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ÍNDICE 1 ERROS NAS APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS.....................................2
1.1 Erros Absolutos ................................................................................................ 3
1.2 Erros Relativos ................................................................................................. 4
1.3 Erro de Arredondamento................................................................................... 5
1.4 Ordem decimal de um algarismo: ...................................................................... 5
1.5 Algarismos significativos corretos....................................................................... 5
1.6 Cálculo dos erros absoluto e relativo:................................................................. 6
1.7 Erro de Truncamento ........................................................................................ 9
1.8 Seqüências – Convergências.............................................................................. 9
1.9 Propagação de erros ....................................................................................... 10
2 MATRIZES .....................................................................................12
2.1 Propriedades dos Determinantes ..................................................................... 15
2.2 Menor Complementar ..................................................................................... 16
2.3 Complemento Algébrico de um elemento (COFATOR) ....................................... 16
2.4 Matriz Adjunta ................................................................................................ 17
2.5 Matriz Inversa ................................................................................................ 17
2.6 Cálculo do Determinante ................................................................................. 22
3 VALORES E VETORES CARACTERÍSTICOS ....................................24
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES............................................26
4.1 Métodos Diretos ou de Eliminação ................................................................... 26
4.1.1 Método de Gauss ..................................................................................... 26
4.1.2 Método de Gauss-Jordan .......................................................................... 31
4.1.3 Condensação Pivotal ................................................................................ 34
4.1.4 Refinamento da Solução........................................................................... 37
4.1.5 Inversão de Matrizes ................................................................................ 40
5 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES............................................42
5.1 Métodos Iterativos .......................................................................................... 42
5.2 Método de Jacobi............................................................................................ 43
5.3 Método de Gauss-Siedel.................................................................................. 45
5.4 Estudo da Convergência.................................................................................. 46
6 Decomposição LU..........................................................................47
6.1 Teorema LU ................................................................................................... 47
6.2 Esquema prático para a decomposição LU........................................................ 49
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1 ERROS NAS APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS Causas:
• Divisões Inexatas;
• Números Irracionais;
• Abandono de Casas Decimais e
• Etc. Este último aspecto é de particular interesse no caso de computadores digitais. O processo de solução de um problema físico, através de métodos numéricos, pode ser representado como se segue:
Figura 1
Nas fases de modelagem e resolução podem ocorrer erros. Ex.: Erro na fase de modelagem: A variação no comprimento de uma barra de metal sujeita a certa variação de temperatura é dado por:
(((( ))))20 t. .l ββββαααα ++++====∆∆∆∆ tl
onde:
material.cada de dilataçãode escoeficiente
atemperaturt
inicial ocomprimentl
ocompriment do iaçãovarl
0
→→→→
→→→→
→→→→
→→→→∆∆∆∆
ββββαααα
Exemplo: Calcular a variação no comprimento de uma barra sujeita a 10º C de variação e que tenha:
erimentaisexp,
,
ml
====
====
====
0000680
0012530
10
ββββ
αααα
Logo,
(((( )))) 01933001000006801000125301 2 ,.,.,.l ====++++====∆∆∆∆ Os valores de αααα e ββββ foram obtidos experimentalmente com precisão de 10-6.
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Logo: 0,001252 < α < 0,001254 0,000067 < β < 0,000069
Então:
(((( ))))(((( ))))2
2
00,000069.1 .,1. l
00,000067.1 0 0,001252.11. l
++++<<<<∆∆∆∆
++++>>>>∆∆∆∆
100012540
Logo: 0,019440 ∆l 0,019220 <<<<<<<<
ou 41001930 −−−−±±±±====∆∆∆∆ ,l
Então vemos que uma imprecisão na sexta casa decimal de α e β, implicou uma imprecisão na quarta casa decimal de ∆∆∆∆l. A precisão do resultado não é só função do modelo matemático, mas também dos dados de entrada.
1.1 Erros Absolutos
Quando se substitui um valor a por outro aproximado a’ (a’≠≠≠≠a), define-se como erro absoluto:
'aa −−−−====∆∆∆∆ Normalmente como não conhecemos o valor de a, o erro absoluto é indeterminado. Trabalhamos então com a cota superior ε do erro absoluto, isto é:
ε ≥≥≥≥ ∆∆∆∆ Assim, podemos dizer que:
εεεεεεεεεεεε ++++≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− ' - ' ou ' aaaaa e que a’ é valor aproximado de a com erro absoluto não superior a ε. Ex.: Se a = 3.876,373 e só desejamos a parte inteira a’, o erro absoluto é:
(((( ))))373876387633730 ,.. ,a'aa −−−−====−−−−====∆∆∆∆
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1.2 Erros Relativos
Chama-se erro relativo cometido sobre um valor a, quando este é aproximado por a’ ao quociente positivo:
a
∆∆∆∆====δδδδ
Como normalmente o valor de a não é conhecido, e é próximo de a’, costuma-se calcular também uma cota superior para o erro relativo tal que:
'a
εεεεδδδδ ≤≤≤≤
Onde ε é uma adequada cota superior de erro absoluto. A substituição de a por a’ no denominador é justificável se:
'aa ≅ que é o caso normalmente encontrado na prática. “Erro relativo tem por objetivo dar uma idéia ao grau de uma influência do erro, no valor desejado”. O erro absoluto não traduz nada, se não soubermos a ordem de grandeza do valor calculado. Ex.:
373,1
373,3876
=
=
b
a
Como vemos, o efeito da aproximação de b é muito maior do que de a. Considerando o erro relativo, teremos uma melhor visão deste efeito.
Para a: 410
376,3876
373,0 −−−−<<<<====aδδδδ
Para b: 1102
3731
3730 −−−−<<<<==== .,
,bδδδδ
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1.3 Erro de Arredondamento
Diz-se que um valor foi arredondado na posição de ordem n, se todos os algarismos significativos de ordem n + 1 em diante forem abandonados de forma que o algarismos de ordem n é aumentado de uma unidade, se e somente se, o de ordem n+1 for superior a n. O arredondamento é feito, por exemplo, em computadores digitais que trabalham com um número “d” fixo de algarismos significativos. Se por exemplo d = 5 e tivermos com um valor igual a: 2,73589 (algarismos significativos). A diferença entre estes valores é o erro de Arredondamento. Estes erros podem se propagar cumulativamente, podendo afetar o resultado final.
1.4 Ordem decimal de um algarismo:
Diz-se que a ordem decimal de um algarismo significativo ai de um número a é m, se o resultado quando substituímos ai por 1 e todos os outros algarismos significativos por zeros, é 10n. Ex.: No número 2,718278, a ordem decimal do algarismo significativo de ordem 6 é -5, pois:
5101
0000100 −−−−====,
Quando um número está representado na forma normalizada, a ordem decimal do algarismo significativo de ordem i é (–i + t). Forma Normalizada de um número é a sua representação: 0, a1, a2, a3,...ad . 10t Onde d é o número de algarismos significativos e ai, i = (1, 2, ...,d) são os algarismos.
1.5 Algarismos significativos corretos
Diz-se que um algarismo significativo de ordem “n” (an) de uma aproximação a’ de um número a, é algarismo significativo correto, se o erro absoluto de a’ for inferior a 0,5.10m, onde m é a ordem decimal desse algarismo. Com esta definição é possível afirmar que se o número a e sua aproximação a’ tem algarismos significativos coincidindo a partir da esquerda até o de ordem i, então o número de algarismos significativos corretos é pelo menos (i – 1). De fato, com a ordem decimal do algarismo significativo de ordem i é –i + t, então, com essa coincidência, o erro absoluto deve ser menor que 10-i+t (t se refere a forma normalizada) e por isso menor do que 0,5.10-i+t-1, como exemplo temos as aproximações 2,5 e 2,4 de 2,0.
