18/11/2003. 26/10/2005 00:22:49h 24/4/2006, 18:46:21
Produto de Matrizes_____________________________________________________ 1 Exercício: _________________________________________________________________ 1
Matriz Involutiva _______________________________________________________ 1 Exercício__________________________________________________________________ 1
Matriz Simétrica _______________________________________________________ 2 Exercício__________________________________________________________________ 2
Matriz anti-simétrica: ___________________________________________________ 2 Exercício__________________________________________________________________ 2
Determinante de uma matriz de ordem 2 _____________________________________ 2 Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus_____________________ 3
Definição _________________________________________________________________ 3 Exercício: _________________________________________________________________ 3
Respostas: ____________________________________________________________ 4 Produto de Matrizes Exercício:
1. Seja a matriz
=
114131211
A , determine
a) a matriz polinomial, IAA .5.3.2 2 ++ .
b) A matriz inversa A-1 usando a fórmula IAAA .173
175
171 21 ++−=− .
Matriz Involutiva Uma matriz A quadrada é involutiva quando IA =2 Exercício
2. Uma matriz diagonal A, de ordem 2, é involutiva. Determine-a. Sugestão: faça
=
ba
A0
0.
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Matriz Simétrica — é uma matriz quadrada [ ]
nxnijaA = , diz-se simétrica quando jiij aa = para todo i, ni ≤≤1 , para todo
j, nj ≤≤1 .
Obs: Se A é simétrica então tAA = . Exercício
3. Determine o número b∈R, para que a matriz
=
bbb
A 2
23, seja simétrica.
4. Seja a matriz [ ]44xijaA = , para a qual
≤<≤+=
==
41,
0
jisejiaaa
a
ij
jiij
ii
. Determine A e At. A é
simétrica?
5. Se ( )
++
αααααα33
2
cossen4coscossen2sen
=
ca
b21
, determine os números a, b e c.
Matriz anti-simétrica: — é uma matriz quadrada [ ]
nxnijaA = , diz-se anti-simétrica quando jiij aa −= para todo i, ni ≤≤1 ,
para todo j, nj ≤≤1 .
Obs: Se A é anti-simétrica então tAA −= ; os elementos da diagonal principal são todos nulos. Exercício
6. A matriz
−−−=
00
0
cbcaba
A é anti-simétrica.
7. Determine os números reais a, b, c, x, y e z para que a matriz
−−
−=
czybx
aA
4421
32 seja anti-
simétrica. Determinante de uma matriz de ordem 2 A toda matriz quadrada está associado um número real chamado determinante. Exemplos: Calcular os determinantes das matrizes:
a)
−=
7624
A o determinante dessa matriz é: detA= 4.7 – 6(-2) = 28 + 12 =40
b)
=
2435
B o determinante dessa matriz é: detB= 5.2 – 3. 4 = 10 – 12 = -2
c) Calcule o polinômio característico det(A – x.I)=0, onde Rx∈ ;
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Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus 8. Calcular os determinantes das matrizes pela regra de Sarrus:
a)
123214132
−
− b)
010001112 −
c)
231210032
9. Calcule os determinantes a)
( )
1ln1384
sec4
8log
2
021
2
esen
tg
−
−
π
ππ
b)
01
2
322
3cos
101log
112
−
−
−
π
πsen
Matriz Inversa Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma inversa de A, se e somente se: nIABBA == .. . Propriedade: A inversa de uma matriz A existe se o 0det ≠A . Exercício:
10. Seja a matriz
=
0321
A , pede-se:
a) verificar se existe a inversa A-1 da matriz A, 0det ≠A .
b) A inversa da A-1 usando a definição. Resolução:
=
→=−
1001
.0321
. 1
dcba
IAA
11. Seja a matriz
=
0011
A . Determine A-1, se existir.
12. Encontrar a matriz inversa B-1 da matriz
−=
0312
B
a) usando a definição.
b) usando o “artifício”.
c) usando escalonamento
d) a partir da equação B2=2.B-3.I, determine a matriz inversa B-1, (obs: 2=2+0 e
3=det B).
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Resolução:
B2=2.B-3.I à
13. Encontre a matriz inversa C-1 da matriz
−=
102210101
C , usando o escalonamento.
Respostas:
1)
281930153619161528
2)
1001
,
−1001
,
−1001
,
−
−10
01
3) 0 ou 2
4)
=
0765705465035430
A , A é uma matriz
simétrica.
5) 21
=a , b=23
e c=8
63
6) Quaisquer que sejam a, b e c pertenceste a R.
7) a=b=c=0; x=-1 e y=0; z=3
8) a) -47 b) 1 c)-2 9) a) -8 b) 1/2
10)
− 61
21
310
11) Não existe, pois a matriz é singular.
12)
−=−
3/213/101B
13)
100102010210001101
− à
−−−
−=−
102214
1011B