1
Geometria Plana I
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Geometria Plana I
1.Primeiros conceitos2.Ângulos3.Triângulos4.Quadriláteros5.Polígonos6.Ângulos na circunferência7.Congruência de triângulos8.Teorema de Tales9.Semelhança de polígonos10.Semelhança de triângulos11.Relações métricas no triângulo retângulo
3
Conceitos Primitivos: São conceitos aceitos semuma definição no campo da Geometria. De cada umdestes termos temos um conhecimento intuitivodecorrente da experiência e observação.
Enquadram-se nessa categoria os conceitosde ponto, reta e plano.
1. Primeiros conceitos
4
Letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, …
Letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, …
Letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, π, …
1.1. Ponto, reta e plano
5
Além dos conceitos primitivos, aceitos semdefinição, há propriedades geométricas aceitassem demonstração. Tais propriedades sãochamadas postulados ou axiomas. Por exemplo, umdos postulados da Geometria afirma que:
“Por dois pontos distintos A e B passa uma únicareta”.
Essa reta é denotada pelo símbolo , quese lê “reta AB”.
AB
1.2. Postulados ou axiomas
6
1.3. Posições de duas retasdistintas num plano
2
7
1.4. Subconjuntos da reta
8
1.5. Subconjuntos da reta
A medida de será denotada por AB.Desse modo, se é um segmento de reta de 3cm, escrevemos AB = 3cm.
ABAB
9
1.5. Subconjuntos da reta
Dois segmentos que possuem medidas iguaissão chamados congruentes. Se e sãosegmentos congruentes, escrevemos .
AB CDCDAB ≡
Lê-se é congruente a .AB CD
10
A medida de um ângulo AOB será denotadapor . Assim, se AOB é um ângulo de 60o
(60 graus), escrevemos:
2. Ângulos
BOA⌢ <)
60OAOB =⌢
11
Dois ângulos de medidas iguais sãodenominados congruentes.
2. Ângulos
ABC DEF ABC DEF≡ ⇔ ≡⌢ ⌢
∢ ∢
12
Bissetriz é a semi-reta de origem no vérticede um ângulo e que o divide em dois ânguloscongruentes.
2.1. Bissetriz de um ângulo
,Se OC é bissetriz de AOB
Então AOC BOC
≡
����∢
⌢ ⌢
3
13
2.2. Ângulos notáveis
180oAOB ≡⌢
360oAOB ≡⌢
90oAOB ≡⌢
14
2.3. Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes determinam doispares de ângulos chamados opostos pelo vértice(o.p.v.).
15
2.3. Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são chamados complementaresse a soma de suas medidas é igual a 90o. Cada um échamado complemento do outro.
Dois ângulos são chamados suplementares sea soma de suas medidas é igual a 180o. Cada um échamado suplemento do outro.
16
Exercício 1: Calcule x, em graus, na figura abaixo:
2.3. Ângulos opostos pelo vértice
17
Exercício 2: Na figura, sabe-se que é o dobrode . Calcule as medidas desses ângulos, saben-do que = 81o.
ABC⌢
CBD⌢
ABD⌢
2.3. Ângulos opostos pelo vértice
18
Exercício 3: Na figura seguinte, é bissetrizde e é bissetriz de . Calcule .
Observação: AOC é um ângulo de meia-volta.
OX����
⌢AOB∢ OY
���� ⌢BOC∢
⌢XOY
2.3. Ângulos opostos pelo vértice
4
19
Exercício 4: Dois ângulos são chamadoscomplementares se a soma de suas medidas é iguala 90o. Cada um é chamado complemento de outro.Calcule a medida de dois ângulos complementares,sabendo que:
a) elas são expressas por 3x e 7x;
b) uma delas é o quádruplo da outra;
c) a diferença entre elas é 18o.
2.3. Ângulos opostos pelo vértice
20
Exercício 5: Dois ângulos são chamadossuplementares se a soma de suas medidas é igual a180o. Cada um é chamado suplemento do outro.Calcule a medida de dois ângulos suplementares,sabendo que:
a) eles são congruentes;
b) uma delas é o quíntuplo da outra;
c) a diferença entre elas é 36o.
2.3. Ângulos opostos pelo vértice
21
Exercício 6: Calcule a medida de um ângulo,sabendo que o seu suplemento é o triplo de seucomplemento.
2.3. Ângulos opostos pelo vértice
22
2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal
Nomenclatura Propriedade
Correspondentes: a e e; b e f; c e g; d e h Congruentes
Colaterais internos: c e f; d e e Suplementares
Colaterais externos: a e h; b e g Suplementares
Alternos internos: c e e; d e f Congruentes
Alternos externos: a e g; b e h Congruentes
23
Exercício 7: Calcular x e y na figura.
2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal
24
Resolução: Inicialmente vamos imaginar a reta rdeslocando-se até coincidir com s.
2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal
5
25
Fica claro que os ângulos de medidas 2x e 3x sãosuplementares.
Por outro lado, temos y = 2x (ângulos o.p.v.). Logo,y = 72o.
2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal
3 2 180 36o ox x x+ = ⇒ =
26
Exercício 8: Calcule x e y nas figuras, sabendo quer // s.
2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal
27
Exercício 9: Sabendo que a // b // c, calcule asmedidas dos ângulos indicados na figura.
2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal
28
Exercício 10: Calcule x na figura, sabendo quer // s.
2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal
29
Exercício 11: Qual é o valor de a + b + c?
2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal
30
3. Triângulos
A soma das medidas dos ângulos internos deum triângulo qualquer é igual a 180o.
Se são as medidas dos ângulosinternos de um triângulo ABC, vamos provar que:
,A B e C⌢⌢ ⌢
180oA B C+ + =⌢⌢ ⌢
6
31
3. Triângulos
Para isso, traçamos pelo vértice A a reta rparalela ao lado , determinando os ângulos demedidas e .