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Para ambas existe coincidência até o algarismo significativo de ordem 1, no entanto só a segunda aproximação tem um algarismo correto. Ex.: 1,9999 e 2,05
A aproximação 0,668543 de ....)666,0(3
2
. O algarismo 8 da aproximação não é correto pois: 0,668543 – 0,666 = 0,00187633 > 0,5.10-3 O número 0,668543 só possui dois algarismos significativos corretos. Ex.: Seja o número a = 0,000045045. Por um processo numérico foi determinado para o mesmo valor a’ = 0,000045270. Aplicando a definição concluímos que a’ só tem dois algarismos significativos corretos. Passando para a forma normalizada vem, a = 0,45045.10-4 e a’ = 0,45270.10-4
1.6 Cálculo dos erros absoluto e relativo:
Absoluto:
42
4
10.10.5,0
.10.00225,0000000225,0'
−−−−−−−−
−−−−
<<<<∆∆∆∆
========−−−−====∆∆∆∆ aa
Relativo:
2
4
4
10.5,010.45045,0
10.00225,0 −−−−
−−−−
−−−−
<<<<====δδδδ
Se considerarmos o erro absoluto, da ordem de 10-6, podemos ter uma idéia errônea do número de algarismos significativos. No entanto, com a apreciação do erro relativo, podemos perceber porque sua precisão não vai além dos dois primeiros algarismos significativos. Teorema Se o erro relativo da aproximação a’ de a for maior que 0,5x10-s, então a’ tem pelo menos “s” algarismos significativos corretos. Demonstração Seja a =µ.10t, onde µ é a mantissa da forma normalizada de a. Suponhamos que o algarismo significativo a’s correspondente a as na aproximação a’ não é correto.
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Devemos ter então pela fórmula (A)
tsx,a'a ++++−−−−>>>>∆∆∆∆====−−−− 1050
Como ttx a 1010 <<<<==== µµµµ , devemos ter:
tx
a
aa −−−−>>>>−−−−
==== 105,0'
δδδδ o que por hipótese é absurdo.
Então o algarismo significativo a’s é correto e, portanto, todos os de ordem inferior. C.Q.D. Regras a serem observadas:
1. Fixar o número “d” de algarismos significativos para o cálculo.
2. Se os dados iniciais têm mais que “d” algarismos significativos, arredondá-los na posição do algarismo de ordem d; caso contrário preencher as posições restantes com zero
3. As operações de adição e subtração deverão ser realizadas sempre com dois números de cada vez. Antes de iniciá-la arredondar o número de menor valor absoluto, de modo que a mais baixa ordem decimal deste último possa ser a mesma do outro.
4. Efetuar as operações de multiplicação normalmente e arredondar o produto de forma que ele passe a ter “d” algarismos significativos.
5. Efetuar as operações de divisão até que o quociente tenha “d” algarismos significativos.
6. Potenciações com expoentes inteiros deverão ser realizadas como multiplicações de números, dois a dois.
7. Valores irracionais como “π”, e valores de funções elementares como, “sen x”, “cos x”, “ex”, etc., usados como dados, deverão ser tomados com “d” algarismos corretos.
8. Potenciações com expoentes não inteiros deverão ser realizadas por meio de logaritmos com “d” algarismos significativos.
EX.: Calcular o valor de: ππππ++++
−−−−++++322
3
2
2010003370536712,
),(,x,, retendo 3 algarismos
significativos. As operações na ordem em que devem ser efetuadas são:
0,2013
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• multiplicamos inicialmente 0,201x0,201 = 0,040401, arredondamos o resultado para 0,0404
• multiplicamos agora 0,0404x0,201 = 0,0081204, arredondamos para 0,00812
1,5367x0,00337
• arredondamos inicialmente os fatores para: 1,54 e 0,00337
• efetuamos: 1,54x0,00337 = 0,0051898
• arredondamos o resultado para: 0,00519
• extraindo a raiz quadrada vem: 1,41
2
003370536712 ,x,++++
• arredondar o produto na ordem decimal -2 : (1,5367x0,00337 = 0,0051)
0,01
• adicionar: 1,41 + 0,01 = 1,42
32010003370536712 ,,x, −−−−++++
• arredondar a potência na ordem decimal -2:
0,01
• efetuar a subtração:
1,42 – 0,01 = 1,41
22,32
• - achar o logaritmo decimal de 2,00 Log10 2 = 0,301
• - multiplicá-lo pelo expoente 0,301x2,32 = 0,69832
• - arredondar o resultado para 3 algarismos significativos. 0,698
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• encontrar o número que tem este valor por logaritmo decimal. 5,00
ππππ
• - arredondando para 3 algarismos significativos, vem: 3,14
π + 22,32
• somando diretamente, vem: 5,00 + 3,14 = 8,14
Cálculo final
1730148
411,
,
,====
1.7 Erro de Truncamento
São erros provenientes da utilização de processo que deveriam ser infinitos ou muito grandes para a determinação de um valor, e que, por razões práticas, são truncados. Em outras palavras, erro de truncamento de um processo infinito é o erro absoluto do resultado obtido com um número finito de operações.
1.8 Seqüências – Convergências
Uma seqüência de números reais nada mais é do que um conjunto finito ou infinito de valores ordenados, x1, x2, x3,..., xn, representado por {xn}, onde xn é chamado termo geral. Dizemos que a seqüência é infinita se contiver um número infinito de elementos. Neste caso podemos dizer que ela converge ou não para um limite, de acordo com a definição. Definição: Uma seqüência infinita de números {xn} converge para um valor x, se:
0====−−−−∞∞∞∞→→→→
xxLim nn
E nesse caso x é o limite da seqüência.
Quando a seqüência é truncada em xn, o erro de truncamento é dado por:
xxe nn −−−−====
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Ex.:
A seqüência {xn} com nxn
1==== converge para o limite “0” porque:
001
====−−−−====∞∞∞∞→→→→ n
Limn
Exemplo: Dado x = 0,15, calcular o valor de ex. Empregando um processo numérico que consiste em substituir a função ex por um polinômio. Usando a seqüência:
....!
x
!
xxe x
321
32
++++++++++++≈≈≈≈ Limitando até 4 termos, temos:
(((( )))) (((( ))))16181251
6
150
2
1501501
32150 ,
,,,e , ====++++++++++++≈≈≈≈
Sabendo-se que 4150 10501618342431 −−−−±±±±==== x,,e ,
, isto é, os algarismos até a 8ª casa decimal são exatos, e comparando este valor com o calculado pelo processo numérico, verificamos que apenas 5 algarismos significativos são exatos. Neste caso temos o erro
0000217435,01618125000,11618342435,1 =− Escrevemos então:
Erro de truncamento = (((( )))) (((( ))))
000021743503
150
2
1501501
32150 ,
!
,
!
,,e , ≤≤≤≤
++++++++++++−−−−
Que representamos por:
000030161811150 ,,e , ±±±±==== 1.9 Propagação de erros
Exemplos de como os erros vistos podem influenciar o desenvolvimento de um cálculo. Supondo-se que as operações abaixo sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se:
x1 = 0,3491x104 e x2 = 0,002345x100
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Temos: (x2 + x1) – x1 = (0,002345x100 + 0,3491x104) – 0,3491x104 = 0,3491x104 – 0,3491x104 (4 dígitos) = 0,000 x2 + (x1 – x1) = 0,002345x100 + (0,3491x104 – 0,3491x104) = 0,002345 + 0,000 = 0,002345 Os dois resultados são diferentes quando não deveriam ser. A causa foi o arredondamento feito na adição (x1 + x2) cujo resultado tem 8 dígitos e a máquina apenas 4.
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2 MATRIZES Definimos como matriz de ordem mxn, ao conjunto de números aij (i = 1, 2,...,m), (j = 1, 2, ...,n) dispostos em m linhas e n colunas. Ex.:
mnmm
n
n
a.....aa
.........................
a...aa
a...aa
21
22221
11211
Os elementos aij podem ser números, funções ou mesmo matrizes. Quando m = n temos uma matriz quadrada. Quando n = 1 temos uma matriz coluna:
m
1
m a
...
a
a
ou
a
....
a
a
2
1
21
11
Quando m = 1, temos uma matriz linha:
[[[[ ]]]]na...a,a,a 1131211 [[[[ ]]]]na,...,a,a,a 321
Definições
• Uma matriz é um conjunto de números, função ou matrizes.
• Um determinante é uma representação simbólica de um polinômio perfeitamente definido.
• Matriz Diagonal é aquela em que aij ≠≠≠≠ 0, para i = j.
33
22
11
00
00
00
a
a
a
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• Matriz Unitária é uma matriz quadrada, na qual todos os elementos são nulos exceto os da diagonal principal que são todos iguais a 1. A matriz unitária de ordem n é representada por In.
In =
100
010
001
.....
..................
....
....
• Matriz Triangular é a matriz na qual aiJ = 0 para i < j (triangular inferior) ou aiJ = 0 para i > j (triangular superior).
Ex.:
(((( ))))inferior triangular
a....aa
................
....aa
....a
nnnn
21
2212
11
0
00
(((( ))))superior triangular
a
.................
a....a
a....aa
nn
n
n
000
0 222
11211
• Matriz Simétrica é toda matriz quadrada onde aiJ = aJi. Os elementos são iguais simetricamente à diagonal principal.
