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TPICO: Determinantes Prof. FERNANDO
1 MATEMTICA
DEFINIO
A toda matriz quadrada A=(aij)nxn de
elementos reais de ordem n est associado um nico nmero real chamado de Determinante da matriz A e indicamos por det A.
REPRESENTAO O determinante de uma matriz A pode ser representado pelos elementos da matriz isolados por
duas barras verticais | A |.
Exemplo: Dada a Matriz
A=[
]
Representao do Determinante da matriz A:
det A= |
|
REGRA PRTICA PARA OBTER O DETERMINANTE
Matriz quadrada de ordem 1: o determinante da matriz A=[a11] o prprio
elemento a11.
Ex.:
A=[3] detA=3
B=[0] detB=0
Matriz quadrada de ordem 2: o determinante a diferena entre o produto
dos elementos da diagonal principal e o
produto dos elementos da diagonal
secundria.
|
|
Exemplo
Calcule o determinante da matriz: *
+
Matriz quadrada de ordem 3: para a matriz quadrada de 3 ordem, utiliza-se o mtodo prtico conhecido como REGRA DE SARRUS:
Repetem-se, direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal,
multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado.
Somam-se algebricamente os produtos obtidos, calculando-se, assim, o valor do determinante.
Exemplo
Calcule o determinante da matriz: [
]
Obs.: O mtodo tambm funciona se forem repetidas as duas primeiras linhas aps a ltima linha da matriz.
SARRUS (pronuncia-se Sarr), cujo nome completo Pierre
Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na
universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS,
foi provavelmente escrita no ano de 1833.
EXERCCIOS I
1. Calcule os determinantes das matrizes.
A=
4 3
0 0 B=
2- 3
7- 1-
C=
402
501
603 D=
5 1- 5
1 0 1
4 2 4
2. Qual o valor de x na equao 2x-102
43 =0
3. Se o determinante da matriz
t 1- 1-
t 1 1-
1 1 1 igual a 12,
ento quanto vale o determinante da matriz
t 2
t t .
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2 MATEMTICA
4. Sendo A=(aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij=i2-j,
ento qual o determinante da matriz A.
5. Determinar x tal que:
a) 0
x1
2x3x2
b) 11
1x35x4
2xx2
c)
x4
x2x3
x21xx3
110
x21x
MENOR COMPLEMENTAR Consideremos uma matriz M de ordem ;
seja um elemento de M. Definimos Menor
Complementar do elemento , e indicamos por ,
como sendo o determinante da matriz que se obtm,
suprimindo a linha i e a coluna j de M.
Exemplo: Seja (
) e calculemos ,
e .
Exemplo2: Dada a matriz A=
5 1- 5
1 0 1
4 2 4, calcule:
a) +
COMPLEMENTO ALGBRICO (OU COFATOR)
Consideremos uma matriz de ordem ;
seja um elemento de M. Definimos Complemento
Algbrico de (ou Cofator de ), e indicamos
por , como sendo:
Exemplo1: Seja (
) e calculemos ,
e .
Exemplo2: Calcule os Cofatores , e da matriz M acima.
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3 MATEMTICA
TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma Matriz M, de
ordem , a soma dos produtos dos
elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos
respectivos cofatores.
Isto ,
a) Se escolhermos a coluna j da matriz M, ento:
b) Se escolhermos a linha i da matriz M, ento:
Exemplo: Seja (
), usando o Teorema de
Laplace, calcule o determinante da matriz M,
conforme se pede:
a) Escolhendo a coluna 2:
DICA: note que o termo se anula sempre
que o elemento zero . Portanto, para
facilitar o clculo do determinante, escolha a fila
(linha ou coluna) que tenha mais zeros.
b) Escolhendo a linha 2:
Exemplo: Calcule o determinante:
OBS.: O determinante de uma matriz triangular
(superior ou inferior) igual ao produto dos
elementos da diagonal principal. Verifique o
determinante anterior.
aaaa
a
aa
aaa
aaaaaa
nnij2n1n
in
n2
n1
ij2i1i
j22221
j11211
M
5000
2400
3420
1121
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4 MATEMTICA
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES A definio de determinante e o Teorema de Laplace permitem-nos o clculo de qualquer
determinante, contudo, possvel simplificar o clculo com o emprego de certas propriedades. Vejamos quais so elas:
(P1) Matriz Transposta
Se M a matriz de ordem n e Mt sua transposta, ento:
Exemplo: Seja (
) calcule det M e
det Mt.
