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VIGAS HIPERESTÁTICAS – Processo da Equação dos Três Momentos

Considerando uma viga contínua, com um número qualquer de tramos, podemos fazer um

estudo de dois tramos intermediários quaisquer, como mostra a figura a seguir:

i j k

lij ljk

A Equação dos Três Momentos envolve três incógnitas que são os momentos sobre os três

apoios consecutivos da viga contínua ( Xi , Xj e Xk) cada vez que esta é aplicada.

Equação dos Três Momentos para vigas com inércia constante nos tramos e variando de um tramo

para outro:

l’ij . Xi + 2(l’ij + l’jk ). Xj + l’jk . Xk = -6 (ji + jk)

Sendo l’ = l . Jb / J

Equação dos Três Momentos para vigas com inércia igual e constante nos tramos:

Sendo: Jb = J → então: l’ = l

lij . Xi + 2(lij + ljk ). Xj + ljk . Xk = -6 (ji + jk)

Para obter-se o número de equações suficientes à resolução da estrutura, é necessário

empregar-se sucessivamente a Equação dos Três Momentos conforme esquema a seguir:

i j k l m n

1ª. Eq.

2ª. Eq.

3ª. Eq.

4ª. Eq.

5ª. Eq. e etc.

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Reações de Apoio:

P

j k

a b

l

Rj = P.b / l Rk = P.a / l

q

j k

l

Rj = q.l / 2 Rk = q.l / 2

Xj

j ⃔ k

l

Rj = -Xj / l Rk = +Xj / l

Xk

j ⃕k

l

Rj = +Xk / l Rk = -Xk / l

P

R = P

q

l

R = q . l

Fatores de Carga de 1ª. Espécie para hastes com J = constante

P

j k

a b

l

jk = P.a.b.(b+l). l ’ / 6. l2

kj = P.a.b.(a+l). l ’ / 6. l2

s

s /2 s/2 q

j k

a b

l

jk = q.b. s.{4.a.(b+l) –s2}.l ’ / 24. l2

kj = q.a. s.{4.b.(a+l) –s2}.l ’ / 24. l2

q

j k

l

jk = kj = q.l2. l ’ / 24

Equação dos Três Momentos:

l ’ij . Xi + 2(l ’ij + l ’jk ). Xj + l ’jk . Xk = -6 (ji + jk)

l ’ = l . Jb / J

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1 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:

Unidades: tf e m - JAB = JBC

q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m

A B C

3,5 m 5,5 m

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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:

q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m

A B C

l 1 = 3,5 m l2 = 5,5 m

MA B C

QA B C

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2 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:

Unidades: tf e m - JAB = JBC

P=1,0 tf

q1=1,0 tf/m q2=1,5 tf/m

A B C D

2,4 m 3,7 m 1,1 m

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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:

P=1,0 tf

q1=1,0 tf/m q2=1,5 tf/m

A B C D

l 1 = 2,4 m l2 = 3,7 m l3 = 1,1 m

Q A B C D

M A B C D

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3 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:

Unidades: tf e m - JAB = 4,0, JBC = 2,0 e JCD = 1,0

q1=2,0 tf/m q2=5,0 tf/m q3=5,0 tf/m

A B C D

16,0 m 8,0 m 6,0 m

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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:

q1=2,0 tf/m q2=5,0 tf/m q3=5,0 tf/m

A B C D

16,0 m 8,0 m 6,0 m

A B C D

A B C D

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4 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:

Unidades: tf e m - JAB = 1,7, JBC = 1,5 e JCD = 1,0

P1 = 8 tf P2 = 3,0 tf

q1=2,5 tf/m q2=3,0 tf/m q3=2,5 tf/m

A E B C D F

1,8 m 3,0 m 3,0 m 2,2 m 1,2 m

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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:

P1 = 8 tf P2 = 3,0 tf

q1=2,5 tf/m q2=3,0 tf/m q3=2,5 tf/m

A E B C D F

1,8 m 3,0 m 3,0 m 2,2 m 1,2 m

A E B C D F

A E B C D F

Sistemas Estruturais 1 – 2016/2 Página 11

5 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:

Unidades: tf e m - JAB = JBC = JCD

P1=5,0 tf P2=6,0 tf

q1=1,0 tf/m q2=2,0 tf/m q3=1,5 tf/m

A B E F C D

8,0 m 2,0 m 3,0 m 2,0 m 5,0 m 7,0 m

Sistemas Estruturais 1 – 2016/2 Página 12

Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:

P1=5,0 tf P2=6,0 tf

q1=1,0 tf/m q2=2,0 tf/m q3=1,5 tf/m

A B E F C D

8,0 m 2,0 m 3,0 m 2,0 m 5,0 m 7,0 m

A B E F C D

A B E F C D

Sistemas Estruturais 1 – 2016/2 Página 13

6 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:

Unidades: tf e m - JAB = 2,4 JBC = 2,8 JCD = 3,2

P1=3,0 tf P2=4,0 tf P3=1,5 tf

q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m q3=1,5 tf/m q4=1,0 tf/m

A E B F C D G

2,3 m 2,2 m 3,2 m 1,4 m 5,4 m 1,6 m 4,5 m 4,6 m

Sistemas Estruturais 1 – 2016/2 Página 14

Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:

P1=3,0 tf P2=4,0 tf P3=1,5 tf

q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m q3=1,5 tf/m q4=1,0 tf/m

A E B F C D G

2,3 m 2,2 m 3,2 m 1,4 m 5,4 m 1,6 m 4,5 m 4,6 m 5,4 m

A E B F C D G

A E B F C D G

Sistemas Estruturais 1 – 2016/2 Página 15

7 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:

Unidades: tf e m -: JAB = 1,8 JBC = 1,8 JCD = 1,6 JDE = 1,8

P1=1,0 tf P2=2,5 tf

q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m q3=1,5 tf/m

F A G B C D E

1,2 m 0,9 m 1,2 m 1,9 m 1,4 m 2,1 m

2,1 m

Sistemas Estruturais 1 – 2016/2 Página 16

Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:

P1=1,0 tf P2=2,5 tf

q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m q3=1,5 tf/m

F A G B C D E

1,2 m 0,9 m 1,2 m 1,9 m 1,4 m 2,1 m

2,1 m

F A G B C D E

F A G B C D E

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8 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:

Unidades: tf e m - JAB = JFG = 1,0, JBC = JEF = 1,5 e JCD = JDE = 2,0

P1=5,0 tf P2=5,0 tf

q1=1,0 tf/m q2=2,0 tf/m q3=3,0 tf/m q4=2,0 tf/m q5=1,0 tf/m

A B C H D I E F G

3,0 m 3,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 3,0 m 3,0 m 4,0 m 4,0 m

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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:

P1=5,0 tf P2=5,0 tf

q1=1,0 tf/m q2=2,0 tf/m q3=3,0 tf/m q4=2,0 tf/m q5=1,0 tf/m

A B C H D I E F G

3,0 m 3,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 3,0 m 3,0 m 4,0 m 4,0 m

A B C H D I E F G

A B C H D I E F G