BC
180 (1)oA X Y+ + =⌢ ⌢ ⌢
X⌢
Y⌢
Então temos:
32
3. Triângulos
Por outro lado, sabemos que:
=
=
⌢ ⌢
⌢⌢(ângulos alternos internos)
(ângulos alternos internos)
X B
Y C
33
3. Triângulos
Substituindo por e por na igualdade(1) obtemos:
180oA B C+ + =⌢⌢ ⌢
X⌢
Y⌢
B⌢
C⌢
34
3.1. Classificação em função dos ângulos
Seus três ângulos são agudos, isto é,menores do que 90o.
90 , 90 90o o oA B e C< < <⌢⌢ ⌢
35
3.1. Classificação em função dos ângulos
Um de seus ângulos é reto. O lado oposto aoângulo reto é a hipotenusa . Os lados adjacen-tes ao ângulo reto são os catetos e .
ACAB BC
36
3.1. Classificação em função dos ângulos
Um de seus ângulos é obtuso, isto é, maiordo que 90o.
90oB >⌢
7
37
3.2. Classificação em função dos lados
Seus três lados têm medidas diferentes.
, ,AB AC AB BC BC AC≠ ≠ ≠Os três ângulos internos têm medidas
diferentes.
, ,A B A C B C≠ ≠ ≠⌢ ⌢⌢ ⌢ ⌢ ⌢
38
3.2. Classificação em função dos lados
Possui dois lados congruentes (AB = AC).O ângulo formado pelos lados congruentes é
denominado ângulo do vértice .O lado oposto ao ângulo do vértice é
denominado base .Os ângulos da base são congruentes, isto é,
( )A∢
B C=⌢⌢
BC
39
3.2. Classificação em função dos lados
Seus três lados são congruentes (AB = BC =AC).
Os três ângulos internos são congruentes.A B C= =
⌢⌢ ⌢
E, uma vez que a soma dos três ângulos éigual a 180o, conclui-se que cada um deles mede60o.
40
Exercício 12: Calcule as medidas dos ângulos deum triângulo isósceles em que o ângulo do vértice éo triplo de um ângulo da base.
3.2. Classificação em função dos lados
41
Exercício 13: Calcule x, sabendo que ABC é umtriângulo equilátero e que AC = AD.
3.2. Classificação em função dos lados
42
Exercício 14: Se AB = AC = CD, calcule x e y.
3.2. Classificação em função dos lados
8
43
3.3. Teorema do ângulo externo
Num triângulo, o prolongamento de um ladoqualquer determina com um outro lado um ângulodenominado externo.
44
3.3. Teorema do ângulo externo
Em todo triângulo, a medida de um ânguloexterno qualquer é igual à soma das medidas dosdois ângulos internos não adjacentes a ele.
Vamos provar que:
e A B= +⌢ ⌢
45
3.3. Teorema do ângulo externo
180 180 , :o oComo e C e A B C temos+ = + + =⌢ ⌢⌢ ⌢
e A B= +⌢ ⌢
e C+⌢
A B C= + +⌢⌢ ⌢
46
Exercício 15: Calcule x.
3.3. Teorema do ângulo externo
47
Exercício 16: Calcule m – n, sabendo que a // b.
3.3. Teorema do ângulo externo
48
Exercício 17: Na figura, calcule x em função de α.
3.3. Teorema do ângulo externo
9
49
Exercício 18: Se na figura seguinte AB = AF,calcule x em função de a, b e c.
3.3. Teorema do ângulo externo
50
Exercício 19: Na figura a seguir, qual é o valor dea + b + c + d + e?
3.3. Teorema do ângulo externo
51
3.4. Cevianas do triângulo
Ceviana é qualquer segmento de reta quetem uma extremidade num vértice de um triânguloe a outra num ponto qualquer da reta suporte dolado oposto a esse vértice.
Na figura, são cevianas do tri-ângulo ABC.
1 2 1,AA AA e BB
52
3.4. Cevianas do triângulo
As cevianas são relativas ao vérti-ce A, ou relativas ao lado BC. A ceviana é re-lativa ao vértice B ou relativa ao lado AC.
1 2AA e AA
Os pontos A1, A2 e B1 são os pés dascevianas.
1BB
53
3.5. Cevianas notáveis
É qualquer ceviana que divide um ângulointerno em dois ângulos congruentes.
54
3.5. Cevianas notáveis
É qualquer ceviana que tem como pé o pontomédio de um lado.
10
55
3.5. Cevianas notáveis
É qualquer ceviana perpendicular a um lado.
56
3.5. Cevianas notáveis
De um modo geral, bissetriz interna,mediana e altura são cevianas distintas.
AH é altura
AS é bissetriz
AM é mediana
57
é bissetriz, mediana e altura simulta-neamente.
3.5. Cevianas notáveis
Porém, as três coincidem num únicosegmento se forem relativas à base de umtriângulo isósceles.
AM
58
Exercício 20: Na figura, e são a bissetriz ea altura relativas ao vértice A do triângulo ABC.Calcule α.
3.5. Cevianas notáveis
AS AH
59
Exercício 21: Num triângulo escaleno ABC, emque = 36o, as bissetrizes internas relativas aosvértices A e B interceptam-se no ponto I.Calcule .
3.5. Cevianas notáveis
⌢C
AIB⌢
60
Exercício 22: Na figura, e são alturas dotriângulo. Calcule x.
3.5. Cevianas notáveis
BB′ CC′
11
61
3.6. Mediatriz de um segmen-to de reta
Mediatriz de um segmento AB é a retaperpendicular a conduzida pelo seu pontomédio.
AB
62
3.7. Pontos notáveis do triân-gulo
É o ponto de encontro das bissetrizesinternas.
O incentro é o centro da circunferênciainscrita no triângulo.
