostrar a ortogonalidade de duas autofun-
ções distintas n(x) e l(x)
• mesmo para os autovalores no contínuo ou em estados
degenerados, onde El = En , a condição de ortogonalidade é
válida.
0)()(0
0)()(2
)()()(2
)()()(2
)()()()(
2)()()()(
)(
2)(
*
*
2
***
2
***
2
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2
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2
22*
dxxxEE
dxxxEEm
dx
d
dx
dxdxxxEE
m
dxdx
d
dx
dx
dx
ddxxxEE
m
xExxVdx
xd
mxxExxV
dx
xd
mx
nlnl
nlnl
l
n
n
lnlnl
l
n
n
lnlnl
lll
l
nnnn
n
l
A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica
Quântica – 8:Resumo
• a função de onda (x,t) é:
tEixdxxxtx
adxxx
dxxxadxxx
xatx
tEixatx
nn
n
n
nn
n
nlnl
n
nn
n
n
nn
exp)(')0,'()'(),(
)0,()(
)()()0,()(
)()0,(
exp)(),(
1
*
*
1
**
1
1