Logaritmos Elon Lages Lima

Segunda edição

Copyright ©, 1996 by Elon Lages Lima

Diagramnção e fotolitos: GRAFTEX Comunicação Visual Ltda e-mail: home@graf1ex.com.br web: hnp://www.graftex.com.br Tel. 274.9944 Fax . 274.8593 Rio de Janeiro

ISBN 85-85818-03-4

Conteúdo

1. l fistória

2. Revisão

3. Funções logarítmicas

4. Área de uma faixa de hipérbole

5. Aproximação por trapézios

6. Propriedade fundamental

7. Logaritmos naturais

8. O número e

9. A f~ 11ção exponencial

10. Outras bases

11. LogariLmos decimais

12. O número e como limite

13. Crescimento

14. Aplicações

15. Temas para discussão, para ensaios e exames

Apêndice

l

5

13

24

33

38

44

53

56

63

71

82

89

93

102

108

·Prefácio

Esta 6 uma vcr~ão modificada de um pequeno lcxto expo"itório sobre logaritmos, que escrevi há tempos e que foi publicado originalmente, cm várias edições, pela Sociedade Brasileira de ~Iatemútica.

A presente edição foi financiada pela sociedade VITAE, como parte de um projeto de treinamento de professores de Matemática do segundo grau, iniciado no Rio de Janeiro, em janeiro d~ 1991.

Aproveito a ocasião para externar meus agradecimentos a VITAE, pela iniciativa do evento.

11anifesto ainda minha dívida a Jonas de Miranda Gomes, que usou o texto original em vários cursos e que cuidou, com paciência e interesse, da presente edição.

Rio de Janeiro, fevereiro de 1991.

Elon Lages Lima

Prefácio da 2ª Edição

Nesta segunda edição vários erros existentes na edição anterior foram corrigidos. Além disso acrescentei o Capítulo 15, onde são sugeridos vários temas interessantes para discussão e realização de ensaios, e são propostas diversas questões para exames.

Rio de Janeiro, abril de 1996

Elon Lages Lima

Introdução

Este pequeno livro contém uma exposição elementar sobre logaritmos, apresentando o assunto de fom1a a transmitir as seguintes mensagens:

1. Os logaritmos, que durante três séculos e meio tão bem desempenharam o papel de maravilhoso inslrumento para simplificar o cálculo aritmético, penuitindo que se efetuassem, com rapidez e precisão, operações cgm­plicadas como a multiplicação de dois números com muiros algarismos, ou uma potenciação com expoente fracionário, perderam há algum tempo esse lugar de eficiente calculador, hoje ocupado com grande êxilo pe­las maquininhas eletrônicas. Apesar disso, os logaritmos concinuam, por motivos bem diversos, a merecer uma posição de destaque no ensino da Matemática, devido à posição central que ocupam nesta ciêi~cia e cm suas aplic~ções. Essa posição é pennanerite porque a função logarítmica e a sua inversa, a função exponencial, constituem a única maneira de se descrever matemáticamente a evolução de uma grandeza cuja taxa de crescimemo (ou decrescimento) é proporcional à quantidade daquela grandeza existente num dado momento.

2. Confom1e imaginado por seu descobridor, Lord Napier, no início do século 17, um sistema de logaricmos é simplesmente uma tabela com duas colunas. A cada número real positivo x na coluna à esquerda corresponde, no mesmo nível à direita, um número real L(x) chamado o logarirmo de x (naquele sistema). Essa tabela deve satisfazer duas condições:

A) Se os números x da colu:rn à esquerda estiverem dispostos em ore.km crescente, o mesmo deve ocorrer com seus logaritmos L(x) à direita.

B) Se mulliplicarmos dois números positivos x e y, o logaritmo L(x.y) do produto deve ser. a soma dos logaritmos L(x) e L(y).

Em linguagem de hoje, isto pode ser .reformulado assim: um sistema de logaritmos é uma função L: R+ - R, cujo domínio é o conjunto dos números reais positivos, a qual possui as seguintes propriedades:

A) L é crescente, isto é x < y -<=> L(x) < L(y); B) L(x.y) = L(x) + L(y) para quaisquer x, y E R+.

Dito isto, a segunda mensagem deste livro é esta: suponhamos que, de maneiras arbitrárias e independentes uma da outra, tenhamos obtido duas funções logarítmicas, ou dois sistemas de logaritmos L e M. Pois bem, não importa de que formas L e M tenham sido definidas, existe uma constante positiva e tal que M(x) = e. L(x) para todo x > O. Noutras palavras, pensando num sistema de logaritmos como uma tábua, o único modo de conseguir outro sistema é multiplicar todos os números da coluna à direita por uma mesma constante.

O significado desta mensagem é o de tomar, de certo modo, irre­levante a maneira particular como um dado sistema de logaritmos L foi definido, contanto que sejam válidas as propriedades A) e B) acima. Se chamarmos de base de um sistema de logaritmos L ao número a tal que L(a) = l, um modo popular de definir a função L: R+ - R consiste em pôr L(x) = y se, e somente se, aY = x, ou seja, chamar de logaritmo de x na base a ao expoente y ao qual se deve elevar a base a para obter x. Esta definição. embora htlstante: rlif11nrlirfa :i~rec;r nt~ tr~~ i n""~''"!'~~::!C'.',

que mostraremos agora.

O primeiro inconveniente é que ela requer que se estudem preliminar­mente as propriedades da função exponencial, em parúcular que se saiba o significado de aY quando y é irracional, e que se provem regras como a_Y .az = aY+z para y, z E R+ quaisquer. Tais preliminares envolvem dificuldades técnicas que conduzem ao seguinte dilema: ou passar por cima dessas dificuldades, fazendo de coma que elas não existem - o que deixa a desejar do ponto de vista de honestidade científica - ou esgotar a paciência do aluno (ou leitor) com longos detalhes rebarbarivos.

O segundo inconveniente da definição de logaritmos como expoente é que, tratando iodas as bases da mesma maneira, ela não permite apresentar espontaneamente o número e como uma base especial, que se distinga naturalmente das demais. Como se sabe, e será amplamente mosuado nes1e 1exto, os logariunos de base e surgem naturalmente em problemas de

origens as mais diversas, daí serem chamados de logaritmos nalurais. Na definição de logaritmo como expoenie, o número e aparece artificialmente.

O terceiro inconveniente da definição de logaritmo como expoente é a dificuldade de se estabelecerem certas desigualdades fundamentais, como por exemplo L(l + x) < x (válida para logaritmos de base e), que é óbvia na definição geométrica.

3. A terceira mensagem deste livro é que a definição geométrica dos lo­garitmos apresenLa uma vantagem incontesLável de simplicidade conceituai e técnica. Na realid:idc, cada um dos 3 inconvcnienlcs apomauos a..: im.t para a definição de logaritmo como expoente constitui, em contraponto, uma vanLagem nítida da definição geométrica. A definição geométrica depende apenas do conceito de área de uma figura plana e a propriedade fundament!J.l L(x.y) = L(x) + L(y) resulta merament.e do fato de que a área de um retângulo não se altera quando se multiplica sua base por um número e se divide a altura pelo mesmo número. Em segundo lugar, na definição geométrica o número e surge de modo natural e os logaritmos que se definem dessa maneira são os de base e. E, finalmente, as desigual­dades fundamentais como L(l + x) < x são evidentes quando L(l + x) é definido como urna área. Desta desigualdade resul ta, por exemplo, que para valores muito grandes de x, L(x) é insignificante diante de x.

4. A última mensagem deste livro, talvez a mais importante, está no capítulo final: o estudo dos logaritmos naturais e da função exponencial ez é recompensador pela variedade de aplicações simples, surpreendentes, interessantes e variadas que daí resultam sem maiores esforços adicionais.

Espero ter conseguido marcar esses pomos de modo claro e com­preensível no tex10 que se segue e que sua leitura seja amena e provei­tosa.

Notações

Neste livro ~saremos as seguintes notações:

N, conjunto dos mimeros naturais.

N = {1,2,3, ... ,n, ... }.

Z, conjunto dos mímeros iweiros

Z = { ... ,-3,-2, - 1,0,1,2,3, . .. ,n, ... }.

Q, conjunto dos ntímeros racionais

r. r . I .. .... - .., - - ,... '' ...... \ i' /'J>t' '- -1'.1 '-- 1 • J·

R, conjunto dos números reais

R+, conjunto dos mímeros reais positivos

R+ = {x E R; x >O},

=>, símbolo de implicação lógica. A expressão A=> B lê-se "A implica B". Por exemplo x E Q => x E R.

{:}, símbolo de equivalência lógica.

1. História

No fim do século XVI, o desenvolvimento da Astronomia e da Navegação exigia longos e laboriosos cálculos aritméticos. Um auxílio precioso já fora obtido com a recente invenção das frações decimais, embora ainda não suficientemente difundida. Mesmo assim, achar um método que pennirissc efetuar com presteza mu ltiplicações, divisões, potenciações e extrações de raízes era, nos anos próximos de 1600, um problema fundamenta l.

Segundo o grau de dificuldade, as operações aritméricas podem ser classificadas em 3 grupos: adição e subtração fonnam as operações de 1 ~ espécie; multiplicação e divisão são de 2ª espécie, enquanto que potenciação e 7adiciaç.ão 'constituem as operações de 3ª espécie. Pro­curava-se entãÕÜm prÕcesso que pemlitisse reduzir cada operação de 2~ ou 3ª espécie a uma de espécie inferior e portanto mais simples.

Acomece com freqüência que uma grande descoberta científica é feita simultaneamente por duas ou mais pessoas trabalhando independente­mente. Não se trata de simples coincidência: tal descoberta corresponde à solução de um problema importante, do qual muitos se vinham ocupando.

Assim aconteceu com os iogarítmos. Jost Bürgi (1552- 1632), suíço, fabricante de instrumentos astronômicos, matemático e inventor, e John Napier (1550-1617), um nobre escocês, teólogo e matemático, cada um deles desconhecendo inteiramente o outro, publicaram as primeiras tábuas c.le loganunos. As tábuas de Napier foram publicadas em 1614 e as de Bürgi em 1620. A infl uência de Napier no desenvolvimento dos logaritmos foi muito maior do que a de Bürgi, devido a suas publicações e seu relacionamento com professores universi lários.

Uma tábua de logaritmos consiste essencialmeme de duas colunas de

2 História Cap.1

números. A cada número de coluna à esquerda corresponde um número à sua direita, chamado o seu logaritmo. Para multiplicar dois números, basta somar seus logaritmos; o resultado é o logaritmo do produto. Para achar o produto, basta ler na tábua, da direita para a esquerda, qual o número que tem aquele logaritmo. Semelhantemente, para dividir dois números oasta subtrair os logaritmos. Para elevar um número a uma potência basta multiplicar o logaritmo do número pelo expoente. Finalmente, para extrair a raiz n -ésima de um número, basta dividir o logaritmo do número pelo índice da raiz. Na terminologia matemática de hoje, uma correspondência como essa estabelecida por meio de uma tábua de logaritmos é o que se chama de função. Convém notar, porém, que a inv~nção dos logaritmos foi antenor à introdução do conceito de função na Matemática. A utilidade original dos logaritmos resulca portanto da seguinte observação: o trabalho de elaborar uma tábua de logaritmos, por mais longo e cansativo que seja, é um só. Depois dele executado, ninguém precisa mais, digamos, efetuar multiplicações; adições bastam.