63
3.7. Pontos notáveis do triân-gulo
É o ponto de encontro das medianas.O baricentro divide cada mediana em dois
segmentos que estão na razão de 2 para 1.
21
AG BG CGGM GN GL
= = =
64
3.7. Pontos notáveis do triân-gulo
É o ponto de encontro das alturas.
65
3.7. Pontos notáveis do triân-gulo
É o ponto de encontro das mediatrizes doslados.
O circuncentro é o centro da circunferênciacircunscrita ao triângulo.
66
3.7. Pontos notáveis do triân-gulo
No triângulo eqüilátero, o incentro, obaricentro, o ortocentro e o circuncentrocoincidem num único ponto O, chamado centro dotriângulo eqüilátero.
12
67
3.7. Pontos notáveis do triân-gulo
Como O é também o baricentro do triângulo,esse ponto divide a altura em segmentosproporcionais a 2 e 1. Assim, se r e R são os raiosdas circunferências inscrita e circunscrita, e h é aaltura, é imediato que:
AH
1 23 3
r h e R h= =
68
Exercício 23: Se I é o incentro de um triânguloABC e = 116o, calcule .BIC
⌢ ⌢A
3.7. Pontos notáveis do triân-gulo
69
Exercício 24: Na figura, G é o baricentro dotriângulo. Calcule x, y e z, sabendo que AM = 12cm, BN = 15 cm e CL = 18 cm.
3.7. Pontos notáveis do triân-gulo
70
Exercício 25: Na figura seguinte, ABC é umtriângulo equilátero de lado igual a 6 cm, M é oponto médio de e CD = BC. Calcule AN.
3.7. Pontos notáveis do triân-gulo
AB
71
Exercício 26: O ponto I da figura é o centro dacircunferência inscrita no triângulo ABC e a reta r,conduzida por I, é paralela a . a) Mostre que otriângulo PIB é isósceles e b) se AB = 7 e AC = 9,qual é o perímetro do triângulo APQ?
3.7. Pontos notáveis do triân-gulo
BC
72
4. Quadriláteros
A soma das medidas dos quatro ângulosinternos de um quadrilátero é igual a 360o.
13
73
4. Quadriláteros
Seja ABCD um quadrilátero qualquer.Traçando a diagonal , decompomos o quadri-látero em dois triângulos. Como em cada triânguloa soma das medidas dos ângulos é igual a 180o,deduz-se que:
AC
360oA B C D+ + + =⌢⌢ ⌢ ⌢
74
Exercício 27: Calcule x e y.
4. Quadriláteros
75
Exercício 28: ABC é um triângulo no qual = 52o
e = 72o. Calcule a medida do ângulo obtuso for-mado pelas mediatrizes dos lados e .
4. Quadriláteros
⌢A⌢
CAB BC
76
4.1. Trapézios
Trapézio é todo quadrilátero que possui umpar, e somente um par, de lados opostos paralelos.
//AB CDAB e CD são as bases do trapézio
AC e BD são os lados transversais
77
4.2. Classificação dos trapé-zios
Trapézio escaleno: os lados transversos têmmedidas diferentes.
AD BC≠
O trapézio escaleno não possui ânguloscongruentes.
78
4.2. Classificação dos trapé-zios
Trapézio isósceles: os lados transversos têmmedidas iguais.
AD BC=Os ângulos de uma mesma base de um
trapézio isósceles são congruentes.A B e C D= =
⌢⌢ ⌢ ⌢
14
79
4.2. Classificação dos trapé-zios
Trapézio retângulo: um dos ladostransversos é perpendicular às bases.
90oA D= =⌢ ⌢
80
Exercício 29: Calcule as medidas dos ângulos dotrapézio da figura.
4.2. Classificação dos trapé-zios
81
Exercício 30: Num trapézio ABCD isósceles, debases e (AB M CD), sabe-se que = 10x + 7o
e = 4x + 5o. Calcule as medidas dos quatro ângu-los desse trapézio.
4.2. Classificação dos trapé-zios
AB CD⌢A⌢
C
82
Exercício 31: ABCD é um trapézio retângulo em Ae em D. Se = 100o, calcule a medida do ânguloobtuso formado pelas bissetrizes de e .
4.2. Classificação dos trapé-zios
C∢
⌢B
D∢
83
4.3. Paralelogramos
Paralelogramo é todo quadrilátero quepossui os lados opostos respectivamente paralelos.
84
4.4. Propriedades válidas para todos os paralelogramos
Os ângulos opostos são congruentes.
Quaisquer dois ângulos adjacentes a ummesmo lado são suplementares.
A C e B D= =⌢⌢ ⌢ ⌢
180oα β+ =
15
85
4.4. Propriedades válidas para todos os paralelogramos
Os lados opostos são congruentes.
As diagonais dividem-se ao meio pelo seuponto de intersecção.
AB CD e BC AD= = AM MC e BM MD= =
86
4.5. Paralelogramos notáveis
É todo paralelogramo que possui seus quatroângulos retos.
As diagonais são congruentes.
87
4.5. Paralelogramos notáveis
É todo paralelogramo que possui quatrolados congruentes.
As diagonais são perpendiculares e sãobissetrizes dos ângulos internos.
88
4.5. Paralelogramos notáveis
É todo paralelogramo que é retângulo elosango simultaneamente, isto é, seus ângulos sãoretos e seus lados são congruentes.
As diagonais são congruentes, são perpen-diculares e são bissetrizes dos ângulos internos.
89
Exercício 32: Uma diagonal de um retângulo formacom um dos lados um ângulo de 35o. Calcule amedida do ângulo agudo formado pelas duasdiagonais.
4.5. Paralelogramos notáveis
90
Exercício 33: Uma diagonal de um losango formacom um dos lados um ângulo de 25o. Calcule asmedidas dos ângulos desse losango.