(P2) Fila Nula
Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n
forem todos nulos, ento
Exemplo: Seja (
) calcule det M:
(P3) Duas filas paralelas iguais
Se uma matriz tem duas filas (duas linhas ou duas colunas) paralelas iguais, ento:
Exemplo: Seja (
) calcule det M:
(P4) Duas filas paralelas proporcionais Se uma matriz tem duas filas (duas linhas ou duas colunas) paralelas proporcionais, ento:
Exemplo: Seja (
) calcule det M:
(P5) Multiplicao de uma fila por uma constante
Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por um nmero K, o determinante da nova matriz M obtida ser o produto
de K pelo determinante de M, isto :
Exemplo: Seja (
) e (
) calcule
det M e detM e verifique a propriedade P5:
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5 MATEMTICA
OBS: Note que se multiplicarmos uma matriz M por
uma constante k, todas as filas da matriz
multiplicada por k. Logo o determinante da nova
matriz M obtida fica multiplicado por kn, onde n a
ordem da matriz. Ou seja,
Exemplo: Seja (
) e (
)
calcule detM e detM e verifique a observao acima:
(P6) Troca de filas paralelas Se trocarmos de posio duas filas paralelas (linhas ou colunas) obteremos uma nova matriz M tal que detM=-detM.
Exemplo: Seja (
) e (
) calcule detM
e detM e verifique a P6.
(P7) Teorema de Jacobi Adicionando-se a uma fila de uma matriz M,
de ordem n, uma outra fila paralela, previamente
multiplicada por uma constante, obteremos uma nova
matriz M, tal que detM=detM.
Exemplo: Seja (
) e (
),
obtida a parti de M, multiplicando a primeira linha
por 3 e somando segunda linha. Calcule detM e
detM e verifique o Teorema de Jacobi.
OBS.: Este Teorema bastante importante, pois utilizando-se dele podemos
introduzir zeros em uma fila de uma
matriz e assim facilitar o clculo do
determinante pelo Teorema de Laplace.
Exemplo: Utilizando os Teoremas de Jacobi e
Laplace, calcule o determinante:
Dica: multiplique a primeira linha por -2 e some
com a segunda. Ficaremos com um outro determinante, cujo o valor igual ao primeiro (Teor. de Jacobi). Agora fcil calcul-lo segundo o Teor. de Laplace.
5234
2553
3222
1111
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6 MATEMTICA
(P8) Teorema de Binet Se A e B so matrizes quadradas de ordem n,
ento:
Exemplo: Dadas as matrizes A=
4 3
6 8 e
B=
5 3
2 2 calcule o det(AxB), pelos dois
mtodos:
1 Mtodo: Realizando primeiro a multiplicao e depois calculando o determinante da matriz resultante.
2 Mtodo: Usando o Teorema de Binet. Ou seja, calcule os determinantes de cada uma e depois multiplique-os.
Conseqncia: Como
A.A-1=In Aplicando determinante em ambos os lados, temos:
det(A.A-1)=det(In)
Como det(In)=1 sempre, aplicando o Teor. de Binet no primeiro membro temos:
det(A) x det(A-1)=1
por fim, temos que:
,
Ou seja, o determinante da inversa de uma matriz A igual ao inverso do determinante de A, desde que o determinante de A seja diferente de
zero. Podemos concluir que para saber se uma matriz A qualquer inversvel, ou seja, tem uma
inversa A-1, basta calcular o determinante de A, da:
1 Se , ento A no tem inversa;
2 se , ento A tem uma inversa A-1.
Exemplo: Dadas as matrizes A=
4 3
6 8 e
B=
8 4
6 3 , verifique se so inversveis e em
caso positivo, diga quanto vale o determinante
da inversa.
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7 MATEMTICA
(P9) Regra de Chi A regra de Chi um procedimento prtico
para rebaixar a ordem de uma matriz sem alterar o
valor de seu determinante. Seguindo a regra
podemos rebaixar, por exemplo, uma matriz de
ordem 4 para uma de ordem 2, sem alterar o o valor
do determinante. Vejamos os passos:
1) Utilizando as propriedades P6 e/ou P7,
altere a matriz de forma que seu primeiro
elemento seja igual 1, ou seja, a11=1.
2) Suprimimos a 1 linha e 1 coluna da
matriz.
