18/11/2003. 26/10/2005 00:22:49h 24/4/2006, 18:46:21

Produto de Matrizes_____________________________________________________ 1 Exercício: _________________________________________________________________ 1

Matriz Involutiva _______________________________________________________ 1 Exercício__________________________________________________________________ 1

Matriz Simétrica _______________________________________________________ 2 Exercício__________________________________________________________________ 2

Matriz anti-simétrica: ___________________________________________________ 2 Exercício__________________________________________________________________ 2

Determinante de uma matriz de ordem 2 _____________________________________ 2 Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus_____________________ 3

Definição _________________________________________________________________ 3 Exercício: _________________________________________________________________ 3

Respostas: ____________________________________________________________ 4 Produto de Matrizes Exercício:

1. Seja a matriz

=

114131211

A , determine

a) a matriz polinomial, IAA .5.3.2 2 ++ .

b) A matriz inversa A-1 usando a fórmula IAAA .173

175

171 21 ++−=− .

Matriz Involutiva Uma matriz A quadrada é involutiva quando IA =2 Exercício

2. Uma matriz diagonal A, de ordem 2, é involutiva. Determine-a. Sugestão: faça

=

ba

A0

0.

Arquivo: aula2matriz.doc Page 2/4

Matriz Simétrica — é uma matriz quadrada [ ]

nxnijaA = , diz-se simétrica quando jiij aa = para todo i, ni ≤≤1 , para todo

j, nj ≤≤1 .

Obs: Se A é simétrica então tAA = . Exercício

3. Determine o número b∈R, para que a matriz

=

bbb

A 2

23, seja simétrica.

4. Seja a matriz [ ]44xijaA = , para a qual

≤<≤+=

==

41,

0

jisejiaaa

a

ij

jiij

ii

. Determine A e At. A é

simétrica?

5. Se ( )

++

αααααα33

2

cossen4coscossen2sen

=

ca

b21

, determine os números a, b e c.

Matriz anti-simétrica: — é uma matriz quadrada [ ]

nxnijaA = , diz-se anti-simétrica quando jiij aa −= para todo i, ni ≤≤1 ,

para todo j, nj ≤≤1 .

Obs: Se A é anti-simétrica então tAA −= ; os elementos da diagonal principal são todos nulos. Exercício

6. A matriz

−−−=

00

0

cbcaba

A é anti-simétrica.

7. Determine os números reais a, b, c, x, y e z para que a matriz

−−

−=

czybx

aA

4421

32 seja anti-

simétrica. Determinante de uma matriz de ordem 2 A toda matriz quadrada está associado um número real chamado determinante. Exemplos: Calcular os determinantes das matrizes:

a)

−=

7624

A o determinante dessa matriz é: detA= 4.7 – 6(-2) = 28 + 12 =40

b)

=

2435

B o determinante dessa matriz é: detB= 5.2 – 3. 4 = 10 – 12 = -2

c) Calcule o polinômio característico det(A – x.I)=0, onde Rx∈ ;

Arquivo: aula2matriz.doc Page 3/4

Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus 8. Calcular os determinantes das matrizes pela regra de Sarrus:

a)

123214132

−

− b)

010001112 −

c)

231210032

9. Calcule os determinantes a)

( )

1ln1384

sec4

8log

2

021

2

esen

tg

−

−

π

ππ

b)

01

2

322

3cos

101log

112

−

−

−

π

πsen

Matriz Inversa Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma inversa de A, se e somente se: nIABBA == .. . Propriedade: A inversa de uma matriz A existe se o 0det ≠A . Exercício:

10. Seja a matriz

=

0321

A , pede-se:

a) verificar se existe a inversa A-1 da matriz A, 0det ≠A .

b) A inversa da A-1 usando a definição. Resolução:

=

→=−

1001

.0321

. 1

dcba

IAA

11. Seja a matriz

=

0011

A . Determine A-1, se existir.

12. Encontrar a matriz inversa B-1 da matriz

−=

0312

B

a) usando a definição.

b) usando o “artifício”.

c) usando escalonamento

d) a partir da equação B2=2.B-3.I, determine a matriz inversa B-1, (obs: 2=2+0 e

3=det B).

Arquivo: aula2matriz.doc Page 4/4

Resolução:

B2=2.B-3.I à

13. Encontre a matriz inversa C-1 da matriz

−=

102210101

C , usando o escalonamento.

Respostas:

1)

281930153619161528

2)

1001

,

−1001

,

−1001

,

−

−10

01

3) 0 ou 2

4)

=

0765705465035430

A , A é uma matriz

simétrica.

5) 21

=a , b=23

e c=8

63

6) Quaisquer que sejam a, b e c pertenceste a R.

7) a=b=c=0; x=-1 e y=0; z=3

8) a) -47 b) 1 c)-2 9) a) -8 b) 1/2

10)

− 61

21

310

11) Não existe, pois a matriz é singular.

12)

−=−

3/213/101B

13)

100102010210001101

− à

−−−

−=−

102214

1011B