Logo depois do aparecimento da primeira tábua de logaritmos de Na­pier, o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631), professor da Univer­sidade de Londres, e depois de Oxford, elaborou, juntamente 'com Napicr, uma novd tabua, d~ m<u:; iac1l uullzaçào, comendo os chamados loga­ritmos decimais, ou logaritmos ordinários, que tiram proveito do fato ·de usarmos um sistema de numeração decimal.

Durante os quase 4 séculos que sucederam à descoberta dos loga­ritmos, sua utilidade revelou-se decisiva na Ciênc ia e na Tecnologia. Já Kepler, por volta de 1620, atescava seu reconhecimento pela nova desco­berta que segundo ele "aumentava vastamente o poder computacional do astrônomo". O próprio Napier, um tanto imodestamente, reconhecendo o valor de sua descoberta, deu às suas tábuas o círnlo Mirifici logarithmorum canonis descriptio, que significa Uma descrifão da maravilhosa regra dos logaritmos.

Recentemente, com a utilização cada vez mais divulgada das calcu­ladoras, as tábuas de logaritmos perderam muito do seu interesse corno insrrumento de cálculo, o mesmo acontecendo com Olllras tabelas ma­temáticas. Mas o estudo dos logari tmos ainda é e continuará a ser de central importância. Com efeito, embora eles tenham sido inventados como acessório para facilitar operações aritméticas, o desenvolvimento da

Cap.1 - Hislôrla 3

Matemática e das ciências em geral veio mostrar que diversas leis ma­temáticas e vítrios fenômenos físicos, químicos, biológicos e econômicos são estreitamente relacionados com os logaritmos. Assim sendo, os loga­ritmos, que no princípio eram importantes apenas por causa das tábuas, mostraram ter apreciável valor intrínseco. NQ capítulo 14, daremos alguns exemplos elementares de aplicações de logaritmos em problemas que não têm natureza estritamente computacional. ·

Exercícios

1. Os antecessores de Napier e Bürgi, não conhecendo ainda os logaritmos, adotavam um processo para o cálculo do produto, baseado na conhecida fónnula de rrigonomerria:

1 1 COS X · COS y = - COS (X + y) + - COS (X - y) .

. 2 2

Dados dois números X e Y para multiplicar, mudando seus sinais e a posição das vírgulas, podemos supor que X e Y estão compreendidos entre O e 1. Por meio de uma tábua de funções trigonométricas (que existe desde o tempo de Ptolomeu), achamos números x, y tais que cos x = X e cosy = Y. Calculamos a soma x + y e a diferença x - y. Novamente a tábua nos fornece cos(x + y) e cos(x -y). O produto X · Y procurado será simplesmente a metade da soma cos(x + y) + cos(:;:; - y).

Usando este método, calcule os produtos abaixo:

a) 0,921 X 0,758.

b) (0,85771)2 .

C) 0,873 X 0,802.

Nota: Uma das desvantagens deste mécodo lrigonométm:o é a tlihcukl:\de em aplicá-lo para produros de mais de três fatores. Isto sem falar na sua inutilidade para cálcu lo de potêm:ias e raízes.

2. Outro substituto rudimentar dos logari tmos, no cálculo de produtos, é uma 1abela para os valores da função y = (x/2) 2 . Traia-se de uma tabela que fornece, à direita de cada número, o quadrado da sua metade. Por meio dela podemos reduzir~ produto de dois números quaisquer a somas

• 4 História C.p.1

e diferenças, utilizando a fórmula:

x·y= (X+Y)2- (X-Y)2. 2 2

Assim, para calcular o produto xy, efetuamos a soma x + y e a diferença x - y. Olhando a tabela, obtemos

(x + y)2 e (x-y)2. 2 2

Submundo estes resultados, obtemos o produto procurado.

Tópicos para debate:

a) Qual o método mais simples, este ou o do Exercício 1?

b) Por que este método não substitui os logarinnos?

2. Revisão

Sem dúvida, a primeira constacnção de que, em ccnos casos, é possível reduzir uma multiplicação a uma adição, ocorreu ao se compararem os ter­mos de uma progressão geométrica com os de uma progressão ariunélica, como por exemplo:

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

) Para mulriplicar dois cermos da progressão geomérrica (por exemplo,

16 x 64) basta somar os seus correspondences na progressão aritméLica (no caso, 4 + 6 = 10) e ver qual o termo da progressão geométrica que corresponde a essa soma. (Neste exemplo, ele é 1024.)

EvidenLememe, a regra acima enumerada nada mais é do que a conhe­cida regra para multiplicar potências de mesma base: am . a'1 = am+ ri.

Basta somar os expoentes. É importante, entretanto, observar que essa redução da muhiplicação à adição foi constatada muito antes que exis­Lisse a notação de expoente para indicar as potências de um número. Na realidade, os logaritmos foram inventados ames da nOLação exponencial!

Seja como for, a regra a m ·a n = a m+ n sugere a consrruçào de uma tábua de logaritmos (de base a) muito rudimentar: na coluna à esquerda 1. ~ . d 2 3 n (d .d istam-se as potencias e a, como a, a , a , ... , a , . . . ev1 :unente calculadas) e à direita os expoentes correspondentes: 1, 2, 3, . . . , n, .... 1\ multipl icação am · an se f,v c:o1110 j ~1 foi cxpLcJtlo acim:t. É d.m.>, contudo, que nossa tábua, assim elaborada, é insatisfatória, pois só permite calclllar produtos de números da forma a n, onde n é um número n:uural.

Acontece que, uma vez difundida a no ração exponencial a n, não tardou muito a idéia de se considerarem potências com expoemes negativos

6 Revisão Cap.2

e fracionários, e a constatação de que, se a é um número positivo diference de 1 encâo todo número real positivo pode ser arbitrariamente aproximado por potências de a com expoentes racionais. Esta observação conduz à possibilidade de elaborar uma tábua de logaiitmos (de base a) que contenha, em sua coluna à esquerda, números bastante próximos daqueles que pretendemos multiplicar.

As considerações acima justificam a necessidade de uma revisão do conceito de potência de um número real, com expoente racional qualquer. Tal revisão é o objetivo deste capítulo.

O escudo que se segue restringe-se a potências de um número positivo a. É claro que se a fosse negativo não haveria -problema para definir an para n EN e mesmo a-n. Entretanto, como veremos aqui, a1f n significa \fã. Dado que números reais negativos não possuem raízes reais do tipo \fã (índice n par), o estudo de potências reais de expoente racional com base negativa seria confuso, cheio de exceções e impraticável.

Seja a um número real positivo. Dado um inteiro n > O, a porência an é definida como o produto de n fatores iguais ao número a. Ou seja:

an = a · a··· a (n fatores).

Vale a propriedade fundamental:

am. an = am+n ( m, n inteiros positivos) .

Se quisermos definir a0 de modo que a propriedade acima conti nue válida, seremos obrigados a convencionar que a 0 = 1, a fim de tennos aº. an = ao+n = a'i.

Procurando ainda estender a noção de potência de modo a abranger expoentes negativos e fazê-lo de forma a manter a validez da propriedade fundamental, devemos ter:

1 donde a-n = -.

an

Assim, a única maneira possível de definir a porência an (com n inteiro) de tal maneira que a relação am .an = am+n continue verdadeira, mesmo quando m e n são inteiros positivos ou negativos, consiste em pôr:

-n 1 a =­an

Cap.2 Revisão 7

Evidentemente, a relação fundamental vale para o produto de várias potências, como por exemplo

am. an. aP . aq = am+ri+p+q .

Em panicular, tomando um produto de p fatores iguais a am, obremos

a m . a m ... a m = p. mp,

ou seja, (am)p = amP.

Antes de prosseguirmos, lembremos que, dados um número real a > O e Ull) número inteiro q > O, o símbolo ~ reP..resenta o número real positivo cuja q-ésima potência é igual a a, ou seja, a única raiz positiva da equação xq - a= O. Portanto, as afirmações

o/a > O e ( \'l'ã)q = a

constituem a definição do número real ifã,, chamado a raiz q-ésima do número positivo a.

Procuremos agora estender a noção de potência de um número real a > O, de modo a incluir expoentes fracionários, da forma r = p / q, onde p, q são inteiros e q > O. Queremos dar essa definição de modo a não des­truir as propriedades anterionnence válidas. Assim sendo, devemos definir a potência aPf q de modo a termos um número real positivo cumprindo:

(aPfq)q = alp/q) ·q = aP.

Logo, aPfq deve ser o número real positivo cuja q-ésima potência é igual a aP. Por definição de raiz, isto significa afirmar que

aPfq = ifOi. Em rnniculnr, n t/q = !![fi.

Agora, dado um número real a> O, sabemos definir a porência ar, quer r seja inteiro positivo nulo, negativo ou fracionário. Em suma, ar está definido, para todo número racional r.

Observemos que, mesmo para r = p / q e s = u / v fracionários (q > O e v > O), vale ainda a propriedade

a r . as = ar+s .

8 Revisão

Com efeito, sabemos que

Logo:

(ar)q = aP e (as)v = au .

(ar. as)qv = (ar)qv. (as)qv = arqv. asqv

= aPV. auq = aPv+uq.

Cap.2

Vemos que ar· a3 é o número cuja qv-ésima potência vale aPv+uq. Isto quer dizer que:

Como pv + uq p u = - +- = r +s,

qv q t1

temos

De posse da definição e da propriedade fundamental das potências de expoemc racional de um número real a > O, os livros tradicionais definem o logaritmo do seguinte modo:

Dado um número real a> O, o logaritmo de um número x > .o na base a é o expoente y a que se deve elevar a de tal modo que aY = x. Escreve-se y = Ioga x e lê-se y é o logaritmo de x na base a.

Vamos usar o sin,al <=> para exprimir que duas afirmações são equi­valentes (isto é, têm o mesmo significado). Podemos escrever então:

Ioga x = y {;} aY = x.

Ou seja, dizer que y = Ioga x é o mesmo que afirmar que aY = x.

Desta definição decorre imediatamente a propriedade fundame.ntal dos logaritmos, que é a seguinte:

Ioga { ux) = Ioga u + Ioga x.

Para provar isto, basta escrever Ioga u = v, Ioga x = y. Isto quer dizer que a 11 = u e aY = x. Segue-se então que a 11 • aY = ux, ou seja, que av+Y = u.x. Esta última igualdade significa que v + y = Ioga (ux), isto é, que

Cap.2 Revisão 9

Vejamos agora um exemplo concreto. Tomemos, como fez Briggs, o número 10, base de nosso sistema de numeração, para base dos logaritmos. Qual seria o logaritmo de 3 na base 10?

Por definição, logto 3 é o número y tal que !OY = 3.

Suponhamos que y = ~ fosse um número racional. Então teríamos:

e ponanto lOP = 3q.

A última igualdade é um absurdo pois 10P é 1 seguido de p zeros e, evidentemente, 3q = 3 · 3 . . . 3 não rem esta forma.

Assim log10 3 não pode ser um número racional.

