Exponencial e logaritmos

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EXPONENCIAISEXPONENCIAIS

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Forma: f(x) = ax

(a > 1) →→→→ função crescente

(0 < a < 1) →→→→ função decrescente

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

ax > ay

x > y x < y

a > 1 0 < a < 1

Exemplos

a) 2x+3 > 32

2x+3 > 25

x + 3 > 5

x > 2

b) (0,1)x+3 > 0,01

(0,1)x+3 > (0,1)2

x + 3 < 2

x < - 1

UFSC 2011

GABARITO: 05


LOGARITMOS LOGARITMOS

LOGARITIMOS LOGARITIMOS

log B A = x ↔↔↔↔ A = B x

CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES

log B 1 = 0 log A A = 1 log A Am = m C


log B A = x ↔↔↔↔ A = B x


log B 1 = 0 log A A = 1 log A Am = m

02) Assinale V para as verdadeiras e F para as Falsas

( ) ( UFSC – 06 ) Se 16x = 9 e log32 = y, então x.y é igual a 1/2.

V

( ) ( UFSC – 2010 ) O valor de 3log

81 9

é igual a 9.

V

03) ( UDESC – 2013 ) Se log3 (x – y) = 5 e log5 (x + y) = 3, então log2(3x – 8y) é igual a:

a) 9b) 4 + log25 c) 8d) 2 + log210e) 10

E


log B A = x ↔↔↔↔ A = B x


log B 1 = 0 log A A = 1 log A Am = m E

E

D


log B A = x ↔↔↔↔ A = B x


log B 1 = 0 log A A = 1 log A Am = m

loga ba = b

log5 3� 5 = 3

1 + log2 6� 2 = 21.2

log2 6= 2.6 = 12

log3 5� 9 = (32)

log3 53

log3 5 2

= = 52 = 25

1 – log15 3� 15 = log15 3

151

15 =

15

3 = 5

CONSEQUÊNCIACONSEQUÊNCIA


LOGARITMOS LOGARITMOS -- PROPRIEDADES PROPRIEDADES

LOGARITIMOS LEMBRANDOLOGARITIMOS LEMBRANDO ……

log B A = x ↔↔↔↔ A = B x


log B 1 = 0 log A A = 1

PROPRIEDADESPROPRIEDADES

log C (A.B) = log c A + log c B

log C (A/B) = log c A – log c B

log C Am = m.log c A

log A Am = m

A

E


log B A = x ↔↔↔↔ A = B x


log B 1 = 0 log A A = 1





log A Am = m

( UFPR – 2012 ) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostosanualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? (Use log 2(1,06) = 0,084. )

Aproximadamente 12 anos

C

( UEL – 2010 ) Uma universidade tem 5000 alunos e uma estimativa de crescimento do número de alunos de 10% ao ano. Com base nessas informações, o tempo previsto para que a população estudantil da universidade ultrapasse 10000 alunos é deDados: log 2 = 0, 30; log 1,1 = 0, 04

a) 6 anos.b) 7 anos.c) 8 anos.d) 9 anos.e) 10 anos.

B


LOGARITMOS LOGARITMOS –– MUDANMUDANÇÇA DE BASE A DE BASE


log B A = x ↔↔↔↔ A = B x


log B 1 = 0 log A A = 1





log A Am = m

MUDANMUDANÇÇA DE BASEA DE BASE

BlogAlog

Alogc

cB =

( UEL ) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log 23 é:

Resposta: 1,6

VERDADEIRO


log B A = x ↔↔↔↔ A = B x


log B 1 = 0 log A A = 1





log A Am = m


BlogAlog

Alogc

cB =

Blogk1

Blog 2)

Blog

1Alog 1)

AA

AB

k =

=

Com as condições de existência estabelecidas, prove que:

Se log 2 x + log 4 x = 1, então x é igual a:


log B A = x ↔↔↔↔ A = B x


log B 1 = 0 log A A = 1





log A Am = m


BlogAlog

Alogc

cB =


log B A = x ↔↔↔↔ A = B x


log B 1 = 0 log A A = 1





log A Am = m


BlogAlog

Alogc

cB =

LOGARITIMOS DECIMAISLOGARITIMOS DECIMAIS ……

log 1 =

log 10 =

log 100 =

log 1000 =

0

1

2

3

log 8 log 1 < < log 10

0 < log 8 < 1

log 8 = 0,…..

característicamantissa

log 83 log 10 < < log 100

1 < log 83 < 2

log 83 = 1,…..


log 458 log 100 < < log 1000

2 < log 458 < 3

log 458 = 2,…..


log 54 =

log 5421 =

1,….

3,…

log 124580 =

Para N > 1; log N = c + mPara N > 1; log N = c + m

característica(parte inteira)

mantissa(decimal)

5,…

CaracterCaracter íísticastica = = nnººdede algarismosalgarismos –– 11(parte (parte inteirainteira ))

LOGARITIMOS DECIMAISLOGARITIMOS DECIMAIS ……

log 1 =

log 10 =

log 100 =

log 1000 =

0

1

2

3

log 54 =

log 5421 =

1,….

3,…

log 124580 =

Para N > 1; log N = c + mPara N > 1; log N = c + m

característica(parte inteira)

mantissa(decimal)

5,…

CaracterCaracter íísticastica = = nnººdede algarismosalgarismos –– 11(parte (parte inteirainteira ))

Sabendo que log 2 = 0,301 e quex = 230, podemos afirmar que:

x = 230

log x = log 2 30

log x = 30 log 2

log x = 30 . 0,301

log x = 9,03

x = 109,03

109 < x < 1010

1 000 000 000 < x < 10 000 000 000


FUNFUNÇÇÃO LOGARÃO LOGAR ÍÍTMICATMICA


x

y

0

–1

1

2

1 2 4

–2

y = f(x) = log 2 x

24

12

01

–11/2

–21/4

y = log2 xx

D = R+* e Im = R

→→→→ função é crescente

Forma: y = f(x) = log a x

x

y

0

–1

1

2

1 2 4

–2

–24

–12

01

11/2

21/4

y = log1/2 xx

→→→→ função é decrescente


D = R+* e Im = RForma: y = f(x) = log a x

y = f(x) = log 1/2 x

Função Logarítmica - Resumo

x

y

01

D = R+* e Im = R

y = loga x

y = loga x

a > 1

0 < a < 1

FUNFUNÇÇÃO LOGARÃO LOGAR ÍÍTMICA y = TMICA y = loglog aa xx

d

da

UDESC UDESC –– 2012.22012.2

B


EQUAEQUAÇÇÃO LOGARÃO LOGAR ÍÍTMICATMICA


log B A = x ↔↔↔↔ A = B x


log B 1 = 0 log A A = 1





log A Am = m


BlogAlog

Alogc

cB =

EQUAEQUAÇÇÕES LOGARÕES LOGAR ÍÍTMICASTMICAS


log B A = x ↔↔↔↔ A = B x


log B 1 = 0 log A A = 1





log A Am = m


BlogAlog

Alogc

cB =

EQUAEQUAÇÇÕES LOGARÕES LOGAR ÍÍTMICASTMICAS

a= 3/2 b = 1/2

3 minutos

INEQUAINEQUAÇÇÃO LOGARÃO LOGAR ÍÍTMICATMICA

B

A

( UFPR – 2012 ) Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x centí metros num determinado lago, utiliza- se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte fórmula:

Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm?

a) 150 lumens b) 15 lumens c) 10 lumensd) 1,5 lumens e) 1 lúmen

D

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