A = AT
• Matriz Anti-simétrica é toda matriz em que se tem aij = -aji.
A = -AT
• Matriz Transposta de uma matriz A de ordem mxn é a matriz At de ordem nxm, obtida permutando-se as linhas pelas colunas.
• Matriz Zero é aquela em que todos os seus elementos são nulos.
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Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (aij) e B = (bij) de ordem mxm, são iguais se e somente se aij = bij. Adição Tendo-se as matrizes A = (aij) e B = (bij) de ordem mxn, a adição de A com B será:
C = A + B = (aij + bij) = (cij) Ex.:
====
++++
8
13
2
15
2
11
3
8
2
5
1
8
0
7
0
3
6
8
1
7
2
4
3
5
Subtração
C = A – B = (aij - bij) = (cij) Ex.:
−−−−====
−−−−
40
0
2
3
3
2
2
5
1
7
0
7
0
3
6
8
1
7
2
4
3
5 3
Produto de uma Matriz por um número Se A = (aij) é uma matriz mxn e c um número, temos:
c.A = A.c = B =
mnm
n
a.c....a.c
............
a.c...a.c
1
111
As seguintes leis são válidas:
dadecomutativi ABBA
vidadedistributi cBcA)BA(c
bAaAA).ba(
idadeassociativ C)BA()CB(A
++++====++++
++++====++++
++++====++++
++++++++====++++++++
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2.1 Propriedades dos Determinantes
1- Um determinante não se altera quando se trocam as linhas pelas colunas e vice-versa. 2- Trocando-se as posições de duas linhas ou colunas, o determinante fica multiplicado por (-1).
3- Transpondo-se uma linha ou uma coluna para a primeira posição, o determinante fica multiplicado por (-1)k-1 onde k representa a ordem da linha ou coluna transposta.
4- Transpondo-se um elemento para a primeira posição, o determinante fica multiplicado por (-1)k+m onde k representa a ordem da coluna e m a ordem da linha que se cruzam no elemento transposto.
5- O determinante é nulo se todos os elementos de uma linha ou uma coluna são nulos. 6- O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si. 7- Se os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número, o determinante fica, também, multiplicado por este número.
8- O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna os respectivos elementos de outra linha ou coluna multiplicados por um número.
Consideremos um determinante ∆∆∆∆ e suponhamos que o elemento a transpor seja amk. Passando a m-ésima linha para a primeira posição e designando ∆∆∆∆’ o novo determinante, temos:
(((( )))) ∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆−−−−
.'m 1
1
Passando a k-ésima coluna para a primeira posição, no determinante ∆∆∆∆’ e designando por ∆∆∆∆’’ o novo determinante, temos:
(((( )))) 'k'' .∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆−−−−1
1 Substituindo o valor de ∆’ vem:
:vem ,(-1) comoe ,.)(.).()( -2mkmk'' 1111 211 ====∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆−−−−−−−−====∆∆∆∆ −−−−++++−−−−−−−−
(((( )))) ∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆++++
.mk'' 1
Toda matriz que tem duas linhas ou colunas iguais tem determinante nulo. Trocando-se a posição destas linhas ou colunas o seu valor deveria trocar de sinal.
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Logo: ∆∆∆∆ = -∆∆∆∆ 2∆∆∆∆ = 0 ∆∆∆∆ = 0
2.2 Menor Complementar
Chama-se de menor complementar do elemento aij (Mij), ao determinante de ordem n – 1 extraído de [A], pela supressão da linha e da coluna em que está situado o elemento aij.
====
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Ex.: O menor complementar de a32 é:
2321
1311
32aa
aaM ====
2.3 Complemento Algébrico de um elemento (COFATOR)
Dado o determinante
nnnn
n
n
a.....aa
.........................
a...aa
a...aa
21
22221
11211
Chama-se complemento algébrico ao elemento jia e representa-se por ijA ao determinante obtida pela expressão:
(((( )))) ij
ji
ij MA++++
−−−−==== 1 Consideremos a matriz quadrada:
[A] =
nnnn
n
n
a.....aa
.........................
a...aa
a...aa
21
22221
11211
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2.4 Matriz Adjunta
Definimos como matriz adjunta de [A] e representamos por [[[[ ]]]]'A , a matriz cujo elemento
genérico é jiij Aa ==== onde jiA representa o complemento algébrico do elemento aij do determinante associado da matriz [A]. Nestas condições, a matriz adjunta de [A] será:
[ ] ='A
nnnn
n
n
A.....AA
.........................
A...AA
A...AA
21
22212
12111
Como podemos observar, a matriz adjunta pode ser obtida, em outras palavras, a partir da matriz transposta ([At]), construindo-se uma nova matriz, onde os elementos são os correspondentes complementos algébricos dos elementos do determinante |At|. Ex.: Achar a matriz adjunta de:
[[[[ ]]]]
====
2221
1211
aa
aaA
[[[[ ]]]]
====
2212
2111
aa
aaAt
Logo a adjunta de A será:
[[[[ ]]]]
−−−−
−−−−====
1121
1222
a a
aa 'A
2.5 Matriz Inversa
Teorema: Para qualquer matriz quadrada A, temos:
[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]IAAA A ======== −−−−−−−− 11
Equação (1) Onde (I) é a matriz unitária. Definimos como matriz inversa [A] e representamos por [A-1], a matriz tal que seja satisfeita a expressão (1) .
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Para obtermos [A-1], comecemos por calcular [A].[A’]. Considerando os teorema de Laplace e Cauchy, resulta:
nnnn
n
n
a.....aa
.........................
a...aa
a...aa
21
22221
11211
x
nnnn
n
n
A.....AA
.........................
A...AA
A...AA
21
22212
12111
=
A.....
.........................
...A
...A
00
00
00
Pelo que obtivemos, vamos em seguida efetuar o produto:
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] IA'A.A ====
Supondo que φφφφ≠≠≠≠A , temos:
====
100
010
001
21
22212
12111
2
22221
11211
....
..............
....
....
A
A....
A
A
A
A................
A
A....
A
A
A
A
A
A....
A
A
A
A
x
aaa
....
aaa
aaa
nnnn
n
n
nnnnn
n
n
Desta ultima igualdade concluímos que:
[A-1] =
A
A....
A
A
A
A................
A
A....
A
A
A
A
A
A....
A
A
A
A
nnnn
n
n
21
22212
12111
ou [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]A
'A.A 1−−−−
Ex.: Achar a matriz inversa de:
[[[[ ]]]]
====
2221
1211
aa
aaA
Cálculo de A
21122211 a.aa.aA −−−−====
Material sujeito a correções
Página 19 de 55
Cálculo de [At]
[[[[ ]]]]
====
2212
2111
aa
aaAt
(poderia ser a transposta da adjunta)
Cálculo de [A’]
[[[[ ]]]]
−−−−
−−−−====
1121
1222
a a
aa 'A
Obtenção de [A-1]
[[[[ ]]]]
−−−−
−−−−
−−−−====−−−−
1121
1222
12212211
1 1
a a
aa .
aaaaA
A matriz inversa desempenha importante papel na resolução de sistemas de equações lineares. Seja o sistema:
====++++++++++++
====++++++++++++
====++++++++++++
nnnnnn
nn
nn
bxa......xaxa
...... ...... ...... ...... ........ .....
bxa.....xa xa
bxa.....xax.a
2211
22222121
11212111
Sob forma de produto matricial:
[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]bXA ====
[[[[ ]]]][[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]bAXAA 11 −−−−−−−− ==== Donde:
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]bAX 1−−−−====
Material sujeito a correções
Página 20 de 55
Ex.: Resolver o sistema:
22
32
6
====−−−−++++
====++++−−−−
====++++++++
zyx
zyx
zyx
Sob forma matricial temos:
====
2
3
6
1
2
1
z
y
x
1- 2
1 1-
1 1
Resultando:
====
−−−−
2
3
6
1
2
11
1- 2
1 1-
1 1
z
y
x
Cálculo do Determinante (|A|) de A:
77221411
1
2
1
========−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−++++++++==== A olog ,)()(
211- 2
1-21 1-
1 11 1
Cálculo da transposta:
[[[[ ]]]]
====
1-1
21-
1 2
At
1
1
1
Cálculo da adjunta:
[[[[ ]]]]
−−−−
====
3-1-5
1 2- 3
2 3
'A
1
Material sujeito a correções
Página 21 de 55
Cálculo da Inversa:
[[[[ ]]]]
−−−−
====−−−−
3-1-5
1 2- 3
2 3
A
1
7
11
Donde a solução do sistema será:
−−−−
====
2
3
61
7
1 .