Façamos aqui uma pequena pausa para lembrar que os números reais (positivos, negativos ou zero) podem ser racionais ou irracionais. Os pri­meiros têm a fonna p/ q com p e q inteiros, sendo q > O, e caracterizam­se pela propriedade de, quando trnnsfonnados em frações decimais, terem desenvolvimento finito ou periódico. Os números irracionais, como J2. v13. 1í etc., não podem ser expressos como quocientes p/ q de dois intei­ros. Por conseguinte, o desenvolvimento decimal de um número irracional nem é exato nem periódico. Quando se escreve um número como 7r, por exemplo, sob forma de fração decimal, digamos 3,141592, estamos dando apenas um valor aproximado (neste caso, porque tomamos 6 casas deci· mais, o erro cometido é menor do que 0,000001, ou seja, 1 milionésimo).

Voltando aos logari tmos, se y = log10 3 não pode ser um número racional, que número irracional y é este, tal que 10:1 = 3?

E que significa, afinal de contas, uma potência com expoente irracio­uaJ? Qut! siguilic.t, por exemplo, iofi, a /:l-ésima potencia <k 10'!

Estas são pergumas cruciais, que devem ocorrer irnediacamcnte quan­do se define o logaritmo como expoente.

É possível explicar satisfatoriamente o significado de uma potência com expoeme irracional. Por exemplo 10fi é definido assim: tomam­se os valores l,'I; 1,41; 1,414 etc., aproximações racionais do número irracional J2. Os números iot•'1, 101•41 , 101•.a4 etc. são ' 'alares aproxi-

1 O Revisão Cep.2

mados de ioJ2. Tanlo mais próximo esleja o número racional r de ../2, mais próximo estará 10r de iov'2.

O desenvolvimento sistemático da teoria das potências com expoente real (racional e irracional), para servir de base ao esmdo dos logaritmos, é um processo longo e tedioso.

A maioria dos autores modernos prefere definir diretamente os loga­ritmos de modo geométrico, com base na noção de área de uma figura plana. As demonstrações se tomam mais simples e os conceitos mais intuitivos. Este é o caminho que usaremos neste livro.

Exercícios

1. Assinale a resposta certa:

1.1) 3/45 = a) 48 ; b) Ç 8 ; c) 15-1 ; d) nada disso.

1.2) (3- 3)3 = ii) 1: h'\ :-l - 9 : r'\ ~-21; ri) "'l"r'h cli <:~o

1.3) 52 /32 = a) (5/3)2

; b) (5/3)- 1 ; c) 5-6 ; d) nada disso.

1.4) 0,00003 = a) 1/3 x 10-3 ; b) 10-3 ; c) 3 x io-5 ; d) nada disso.

l.S) 3 X 10-7 =

6 X 10-3

a) 4 x 10L0 ; b) 5 x 104 ; c) 0,5 x io- 4 ; d) nada disso.

1.6) s2 / 3 = a) 2; b) 9; e) 32../2; d) 4.

1.7) 21-2/ 3 = a) 1/18; b) 1/81; c) 1/9; d) -18.

1.8) 16314 = a) 12; b) 8; c) 6; d) 64.

1.9) 233/2 = a) 125; b) 5; c) 15; d) nada disso.

Cap.2

1.10) {0,00001)-3/s = a) 0,001; b) 1000; c) lo- 1s / 10- 25.

1.11) g-4/3 = a) 1/6; b) 16; c) 1/8; d) 1/16.

l.12) (H X 10-6)1/3 =

a) 4~0 ; b) 13" x 10-2

; e) i 1 x 10-4•

1.13) {49 X 10-4)1/4 = a) {l; b) (10 X 7)-2 ; 1foo.

2 . . Simplifique as expressões abaixo: xs/2

a) xs. x-1/2. . x2 . x-3

b) {l + at/3)(1 - a t/3 + a2/3).

) b4 b2 b-1

c - + 1 -b, +b_,.

3. Simplifique e ponha sob forma de potências:

a) fl.· b) M(v'TSS-~)

Revisão 11

4. A desigualdade x < y significa que a diferença y - x é um número positivo. Usando o fato de que o produto de dois números positivos é positivo, prove as seguintes afirmações:

a) Se x < y e a > O, então ax < ay.

b) Se x < y e a< O, então ax > ay.

c) Se O< x < y e O< x' < y' então xx' < yy'.

d) Se O < T < y. cntfo ,.n < yn p:ira todo inteiro 11 "'> O. •· yn < r n para todo inteiro n < O.

5. Prove que, para todo inteiro n > 1 e para todo x :f: O, com x > - 1, tem-se

{l+x)n>l+nx.

Use esta desigualdade para achar um expoente n tal que ( 1, 001) ri seja maior do que um milhão.

12 Revisão

6. Prove que se x > 1 então as potências sucessivas

2 3 4. x, X , X 1 X 1 ••• 1 etc.,

Cap.2

crescem e podem vir a superar qualquer número fixado de antemão. Mais precisamente se x > 1 então, dado qualquer A > O, é possível obter um inteiro n tal que xn > A. (Evidentemente, sendo xn > A, ter-se-á, também xn+i >A, xn+z >A etc.).

7. Seja O < x < 1. Mostre que as potências sucessivas

2 3 4 x,x ,x ,x , ... , etc.,

decrescem e podêm tornar-se inferiores a qualquer é > O prefixado. Em particular, obtenha um expoente n > O tal que (O, 999) n seja menor do que um milionésimo.

3. Funções logarítmicas

Revimos no capítulo anterior a definição tradicional de logaritmo, mos­trando algumas dificuldades conceituais com ela relacionadas e anunciando que neste livro os logaricmos serão tratados geometricamente.

Antes, porém, de iniciarmos esse estudo geométrico provaremos que os logaritmos se deixam caracterizar por duas propriedades extremamente simples e naturais, de modo que a escolha de processo de apresentá-los é apenas uma questão de preferência. Uma vez que valham aquelas duas propriedades, só existe urna maneira de alterar um sistema de logaritmos: multiplicar por uma mesma constante todos os logaritmos desse siscema.

Neste capínilo, daremos a definição de função logarírmica, estabe­leceremos suas propriedades básicas e mostraremos que, a menos de um fator constante, duas quaisquer funções logarítmicas coincidem.

Uma funçãÕ real L: R+ - R, cujo domínio é o conjunto R+ dos números reais positivos, chama-se umafimção logarítmica ou um sistema de logaritmos quando tem as seguintes propriedades:

A) L é uma/unção crescente, isto é, x < y => L(x) < L(y);

B) L(xy) = L{x) + L(y) para quaisquer x, y E R+.

Para todo x E R+, o número L{x) chama-se o logaritmo de x. (Se estivcn11os contemplando outras funções loga.iítmicas além de L, diremos que L{ x) é o logaritmo de x segundo T,, 1)U no 'iiuema df' /ngnritmM T,)

Faremos agora uma lista de propriedades das funções logarítmicas, isto é, propriedades que são conseqüências de A) e B) acima enunciadas.

Prop riedade 1. Uma função logarítmica L: R+ - R é sempre injetiva, isto é, mímeros positivos diferentes têm logaritmos diferemes.

14 Funções logarltmlcas Cap.3

Com efeito, se x, y E R+ são diferentes, então ou x < y ou y < x . No primeiro caso, resulta de A) que L(x) < L(y). No segundo caso tem-se L(y) < L(x). Em qualquer hipótese, de x =P y conclui-se que L(x) =/= L(y).

Propriedade 2. O logaritmo de 1 é zero.

Com efeito, por B) temos

L(l) = L(l.1) = L(l) + L(l) , logo L(l) = O.

Propriedade 3. Os números maiores do que 1 rêm logaritmos posirivos ~ os mímeros posicivos menores do que 1 1ê'}1 ·Logarirmos negativos.

Com efeito, sendo L crescente, de O < x < 1 < y resulta L(x) < L(l) < L(y), isto é L(x) <O < L(y).

Propriedade 4. Para rodo x > O, tem-se L(l/x) = - L(x).

Com efeito, de x· (l/x) = 1 resulta que L(x) +L(l/x) = L(l) = O, donde L(l/x) = - L(x).

Proprit:dadc 5. Para quaisquer x, y E R+, vale

Com efeito,

T f ~ t' .L~:1)·

L(x/y) = L(x · (1/y)) = L(x) + L(l/y) = L(x) - L(y) .

Prnpriedade 6. Para todo x E R+ e codo número racional r = p / q tem-se L(xr) = r · L(x).

A demonstração da Propriedade 6 se faz por etapas.

Em primeiro lugar, observa-se que a propriedade

L(xy) = L(x) + L(y)

se estende para o produto de um número qualquer de fatores. Por exemplo,

L(x · y · z) = L((xy) · z) = L(x · y) + L(z) = L(x) + L(y) + L(z).

E assim por diante:

L(x1 · x2 ... Xn ) = L(xi) + L(x2 ) + .. . + L(xn) ·

Cop.3 Funções logorilmlcus 15

Em particular, se n E N então

L(xn) = L(x · x · · ... x) = L(x) + L(x) + .. . + L(x) = n · L(x).

Portanto, a Propriedade 6 vale quando r = n é um número natural.

Ela também vale quando r = o pois, para todo número x E R+, tem-se que x0 = 1, logo L(xº) = L(l) = O= O· L(x).

Consideremos agora o r:u;o cm q11c r . = -n, n E N, is10 é, onde r é um inteiro negativo. Então, para todo x > O temos xn · x-n = 1. Logo

e daí

Finalmente, o caso geral, em que r = p / q, onde p E Z e q E N. Para todo x E R+ temos

(xr)q = (xpfq)q = xP .

Logo q · L(xr) = Ll(xr)ql = L(xP) = p · L(x), em virtude do que j i:í foi provado. Da igualdade q · L(xr) = p · L(x) resulta que L(xr) = (p/q) · L(x), ou seja, que L(xr) = r · L(x).

Isto termina a demonstração da Propriedade 6. A restrição de que o expoente r seja racional provém do fato de sabermos apenas definir potências com expoente racional. Na verdade, a teoria dos logaritmos fornece a melhor maneira de definir xr quando ré um número irracional.

Convém enfatizar que as Propriedades 1 a 5, bem como a; demais a serem estabelecidas nesce capfrulo, valem para todas as funções lo­garítmicas, isto é, resultam apenas das propriedades A), B) e não da ma­neira particular como os logaritmos venham a ser definidos.

Proprirdncfc 7. Uma função logarítmica L: r.+ ·Ré ili·~:iwda, s .. pcrfor e i11feriorme111e.

A afirmação acima significa que, dados arbitrariamente números reais a e /3, é sempre possível achar números positivos x e y tais que L(x) < a e L(y) > {3. Antes de provam1os a Propriedade 7, é instrutivo examinar exemplos de funções conhecidas, como f , g, h: R ~ R, dadas por f (x) = sen x, g(x) = x2 e h(x) = x3 . Como - 1 ~ sen x ~ 1 para todo x E H,

16 Funções logorllmlcos Cap.3

vemos que f(x) = sen x é uma função limitada superior e inferíonnente. Por outro lado, temos x 2 ~ O para todo x E R. Logo g(x) = x 2 é uma função limitada inferiormente, porém não superionnence pois, dado qualquer número real f3 é sempre possível achar x E A tal que x 2 > {3: basta tomar x > Vfi se /3 for positivo ou zero, ou qualquer x se fJ for negativo. Finalmente, a função h(x) = x3 é ilimitada superior e inferiormente quando x E A, como se constata sem dificuldade.

