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15-01-2013
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Sumário
Unidade I – MECÂNICA
2- Centro de massa e momento linear de um sistema de partículas
- Sistemas de partículas e corpo rígido.
- Centro de massa.
- Como determinar o centro de massa dum sistema de partículas.
- Vetor posição, vetor velocidade e vetor aceleração do centro de massa.
APSA 13 – Centro de massa
08/01/2013
Mecânica Sistemas de partículas
• No estudo que temos vindo a fazer
tratámos os objetos, como, por
exemplo, blocos de madeira,
automóveis, etc. como partículas.
• Neste capítulo iremos estudar
sistemas de partículas (a) e as razões
pelas quais, em determinadas
condições, se podem estudar os seus
movimentos pelo respetivo centro de
massa (b).
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Mecânica Movimento dos corpos
• Um corpo, em geral, não é propriamente uma partícula, mas sim, um sistema
de partículas que pode ter vários tipos de movimento.
• Vejamos quais os tipos de movimento que os corpos podem ter:
- movimento de translação;
- movimento de rotação;
- movimentos combinados de translação e de rotação (maioria dos movimentos).
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Mecânica Movimento dos corpos
• No movimento de translação dos corpos as suas
partículas têm todas a mesma velocidade.
• No movimento de rotação dos corpos as suas
partículas têm velocidades diferentes, exceto as que
se mantêm sobre o eixo de rotação, cuja velocidade
de rotação é nula.
Neste caso, as partículas têm trajetórias circulares de
raios diferentes (rotação pura).
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Mecânica Movimento dos corpos
• No caso do movimento de translação, este poderá ser de translação retilínea;
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• Ou, de translação curvilínea.
Mecânica Corpo rígido e sistema discreto de partículas
• Corpo rígido ou corpo indeformável
é um sistema de partículas cujas
posições relativas permanecem
constante, independentemente do
movimento ou da interação a que o
corpo está sujeito.
Por exemplo uma molécula poderá ser
considerada um sistema rígido se
desprezarmos as pequenas oscilações
dos seus átomos.
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• Sistema discreto de partículas é um conjunto constituído por um número
finito de partículas cujas distâncias relativas variam no decurso do movimento.
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Mecânica Centro de massa de um sistema de partículas
• Quando um corpo só tem movimento de translação não é necessário
estudar cada partícula, pois todas elas têm a mesma velocidade,
descrevendo a mesma trajetória, sendo portanto, aceitável tratá-lo como
uma partícula. Diz-se que o sistema é redutível a uma partícula.
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Um corpo que tenha apenas movimento de translação pode ser
representado pelo seu Centro de Massa (CM).
Mecânica Significado de centro de massa
• O Centro de Massa (CM) de um sistema de partículas, é um ponto onde se
supõe estar concentrada toda a massa do corpo e onde se considera aplicada
a resultante das forças que atuam nesse sistema.
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Mecânica Centro de massa de um sistema de partículas
• Num sistema de partículas o movimento de
cada partícula é, em geral, complicado. Porém,
há um ponto, associado a cada sistema de
partículas, que possui, quase sempre, um
movimento simples:
É o Centro de Massa (CM) do sistema.
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Mecânica Centro de massa de um sistema de partículas
• Neste caso complicado de movimento, o
Centro de Massa, CM, descreve simplesmente
uma parábola.
• O CM, tem o movimento que teria uma
partícula com a massa da saltadora e onde
atuasse a resultante das forças exteriores
exercidas sobre a saltadora.
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Mecânica Como se determina experimentalmente o CM de corpos rígidos sem simetria?
• Pendura-se o objeto por um ponto qualquer (ponto A, por exemplo) e
marca-se no objeto uma linha vertical que passe por esse ponto.
• Pendura-se depois o objeto por um outro ponto, B, por exemplo, e, de
novo, marca-se a linha vertical que passa agora por B.
• A intersecção das duas linhas indica a posição do centro de massa (claro que
o centro de massa está no interior do objeto e não na sua superfície!).
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Mecânica CM de corpos rígidos com simetria
• Se o corpo for homogéneo e apresentar simetria, o centro
de massa situar-se-á sobre esse elemento de simetria.
• O CM de uma chapa retangular, homogénea, coincide com
o centro geométrico.
• O CM de uma esfera homogénea situa-se no centro
geométrico da esfera.
• O CM de um anel está no centro geométrico e não
pertence ao corpo.
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Mecânica Como calcular o CM de duas partículas?
• Experimentalmente, verifica-se que o CM está à distância l1 e l2 das
partículas de massas m1 e m2, de tal modo, que distâncias e massas
satisfazem a seguinte condição:
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m1 l1= m2 l2
m1 > m2
l1 < l2
Mecânica Como calcular o CM de duas partículas?
• Vamos determinar a posição do CM num referencial em que o eixo dos xx
passa pelas duas partículas:
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Mecânica Como calcular o CM de duas partículas?
