Grandezas Escalares e Vetoriais Prof. Climério Soares

Grandezas Escalares e Vetoriais

Prof. Climério Soares

Definição de grandeza:

É tudo aquilo que pode ser medido

Exemplos:

Comprimento Aceleração Força Velocidade

Tipos

Grandezas escalares

Grandezas Vetoriais

Grandezas Escalares

São grandezas que se caracterizam apenas por um valor acompanhado uma unidade de medida.

Exemplos: Massa ( a massa de uma pessoa é 57 kg);

Temperatura (a temperatura da sala de aula é 27°C);

Tempo (uma aula tem duração de 50min).

Grandezas Vetoriais

São grandezas que para serem definidas precisam de um módulo (valor + unidade de medida), direção e sentido.Exemplos: Velocidade (Um corpo foi lançado com uma velocidade de 30 m/s); Aceleração (Um carro manteve uma aceleração de 5 m/s²);

Força (Foi aplicada uma força de 50 N).

Representação Gráfica

Direção

Sentido

Comprimento = módulo

A B

Representa-se um vetor por um segmento de reta orientado. A origem e a extremidade do vetor pode ser representado por duas letras maiúsculas (A = origem; B = extremidade)

Representação Simbólica

Uma grandeza vetorial deve sempre ser representada, simbolicamente, por uma letra com uma seta em cima:

vetorVV

V

Módulo do vetor V

V = Módulo do vetor V

AB Módulo do vetor de extremidades A e B

Comparação de Vetores

Vetores iguais

Vetores opostos

Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo (valor, intensidade), mesma direção e mesmo sentido.

Dois vetores são opostos quando possuem mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.

Comparação de Vetores

Exemplos:

x

y

4 u

4 u

2,5 u

z

w

Vetores iguais

Vetores opostos

yx

2,5 u

wz

Operações com Vetores

Soma

Diferença

Multiplicação de um número real por um vetor


Adição de Vetores

Podemos somar vetores usando duas regras:

Regra do Polígono

Regra do Paralelogramo


Regra do Polígono

É usada, principalmente, para somar sistemas com mais de dois vetores.

Exemplo: No plano quadriculado a seguir temos três vetores e ba

, :c


Regra do Polígono

Qual o módulo do vetor resultante da soma desses vetores?


Resolução: Inicialmente, devemos transladar os vetores, de modo que a origem de um coincida com a extremidade do outro, tomando cuidado para manter as características (módulo, direção e sentido) de cada vetor sem alteração.O vetor soma (resultante) será aquele que fecha o polígono, partindo da origem do primeiro vetor e chegando à extremidade do último vetor.

Regra do Polígono

Regra do Polígono


Observe que o vetor soma é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 u e 4 u. Aplicando, então, o Teorema de Pitágoras, temos:

2516943 22222 sss s = 5 u

Operações com VetoresRegra do Polígono

Observação:

Quando os segmentos orientados que representam os vetores formam um linha poligonal fechada (a extremidade do último segmento orientado coincide com a origem do primeiro), o vetor soma é chamado vetor nulo e é representado por 0

0321

VVVS

O módulo do vetor nulo é zero


Regra do Paralelogramo:

Essa regra é usada quando os vetores têm a mesma origem e formam um ângulo entre si.

Para encontrar o vetor resultante, devemos:

1.Tracejar retas paralelas aos dois vetores;

2.O vetor soma (resultante) sai do ponto comum até encontrar o ponto de interseção das retas tracejadas.


Regra do paralelogramo

1r

2r

R

Para encontrar o módulo do vetor soma (resultante), utilizamos a Lei do cossenos:

cos2 212

22

12 rrrrR



Exemplo:

Dois vetores e , de mesma origem, formam entre si um ângulo , como mostra a figura a seguir. Se os módulos desses vetores são a = 7 u, e b = 8 u, qual o módulo do vetor soma?

a

b

60

60

a

b



a s

b

Resolução:

Usando a lei dos cossenos, temos:

s² = 7² + 8² + 2 ∙ 7 ∙ 8 cos θ s² = 49 + 64 + 112∙ cos 60° s² = 169s = 13 u


Casos particulares:

A) Se o ângulo formado pelo vetores é α = 0°, eles possuem a mesma direção e o mesmo sentido.