No caso da função logaríunica L: R+ ~ R, para provar que ela é ilimitada superiormente, suponhamos que nos seja dado um número real fJ e que sejamos desafiados a achar um número x E R+ tal que 1(x) > fJ. Procederemos da seguinte maneira: romamos um número natural n tão grande que n > f3/1(2) . Como 1(2) é positivo (Propriedade 3), temos n · 1(2) > fJ. Usando a Propriedade 5, vemos que n · 1(2) = L(zn). Portanto, L(2n) > {J. Agora é só escolher x = 2n. Temos L(x) > f3. Isto mostra que L é ilimitada superiormente.

Para provar que L também é ilimitada inferionnente, basta lembrar que L(l/ x) = - L(x). Dado qualquer número real a, como vimos acima, podemos achar x E R+ tal que L{x) > -a. Então, pondo y = 1/x, teremos L(y) = - L(x) < a. Observação. Uma função logarítmica L não poderia estar definida para x = O. Com efeito, se tal fosse o caso, para todo x ~ O teríamos

L(o) = L(x ·o)= L(x) + 1(0),

donde L{x) = O. Assim, 1 seria identicamente nula, contrariando a pro­priedade A). Também não é possível estender satisfatoriamente o domínio de uma função logarítmica de modo que L(x) seja um número real, defi­nido para todo x < O. Para uma discussão sobre logaritmos de números negativos, veja "Meu Professor de Matemática", pág. 217.

Evidentemente, se L: A+ ~ R é uma função logarítmica e e é uma conslante positiva arbitrária, então a função M: R+ -> R, definida por M(x) = e· L(x), é também uma função logarítmica. O teorema abaixo mostra que esta é a única maneira de obter funções logarítmicas urna vez que se conheça uma delas.

Noutras palavras, depois de prova..111os o teorema abaixo ficaremos sabendo que, para escudar logaricmos, basca obter uma função crescente

Cop.3 Funções logarltmlcas 1 7

L: R+ - • R tal que L(xy) = L(x) + L(y). Todas as demais funções logarítmicas (ou sistemas de logaritmos) resullarão de L pela multiplicação por uma constante conveniente. Assim, temos a liberdade de escolher a definição da função L da. m:rneira que nos pareça mais natural, mais intuitiva e que nos pcnnit.1 dar as demonstrações mais simples.

Teorema 1. Dadas as funções logarítmicas L, M: R+ --+ R, existe uma consra11re e> O tal que M(x) = e. L(x) para rodo x > O.

Demonstração: Suponhamos inicialmente que exista um número a > 1 tal que L(a) = M{a). Provaremos, neste caso, que L(x) = M(x) para todo x > O. Em primeiro lugar, de L(a) = M{a) concluímos que L(ar) = M(ar) para iodo r racional. Com efeito, L(ar) = r · L(a) = r · M(a) = M(ar). Suponhamos, por absurdo, que exis1isse algum b > O tal que L(b) =/: M(b). Para fixar idéias, digamos que fosse L(b) < M(b). Escolhamos um número natural n ião grande que

n.[M(b) - L(b)j > L(a) .

Então L(al fn) = L(a)/n < M(b) - L(b).

Por simplicidade, escrevamos e = L(a1f n). Os números e, 2c, 3c, ... dividem R+ em intervalos justapostos, de mesmo comprimento e. Como e < M(b)-L(b), pelo menos um desses números, digamos m·c, penence ao incerior do intervalo (L(b), ~f(b)), ou seja, L(b) < m ·e< M(b). Ora,

m ·e = m · L(a 1fn) = L(amfn) = M(amfn).

Então L(b) < L(amfn) = ~1 (amfn) < M(b).

Como L é crescente, a primeira das desigualdades acima implica b < a m/ '1 • Por outro lado, como M iarnbém é crescemc, a segunda desi­guald:idc implic:i am/n < b. fala contrad:'l':io mu:.11.1 4u~ b 11.1u c.\t!llC.

deve-se ter M(x) = L(x) para todo x > O. O caso geral reduz-se ao caso particular acima. Dadas L e M, funções

logarítmicas arbitrárias, temos 1(2) > O e M(2) > O porque 2 > 1. Seja e = M(2)/ 1(2). Consideremos a função logarí1mica N: R+ • R, definida por N(x) = e. L (x). Como N(2) =e· L(2) = [M(2)/ L(2)J · 1(2) = l\f(2), segue-se do que se provou acima que N(x) = l\f(x) para

18 H.inções logarltmlcas Cap.3

todo x > O, ou seja, que M(x) = e· L(x) para todo x > O, como queríamos demonstrar.

As propriedades dQs logaritmos acima esi.abelecidas servem de fun­damento para sua utilização como instrumento de cálculo. Vejamos um exemplo a fim de ilustrar o método. ·

Suponhamos que se deseje calcular yfa, onde a é um número real po­sitivo e n um número natural. Para isso, supomos conhecida uma função logarítmica L. Pela Propriedade 6, temos L{ \fã) = L( a) /n. Consuli.ando uma tábua de valores de L, encontramos o valor L(a), facilmente o divi­dimos por n e obtemos L( 1ã) = e, um número conhecido. Novamente usando a tábua (desta vez no S5!ntido inverso) encontramos um número posiüvo b tal que L(b) = e. Pela Propriedade 1, de L(b) = L( if<i) concluímos que b = ifã. Problema resolvido.

Re-examinando a solução acima surge uma questão. Quem nos ga­rante que, dado o número real e, podemos sempre encontrar b E R+ tal que L(b) = e? Noutras palavras, a solução do problema só estará completa se pudermos assegurar que a função logarítmica L: R+ -> R é sobrejetiva. Este ponto é esclarecido pelo teorema seguinte.

Tror,.mn 7 . Tr>rln f11w;(ia lo:;cirf!n:ic:i L t so!J:·cjc:f•a, {.:.lv .:, Jculv qw.ií­quer número real e, existe sempre um (único) número real posirivo x tal que L(x) =e.

Demonstração: A demonstração deste importante teorema, embora ele­mentar, é um tanta longa. ( O leitor pode, se quiser, omiti-la, passando diretameme ao Corolário.) Ela faz uso do seguinte

Lema. Seja L: R+ -> Ruma função logarítmica. Dados arbirrariarmeme dois números reais u < v, existe x > Oral que u < L(x) < v.

Esre lema significa que mdo intervalo aberto 1 = (u., v) comém ao menos num valor L(x) da função L. Evidentemente, trata-se de um resultado preliminar pois o Teorema 2 assegura que o intervalo 1 inteiro é fonnado por valores da função L.

Demons tração do Lema: Fixemos um número natural n maior do que.: (v - u)/ 1(2), logo 1(2)/n < v - u. Escrevamos e = 1(2)/n. Os

C.p.3 Funções logarilmlcas 19

múlliplos inteiros

m.c = m · 1{2) = L(2mfn), m E Z, n

decompõem a reta real em intervalos justaposlOS, cujo comprimento e é menor do que o comprimento v - u do intervalo I = (u, v). Portanto, pelo menos um

-2c -e e 2c 3c 4c: Se 6c

o o f o o o o ~ o f o ... o u v_ IR

Figura 1

desses múltiplos m.c = L(2mf n) cai no interior do intervalo I = (u., v). Pondo X= zm/n' temos u < L(x) < t).

Anles de demonstrar o Teorema 2, lembremos que todo número real a admite uma representação decimal

a1 a2 an a= ao,a1a2 . . . an .. . = ao+ 10 + 102 + ... + l On + ... ,

onde a parte inteira a0 é um número inteiro qualquer e os algarismos decimais an. n ~ 1, podem assumir os valores O, 1, 2, ... , 9. Para todo n ~ O, escreveremos

a1 a2 an CJ.n = ao,a1a2 ···ªn = ªº + 10 + 102 + ... + lOn .

Tem-se CJ.n ~ a e a - an < l / 1on para todo n ~O.

Se um número real x é menor do que o:, então deve existir um n ~ O tal que x < CJ.n. Com efeito, x < a significa que a - x é um número rc,11 pusiti vo. Tumc111us n 1~0 i;ramk 4uc

Então

1 - < a - x. 10n

1 a - O:r1 < -n < Q: - x,

10

logo a - CJ.n < a - x. Daí resulta x < ªn·

20 FunçC5es logarltmlcas Cap.3

Demonstração do Teorem:i 2: Dado arbitrariamente um número real b, 'devemos obter um número real positivo a tal que L( a) = b. Para achar a, usaremos uma versão moderna de um processo milenar para resolução numérica de equações, que os chineses antigos chamavam o "mécodo do elemento celestial". Esse mécodo consiste em detenninar, um a um, os inteiros

ao, ai, a2, ... ªn ... que compõem a representação decimal do número real

Em seguida, mostraremos que se tem de fato L( a) = b.

Para detenninar a parte inteira a0 , lembramos que L é uma função crescente ilimitada, logo devem existir inteiros k ta.is que L(k) > b. Seja a0 + 1 o· menor inteiro tal que L(a0 + 1) > b. Então temos L(a0) 5 b < L(ao + 1).

Em seguida, consideremos os números 1 2 9

ªº ªº + - ªº + - . .. ªº + - ªº + 1. ) 10' 10 1 ) 10 1

Como L(a0 ) 5 b <L(a0 +1), devem existir dois elementos consecutivos a 1 e a 1 +1/10 nessa seqüência, tais que L(ai) 5 b < L(a1 +1/10), isto é, deve existir a 1 inteiro, O 5 a1 5 9, tal que, pondo

tem-se

a1 cx1 = ao ,a1 =ao+-,

10

L(at) 5 b < L(a1+1/10).

Analogamente, considerando os números 1 2 9

a1, a 1 + 102, ª1 + 102, ... ª1 + 102,

vemos que existe a 2 , O 5 a 2 $ 9, tal que, pondo 0.1 a.z

ª1 = ao,a1a2 =ao+ 10 + 102,

tem-se

Cep.3 Funções logarilmlcas 21

Prosseguindo analogamente, enconcramos a representação decimal de um número real

_ a1 a2 an a - ao,a1a2·· · ªn···=ao + 10+102+···+1on +· ··

tal que, pondo an = a0, a 1~ . .. an. tem-se:

para todo n ~O.

Afirmamos qué L( a) = b. De fato, se fosse L( a) < b, usaríamos o Lema para obter x > O tal que L(a) < L(x) < b. Como L é crescente, isto implicaria a < x. Então, tomando n tão grande que x - a > l/lOn teríamos a+ l/lOn < x, logo

1 1 an + 10n ~ a+ 10"' < x.

Como L é crescente, de x > an + 1/1on resultaria

1 L(x) > L(an + ior~) > b,

um absurdo, pois o número x foi obtido de modo que L(x) < b.

Analogamente, não se pode ter L( a) > b. Com efeito, usando novamente o Lema, obteríamos x > O tal que

b < L(x) < L(a).

Como L é crescente, de L(x) < L(a) concluin'amos qlie x < a. Ism implicaria, entretanto, que x < an para alg•Jm n.. Então L(x) < L( an) ~ b, contrariando o faro de que x foi obtido de modo a satisfazer b < L(x).

Isto conclui a demonstração do Teorema 2.

Corolário. Toda ftmçáo logarfrmica L: R+ -+ R é uma correspondência biunívoca (bíjeçáo) entre R+ e R.

