11
Mecânica Computacional
Engenharia Mecânica
José Carlos F Teixeira
2013
Funcionamento da disciplina22
* José Carlos F Teixeira (T)
[email protected]; 253 510 236
Docente; contacto (parte #2)
Funcionamento da disciplina33
Calendário (parte #2)
Semana 2ª Feira 3ª Feira 4ª Feira 5ª Feira 6ª Feira Sábado1 18/02 a 23/022 25/03 a 02/033 04/03 a 09/034 11/03 a 16/035 18/03 a 23/03
25/03 a 30/036 01/04 a 06/047 08/04 a 13/048 15/04 a 20/049 22/04 a 27/05 T 25 Abril
10 29/04 a 04/05 T 1 Maio11 06/05 a 11/05 T12 13/05 a 18/0513 20/05 a 25/05 T14 27/05 a 01/06 T15 03/06 a 08/06 T16 10/06 a 15/06 T Trabalho17 17/06 a 22/06 Teste18 24/06 a 29/0619 01/07 a 06/0720 08/07 a 13/07
Férias e feriadosExames - RecursoLançamento das classificaçõesSemana de Enterro da Gata
CALENDÁRIO PARA MECÂNICA COMPUTACIONAL
Calendário Escolar Ano Lectivo 2012/2013
PÁSCOA
* Bibliografia:
# Ferziger, J. H. e Peric, M. (1996) “Computational Methods for Fluid Dynamics”, Springer
# Patankar, S. V. (1980), “Numerical heat transfer and fluid flow”, Mc Graw Hill
# Teixeira, JC; Teixeira, SFC (2003), “Métodos Numéricos em Transferência de Calor”, Universidade do Minho
# Teixeira, SFC (1994), “Computação em Mecânica dos Fluidos”, Universidade do Minho
# Teixeira, JC (1996), “Equações de Navier-Stokes”, Universidade do Minho
44
Suporte Bibliográfico
Funcionamento da disciplina
55
Avaliação
* Trabalho computacional (grupos de 4 elementos) (60%)
* Teste final (40%)
* Teste com classificação mínima: 7 valores
Funcionamento da disciplina
* Motivação
* Programação: linguagem FORTRAN
* Equações fundamentais
* Discretização no espaço
* Discretização no tempo
* Solução de matrizes
66 Programa da disciplina
77
Porquê simular a Transferência de Calor?
– A Transferência de Calor surge nas mais variadas situações:– Estações de produção de energia– Nas actividades relacionadas com a regulação térmica do corpo– No climatização dos edifícios– Em inúmeros processos de transformação alimentar (congelação,
cozedura, ...)– Em inúmeros processos industriais (fundição, soldadura,...)– No desempenho de equipamentos eléctricos, por vezes limitados
pela capacidade de remoção de calor (ex., processadores de pc)
O interesse em simular a TC, surge assim como resposta a uma necessidade de compreensão e previsão, para lidar com este fenómeno de forma mais efectiva.
88
Porquê simular a Transferência de Calor?
– O domínio do método de previsão da Transferência de Calor, permite:
– Optimizar o desenho de equipamentos– Escolher a melhor opção entre um conjunto de alternativas– Antever problemas de segurança na operação– ...
A capacidade de previsão, em regra, oferece benefícios económicos e vantagens para o bem-estar geral (conforto, segurança,...).
99
Métodos de Previsão
– Previsão Experimental– Previsão Teórica
Sempre que possível, é recomendável seguir ambas e comparar os resultados
Previsão Experimental– Informação mais precisa– Frequentemente é proibitiva em termos de custos– Muitas vezes apenas possível em modelos à escala (além das
limitações inerentes, requer extrapolação dos resultados...)– Medições nem sempre possíveis– Todos os dados experimentais têm um erro associado
1010
Métodos de Previsão
Previsão TeóricaVantagens:
– Baixo custo– Rapidez na obtenção de resultados– Dados relevantes em todo o domínio (numa situação experimental
existem locais inacessíveis e interferências inevitáveis dos equipamento de medida com o meio)
– Capacidade de simular condições realistas (não há necessidade de recorrer a modelos à escala, nem perigo em simular substâncias tóxicas ou corrosivas)
– Capacidade de simular situações ideais (simetria, fronteiras adiabáticas, massa volúmica constante,...)
1111
Métodos de Previsão
Previsão Teórica (cont.)Desvantagens:
– Não esquecer que a utilidade dos resultados duma simulação depende da validade do modelo matemático
– Os problemas com a simulação podem ser de dois tipos:
Grupo A - Situações em que é viável obter uma boa representação matemática do fenómeno em análise (ex., transferência de calor; escoamento laminar,...)
