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Lista de Exerccios de Calculo IV - Transformada de Laplace

1. CalculeL{f(t)}.

(a) f(t) =

t, 0t a,

L{eat f(t)}=

0

e(sa)t f(t) =F(s a)

ou seja, ao multiplicarmos uma funcao pela funcao exponencial f(t) = eat, o efeito e um

deslocamento na sua transformada de Laplace.

4. A partir do resultado do exerccio anterior, calcule a transformada de Laplace das funcoes:

(a) f(t) =eat senbt

(b) f(t) =eat cos bt

(c) f(t) =eat senhbt

(d) f(t) =eat cosh bt

(e) f(t) =eat tn

5. Calcule a transformada de Laplace para as funcoes abaixo:

(a) f(t) =te10t

(b) f(t) =t3e2t

(c) f(t) =e5t senh2t

(d) f(t) =t((et +e2t)2)

6. Determine a transformada inversa de Laplace.

1

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(a) F(s) = 1

s3 48

s5

(b) F(s) =(s+ 1)3

s4

(c) F(s) = 5

s2 + 49

(d) F(s) =2s

6

s2 + 9

(e) F(s) = s

s2 + 2s 3

(f) F(s) = s

(s 2)(s 3)(s 6)(g) F(s) =

s

(s2 + 4)(s+ 2)

(h) F(s) = 1

s2 6s+ 10

(i) F(s) =

s

s2 + 4s+ 5

(j) F(s) = 2s 1s2(s+ 1)3

7. Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.

(a) y y 6y= 0, y(0) = 1, y(0) =1

(b) y 2y + 4y= 0, y(0) = 2, y(0) = 0

(c) y(4)y = 0y(0) = 1, y(0) = 0, y(0) =1, y(0) = 0

(d) y2y+2y= cos t, y(0) = 1, y(0) = 0

8. As transformadas de Laplace de certas funcoes podem ser encontradas de modo conveniente

pelas suas expansoes em series de Taylor. Use a serie de Taylor para sent,

sent=n=0

(1)nt2n+1(2n+ 1)!

,

e supondo que a transformada de Laplace dessa serie possa ser determinada termo a termo,

verifique que

L{sent}= 1s2 + 1

, s >1

9. Esboce o grafico da funcao dada no intervalo t0.

(a) u1(t) + 2u3(t) 6u4(t) (b) (t3)u2(t)(t2)u3(t) (c) f(t 2)u2(t), ondef(t) = cos t

10. Encontre a transformada de Laplace da funcao dada.

(a) f(t) =

0, t

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11. Encontre a transformada de Laplace inversa da funcao dada.

(a) F(s) = e2s

s2 +s 2(b) F(s) =

2(s 1)e2ss2 2s+ 2

(c) F(s) = 2e2s

s2 4(d) F(s) =

(s 2)ess2 4s+ 3

(e) F(s) = es

s(s+ 1)

12. Esboce o grafico da funcao dada.

(a) f(t) =L1

1

s2 e

s

s2

(b) f(t) =L1

2

s3e

s

s2 +

5e2s

s2

13. Faca o grafico da funcao

f(t) = 1 u1(t) +...+u2n(t) u2n+1(t) = 1 +2n+1k=1

(1)kuk(t)

e calcule a sua transformada de Laplace.

14. Use o resultado que se n= 1, 2, 3,...entao

L{tnf(t)}= (1)n dn

dsnF(s)

em que F(s) =L{f(t)} para calcular a transformada de Laplace da funcao dada.

(a) f(t) =te10t (b) f(t) =t2 senht (c) f(t) =t e3t cos3t

15. Suponha que seja permitido integrar a serie infinita termo a termo, calcule a transformada

de Laplace de

f(t) = 1 +k=1

(1)kuk(t)

16. Suponha que f satisfaca f(t+T) =f(t) para todo t0 e para algum inteiro positivo fixoT. A funcao f e dito periodica com perodo T em 0t

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18. Use o resultado do exerccio anterior para encontrar a transformada de Laplace da funcao

dada.

(a) f(t) =

1, 0t

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Use a Transformada de Laplace para encontrarx, faca um grafico do movimento, identifique

a amplitude, perodo e a frequencia.

Dica item (b): Quando x > 0 e dxdt

>0, P esta a direita de 0 movendo-se para a direita.

Entao, a forca de amortecimento esta para a esquerda (isto e, negativa) e deve ser dada por

8dx

dt

.

Analogamente, quandox < 0 e dxdt

< 0, P esta a esquerda e movendo-se para a esquerda,

logo a forca de amortecimento esta para a direita (isto e, positiva) e deve ser dada por 8dxdt

.

A forca de amortecimento e tambem 8dxdt

para os casos x > 0, dxdt

< 0 e x < 0, dxdt

> 0.

Entao,

(massa)(aceleracao) = forca aplicada

2 d2x

dt2

=

8x

8

dx

dtisto e,

d2x

dt2 +

dx

dt + 4x= 0

As condicoes iniciais sao

x(0) = 10, x(0) = 0.

Use a Transformada de Laplace para encontrar x, faca um grafico de x em relacao a t. O

movimento e oscilatorio.

20. Uma partcula de massa m se move ao longo do eixo x e e atrada na direcao da origem 0

com uma forca numericamente igual a kx, k > 0. Uma forca de amortecimento dada por

dxdt

, >0, tambem atua. Discuta o movimento, tratando todos os casos, supondo que

x(0) =x0, x(0) =v0.

A equacao do movimento e

d

2

xdt + 2 dxdt +2x= 0,

onde = /2m, 2 =k/m.