Sendo S o módulo do vetor resultante, temos:

NF 301

NF 402

403021 RFFR

NR 70

R


Casos particulares:

B) Se α = 90°, podemos calcular o módulo do vetor resultante R utilizando o Teorema de Pitágoras:

NF 301

NF 402

R

250016009004030 2222 RRR

NR 50


Casos particulares:

C) Se o ângulo formado pelos vetores é de 180°, eles possuem a mesma direção e sentidos opostos.

NF 301

NF 402

R

O módulo do vetor R fica determinado por:

NRR 103040


Subtração de Vetores

Considere dois vetores e . A diferença entre esses dois vetores é dada por:

Portanto para subtrair de , deve-se adicionar ao oposto de .

xy

)( yxyxd

yx

x

y



x

y

y

x

d

d

x

y

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3



Na figura 2, para obter o vetor diferença foi usado a regra do paralelogramo;

No caso da figura 3, foi unida as origens de e e o vetor foi obtido apontando para o vetor que se lê primeiro na expressão , no caso o vetor .

xy

d

yxd

x


O módulo do vetor diferença pode ser calculado como:

Observação:A adição e a subtração de vetores são definidas de forma que podemos trabalhar com equações vetoriais da mesma maneira como é feita com equações com números reais, passando um termo de um lado para outro, trocando de sinal. Exemplo: é equivalente a

cos222 yxyxd

yxd

dyx


Exemplo:

No plano quadriculado abaixo, estão representados dois vetores e . O módulo do vetor diferença vale:

Usando o teorema de Pitágoras, a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u

xy

yx

y

udd 543 22



Ao multiplicar um número real n por um vetor obtemos um outro vetor tal que:

Para n ≠ 0, terá as seguintes características:

módulo: (produto dos módulos)direção: a mesma do vetor .sentido: o mesmo de , se n > 0; oposto se n < 0.

1r

1rnp

1rnp 1r

p

p

1r

Operações com vetores


Exemplo:

Decomposição de um vetor

Qualquer vetor , em um plano, pode ser representado pela soma de dois outros vetores, chamados de componentes retangulares como:

a

yx ppp

p

yp

xp

y

x0


Para encontrarmos o módulo das componentes e , devemos usar as relações trigonométricas do triângulo retângulo:

xp

yp

coscos ppp

px

x

senppp

psen y

y yp

xp

p

222yx ppp

Decomposição de um Vetor

Exemplos: 1. Um avião sobe com velocidade de 200 m/s e com 30° de inclinação em relação à horizontal conforme a figura. Determine as componentes da velocidade na horizontal (eixo x) e na vertical (eixo y).Dados: sen 30° = 0,5 e cos 30° ≈ 0,9.


Resolução:Na figura abaixo são mostrados os vetores componentes e :

xv

yv

vx = v ∙ cos 30° 200 ∙ 0,9 v⇒ ⇒ x = 180 m/s

vy = v ∙ sen 30° 200 ∙ 0,5 v⇒ ⇒ y = 100 m/s

Decomposição de um vetor2. Na figura a seguir, cada quadradinho tem lado que mede 4 N de força. Determine o vetor força em módulo, direção e sentido, usando a decomposição de vetores e a regra do polígono.

Decomposição de um vetor3. Determine o módulo e a representação do vetor força resultante das forças apresentadas na figura abaixo. (Dados: sen 30° = 0,5; cos 30° ≈ 0,9; sen 20° ≈ 0,3; cos ≈ 0,9; sen 45° = cos 45° ≈ 0,7).

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