4.5. Paralelogramos notáveis
16
91
Exercício 34: Na figura seguinte, ABDE e ACMNsão quadrados e ABC é um triângulo equilátero.Calcule e .
4.5. Paralelogramos notáveis
⌢CBN �BNE
92
5. Polígonos
Um polígono é convexo se, quaisquer quesejam os pontos X e Y do seu interior, o segmentode reta XY está inteiramente contido em seuinterior.
Polígono convexo
Polígono côncavo
93
5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono
Sejam i1, i2, i3, …, in as medidas dos ângulosinternos de um polígono de n lados.
94
5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono
Tomando um ponto I qualquer no interior dopolígono e unindo esse ponto a cada vértice, opolígono fica decomposto em n triângulos (cadalado do polígono dá origem a um triângulo).
95
5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono
Então, a soma das medidas dos ângulos dos ntriângulos é igual a: 180on ⋅
Subtraindo os ângulos do vértice I dessasoma, o que resta é a soma dos ângulos do polígono.Assim,
96
5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono
180 360
180 ( 2)
o oi
oi
S n
S n
= ⋅ −
= −
17
97
Exercício 35: A soma das medidas dos ângulosinternos de um polígono é igual a 2340o. Quantoslados tem esse polígono?
5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono
98
Exercício 36: Na figura, calcule x e y.
5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono
99
5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono
Em todo polígono convexo, a soma dasmedidas dos ângulos externos é constante e iguala 360o.
360oeS =
100
5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono
Sejam e1, e2, e3 … en as medidas dos ângulosexternos de um polígono de n lados.
101
5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono
1 1
2 2
3 3
180
180
180
180
180
o
o
o
on n
oe i
e i
e i
e i
e i
S S n
+ =
+ = + = + =
+ = ⋅
⋮ ⋮
180 ( 2) 180
180
o oe
oe
S n n
S n
↓
+ − = ⋅
+ ⋅
���
360 180o on− = ⋅
360oeS =
102
Exercício 37: Calcule x.
5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono
18
103
Exercício 38: Qual é o polígono em que a soma dosângulos internos é o dobro da soma dos ângulosexternos?
5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono
104
5.3. Polígonos regulares
Um polígono é regular se, e somente se:
1o) todos os seus lados são congruentes;
2o) todos os seus ângulos internos são congruentes.
Hexágono regular
105
5.3. Polígonos regulares
Da definição decorre que os ângulosexternos de um polígono regular também sãocongruentes.
106
5.3. Polígonos regulares
Desse modo, como a soma das medidas dosângulos externos de um polígono é igual a 360o, amedida de um ângulo externo de um polígonoregular de n lados é igual a .
360o
en
=
360o
n
107
Exercício 39: Num polígono regular, um ângulointerno é o quádruplo de um ângulo externo. Qual éesse polígono?
5.3. Polígonos regulares
108
Exercício 40: Na figura ABCDE é um pentágonoregular. Calcule as medidas dos ângulos dotriângulo ACD.
5.3. Polígonos regulares
19
109
6. Ângulos na circunferência
Corda: Segmento de reta que une dois pontos quaisquerde uma circunferência.Diâmetro: Qualquer corda que passa pelo centro de umacircunferência.Arco: Qualquer uma das partes em que umacircunferência fica dividida por dois quaisquer de seuspontos. Esses dois pontos são as extremidades dosarcos.
AB é uma corda
CD é um diâmetro
110
6. Ângulos na circunferência
.A própria circunferência é chamada arco devolta inteira e sua medida é 360o.
Um arco de extremidades A e B é chamadoarco AB. A medida de um arco AB será denotadapelo símbolo .�AB
111
6. Ângulos na circunferência
Quando necessário, para diferenciar os doisarcos determinados pelos pontos A e B de umacircunferência, marcamos um ponto C qualquerpertencente a um deles (de um modo geral aomaior deles) e o denominamos arco ACB.
�AB medida do arco AB=
112
6.1. Ângulo central
Um ângulo é central em relação a umacircunferência se o seu vértice coincide com ocentro da mesma.
O arco interceptado por um ângulo central édenominado arco correspondente ao ângulo.
113
6.1. Ângulo central
A medida de um ângulo central é igual àmedida do arco correspondente a ele.
�AOB AB=⌢
�EOF EF=⌢
114
Exercício 41: Calcule x, nas figuras abaixo.
6.1. Ângulo central
20
115
Exercício 42: Calcule as medidas dos ângulosinternos do pentágono ABCDE.
6.1. Ângulo central
116
6.2. Ângulo inscrito
Um ângulo é inscrito numa circunferência seo seu vértice é um ponto da circunferência e cadaum de seus lados contém uma corda dessacircunferência.
117
6.2. Ângulo inscrito
Na figura, em vez de dizer que o ângulo estáinscrito na circunferência, pode-se dizer que eleestá inscrito no arco ACB.
O arco interceptado por um ângulo inscritotambém é chamado arco correspondente ao ângulo.
118
6.2. Ângulo inscrito
A medida de um ângulo inscrito é igual àmetade da medida do arco correspondente a ele.
A demonstração completa abrange os casosem que o centro pertence a um lado, está nointerior ou está no exterior do ângulo.