Aplicacoes a circuitos eletricos

21. Um indutor de 2 henrys, um resistor de 16 ohms e um capacitor de 0 , 02 farads sao ligados

em serie com uma f.e.m de E volts. Emt= 0, a carga do capacitor e a corrente no circuito

sao zero. Encontre a carga e a corrente num tempo t >0 qualquer se

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(a) E= 300(volts),

(b) E= 100sen(3t)(volts).

Seja Q e I a carga e a corrente instantaneas, respectivamente, no tempo t. Pelas leis de

Kirchhoff, temos

2dI

dt + 16I+

Q

0, 02=E

ou como I=dQ/dt,

2d2Q

dt2 + 16

dQ

dt + 50Q= E

com as condicoes iniciais Q(0) = 0, I(0) =Q(0) = 0.

22. Encontre a solucao do problema de valor inicial.

(a) y +y = f(t), y(0) = 0, y(0) = 1 f(t) =

1 0t < /20, /2t

(b) y + 2y + 2y=h(t), y(0) = 0, y(0) = 1 h(t) = 1 t

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25. A equacao f(t) =g(t) +

t0

f(x)h(t x)dx e chamada de equacao integral de Volterra paraf(t), onde as funcoesg(t) e h(t) sao conhecidas. Use a transformada de Laplace para resolver

a equacao integral dada.

(a) f(t) + t

0

(t

x)f(x)dx= 1 (b) f(t) =tet + t

0

xf(t

x)dx

Aplicacoes a Equacoes Diferenciais Parciais

Consideraremos funcoes incognitas de duas variaveis independentesu(x, t), onde a variavel

t representa o tempo t0. Definimos a transformada de Laplace de u(x, t) em relacao a tcomo

L{u(x, t)}=

0

estu(x, t)dt= U(x, s),

onde x e tratado como um parametro.

Por exemplo a transformada da derivada parcial

L

u

t

= sU(x, s) u(x, 0),

de modo similar,

L

2u

t2

= s2U(x, s) su(x, 0) ut(x, 0),

L

2ux2

= 2U

x2,

26. Resolva o problema de valor de contorno

2u

x2 =

2u

t2, 0< x 0

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0

u(x, 0) = 0, u

t|t=0= 3senx+ 4sen3x.

27. O deslocamento de uma corda elastica semi-infinita e determinado a partir de

a22u

x2 =

2u

t2, x >0, t >0

u(0, t) =f(t), limx

u(x, t) = 0, t >0

u(x, 0) = 0, u

t|t=0= 0.

Determine u(x, t)

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28. Resolva o problema de valor de contorno no problema anterior quando

f(t) =

sent, 0t10, t >1

RESPOSTAS

1. (a) 1s2 1s2 e

s

(b) 1 +es

s2 + 1

2. (a) 48

s5

(b) 4

s2 10

s

(c) 2

s3+

6

s2 3

s

(d) 6s4

+ 6s3

+ 3s2

+1s

(e) 1

s+

2

s 2+ 1

s 4(f)

2

s(s2 + 4)

3.

4. (a) F(s) = b

(s a)2

+b2

(b) F(s) = s a

(s a)2 +b2

(c) F(s) = b

(s a)2 b2

(d) F(s) = s a

(s a)2 b2(e) F(s) =

n

(s a)n+1

5. (a) F(s) = 1(s 10)2

(b) F(s) = 6

(s+ 2)4

(c) F(s) = 2(s 5)2 22

(d) F(s) = 1

(s 2)2 + 2

(s 3)2 + 1

(s 4)2

6. (a) f(t) =t 2t4

(b) f(t) = 1 + 3t+3

2t2 +

1

6t3

(c) f(t) =5

7

sen7t

(d) f(t) = 2(cos 3t sen3t)

(e) f(t) =3

4e3t +

1

4et

(f) f(t) =1

2

e2t

e3t +

1

2

e6t

8

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(g) f(t) =14

e2t +1

4cos 2t 1

4 sen2t

(h) f(t) =e3tsent

(i) f(t) =e2t cos t 2e2t sent

(j) f(t) = 5 t 5et 4tet 32

t2et

7. (a) y(t) =1

5(e3t + 4e2t)

(b) y(t) = 2et cos

3t 23

etsen

3t

(c) y(t) = cosh t

(d) y(t) = 1

5(cos t 2sent + 4et cos t2etsent)

8.

9. (a)

(b)

(c)

10. (a) F(s) =2e2s

s3

(b) F(s) =es

s2 e

2s

s2 (1 +s)

(c) F(s) =1

s(es + 2e3s 6e4s)

(d) F(s) =s2[(1 s)e2s (1 +s)e3s]

(e) F(s) = e2s

1 +s

11. (a) f(t) =

1

3u2(t)[e

t2

e2(t2)

](b) f(t) = 2u2(t)e

t2 cos(t 2)(c) f(t) =u2(t) senh2(t 2)

(d) f(t) =u1(t)e2(t1) cosh(t

1)

(e) f(t) =u1(t)(1 e1t)

12. (a) (b)

9

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(c) y(t) =1

6(2sent sen2t) 1

6u(t)(2sent+ sen2t)

(d) y(t) =et e2t +u2(t)[ 12 e(t2) +1

2e2(t2)]

23. (a) y= u2(t)e3(t2)

(b) y= u2

(t)sen(t

2) + sen(t)

(c) y= u2(t)e2(t2)sen(t)

24. (a) s+ 1

s[(s+ 1)2 + 1](b)

s

(s2 + 1)2 (c) 6

s5

25. (a) f(t) = cos t (b) f(t) =18

et +1

8et +

3

4tet +

1

4t2et

26. u(x, t) = 3sen(x)

sen(t) + 4

sen(x)

3 sen(3t)

27. u(x, t) =f(t x/a)u(t x/a)

28. u(x, t) =

0 x < a(t 1) ou x > atsen

t xa

, a(t 1)x < at

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