Qualquer função f dá origem a uma tábua de valores . Numa coluna, à esquerda, põem-se os valores da variável x e noutra coluna, à direita, os valores correspondentes de f (x). Para uma função arbirrária /, pode ocorrer que a diferentes valores de x correspondam o mesmo valor f (x).

22 Funções logarhmlcas Cap.3

O corolário adma mostra que toda tábua de logariunos (tábua de valores de uma função logarítmica) pode ser lida tanto da esquerda para a direita, o que é nonnal, como da direita para a esquerda. Dado um número real arbitrário y, podemos buscar na tábua o número x > O do qual y é o logaritmo. Como vimos acima, esta possibilidade é fundamental para o uso dos logaritmos no cálculo aritmético. A "tabela inversa" dos logaritmos, lida da direita para a esquerda é, na realidade, a tábua dos valores da função exponencial, que definiremos adiante.

Segue-se ainda do Teorema 2 que, dada a função logarítmica L: R+ -t R, existe um único número a > O tal que L(a) = 1. Este número é chamado a base do sistema de logaritmos 1. Para explicitar a base, muitas vezes se escreve La(x) em vez de L(x).

Se La e Lb são funções logaríunicas, com La(a) = Lb(b) = 1 (ou seja, de bases a e b respectivameme) então o Teorema 1 assegura a existência de uma constante e > O tal que Lb(x) = e· La(x) para todo x >O. Pondo x = a, resulta Lb(a) = e. Portanto temos

Lb(x) = Lb(a) · La(x)

pnrn t1vln T ...,. n. F <:tn r ? fórm11 l? rir m. •t"-i ~1p d!' bD~" d!:: IC'; :t:!1n:os.

Tradicionalmente. as bases de logaritmos majs comuns são 10 (porque nossos números são escritos usualmente no sistema de numeração deci­mal) e e = 2 ,718281, base dos logaritmos naturais, que estudaremos nos capítulos seguintes.

Exercícios

1. Seja F : R -t R uma função tal que F(x + y) = F(x) . F(y) para quaisquer x, y E R. Prove que se existir algum número b tal que F( b) = O, então Fé identicamente nula. Prove também que nenhum valor F(x) pode ser negativo. Pona1110, ou F é identicamente nula ou F( x) > O para todo X E R.

2. Uma bijeção E: R -t R+ chama-se uma junção exponencial quando sua inversa F: R+ -t R é uma função logarítmka. Prove que a bijeção E: R -t R+ é uma função exponencial se, e somente se, cumpre as condições:

(a) E é crescente~

Cap.3 Funções logarilmlcos 23

(b) E{x + y) = E(x) . E(y).

3. Dada uma função exponencial E: íl - R+, seja a = E{l). Prove que para todo número racional r = p/ q rcm-sc E(r) = ar.

4. Na definição de função logarúmica, substitua a palavra "crescente" por "dccrcscemc" e examine, urna a uma, as novas fonnas que assumem as conclusões des1e capítulo em face desta modificação.

4. Área de uma faixa de hipérbole

Primeiro o padre jesuíta belga Gregory Saint Vincent, em 1647, e depois Isaac Newton, em 1660, reconheceram uma relação estreita entre a área de uma faixa de hipérbole . e os logaritmos. Embora nenhum dos dois tenha identificado realmente essa área com os logaritmos naturais, nem tenham reconhecido o número e, suas observações pioneiras mostram que a concepção geométrica de urna função logarítmica é uma idéia muito antiga, com mais de 3 séculos e meio de existência. Além de antiga, ela é natural, iotuitiva e instrutiva porque constitui uma excelente introdução ao Cálculo Integral.

Neste capítulo, daremos os primeiros passos no sentido de expor essa concepção, introduzindo a definição de área de uma faixa de hinérbolr.. Para isso. supomos nxado no plano um sistema de eixos cartesianos. istQ é, duas retas orientadas, perpendiculares entre si. Cada ponto do plano ficará então representado por um par ordenado (x, y) de números reais, que são suas coordenadas em refação aos eixos previamente fixados, sendo x a abscissa e y a ordenada do ponto em questão. Por simplicidade, diremos apenas o pomo (x, y), em vez de o ponto cujas coordenadas são x e y.

Seja H o ramo positivo do gráfico da função y = 1/ x, isto é, da função que associa a cada número real positivo x o número y = 1/ x. H é o subconjunto do plano constituído pelos pontos da fonna (x, 1/x), onde x > O. Em símbolos,

1 H={(x,y); x>O, y = -}.

X

Geometricamente, H é o ramo da hipérbole xy = 1 que está contido no primeiro quadrante, isto é, um ponto (x, y) do plano pertence ao conjunto

Cap.4 Área de uma faixa de hlpêrbole 25

II se, e somente se, x > o e xy = 1.

y

l. X

X X

Figure 2

Uma faixa de hipérbole é obtida quando fixamos dois números reais po­sitivos a, b, com a < b, e tomamos a região do plano limitada pelas duas re tas verticais x = a, x = b, pelo eixo das abscissas, e pela hipérbole H. Indicaremos essa região pelo símbolo Hg.

y

_1_ o

l b

o b X

Figura 3 - A região haehurado ó a lolxa H~ .

26 Área de uma lalxa de hipérbole Cap.4

Portanto, a faixa Jfg é fonnada pelos pontos (x, y) cujas coordenadas cumprem simultaneamente as condições a 5 x ~ & e O ~ y ~ 1/x. Na notação da teoria dos conjuntos, temos

Mostraremos agora como proceder· a fim de calcular a área de urna faixa H~.

Por meio de pontos intermediários, decompomos o intervalo [a, b] num número finiw de intervalos justapostos. Com base em cada um dos intervalos [e, d] da decomposição, (onde e < d) consideramos o retângulo de altura igual a 1/ d. O vértice superior direito desse retângulo toca a hipérbole H. É o que chamaremos um retângulo inscrito na faixa Hg. A reunião desses retângulos inscritos constitui o que chamaremos um polígono retangular inscrito na faixa H~ .

X

Figura 4 - Pollgono retangular Inscrito na falxa H~.

É fácil calcular a área de um polígono retangular inscrito numa faixa, qunndo se conhecem os pomos de subdivisão do inrcrvalo [a, b]. Damos abaixo dois exemplos.

Exemplo: Seja a faixa Ilf. Se tomarmos a decomposição do in1er-

Cap.4 Área de uma faixe de hlpérbole 27

valo [1, 3] através dos ponlos intcnncdiários 1, 3/2, 2, 5/2, 3, obteremos um polígono retangular cuja área é igual à soma das áreas dos quatro retângulos abaixo hachurados, ou seja:

1 2 1 . 1 1 2 1 1 (2 X 3) + (2 X 2) + (2 X 5) + (2 X 3) =

l l 1 1 57 = 3 + 4 + 5 + 6 = 60.

3 2

2 5 2

3

Figura 5 - Uma primeira ap roximação para a ârea d e H~.

X

Se, porém, efetuannos urna subdivisão mais fina do imervalo [l, 3], por meio dos pontos

1 ~~~2~2-!: 3 , 4' 4' 4' 4' 4 l 4, ,

obteremos um polígono retangular inscrito em Hr, fomrndo por 8 retân­gulos justaposLOs, cuja área total vale

28 Área do uma faixa de hipérbole C.p.4

ou seja, 1,019 aproximadamence.

y

~--1~~~~~..o...:lo.....l....~~>Uo...~~~~-A..~~~~~ ..... 2. .§. L 2 .i. .!Q .ll 3 X 4 4 4 G 4 4

Figura 6 - Uma aproximação melhor para a â~ea H~.

r ,,h P"'í"""" r,. . ..,.,,. .. 1, .. :- ~~: .,. .. ., r., ;v., nb r,..-. . \ :v .,·1 u - - . . .... ·---a. ... ........ '"~"""' ' '• "• . j.

ximado por falia para a área de li!. Tamo mais aproicimado será esse valor quanto mais fina for a subdivisão do intervalo í a, b]. Isto é, quamo mais próximos uns dos outros estiverem os pontos de subdivisão, menor será a diferença entre o valor cx:uo da área de Hg e a área do polígono retangular inscrico. Assim, podemos definir a área de Hg do seguime modo:

A área de Hg é o número real cujas aproximações por falta são as áreas dos polígonos retangulares inscritos em Hg.

Se escrevermos A = área de Hg, ceremos A 2 área de P, qualquer que seja o polígono recangular P inscrito em Hg.

Além disso, refinando suficientcmcme a subdivisão do intervalo [a, b], podemos obter polígonos retangulares cujas áreas sejam tão pró-ximas da área de Hg quanto se deseje. Mais precisamente, dado qualquer número a < área de IJg, existe um polígono retangular P, inscrito em Hg tal que a < área de P < área de IIg.

Cap.4 Área de uma faixo do hlpórbolo 29

Podemos também dizer que a área de Hg é o e..\tremo superior du conjunto das áreas dos polígonos retangulares inscritos em Jig.

fsto significa que A= área de Hg é o menor número real tal que . \ área de P para todo polígono retangular P inscrito em [a, b].

Dizer que A é o extremo superior do conjunto das áreas dos polígonos retan~ulares P inscritos em Hg tem exatamente o mesmo significado que afimtar que os valores aproximados por falta da área Hg são as áreas dos polígonos retangulares inscritos nesta faixa.

Voltando ao exemplo anterior, vemos que. 57 /60 é uma aproximação inferior para a área da faixa !Ir, enquanto que 84.813/83.160 é uma a­proximação inferior melhor. Embora não saibamos ainda o valor exato da área de H?. já podemos garantir que Jit tem área maior do que 1, pois Área(Ilr) > 811.813/83.160.

Exercícios

1. Decomponha o intervalo [2, 3] em cinco partes iguais e calcule, desta maneira, uma aproximação inferior para a área da faixa de hipérbole H?. 2. Dada uma decomposição do intervalo [a, b] em intervalos justapostos, o erro que se comete ao tomar-se a área do polígono retangular P em vez da área da faixa JJg é a diferença E =(área de Hg) - (área de P). Prove que se tem E < ~(k - !). onde e é o comprimento do maior intervalo da decomposição.

Conclua que, fixado [a, b], podemos tomar o erro E tão pt:queno quanto se deseje (digamos, E < e), desde que comemos uma decomposição de [a, b] por meio de intervalos de pequeno comprimento. (Digamos, todos menores do que a· e.) Em particular, o erro que se comete ao se substituir n

J [ . 11 1' 1 , J l' 1 . . , . [ . i.lt~•1 .l .tt.\a 1 IJC a a1ea ~um po 1go110 rl...lJHgu ur 111 · ... 1110 ~ 111 ~1101 .tu

co•11primento do maior intervalo da decomposição.

3. Considere a parábola y = x2 . Defina a área A(x2)~ da faixa dessa parábola compreendida entre as retas verticais x = a e x = b. Decom­ponha o intervalo (0, l] em 1 O partes iguais e calcule, <.lesta maneira, uma aproximação inferior para a área A(x2)Õ· (Obtém-se 0,269.)

Divida o intervalo (0, l l em n + 1 intervalos justapostos de mesmo com-

30 Área de uma faixa de hlperbolo Cap.4

primento. Mostre que o polígono retangular Pn+i assim inscrito na faixa da parábola y = x2 tem área igual a

1 ( 2 2 2)

( ) 3 1 + 2 + 3 + ... + n . n+l

Na figura abaixo, tomamos n = 5.

