UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA

Projeto Newton - Calculo ILista 02: Encontros 05 e 06

RESOLUCAO.

1. Construa o grafico das seguintes funcoes definidas em IR

(a) f(x) = 2x − 2−x

(b) g(x) = 3|x|

(c) h(x) = log 1

3

(x)

(d) j(x) = ln(|x|)

(e) k(x) = |ln(x)|

2. Considere a funcao f(x) = ln(x+√x2 + 1).

(a) Determine o domınio da funcao f ;

Devemos encontrar o maior subconjunto de numeros reais para o qual a funcao

f(x) = ln(x+√x2 + 1)

esta bem definida, ou seja, x ∈ IR tal que

x+√x2 + 1 > 0.

Note que,x+

√x2 + 1 > 0 ⇔

√x2 + 1 > −x

Observe que se x > 0 entao −x < 0 e√x2 + 1 > 0, portanto

√x2 + 1 > −x

Se x < 0, entao −x > 0, e podemos elevar ao quadrado dos dois lados dadesigualdade:

x2 + 1 > (−x)2 ⇔ x2 + 1 > x2.

Como a ultima desigualdade e verdadeira para todo x ∈ IR, segue que

D(f) = IR.

(b) Demonstre que f e uma funcao ımpar.

Devemos mostrar que

f(−x) = −f(x) para todo x ∈ IR.

Seja x ∈ IR, entao

f(−x) = ln(−x+√x2 + 1) = ln

(

(−x+√x2 + 1)(x+

√x2 + 1)

x+√x2 + 1

)

=

= ln

(

x2 + 1− x2

x+√x2 + 1

)

= ln

(

1

x+√x2 + 1

)

= − ln(x+√x2 + 1) = −f(x)

3. Demonstre as seguintes identidades:

(a) cosh2(x)− senh2(x) = 1;

Sabemos que

senh (x) =ex − e−x

2e cosh(x) =

ex + e−x

2.

Entao,

cosh2(x)− senh 2(x) =

(

ex + e−x

2

)2

−(

ex − e−x

2

)2

=1

4(ex + e−x)2 − 1

4(ex − e−x)2

=1

4(e2x + 2exe−x + e−2x − e2x + 2exe−x − e−2x)

=1

4(2 + 2)

= 1

Portanto,cosh2(x)− senh 2(x) = 1.

(b) sen2(x) =1

2− 1

2cos(2x).

Usaremos as seguintes identidades trigonometricas:

cos(2x) = cos2(x)− sen 2(x) e cos2(x) = 1− sen 2(x).

Assim,

1

2− 1

2cos(2x) =

1

2− 1

2(cos2(x)− sen 2(x))

=1

2− 1

2(1− sen 2(x)− sen 2(x))

=1

2− 1

2(1− 2sen 2(x))

=1

2− 1

2+

1

2· 2sen 2(x)

= sen 2(x).

De onde concluımos que

sen 2(x) =1

2− 1

2cos(2x).

4. Calcule os seguintes limites

(a) limx→−3

x2 − 9

x+ 3

Note que, para x 6= −3, temos

x2 − 9

x+ 3=

(x− 3)(x+ 3)

x+ 3= x− 3

Portanto,

limx→−3

x2 − 9

x+ 3= lim

x→−3

x− 3 = −6

(b) limx→ 1

2

4x2 − 1

2x− 1;

Para x 6= 1

2, temos

4x2 − 1

2x− 1=

(2x− 1)(2x+ 1)

2x− 1= 2x+ 1

Logo,

limx→ 1

2

4x2 − 1

2x− 1= lim

x→ 1

2

(2x+ 1) = 2.

(c) limx→1

√x− 1

x− 1;

Se x 6= 1, entao

√x− 1

x− 1=

√x− 1

x− 1·√x+ 1√x+ 1

=(√x)2 − 12

(x− 1)(√x+ 1)

=x− 1

(x− 1)(√x+ 1)

=1√x+ 1

.

Logo,

limx→1

√x− 1

x− 1= lim

x→1

1√x+ 1

=1

2.

(d) limx→0

x3 + x2

3x2 + x4 + x.

Note que, para x 6= 0, temos

x3 + x2

3x2 + x4 + x=

x(x2 + x)

x(3x+ x3 + 1)=

x2 + x

3x+ x3 + 1.

Logo,

limx→0

x3 + x2

3x2 + x4 + x= lim

x→0

x2 + x

3x+ x3 + 1= 0.

5. Calcule os seguintes limites

(a) limx→p

f(x)− f(p)

x− p, onde f(x) =

1

x;

limx→p

f(x)− f(p)

x− p= lim

x→p

1

x− 1

p

x− p= lim

x→p

p−x

px

x− p= lim

x→p

p− x

(x− p)px= lim

x→p

−1

px=

−1

p2.

(b) limh→0

f(x+ h)− f(x)

h, onde f(x) = x2 − 3x.

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

(x+ h)2 − 3(x+ h)− x2 + 3x

h=

= limh→0

x2 + 2xh+ h2 − 3x− 3h− x2 + 3x

h= lim

h→0

h2 + 2xh− 3h

h=

= limh→0

h+ 2x− 3 = 2x− 3.