1

• Forças fictícias ou pseudoforças

Para se poder aplicar a 2ªlei de Newton a referenciais acelerados é necessário utilizr forças fictícias – pseudoforças.

Estas forças não são exercidas por nenhum agente. São

introduzidas apenas para que a equação FR = m a seja válida num referencial não inercial.

Utilizando a lei do movimento relativo para relacionar as

acelerações nos referenciais inercial (fixo) e não inercial (móvel e acelerado):

fixo.ref/móvel.refobjPPRmóvel.ref/objobj

fixo.ref/móvel.refobjRmóvel.ref/objobj

fixo.ref/móvel.refobjfixo.ref/objobjmóvel.ref/objobj

fixo.ref/móvel.reffixo.ref/objmóvel.ref/obj

amFFFam

amFam

fixo.refnoválidaéleiª2

amamam

aaa

−=+=

−=

−=

−=

↓

Pseudoforça devida à aceleração do referencial em relação ao qual se está a tentar aplicar a 2ª lei de Newton

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Exemplos 1 – Corpo em queda dentro de um comboio acelerado

BBamP = C/BCB

C/BP

amamP

amFP

=−

=+

Note-se que, tal como vimos anteriormente, as duas observações são conciliadas através da equação do movimento relativo:

CC/BBCBC/B aaaaaa +=⇔−=

2 – Corpo pendurado num comboio acelerado

P aC

P aC FP

g

a)(tg

0P)cos(T)y(

am)(Tsen)x(

amPT

aaaa0a

comboio ao

nterelativame move se não bola a como

amPT

CCB

CB

CBCBC/B

BB

=α⇒

=−α

=α

=+

=⇒−==

=+

CB

CB

C/BB

amPT

0amPT

0FPT

comboio ao nterelativame move se não bola a

amFPT

P

P

=+

=−+

=++

=++

P

aC α T y

x P

aC α T

FP

y

x

3

Movimento Curvilíneo

• Quando a força resultante tem a direcção da velocidade o movimento é rectilíneo

• O movimento curvilíneo ocorre quando a força resultante não é colinear com a velocidade. Existe então uma componente da aceleração perpendicular à velocidade.

• A componente da aceleração perpendicular à velocidade permite a variação da direcção do movimento da partícula (através da variação da direcção da velocidade)

• Se a massa fôr constante então a aceleração é paralela à força De F = m a e a = aT + aN obtém-se F = m aT + m aN

N

2

T

N

2

T

ûv

mûdtvd

mF

ûv

mûdt

vdmF

ρ

ρ

+=

+=

F

FT

FN

aN

aT

v

FN FT

A força tangencial , FT, origina uma variação do

módulo da velocidade, e é tangente à trajectória. Se fôr nula o movimento será

uniforme ( v = constante)

Variação da direcção da velocidade. A força normal , FN, aponta sempre para o

centro da curvatura da trajectória (no movimento rectilíneo é ρ=∞ e logo FN=0)

se FN=0: mov. rectilíneo uniforme se FN≠0: mov. circular uniforme

FT=0 => v = v=constante <=> mov. uniforme

FN=0 => direcção de v constante <=> mov. rectilíneo

se FT=0: mov. rect. uniforme se FT≠0: mov. rect. variado

ûT ûN

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• No caso do movimento circular o raio de curvatura, ρ, é constante e igual ao raio, R, da circunferência e v = ω R . Logo a força normal , ou força centrípeta , é

RmRv

mamFF 22

NNN ω====

• Quando o movimento é circular uniforme então F = FN (aT = 0) ou seja:

( ) pvv mûmûRmûamF NN2

NN ×=×==== ωωωω

• No caso geral podendo a massa variar tem-se:

( )NT

TT

Tû

vpû

dtpd

dtûd

pûdt

pd

dt

ûpd

dtpd

Fρ

+=+===

Exemplo 1: Um fio de comprimento L ligado a um ponto fixo, tem na sua extremidade uma massa m que gira em torno da vertical com velocidade angular constante ω. Determinar o ângulo α que a corda faz com a vertical. Este dispositivo designa-se por pêndulo cónico . A massa m move-se descrevendo um círculo de raio R = L sen(α). As forças que actuam na massa m são o peso, P, e a tensão T. A resultante das forças deverá ser a força centrípeta, FN, necessária ao movimento circular:

NFPT =+

Tomando as componentes das forças nas direcções vertical (ûz) e normal (ûN)

tem-se: ( )( )

( )( ) ( )

αα=α=

⇒

=α=−α

cossenmgF

cosmgT

FTsen

0PcosT

NN

como FN=maN=mω2R=mω2L sen(α) conclui-se que ( ) Lgcos 2ω=α

FN FT

T v

P

α ω

ûz ûN

FN R

5

Exemplo 2: Corpo preso por um fio em cima de uma mesa rotativa

(a “força centrífuga)

