ESTRUTURAS 1ANÁLISE ESTRUTURAL – ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
DEPECDepartamento de Engenharia
Civil do CEFET/RJ
Professor Ricardo Rodrigues de Araujo
Método dos DeslocamentosGrelha
Estruturas 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL - ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASProfessor Ricardo Rodrigues de Araujo
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS - GRELHAS
Só existe momento torsor em barras biengastadas.
KTt = -1 KT
L
“O sentido POSITIVO para rotação por torção do nó em estudo deve ser,evidentemente, o mesmo que o sentido POSITIVO da rotação por flexão dasbarras que chegam ao referido nó.” (Süssekind, vol.3)
𝐾𝑇 =𝐺𝐽𝑡𝐿
+
++
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EXEMPLO
1) Fazer os diagramas de momentos fletor e torso da grelha submetida aocarregamento indicado utilizando o método dos deslocamentos.
4 m
4 m
12 m
6 kN/m
10 kN
𝐸𝐽 = 0,6 ∙ 104𝑘𝑁𝑚2𝐸𝐽
𝐺𝐽𝑡= 2
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EXEMPLO
Sistema Principal
𝑑 = 2
1
E0
No espaço trabalha-se com osvetores de momentos. E, comotodos os nós estão travados, noE0 não aparece momento torsor.
Uma rotação para cada plano.
72
7210
10
𝛽10 = −72 𝛽20 = 10b será o somatório dos momentosperpendiculares à chapa devidoao carregamento aplicado.
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EXEMPLO
E1 Ao rotacionar a chapa 1 nosentido positivo, a barra 1 seráfletida e a barra 2 torcida.
2000𝛽11 = 2375 𝛽21 = 0
375
375
E2 Ao rotacionar a chapa 2 nosentido positivo, a barra 2 seráfletida e a barra 1 torcida.
𝛽12 = 0 𝛽22 = 3250250250
1000
3000
1500
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EXEMPLO
Calculando as rotações do nó:
𝜑1𝜑2
= −2375 00 3250
−1
∙−7210
𝜑1 = 30,316 ∙ 10−3𝑟𝑎𝑑𝜑2 = −3,077 ∙ 10−3𝑟𝑎𝑑
Equação de compatibilidade: 𝐸 = 𝐸0 + 30,316 ∙ 10−3 ∙ 𝐸1 − 3,077 ∙ 10−3 ∙ 𝐸2
DMF (kNm):
102,32
11,37
0,77
14,62Usar na equação de compatibilidadesomente os valores referentes aomomento fletor em cada nó.
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EXEMPLO
DMT (kNm):
11,37
0,77
Usar na equação de compatibilidadesomente os valores referentes aomomento torsor em cada nó.
11,37
0,77
Diagramas:
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EXEMPLO
2) Fazer os diagramas de momentos fletor e torso da grelha submetida aocarregamento indicado utilizando o método dos deslocamentos.
4 m
4 m
12 m
6 kN/m
10 kN
𝐸𝐽 = 0,6 ∙ 104𝑘𝑁𝑚2𝐸𝐽
𝐺𝐽𝑡= 2
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EXEMPLO
Sistema Principal
3
𝑑 = 3
1
E0
Para o valor de b30 será necessáriocalcular as reações que acontecem noapoio equilibrando os momentosfletores e também as cargas externas.
Uma rotação para cada plano.
7272 10
10
𝛽10 = −72 𝛽20 = 10 𝛽30 = 4136365
5
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EXEMPLO
E1 Os momentos torsores não irãogerar reações no apoio 3.
2000𝛽11 = 2375 𝛽21 = 0
375
375
E2
𝛽12 = 0
𝛽22 = 3250
250250
1000
3000
1500
250 250
𝛽31 = −250
562,5
562,5
𝛽32 = 562,5
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EXEMPLO
3
1 Ser’a aplicado um deslocamentono sentido positivo (para cima)fletindo as barras 1 e 2.
250562,5
𝛽13 = −250
140,625
E3
250
562,5
140,625
41,66741,667
𝛽23 = 562,5
𝛽33 = 182,292
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EXEMPLO
Calculando as rotações do nó:
𝜑1𝜑2
𝜑3
= −2375 0 −2500 3250 562,5
−250 562,5 182,292
−1
∙−721041
𝜑1 = −2,659 ∙ 10−2𝑟𝑎𝑑
Equação de compatibilidade:
𝐸 = 𝐸0 − 2,659 ∙ 10−2 ∙ 𝐸1 + 9,049 ∙ 10−2 ∙ 𝐸2 − 54,060 ∙ 10−2 ∙ 𝐸3
DMF (kNm):
180,56 9,9722,62
Usar na equação de compatibilidadesomente os valores referentes aomomento fletor em cada nó.
𝜑2 = 9,049 ∙ 10−2𝑟𝑎𝑑 𝜑3 = −54,060 ∙ 10−2𝑚
178,35
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EXEMPLO
DMT (kNm):
9,97
22,62
Usar na equação de compatibilidadesomente os valores referentes aomomento torsor em cada nó.
9,97
22,62
Diagramas:
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EXERCÍCIO
1) Fazer os diagramas de momentos fletor e torso da grelha submetida aocarregamento indicado utilizando o método dos deslocamentos.
3 m
3 m
4 m
2 kN/m
8 kN
𝐸𝐽 = 104𝑘𝑁𝑚2
𝐸𝐽
𝐺𝐽𝑡= 2
3 kN/m
6 kN
6 m
3 m 1 m
Estruturas 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL - ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASProfessor Ricardo Rodrigues de Araujo
EXERCÍCIO
2) Fazer os diagramas de momentos fletor e torso da grelha submetida aocarregamento indicado utilizando o método dos deslocamentos.
3 m
3 m
4 m
2 kN/m
8 kN
𝐸𝐽 = 104𝑘𝑁𝑚2
𝐸𝐽
𝐺𝐽𝑡= 2
3 kN/m
6 kN
6 m
3 m 1 m