UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA
Projeto Newton - Calculo ILista 02: Encontros 05 e 06
RESOLUCAO.
1. Construa o grafico das seguintes funcoes definidas em IR
(a) f(x) = 2x − 2−x
(b) g(x) = 3|x|
(c) h(x) = log 1
3
(x)
(d) j(x) = ln(|x|)
(e) k(x) = |ln(x)|
2. Considere a funcao f(x) = ln(x+√x2 + 1).
(a) Determine o domınio da funcao f ;
Devemos encontrar o maior subconjunto de numeros reais para o qual a funcao
f(x) = ln(x+√x2 + 1)
esta bem definida, ou seja, x ∈ IR tal que
x+√x2 + 1 > 0.
Note que,x+
√x2 + 1 > 0 ⇔
√x2 + 1 > −x
Observe que se x > 0 entao −x < 0 e√x2 + 1 > 0, portanto
√x2 + 1 > −x
Se x < 0, entao −x > 0, e podemos elevar ao quadrado dos dois lados dadesigualdade:
x2 + 1 > (−x)2 ⇔ x2 + 1 > x2.
Como a ultima desigualdade e verdadeira para todo x ∈ IR, segue que
D(f) = IR.
(b) Demonstre que f e uma funcao ımpar.
Devemos mostrar que
f(−x) = −f(x) para todo x ∈ IR.
Seja x ∈ IR, entao
f(−x) = ln(−x+√x2 + 1) = ln
(
(−x+√x2 + 1)(x+
√x2 + 1)
x+√x2 + 1
)
=
= ln
(
x2 + 1− x2
x+√x2 + 1
)
= ln
(
1
x+√x2 + 1
)
= − ln(x+√x2 + 1) = −f(x)
3. Demonstre as seguintes identidades:
(a) cosh2(x)− senh2(x) = 1;
Sabemos que
senh (x) =ex − e−x
2e cosh(x) =
ex + e−x
2.
Entao,
cosh2(x)− senh 2(x) =
(
ex + e−x
2
)2
−(
ex − e−x
2
)2
=1
4(ex + e−x)2 − 1
4(ex − e−x)2
=1
4(e2x + 2exe−x + e−2x − e2x + 2exe−x − e−2x)
=1
4(2 + 2)
= 1
Portanto,cosh2(x)− senh 2(x) = 1.
(b) sen2(x) =1
2− 1
2cos(2x).
Usaremos as seguintes identidades trigonometricas:
cos(2x) = cos2(x)− sen 2(x) e cos2(x) = 1− sen 2(x).
Assim,
1
2− 1
2cos(2x) =
1
2− 1
2(cos2(x)− sen 2(x))
=1
2− 1
2(1− sen 2(x)− sen 2(x))
=1
2− 1
2(1− 2sen 2(x))
=1
2− 1
2+
1
2· 2sen 2(x)
= sen 2(x).
De onde concluımos que
sen 2(x) =1
2− 1
2cos(2x).
4. Calcule os seguintes limites
(a) limx→−3
x2 − 9
x+ 3
Note que, para x 6= −3, temos
x2 − 9
x+ 3=
(x− 3)(x+ 3)
x+ 3= x− 3
Portanto,
limx→−3
x2 − 9
x+ 3= lim
x→−3
x− 3 = −6
(b) limx→ 1
2
4x2 − 1
2x− 1;
Para x 6= 1
2, temos
4x2 − 1
2x− 1=
(2x− 1)(2x+ 1)
2x− 1= 2x+ 1
Logo,
limx→ 1
2
4x2 − 1
2x− 1= lim
x→ 1
2
(2x+ 1) = 2.
(c) limx→1
√x− 1
x− 1;
Se x 6= 1, entao
√x− 1
x− 1=
√x− 1
x− 1·√x+ 1√x+ 1
=(√x)2 − 12
(x− 1)(√x+ 1)
=x− 1
(x− 1)(√x+ 1)
=1√x+ 1
.
Logo,
limx→1
√x− 1
x− 1= lim
x→1
1√x+ 1
=1
2.
(d) limx→0
x3 + x2
3x2 + x4 + x.
Note que, para x 6= 0, temos
x3 + x2
3x2 + x4 + x=
x(x2 + x)
x(3x+ x3 + 1)=
x2 + x
3x+ x3 + 1.
Logo,
limx→0
x3 + x2
3x2 + x4 + x= lim
x→0
x2 + x
3x+ x3 + 1= 0.
5. Calcule os seguintes limites
(a) limx→p
f(x)− f(p)
x− p, onde f(x) =
1
x;
limx→p
f(x)− f(p)
x− p= lim
x→p
1
x− 1
p
x− p= lim
x→p
p−x
px
x− p= lim
x→p
p− x
(x− p)px= lim
x→p
−1
px=
−1
p2.
(b) limh→0
f(x+ h)− f(x)
h, onde f(x) = x2 − 3x.
limh→0
f(x+ h)− f(x)
h= lim
h→0
(x+ h)2 − 3(x+ h)− x2 + 3x
h=
= limh→0
x2 + 2xh+ h2 − 3x− 3h− x2 + 3x
h= lim
h→0
h2 + 2xh− 3h
h=
= limh→0
h+ 2x− 3 = 2x− 3.
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