• Da relação m1 l1 = m2 l2 e substituindo as relações anteriores vem:
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Mecânica Generalizando para um sistema de n partículas
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Mecânica Como calcular o vetor de posição, r , do CM?
• Se tivermos um sistema formado por
n partículas de massas m1, m2, ..., mn,
localizadas pelos vetores posição,
, a posição do seu
centro de massa é obtida a partir da
seguinte expressão:
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1r
2r
nr
, , ... ,
S
n
i
ii
n
nnCM
m
rm
mmm
rmrmrmr
1
21
2211
...
...
Em que rCM = xCM ex + yCM ey + zCM ez
Mecânica Velocidade do centro de massa
• Consideremos o vetor posição do CM de um sistema.
• Se derivarmos em ordem ao tempo a expressão anterior vem:
que é a expressão da velocidade do centro de massa.
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S
n
i
ii
n
nnCM
m
rm
mmm
rmrmrmr
1
21
2211
...
...
S
n
i
ii
n
nnCM
m
vm
mmm
vmvmvmv
1
21
2211
...
...
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Mecânica Aceleração do centro de massa
• Se derivarmos novamente em ordem ao tempo, vem:
que é a expressão da aceleração do centro de massa.
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S
n
i
ii
n
nnCM
m
am
mmm
amamama
1
21
2211
...
...
Sumário
Unidade I – MECÂNICA
2- Centro de massa e momento linear de um sistema de partículas
Conclusão da APSA 13 – Centro de massa.
- Momento linear de uma partícula e de um sistema de partículas.
- Lei fundamental da dinâmica para um sistema de partículas.
- Impulso de uma força.
- Lei da conservação do momento linear.
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Mecânica Momento Linear duma partícula
• Suponha que um camião e um automóvel à mesma velocidade colidem
com um muro, será que os efeitos materiais devido à colisão são os
mesmos?
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• É necessário definir uma nova grandeza para exprimir o efeito provocado,
essa nova grandeza chama-se momento linear.
p = m v
Unidade SI de momento linear: Kg m s-1
Mecânica Momento Linear duma partícula
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• O momento linear é uma grandeza vetorial que tem a mesma direção e
sentido da velocidade.
• Tendo em conta o momento linear duma partícula, a 2ª Lei de Newton
pode escrever-se do seguinte modo:
vmp
dt
pd
dt
vmd
dt
vdmamF
)(
A resultante das forças aplicadas é igual à taxa de variação
temporal do momento linear.
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Mecânica Impulso de uma força
• Quando ocorrem colisões, atuam forças que não são constantes. São
forças geralmente muito intensas e que duram intervalos de tempo muito
curtos, por ex.: colisões entre carros ou bolas de bilhar.
Podemos definir a grandeza impulso de uma força constante:
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t
pFmédia
ptFI média
dt
Unidade SI de impulso: N.s pI
O impulso da resultante das forças aplicadas a uma partícula durante um
intervalo de tempo, é igual à variação do momento linear ocorrido nesse
mesmo intervalo.
Mecânica Momento Linear do centro de massa
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Como
O segundo membro da equação é o momento linear do sistema, uma vez
que o momento linear, de cada partícula é:
Então:
S
n
i
ii
CMm
vm
v
1
iii vmp
SCMSCMS pppvm
n
n
i
n
i
iiiCMS ppppvmvm
...21
1 1
O momento linear do centro de massa, é igual ao momento linear do sistema,
se considerarmos o CM como uma partícula de massa m.
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Mecânica Lei Fundamental de Newton para um sistema de partículas
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• Se derivarmos em ordem ao tempo a expressão:
n
i
i
n
i
extiCMSCM
SS FFam
dt
vdm
dt
pd
1
int
1
CMSS vmp
em que a resultante das forças interiores é nula porque atuam aos pares,
sendo cada par formado por forças simétricas, logo têm resultante nula, o
que quer dizer que as forças exteriores determinam o movimento do CM.
Mecânica Lei Fundamental de Newton para um sistema de partículas
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Esta Lei é conhecida por: Lei do movimento do CM.
CMS
n
i
exti amF
1
“O CM dum sistema de pontos materiais desloca-se como se nele estivesse
concentrada toda a massa do sistema e nele estivessem aplicadas todas as
forças exteriores ao sistema”.
Que se pode enunciar da seguinte forma:
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Mecânica Lei da conservação do momento linear para um sistema de partículas
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Deduzimos anteriormente a Lei do movimento do CM:
Quando a resultante das forças exteriores é nula, o momento linear do
sistema é constante.
dt
pdamFF CM
CMS
n
i
extiR
1
,..
,0 SistSistCMCMCMCM ppppkp
dt
pd
Lei da conservação do momento linear – Num sistema isolado, há
conservação do momento linear, isto é, se a resultante das forças exteriores
for nula, o momento linear do sistema permanece constante e a velocidade
do CM mantém-se constante.
TPC
• Exercícios da APSA 14 que que ficarem por fazer.
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