Modelo 101. Crescimento Exponencial

(EXPO)

Uma população que obtém todo o alimento de que precisa aumentará cada vez mais rápido pois quanto mais indivíduos, mais bocas e portanto, mais alimento consumido acarretando maior crescimento da população.

O crescimento exponencial se caracteriza por um aumento constante por período de tempo.

Crescimento exponencial.

Δm/Δt = constante

Uma pequena população de ratos de laboratório em gaiolas onde os recipientes de alimento e água se mantém sempre cheios, não importando quanto os ratos comam, pode ser um exemplo de crescimento exponencial (até certo tempo .. depois muda!).

O número de ratos cresce de forma exponencial.

Quanto maior o consumo, mais alimento é fornecido e mais rápido a população cresce. A cada semana o número de ratos aumenta.

Como este suprimento ilimitado de alimentos não é possível de se manter indefinidamente, eventualmente a população parará de crescer tão rapidamente.

A partir daí um modelo diferente deveria ser utilizado para ajustar a nova situação de suprimento limitado de alimento.

Modelo

Q

E

K4*Q

*

K3*E*Q

K2*E*Q

K1*E*Q

Nota:

O crescimento líquido, K1*E*Q, é obtido subtraindo-se K3*E*Q de K2*E*Q.

DQ= K1*E*Q-K4*Q

No diagrama (Figura II-1a) E é uma fonte que mantém uma concentração constante, independentemente do que é extraído dela, ela é relativamente ilimitada.

Q é o estoque que está sendo suprido por E. Neste exemplo, E é o suprimento contínuo de alimentos e Q são os ratos.

O símbolo de interação (a seta larga marcada com * em seu interior) mostra que os ratos estão comendo o alimento para produzir mais ratos.

Q

E

K4*Q

*

K3*E*Q

K2*E*Q

K1*E*Q

Como o aumento da população de ratos é dependente tanto do alimento fornecido (E) quanto da quantidade de ratos que já existe (Q), quanto mais ratos houver, mais irão comer e mais filhotes irão nascer.

A equação para ao aumento em Q é K1*E*Q. K1 é a proporção de Q*E que se transforma em ratos a cada semana; é o coeficiente de crescimento dos ratos.

Q

E

K4*Q

*

K3*E*Q

K2*E*Q

K1*E*Q

K1 é a combinação de dois coeficientes, K2 e K3.K1 = K2 - K3

K4 é o coeficiente de morte dos ratos, a proporção de Q que morre. K4*Q é o número de ratos que morrem a cada semana, a taxa de mortalidade.

Q

E

K4*Q

*

K3*E*Q

K2*E*Q

K1*E*Q

O aumento na quantidade de ratos depende de seu próprio crescimento e reprodução (K2*E*Q) menos o esforço que eles consomem para obter os seu alimento e água (K3*E*Q).

K1*E*Q é o crescimento líquido.

Portanto, a mudança na quantidade de ratos no tempo (DQ) é o aumento (K1*Q*E) menos a diminuição (K4*Q):

A quantidade de ratos (Q) após uma semana é o número inicial mais a alteração:

DQ = K*E*Q - K4*Q.

Q = Q + DQ.

Q

E

K4*Q

*

K3*E*Q

K2*E*Q

K1*E*Q

DQ= K1*E*Q-K4*Q

Crescimento líquido: K1*E*Q, Mortalidade: K4*Q.

O gráfico ao lado é obtido quando se calculam os valores de Q variando-se o tempo; a população (Q) cresce num ritmo pequeno no início e depois cada vez mais rapidamente.

O gráfico acima pode ser obtido tanto através de uma planilha como por qualquer programa de computador, utilizando-se as relações discutidas na página anterior.

Q versus T

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 100 200 300 400

Tempo

Est

oq

ue

inte

rno

Q versus T

0

1000

2000

3000

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5000

6000

0 100 200 300 400

Tempo

Est

oq

ue

inte

rno

http://www.unicamp.br/fea/ortega/ModSim/expo/expo Mi.xls

Este modelo descreve corretamente o crescimento de populações de plantas ou animais com fontes sem restrições.

Durante os estágios iniciais de crescimento da população, quando a demanda por alimento é pequena comparada à quantidade disponível, quase toda população de plantas ou animais crescerá exponencialmente.

Exemplos de Modelos Exponenciais

Os Estados Unidos, desde o início dos anos 1800 e até meados dos anos 1900, constituíram uma economia que cresceu exponencialmente usando uma grande abundância de recursos naturais e combustíveis fósseis locais descobertos nessa época.

O crescimento da população humana mundial tem sido exponencial até recentemente e ainda o é em alguns países.

As indústrias do petróleo e a mineração têm crescido exponencialmente após a descoberta de campos de petróleo e jazidas de minerais.

Faremos algumas mudanças nas condições de vida da população de ratos de laboratório.

Se a concentração de alimento for dobrada, o que acontecerá com o crescimento da população de ratos? Faça um ajuste e depois rode o programa. Passe de E = 1 para E = 2, obtenha o gráfico e depois analise a resposta. Agora corte pela metade a concentração de alimento (E = 0.5). Cada pedaço de ração tem apenas metade do valor nutricional. O que acontece com a população de ratos?

Experimentos “O que aconteceria se...”

O que aconteceria se fosse mudada a taxa de crescimento da população de ratos? Talvez o pesquisador tenha encontrado outra raça de ratos que coma mais eficientemente. Como será o gráfico de Q? Experimente. Faça K1 = 0,08 e trace o gráfico.

Tente também para uma população de ratos que come menos eficientemente, fazendo K1 menor que o valor original de 0,07. Como é o aspecto do gráfico?

Uma outra possibilidade que pode ocorrer é uma mudança na taxa de mortalidade. O que aconteceria se um vírus atacasse os ratos aumentando a taxa de mortalidade? Para testar sua hipótese, você aumentaria ou diminuiria o valor de K4? Mostre o que acontece com o crescimento da população. Depois faça com que os ratos sejam mais saudáveis que a população original mudando K4 na outra direção.

Se E for 1 e você fizer K1 igual a K3, o que acontecerá à população? Experimente.

http://www.unicamp.br/fea/ortega/ModSim/expo/expo-101.html

Experimente!

COMPUTER MINIMODELS AND SIMULATION EXERCISES FOR SCIENCE AND SOCIAL STUDIES

Howard T. Odum* and Elisabeth C. Odum+* Dept. of Environmental Engineering Sciences, UF

+ Santa Fe Community College, Gainesville

Center for Environmental Policy, 424 Black HallUniversity of Florida, Gainesville, FL, 32611

Copyright 1994

Autorização concedida pelos autores para publicação na InternetLaboratório de Engenharia Ecológica e Informática Aplicada - LEIA – FEA, Unicamp. Enrique Ortega, Mileine Furlanetti de Lima Zanghetin

Campinas, SP, 20 de julho de 2007