1
ESCOAMENTOS EM REGIME TRANSIENTE Regime transiente: são escoamentos que apresentam
variação com o tempo /t 0
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (r=cte, m=cte)
3. 2-D (largura b >> d) / z = 0
4. L >> d / x = 0
5. Escoamento horizontal, gravidade
vertical
6. p=patm=cte
7. laminar
d
Exemplo: Escoamentos Próximo à uma
Parede Abruptamente Posta em
Movimento
2
Continuidade:
ctev
z
w
y
v
x
u==
0
4050 )()(
00 ===
VcteV
t
rr
r)(
0=vCondição de contorno: y=0 ; v=0
ityuV
),(=
VpgtD
VD
2= mrr
Q. M. L - direção z e y satisfeitas de acordo com as hipótese listadas
Q.M.L. (Navier-Stokes):
Q. M. L - direção x
)()(
)()()()(
)()()( 30406050
300040
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
uxz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
pgwvu
m
rr =
=
2
2
y
u
t
u
= Condições de contorno, t >0
1) y=0; u =uo
2) y ∞ ; u=0
Condição inicial
1) t ≤ 0 ; u =0
para y = viscosidade
cinemática; = m/r (m2/s)
Adimensionalizando
a velocidadeou
uU =
2
2
y
u
t
u
=
4
o número 4 é introduzido por conveniência, como será visto no resultado final
tUt
U dd
~2
Podemos estimar a variação da espessura de penetração d com o tempo,
analisando a equação de momentum
t
y
4=
d
y=
Espera-se que a medida que o tempo passa, d cresce, mas a forma do perfil
mantenha-se similar. Então é conveniente adimensionalisar a coordenada
vertical com a espessura de penetração d, tal que U= U(y/d)
2
2
y
U
t
U
=
Mudança de variáveis: U= U(, t) onde = y/(4 t)0.5 e t = t
Para introduzir a mudança de variáveis na equação de conservação, é preciso
utilizar a regra da cadeia
U= U(, t) onde = y/(4 t)0.5 e t = t
mas
t
U
t
U
t
U
t
t
=
tt
y
t
2
12321
4== /
)(
5
y
U
y
U
y
U
t
t
=
yty
==
4
110 ==
ty
t
t;
t
U
yy
U
y
U
y
4
1
2
2
=
=
2
2
42t
t
=
UUUsubstituindo
Condições de contorno
1) =0; U =Uo
2) ∞ e t=0; U=0
t
U
y
U
4
1
=
t
=
U
t
U
t
U
2
Utilizando separação de variáveis: U(, t) = H() T(t)
6
Condições de contorno
1) t=0 ; T =finito l=0 e T = constante
T=1 e U() = H()
tt
=
UUU24
2
2
2
2
42t
td
Hd
d
Td
d
HdTHT =
22142
2
lt
t==
d
Hd
d
Hd
d
Td
HHT
t
tl d
T
Td
4
2
= CT lnlnln = tl
4
2
4
2l
t
= CT
7
Resultando em02
2
2
=
d
Ud
d
Ud
Condições de contorno e inicial
1) = 0 ; U =1
2) ∞ ; U 0
A condição de contorno (1) corresponde a condição de não deslizamento, enquanto
que a condição (2) engloba a condição inicial e no infinito, pois = y/(4 t)0,5
Para integrar esta equação diferencial ordinária de 2a.
