Importância do Estudo
Autovalores e autovetores são conceitos importantes de matemática, com aplicações práticas em áreas diversificadas como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística e etc.
Introdução
um operador linear. Se existirem v V, v tais que v = v, é um autovalor de e v um autovetor de associado a .
(I) T(v) = v
Definição
Observação Gráfica
• Nessa condição, o vetor v2 passou a v2', que não tem a mesma direção do original v2. Portanto, o vetor v2' não pode ser representado por v2 multiplicado por um escalar.
• Mas o vetor v1' tem a mesma direção de v1 e, por isso, pode ser representado por v1 multiplicado por um escalar. Diz-se então que v1 é um autovetor da transformação e que esse escalar é um autovalor associado.
Toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor, então:
Desenvolvendo o estudo
(II) T(v) = Av
Desenvolvendo o estudo
Igualando (I) e (II), tem-se:Av =v ou Av – v = 0 que resulta no sistema homogêneo:
(III) (A – I) v = 0
Onde A é n x n, v = 0 é sempre solução (trivial).
Desenvolvendo o estudo
Para que a equação (III) tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja,
det(A – I) = 0
o que resulta em um polinômio de grau n
em , conhecido como polinômio característico.
Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos:
1. autovalores de T ou de A: são as raízes da equação
det(A – I) = 0,
2. autovetores v de T ou de A: para cada , são as soluções da equação
Av = v ou (A – I)v = 0.
Desenvolvendo o estudo
Interpretação Geométrica
• u é autovetor de T, pois u//T(u) = u.
• v não é autovetor de T, pois não v//T(v) = v.
Aplicando a teoria
Exemplo 1: Considere o operador linear definido no exemplo anterior: . (x, y)=(4x + 5y, 2x + y). Encontre os autovalores de , matriz canônica de T.
Resolvemos a equação característica det (A – I) = 0:
det (A – I) = 0 (4 – ) (1 – ) – 10 = 0 2 – 5 – 6 = 0 1 = – 1 e 2 = 6.
Aplicando a teoria
Encontrar os autovetores de A ou de T: Para cada autovalor encontrado, resolvemos o sistema
linear (A – I)v = 0.
“Poderia o bater de asas de uma borboleta no Brasil desencadear um tornado no Texas?”
Teoria do Caos
O Caos
Teoria do caos, para a física e a matemática, é a teoria que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos.
O Caos
Ou seja, estuda os sistemas que apresentam um comportamento imprevisível e aparentemente aleatório, embora sejam regidos por leis estritamente deterministas.
Parâmetros iniciais
Determinismo: todos os fenômenos estão ligados entre si por rígidas relações de causalidade.
Os sistemas caóticos alteram-se com freqüência, são fortemente dependentes dos parâmetros iniciais e, quando submetidos a variações, apresentam resultados desproporcionais.
A Teoria do Caos também é conhecida como Caos Determinista.
"O bater de asas de uma borboleta em Tóquio pode provocar um furacão em Nova Iorque.“ ~ Edward Lorenz
Efeito Borboleta
Aplicações repetidas são aplicações caóticas que em geral surgem em modelos físicos emque uma certa operação é executada repetidamente, como a água numa baía que é misturada pormudanças repetidas da maré.
APLICAÇÕES REPETIDAS
A Transformação do Gato de Arnold
Utilizando técnicas de aritmética modular e composição de transformações lineares, desenvolve-se uma transformação caótica específica (Transformação do Gato de Arnold). Tal transformação pode ser aplicada em modelos físicos, criptografia de imagens, computação gráfica, etc.
Gato de Arnold
A Figura seguinte que foi gerada em computador mostra o efeito de 25 iterações da transformação do gato de Arnold sobre o quadrado unitário S. Ocorrem dois fenômenos interessantes:
·O gato retorna à sua posição original na 25ª iteração.
·Em algumas das iterações intermediárias, o gato está decomposto em faixas que parecem ter uma direção específica.