Componente Curricular - Matemática
Ensino Fundamental, 9º ano
Função Quadrática
Matemática, 9º anoFunção Quadrática
Uma introdução as funções quadráticasConsidere a situação a seguir: Pedro possui um indústria de calçados, a Sapato Furado e C&A. A empresa tem um custo fixo com impostos, contas de água luz, energia e telefone de R$ 350,00 por mês . Já o custo de fabricação é de R$ 40,00 o par. A quantidade de sapatos vendidos é calculado em função do preço de venda, da seguinte forma: . Supondo que ela venda no máximo 200 pares por mês, a quantidade vendida será o seguinte: , de forma que preço esteja entre R$ 40,00 e R$ 200,00 reais.
A tabela a seguir mostra algumas situações envolvendo, o preço de venda, quantidade vendida, o custo de produção(custo de produção multiplicado pelo número de sapatos fabricados mais o custo fixo), a receita (número de sapatos vendidos multiplicado pelo preço de venda) e o lucro (diferença entre receita e custo).
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Preço de
venda (reais)
Quantidade
de sapat
os vendidos
Custo (em reais)*Preço de fabricação é R$
40,00Receita (em reais) Lucro (em reais)
Preço de
venda (reais)
Quantidade
de sapat
os vendidos
Custo (em reais)*Preço de fabricação é R$
40,00Receita (em reais) Lucro (em reais)
90
Preço de
venda (reais)
Quantidade
de sapat
os vendidos
Custo (em reais)*Preço de fabricação é R$
40,00Receita (em reais) Lucro (em reais)
90
120
Preço de
venda (reais)
Quantidade
de sapat
os vendidos
Custo (em reais)*Preço de fabricação é R$
40,00Receita (em reais) Lucro (em reais)
90
120
70
Preço de
venda (reais)
Quantidade
de sapat
os vendidos
Custo (em reais)*Preço de fabricação é R$
40,00Receita (em reais) Lucro (em reais)
90
120
70
150
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Podemos então deduzir as fórmulas para os cálculos do Custo, da Receita e do Lucro.
Considerando um preço de venda qualquer, entre e reais, temos que:
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O Lucro está representado em função do preço de venda, ou seja, dependendo do preço de venda, o Lucro pode ser alto, baixo, ou até nenhum. Esse tipo de função que contém como índice máximo da variável o 2, ou seja, é o maior índice, chamamos de Função Quadrática, ou Função do 2º grau.
• Definição: Chamamos função quadrática, ou função do 2º grau, toda função do tipo , em que: é o coeficiente real do , com . é o coeficiente real de . é o coeficiente independente.Exemplo de uma função quadrática , em que , e
Função Quadrática
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Dois problemas importantes no estudo das funções é o cálculo da função para um determinado ponto e o cálculo do para um determinado valor da função . Acompanhe o exemplo a seguir sobre essas situações.Exemplo: Dada uma função , determine: a) O valor de para ; b) O(s) valor(es) de quando ;
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Valor de uma função quadrática emum ponto
Solução a) Para resolver esse item basta substituir a letra pelo valor fornecido. Dessa forma,
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b) Para resolver esse item basta substituir o termo pelo valor fornecido. Dessa forma,
Perceba que obtivemos uma equação do 2º grau. A resolução dessa equação está no próximo slide.
Logo, os valores de são e .
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Denominamos como zeros, ou raízes, de uma função quadrática os valores que anulam a função, ou seja, os valores de para .Exemplo: Determinar os zeros da função .
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Zeros de uma função quadrática
Solução:
𝑓 (𝑥 )=0⇒3 𝑥2−9 𝑥−12=0
Como toda função, é possível descrever graficamente o comportamento de uma função do 2º grau. O gráfico de uma função quadrática é uma curva, a qual chamaremos de parábola. Vamos considerar a duas funções a seguir.
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Gráfico de uma função quadrática
Para traçar o gráfico dessas funções construiremos uma tabela para cada função na qual usaremos para determinar os pares ordenados , e em seguida traçaremos os gráficos das funções. Os próximos slides mostram a determinação dos gráficos.
Matemática, 9º anoFunção Quadrática
Matemática, 9º anoFunção Quadrática
Gráfico da função 𝑦
𝑥
Eixo de Simetria
Vértice da Parábola
Parábola
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𝐼𝐼 ¿ 𝑦=−𝑥2+4 𝑥
Gráfico da função
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𝑥
𝑦
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Gráfico da função quadrática e oscoeficiente , e
O gráfico de uma função quadrática está diretamente ligado aos coeficiente , e . Analisaremos a influência de cada um deles no gráfico de uma função quadrática.
Coeficiente Ele é responsável pela concavidade da parábola e pela abertura da parábola.
1º caso: Se , a concavidade é voltada para cima.
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Exemplo:
𝑦=110
𝑥2
𝑦=12𝑥2
𝑦=𝑥2
𝑦=2 𝑥2𝑦=5 𝑥2
Percebe-se que todos os gráficos tem a concavidade da parábola voltada para cima, e que a medida que o valor absoluto de aumenta a parábola se estreita.