1 2 3 4 6 6 6 6

Figura 7

2 y:).

Fazendo uso da conhecida fómrnla

verifique que

n 3 n2 n 12 + 22 + 32 + ... + n2 = - + - + -

3 2 6

1 1 3 1 área de Pn+i = 3. (1 + -k)3. (1 + 2n + 2n2)·

Conclua então que, para valores <.lc n cada vez maiores, a área de Pn+1 aproxima-se do valor 1/3. Logo A(x2 )ó = 1/3.

Isto demonstra o Teorema de Arquimedes, segundo o qual a área do "triângulo parabólico" de base [O, 1] é um terço da área do quadrado de

Cap.4 Área de uma laha do hipérbola 31

mesma base.

ºI Figura 8

4. Prove a fónnula 3 2

12 + 22 + ... + n2 = ~ + ~ + !: 3 2 6

considerando a igualdade (i+ 1)3 = i 3 +31"2+3i+1 parai= 1, 2, ... , n, somando membro a membro e simplificando.

5. Usando a igualdade (i + 1)4 = i 4 + 4i3 + 6i2 + 4i + 1, prove que

n·l n3 n2 13 + 23 + · · · + n = - t- - + -

·l 2 1

e conclua que o conjunto dos pontos (x, y) do plano 1ais que O 5 x 5 1 e O$ y 5 x3 1em área igual a 1/4.

6. Uma função f : I - R, definida num intervalo J, chama-se convexa quando, para quaisquer a < bem J , tem-se:

a< x < b '* f(x) 5 f (a)+ f(bi =~(a) (x - a).

32 Áreo de uma faixa de hlpérbolo Cap.4

(Isto significa que o gráfico de f sirua-se abaixo de qualquer de suas secantes.) Prove que a função /: R+ -+ R, definida por f(x) = 1/x, é convexa.

5. Aproxirnação por trapézios

Para calcular a área de uma faixa Hg podemos lambém adotar o seguinte mélodo. Dada uma decomposição de [a, b] cm intervalos justapostos, so:. bre cada incervalo [e, d] da decomp9sição, cm vez do retângulo inscrito com base [e, d], consideramos o trapézio secante, o qual tem a mesma base, os dois lados verticais tendo comprimento 1 /e e 1/ d rcspectiva­mente, de modo que dois dos seus vénices toquem a hipérbole II. Como a curva y = l /x lcm a concavidade voltada para cima, esse tTapézio contém a faixa Hg cm seu interior. A reunião dos trapézios assim obti­dos fonna um polfgo110 trapezoidal secante à faixa H! e a área desse polígono dá uma aproximação por excesso da área de Hg.

Convém observar que, como os lados inclinados desses trapézios se aproximam mais da hipérbole H do que as bases superiores dos retângulos inscritos, as aproximações obtidas deste modo são melhores do que as encontradas da maneira anterior. IslO se dá, mais acentuadamente, nos pontos mais próximos de O, isto é, em faixas IIg com a e b pequenos. De fato, para valores pequenos de x, a curva y = l/x é muito inclinada. Por curro lado, para valores muito grandes de x, a hipérbole y = 1/x é pouco inclinada (isto é, quase horizontal) e portanto a base superior do retângulo inscrito é uma boa aproximação para a curva. Muitas ve­zes, porém, se necessitam aproximações inferiores. Assim, por exemplo, através de aproximações superiores nunca poderíamos conc:luir que a área <fo 11( é ,,> 1.

Como iluscração calculemos uma aproximação superior para Hr pelo método dos rrapézios secantes, decompondo o intervalo [l, 3] cm 8 inter­valos de mesmo comprimento, igual a 1/ 4.

34 Aproximação por trap62los Cap.5

Obtemos 8 trapézios. A área de cada um deles é igual a 1/8 (metade do lado horizontal) vezes a soma dos lados verticais. Ora, os lados verticais desses trapézios têm medidas l/x, onde x = 1, x = 5/4, x = 6/4 etc. As medidas dos 9 lados verticais são:

l 0,8 0,666 0,571 0,5 0,444 0,4 0,363 0,333.

·Y

X

Figura 9 - Aproximação de H~ por trapézios secantes.

A área do polígono trapezoidal secante, igual à soma das áreas dos 8 trnp6zios, vale portamo

l 8[(1+0,8) + (0,8 + 0,666) + (0,6G6 + 0,571)+

+ (0,571 -t 0,5) + (0,5 + O,<M-l) + (0,444 + 0,4)+

+ (0,4 + 0,363) + (0,363 -t 0,333)J.

Esta expressão pode ser simplificada, resultando igual a

Cap.5 Aproximação por lrapél.los 35

1 4[0,5 + 0,8 + 0,666 + 0,571 + 0,5 + 0,444 + 0,4+

. 4 410 +0,363 + 0,166] = _,_ = 1,1025.

4

Se comparannos este resultado com' a aproximação inferior, obtida no Capítulo 4, podemos escrever:

1,0198 < Área(Jlf) < 1,1025.

De modo análogo, podemos considerar, sobre cada intervalo [e, d] da decomposição [a, b] , o trap~zio com base [e, d], dois lados verticais (cujos comprimentos são, como veremos, irrelevantes) e cujo lado inclinado é a ra11gen1e à hipérbole tirada pelo ponto de abscissa (e + d) /2, a qual chamaremos de tangente pelo ponto médio. Esse trapézio será chamado o trapézio tangente à hipérbole no intervalo [e, d]. ficando subentendido que essa tangente será sempre traçada pelo ponto médio do arco cd da hipérbole. (Veja a Figura 10.)

A área do rrapézio tangente é

d - c 2-­d+c

pois 2/(d +e) é sua base média e d - e é sua altura.

A reunião dos trapézios tangentes (relativos a uma decomposição dada do intervalo [a, b]) é o que chamaremos polígo1UJ rrapezoidnl tan-gcn· . ~ faixa Tf~. Sua área é uma aproxim nçfio por falta da área .de . Hg.

Mostraremos a seguir que a aproximação dada pelos 1rapézios 1an­gentes é melhor do que a dada pelos trapfaios secantes.

Com efeito, em cada intervalo [e, d] da decomposição, ao aproximar­se a área da faixa de hipérbole Hg pela área do trapézio tangente, o erro cometido é menor do que quando se aproxima a mesma área pela do

36 Aproximação por trapézios

trapézio secante.

e c+d 2

Agura 10

Cap.5

d

Para convencer-se disso, considere a parte da figura acima compreen­dida enlre a tangente e a secante. Trace duas secantes auxiliares, AB e BC. A soma das áreas dos triângulos hachurados é igual

e

Figura 11

à soma das áreas dos triângulos não hachurados [=segmento venka1 médio vezes (d- c)/2]. Logo a parte do trapézio secante que excede Hg tem área maior do que a parte que falta ao trapézio tangente para igualar Hg. Observação. Usando trapézios tangentes, a decomposição de (1, 3J em oito subintervalos de comprimento l / 4 nos fornece a aprox imação por falia

2 2 2 - + - + ... + - = 1 0963 9 11 23 1

para a área de H?. Note que o valor dessa área com quatro algarismos decimais exatos é l ,0986.

Cap.5 Aproximação por t rapi!zlos 37

Exercícios

1. Seja A a área da faixa de hipérbole Hg. Comparando-a com as áreas do trapézio tangente e do trap~zio sei::antc, mostre que se tem

2(b - a) b2 - a2

a+b <A< 2ab ·

Confronte este resultado com o Exercício 4 do C:ipítulo 6.

2. Indique com A~ a área da faixa de hipérbole Hg. Mostre que, para todo x > -1 (isto é, tal que 1 + x > 0). tem-se

_2_ < .!. . Ai-rx < 2+x 2 +X X 1 2(1 +X)°

(Compare a área da faixa de hipérbole H{+x com as áreas dos trapézios secante e tangente.)

6. Propriedade fundamental

O fato mais importante a respeito das áreas das faixas de hipérbole é expresso pelo teorema abaixo:

Teorema 3. Seja qual for o número real, k > O, as faixas Hg. e II!~ tDm a mesma área.

Demonstração: Observemos primeiramente o seguinte fato. Dado um retângulo inscrito em H, cuja base é o segmento [e, d] do eixo das abc is­sas, o retângulo inscrito em H e com base no segmento [ck, dk] tem

l d

1 dk

X

Figura 12 - Os rotãngutos hachurodos tem a mesma ãroa.

Cop.6 Propriedade lundamcnlol 39

mesma área que o anterior. Com efeito, a área do primeiro é igual a

l e (d - e) X d = 1 - d'

enquanto a área do segundo é

Consideremos agora um polígono retangular P, inscrito em Hg. Se multiplicannos por k cada uma das abcissas dos pontos de subdivisão de [a,bJ, determinados por P, obteremos uma subdivisão do intervalo [ak, bk j e portanto um polígono retangular P', inscrito na faixa H!Z·

Cada um dos retângulos que compõem P' cem a mesma área que o retânguJo correspondente em P. Logo a área de P' é iguaJ à de P.

y

o e d b ok ck dk bk X

Figuro 13

Concluímos assim que, para cada polígono retangular inscrito em Hg, existe um inscrito em H!~ com a mesrnn área. Analogamente (dividindo abcissas por k) veríamos que, para cada polígono retangular Q' inscrito em H!~· existe outro Q. de mesma área, inscrito em Hg. Isto significa que as areas destas duas faixas são números que possuem exatamente as

40 Propriedada fundamental

mesmas aproximações inferiores, e portanto são iguais.

y

-t-~-..J~~""-~~~~L....>..~~~~~,.__,.~~~~

1 T

2

Figura 14

4 X

Cnp.6

Tlnrn ""n<:t"'1ii;;nl'ia ck<:1e 1eorcmc:1 é one podemos resuineir nossa con­sideração às áreas das faixas da fom1a Hf, pois

• 0 ' b/a ' e / Area(Ha) = Area(H1 ) = Area(H1 ), e= b a.

Quando a< b < e, o leitor verificará, sem dificuldade que

Area(Hg) + Área(Hg) = Área(Hg)

A fim de manter a validez da igualdade acima para quaisquer a, b, e reais, convencionaremos que

Arca(Hg) = O e Árca(Hg) = -Área(Hg').

~sta última convenyâo implica em considerar áreas negativas. Assim Area(H J) = - Area(Hf) < O. Isto contraria a tradição mas, em compensação, a igualdade (*)acima torna-se válida sem restrições. Pro-

C1p.6 Proprledadc fundamental 41

vemos esta afim1ação.

y

e o b X

Flguro 15

Por exemplo, se e.< a< b, remos

Árca(Hg) = Área(II~) + Árca(Hg).

Daí segue: Área(H!) - Área(JJg) = - Área(H~),

ou seja,

Área(H!) + Área(Hg) = Área(JJ~). {")

O leitor poderá demonstrar, do mesmo modo, a validez da igualdade ( •) nos 11 tki:i:li..; c.1 {.'· que são:

a < e < b, b < a < e, b < e < a, e < b < a.

Mesmo que se tenha a = e, a = b, b = e, ou a = b = e, a desigualdade (*) ainda se mantém verdadeira. Isto é trivial, pois a = e, por exemplo, faz com que a igualdade se tome

Árca(lí!) + Árca(Jíb) = O,

42 Propriedade fundamental Cap.6

o que é evidente. O leitor examinará os 3 demais casos.