ordem, observa-se que esta equação é de 1a. ordem para
d
Ud=
02 =
d
d
d
d2=
12 Clnln =
22
11
== eC
d
UdeC =
021
2CdeCU '
'
8
Condições de contorno e inicial
1) = 0 ; U =1 C2 = 1
21
0
12
=
=
'
' de
C
=
0
21
2CdeCU '
'
)()(')('
erfcerf1
21
0
2= == deUentão
2) ∞ ; U 0
erf é a função erro e erfc é a função complementar
=
=
)(),(
)(),(
t
yutyu
t
yutyu
o
o
4erfc
4erf1
A espessura de penetração pode ser definida como a distância da placa onde
a velocidade é 1% de uo. Neste caso, 2, logo td 4=
9
Exemplo: Escoamento transiente entre duas placas
paralelas
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (r=cte, m=cte)
3. 2-D (largura w >> b) / z = 0
4. L >> b / x = 0
5. Escoamento horizontal, gravidade
vertical
6. p=patm=cte
7. laminar
Como já vimos, a equação da continuidade incompressível é
o que implica que
0= V
ityuV
),(=
10
Exemplo: Escoamento transiente entre duas placas
paralelas
)()(
)()()()(
)()()( 30406050
300040
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
uxz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
pgwvu
m
rr =
=
VpgtD
VD
2= mrr
Q. M. L - direção z e y satisfeitas de acordo com as hipótese listadas
Q.M.L. (Navier-Stokes):
Q. M. L - direção x
2
2
y
u
t
u
=
11
Vimos que a equação de conservação de quantidade de movimento se
reduz a
2
2
y
u
t
u
=
Condições de contorno, t >0
1) y=0; u =vo
2) y=b, u=0
Condição inicial
1) t ≤ 0 ; u =0
para 0 < y ≤ b
Adimensionalizando
t
2
2 2
21 bt
btref
UU
ref==
o
uU
v=
b
y=
reft
t
t =
2
2
t
UU=
2b
t t =
O tempo característico corresponde aproximadamente ao
tempo para o momentum se difundir em uma distância b
Condições de contorno e inicial
1) t ≤ 0 ; U =0 2)=0; U=1
3) =1; U=0
12
Primeiro vamos encontrar a solução em regime permanente
2102
2
CCUd
Ud==
Condições de contorno,
1) =0; U∞ =1
2) =1, U ∞ =0
= 1)(U
Condições de contorno
1) =0; U∞=1 C2=1
2) =1; U ∞ =0 C1=-1
Substituindo na equação diferencial obtém-se
02
2
=
d
Ud2
2
t
tt UU=
Condições de contorno e inicial
1) t=0; Ut =U∞ 2) =0, U t =0
3) =1, U t =0
Procura-se solução do tipo: ),()( t tUUU =
U∞ é a solução em regime permanente e Ut é a parte transiente da solução que
desaparece quando t ∞
13
Para resolver
Vamos assumir uma solução do tipo
2
2
t
tt UU=
)()( t gfU t = Separação de
variáveis
Substituindo na equação diferencial e dividindo por f g obtém-se
2
211
t d
fd
d
gd
fg=
Como t e são variáveis independentes, e como o lado direito só depende de
e o esquerdo de t, então ambos os lados devem ser iguais a mesma constante.
Vamos definir esta constante como – c2, o que nos permite escrever
gcd
gd 2=t
022
2
= fcd
fd
t2ceAg =
)(cos)(sin cCcBf =
Problema de
Sturm-Liouville
)cos()sin( t
cCcBeAUc
t = 2
)(sin nBf nn =
Condições de contorno
1) =0, U t =0 C = 0
2) =1, U t =0 sin (c) = 0 , pois B =0 implica em solução trivial Ut=0
Porém existem infinitos valores c que satisfazem esta condição, i.e.,
são os auto-valores
cn=n , n= 0, 1, 2, 3, .....
Para cada auto-valores, existe uma auto-função correspondente fn e
função gn
n= 0, 1, 2, 3, .....
t 22nnn eAg
=
14
15
Aplicando a condição inicial: t=0, U t = U∞ temos
Para determinar as constantes Dn precisamos explorar a condição de
ortogonalidade.
=
=1
1n
n nD )sin(
Cada produto gn fn satisfaz a equação diferencial, então a solução
completa é a soma do todas as soluções particulares
=
=nnt nnDU )sin()exp( t 22
onde Dn = An Bn.
Como o termo n=0 é nulo e sin ( n )= sin (n ), podemos omitir
o valor nulo e negativos de n.
=
=1
22
nnt nnDU )sin()exp( t
16
ORTOGONALIDADE DE AUTO-FUNÇÕES
Considere a equação:
Esta equação é típica em problemas uni-dimenisonais de transferência de calor e
mecânica dos fluidos.
Considere a equação submetida a condições de contorno homogêneas no
intervalo (a, b).
032
212
2
= yxfxfxd
ydxf
xd
yd)()()( l
022
2
= fcd
fd
A solução deste problema irá gerar autofunções jn (x) correspondentes a
autovalores ln (x).