3) De cada elemento restante da matriz,
subtramos o produto dos elementos que se
encontram nas extremidades das
perpendiculares traadas do elemento
considerado, 1 linha e 1 coluna. Com
isso, obteremos uma matriz de ordem (n-1),
cujo determinante igual ao da matriz
original.
Exemplo: Calcule os determinantes usando a Regra
de Chi:
|
|
(P10)Determinante da matriz das potncias ou de Vandermonde Chamamos matriz de Vandermonde, ou das
potncias, toda matriz de ordem n , do tipo.
nxn
n
n
nnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
11
3
1
2
1
1
1111
Isto , as colunas de M so formadas por potncia de
mesma base, com expoente inteiro, variando desde 0 at n 1 (os elementos de cada coluna formam uma progresso geomtrica
cujo primeiro elemento 1).
Os elementos da 2a linha so chamados elementos
caractersticos da matriz.
Indiquemos o determinante de uma matriz de
Vandermonde por.
Exemplo: Calcule os determinantes das matrizes de
Vandermonde:
a) 2 2) - (3 . 2) - (4 . 3) - (4
1694
432
111
A
b)
1920 - 1) (- . 5) (- . 4)- ( . 3 . 4 . 8
1252718
25914
5312
1111
B
5234
2150
3220
0432
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8 MATEMTICA
EXERCCIOS II
1. Encontre os determinantes sem usar clculos, justifique
sua resposta.
A=
023
042
061 B=
0203
7171
0203
7171
C=
0183
2042
061
2. Sabendo A e B so matrizes quadradas de mesma
ordem e que o determinante da matriz A 25 e o
determinante da matriz AxB 100, ento, qual o
determinante da matriz B?
3. Calcule o valor de x, sabendo que 3x-810
4x =0
4. (UNESP-SP) Considere as matrizes:
zy
xA
2
02 e
xy
zB
4. Se
tBA , ento
o determinante da matriz
254
11
1
z
yx igual a:
a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
5. (Fei) Para que o determinante da matriz:
seja nulo, o valor de a deve ser:
a) 2 ou -2 c) -3 ou 5 e) 4 ou -4
b) 1 ou 3 d) -5 ou 3
6. (UFRN) Sendo 2
22 xxa
e
2
22 xxb
, o
determinante da matriz
ab
ba igual a:
a) 1/4 b) 4 c) 1 d) 1/2
7. Determine o valor de 2240222401
5240252401?
8. (FEI-SP) As faces de um cubo foram numeradas de 1 a
6, depois em cada face do cubo foi registrada uma matriz
de ordem 2, com elementos definidos por:
jisej
jisefiaij
,
,2em que f o valor associado
face correspondente.
Qual o valor do determinante da matriz registrada
na face 5.
9. (IFSC 2008) Calcule o valor de x para que se tenha
a) -3. b) 6. c) 0. d) 3. e) -6.
10. (Ufrrj 2001) Dada a matriz A = (aij)2x2, tal que
aij = 2, se i < j
aij = 3i + j, se i j,
encontre o DETERMINANTE da matriz At.
11. (UFS SE) O determinante da matriz A = ( aij)3x3,
onde aij = 2i j, igual a:
a. - 12 b. 8 c. 0 d. 4 e. 6
12. (Ufal) A matriz A-1 a inversa da matriz
Se o determinante de A-1 igual a - 1
2, calcule o
determinante da matriz A + A-1.
13. Seja (
), calcule os menores
complementar D12, D22 e D23.
14. Encontre o cofator de 3 na matriz
15. Calcule os determinantes das matrizes abaixo,
utilizando o TEOREMA DE LAPLACE:
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9 MATEMTICA
16. Observando os determinantes e as propriedades, diga
quanto vale cada um. Especifique a propriedade
observada.
17. Sem resolver diga porque o valor dos determinantes
abaixo zero.
18. Sem desenvolver nenhum dos determinantes, provar
que D=8.D, sabendo que:
19. Calcule os determinantes abaixo, pela REGRA DE
CHI:
20. Resolva a equao:
21. Qual a condio sobre a para que a matriz M abaixo,
seja inversvel?
22. Calcule, se existir, o determinante da matriz INVERSA
das matrizes abaixo:
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10 MATEMTICA
23.
24.
25.
26.
27. Se A uma matriz quadrada de ordem 2 e inversvel,
que satisfaz a equao A2=2A, ento o determinante de
A, ser:
a) 0 b) 1 c)2 d)3 e)4
28. Se K=(kij) uma matriz quadrada de ordem 2, dada
por
{
Ento calcule det(K-1), se existir.