119
6.2. Ângulo inscrito
Traçando o raio OA, obtemos o triânguloisósceles OAC. Então, se teremos .Como é ângulo externo desse triângulo,temos . E, como é um ângulocentral, temos:
C α=⌢
OAC α=⌢
2AOB α=⌢AOB∢
AOB∢
1o Caso:
120
6.2. Ângulo inscrito
1o Caso:
�2 2AOB ABα α= ⇒ =⌢
�
2ABα =
21
121
6.2. Ângulo inscrito
Traçando o diâmetro CD, fica divi-dido em dois ângulos inscritos de medidas α1 e α2.Como esses dois ângulos têm um dos ladospassando pelo centro, pelo 1o caso temos:
ACB∢
2o Caso:
122
6.2. Ângulo inscrito
2o Caso:
� �
� �
1 2
1 2
2 2
2
AD DBe
AD DB
α α
α α
⇒ ⇒
++ ⇒
�
2ABα∴ =
123
6.2. Ângulo inscrito
Traçando o diâmetro CD, os ângulosinscritos ACD e BCD, de medidas α1 e α2, têmambos um dos lados passando pelo centro. Então,novamente pelo 1o caso, teremos:
3o Caso:
124
6.2. Ângulo inscrito
3o Caso:
� �
� �
1 2
1 2
2 2
2
AD DBe
AD DB
α α
α α
⇒ ⇒
−− ⇒
�
2ABα∴ =
125
6.2. Ângulo inscrito
Dois ou mais ângulos inscritos num mesmoarco são congruentes.
�
2ABβ γα = = =
126
6.2. Ângulo inscrito
Todo ângulo inscrito numa semicircunfe-rência é reto.
� 180 90o oAB ACB= ⇒ =⌢
22
127
6.2. Ângulo inscrito
É possível demonstrar também que: todoângulo reto e, portanto, todo triângulo retângulo éinscritível numa semicircunferência.
128
6.2. Ângulo inscrito
Note que a hipotenusa é o diâmetro dasemicircunferência.
129
Exercício 43: No triângulo ABC da figura, o ladoBC e o raio da circunferência são congruentes.Calcular .
6.2. Ângulo inscrito
⌢BAC
130
Resolução:
Unindo-se o centro O aos vértices B e C obtém-seo triângulo equilátero OBC. Como é um ân-gulo central, temos:
Então, como é um ângulo inscrito,
6.2. Ângulo inscrito
OBC∢
⌢�60 60o oBOC BC= ⇒ =
BAC∢
⌢ � ⌢30
2oBC
BAC BAC= ⇒ =
131
Exercício 44: ABC é um triângulo retângulo em A.Calcular o ângulo formado pela altura e a medianarelativas à hipotenusa, sabendo que = 20o.
6.2. Ângulo inscrito
⌢C
132
Resolução: Inicialmente, note que o triângulo ABCé inscritível numa semicircunferência de centro Me diâmetro . Então, o triângulo AMC é isósceles,pois (por serem raios da semicircunfe-rência). Logo, conclui-se que:
6.2. Ângulo inscrito
⌢ ⌢20 20o oC M AC= ⇒ =
BCMA MC=
23
133
Por outro lado, é um ângulo externo do tri-ângulo AMC. Logo,
6.2. Ângulo inscrito
AMH∢
� 20 20 40o o oAMH = + =
134
Por fim, no triângulo AMH temos:
6.2. Ângulo inscrito
090 40 180
50
o o
o
x
x
+ + ==
135
Exercício 45: Na figura seguinte, BC é umdiâmetro da circunferência. Calcule , sabendoque = 70o.
6.2. Ângulo inscrito
⌢APB⌢
ABC
136
Exercício 46: Na figura seguinte, ABCD é umquadrilátero qualquer inscrito numa circunferência.Prove que α + γ = 180o.
6.2. Ângulo inscrito
137
Exercício 47: Num triângulo ABC, retângulo em A,sabe-se que = 26o. Calcule a medida do ânguloformado pela bissetriz e a mediana relativas aovértice A.
6.2. Ângulo inscrito
⌢C
138
Exercício 48: Um dos catetos de um triânguloretângulo é a metade da hipotenusa. Qual é amedida do ângulo oposto a esse cateto?
6.2. Ângulo inscrito
24
139
7. Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se os seuslados e ângulos forem ordenadamente congruentes.
AB DE A D
ABC DEF BC EF e B E
C FAC DF
≡ ≡ ∆ ≡ ∆ ⇔ ≡ ≡ ≡≡
∢ ∢
∢ ∢
∢ ∢
140
7.1. Critérios de congruência de triângulos
Embora a definição de triânguloscongruentes exija seis congruências, três entrelados e mais três entre ângulos, há situações emque a congruência de dois triângulos fica garantidacom apenas três determinadas congruências. Taissituações constituem os critérios de congruênciade triângulos.
141
7.1. Critérios de congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se os lados de um sãorespectivamente congruentes aos lados do outro.
A DAB DE
BC EF ABC DEF B E
AC DF C F
== = ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ =
= =
⌢ ⌢
⌢ ⌢
⌢ ⌢
Critério L.L.L.
142
7.1. Critérios de congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se dois lados de umsão congruentes a dois lados do outro e os ânguloscompreendidos entre esses lados são também congruentes.
AB DE A D
B E ABC DEF AC DF
BC EF C F
= =
= ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ = = =
⌢ ⌢
⌢ ⌢
⌢ ⌢
Critério L.A.L.
143
7.1. Critérios de congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se dois ângulos de umsão congruentes a dois ângulos do outro e os ladosadjacentes a esses ângulos são também congruentes.
AB DEB E
BC EF ABC DEF A D
AC DFC F
= =
= ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ = ==
⌢ ⌢
⌢ ⌢
⌢ ⌢
Critério A.L.A.
144
7.1. Critérios de congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se um lado e umângulo adjacente são congruentes a um lado e um ânguloadjacente do outro e os ângulos opostos a esses lados sãotambém congruentes.
BC EF AB DE
C F ABC DEF B E
AC DFA D
= =
= ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ = ==
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
⌢ ⌢
Critério L.A.Ao
25
145
7.1. Critérios de congruência de triângulos
Dois triângulos retângulos são congruentes se ahipotenusa e um cateto de um deles são respectivamentecongruentes à hipotenusa e a um cateto do outro.
