Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões

Origami Matemático

Augusto Ícaro F. da Cunha

Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. SimõesTabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970

Professora: Anayara Gomes dos Santosicaro.morpheus@gmail.com

30 de Março 2012

Origami Matemático Projetos I

Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões

Sumário

MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos

Origami Matemático Projetos I

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Sumário

MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos

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Sumário

MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos

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Sumário

MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos

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Motivação

Dar uma breve explanação sobre OrigamiMatemático para a turma de Projetos I

Mostrar uma das áreas de atuação na grandeárea da Matemática Aplicada

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História da Origami

Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional

Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)

Origami Matemático Projetos I

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História da Origami

Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional

Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)

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História da Origami

Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional

Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)

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História da Origami

Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional

Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)

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História da Origami

Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional

Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)

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História da Origami

Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional

Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)

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Construções Matemáticas

Mas qual a relação de origami com matemática?

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Construções Matemáticas

O Origami é dividido em 2 categorias:

MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)

Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros

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Construções Matemáticas

O Origami é dividido em 2 categorias:

MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)

Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros

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Construções Matemáticas

O Origami é dividido em 2 categorias:

MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)

Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros

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Construções Matemáticas

O Origami é dividido em 2 categorias:

MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)

Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros

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Construções Matemáticas

O Origami é dividido em 2 categorias:

MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)

Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros

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Construções Matemáticas

O Origami é dividido em 2 categorias:

MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)

Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros

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Construções Matemáticas

O Origami é dividido em 2 categorias:

MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)

Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros

Origami Matemático Projetos I

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Construções Matemáticas

O Origami é dividido em 2 categorias:

MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)

Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros

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Construções Matemáticas - Axiomas

Dados 2 pontos P1 eP2, podemos dobraruma linha que os uneDados 2 pontos P1 eP2, podemos dobrarP1 em P2

Dadas 2 linhas l1 el2, podemos dobrar l1em l2

p1

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Construções Matemáticas - Axiomas

Dados 2 pontos P1 eP2, podemos dobraruma linha que os uneDados 2 pontos P1 eP2, podemos dobrarP1 em P2

Dadas 2 linhas l1 el2, podemos dobrar l1em l2

p1

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Construções Matemáticas - Axiomas

Dados 2 pontos P1 eP2, podemos dobraruma linha que os uneDados 2 pontos P1 eP2, podemos dobrarP1 em P2

Dadas 2 linhas l1 el2, podemos dobrar l1em l2

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Construções Matemáticas - Axiomas

Dado um ponto P1 e umalinha l1, podemos dobraruma linha perpendicular a l1que passa por P1

Dados 2 pontos P1 e P2uma linha l1, podemosdobrar P1 em l1 de tal formaque a nova dobra passe porP2

Dados 2 pontos P1 e P2 e 2linhas l1 e l2, podemosachar a linha que projeta P1em l1 e projeta P2 em l2

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Construções Matemáticas - Axiomas

Dado um ponto P1 e umalinha l1, podemos dobraruma linha perpendicular a l1que passa por P1

Dados 2 pontos P1 e P2uma linha l1, podemosdobrar P1 em l1 de tal formaque a nova dobra passe porP2

Dados 2 pontos P1 e P2 e 2linhas l1 e l2, podemosachar a linha que projeta P1em l1 e projeta P2 em l2

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Construções Matemáticas - Axiomas

Dado um ponto P1 e umalinha l1, podemos dobraruma linha perpendicular a l1que passa por P1

Dados 2 pontos P1 e P2uma linha l1, podemosdobrar P1 em l1 de tal formaque a nova dobra passe porP2

Dados 2 pontos P1 e P2 e 2linhas l1 e l2, podemosachar a linha que projeta P1em l1 e projeta P2 em l2

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Construções Matemáticas

Construção de retângulo numpedaço de papel qualquerConstrução de quadradoConstrução de TriânguloEquilátero

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Construções Matemáticas

Construção de retângulo numpedaço de papel qualquerConstrução de quadradoConstrução de TriânguloEquilátero

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Construções Matemáticas

Construção de retângulo numpedaço de papel qualquerConstrução de quadradoConstrução de TriânguloEquilátero

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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero

Mas como contruir um triângulo equilátero a partir deum quadrado?

A B

C

O

B' A'

C'

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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero

Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B

C

O

B' A'

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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero

Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B

C

O

B' A'

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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero

Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B

C

O

B' A'

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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero

Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B

C

O

B' A'

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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero

Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′

Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′

são equiláterosA B

C

O

B' A'

C'

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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero

Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′

Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′

são equiláterosA B

C

O

B' A'

C'

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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero

Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′

Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′

são equiláterosA B

C

O

B' A'

C'

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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero

Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′

Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′

são equiláterosA B

C

O

B' A'

C'

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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero

Mas como fazer a trissecção de um ângulo agudo noorigami?

Q

C

P

A'

BA

P'

Q'

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Trissecção de Ãngulos

Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP

D

A

B

D

C

A

B

D

C

E F

A

B

D

C

E F

G H

A

B

D

C

E F

G H

P

P

P

P

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Trissecção de Ãngulos

Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP

D

A

B

D

C

A

B

D

C

E F

A

B

D

C

E F

G H

A

B

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C

E F

G H

P

P

P

P

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Trissecção de Ãngulos

Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP

D

A

B

D

C

A

B

D

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E F

A

B

D

C

E F

G H

A

B

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C

E F

G H

P

P

P

P

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Trissecção de Ãngulos

Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP

D

A

B

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D

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P

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P

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Trissecção de Ãngulos

Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado

A

B

D

C

EF

G

H

A

B

D

C

EF

G

H

A

B

D

C

E F

G H

JP

P

P

A

B

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G H

J

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D/3

D

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/3

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Trissecção de Ãngulos

Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado

A

B

D

C

EF

G

H

A

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D

C

EF

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A

B

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JP

P

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A

B

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G H

J

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Trissecção de Ãngulos

Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado

A

B

D

C

EF

G

H

A

B

D

C

EF

G

H

A

B

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C

E F

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P

P

A

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Trissecção de Ãngulos

Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado

A

B

D

C

EF

G

H

A

B

D

C

EF

G

H

A

B

D

C

E F

G H

JP

P

P

A

B

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C

E F

G H

J

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Agradecimentos

Grato Pela Atenção!

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Contatos

Como me contactar?Augusto Ícaro - icaro.morpheus@gmail.com

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