A equação do exemplo transiente nas placas é um caso particular desta
equação, com y = f, f1=f2=0 e f3=1. l=c é o auto-valor
17
A equação anterior pode ser reescrita como:
) ) ) 02 =
yxxq
dx
dyxp
d
d
xl
) )
) ) )
) ) ) )
==
=
=
dxxf
dxxf
exffxpx
xfxpxq
exp
1
1
33
2com
No exemplo do escoamento transiente entre placas:
p(x) =1 ; q(x)=0 ; (x) =1
18
Funções ortogonais: Sejam jn (x) e jm (x) duas auto-funções
correspondentes a auto-valores ln e lm distintos. Estas funções
são ortogonais num intervalo (a, b) com respeito a função peso
(x) pois:
)(;)()()( nmdxxxxb
amn = 0jj
Voltando ao exemplo: Para determinar as constantes
Dn vamos utilizar a condição de ortogonalidade.
então
nmquando1/2nmquando0
1
01
1
1
0
1
===
==
dmnDdmn
n
m
)sin()sin()sin()(
)/(
,...,, 3212
== nn
Dn
)sin()( =
=
nn
nD1
1
)sin()sin()sin()( =
=
mnmn
nD1
1
19
A solução final é
Observações:
Exceto para os primeiros instantes de tempo, a série infinita converge
rapidamente, isto é, somente os primeiros termos contribuem de forma
apreciável.
No limite dos instantes de tempo inicias, essa solução é equivalente a
solução de uma única parede colocada em movimento abruptamente.
Pois para os primeiros instantes de tempo, o movimento do fluido só
ocorre próximo a placa inferior, como se o fluido “não sentisse” a
presença da parede em y=b.
=
=1
2221
n
nnn
U )sin()exp()(),( t
t
20
Exemplo: Escoamento próximo ao uma placa
oscilante com descolamento X(t)= Xo sin t
(Problema de Stokes)Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes
(r=cte, m=cte)
3. 2-D (largura b >> d)
/ z = 0
4. L >> d / x = 0
5. Escoamento horizontal,
gravidade vertical
6. p=patm=cte
7. laminar
Como já vimos ityuV
),(=2
2
y
u
t
u
=
)cos(),( tXtu
ov
otddX
==0
21
Condições de contorno, t >0
1) y=0 ; u =vo cos ( t)
2) y ∞, u 0
Deseja-se a solução periódica permanente, isto é, após o
desaparecimento do transiente inicial logo, a condição inicial não é
necessária.
As partículas de fluido estarão sujeitas a oscilações com freqüência ,
porém com ângulo de fase e amplitude que são função somente da
posição.
Para a obtenção desta solução “permanente periódica” é
conveniente utilizar uma técnica baseada em números complexos. A
solução desejada é a solução assintótica para t ∞.
22
Números Complexos: definições básicas
Um número é complexo quando possui uma parte imaginária, i.e., uma
parte proporcional a . Este número pode ser representado
no plano como mostrado na figura.
1=i
Observações:
Representação cartesiana: a + b i
Representação polar: r (cos q + i sin q) = r eiq
(a + b i ) = a é a parte real de a + b i
{a + b i} = b é a parte imaginária
23
(a + b i )2 = a 2 - b2 + 2 a b i
(a + b i ) (a - b i ) = a 2 + b2
(a + b i )-1 = (a - b i ) /[(a + b i ) (a - b i ) ]= (a - b i ) / (a 2 + b2)
Para encontrar (i)0,5 na forma a+bi, proceder como segue
120
2
22
222
==
===
baeba
ibabaibaibiai )(
então )( ii = 12
1
))( ii
i
i
i=== 1
2
11
2
26
Condições de contorno, t >0
1) y=0 ; u =vo cos ( t)= vo { ei t}
2) y ∞, u 0
Voltando ao Escoamento próximo a
uma placa oscilante com descolamento
X(t)= Xo sin t
2
2
y
u
t
u
= THU = 2
2
21l
==
y
H
t
T
HT
02 =l= Tdt
dT)exp( tAT 2l=
Hy
H
l
2
2
2=
l2iraizes =
-
= yiDyiCH
l
l 22expexp
ADDACC ';' ==)exp(expexp tyiDyiCU 222
l
l
l
=
))exp()()][exp()cos(; tDCtiVtVUy oo20 l =
l i= 2oVDC =
27
)( ii = 12
1)()( 1
2
11
2
11 =
== iiiii
)()( iiiii =
= 1
2
11
2
1 )( iy
iiyi =
=
1
2
2
l
) )exp()(exp)(exp tiyiDyiDVU o
= 1
21
2
00 = DVUy o; )exp()(exp tiyiVU o
= 1
2
}{}{),( /(//)( tyiyo
tiiyo eeeetyu == 2221 vv
)/cos(),(/
2v2
ytetxuy
o =
28
Finalmente a solução é
Observações:
O perfil de velocidade possui a forma de uma oscilação harmônica
amortecida, cuja amplitude é , na qual uma camada de fluido
a uma distância y possui um atraso com respeito ao movimento
da parede.