Observação: O teorema que afinna serem as áreas de Hg e H~~ iguais continua válido mesmo com esta convenção de sinais. De fato, ainda que se tenha b < a. será também bk < ak pois k > O. Portanto, se for b < a teremos

Área(Hg) = -Área(Hg) = -Área(Hg{) = Área(H!~).

Exercícios

1. Sejam O < a < b e k > O. Prove que a faixa da parábofa y = x 2

siruada sobre o intervalo [ak, bkJ tem área igual a k3 vezes a faixa siruada sobre o intervalo [a, b].

l

o Figura 16

2. Defina uma função real de variável real f: JR --. IR pondo J (x) = area da faixa da parábola y = :r2 situada sobre o intervalo [O, xJ. Adote a convenção de que tril área é negativa quando x < O. Mostre que a função f assim definida satisfaz à condição

f(kx) = k3 • f(x)

Cap.6 Propriedade fundamental 43

para todo k real. Seja a = J (1). Conclua que J (x) = ax3 para todo x real. Usando o Exercício 3 do Capílll lo 4, conclua que a = 1/3, e portanro f (x) = x3 /3 para Lodo x.

o X

Figura 17

3. Quanto mede a área da faixa da parábola y = x2 situada sobre o intervalo {2, 3J? Mesma pergunta para um intervalo qualquer [a, bJ .

4. Mostre que, se a< b, então a faixa Hg da hipérbole y = l/x tem uma área A que satisfaz às desigualdades

a b l -b< A<a - 1.

5. Prove que a faixa Ht98 tem área maior do que l e menor do que 1,2.

6. Para todo x > = O, sejag(x) a área da faixada "parábola cúbica" y = x 3

situada sobre o intervalo [O, x]. Prove que .Q(X) = x 4 /4.

7. ·Logaritmos naturais

Seja x um número real posn1vo. Definiremos o logaritmo 11ac11ral de x como a área da faixa H'f. Assim, por definição, quando x > -0, escrevendo ln x para indicar o log~cmo natural de x , temos:

ln x = Área(Hf).

Lembramos que a convenção de tomar Área(H'f ) < O quando

X

Figura 18 - A úroa hach urada 6 Ig ual a ln x.

Ccp.7 Logaritmos nalurala 45

O < x < 1 será sempre adotada.

y

lt X

Figura 19 - Quando O < X < 1, ln x é o área da faixa hachurada, com o sinal menos.

Em particular, quando x = 11 IIt reduz-se a um segmento de rera, portanto tem área igual a zero. Podemos então escrever

ln l =O;

ln x > O se x > 1;

ln x < O se O < x < l.

Não está definido ln x quando x < O.

O log~ritmo '111l' l' '1:1mn" cldinindo ~~. por :il r'lfn<: a11torc<;, ch1111:tdn logaritmo neperiano. Preferimos chamá-lo de logarirmo natural, mesmo porque o logaritmo definido por Napier tinha valores diferentes deste. ~1ais adiante, introduziremos outros logaritmos, inclusive os decimais.

Exemplo. Calculemos um valor aproximado para ln 2. Subdividamos o imcrvalo [1 1 2) cm dez partes iguais, por meio dos pontos de subdivisão.

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2.

46 logaritmos naturais Cap.7

Os valores de 1/x quando x assume os onze valores acima são:

1 0,909 0,833 0,769 0,714 0,666 0,625 0,588 0,555 0,526 0,500.

Uma aproximação inferior para ln 2 será fornecida pela área do po­lígono retangular inscrito na faixa H'f, fonnado por 10 retângulos cujas bases medem 0,1 e cujas alcuras são os dez. últimos valores de 1/ x na lisca acima. A área desse polígono retangular será portanto igual a 0,6685. Obtemos assim 0,6685 como um valor aproximado (por falta) de ln 2.

P4ra ter uma aproximação por excesso do valor ln 2, consideraremos os 10 trapézios circunscricos à faixa H'f, detenninados pela mesma sub­divisão. A soma das dez áreas desses trapézios será igual a 0,6935, como o leitor facilmente conscacará.

Podemos então afinnar que ln 2 é um número compreendido entre 0,6685 e 0,6935. Em outros tennos:

0,6685 < ln 2 < 0,6935

Comprovando que as aproximações trapezoidais são melhores do que d::. 11.-lci11gul<U\-::>1 i;1fu1111 .. 1110::. que o Vdiu1 Jc 111 ~. 1.:0111 ..J. a1ga11::.111us uc1..1-

mais exatos, é 0,6931.

O leitor fica convidado a calcular a área do polígono trapezoidal tangente relativo à mesma subdivisão e verificar que sua área fornece uma aproximação (por falta) ainda melhor para ln 2.

Fica assim definida uma função real

ln: R+-+ R,

cujo domínio é o conjunto R+ dos números reais positivos.

A cada número real x > O, a função ln faz corresponder seu loga­ritmo natural , ln x, definido acima.

Teorema 4. ln: R+ --+ R é uma função logarftmica.

Dcmonslração: Devemos mostrar que ln goza das propriedades A) e B) especificadas no Capítulo 3. Começa.remos provando que

ln(xy) = lnx + ln y.

Cap.7 Logaritmos naturais 4 7

Ora, já vimos acima que

Arca(HtY) = Area(/Jf) + Area(H;Y),

seja qual for a posição relativa dos pon1os de abcissa 1, x, xy sobre o eixo horizontal. Já vimos também que

, x y , Y Area(If x ) = Ar~a(H1 ).

(Vide Teorema 3, com x aqui desempenhando o papel de k.) Segue-se que

Área(H~Y) = Área(Iff} + Área(Ilf),

isto é, ln(xy) =Ln x +ln y.

Em seguida , provaremos que ln é uma função crescente. Dados x, y E R+, dizer que x < y significa afirmar que ex iste um número a > 1 tal que y = ax. Segue-se que

ln y = ln a + ln x.

Como a > 1, temos ln a > O. · Portanto ln y > ln x. Tsto completa a demonstração do Teorema 4.

Como vimos no Capítulo 3, as seguintes regras de cálculo com loga­rionos naturais (onde x, y são mímeros reais posi1ivos e m E N) resultam do Teorema 4 :

ln(xy) = lnx + ln y

1 ln(-)=- lny

y X

ln(- ) = ln x- lny y

ln(x"l) = m ·ln x

ln o/X = ln x . m

São estas fórmulas as responsáveis pelo interesse comp11racional dos logaritmos, pois elas permitem reduzir cada operação aritmética a uma operação mais simples. (Exceto, é claro, quanto à adição e à subtração.)

48 Logaritmos naturais

Exemplo. Suponhamos que se deseje calcular .e/9. Temos

ln( .v'9) = ln 9. 5

Cap.7

Pela tábua de logaritmos naturais (vide Apêndice), vemos que ln 9 = 2,1972. Portanto,

21972 ln(-t9) = '

5 = 0,4394.

O número procurado, W. tem para logaritmo natural 0,4394. Procurando na mesma tábua, vemos que ln(l,55) = 0,4383 e que ln(l,56) = 0,4447. Podemos então concluir que 1,55 é um valor aproximado (por falta) para {19, com dois algarismos decimais exatos. .

Mais exemplos de cálculo com logaritmos serão visros no Capítulo 11.

Esboçaremos agora o gráfico da função ln.

O gráfico de uma função real de variável real f é o subconjunto do plano formado pelos pontos cujas coordenadas cartesianas são (x, f (x)), onde x varia no domínio de f.

Assim, o gráfico da função logaritmo natural é o conjunto

G = {(x, ln x); x >O}.

O conhecimento do gráfico da função logaritmo natural pennitirá que se tenha uma idéia global sobre o comportamento desta função. Para traçá-lo, lembremos que ln, sendo uma função logarítmica, é crescente, rnmitada nos dois sentidos (superior e inferiormente) e sobrejeliva.

Estes fatos mosrram que o gráfico de ln x é uma curva contida no primeiro e no quarto quadnintes, a qual corta o eixo das abscissas no ponto x = 1 e que, quando x varia emre O e +oo, a ordenada do ponto (x, ln x) sobre a curva cresce de -oo a +oo. Portanto, o gráfico de ln x tem a forma da Figura 20. Uma informação mais precisa sobre o aspec10

Cap.7 Logarfllnos naturais 49

geomécrico do gráfico é fornecida pelos Exercícios 14 e 15, a seguir.

y

o

Figure 20

Exercícios

1. Dados ln 2 = 0,6931e ln3 = 1,0986, ache:

a) ln6.

b) ln 72.

e) ln(2m x 3n).

d) 1 27 n 12s ·

e) ln 0,666 · · ·

f) ln Jl2.

y: lnic

-X

2. Mostre que, se os mímeros positivos a 1 , a 2 , • · · , am são 1cnnos de l!lll ;l (' l"Ot,Í'--> .~ / &.!~ ... : 1. : ... ,1, LOl~v 111 <L1 1 l11 <L2 , lu <.L3 1 · • 1 (11 t' m iullU..Ull

uma progressão aritmética.

3. Mosrre que, para todo x ~ 1 tem-se:

X 1- V X2 - 1 ;-;:;---: ln = 2 1 n ( x + v x2 - 1).

X - Jx2 - l

4. ~Iostre que para rodo x > O e todo h > -x (h racional, não-nulo)

50 l ogaritmos na1urals

tem-se: ln(x + h) - lnx = Jn(l + !!:.)1/h.

h X

5. Mostre que, se y e a são positivos, então:

y Ja2+y2-a ln = ln .

a+ Ja2 +y2 y

6. Usando a tábua no Apêndice, achar valores aproximados de

1{19,99 e (1,23) 10

com 2 algarismos decimais exatos.

Cap.7

7. Dados os números reais positivos a, b, exprimir a área da faixa de hipérbole Hg em termos de logaritmos naturais.

8. Assinale a resposta cerca:

Se ln x = ln y, podemos concluir que x = y porque:

a) Um número não pode ter dois logaritmos.

b) A fur.ção ln é biunívoca.

e) A função ln é comínua.

d) Nenhuma das respostas acima: de ln x = ln y não se pode concluir x = y. do mesmo modo como de sen x = sen y não se deduz x = y.

9. Ache os valores reais de x que satisfazem cada urna das igualdades abaixo:

a) 3 1nx+ ln3 = ln5.

b) ln(x + 3) + ln x =ln 28.

c) ln(x + 1) - ln x = ln 3.

d) ln(x - 1) + ln(x + 2) =: ln 6.

e) ln x =~ ·ln J'2 + i ·ln 2 - ~ · ln \/2 + i ·ln 8 - ~ ·ln ~ · 10. Mostre que a soma

1 1 1 Sp = 1 + - + - + ·. · + -

2 3 p

Cap.7 Logarllmos nalurals 51

é maior do que ln(p + 1) e conclua que limp-oo Sp = oo. Isto se escreve rnmbém assim:

1 1 1 l + - + - + ... + - + ... = oo.

2 3 p

11. Mostre que, para todo inteiro p > O, temos

o< Sp - ln(p + 1) < 1

(onde Sp = 1+ 1/2+ 1/3+· · ·+l/p). Mostre também que Sp - ln(p+ l) cresce com p, isco é, Sp - ln(p + 1) < Sp+i - ln(p + 2).

