Capacitores
O que são e para que servem?→dispositivo para armazenar carga elétrica
⇒ armazena energia no campo elétrico EEx. 1) Gerar alta corrente em ∆t pequeno: “flash” para fotografia
Esquema básico de um capacitor
um par de objetos condutores (PLACAS) onde se possa colocar cargas iguais e
de sinais opostos
V é uniforme em cada placa comV+ e V− tal que ∆V= V+ − V−
(usualmente escreve-se V= V+ − V− )
+q -q
+++++++
+
+++
V+V-
2) fusão do deutério (LNL-Berkeley): pulso de corrente de 2 ms com 100 kW
3) lasers pulsados: pulsos de 3ns com 500 Terawatts (Tera=1012)
4) estabilização de corrente, dispositivos de memória, eletrônica em geral.
Capacitores
Foi visto: o potencial elétrico dos objetos varia linearmente com suas cargas
Do ponto de vista prático, as placas têm formas “simples”→ os capacitores mais simétricos são os mais importantes
→ é propriedade das placas, i.e., independe de q e V
Unidade no SI faraday, símbolo F:
V ∝ q ⇒ V = C-1 q q = C V
em que C é a capacitância do capacitor (definição!)
voltcoulombfaraday = V
CF ; =
ou
→ a carga total de um capacitor é nula (+ q em uma placa e – q na outra)
→ diz-se que “um capacitor tem uma carga q”.
Capacitores
Ø Capacitor de placas paralelas
importância: exploração teórica de vários fenômenos no eletromagnetismo
Exemplos de capacitores
→ símbolo
→ separação: distância d (<< as dimensões das placas).
q
-q
d
Cálculo detalhado de E: é complicado! -as linhas de campo se curvam nas bordas
−
+ + + + + + + + + + + + + + + +
− − − − − − − − − − − − − − −
→ duas placas iguais, planas e paralelas (forma qualquer);
⇒ efeito de borda
Capacitores
importância: exploração teórica de vários fenômenos no eletromagnetismo
Exemplos de capacitores
→ símbolo
→ separação: distância d (<< as dimensões das placas).
q
-q
d
Cálculo detalhado de E: é complicado! -as linhas de campo se curvam nas bordas
→ duas placas iguais, planas e paralelas (forma qualquer);
⇒ efeito de bordaMas . . . longe das bordas E ˜ homogêneo(linhas de força //; espaçamento uniforme)
+ + + + + + + + + + + + + +
− − − − − − − − − − − − − −
Ø Capacitor de placas paralelas
Capacitores Exemplos de capacitores
Quando d << as dimensões das placas (desprezam-se efeitos de bordas)
⇒ { homogêneo dentro do capacitor = E;
nulo fora do capacitor= 0.E é
Q: Como encontrar E? R: Lei de Gauss.
Ø Capacitor de placas paralelas
Capacitores Exemplos de capacitores
Quando d << as dimensões das placas (desprezam-se efeitos de bordas)
⇒ { homogêneo dentro do capacitor = E;
nulo fora do capacitor= 0.E é
E
S1superfície gaussiana: cilindro (ou outra)
{ bases // às placas e área ∆A;
lateral ⊥ às placas
Ø Capacitor de placas paralelas
com
∴ ΦE = 0 em S1
→ base externa E = 0 (fora do capacitor);→ base interna E = 0 (dentro do condutor).
Superfície S1
⇒ toda a carga está na superfície interna das placas!
Capacitores Exemplos de capacitores
Quando d << as dimensões das placas (desprezam-se efeitos de bordas)
⇒ { homogêneo dentro do capacitor = E;
nulo fora do capacitor= 0.E é
Superfície S2 :
E
S1 S2
Lei de Gauss →
oE
εσ
=⇒
(σ = densidade superficial de cargas)
superfície gaussiana: cilindro (ou outra)
{ bases // às placas e área ∆A;
lateral ⊥ às placas
Ø Capacitor de placas paralelas
com
∴ ΦE = 0 em S1
→ base externa E = 0;→ base interna E = 0.
Superfície S1
⇒ toda a carga está na superfície interna das placas!
oe ?As
?AE =
Capacitores Exemplos de capacitores
Sendo A a área da placa tem-se
E
logo
⇒ V = E d
σ = q / A
o
qEAε
=
Q: Qual a diferença de potencial entre as placas?
o
( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r
r
r E r rR: (e o sinal??)
o
dV q
Aε=∴
Como q = C V, a capacitância serádA
C oε=
Ø Capacitor de placas paralelas
Sol – A capacitância do capacitor pode ser expressa como dr
C2
oπε=
dr
Vq
o
2πε=
Vqd
roπε
=
Exerc ex. 4.2 – Um capacitor de placas circulares paralelas tem carga q quando tensão entre as placas é V. Sabendo-se que a separação entre as placas é d,qual é o seu raio?