3-1-5
1 2- 3
2 3
z
y
x
Ou seja:
====
3
2
1
z
y
x
Material sujeito a correções
Página 22 de 55
2.6 Cálculo do Determinante
A solução pelo teorema de Laplace torna-se inconveniente no cálculo do determinante de ordem superior a quarta devido ao grande número de operações envolvidas no processo. Para contornarmos esta dificuldade usamos um processo que utiliza a 8ª propriedade anteriormente citada, que permite a redução sucessiva da matriz a uma matriz triangular, através de operações elementares. Seja:
====
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Multiplicando-se os elementos da 1ª linha por 11
1
11
31
11
21
a
a
a
a
a
a n,.....,,, e subtraindo estes resultados
dos elementos das linhas 2, 3, 4, ......., n, resulta:
====
nn)(
n)(
n)()(
n)()(
n
a......a
...............
a......a
a......a
a......aa
A
12
1
31
321
21
221
11211
0
0
0
Onde:
.......................................................................
a
aaaa.,,.........
a
aaaa
a
aaaa.,,.........
a
aaaa
linhas, das elementos Demais
a
aaaa.,,.........
a
aaaa
pivô, elemento do abaixocoluna Primeira
nn)(
n)(
nn)(
n)(
nn
)(n
)(
11
2113
13
11
311232
132
11
2112
12
11
211222
122
11
1111
11
11
211121
121
−−−−====−−−−====
−−−−====−−−−====
−−−−====−−−−====
Material sujeito a correções
Página 23 de 55
Exemplo: Calcular o determinante da matriz a seguir:
====
312
625
421
A
Multiplicando a 1ª linha por 11
21
a
a e subtraindo os resultados das multiplicações de todos os
elementos dos elementos respectivos da 2ª linha vem:
etc...
ll .então , a
a )(2
−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−
⇒⇒⇒⇒========
312
1480
421
312
625
20105
51
5 11
11
21
Multiplicando a 1ª linha por 11
31
a
a e subtraindo os resultados dos respectivos elementos da 3ª
linha vem:
−−−−−−−−
−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
530
1480
421
834122
1480
421
)()()(
Multiplicando a 2ª linha por
−−−−−−−−
−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−
−−−−====
530
25530
421
8
3
8
3
22
32 ,a
a
Subtraindo-se esta segunda linha obtida da terceira linha, teremos:
−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
25000
1480
421
2555330
480
421
,)),()(())()((
Logo:
225081 −−−−====−−−−====∆∆∆∆ ,x)(x
Material sujeito a correções
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3 VALORES E VETORES CARACTERÍSTICOS Equações homogêneas do tipo:
====++++++++++++
====++++++++++++
====++++++++++++
========
nnnnnn
nn
nn
xxa...........xaxa
............................................................
xxa...........xaxa
xxa...........xaxa
AX
λλλλ
λλλλ
λλλλ
2211
22222121
11212111
0
São frequentemente encontradas em certos tipos de problemas físicos, onde λλλλ é um parâmetro indeterminado. Representando matricialmente teremos:
[[[[ ]]]]XAX λλλλ==== que tem solução não trivial se o determinante
01221
11
====
−−−−
−−−−
−−−−
====−−−−∆∆∆∆
)a( a a
...................................................
a .......).........a( a
.......a..........a )a(
I
nnn2n1
2n
1n12
λλλλ
λλλλ
λλλλ
λλλλ
que conduz à equação polinomial de grau n em λλλλ :
022
11 ====++++++++++++++++ −−−−−−−−
nnnn C.............CC λλλλλλλλλλλλ
que é conhecida como equação característica da matriz.
Os valores de λλλλ que satisfazem a equação característica da matriz (raízes da equação) A são os valores característicos de A.
Dos valores de λλλλ , obtemos os valores dos vetores X , (conjuntos de soluções), que são denominados Vetores Característicos de A. Exemplo: Determinar os valores e vetores próprios do sistema:
31
21
11
2
2
10
x10x x x
xx 10x x
xx 2xx
32
32
32
λλλλ
λλλλ
λλλλ
====++++++++
====++++++++
====++++++++
Material sujeito a correções
Página 25 de 55
Teremos:
(((( )))) (((( )))) 0610710
10
102
103
====++++−−−−−−−−−−−−====
−−−−
−−−−
−−−−
====∆∆∆∆ λλλλλλλλ
λλλλ
λλλλ
λλλλ
)( 1 2
1 )(
1 2 )(
∴
====
====
====
⇒⇒⇒⇒
−−−−
====−−−−
8
3
2
1
9
13
2
1
3
10
λλλλ
λλλλ
λλλλ
λλλλ
Para
====++++
====++++
====++++++++
====
0 3x -x 2x
0x 3x- 2x
0x 2x3x-
321
321
321
131λλλλ
Fazendo 13 ====x teremos 1 e 1 ,1 )1(
3)1(
2)1(
1 ============ xxx
Para
====++++++++
====++++++++
====++++++++
====
0x x 2x
0x x2x
0x x2x
9
321
321
321
2λλλλ
Fazendo 13 ====x teremos 13
1
3
1 23
22
21 ====−−−−====−−−−==== )()()( xe x ,x
Para
====++++++++
====++++++++
====++++++++
====
0 2x x 2x
0x x2x
0x x2x
321
321
321
2
2
83λλλλ
Fazendo 13 ====x teremos 11
2
3 33
32
31 ========−−−−==== )()()( xe x ,x
Material sujeito a correções
Página 26 de 55
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES O estudo é limitado aos sistemas não homogêneos de “n” equações a “n” incógnitas.
4.1 Métodos Diretos ou de Eliminação
São métodos que determinam a solução de um sistema de equações lineares com um número finito de operações. Eles atuam diretamente sobre as equações.
4.1.1 Método de Gauss
Consiste em transformar a matriz dos coeficientes das incógnitas em uma matriz triangular superior, a partir de uma matriz estendida (adicionando-se o vetor independente como última coluna), através de operações elementares.
........................................................................................................
...........................
...........................
)(
)1(1
)1()1(1
)2(2
)2(21
)2()1(23
)2(232
)1(1
)1(11
)1()1(13
)1(132
)1(121
nnn
nnn
nnnn
nnnn
nnnn
bx
bxax
bxaxaxax
bxaxaxaxax
====
====++++
====++++++++++++++++
====++++++++++++++++++++
−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
onde os índices superiores dos coeficientes correspondem ao número de modificações efetuadas em cada elemento. Neste caso, a solução do sistema é imediata, mediante a substituição regressiva. Formando a matriz estendida, justapondo-se o vetor independente, teremos:
====
nnnnn
n
n
b a..............a a
.........................................
b a..............a a
b a..............a a
A
21
222221
111211
εεεε
Começamos as transformações anulando os elementos da coluna 1 abaixo do elemento
11a , ao qual chamaremos de elemento Pivô. Gauss prevê dois passos:
1. Dividir 1l pelo elemento pivô, o que nos dará uma nova linha )1(
1l e
2. Para anular o elemento 21a é bastante somar 1l a )(l 1
1 pré-multiplicada por 21a−−−− .
De um modo geral para se anular o elemento )n...........i(ai 21 ==== , executamos a operação vetorial:
Material sujeito a correções
Página 27 de 55
n)2.........(i com lall )(ii
)(i ====−−−−==== 1
111
, que zera todos os demais elementos da coluna 1 abaixo do elemento pivô. Desenvolvida para os elementos de todas as linhas equivale a:
====
++++====−−−−====
n.,,.........i
,n,.........jpara aaaa )(
jijij)(
ij2
1112
1
,
Ao fim da 1ª eliminação, a matriz εεεεA está transformada em:
====
(1)n
)1()1(2
(1)2
)1(2
)1(22
(1)1
)1(1
)1(12
b .............. 0
.........................................
b .............. 0
b .............. 1
nnn
n
n
aa
aa
aa
Aεεεε
A segunda eliminação consiste em anular os elementos da segunda coluna, abaixo de )(a 1
22 , denominado pivô desta eliminação.
1. Dividimos )(l 1
2 pelo pivô, obtendo )(l 2
2 ;
2. Para anular o elemento )(a 1
32 somamos )(l 1
3 a )(l 2
2 pré-multiplicada por )(a 1
32
De um modo geral para se anular o elemento )n...........i(a )(i 312 ==== , executamos a
operação vetorial:
n)3.........(i com )3(2
)1(2
)1()2( ====−−−−==== lall iii , que se desenvolvida para os elementos de todas as linhas equivale a:
====
++++====−−−−====
n.,,.........i
,n,.........jpara aaaa )(
j)(
i)(
ij)(
ij3
1212
12
12
,
Podemos agora generalizar os procedimentos da 1ª e 2ª eliminação para uma eliminação
genérica “K” que consiste em anular os elementos de )k(
kC 1−−−−
abaixo de )k(
kka 1−−−−
(denominado pivô da k-ésima eliminação.