A influência do movimento da placa no fluido encontra-se restrita a
Duas camadas de fluidos, separadas uma distância igual a ,
oscilam em fase.
)/cos(),(/
2v2
ytetxuy
o =
2v
/yo e
2/y
25 /y
22 //
29
Exemplo: Inicialização de Escoamento
em Duto Circular
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes
(r=cte, m=cte)
3. 2-D (axi-simétrico) / q = 0
4. L >> R / x = 0
Como já vimos, a equação da continuidade incompressível é
o que implica que
0= V
itruV
),(=
qq eveveuV rx
=
qq q cos; ggsenggr ==
gq g
D=2 R
r
x
r
q
gr
5. Escoamento horizontal, gravidade
vertical
6. Laminar
7. Fluido em repouso
8. t 0, gradiente de pressão imposto
30
Q. M. L - direção x
=
= )()()()()( 54
540
2
2
22
21
zero
x
u
zero
r
u
zero
x
u
zero
r
u
vzero
r
u
t
u
r
ur
rrx
puvv
q
q
q
m
r
Condições de contorno : 1) r=0 U=finito 2) r=1 U=0
Condição inicial: 1) t=0 U=0
=
r
ur
rrx
p
t
u
m
r
1
=
t
UU 11
2Rxp
uU
m
/=Adimensionalizando
R
r=
2R
t t =
Condições de contorno : 1) =0 U=finito 2) =1 U=0
Condição inicial: 1) t=0 U=0
31
),()( t tUUU =
011
=
U
=
t
tt UU 1
Condições de contorno :
1) =0 U∞=finito C1=0
2) =1 U ∞ =0 C2=1/4
21
2
4CCU =
ln
Condições de contorno : 1) =0 U∞=finito 2) =1 U ∞ =0
1) =0 Ut=finito 2) =1 U t =0
e inicial 3) t =0 Ut = - U∞
)(21
4
1=U
011
=
U
32
)()(),( tt TU t =
=
t
tt UU 1
=
t d
d
d
d
d
Td
T
111
Td
Td 2lt
=
l
21=
d
d
d
d
2l=
Funções de Bessel
)exp( tl2= oCT
33
Funções de Bessel ) ) ) 02 =
yxxq
dx
dyxp
xd
dl
=
=
=
2
1
2
2
202
ps
p
psDefinindospx
dx
dx
dx
d sp
m
=
m mq
1
2
1
xxGeralSolução
p
:
(soluções particulares)
Real
Fracioário
Zero ou Inteiro
Funções de Bessel
de 1a e 2a espécie
Imaginário Fracioário
Zero ou Inteiro
Funções de Bessel
Modificadas de
1a e 2a espécie
)n=
)
nn JJ
YouJJ
)n=
)
nn I
ou
= 2sp rx=q
Obs. Se trate-se de equações equidimensional, cuja solução geral é do tipo
34
) ) )
)
) ) ) )
)
sen
mxJmxJmxY
kk
mxxmJ
k
k
k
=
=
=
cos
!
/
1Γ
21
2
0
) )
) ) )
=
==
sen
nnnn
1ΓΓ
Γ1Γ !onde função Gama:
Funções de Bessel
)
)
=
==
2121Γ
01Γ
//
!