29. Chamamos de Trao da matriz M e indicamos por
Tr(M) a soma dos elementos da diagonal principal da
matriz quadrada M. Ento, julgue a sentena a abaixo em
verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Tr(M)=Tr(Mt) ( )
Justifique sua resposta
30.
31.
32.
33. (Unesp 2005) Foi realizada uma pesquisa, num bairro
de determinada cidade, com um grupo de 500 crianas de
3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em funo da
idade x da criana, concluiu-se que o peso mdio p(x), em
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11 MATEMTICA
quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A,
onde
Com base na frmula p(x) = det A, determine:
a) o peso mdio de uma criana de 5 anos;
b) a idade mais provvel de uma criana cujo peso 30
kg.
34. (UFRN-2006) Seja
ihg
fed
cba
A uma matriz 33 .
Se 6)(
ihg
fed
cba
ADet, ento
cba
fed
ihg
fed
cba
ihg
fed
ihg
cba
ihg
fed
cba
igual a:
a) 18 b) 12 c) 6 d) 0
35. (IME - 2000) Calcule o determinante:
13111111
11111111
1191111
1117111
1111511
1111131
1111111
D
36. (Fafi-MG) O valor de
1111
0111
4321
0010 :
a) 1 b) 0 c) 1 d) 2
37. (Puc-MG) O valor do determinante da matriz
1403
1021
0321
0020
A
igual a:
a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 3
38. (UFC - 2000) Considere a matriz A =
x
a a
x
0 1
1
0 1
. O
valor de a para o qual a equao det A = 1 possui
exatamente uma raiz real :
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
39. (OSEC SP) O valor do determinante
dcb
da
ca
ba
0
00
00
00
:
a. 3abcd c. 3acd e. -2abd
b. 2abcd d. -3abc
40. (UNIFOR CE) O determinante de uma matriz 42.
Se multiplicarmos a primeira linha da matriz por trs e
dividirmos sua segunda coluna por nove, a nova matriz
ter determinante igual a:
a. 12 b. 14 c. 21 d. 42 e. 36
41. (UF SE) Se D1 =
102
221
012
n
n
n
e D2 = n
n
21
12,
com n 0, ento o quociente
2
1
D
D igual:
a. 12 n c.
12
12
n
n
e. 12
2
n
n
b. 121 n d.
12
1
n
42. (Fatec 2008) Se x um nmero real positivo tal que
e det (A.B) = 2, ento x-x igual a
a) - 4 b) 1
4 c) 1 d) 2 e) 4
43.
44.O valor do determinante
3694
632
111
:
45. (EFOMM) O valor do determinante
222 )a100(log)a10(log)a(log
a100loga10logalog
111
:
a) a b) log a c) 0 d) 2 e) 4
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12 MATEMTICA
46. (FEI-SP) Dada a matriz
21
32A , sendo tA a
sua transposta, o determinante da matriz tAA :
a) 1 b) 7 c) 14 d) 35 e) 49
47. (MACK-2004) Dada a matriz
12
2 kA ,
0det A , a soma dos valores de k para os quais 1detdet AA :
a) 2 b) 2 c) 1 d) 1 e) 0
48. (UFSCar SP) Sejam A =
3000
0100
2120
3011
e
B =
3453
0112
0021
0001
. Ento, det (A.B) igual a:
a. 36 b. 12 c. 6 d. 36 e. 6
49.O valor do determinante
sm
rm
pm
m
111
111
111
111
:
a) 4 p r s d) m p r s
b) p s r e) 4 m p r s
c) m p s
50. (OSEC-SP) O valor do determinante
wzz
wyy
wxx
31
31
31
:
a) w b) y c) 1 d) x e) zero
51. (IME ) Determine o valor numrico do determinante
abaixo:
52.
53.
54.
55. (ESAF-MPU-2004)
onde a e b so inteiros positivos tais que a >1 e b>1,
igual a
a) - 60a. b) 0. c) 60a. d) 20ba2. e) a(b-60).
56. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer
aquela que se obtm trocando linhas por colunas. Sabendo-se
que uma matriz quadrada de segunda ordem possui
determinante igual a 2, ento o determinante do dobro de sua
matriz transposta igual a:
a) 2 b) 1/2 c) 4 d) 8 e) 10
57. Calcule o determinante da inersa da matriz
A =
3000
0100
2120
3011
.
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