Modelo 101. Crescimento Exponencial
(EXPO)
Uma população que obtém todo o alimento de que precisa aumentará cada vez mais rápido pois quanto mais indivíduos, mais bocas e portanto, mais alimento consumido acarretando maior crescimento da população.
O crescimento exponencial se caracteriza por um aumento constante por período de tempo.
Crescimento exponencial.
Δm/Δt = constante
Uma pequena população de ratos de laboratório em gaiolas onde os recipientes de alimento e água se mantém sempre cheios, não importando quanto os ratos comam, pode ser um exemplo de crescimento exponencial (até certo tempo .. depois muda!).
O número de ratos cresce de forma exponencial.
Quanto maior o consumo, mais alimento é fornecido e mais rápido a população cresce. A cada semana o número de ratos aumenta.
Como este suprimento ilimitado de alimentos não é possível de se manter indefinidamente, eventualmente a população parará de crescer tão rapidamente.
A partir daí um modelo diferente deveria ser utilizado para ajustar a nova situação de suprimento limitado de alimento.
Modelo
Q
E
K4*Q
*
K3*E*Q
K2*E*Q
K1*E*Q
Nota:
O crescimento líquido, K1*E*Q, é obtido subtraindo-se K3*E*Q de K2*E*Q.
DQ= K1*E*Q-K4*Q
No diagrama (Figura II-1a) E é uma fonte que mantém uma concentração constante, independentemente do que é extraído dela, ela é relativamente ilimitada.
Q é o estoque que está sendo suprido por E. Neste exemplo, E é o suprimento contínuo de alimentos e Q são os ratos.
O símbolo de interação (a seta larga marcada com * em seu interior) mostra que os ratos estão comendo o alimento para produzir mais ratos.
Q
E
K4*Q
*
K3*E*Q
K2*E*Q
K1*E*Q
Como o aumento da população de ratos é dependente tanto do alimento fornecido (E) quanto da quantidade de ratos que já existe (Q), quanto mais ratos houver, mais irão comer e mais filhotes irão nascer.
A equação para ao aumento em Q é K1*E*Q. K1 é a proporção de Q*E que se transforma em ratos a cada semana; é o coeficiente de crescimento dos ratos.
Q
E
K4*Q
*
K3*E*Q
K2*E*Q
K1*E*Q
K1 é a combinação de dois coeficientes, K2 e K3.K1 = K2 - K3
K4 é o coeficiente de morte dos ratos, a proporção de Q que morre. K4*Q é o número de ratos que morrem a cada semana, a taxa de mortalidade.
Q
E
K4*Q
*
K3*E*Q
K2*E*Q
K1*E*Q
O aumento na quantidade de ratos depende de seu próprio crescimento e reprodução (K2*E*Q) menos o esforço que eles consomem para obter os seu alimento e água (K3*E*Q).
K1*E*Q é o crescimento líquido.
Portanto, a mudança na quantidade de ratos no tempo (DQ) é o aumento (K1*Q*E) menos a diminuição (K4*Q):
A quantidade de ratos (Q) após uma semana é o número inicial mais a alteração:
DQ = K*E*Q - K4*Q.
Q = Q + DQ.
Q
E
K4*Q
*
K3*E*Q
K2*E*Q
K1*E*Q
DQ= K1*E*Q-K4*Q
Crescimento líquido: K1*E*Q, Mortalidade: K4*Q.
O gráfico ao lado é obtido quando se calculam os valores de Q variando-se o tempo; a população (Q) cresce num ritmo pequeno no início e depois cada vez mais rapidamente.
O gráfico acima pode ser obtido tanto através de uma planilha como por qualquer programa de computador, utilizando-se as relações discutidas na página anterior.
Q versus T
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 100 200 300 400
Tempo
Est
oq
ue
inte
rno
Q versus T
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 100 200 300 400
Tempo
Est
oq
ue
inte
rno
http://www.unicamp.br/fea/ortega/ModSim/expo/expo Mi.xls
Este modelo descreve corretamente o crescimento de populações de plantas ou animais com fontes sem restrições.
Durante os estágios iniciais de crescimento da população, quando a demanda por alimento é pequena comparada à quantidade disponível, quase toda população de plantas ou animais crescerá exponencialmente.
Exemplos de Modelos Exponenciais
Os Estados Unidos, desde o início dos anos 1800 e até meados dos anos 1900, constituíram uma economia que cresceu exponencialmente usando uma grande abundância de recursos naturais e combustíveis fósseis locais descobertos nessa época.
O crescimento da população humana mundial tem sido exponencial até recentemente e ainda o é em alguns países.
As indústrias do petróleo e a mineração têm crescido exponencialmente após a descoberta de campos de petróleo e jazidas de minerais.
Faremos algumas mudanças nas condições de vida da população de ratos de laboratório.
Se a concentração de alimento for dobrada, o que acontecerá com o crescimento da população de ratos? Faça um ajuste e depois rode o programa. Passe de E = 1 para E = 2, obtenha o gráfico e depois analise a resposta. Agora corte pela metade a concentração de alimento (E = 0.5). Cada pedaço de ração tem apenas metade do valor nutricional. O que acontece com a população de ratos?
Experimentos “O que aconteceria se...”
O que aconteceria se fosse mudada a taxa de crescimento da população de ratos? Talvez o pesquisador tenha encontrado outra raça de ratos que coma mais eficientemente. Como será o gráfico de Q? Experimente. Faça K1 = 0,08 e trace o gráfico.
Tente também para uma população de ratos que come menos eficientemente, fazendo K1 menor que o valor original de 0,07. Como é o aspecto do gráfico?
Uma outra possibilidade que pode ocorrer é uma mudança na taxa de mortalidade. O que aconteceria se um vírus atacasse os ratos aumentando a taxa de mortalidade? Para testar sua hipótese, você aumentaria ou diminuiria o valor de K4? Mostre o que acontece com o crescimento da população. Depois faça com que os ratos sejam mais saudáveis que a população original mudando K4 na outra direção.
Se E for 1 e você fizer K1 igual a K3, o que acontecerá à população? Experimente.
http://www.unicamp.br/fea/ortega/ModSim/expo/expo-101.html
Experimente!
COMPUTER MINIMODELS AND SIMULATION EXERCISES FOR SCIENCE AND SOCIAL STUDIES
Howard T. Odum* and Elisabeth C. Odum+* Dept. of Environmental Engineering Sciences, UF
+ Santa Fe Community College, Gainesville
Center for Environmental Policy, 424 Black HallUniversity of Florida, Gainesville, FL, 32611
Copyright 1994
Autorização concedida pelos autores para publicação na InternetLaboratório de Engenharia Ecológica e Informática Aplicada - LEIA – FEA, Unicamp. Enrique Ortega, Mileine Furlanetti de Lima Zanghetin
Campinas, SP, 20 de julho de 2007