Material sujeito a correções
Página 28 de 55
Fazemos inicialmente a divisão:
)k(kk
)k(k)K(
ka
ll
1
1
−−−−
−−−−
==== ,
que desenvolvida elemento a elemento de )k(
kl , equivale a:
++++====
========
−−−−
−−−−
1
11
1
n...,,.........kj
n...,,.........k......
a
aa
)k(kk
)k(kj)k(
kj .
Se ‘k’ for menor ‘n’, fazemos as operações vetoriais:
nkilall kk
kik
ki
ki ,,.........1 com )()1()1( ++++====−−−−==== −−−−−−−−
Que desenvolvida elemento a elemento, é:
++++====
++++====
−−−−====
−−−−==== −−−−−−−−
,n,.........ki
.,nk,........j
,n,.........k
aaaa k
kj
k
ik
k
ij
k
ij
1
1
11
para )()1()1()(
Exemplo:
12234
2323
2
22
4321
4321
4321
4321
====++++++++++++
====−−−−−−−−++++
====−−−−++++
====++++++++++++
x xxx
4 xxxx
1 x x 2x-x
7 x x xx
Obtendo a matriz entendida, vem:
−−−−−−−−
−−−−−−−−
121234
42323
11211
71122
4
3
2
1
l
l
l
l
Material sujeito a correções
Página 29 de 55
1ª Eliminação:
3,5 0,5 0,5 1 1 ).1(
21-010
5,65,35,410
5,25,15,120
5,35,05,011
4
3
1
2/
(1)1
)1(12
)1(4
)1(13
)1(3
)1(12
)1(2
1)1(
1
====
−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−====
−−−−====
−−−−====
====
l
lll
lll
lll
ll
2ª eliminação:
25,1 75,0 0,75 1 0 ))(1(
75,00,250,7500
25,575,225,300
25,175,075,010
5,35,05,011
)1(
)1(
)2/(
)2(2
)2(2
)1(4
)2(4
)2(2
)1(3
)2(3
)1(2
)2(2
−−−−−−−−−−−−====−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−−−−−====
−−−−−−−−====
−−−−====
l
lll
lll
ll
3ª eliminação:
75,0 3586,0 75,0 0 0 ))(75,0(01907,0000
15238,0100
25,175,075,010
5,35,05,011
)75,0(
)25,3/()3(
3)3(
3)2(
4)3(
4
)2(3
)3(3
−−−−−−−−====−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−−−−−====
−−−−====
llll
ll
−−−−
−−−−
−−−−==== 01000
15238,0100
25,175,075,010
5,35,05,011
)1907,0/()3(
4)4(
4 ll
O sistema então ficará:
0
15238,0
25,1 75,0 75,0
5,3 5,0 5,0
4
43
432
4321
====
====−−−−
====++++−−−−
====++++++++++++
x
xx
xxx
xxxx
Que substituindo regressivamente teremos:
105,015,025,3
20)75,0(1)75,0(25,1
110)5238,0(
0
1
2
3
4
====−−−−−−−−−−−−====
====−−−−++++====
====++++====
====
xxx
x
x
x
É importante observar que nenhum dos elementos que servem de pivô numa eliminação ‘k’
Material sujeito a correções
Página 30 de 55
pode ser igual a zero. Se isto ocorrer devemos trocar de posição as (n-k+1) linhas abaixo
de kl (inclusive), de modo que tais elementos não sejam nulos. É óbvio que isto não altera a solução do sistema, porque apenas trocaremos duas equações de posição. Quando este procedimento não for possível porque todos os elementos abaixo do pivô são nulos, i sistema é singular.
Material sujeito a correções
Página 31 de 55
4.1.2 Método de Gauss-Jordan
Se transformarmos a matriz do sistema em uma matriz identidade, a solução do sistema se apresentará espontaneamente no novo vetor ‘b’ (dos temos independentes).
)n(nn
)n(
)n(
bx
............
b......x
b.........x
====
====
====
22
11
O método consiste em modificas as eliminações do método de Gauss, para anular em cada eliminação ‘k’, elementos abaixo e acima do elemento pivô (elemento da diagonal principal). Com um procedimento inteiramente análogo ao que nos levou às expressões anteriores (no método de Gauss),temos para o método de Gauss-Jordan: Fazemos inicialmente a divisão:
)k(kk
)k(k)K(
ka
ll
1
1
−−−−
−−−−
==== ,
que desenvolvida elemento a elemento de )(k
kl , equivale a:
++++====
========
−−−−
−−−−
1
11
1
n...,,.........kj
n...,,.........k......
a
aa
)k(kk
)k(kj)k(
kj .
Se “k” for menor “n”, fazemos as operações vetoriais:
≠≠≠≠
====−−−−==== −−−−−−−−
ki com
n,,.........i com lall )k(
k)k(
ik)k(
iki
111
Que desenvolvida elemento a elemento, é:
≠≠≠≠
++++====
++++====
−−−−====
−−−−==== −−−−−−−−
kj
,n,.........ki
.,nk,........j
.,ni,........k
para aaaa )k(kj
)k(ik
)k(ij
)k(ij
1
1
1
11
Material sujeito a correções
Página 32 de 55
Exemplo: Usemos o mesmo exercício anterior:
12234
2323
2
22
4321
4321
4321
4321
====++++++++++++
====−−−−−−−−++++
====−−−−++++
====++++++++++++
x xxx
4 xxxx
1 x x 2x-x
7 x x xx
Obtendo a matriz entendida, vem:
−−−−−−−−
−−−−−−−−
121234
42323
11211
71122
1ª Eliminação:
21-010
5,65,35,410
5,25,15,120
5,35,05,011
)4(
)3(
)1(
2/
)1(12
)1(4
)1(13
)1(3
)1(12
)1(2
1)1(
1
−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−====
−−−−====
−−−−====
====→→→→
lll
lll
lll
ll
2ª Eliminação:
75,025,00,7500
25,575,225,500
25,175,075,010
25,225,025,101
)1(
)1(
)2/(
)2(2
)1(4
)2(4
)2(2
)1(3
)2(3
)1(2
)2(2
)2(2
)1(1
)2(1
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−−−−−====
−−−−−−−−====
−−−−====
−−−−====
→→→→
lll
lll
ll
lll
3ª Eliminação:
01428,1000
15238,0100
21428,1010
19047,0001
)75,0(
)25,5/(
)75,0(
)25,1(
)3(3
)2(4
)3(4
)2(3
)3(3
)3(3
)2(2
)3(2
)3(3
)2(1
)3(1
−−−−
−−−−−−−−====
−−−−====
−−−−−−−−====
−−−−====
→→→→
lll
ll
lll
lll
Material sujeito a correções
Página 33 de 55
4ª Eliminação:
01000
10100
20010
10001
1428,0/
)5238,0(
)1428,1(
)9047,0(
)3(4
)4(4
)4(4
)3(3
)4(3
)4(4
)3(2
)4(2
)4(4
)3(1
)4(1
====
−−−−====
−−−−====
−−−−−−−−====
→→→→ ll
lll
lll
lll
Logo:
0
1
2
1
4
3
2
1
====
====
====
====
x
x
x
x
Valem as mesmas observações feitas para o método anterior, referentes à troca das linhas caso o pivô na k-ésima eliminação for zero e se esta troca não for possível o sistema é singular.