36
) )
)
) ) ) )
) )
) ) ) )
) ) )
=
==
=
==
=
==
paramxmxm
YJparamxmxmmx
xd
d
paramxmxm
YJparamxmxmmx
xd
d
paramxm
YJparamxmmx
xd
d
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
,,
,,
,,
) )
)
) )
)
=
==
=
==
paramxmx
KYJparamxmxmxx
d
d
paramxmx
IYJparamxmxmxx
d
d
x
x
1
1
1
1
,,
,,
Derivadas das Funções de Bessel:
Caso
especial,
para
0=
37
p = 1; s = 1; m = 1; v = 0; = l real
função peso w) =
Voltando ao problema
)()( ll oo YCJC 21 =
02 =
l
d
d
d
d
=
=
=
2
1
2
2
202
ps
p
psDefinindospx
dx
dx
dx
d sp
m
Condições de contorno :
1) =0 = finito C2=0
2) =1 = 0 Jo(ln)=0
ltl=
=t
1
2
nnonn JAU )()exp()()exp( ltlt nonn JAU 2=
t TU =
38
Condição inicial : t =0 Ut = U∞
=
=1
214
1
nnon JA )()( l
=1
0
2
1
0
214
1
l
l
dJ
dJ
A
no
no
n
)(
)()(
21
31
50 )]([,
/)(
n
nnn
J
JA
l
ll=
)( nnn
JA
ll 13
2=
=
=1
2
13
2 21
4
1
nnon
nn
JJ
U )()exp()(
)( ltlll
)21
2
22
50
2
)]([)]([,
)/()(
nno
nnn
JJ
JA
ll
ll
=
0
22 231
22
=
=
)(
)()()(
no
n
no
n
n
n
n
J
JJJ
l
l
l
l
l
l
lmas
39
As primeras raizes da função de Bessel encontram-se na tabela
abaixo para valores positivo de n inteiro. Podem ser encontradas em
Mathematica usando o comando BesselJZero[n, k].
n Jo(ln) J1(ln)J2(ln) J3(ln) J4(ln) J5(ln)
1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3802 7.5883 8.7715
2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610 11.0647 12.3386
3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152 14.3725 15.7002
4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 17.6160 18.9801
5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094 20.8269 22.2178
40
=
=1
2
13
2 21
4
1
nnon
nn
JJ
U )()exp()(
)( ltlll
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Velocidade U_{adim)
eta
=r/
R
Grafico de V x t
tau=0.0
tau=0.1
tau=0.2
tau=0.3
tau=0.4
reg perm
41
clc;
clear;
nn=1;
lambda_old(nn)=1;
for nn=1:1:12;
dif=1;
for iter=1:1:100
lambda(nn)=lambda_old(nn)+besselj(0,lambda_old(nn))/besselj(1,lambda_old(nn));
dif=abs(lambda(nn)-lambda_old(nn));
lambda_old(nn)=lambda(nn);
end
lambda_old(nn+1)=lambda_old(nn)+2.5;
end
lambda
42
for i=1:1:5
tau(i)=0.1*(i-1);
for j=1:1:11
eta(j)=0.1*(j-1);
vel_infty(j)=0.25*(1-eta(j)*eta(j));
velocidade_t(j)=0;
for n=1:1:12
dn=-2/(lambda(n)^3*besselj(1,lambda(n)));
velocidade_t(j)=velocidade_t(j)+
dn*exp(-lambda(n)^2*tau(i))*besselj(0,lambda(n)*eta(j));
end
vel(I,j)=vel_infty(j)+velocidade_t(j);
end
for j=1:1:11
vel_1(j)=vel(1,j);
vel_2(j)=vel(2,j);
vel_3(j)=vel(3,j);
vel_4(j)=vel(4,j);
vel_5(j)=vel(5,j);
end
figure(1)
plot(vel_1 ,eta,vel_2,eta,vel_3,eta,vel_4,eta,vel_5,eta,vel_infty,eta);
legend('tau=0.0','tau=0.1','tau=0.2','tau=0.3','tau=0.4','reg perm') ;
title('Grafico de V x t');
ylabel('eta=r/R');
xlabel('Velocidade U_{adim)');