Concavidade para cima
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2º caso: Se , a concavidade é voltada para baixo.Exemplo:
Concavidade para baixo
𝑦=−110
𝑥2
𝑦=−12𝑥2
𝑦=−𝑥2𝑦=−2𝑥2
𝑦=−5 𝑥2
Percebe-se que todos os gráficos tem a concavidade da parábola voltada para baixo, e que a medida que o valor absoluto de aumenta a parábola se estreita. Podemos então organizar uma tabela em relação a concavidade da parábola.
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Coeficiente Concavidade
Para cima
Para baixo
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Coeficiente Ele é responsável pela declividade da parábola, ou seja, indica se a parábola cruza o eixo no ramo crescente ou decrescente.
1º caso: Se , a parábola cruza o eixo no ramo crescente.
Exemplo:
Ramo Crescente
Ramo Crescente
𝑥
𝑥
𝑦𝑦
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2º caso: Se , a parábola cruza o eixo no ramo decrescente.
Exemplo:
𝑥
𝑦
Ramo Decrescente
𝑥
𝑦 Ramo Decrescente
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Coeficiente Indica o ponto em que a parábola cruza o eixo . A parábola cruza o eixo no ponto .
𝑥
𝑦
(0,2 )→𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑐=2
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Relação entre o discriminante (delta) de uma equação do 2º grau
e o gráfico de uma função quadrática
Para entendermos essa relação, vamos determinar os zeros das funções quadráticas a seguir.
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Raízes e Duas raízes diferentes.
𝑥
𝑦
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𝑥
𝑦
Raízes e Duas raízes iguais.
𝑥
𝑦
Matemática, 9º anoFunção Quadrática
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Podemos agora criar uma tabela relacionando o discriminante e o coeficiente .
𝑥1
𝑥1=𝑥2
𝑥2
𝑥1𝑥2
𝑥1=𝑥2
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Vértice da parábolaChamamos vértice de uma parábola o ponto em que a declividade da parábola muda de direção.
Vértice da parábola (Ponto de interseção entre a parábola e o eixo de simetria)
Eixo de Simetria
• Cálculo do vértice de uma parábola O cálculo do vértice de uma parábola é feita através da fórmula:
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𝒙𝒗 é 𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆=−𝒃𝟐 .𝒂
𝒚 𝒗 é 𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆=−∆𝟒 .𝒂
Logo, as coordenadas do vértice serão:
𝑽 ( 𝒙𝒗 é 𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 ,𝒚 𝒗 é 𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 )⇒𝑽 ( −𝒃𝟐 .𝒂,−∆𝟒 .𝒂 )
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Exemplo: Determine o vértice da função quadrática a seguir e esboce o gráfico da função.
𝒚 𝒗 é 𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆=−𝟏
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𝑥
𝑦
Vértice
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Valor mínimo e valor máximo da função quadrática
Valor mínimo e valor máximo de uma função quadrática é o vértice da parábola, sendo que:
O vértice será chamado de valor mínimo se a parábola tiver a concavidade voltada para cima;
O vértice será chamado de valor máximo se a parábola tiver a concavidade voltada para baixo;
• Esboço gráfico dos pontos mínimo e máximo
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𝑥 𝑥
𝑦𝑦
Ponto Mínimo
Ponto Máximo𝒂>𝟎
𝒂<𝟎
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Estudo do sinal de uma função quadráticaO estudo do sinal de uma função quadrática é determinação dos valores de para os quais a função é , e .Exemplo: Estudar os sinais das funções:
Estudo do sinalPara: 𝟐<𝒙<𝟓⇒𝒚<𝟎
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𝑥5
Estudo do sinalPara:
𝑥
Estudo do sinal positivo para qualquer valor real de .
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𝑥−2 3 Estudo do sinal
Para:
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𝑥6 Estudo do sinalPara:
𝑥
Estudo do sinal negativo para qualquer valor real de .
Tabela de ImagensSlide Autoria / Licença Link da fonte Data de acesso
Todas as imagens de gráficos foram geradas utilizando o programa GeoGebra versão 5.0.9.0
Matemática contextualizada: 9º ano: ensino fundamental / Ênio Silveira, Claúdio Marques – Recife: Ed. Construir, 2006. Pag. 123 – 148.Fundamentos da Matemática Elementar, 1: Geometria Plana/ Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos – 8.ed – São Paulo: Atual, 2004. Pag. 138 – 164.Vontade de Saber Matemática, 9º ano / Joamir Roberto de Souza, Patrícia Rosana Moreno Pataro. – 2.ed – São Paulo : FTD, 2012. Pág.103 – 1121.Projeto Teláris: Matemática 9º ano/ Luiz Roberto Dante – 1. ed – São Paulo: Ática, 2012 – (Projeto Teláris: Matemática). Pág. 91 – 106.
Referências
Matemática, 9º anoFunção Quadrática