Critério L.L.Ar
90o
B EBC EF
AC DF ABC DEF F C
AB DEA D
= = = ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =
== =
⌢ ⌢
⌢⌢
⌢ ⌢
146
7.1. Critérios de congruência de triângulos
Quando escrevemos, por exemplo, ∆PXQ ≡ ∆LTU, aordem das letras (P, X, Q e L, T, U) indica que, sepudéssemos deslocar um desses triângulos até fazê-locoincidir perfeitamente com o outro, os vértices queficariam sobrepostos seriam P e L, X e T, Q e U.
147
7.1. Critérios de congruência de triângulos
Com isso, a linguagem escrita já informa quais lados equais ângulos são congruentes, isto é, escrevendo
∆PXQ ≡ ∆LTU
já sabemos que e, ,P L X T Q U= = =⌢⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
, ,PX LT PQ LU XQ TU= = =
148
Exercício 49: A figura seguinte apresenta um parde triângulos em que elementos congruentes sãoidentificados por marcas iguais.
7.1. Critérios de congruência de triângulos
149
A partir das informações contidas na figura épossível concluir que os triângulos são congruentese deduzir congruências que não constam nos dados.Tudo isso pode ser feito de forma resumida nesteesquema:
7.1. Critérios de congruência de triângulos
�⌢
⌢ ⌢�⌢==
= → ∆ ≡ ∆ → ===
. . .( ) ( )
( )( )
A L ACritério Conclusão
ConsequênciasDados
MN KOM K
MT KR MTN KRO N O
NT ORT R
150
Estabeleça esquemas semelhantes para cada umdos seguintes pares de triângulos.
7.1. Critérios de congruência de triângulos
26
151
8. Teorema de Tales
Se um feixe de paralelas determinasegmentos congruentes sobre uma transversal,então esse feixe determina segmentoscongruentes sobre qualquer outra transversal.
152
8. Teorema de Tales
Por D e E traçamos e paralelos àreta AC. Então os quadriláteros ABD’D e BCE’E sãoparalelogramos e, consequentemente, DD’ = AB eEE’ = BC.
'DD 'EE
153
8. Teorema de Tales
E já que AB = BC (por hipótese), conclui-seque DD’ = EE’. Além disso, temos: (ânguloscorrespondentes em ) e (ânguloscorrespondentes em ).
1 1D E=⌢ ⌢
' '//DD EE 2 2E F=⌢ ⌢
//s t
154
8. Teorema de Tales
Assim, pelo critério L.A.Ao, conclui-se que
' 'DED EFE∆ ≡ ∆
Logo, DE = EF.
155
8. Teorema de Tales
Um feixe de paralelas separa, sobre duastransversais quaisquer, segmentos de uma proporcionaisaos segmentos correspondentes na outra.
// // ,AB DE
Se r s t entãoBC EF
=
156
8. Teorema de Tales
Seja u um segmento que divide em m partesiguais e em n partes iguais. Logo,
(1)AB m u AB mBC n u BC n
⋅= ⇒ =⋅
BCAB
27
157
8. Teorema de Tales
Tracemos, agora, as retas que passam por essespontos de divisão e são paralelas a r, s e t. Pelo teoremaanterior, as retas traçadas dividem em m partesiguais a u’ e em n partes iguais a u’. Então,
'
' (2)DE m u DE mEF n u EF n
⋅= ⇒ =⋅
EFDE
158
8. Teorema de Tales
Então, de (1) e (2),
AB DEBC EF
=
159
Exercício 50: Nas figuras, sabe-se que r // s // t.Calcule x.
8. Teorema de Tales
160
Exercício 51: Na figura, a reta r é paralela a .Calcule AD, sabendo que AB = 18, AC = 27 eEC = 12.
8. Teorema de Tales
BC
161
Exercício 52: Calcule x e y, sabendo que r // s // t.
8. Teorema de Tales
162
Exercício 53: Se r // s // t, calcule a, b e c.
8. Teorema de Tales
28
163
9. Semelhança de polígonos
Dois polígonos ABCDE … e A’B’C’D’E’ … com omesmo número de vértices, são semelhantes se, esomente se,
1o) seus ângulos correspondentes (ou homólogos) sãocongruentes, isto é:
' ' ', , ,A A B B C C= = =⌢ ⌢⌢ ⌢ ⌢ ⌢
…
164
9. Semelhança de polígonos
Dois polígonos ABCDE … e A’B’C’D’E’ … com omesmo número de vértices, são semelhantes se, esomente se,
2o) seus lados homólogos são proporcionais, isto é:
' ' ' ' ' '
AB BC CDK
A B BC C D= = = =…
165
9. Semelhança de polígonos
A constante k, de proporcionalidade entre oslados, é chamada razão de semelhança dos polígonos.
166
Exercício 54: Na figura, sabe-se que ABCD ∼ LMNP.Calcular: a) a razão de semelhança entre ABCD eLMNP e, b) x, y e u.
9. Semelhança de polígonos
167
Resolução:
a) Para calcular a razão de semelhança, basta obtera razão de semelhança entre dois lados homó-logos quaisquer de medidas conhecidas. No caso,entre os lados AB e LM.
9. Semelhança de polígonos
28 720 5
ABk k k
LM= ⇒ = ⇒ =
168
Resolução:
b) Já que a razão entre quaisquer dois ladoshomólogos é igual à razão de semelhança, temos:
9. Semelhança de polígonos
749
35 57
5640 535 7
255
xx
yy
uu
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
29
169
Exercício 55: Sabendo que os pentágonos ABCDE eKLMNO são semelhantes, calcule: a) a razão desemelhança e b) u, v, x e y.
9. Semelhança de polígonos
170
Exercício 56: Na figura, os retângulos ABCD eBCFE são semelhantes. Se AEFD é um quadrado,calcule o valor de m/n.