Grupo B - Situações para as quais não existe um modelo matemático adequado (escoamento turbulento; escoamentos bifásicos; combustão turbulenta,...)
1212
Métodos de Previsão
Previsão Teórica (cont.)
Desvantagens da Previsão Teórica – Grupo A– Normalmente não apresenta inconvenientes, mas...
– Por ex., em problemas com: geometrias complexas, propriedades dos fluidos variáveis e com grande sensibilidade, a simulação pode-se revelar complexa e cara.
– Qdo o modelo matemático admite mais do que uma solução, pode ser complicado determinar qual delas é a correcta.
1313
Derivada substantiva
ex: variação da temperatura durante uma viagem
C f x y z t , , ,
dtdz
zC
dtdy
yC
dtdx
xC
tC
dtdC
zCu
yCu
xCu
tC
DtDC
zyx
CutC
DtDC
1414
Conservação da massa
u u u ux y z , ,
massa desaída
de taxa
massa deentrada
de taxa
massa de acumulação
de taxa
1515
Conservação da massa
Volume de controlo
acumulação
fluxo
t
dVt
x y zV . .
u x zy y y . .
u x zy y. .
u u x zy y y y y
. .
1616
Conservação da massa
Volume de controlo
em regime estacionário
t x
uy
uz
ux y z
t
u .
x
iy
jz
k
DDt
u .
ou:
. ,uux
uy
uz
x y z
0
0
1717
Conservação do ‘momentum’
Lei de Newton (dinâmica)
acumulação
F ma d
dtm u .
sistema noforças
das soma
momentum desaída
de taxa
momentum deentrada
de taxa
momentum deacumulação
de taxa
At
u dVc V
A x y zt
u i x y zt
u j x y zt
u kc x y z
1818
Conservação do ‘momentum’
tensor de tensões
alterações de ‘momentum’próprio movimento do fluido através das faces do volume de controlo (convecção);
atrito viscoso entre o elemento e o fluido circundante (transporte molecular)
1919
Conservação do ‘momentum’ (convecção)
taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces xx
taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces yy
taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces zz
u u y zx x x. . u u y zx x x x
. .
u u x zy x y. . u u x zy x y y
. .
u u x yz x z. . u u x yz x z z
. .
y z u u u u x z u u u u
x y u u u u
x x x x x x x y x y y xy y
z x z z x z z
. . . .
. .
2020
Conservação do ‘momentum’ (atrito)
taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces xx
taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces yy
taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces zz
xx xy z. . xx x x
y z
. .
xy yx z. . xy y y
x z
. .
xz zx y. . xz z z
x y
. .
y z x z x yxx x xx x x xy y xy y y xz z xz z z
2121
Conservação do ‘momentum’ (outras forças)
Forças de pressão e gravíticas
finalmente
y z p p g x y zx x x x
tu
xu u
yu u
zu u
x y zpx
g
x x x y x z x
xx xy xzx
DuDt
px x y z
gx xx xy xzx
2222
Conservação do ‘momentum’
Equações constitutivas
xxxu
xU 2 2
3
yyyu
yU 2 2
3
zzzu
zU 2 2
3
xy yx
x yuy
ux
xz zx
x zuz
ux
zy yz
z yuy
uz
2323
Conservação do ‘momentum’
xzxyxxx g
xu
zu
zxu
yu
yu
xu
xxp
DtDu
.322
DuDt
px
ux
uy
uz
gx x x xx
2
2
2
2
2
2
DuDt
py
ux
uy
uz
gy y y yy
2
2
2
2
2
2
DuDt
pz
ux
uy
uz
gz z z zz
2
2
2
2
2
2
2424
a 2 dimensões:
0
yu
xu yx
xP
dyuuu
ydxuuu
xx
yxx
xx
yP
dyu
uuydx
uuu
xy
yyy
yx
2525
Equação da energia
iz
zzz
yzz
xzy
zyy
yy
yxy
xzx
xyx
xxx
Szu
yu
xu
zu
yu
xu
zu
yu
xuTkup
DtDi
grad
iz
zzz
yzz
xzy
zyy
yy
yxy
xzx
xyx
xxx
Szu
yu
xu
zu
yu
xu
zu
yu
xuTk
DtDTc
grad
iSTkupDtDi
grad
2222222
2 uyu
zu
xu
zu
xu
yu
zu
yu
xu zyzxyxzyx
2626
Equações de conservação (eq Navier-Stokes)
Massa
Momentum x
Momentum y
Energia
0 u
t
xxxx Su
xpuu
tu
grad
yyyy Su
ypuu
tu
grad
iSTkupuiti
grad
2727
Equações de conservação (Simplificações)
Escoamento incompressível (ρ=cte)
Momentum xx
0
0ˆˆˆˆˆˆ
0
zu
yu
xu
kujuiukz
jy
ix
u
zyx
zyx
xxxx Su
xpuu
tu
grad
xxxx Su
xpuu
tu
grad1
2828
Equações de conservação (Simplificações)
Escoamento invíscido (Euler)
Momentum xx
xxx S
xpuu
tu
0 u
t
2929
Equações de conservação (Simplificações)
creeping flow (Stokes)(Re<<1)
Momentum xx
ex: meios porosos, micro fluidos
0 u
t
0grad
xx Suxp
3030
Equações de conservação (Simplificações)
Aproximação de Boussinesq
, g cte
gravidade em zz
iiii Su
ipuu
tu
grad
rggradgS ii.
