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• Forças fictícias ou pseudoforças
Para se poder aplicar a 2ªlei de Newton a referenciais acelerados é necessário utilizr forças fictícias – pseudoforças.
Estas forças não são exercidas por nenhum agente. São
introduzidas apenas para que a equação FR = m a seja válida num referencial não inercial.
Utilizando a lei do movimento relativo para relacionar as
acelerações nos referenciais inercial (fixo) e não inercial (móvel e acelerado):
fixo.ref/móvel.refobjPPRmóvel.ref/objobj
fixo.ref/móvel.refobjRmóvel.ref/objobj
fixo.ref/móvel.refobjfixo.ref/objobjmóvel.ref/objobj
fixo.ref/móvel.reffixo.ref/objmóvel.ref/obj
amFFFam
amFam
fixo.refnoválidaéleiª2
amamam
aaa
−=+=
−=
−=
−=
↓
Pseudoforça devida à aceleração do referencial em relação ao qual se está a tentar aplicar a 2ª lei de Newton
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Exemplos 1 – Corpo em queda dentro de um comboio acelerado
BBamP = C/BCB
C/BP
amamP
amFP
=−
=+
Note-se que, tal como vimos anteriormente, as duas observações são conciliadas através da equação do movimento relativo:
CC/BBCBC/B aaaaaa +=⇔−=
2 – Corpo pendurado num comboio acelerado
P aC
P aC FP
g
a)(tg
0P)cos(T)y(
am)(Tsen)x(
amPT
aaaa0a
comboio ao
nterelativame move se não bola a como
amPT
CCB
CB
CBCBC/B
BB
=α⇒
=−α
=α
=+
=⇒−==
=+
CB
CB
C/BB
amPT
0amPT
0FPT
comboio ao nterelativame move se não bola a
amFPT
P
P
=+
=−+
=++
=++
P
aC α T y
x P
aC α T
FP
y
x
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Movimento Curvilíneo
• Quando a força resultante tem a direcção da velocidade o movimento é rectilíneo
• O movimento curvilíneo ocorre quando a força resultante não é colinear com a velocidade. Existe então uma componente da aceleração perpendicular à velocidade.
• A componente da aceleração perpendicular à velocidade permite a variação da direcção do movimento da partícula (através da variação da direcção da velocidade)
• Se a massa fôr constante então a aceleração é paralela à força De F = m a e a = aT + aN obtém-se F = m aT + m aN
N
2
T
N
2
T
ûv
mûdtvd
mF
ûv
mûdt
vdmF
ρ
ρ
+=
+=
F
FT
FN
aN
aT
v
FN FT
A força tangencial , FT, origina uma variação do
módulo da velocidade, e é tangente à trajectória. Se fôr nula o movimento será
uniforme ( v = constante)
Variação da direcção da velocidade. A força normal , FN, aponta sempre para o
centro da curvatura da trajectória (no movimento rectilíneo é ρ=∞ e logo FN=0)
se FN=0: mov. rectilíneo uniforme se FN≠0: mov. circular uniforme
FT=0 => v = v=constante <=> mov. uniforme
FN=0 => direcção de v constante <=> mov. rectilíneo
se FT=0: mov. rect. uniforme se FT≠0: mov. rect. variado
ûT ûN
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• No caso do movimento circular o raio de curvatura, ρ, é constante e igual ao raio, R, da circunferência e v = ω R . Logo a força normal , ou força centrípeta , é
RmRv
mamFF 22
NNN ω====
• Quando o movimento é circular uniforme então F = FN (aT = 0) ou seja:
( ) pvv mûmûRmûamF NN2
NN ×=×==== ωωωω
• No caso geral podendo a massa variar tem-se:
( )NT
TT
Tû
vpû
dtpd
dtûd
pûdt
pd
dt
ûpd
dtpd
Fρ
+=+===
Exemplo 1: Um fio de comprimento L ligado a um ponto fixo, tem na sua extremidade uma massa m que gira em torno da vertical com velocidade angular constante ω. Determinar o ângulo α que a corda faz com a vertical. Este dispositivo designa-se por pêndulo cónico . A massa m move-se descrevendo um círculo de raio R = L sen(α). As forças que actuam na massa m são o peso, P, e a tensão T. A resultante das forças deverá ser a força centrípeta, FN, necessária ao movimento circular:
NFPT =+
Tomando as componentes das forças nas direcções vertical (ûz) e normal (ûN)
tem-se: ( )( )
( )( ) ( )
αα=α=
⇒
=α=−α
cossenmgF
cosmgT
FTsen
0PcosT
NN
como FN=maN=mω2R=mω2L sen(α) conclui-se que ( ) Lgcos 2ω=α
FN FT
T v
P
α ω
ûz ûN
FN R
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Exemplo 2: Corpo preso por um fio em cima de uma mesa rotativa
(a “força centrífuga)
=−
=
==
=++
0PR)z(L
vmT)x(
uL
vaa constante velocidade uma com
circular atrajectóri uma descreve bola a como
amRPT
2B
x^
2B
NB
B
BB
P
R T
L
vmT
0PR)z(
0L
vmT)x(
uL
vu
L
vaae 0a
tetanidade cons uma veloca roda comcomo a mes
e mesa à relação em parada está bola a como
amamRPT
amFRPT
2
B
2
B
x^
2
x^
2
N
P
BB
BMesaMesaB/Mesa
Mesa/BBMesaB
Mesa/BB
=⇔
=−
=−
====
=−++
=+++
Força centrífuga que o observador em cima da mesa tem de inventar de modo a equilibrar a tensão explicando assim a ausência de aceleração do corpo (em relação à mesa)
No ponto em que o corpo B se encontra a velocidade da mesa e do corpo B são iguais (o corpo B está parado relativamente à mesa)
Z
x
L
B
Z
x
L P
R T B
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Momento Angular Movimento Circular
Lo
r v O
m
L
r v
ω
O
m 90°
Momento angular, Lo, relativamente ao ponto O.