=−

=

==

=++

0PR)z(L

vmT)x(

uL

vaa constante velocidade uma com

circular atrajectóri uma descreve bola a como

amRPT

2B

x^

2B

NB

B

BB

P

R T

L

vmT

0PR)z(

0L

vmT)x(

uL

vu

L

vaae 0a

tetanidade cons uma veloca roda comcomo a mes

e mesa à relação em parada está bola a como

amamRPT

amFRPT

2

B

2

B

x^

2

x^

2

N

P

BB

BMesaMesaB/Mesa

Mesa/BBMesaB

Mesa/BB

=⇔

=−

=−

====

=−++

=+++

Força centrífuga que o observador em cima da mesa tem de inventar de modo a equilibrar a tensão explicando assim a ausência de aceleração do corpo (em relação à mesa)

No ponto em que o corpo B se encontra a velocidade da mesa e do corpo B são iguais (o corpo B está parado relativamente à mesa)

Z

x

L

B

Z

x

L P

R T B

6

Momento Angular Movimento Circular

Lo

r v O

m

L

r v

ω

O

m 90°

Momento angular, Lo, relativamente ao ponto O.

vrmL

prL

o

o

×=

×=

Pode variar quer em direcção quer em intensidade no decorrer do movimento.

As unidades do momento angular são Kg m2s-1

Se o movimento ocorrer num plano que contém o ponto O, então a direcção de Lo é constante e perpendicular a esse plano. ( r e v estão contidos no plano do movimento)

Sendo O o centro da circunferência, r e v são perpendiculares e v = ω r. Logo:

ω=

==

×=

2o

oo

o

rmL

vrmLL

vrmL

e o sentido de Lo corresponde ao sentido de ω sendo r constante.

7

Movimento Curvilíneo num plano Cálculo do momento angular

L

r v

O

m x

θ

vr

vθ

A velocidade pode ser decomposta nas suas

componentes radial, vr , e transversal, vθ :

θ+= vvv r

então

( )θ+×=×= vvrmvrmL ro

como r e vr são paralelos obtém-se:

θ×= vrmLo

A intensidade de Lo é então dada por:

ω

θ

=

=θ==

2o

oo

rmL

dtd

rrmvrmLL

mas r pode variar no decorrer do movimento.

Cálculo genérico de Lo :

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

o

vvv

rrr

ûûû

m

ppp

rrr

ûûû

L ==

8

Variação temporal do momento angular Partícula livre

Variação temporal de Lo :

( )

oo

o

MdtLd

Fr0

dtpd

rvvmdtpd

rpdtrd

dtprd

dtLd

=

×+=

×+×=×+×=×=

Momento da força F relativamente ao ponto O (o mesmo em relação ao qual se determina

o momento angular )

A variação temporal do momento angular de uma partícula é igual ao momento da força

aplicada na partícula

Se Mo = 0 então Lo = constante ou seja Existe conservação do momento angular sempre que Mo=0

Numa partícula livre F = 0. Assim Mo = 0 pelo que o momento angular, Lo, mantém-se constante e

( ) bvmsenrvmLL oo === θ

(v é constante pois não existem forças aplicadas na partícula livre)

m v

θ

θ

b

O

r

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Partícula sob acção de forças centrais

Uma força central é uma força cuja direcção passa sempre por um ponto fixo.

Se esse ponto fôr escolhido como origem, O, os vectores F e r são paralelos pelo que Mo = 0.

Assim numa partícula sob a acção de uma força central existe conservação do momento angular (relativo ao centro da força).

O movimento devido a uma força central é sempre plano pois o momento angular é constante:

constanter

constantedtd

mrL

2

2o

=

=θ=

ω

v1

F1

r1

o r2 v2

F2

Exemplos de forças centrais: Rotação da Terra em torno do Sol. A força gravítica de atracção entre a Terra e o Sol passa sempre pelo Sol. O momento angular da Terra relativamente ao Sol é constante . Movimento de um electrão num átomo de hidrogéneo. O electrão desloca-se relativamente ao núcleo (mais pesado) sob a acção de uma força electrostática que passa sempre pelo núcleo atómico. Assim o momento angular do electrão relativamente ao núcleo é constante .

10

Exemplo: Determinar para um projéctil lançado horizontalmente do cimo de um edifício, o momento angular e o momento da força e verificar a relação entre eles.

( )

( )

ozoz2

oo

zoz

zyx

o

y

z2

ozo2

oo

2o

zo

o

zyx

o

yx

yxo

Mûtvgmûtvmg21

dtd

dtLd

que entãoseVerifica

ûtvgmûgxm

0g0

0yx

ûûû

mM

ûgmgmF

ûtvmg21

ûvtg21

tgtvmLlogo

tg21

yetvxmas

ûvytgxm

0gtv

0yx

ûûû

mL

ûyûxr

ûgtûvv

=−=

−=

−

−=−=−

=

−==

−=

+−=

−==

−−=−

=

+=

−=

v0

vx=v0

vy=g t g v

X

Y

x

y r

o