Material sujeito a correções
Página 34 de 55
4.1.3 Condensação Pivotal
Os métodos de eliminação são exatos exceto pelos erros de arredondamento que podem conduzir a soluções errôneas. Este efeito pode ser diminuído e mesmo evitado mediante a condensação pivotal. Para isto, rearrumamos as equações, colocando na linha da posição do pivô a linha abaixo da linha do pivô com o maior elemento absoluto na coluna do pivô. A condensação pivotal tem por finalidade:
1. Minimizar o erro de arredondamento;
2. Evitar a divisão por zero e
3. Testar a singularidade do sistema. Exemplo: Resolver o sistema
3212525
63710636
38403
321
321
321
x x x
x x x
xx x
====++++++++
−−−−====++++++++
====++++++++
Sabendo-se que a solução é (1;-1 e 1) e resolvendo sem a condensação pivotal vem:
−−−−
3212525
63710636
384031
1ª Eliminação:
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−====
−−−−====
====
918988700
1431143320
384031
25
36
1
113
13
112
12
11
1
)()(
)()(
)(
lll
lll
/ll
2ª Eliminação:
−−−−−−−−
−−−−−−−−====
−−−−====
510035115398800
5715571610
384031
70
2
22
13
23
12
22 ,,
l)(ll
)/(ll
)()(
)(
Material sujeito a correções
Página 35 de 55
3ª Eliminação:
−−−−==== 997060100
5715571610
384031
5115323
33
,
,,
/(ll)(
Donde:
−−−−====−−−−−−−−====
====−−−−====
====
11595507785139970604038
07785199706057165715
997060
1
2
3
,,x,xx
,,x,,x
,x
Fazendo a condensação pivotal:
−−−−
3212525
384031
63710636
1ª eliminação
−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−====
−−−−====
====
75751397611680
753980556390555600
7511944409444421
25
36
113
13
112
12
11
1
,,,
,,,
,,,
lll
lll
/ll
)()(
)()(
)(
2ª Eliminação:
−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−
⇔⇔⇔⇔
753980556390555600
7575139711680
75119444409444421
32
,,,
,,,
,,,
ll
3ª Eliminação:
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
−−−−−−−−====
−−−−====
8113439811343900
10405110405010
7511944440944421
055560
61168
22
13
23
12
22
,,
,,
,,,
l),(ll
),/(ll
Dividindo 3l por (-39,81134), vem:
−−−−−−−−
−−−−====
−−−−====
1100
10405110405010
384031
8113439
61168
13
23
12
22 ,,
),/(ll
),/(ll
Material sujeito a correções
Página 36 de 55
Donde:
====−−−−++++−−−−====
−−−−====++++−−−−====
====
1194440944442751
1104050104051
1
1
2
3
,,,x
,,x
x
Que é uma solução mais adequada que a anterior.
Material sujeito a correções
Página 37 de 55
4.1.4 Refinamento da Solução
É obvio que mesmo com a condensação pivotal, pode persistir algum erro devido aos arredondamentos. Podemos, então, fazer um refinamento da solução. Seja o vetor abaixo a solução obtida:
),x..,,.........x ,x(x )n()()()(1
02
01
0 ==== e a solução exata seja:
)()( Exx 00 ++++====
onde a )(E 0
é o vetor correção as solução. Portanto devemos ter:
n)(
n)(
nnn)()(
n)(
n
)(n
)(nn
)()()(
)(n
)(nn
)()()(
b)Ex(a.................)Ex(a)Ex(a
.................................................................................................
b)Ex(a.................)Ex(a)Ex(a
b)Ex(a.................)Ex(a)Ex(a
====++++++++++++++++++++++++
====++++++++++++++++++++++++
====++++++++++++++++++++++++
0002
022
01
011
200
20
20
22201
0121
100
10
20
21201
0111
Equações 1
Se substituirmos o valor de )(x 0
no sistema original, teremos:
)(n
)(nnn
)(n
)(n
)()(nn
)()(
)()(nn
)()(
bxa.................xaxa
.................................................................
bxa.................xaxa
bxa.................xaxa
00022
011
02
02
0222
0121
01
01
0212
0111
====++++++++++++
====++++++++++++
====++++++++++++
Equações 2
Material sujeito a correções
Página 38 de 55
Subtraindo as equações 2 das equações 1 e definindo )()( bb 00 −−−−====ββββ , vem:
)(n
)(nnn
)(n
)(n
)()(nn
)()(
)()(nn
)()(
)Ea.................EaEa
..................................................................
Ea.................EaEa
Ea.................EaEa
00022
011
02
02
0222
0121
01
01
0212
0111
ββββ
ββββ
ββββ
====++++++++++++
====++++++++++++
====++++++++++++
Resolvendo este último sistema, encontramos um vetor x , aproximação de )(E 0
, e podemos ter:
)()( xxx 10 ++++====
até que tenhamos valores que satisfaçam o erro requerido. Exemplo: Fazer o refinamento do problema anterior resolvido sem condensação pivotal e se tivéssemos encontrado raízes (-5,1195; 1,07785 e 0,99706):
Calculamos o vetor residual )( 0ββββ :
5447811099706012077851511595525
9426862997060707785110611595536
389970604007785131159551
03
02
01
,),(),(),(b
,),(),(),(b
),(),(),(b
)(
)(
)(
−−−−====++++++++−−−−====
−−−−====++++++++−−−−====
====++++++++−−−−====
Então:
544781425447811032
057320942686263
03838
033
03
022
02
011
01
,),(bb
,),(bb
bb
)()(
)()(
)()(
====−−−−−−−−====−−−−====
−−−−====−−−−−−−−−−−−====−−−−====
====−−−−====−−−−====
ββββ
ββββ
ββββ
O vetor )(E 0
será obtido pela resolução do sistema:
5447814212525
057320710636
0403
03
02
01
03
02
01
03
02
01
,EEE
,EEE
EEE
)()()(
)()()(
)()()(
====++++++++
−−−−====++++++++
====++++++++
Trocando-se as 1ª pela 2ª linhas (condensação pivotal), vem:
−−−−
5447814212525
04031
057320710636
,
,
Material sujeito a correções
Página 39 de 55
36111 /ll ====
−−−−
5447814212525
04031
00159019444709444421
,
,,,
1ª eliminação:
−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
584531421397111680
00159080556390555600
00159019444709444421
,,,
,,,
,,,
Fazendo a condensação pivotal, vem:
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
00159080556390555600
584531421397111680
00159019444709444421
,,,
,,,
,,,
2ª eliminação:
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
117850799743900
09341210481010
00159019444709444421
,,
,,
,,,
−−−−−−−−
−−−−
==== 002960100
09341201098110
00159019444709444421
799743933
43 ,
,
,,,
,/ll)()(
====−−−−−−−−−−−−−−−−====
−−−−====++++−−−−====
====
9535950930829444420029601944470001590
093082002960109810093412
002960
11
12
13
,),(,)),(,(,x
,),(,,x
,x
)(
)(
)(
Logo a solução aproximada é:
====++++====
−−−−====−−−−====
====++++−−−−====
000021002960997060
015231093082077851
837640953595115955
3
2
1
,,,x
,,,x
,,,x
Material sujeito a correções
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4.1.5 Inversão de Matrizes
Um algoritmo de execução extremamente simples para inverter uma matriz )(mxnA pode ser obtido por uma adaptação do método de Gauss-Jordan. Seja a matriz 3x3:
====
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Onde 0≠≠≠≠A e a sua inversa (B) é:
====
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
Chamemos os 3 vetores coluna da matriz inversa de 321 be b ,b . Por definição de inversa teremos:
====
====
100
010
001
333231
232221
131211
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
x
aaa
aaa
aaa
A
Quando consideramos a formação da primeira coluna da matriz identidade pela
multiplicação de 1bx A , podemos dizer que:
====
====
0
0
1
31
21
11
333231
232221
131211
b
b
b
x
aaa
aaa
aaa
A
Logo, para determinar a primeira coluna 1b , da matriz inversa, basta resolver o sistema:
(((( ))))t1eonde ,ebx A 00111 ========
O que valeu para a primeira coluna vale para as outras duas. Assim para obter 2b e 3b , resolvemos os sistemas:
(((( ))))
(((( ))))t3
t2
eonde ,ebx A
eonde ,ebx A
100
010
33
22
========
========
Os três sistemas podem ser resolvidos pelo método de Gauss-Jordan. Como eles têm a mesma matriz (A), poderemos resolvê-los simultaneamente, pois as eliminações feitas em A, seriam exatamente as mesmas se as resoluções fossem feitas
Material sujeito a correções
Página 41 de 55
separadamente. As únicas modificações estarão nos termos independentes das incógnitas, o que contornamos trabalhando com uma matriz estendida (3x6).
====∆∆∆∆
100
010
001
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
E
Fazemos então as eliminações de Gauss-Jordan na matriz E∆∆∆∆ , ao fim das quais o vetor
solução 1b aparecerá na 4ª coluna, 2b na 5ª e 3b na 6ª. Exemplo: Seja a matriz a inverter (já acrescida da matriz identidade):
−−−− 100011
010342
001131
3
2
1
l
l
l
1ª Eliminação:
−−−−−−−−
−−−−−−−−====
−−−−====
====
101140
012120
001131
1
2
1
113
13
112
12
11
1
)()(
)()(
)(
l)(ll
lll
/ll
2ª Eliminação:
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
−−−−====
−−−−====
−−−−====
123300
05015010
05125201
4
2
3
22
13
23
12
22
22
11
21
,,
,,
lll
)/(ll
lll
)()()(
)()(
)()()(
3ª Eliminação:
−−−−
−−−−
−−−−−−−−
====
−−−−−−−−====
−−−−====
3333306666601100
1666601666601010
83333016666050001
3
50
52
23
33
33
22
32
33
21
31
,.