Como C = q / V, então
Então, o raio r das placas será
Capacitores Exemplos de capacitores
Capacitores
Ø Capacitor cilíndricoExemplos de capacitores
→ dois cilindros coaxiais de altura h e raios a e b, sendo a < b.
Considere-se uma carga q no capacitor
q-q
a
b
Q: O que se pode dizer sobre E?
R: Tem que ser radial! & constante a uma mesma distância do eixo
Q: Como encontrar E? R: Lei de Gauss.
Aqui também, longe das bordas E ˜ homogêneo (desprezar efeito das bordas)∴ E ≠ 0 apenas entre os dois cilindros
Capacitores
Ø Capacitor cilíndricoExemplos de capacitores
→ dois cilindros coaxiais de altura h e raios a e bSuperfície gaussiana:
um cilindro de altura h, e raio r com a < r < b.
Aplicando a lei de Gauss
12
2o o
q qE rh E a r b
h rπ
ε πε= ⇒ = ≤ ≤
( ) ln2 2
b b
o oa a
q dr q bV E r dr
h r h aπε πε = = = ∫ ∫
2ln( / )o
hC
b aπε=
A diferença de potencial entre as placas do capacitor será
E a capacitância do capacitor vale, então,
∫S E.dA =
οεsq
{h{ r
Capacitores
Ø Capacitor esféricoExemplos de capacitores
→ duas cascas esféricas concêntricas, de raios a e b
Superfície gaussiana: → uma esfera de raio r com a < r < b.Aplicando a lei de Gauss
A diferença de potencial entre as placas do capacitor será
∫S E.dA =
οεsq
Considere-se uma carga q no capacitor
Q: O que se pode dizer sobre E? R: Tem que ser radial ! & constante a uma mesma distância do eixo
(Obs. Aqui não tem efeito de bordas!)
224
4o o
q qE r E a r b
rπ
ε πε= ⇒ = ≤ ≤
2
1 14 4
b
o oa
q dr qV
r a bπε πε = = − ∫
A capacitância do capacitor ( C= q/V ) seráab
abe4pC o −
=esf
Um caso limite: esfera exterior tem raio infinito ⇒ lim4 4o ob
abC ab a
πε πε→∞
= =−
Capacitores
Ø Capacitância de um objeto: imagina-se o objeto no centro de uma casca esférica infinita; a capacitância do objeto é a do par objeto-casca!
Exemplos de capacitores
1 F (um faraday) é “muuuito”!Ex. uma esfera metálica com raio de 1,0 cm tem
Unidades comuns para medir capacitância: pF = 10–12 F, µF = 10–6 F.
12 14 3,14 8,85 10 F×m 0,010m 1,1pFC − −= × × × × =
Uma esfera com C = 1 F, tem raio a
912 1
1F 1F 9 10 m4 4 3,14 8,85 10 F mo
aπε − −= = = ×
× × × ⋅˜ 20 d Terra-Lua !!!
Capacitores
A energia potencial de um capacitor fica armazenada no campo E
→ exige-se trabalho para colocar carga no capacitor(“tirar” cargas de uma placa e “levar” para a outra)
Energia em um capacitor
1dW V dq C q dq−′ ′ ′ ′= =
= trabalho para deslocar dq’ quando o potencial é V’ =C−1 q’
∴2
1
0 2
q qU C q dq
C− ′ ′= =∫ ou, como q =CV, →
Outra maneira: densidade de energia
P. ex. p/ capacitor de placas paralelas:
→ 212 oU E dε= ∫ V
⇒o
qE
Aε=
2
21 12 2o
o o
q dU Ad qA A
εε ε
= =
Usando C = εo A / d , tem-se
212
U CV=
221 Eu oε=
221 1
2 2q
U CVC
= = equação geral!
U = εoE2 Ad
Sol – Tem-se
Exerc ex. 4.5 – Calcular a energia acumulada em capacitor esférico fazendo-se o cálculo da energia do campo elétrico.
e E = 0 fora do intervalo a ≤ r ≤ b
Usando-se
Capacitores
224
4o o
q qE r E a r b
rπ
ε πε= ⇒ = ≤ ≤
Energia em um capacitor
212 oU E dε= ∫ V2
21 Eu oε= →
O valor da energia é o resultado da integral de U2 2
22 2
1 142 4 2 4
b b
oo oa a
q q drU r drr r
ε ππε πε
= =
∫ ∫
2 21 1 1 12 4 2 4o o
q q b qU
a b abπε πε− = − =
abb a
epC o −= 4esférico
⇒
Foi encontrado logo,21
2q
UC
=
Capacitores Energia em um capacitor
Q: Pode-se aumentar E indefinidamente?