9. Semelhança de polígonos
171
10. Semelhança de triângulos
Conforme visto anteriormente, para que doispolígonos sejam semelhantes são necessárias duascondições: 1o) os ângulos correspondentes têm de sercongruentes; 2o) os lados homólogos têm de serproporcionais.
172
10. Semelhança de triângulos
Apenas uma dessas duas condições não garanteque dois polígonos sejam semelhantes. Por exemplo, osquadriláteros da figura acima possuem seus ângulosrespectivamente congruentes, mas não são semelhantes,pois seus lados não são proporcionais.
173
10. Semelhança de triângulos
Porém, exclusivamente no caso dos triângulos, asemelhança fica garantida com um menor número deinformações sobre eles. Tais informações constituem oscritérios de semelhança de triângulos.
174
10.1. Critérios de semelhança de triângulos
Critério A.A. (Ângulo, Ângulo)
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulosde um são congruentes a dois ângulos do outro.
'' ' '
'. .
B BA A ABC A BC
C C
= ∆ ∆=
⌢ ⌢
∼⌢ ⌢ �����
‘
‘ ‘
‘
‘
‘
30
175
10.1. Critérios de semelhança de triângulos
Critério L.L.L. (Lado, Lado, Lado)
Dois triângulos são semelhantes se os lados deum são proporcionais aos lados do outro.
' ' '' ' '
. . .a b c
L L L ABC A BCa b c
= = ∆ ∆∼������
‘
‘ ‘
‘
‘
‘
176
10.1. Critérios de semelhança de triângulos
Critério L.A.L. (Lado, Ângulo, Lado)
Dois triângulos são semelhantes se possuem umpar de ângulos congruentes compreendidos entre ladosproporcionais. '
' ' '
' '
. . .A A
L A L ABC A BCb cb c
= ∆ ∆
=
⌢ ⌢
∼�������
‘
‘ ‘
‘
‘
‘
177
10.1. Critérios de semelhança de triângulos
No reconhecimento dos lados homólogos emtriângulos semelhantes, deve-se identificar os pares deângulos congruentes por meio de marcas iguais, ou comletras do alfebeto grego. Esse procedimento visafacilitar o reconhecimento dos lados homólogos.
178
10.1. Critérios de semelhança de triângulos
BC AC ABLM LN MN
= =
179
Exercício 57: Calcule x e y nas figuras abaixo.
10.1. Critérios de semelhança de triângulos
/ /r BC / /r AB
180
Exercício 58: Na figura seguinte, observe os dadoscom atenção e calcule x e y.
10.1. Critérios de semelhança de triângulos
31
181
Exercício 59: Qual é a medida do lado do quadradoABCD da figura?
10.1. Critérios de semelhança de triângulos
182
Exercício 60: Calcule x nas figuras abaixo:
10.1. Critérios de semelhança de triângulos
183
Exercício 61: Na figura, sabe-se que AD = BD e queAB = AC = CD = 2. Calcule os valores de αααα e x.
10.1. Critérios de semelhança de triângulos
184
10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes
Até agora trabalhamos com a proporcionalidadedos lados de polígonos semelhantes. Porém, essaproporcionalidade não ocorre apenas entre os lados esim entre quaisquer dois elementos lineares homólogosde figuras semelhantes.
‘
185
10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes
Por exemplo, para dois triângulos semelhantes, sea razão de semelhança é igual a k, então: (a) a razãoentre lados homólogos é k; (b) a razão entre alturashomólogas é k; (c) a razão entre medianas homólogas ék; (d) a razão entre os perímetros é k; etc …
' ' ' ' ' '
a h m a b ck
a h m a b c+ += = = = =+ +
…
‘
186
Exercício 62: Na figura, LMNP é um quadradoinscrito no triângulo ABC. Calcular x em função dea e h.
10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes
32
187
Resolução: Como
Então, como a razão entre alturas homólogas é igualà razão entre lados homólogos, temos:
10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes
/ /LM BC ALM ABC⇒ ∆ ∆∼
188
10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes
( )
x h xhx ah ax ax hx ah
a hah
a h x ah xa h
−= ⇒ = − ⇒ + =
+ = ⇒ =+
189
Exercício 63: Os quadriláteros ABCD e A’B’C’D’ dafigura são semelhantes. Se o perímetro do segundoé igual a 32, calcule as medidas de seus lados e desua diagonal B’D’.
10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes
190
Exercício 64: A figura seguinte mostra umretângulo inscrito no triângulo ABC. Calcule asmedidas dos lados do retângulo, sabendo que suabase é o dobro de sua altura.
10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes
191
10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales
Pelo teorema de Tales, verifica-se de imediatoque: “A reta que passa pelo ponto médio de um lado deum triângulo e é paralela a um outro lado intercepta oterceiro lado em seu ponto médio.”
192
10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales
Se e M é ponto médio de , então N é oponto médio de .
Note então que a reta que passa pelos pontosmédios de dois lados de um triângulo é paralela aoterceiro lado.
//r BC ABAC
33
193
10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales
Observando ainda que ∆AMN R∆ABC, pois ,podemos escrever:
//r BC
MN AMBC AB
=
E como AM é a metade de AB, conclui-se que MNé a metade de BC.
194
10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales
Resumindo, o segmento que une os pontos médiosde dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro ladoe sua medida é a metade da medida do terceiro lado.
195
10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales
Se M e N são pontos médios de e .AB AC
1) //
2)2
MN BCentão BC
MN
=
196
Exercício 65: Na figura dada, ABC é um triânguloequilátero de lado l = 6 e M é o ponto médio de .Calcular NC, sabendo que CD = 8.
10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales
AB
197
Resolução: Unindo M ao ponto P, médio de , te-mos:
isto é, MP = 3.