,,
,,,
/ll
l),(ll
l,ll
)()(
)()()(
)()()(
Logo a matriz inversa é:
−−−−
−−−−
−−−−−−−−
3333306666601
1666601666601
83333016666050
,,
,,
,,,
. È óbvia a generalização do processo.
Material sujeito a correções
Página 42 de 55
5 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES O estudo é limitado aos sistemas não homogêneos de “n” equações a “n” incógnitas.
5.1 Métodos Iterativos
Métodos Iterativos consistem em se escrever o sistema bAX ==== sob a forma:
dxFx ++++==== )(
Onde F é uma matriz (m x n) e d é um vetor (nRd ∈∈∈∈ ).
Deste modo, partindo de uma aproximação inicial )0(x , fazemos as iterações:
...................................
( 2
( 1
)1()2(
)0()1(
dxFx
dxFx
a
a
++++====
++++====
e de um modo geral, se fizermos, ‘K’ iterações, obteremos a solução aproximada na iteração ‘k+1’, pela fórmula de recorrência:
dxFx kk ++++====++++ )( )()1(
Se:
0)( ====−−−−∞∞∞∞→→→→
xx k
kLim
diremos que a seqüência de aproximações )(kx converge para x . Caso contrário, diremos
que a seqüência diverge.
Material sujeito a correções
Página 43 de 55
5.2 Método de Jacobi
O método de Jacobi consiste na escolha da seguinte matriz F :
)...............(1
......................................................................
)...............(1
)...............(1
)0(1)1(1
)0(22
)0(11
)1(
)0(2
)0(323
)0(1212
22
)1(2
)0(1
)0(313
)0(2121
11
)1(1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−−−−−====
nnnnnnn
n
nn
nn
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
Exemplo: Seja o sistema:
====++++
============−−−−
32
1x e 1x é solução cuja ,12
21
2121
xx
xx
Solução: Transformando de acordo com a disposição anterior, teremos:
)3(2
1
)1(2
1
12
21
xx
xx
−−−−====
++++====
Fazendo 021 ======== xx , teremos: 1ª Iteração:
5,1)03(2
1
5,0)01(2
1
)1(2
)1(1
====−−−−====
====++++====
x
x
2ª Iteração:
25,1)5,03(2
1
25,1)5,11(2
1
)2(2
)2(1
====−−−−====
====++++====
x
x
Material sujeito a correções
Página 44 de 55
3ª Iteração:
825,0)25,13(2
1
125,1)25,11(2
1
)3(2
)3(1
====−−−−====
====++++====
x
x
4ª Iteração:
9375,0)125,13(2
1
9125,0)825,01(2
1
)4(2
)4(1
====−−−−====
====++++====
x
x
Material sujeito a correções
Página 45 de 55
5.3 Método de Gauss-Siedel
É análogo ao método de Jacobi, com uma alteração esperada, em função da seguinte modificação:
Quando na 1ª iteração calculamos )1(
2x , já dispomos do valor de )1(
1x que pode, portanto, ser usado. Analogamente, podemos proceder assim para as demais iterações.
Teremos então na 1ª iteração e genericamente até a 1+k -ésima:
)...............(1
............................................................................................
)...............(1
)...............(1
)(1)1(1
)1(22
)1(11
)1(
)(2
)(323
)1(1212
22
)1(2
)(1
)(313
)(2121
11
)1(1
knn
kn
knn
nn
kn
knn
kkk
knn
kkk
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
−−−−−−−−++++++++++++
++++++++
++++
−−−−−−−−−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−−−−−====
Exemplo: Seja o mesmo sistema anteriormente visto pelo método de Jacobi:
====++++
====−−−−
32
12
21
21
xx
xx
Onde:
)3(2
1
)1(2
1
12
21
xx
xx
−−−−====
++++====
1ª Iteração:
2515032
1
50012
1
12
11
,),(x
,)(x
)(
)(
====−−−−====
====++++====
Material sujeito a correções
Página 46 de 55
2ª Iteração:
973,0)125,13(2
1
125,1)25,11(2
1
)2(2
)2(1
====−−−−====
====++++====
x
x
3ª Iteração:
0160,1)9690,03(2
1
9690,0)9375,01(2
1
)3(2
)3(1
====−−−−====
====++++====
x
x
4ª Iteração:
996,0)008,13(2
1
008,1)0160,11(2
1
)4(2
)4(1
====−−−−====
====++++====
x
x
5.4 Estudo da Convergência
Os métodos iterativos convergem sejam quais forem os valores iniciais adotados, desde
que em cada uma das equações a soma dos valores absolutos dos ija seja menor que 1.
),........2,1( para 11
nia
an
ijj ii
ij====<<<<∑∑∑∑
≠≠≠≠====
ou:
),........2,1( para 111
niaan
ijj
ij ====<<<<∑∑∑∑≠≠≠≠====
Exemplo:
22103 2
442 202
9 2 10
321
321
321
====++++++++−−−−
====−−−−++++
====++++++++
xxx
xxx
xxx
Material sujeito a correções
Página 47 de 55
6 Decomposição LU
Inicialmente veremos em que condições podemos decompor uma matriz quadrada A = (aij)
no produto de uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior.
6.1 Teorema LU
Seja A = (aij) um matriz quadrada de ordem n, e Ak o menor principal, constituído das k
primeiras linhas e k primeiras colunas de A assumimos que det (Ak) ≠ 0 para k = 1, 2,..., n
–1. Então existe uma única matriz triangular superior U = (uij) tal que LU = A. Além disso,
det (A) = u11u12...umn.
Prova
Para provar este teorema usaremos a indução sobre n.
1. Se n = 1, temos que: a11 = 1. a11 = 1.u11 unicamente, e assim A = LU, onde L =
1 e U = u11. Além disso, det (A) = u11.
2. Assumimos que o teorema é verdadeiro para n = k – 1, ou seja, que toda matriz de
ordem k – 1 é decomponível no produto LU nas condições do teorema.
3. Devemos mostrar que a decomposição pode ser feita para uma matriz de ordem n
= k, seja, então, A uma matriz de k. Partimos esta matriz em sub-matrizes da
forma: A =
−−−−
kkt
k
as
rA 1
, onde r e s são vetores coluna, ambos com k
– 1 elementos.
Note que a matriz Ak – 1 é de ordem n k – 1 e satisfaz as hipóteses do teorema. Portanto
pela hipótese de indução esta pode ser decomposta na forma 111 −−−−−−−−−−−− ==== kkk ULA
Utilizando as matrizes Lk-1 e Uk-1, formamos:
L =
−−−−
1
01
t
k
m
L
; U =
−−−−
kk
k
u
pU
0
1
Onde m e p são vetores coluna, ambos com k – 1 componentes (mt é a transposta de m).
m, p e ukk são desconhecidos. Assim, impondo que a matriz A seja decomponível em LU
vamos tentar determiná-los.
Material sujeito a correções
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Efetuando o produto LU, segue que:
L =
−−−−
1
01
t
k
m
L
* U =
−−−−
kk
k
u
pU
0
1
⇒
++++====
−−−−
−−−−−−−−−−−−
kkt
kt
kkk
upmUm
pLULLU
1
111
Estudemos agora a equação LU=A, isto é:
====
++++
−−−−
−−−−
−−−−−−−−−−−−
kkt
k
kkt
kt
kkk
as
rA
upmUm
pLUL 1
1
111
Da igualdade acima concluímos que:
11 −−−−−−−− kk UL = 1−−−−kA ;
pLk 1−−−− = r ;
1−−−−ktUm =
ts ;
kkt upm ++++ = kka .
Observe que a primeira equação é válida para a hipótese de indução e, portanto Lk-1 e Uk-1
são univocamente determinadas. Além disso, nem Lk-1 e nem Uk-1 são singulares (ou Ak-1
também seria singular, contrariando a hipótese). Assim de:
pLk 1−−−− = r ⇒⇒⇒⇒ ;11 rLp k −−−−
−−−−====
1−−−−ktUm =
ts ⇒⇒⇒⇒ 1
1−−−−
−−−−==== ktt Usm
kkt upm ++++ = kka ⇒⇒⇒⇒ pmau t
kkkk −−−−====
Portanto p, m e ukk são determinados univocamente.