R: Se E é muuuito grande ⇒ descargas elétricas! !
(o meio passa a conduzir eletricidade!)
→ Rigidez dielétrica de um meio é o valor do campo elétrico acima do qual ocorre descarga elétrica no referido meio
Para o ar a rigidez dielétrica é 3 kV/mm.
⇒ densidade máxima de energia eletrostática que se pode acumular no ar éu = ½ 8,85x10−12 x 9x1012 J/m3 = 40 J/m3
Capacitores Associação de capacitores { representa capacitor;
representa bateria (linha maior +)símbolos
Ø Capacitores em paralelon capacitores C1, C2, C3,..Cn ligados em paralelo
V
q1
-q1
q2
-q2 -q3
q3+
-
⇒ todos os capacitores com mesmo V (mesma voltagem ou ddp).V1 = V2 = V3 = . . . Vn
∴ carga total nas placas = SOMA das cargas de cada capacitorqtotal = q1 + q2 + q3 + . . . + qn = C1V1 + C2V2 + C3V3+ . . . + CnVn
= (C1 + C2 + C3 + . . .+ Cn) V.
tem-se capacitância equivalente
Como qtotal / V = Ctotal = C
Cparalelo = C1 + C2 + C3 + . . .+ Cn
Capacitores Associação de capacitoresØ Capacitores em série
e tem-se capacitância equivalente
Como Vi= q / Ci
V
C1
C2
C3
V1
V2
V3
q
q
q
-q
-q
-q
1 21 2
nn
q q qV V V V
C C C= + +⋅ ⋅ ⋅ = + +⋅⋅ ⋅ =
Cq
nCCCC1111
21série⋅⋅⋅++=
n capacitores C1, C2, C3,..Cn ligados em série.
Todos os capacitores têm a mesma carga q eVtotal = V1 + V2 + V3+ . . . + Vn = V
Capacitores Ø Arranjos mais gerais de capacitores
1) Identificar os tipos de ligações: série e paralelo;
→ C1 e C2 estão em paraleloC1,2 = C1 + C2
→ C1,2 e C3 estão em série
32132,1total
11111CCCCCC
++
=+=
V
C3 V3
C2C1 V1V1
q1 q2
q3
-q1 -q2
-q3
1 2 3
1 2 3
( )C C CC
C C C+
=+ +
→ C1,2 e C3 estão em paraleloCtotal = C1,2 + C3
→ C1 e C2 estão em série
C3 V3
q1
q1
-q1
-q1
V
C1
C2
V1
V2
q3
-q3
212,1
111CCC
+= 21
212,1 CC
CCC
+=
⇒
Ctotal = + C321
21
CCCC
+
2) calcular, em cada parte, a capacitância equivalente.
Ctotal =
Exerc. 4.4 – Um capacitor cilíndrico com altura h = 6,0 cm tem capacitância C = 1,6 pF. Qual é a razão b/a entre os raios dos cilindros? (R: 8,0)
Capacitores
2ln( / )o
hCb a
πε=
Exerc. 4.5 - Um capacitor cilíndrico possui as seguintes características: comprimento h = 10 cm, raio da placa interna a = 1,0 cm e raio da placa externa b = 2,0 cm. Calcule (A) a sua capacitância e (B) o valor do campo em pontos eqüidistantes das duas placas, quando o capacitor tem carga
q = 10 µC . ( R: (A) C = 8,0 pF, (B) E = 1,2 x 106 V/m)
Eqüidistante:
a
b
r
r = (a + b) /22
ln( / )oh
Cb a
πε=(A)
(B)rhpe
qE
o
12
=
Exerc. 4.7 – Calcule a densidade de energia de um capacitor de placas paralelas cujas placas tenham área de 40 cm2 e separação de 5,0 mm, se a tensão entre as placas é de 60 V. (R: 0,64 mJ/m3)
Capacitores
Prob. 2 – (A) Calcule a capacitância de uma esfera metálica de 10 cm de raio. (B) Calcule a energia de seu campo se a esfera está a um potencial de 100 V em relação ao infinito. ( R: (A) 11 pF. (B) 55 nJ).
221 Eu oε= V = E dProcedimento 1:
Procedimento 2:d
AC oε
=212
U CV=d AU
VolumeUu ==
⇒ Não usa A !!
lim4 4o ob
abC ab a
πε πε→∞
= =−
(A) Capacitância de um objeto
(B) 212
U CV=