Mas, se
10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales
BC
/ / e 2
ACMP AC MP =
/ / , então MP AC NCD MPD∆ ∆∼
198
10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales
83 11
2411
NC CD xMP PD
x
= ⇒ =
=
34
199
Exercício 66: Os lados de um triângulo retângulomedem 10, 12 e 16. Os pontos médios dos ladosdesse triângulo são vértices de um novo triângulo.Calcule as medidas dos lados do segundo triângulo.
10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales
200
Exercício 67: Na figura, L, M e N dividem emquatro partes iguais e as retas r, s e t são paralelasa . Calcule o valor de a + b + c.
10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales
AB
BC
201
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
Se ABC é um triângulo retângulo em A, traçando-se a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos osseguintes elementos: a → hipotenusa; b e c → catetos;h → altura relativa à hipotenusa; m → projeção de csobre a hipotenusa; n → projeção de b sobre ahipotenusa.
202
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
203
Note que a altura AH divide o triângulo ABC nostriângulos HBA e HAC.
Então, ∆ABC R ∆HBA, pois e éângulo comum.
Além disso ∆ABC R ∆HAC, pois eé ângulo comum. Logo,
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
ABC HBA HAC∆ ∆ ∆∼ ∼
90oA H= =⌢ ⌢
B∢90oA H= =⌢ ⌢
C∢
204
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
ABC HBA∆ ∆∼
2
(1)
(2)
a bb c a h
c ha c
c a mc m
= ⇒ ⋅ = ⋅
= ⇒ = ⋅
35
205
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
ABC HAC∆ ∆∼
2 (3)a b
b a nb n
= ⇒ = ⋅
HBA HAC∆ ∆∼
2 (4)h m
h m nn h
= ⇒ = ⋅
206
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
Teorema de Pitágoras
2
2
2 2
2 2 2
(2) (3)
( )
(5)
a
b a n
c a m
b c a m n
b c a
= ⋅+ += ⋅
+ = ⋅ +
+ =
�����
207
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
Resumindo:
2 2 2
2
2
2
a b c
b a n
c a m
h m n
b c a h
= +
= ⋅= ⋅= ⋅
⋅ = ⋅
208
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
Se x, p e q são números ou segmentos quesatisfazem a equação
dizemos que x é a média geométrica entre p e q. Dessemodo, há três médias geométricas entre as relaçõesmétricas no triângulo retângulo.
2x p q= ⋅
209
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
Cada cateto é média geométrica entre ahipotenusa e a sua projeção sobre ela.
A altura é média geométrica entre as projeçõesdos catetos sobre a hipotenusa.
2 2b a n e c a m= ⋅ = ⋅
2h m n= ⋅
210
Exercício 68: Os catetos de um triângulo retângulomedem e . Calcular: a) a hipotenusa, b) as pro-jeções dos catetos e c) a altura relativa àhipotenusa.
5 2 5
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
36
211
Resolução:
a) Calculamos a hipotenusa pelo teorema dePitágoras.
( ) ( )2 22 2 2 2
2 2
5 2 5
5 4 5 25
5
a b c a
a a
a
= + ⇒ = +
= + ⋅ ⇒ =
=
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
212
b) Podemos determinar m pela fórmula c2 = a ⋅ m,pois já calculamos a hipotenusa.
( )22 5 5
5 5
1
c a m m
m
m
= ⋅ ⇒ = ⋅
= ⋅
=
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
213
Por outro lado, como m + n = a, temos:
1 5 4m n a n n+ = ⇒ + = ⇒ =
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
214
c) Finalmente, podemos calcular h por meio dequalquer uma das relações h2 = m ⋅ n ou b ⋅ c = a ⋅ h.
2 2 1 4 2h m n h h= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
215
Exercício 69: Os catetos de um triângulo retângulomedem e . Calcule: a) a hipotenusa; b) asprojeções dos catetos; e c) a altura relativa àhipotenusa.
2 13 3 13
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
216
Exercício 70: Na figura, AB é o diâmetro dasemicircunferência. Calcule AP e PB.
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
37
217
Exercício 71: O perímetro de um losango é igual a40 e sua diagonal mede 16. Calcule o raio dacircunferência inscrita nesse losango.
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
218
Exercício 72: O triângulo ABC da figura é retânguloem A. AH e AM são a altura e a mediana relativas àhipotenusa. Calcule b e c.
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
219
Exercício 73: No plano cartesiano são dados ospontos A(2; 1) e B(6;4). Calcule a distância de A e B.
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
220
Exercício 74: Na figura, as circunferências decentros O e O’ têm raios R e r, são tangentes entresi e tangenciam a reta t nos pontos A e B. CalculeAB em função de R e r.
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
221
Exercício 75: Na figura seguinte, ABCD é umtrapézio retângulo de bases AB e CD. Asemicircunferência de diâmetro AD tangencia olado BC em T. Calcule o raio da semicircunferência.
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
222
Exercício 76: Vista de trás, a carroceria de umcerto caminhão tem forma retangular. Sua altura,medida desde o solo, é de 3,6 m. O caminhão sedirige a um clube, cuja entrada é um arcosemicircular de 3,9 m de raio. Para que ele possapassar pelo arco, é necessário que sua largura sejamenor que um certo valor l. Calcule l.
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
38
223
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
224
Exercício 77: Na figura seguinte, O é o centro dacircunferência, AB = 30 e MP = 9. Calcule o raio dacircunferência.
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
225
Exercício 78: Qual é o comprimento da diagonal deum quadrado de lado l?
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
226
Exercício 79: Calcule os raios das circunferênciasinscrita e circunscrita num quadrado de lado l = 4.
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
227
Exercício 80: Calcule a área de um triânguloequilátero de lado l.
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo
228
Exercício 81: Calcule os raios das circunferênciasinscrita e circunscrita num triângulo equilátero delado l = 6.
11. Relações métricas no triân-gulo retângulo