zgz
S zz
zpzgp
z z
~
0iS
3131
Equações de conservação (Simplificações)
Aproximação de Boussinesq (cont)
se não constante (g cte)
Tratar a parte variável apenas no termo de fonte (massa)
iii ggg 00
000 TTgg ii
3232
Equações de conservação (Simplificações)
Camada limite
* Termo difusivo na direcção principal desprezável* ux >> uy* dp/dy << dp/dx
a 2D:
2
2
yu
xp
yuu
xuu
tu xxyxxx
3333
Equações de conservação
Formulação diferencial
Formulação integral
Teorema de Gauss
Sut
grad
CVCVCVCV
dVSdVdVudVt grad
ACV
dAdV ana
3434
Equações de conservação
(significado)
Em estado estacionário:
CVAACV
dVSdAdAudVt grad nn
CVAA
dVSdAdAu grad nn
3535
Classificação dos problemas
* Em equilíbrio* Evolutivos (no tempo)
EQUILÍBRIO
Φ=T
02
2
2
2
yx
3636
Classificação dos problemas
EVOLUTIVOS
Φ=T
2
2
xt
3737
Classificação dos problemas (resumo)
Tipo problema Equação Exemplo Condições Equilíbrio Elíptica 0grad Fronteira
Evolutivos com dissipação Parabólica grad
t Fronteira e
iniciais Evolutivos sem
dissipação Hiperbólica grad22
2
c
tFronteira e
iniciais
Condições de fronteira
3838
Diferenças Finitas
1D
2D
3939
Diferenças Finitas
derivada
x
xxxx
ii
xxi
0
lim
4040
Diferenças Finitas
Séries de Taylor
FDS:
Hxn
xxx
xx
xxx
xxxxx
in
nni
i
i
i
i
iii
!.....
!3
!2
3
33
2
22
Hx
xx
xxx
xxxx
x
i
ii
i
ii
ii
ii
i
3
321
2
21
1
1
6
2
4141
Diferenças Finitas
BDS:
CDS:
Hx
xx
xxx
xxxx
x
i
ii
i
ii
ii
ii
i
3
321
2
21
1
1
6
2
H
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxx
x
iii
iiii
iii
iiii
ii
ii
i
3
3
11
31
31
2
2
11
21
21
11
11
6
2
4242
Diferenças Finitas
FDS:
BDS:
CDS:
erro:
1
1
ii
ii
i xxxx
x
11
11
ii
ii
i xxxx
x
ii
ii
i xxxx
x
1
1
2x
4343
Diferenças Finitas
Aproximação polinomial:
outros:
x
xxxxx
iiii
i
6632 21
11
221
211
21
iiii
iiiiiii
i xxxxxxxxxxx
x
4444
Diferenças Finitas
Erro por não uniformidade da malha:
se:
FDS; BDS
iei xrx 1
H
xxxxx
xxxxx
iii
ii
iii
iiT
3
3
1
331
2
2
1
221
62
i
ieT x
xr
2
2
21
i
iT x
x
2
2
2
4545
Diferenças Finitas
Segunda derivada
FDS
BDS
ii
ii
i xxxx
x
1
12
2
1
21
1111112
2
iiii
iiiiiiiii
i xxxxxxxxxx
x
4646
Diferenças Finitas
Segunda derivada
CDS 11
21
21
2
2
21
ii
ii
i xx
xx
x
1111
1111112
2
21
iiiiii
iiiiiiiii
i xxxxxx
xxxxxxx
211
2
2 2xx
iii
i
4747
Diferenças Finitas
Série de Taylor (erro malha não uniforme)
derivadas cruzadas
Hx
