CF356 – Estrutura da MateriaLista 1

(Cap. 7 – Eisberg & Resnick, 8a edicao)

[4] (a) Determine, em eletrons-volt, as energias dos tres nıveis do atomo de hidrogenio, nos estados definidos por n =1,2 e 3. (b) Calcule entao as frequencias, em hertz, e os comprimentos de onda, em angstrons, dos fotons que podem seremitidos pelo atomo em transicoes entre esses nıveis. (c) Em que regiao do espectro eletromagnetico estao esses fotons?

[7] (a) Calcule a posicao em que a densidade radial de probabilidade e maxima, para o estado n = 2, l = 1 do atomo dehidrogenio. (b) Calcule em seguida o valor esperado da coordenada radial nesse estado. (c) Interprete o significado fısicoda diferenca das respostas de (a) e (b).

[8] (a) Calcule o valor esperado V da energia potencial no estado fundamental do atomo de hidrogenio. (b) Mostre que,no estado fundamental, E = V /2, onde E e a energia total. (c) Use a relacao E = K + V para calcular o valor esperadoK da energia cinetica no estado fundamental e motre que K = −V /2. Essas relacoes, obtidas para qualquer estado demovimento de qualquer sistema quantico (ou classico) com um potencial da forma V (r) ∝ −1/r, sao as vezes denominadasTeorema do virial.

[14] Prove que L2op ψnlml

= l(l + 1)~2 ψnlml. (Sugestao: use a equacao diferencial satisfeita por Θnlml

(θ).)

[15] Sabemos que ψ = eikx e uma autofuncao do operador energia total para o problema unidimensional de potencialnulo. (a) Mostre que tambem e uma autofuncao do operador momento linear pop e determine o autovalor associado. (b)Repita para ψ = e−ikx. (c) Interprete o significado dos resultados (a) e (b) com relacao as medidas do momento linear.(d) Sabemos tambem que ψ = cos kx e ψ = sen kx sao autofuncoes do operador energia Hop para o potencial nulo. Saoelas tambem autofuncoes de pop? (e) Interprete os resultados de (d).

[17-23] Rotor rıgido quantico bidimensional. Uma partıcula de massa µ esta presa numa extremidade de uma barrarıgida de massa desprezıvel e comprimento R. A outra extremidade da barra gira no plano xy em torno de um suportelocalizado na origem, e cujo eixo tem direcao z.

Esse “rotor rıgido” bidimensional esta representado na figura ao lado. (a) Escreva umaexpressao para a energia total do sistema em termos de seu momento angular L. (Sugestao:tome o valor zero para a energia potencial constante e expresse a energia cinetica em termosde L.) Introduzindo operadores apropriados na equacao da energia, converta-a na equacaode Schrodinger

−~2

2I

∂2Ψ(ϕ, t)

∂ϕ2= i~

∂Ψ(ϕ, t)

∂t

onde I = µR2 e o momento de inercia e Ψ(ϕ, t) e a funcao de onda escrita em termos dacoordenada angular ϕ e o tempo t. (Sugestao: como o momento angular so tem direcao z,L = Lz e o operador correspondente e Lzop = −i~ ∂/∂ϕ.)

(b) Aplicando a tecnica de separacao de variaveis, desdobre a equacao de Schrodinger e obtenha a equacao de Schrodingerindependente do tempo e a equacao para a dependencia temporal da funcao de onda, quais sejam

−~2

2I

d2Φ(ϕ)

dϕ2= E Φ(ϕ) e

dT (t)

dt= − iE

~T (t).

Nessas equacoes E e a constante de separacao e Φ(ϕ)T (t) = Ψ(ϕ, t), a funcao de onda. (c) Resolva a equacao para adependencia temporal da funcao de onda. Mostre que a constante de sepracao E e a energia total. (d) Mostre que umasolucao particular da equacao de Schrodinger independente do tempo e Φ(ϕ) = eimϕ onde m =

√2IE/~. (e) Aplique

a condicao de univocidade a solucao particular do item anterior. Mostre entao que os valores permitidos para a energiatotal E do rotor rıgido quantico bidimensional sao

E =m2~2

2I, |m| = 0, 1, 2, 3, · · ·

Compare os resultados da MQ com os obtidos pela antiga teoria quantica no problema 34 do Capıtulo 4. Discuta por queo rotor rıgido quantico bidimensional nao tem energia de ponto zero. Explique por que ele nao e um modelo totalmenterealıstico para um sistema microscopico. (f) Normalize as funcoes Φ(ϕ) = eimϕ. (g) Calcule o valor esperado para omomento angular L do rotor num estado quantico tıpico, usando as autofuncoes encontradas no item anterior. Calcule

em seguinda L2, L2

e a variancia ∆L = (L2 − L2)1/2. Interprete os resultados sobre os valores de L que seriam obtidos

numa serie de medidas sobre o sistema.