Finalmente,
Det(A) = det(L).det(U)
Det(A) = 1.det(Uk-1).Ukk Det(A) = u1.u2....uk-1.ukk, Completando a prova.
Material sujeito a correções
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6.2 Esquema prático para a decomposição LU
Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular as
inversões de Lk-1 e Uk-1. Entretanto, na prática podemos calcular L e U simplesmente
aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A.
Seja então,
−−−− 1...
0.:
:1
0...01
0...001
)1(21
.
.3231
21
.
nnnn lll
ll
l
*
nnu
uu
uuu
uuuu
0......0
:.:
...00
...0
...
.
3333
232322
13131211
=
nnnnn
n
n
n
αααααααααααααααα
αααααααααααααααα
αααααααααααααααα
αααααααααααααααα
...
:::::
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das
linhas de U e os elementos das colunas de L. Isto pode ser feito efetuando o produto de L
por U.
1. Produto da 1ª linha de L pelas colunas de U igualadas aos elementos da 1ª coluna
de A
1.u11 + 0.0 + ...+ 0.0 = a11
1.u11 = a11 ⇒⇒⇒⇒ u11 = a11
1.u12 = a12 ⇒⇒⇒⇒ u12 = a12
..... ..... .... .... ....
1. u1n = a1n ⇒⇒⇒⇒ u1n = a1n
Generalizando,
u1j = a1j, j = 1, 2, ...,n
2. Produto de todas as linhas de L (da 2ª até nª), pela 1ª coluna de U igualada com os
elementos da 1ª coluna de A (abaixo da diagonal principal):
11
2121211121
u
alaul ====⇒⇒⇒⇒====
11
3131311131
u
alaul ====⇒⇒⇒⇒====
... ... ... ...
11
111111
u
alaul nnnn ====⇒⇒⇒⇒====
Material sujeito a correções
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Generalizando,
niu
al i
i ,...,2,11
11 ========
3. Produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U (da 2ª até nª), igualadas aos
elementos de 2ª linha de A (da diagonal principal em diante)
22221221 0*0...0*0.1 auul ====++++++++++++++++
1221222222221221 ulauauul −−−−====⇒⇒⇒⇒====++++
1321232323231321 ulauauul −−−−====⇒⇒⇒⇒====++++ ... ... ... ...
nnnnnn ulauauul 1212222121 −−−−====⇒⇒⇒⇒====++++
Generalizando,
njulau jjj ,...3,12122 ====−−−−====
4. O produto de todas as linhas de L (da 3ª até a nª) pela 2ª coluna de U igualando
aos elementos da 2ª coluna de A (dada diagonal principal em diante):
22
123132323222321231
U
UlalaUlUl
−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++
22
124142424222421241
U
UlalaUlUl
−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++
22
121222222121
U
UlalaUlUl nnnnnn
−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++
ni
U
Ulal ii
i ,...,3,22
12222 ====
−−−−====
Se continuarmos calculando a 3ª linha de U, 3ª coluna de L, 4ª linha de U, 4ª coluna de L,
etc..., teremos de fórmulas gerais:
Material sujeito a correções
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>>>>
−−−−
====
≤≤≤≤−−−−====
∑∑∑∑
∑∑∑∑
−−−−
====
−−−−
====
jiu
ula
l
jiulau
jj
i
kkjikij
ij
i
kkjikijij
,
,
1
1
1
1
Aplicação à solução de problemas
Seja o sistema Ax = b de ordem n, onde A satisfaz as condições da decomposição LU.
Então o sistema Ax = b pode ser escrito como:
Ax = b Logo:
LUx = b Fazendo
Ux = y
A solução se reduz a: Ly = b
Resolvendo o sistema anterior, encontramos y e substituindo y e m Ux = y encontramos x.
Material sujeito a correções
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Exemplo de decomposição LU
Dado o sistema:
2 z - 3y
3 2z x
4 z - 3y 2
====
====++++
====++++x
Com esse sistema formamos duas matrizes
A =
−−−−
−−−−
130
201
132
e B =
2
3
4
Temos a fórmula Ax = B
Então fazemos A= L*U, Sendo:
L = Matriz Triangular inferior (lower) de diagonal unitária
U= Matriz Triangular Superior (upper)
L =
1
01
001
3231
21
ll
l e U =
33
2322
131211
00
0
u
uu
uuu
Multiplicando as matrizes L e U e igualando à matriz A, conseguimos obter todas as
incógnitas das matrizes L e U:
L =
1
01
001
3231
21
ll
l * U =
33
2322
131211
00
0
u
uu
uuu
= A=
−−−−
−−−−
130
201
132
Material sujeito a correções
Página 53 de 55
# Primeira linha de L multiplicando a primeira coluna de U: (i≤≤≤≤ j)
(1* u11) + (0 * 0) + (0 * 0) = a11
u11 + 0 +0= 2
u11 =2
#Primeira linha de L multiplicando a segunda coluna de U: (i≤≤≤≤ j)
(1* u12) + (u13 * 0) + (0 * 0) = a12
u12 + 0 +0= 3
u12 =3
#Primeira linha de L multiplicando a terceira coluna de U: (i≤≤≤≤ j)
1* u13) + (u23 * 0) + (u33 * 0) = a13
u13 + 0 +0= -1
u13 = -1
#Segunda linha de L multiplicando a primeira coluna de U: (i >>>> j)
(l21 * u11) + (0 * 0) + (0* 0) = a21
2 l21 = 1
l21 = 1/2
#Segunda linha de L multiplicando a segunda coluna de U: (i≤≤≤≤ j)
(l21 * u12) + (u22 * 1) + (0* 0) = a22
(3 * ½) + u22 = 0
3/2 . u22 = 0
u22 = -3/2
#Segunda linha de L multiplicando a terceira coluna de U: (i≤≤≤≤ j)
(l21 * u13) + (1* u23) + (0 * u33) = a23
(1/2 *(-1)) + (u23 + 0) = 2
(-1/2* u23) + 0 = 2
u23 = 2 + l/2
u23 = 2
14 ++++
u23 = 5/2
Material sujeito a correções
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#Terceira linha de L multiplicando a primeira coluna de U: (i >>>> j)
(l31 * u11) + (l23* 0) + (0 * 0) = a31
(l31* 2) + 0 + 0 = 0
l31 = 0
#Terceira linha de L multiplicando a segunda coluna de U: (i >>>> j)
(l31* u12) + (l32* u22) + 0 * 0 = a32
(0/2 * 3) + l32 - 3/2 + 0 = 3
(-3/2. l32) + 0 = 3
-3.l32 = 3*2
-3l32 = 6
l32= 6/3
l32 = 2
#Terceira linha de L multiplicando a terceira coluna de U: (i≤≤≤≤ j)
(l31* u13) + (l32* u23) + (1 * u33) = a32
(0/2 * 3) + 2 - 5/2 + u33 = -1
0-10/2 u33 = -1
u33 = -1+5
u33 = 4
Matriz Fatorada:
L =
−−−− 120
012/1
001
* U =
−−−−
−−−−
400
2/52/30
132
= A=
−−−−
−−−−
130
201
132
Voltando à fórmula Ax = B, como A = L* U obtemos LUx = B
Agora substituiremos Ux por Y e obtemos a fórmula LY = B, onde
L =
−−−− 120
012/1
001
* Y =
3
2
1
Y
Y
Y
= B =
2
3
4
Fazendo a multiplicação das matrizes (L e Y) e igualando à matriz B obtemos um Sistema Triangular Inferior de diagonal unitária.
Material sujeito a correções
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Resolvendo-o teremos:
Y1 = 4, Y2 = 1 e Y3 = 4
Como Ux = Y e os valores de U e Y já são conhecidos utilizaremos o mesmo
método utilizado para achar Y 1, Y2 , Y3 . Fazendo a multiplicação das matrizes U e X (X1,
X2, X3) e igualando à matriz Y, obtemos um SISTEMA TRIANGULAR SUPERIOR.
Resolvendo-o teremos:
U =
−−−−
−−−−
400
2/52/30
132
* X =
3
2
1
X
X
X
= Y =
3
2
1
Y
Y
Y
Donde:
X1 = 1 X2 = 1 X3 = 1
Tirando a Prova
Conforme a fórmula Ax = B, verificamos se os resultados obtidos X1, X2 e X3 satisfazem as condições da mesma, para isso multiplicaremos as matrizes A e X e igualamos à matriz B. Comparando os valores obtidos do produto AX com B, saberemos se encontramos a solução correta.
A =
−−−−
−−−−
130
201
132
* X =
3
2
1
X
X
X
= B =
2
3
4