xxxx
xxxxxx
xxxxxxx
i
iiii
iiiiii
iiiiiiiii
i
3
311
1111
1111112
2
3
21
yxyx2
4848
Volumes finitos; difusão
Formulação diferencial
Formulação integral
Aplicando o Teorema de Gauss:
Sut
grad
CVCVCVCV
dVSdVdVudVt grad
CVAACV
dVSdAdAudVt grad nn
4949
Volumes finitos; difusão
Só difusão:
a 1D:
0grad CVA
dVSdA n
0ˆˆ
dVSdAix
iA
0
dVSx
Ax
Awe
0
dVSdAxk Ak
5050
Volumes finitos; difusão
0
dVSx
Ax
Awe
5151
Volumes finitos; difusão
PE
PEee
e xA
xA
WP
WPww
w xA
xA
5252
Volumes finitos; difusão
PPu SSdVS
0
PPu
WP
WPww
PE
PEee SS
xA
xA
uEePE
eWw
WP
wPPw
WP
we
PE
e SAx
Ax
SAx
Ax
Agrupando:
onde:
5353
Volumes finitos; difusão
uEEWWPP Saaa
Wa Ea Pa
wWP
w Ax e
PE
e Ax PPW Saa
Exemplo:
5454
Volumes finitos; difusão
KW/m1000m01.0
2
2
kA
Linear
Expandindo em séries de Taylor
5555
Interpolação
ePEee 1
PE
PEee
e xA
xA
PE
Pee xx
xx
.....2
1 2
2
x
xxxx eEPeePEee
Up-wind
Expandindo em séries de Taylor
5656
Interpolação
0. se ,0. se ,
eE
ePe nu
nu
.....2 2
22
x
xxx
xx PePePe
QUICK (quadratic upwind interpolation)
Erro de 3ª ordem!!
5757
Interpolação
UUUUDUe gg 21
UUDUD
UUeUe
xxxxxxxxg
1
UUDUUU
eDUe
xxxxxxxxg
2
5858
TDM (Thomas)
n
n
n
n
nn
nnn
bb
bb
xx
xx
dludl
udlud
1
2
1
1
2
1
111
222
11
5959
TDM (Thomas)
i
iiii
n
nn
iii
iii
i
i
dxubx
nidbx
bmbbumdd
dlm
ni
1
11
11
1
faça 1 até 1 Desde
faça 1 até 1 Desde
3.
2.
1.
Derivada temporal
6060
Integração no tempo
SxTk
xtTcp
Δtt
t
Δtt
t
Δtt
tp SdVdtdVdt
xTk
xdVdt
tTc
CVCVCV
Δtt
t
tt
t we
e
w
tt
tp VdtSdt
xTkA
xTkAdVdt
tTc
VTTcdVdttTc PPp
e
w
tt
tp
0
Onde calcular temperatura?
6161
Integração no tempo
Δtt
t
tt
t WP
WPw
PE
PEePPp VdtSdt
xTTAk
xTTAkVTTc
0
tTTdtT PP
tt
tP
01
explicito
6262
Integração no tempo
xSx
TTkx
TTk
xTTk
xTTkx
tTTc
WP
WPw
PE
PEe
WP
WPw
PE
PEe
PPp
0000
0
1
0
xSx
TTkx
TTkxtTTc
WP
WPw
PE
PEe
PPp
00000
1
xk
txcp
2
Crank-Nicholson
Implícito
6363
Integração no tempo
21
kxct p
2
1
Convecção-difusão (estacionário)
Exemplo (1D; s/ termo fonte)
6464
Convecção
CVAA
dVSdAdAu gradnn
Su grad
dxd
dxdu
dxd
0dx
ud
integrando
6565
Convecção
we
we dxdA
dxdAuAuA
0 we uAuA
Fluxos nas faces
6666
Convecção
dxDuF e
WPwPEewwee DDFF
wwee uFuF
we
ee dx
Ddx
D
0 we FF
Interpolação nas faces (diferenças centrais)
transporte
6767
Convecção
2
2PW
w
EPe
dx
uDFPe
Interpolação nas faces (upwind)
Fluxos faces
6868
Convecção
WwPe ;