Grandezas Vetoriais &
Operações com Vetores
Escalares e Vetores
As Grandezas Físicas podem ser
ESCALARES ou VETORIAIS.• GRANDEZA ESCALAR
N° + PADRÃO DE MEDIDA
• GRANDEZA VETORIAL N° + PADRÃO + ORIENTAÇÃO
Ex.: comprimento; massa; tempo; temperatura; volume; pressão; energia; etc.
Ex.: deslocamento; velocidade; aceleração; força; torque; impulso; campos; etc.
VETOR é um ente matemático
constituído de um módulo, direção e
sentido, utilizado em Física para
representar as grandezas vetoriais.
B
A(origem)
(extremidade: sentido)
“para onde”
V(vetor V)
RETA SUPORTE(DIREÇÃO)
OBS: módulo de | | ou V = medida do segmento de reta
Comparação entre vetoresI – Vetores Equipolentes (ou Iguais)
• São vetores que apresentam as mesmas
características: mesmos módulos; mesmas
direções e mesmos sentidos.
= = ��
��
��São vetores iguais ou
equipolentes.
II – Vetores Simétricos (ou Opostos)
• São vetores que apresentam mesmos
módulos; mesmas direções; porém,
apresentam sentidos contrários.
𝒙𝒚
𝒘 𝒛
= - São vetores simétricos ou opostos.
= - São vetores simétricos ou opostos.
Componentes ortogonais de um vetorSão dados um vetor e um sistema
cartesiano com dois eixos
ortogonais x e y. Pode-se projetar a
origem e a extremidade do vetor em
cada eixo x e y, obtendo-se; assim,
suas componentes ortogonais
(perpendiculares) e .
0x
y
��
��𝐱
��𝐲
: componente horizontal (ou
tangencial) de
: componente vertical (ou
normal) de
Método Geométrico da Decomposição Vetorial
OBS: Todo vetor apresenta duas componentes ortogonais.
Método Analítico da Decomposição Vetorial
V
Vx
Vy
: ângulo de elevação do vetor V medido a partir da horizontal (referencial).= Vcos = Vsen
Adição vetorial (Vetor-soma ou vetor-resultante “r”)
A adição vetorial é a operação
que permite calcular um único
vetor cujo efeito é equivalente ao
efeito produzido pelos vetores-
parcelas.Para representar o vetor-soma, pode-se
utilizar dois processos geométricos, que
podem ser aplicados indistintamente,
obtendo-se o mesmo resultado.
MÉTODO DO POLÍGONO
MÉTODO DO PARALELOGRAMO
Na extremidade do 1º
vetor junta-se a origem do
2º vetor e assim por
diante. O vetor-soma liga
a origem do 1º vetor com
a extremidade do último
vetor.
Liga-se os vetores dados pela origem. Da extremidade de cada vetor, constrói-se um paralelogramo. A diagonal do paralelogramo, traçada a partir da origem dos vetores-parcelas, é o vetor-soma.
��𝟏 ��𝟐
��𝟏
��𝟐
��=��𝟏+��𝟐
��𝟏
��𝟐
��=��𝟏+��𝟐
��𝟏 ��𝟐
Importante!
I) O módulo do vetor-soma de dois vetores só
será igual a zero se; e somente se, forem
simétricos.
II) O módulo do vetor-soma de três ou mais
vetores só será igual a zero se; e somente se, a
linha poligonal formada for fechada
(coincidência entre a extremidade do último
vetor com a origem do primeiro vetor).
S = 0
��+ ��+𝒄+��+ ��=��
A.sen
A.cos
Método Analítico da Soma Vetorial
��
��
��
R² = A² + B² + 2 A B cos
R² = (B + Acos)² + (Asen)²
R²= B² + 2ABcos + A²cos² + A²sen²
R² = A²(sen² + cos²) + B² + 2ABcos
R
Sendo assim, qualquer que seja a direção
entre os dois vetores-parcelas, o módulo do
vetor-resultante pertencerá ao intervalo:
| A – B | ≤ R ≤ A + B
Importante!I)
O vetor 0
e é o elemento neutro da soma de vetores.
Ele é um vetor com módulo zero.
Existe
tal queII)
a e a
e V
b V
0a b
tal que
Existe
O vetor b a
é o vetor simétrico da soma de vetores.
a
-a
a b b a
III) A adição vetorial é comutativa, isto é, para quaisquer vetores e , temos:
IV) A adição vetorial é associativa, isto é, para quaisquer vetores , e , temos:
subtração vetorial (Vetor-diferença “D”)
Subtrair dois vetores consiste em somar o
primeiro vetor com o vetor-simétrico do
segundo.
A soma de de um vetor a com um vetor
simétricodefine a subtração de vetores. Para realizá-la é suficiente
aplicar qualquer método geométrico a esses vetores:
a
��
��
a
��=��+(− ��)
Método Analítico da Subtração Vetorial
a
��
��
180° -
Identidade importante: cos(180° - ) = - cos
D² = a² + b² + 2a b cos(180° - ) D² = a² + b² + 2a b(- cos)
D² = a² + b² - 2 a b cos
��+(− ��) −��
−��
−��
−��
RESUMO!
cos2²²²||:
cos2²²²||:
vuvuvuMenorDiagonal
vuvuvuMaiorDiagonal
APLICADACOSSENOSDOSLEI
Produto de um vetor por um escalarSeja K um número real não nulo e um vetor não
nulo. A esse número e a esse vetor associamos um
vetor, que simbolizamos por K :
I. com a mesma direção de ;
II. com módulo igual ao módulo de K vezes o módulo
de ;
III. com o mesmo sentido de , se K é positivo, mas
com sentido oposto ao de , se K é negativo.
Entretanto, se K = 0 ou se a = 0, definimos K como
sendo o vetor-nulo.
a
a
a
a
a
a
a
Versor de um VetorUm vetor que possui módulo igual a 1,
independente de sua direção e sentido, é
nomeado de “vetor unitário”.
Vetor no plano, em função dos versores dos eixos coordenados
Vamos associar um versor a cada eixo do plano cartesiano.
Assim, o versor = (1, 0) no eixo dos x e
o versor = (0, 1) no eixo dos y,
conforme a figura ao lado:
* Decomposição vetorial em vetores unitários
ortogonais (forma linear de um vetor):
j3i3c
i2b
j3a
:respostas