vrmL
prL
o
o
×=
×=
Pode variar quer em direcção quer em intensidade no decorrer do movimento.
As unidades do momento angular são Kg m2s-1
Se o movimento ocorrer num plano que contém o ponto O, então a direcção de Lo é constante e perpendicular a esse plano. ( r e v estão contidos no plano do movimento)
Sendo O o centro da circunferência, r e v são perpendiculares e v = ω r. Logo:
ω=
==
×=
2o
oo
o
rmL
vrmLL
vrmL
e o sentido de Lo corresponde ao sentido de ω sendo r constante.
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Movimento Curvilíneo num plano Cálculo do momento angular
L
r v
O
m x
θ
vr
vθ
A velocidade pode ser decomposta nas suas
componentes radial, vr , e transversal, vθ :
θ+= vvv r
então
( )θ+×=×= vvrmvrmL ro
como r e vr são paralelos obtém-se:
θ×= vrmLo
A intensidade de Lo é então dada por:
ω
θ
=
=θ==
2o
oo
rmL
dtd
rrmvrmLL
mas r pode variar no decorrer do movimento.
Cálculo genérico de Lo :
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
o
vvv
rrr
ûûû
m
ppp
rrr
ûûû
L ==
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Variação temporal do momento angular Partícula livre
Variação temporal de Lo :
( )
oo
o
MdtLd
Fr0
dtpd
rvvmdtpd
rpdtrd
dtprd
dtLd
=
×+=
×+×=×+×=×=
Momento da força F relativamente ao ponto O (o mesmo em relação ao qual se determina
o momento angular )
A variação temporal do momento angular de uma partícula é igual ao momento da força
aplicada na partícula
Se Mo = 0 então Lo = constante ou seja Existe conservação do momento angular sempre que Mo=0
Numa partícula livre F = 0. Assim Mo = 0 pelo que o momento angular, Lo, mantém-se constante e
( ) bvmsenrvmLL oo === θ
(v é constante pois não existem forças aplicadas na partícula livre)
m v
θ
θ
b
O
r
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Partícula sob acção de forças centrais
Uma força central é uma força cuja direcção passa sempre por um ponto fixo.
Se esse ponto fôr escolhido como origem, O, os vectores F e r são paralelos pelo que Mo = 0.
Assim numa partícula sob a acção de uma força central existe conservação do momento angular (relativo ao centro da força).
O movimento devido a uma força central é sempre plano pois o momento angular é constante:
constanter
constantedtd
mrL
2
2o
=
=θ=
ω
v1
F1
r1
o r2 v2
F2
Exemplos de forças centrais: Rotação da Terra em torno do Sol. A força gravítica de atracção entre a Terra e o Sol passa sempre pelo Sol. O momento angular da Terra relativamente ao Sol é constante . Movimento de um electrão num átomo de hidrogéneo. O electrão desloca-se relativamente ao núcleo (mais pesado) sob a acção de uma força electrostática que passa sempre pelo núcleo atómico. Assim o momento angular do electrão relativamente ao núcleo é constante .
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Exemplo: Determinar para um projéctil lançado horizontalmente do cimo de um edifício, o momento angular e o momento da força e verificar a relação entre eles.
( )
( )
ozoz2
oo
zoz
zyx
o
y
z2
ozo2
oo
2o
zo
o
zyx
o
yx
yxo
Mûtvgmûtvmg21
dtd
dtLd
que entãoseVerifica
ûtvgmûgxm
0g0
0yx
ûûû
mM
ûgmgmF
ûtvmg21
ûvtg21
tgtvmLlogo
tg21
yetvxmas
ûvytgxm
0gtv
0yx
ûûû
mL
ûyûxr
ûgtûvv
=−=
−=
−
−=−=−
=
−==
−=
+−=
−==
−−=−
=
+=
−=
v0
vx=v0
vy=g t g v
X
Y
x
y r
o