Obser vação: O limite

1 = lim !Sp - ln(p + l )j p-oo

é chamado a "constante de Euler". Até hoje não se sabe se / é racional ou irracional. Um valor aproximado para a constante de Euler é / = 0,5772.

Conclua que, para valores muito grandes do inteiro p, a expressão

1 1 1 + - + ... + -- -1. 2 p- 1

é uma boa aproximação para ln p.

12. Dctennine o valor de x em cada uma das equações abaixo:

a) ln x = ln(a - b) + ln(a + b).

b) ln x = 3 · ln a - 4 ·ln b + 5 · ln e.

c) ~ · ln r + 2 · ln s = ~ · ln t3 + ln x. 13. Assinale abaixo as afim1ações certas e as erradas:

a) lnN = - ln }J.

b) .,fã.= ! · ln a.

e) (ln x)G = 6 · ln x.

d) ln ab, = ln a+2 ln b e ln e ·

e) ln(xy)3 = (ln x + ln y)3.

f) ~ = lnp - lnq.

52 Logaritmos naturais cap.7

g) x 3 = 3 · ln X.

h) 3 ln(ln x) = ln(ln x)3 .

i) ln N = * ln(Nªfb). j) ln(a3 + b4 ) = 3 · lna + 4 · lnb.

k) ln{sec 8 - tan O) = - ln(scc 8 + tan O).

1) l · ln a + l · ln b2 - l · ln e = ..1.. • ln !t..ft 3 4 6 12 e• · 14. Sejam a ~ x ~ b números positivos. Examinando a figura prove que se tem:

b-x lnb -lnx < -- e

- X x-a

lnx-lna > --. - X

Conclua daí que

lnb - ln x b-x ln x - ln a ~ x - a e que

ln b- !na b- a ----<--. lnx-lna-x - a

15. Uma função f: I -. R, definida num intervalo/, chama-se cô11ca\·a quando para quaisquer pontos a, bem I, com a < b, a parte do gráfico de f situada sobre o intervalo [n, bl está acima do segmento de reta que une oc; pomos (a, j (a)), ( b, j ( b)) no piar.o. Prove que f é côncava se, e somente se, para quaisquer a, b, x em/, com cr.. $ x ~ b, tem-se

x-a f(x)? f(a) + b _a [f(b) - f(a)].

a X b

Figuro 21

Conclua, usando o exercício anterior, que a função ln x é côncava.

16. Prove que f: (l, +oo)--. IFt, definida por f(x) =ln ln x, é côncava e conclua que ln a/ ln b < ln b/ ln e se 1 < a < b < e e e - b = b - a.

8. O número e

Em virtude do Teorema 2, existe um un1co número real positivo cujo logaritmo natural é igual a 1. Tal número é representado pela letra e. Ele Ç a base do sistema de logaritmos naturais. _

Portanto, as afinnações "ln x = l" e "x = e" são equ ivalentes. Em / símbolos, temos:

ln x = 1 -<==? x =e.

y

2 e 3 X

Figura 22

54 O número e Cap.8

Vê-se imediatamente que e > 1, pois os números reais posilivos menores do que 1 têm logarilmos negativos.

Lembrando o significado geométrico dos logaritmos nalurais, vemos que a faixa Hf tem área 1.

Vimos, nos Capítulos 5 e 7, que a faixa Hl tem área menor do que 1, enquanto que Hr tem área maior do que 1. Em outras palavras: ln 2 < 1 < ln 3. Concluímos daí que 2 < e < 3, ou seja, que o número e está compreendido entre 2 e 3.

Pode-se demonstrar que o número e é irracio~al. Portanto, seu desen­volvimento élecimal não termina nem é periódico. Um valor aproximado de e, com 12 algarismos decimais exatos, é: ·

e = 2,718281828459.

Teorema 5. Seja r = p / q um número racional. Tem-se y = er se, e somente se, ln y = r.

Demonstração: Se y = er, enlão ln y = r · ln e = r, pois ln e = 1. Reciprocamente, seja y > O um número real tal que ln y = r. Como ln(er ) = r e ln é nmll função biunívoca. ronrl11ímos onr ]J = l? r .

Assim, pelo menos para potências de expoente racional de e, o loga­ritmo natural de um número é o expoente ao qual se deve elevar a base e a fim de obler esse número.

Exercícios

1. Dado ln 2 = 0,6931, ache:

a) ln 16.

b) ln ~ -

e) i G•I n er·

d) ln[i.

e) e' ln T·

f) lnW,.

Ce p.8 O nümero e 55

2. Qual é a área da fa ixa de hipérbole H f, onde x = 1,359140914229?

3. A faixa de hipérbole ITf lem área igual a 5. Qual é o valor de x?

9. A função exponencial

Motivados pelo Teorema 5, definiremos agora a potência ex (lê-se "e elevado a x"), onde x é um número real qualquer. ·

Definição. Dado o núm~ro real x, ex é o único número positivo cujo logaritmo natural é x.

O Corolário do Teorema 2 assegura a existência de ex, e sua unici­dade.

Geomerricamente, y = ex é a abscissa que devemos tomar para que a faixa de hipérbole Hf tenha área x.

X

Figura 23

Cap.9 A função expononclol 57

Vê-se que ex > O para todo x, que ex > 1 quando x > O e que ez < l quando x < o.

A equivalência abaixo é a definição de ez:

y = ex , <==> x = lny.

Em virtude do Teorema 5, quando x = p/q é um número racional, o número y cujo logaritmo é x é precisamente y = W. Logo, parn x = p/q racional, a nova definição de ez coincide com a usual: eP/q = :?/ê.P. Em particular, pà.ra n > O inteiro:

en = e· e · . .. · e; (nAatores ) ,

-n 1 e =n· e

Por outro lado, agora tem sentido tomar ez, mesmo com x irracional. Por exemplo, e./2 é simplesmente o número y > O tal que a área de Hr vale V?,.

y

5 X

Figura 24 - A ârca da faixa hachurada mede Ji. Todo mundo sabe que .,/2 vale aproximadamente 1,414. Para achar

um valor aproximado de e..fi, basta procurar na tábua de logaritmos naiU­rais (vide Apêndice) o número cujo logaritmo mais se aproxima de 1,411. Encontramos:

ln4,14 = 1,413 e ln4,12 = 1,416.

58 A lunçóo expononclal Cap.9

Segue-se que 4,11 < e.fi. < 4,12,

sendo a aproximação por falca, 4,11, melhor do que a aproximação por excesso, 4,12.

Enquanto ln x tem sentido apenas para x > O, ex é definido para todo valor real de x. A correspondência z .._.. ex define uma função cujo domínio contém todos os números reais. Esta é a função exponencial.

A função exponencial y = e:z: é a função inversa qa função logaritmo natural. Isto quer dizer que as igualdad.es abaixo são válidas para todo x real e todo y > O:

Assim, se a função exponencial transforma o número real x no nú mero real positivo ex, a função logaritmo natural transfomrn ex de volta em x. Reciprocamente, a função exponencial leva ln y em y.

A primeira das igualdades acima é simplesmente a definição de ez: é o número cujo logaritmo é x. Quanto à segunda, e1n Y é o número cujo logaritmo é igual a ln y; ora, tal mímero só pode ser y.

A p1 upm:u..iú1,; 1 uru.1a111cnial t.la l llll\:JO cxponenc1al e dada pelo teo­rema seguinte.

Teorema G. Para todos os nlÍmcros reais, x. y, tem-se

ez. eY = ez+v.

Demonstração: Como ln é uma íunção logarítmica, temos:

ln(ez · eY) = ln(ez) + ln(eY) = x + y .

Assim, ex· eY é o mímero real cujo logaritmo natural é igual a x + y. Por conseguinte, ez · eY = ez+y_

Corolário. Para todo número real x, e-z = l/ez.

Com efeito, sendo evidente que c0 = l, podemos escrever, em virtude do Teorema 6:

Por conseguinte, e-x = l /ez.

Cap.9 A função exponencial 59

Teorema 7. A função exponencial y = ex é crescente e assume todos os valores positivos quando x varia entre -oo e +oo.

Demonstração: Para mostrar que a função exponencial é crescente, sejam x, y números reais, com x < y. Como x = ln(e:i;) e y = ln(é'), não podemos ter ex = eY, pois isto acarretaria x = y. Nem podemos ter eY < ez porque então seria ln(eY) < ln(ez), ou seja, y < x. Assim, quando x < y, deve-se ter ez < eY.

Para provar que os valores ez incluem todos os números reais posi­tivos, consideremos um número.real qualquer a > O. Tem-se e1

" ª = a, logo a é o valor que a função exponencial ex assume quando x = ln a.

Observação. Tem-se lim ez = + oo e lim ez = O. z-+= x--=

Vejamos o primeiro limite. Quando x > O, a faixa de hipérbole Ht, cuja área vale x, esta contida no retângulo de alrura 1, com base no segmento [1, ez]. A área deste retângulo vale ex - 1. Segue-se que x < ex - 1, ou seja:

ez > 1 + x , para todo x >O .

y

Figura 25

É imediato, então, que lim2 _ 0 ex = oo.

60 A função exponencial

Quamo ao segundo limite, escrevemos y = -x. Então:

lim ez = lim e-Y = lim ~ =0 z--oo y-oo y-oo eY

Cap.9

pois quando eY cresce infinitamente, seu inverso 1/ eY deve tender para zero.

Tracemos agora o gráfico da função exponencial. Ele é o subconjunto E do plano, formado pelos pontos cujas coordenadas cartesianas são (x, ez). Ou seja:

_E = {(x,y);y = ez}.

Comparemo-lo com o gráfico G da função logaritmo natural. Temos:

G = {(u, v ); u >O, v = ln u} .

Podemos então afirmar:

(:r. ?') nf' nr nrc 11 p,

~ y = ez

~ X= iny

~ (y, x) pertence a G.

Em outras palavras, o ponto (x, y) está no gnífico de ez se, e somente se, o ponto (y, x) pertence ao gráfico da função logaritmo. Que significa isto, geometricamente?

A diagonal do plano é a reta formada pelos pontos (x, x) que têm abscissa igual à ordenada. Dado um ponto qualquer (x, y) no plano, o ponto (y, x) é o seu simétrico em relação à diagonal, ou seja, é o lugar onde o.ponto (x, y) v;ii cair quando se dobra o plano em torno da diagonal. Para convencer-se disto, basta notar que os pontos (x, x), (x, y), (y, y) e (y, x) são os vértices de um quadrado. A reta y = x é a mediatriz do

cap.9

V

(x,y} ~----------­' . ' ' ' ' ' '

J 1 1 1 1

l 1 1 1 1 1

1 '1 (it,x) -----------~ (y,x)

Flgur.i 26

Figura 27

A lunçio exponencial 61

Dlogonol

X

G: ~= lnx

62 A função exponencial Cap.9

segmento cujos extremos são (x, y) e (y, x) porque as diagonais de um quadrado são perpendiculares e se cortam mutuamente ao meio.

Vemos então que os pontos do gráfico E da função exponencial são os simétricos dos pontos do gráfico G da função logaritmo, em relação à diagonal. Para obter E, basta dobrar o plano em tomo da diagonal e observar onde vão parar os pontos de G.

Exercícios

1. Por que se pode assegurar que exis1e um número y > O tal que a faixa de hipérbole HY tem área igual a 7r? Quantos números y existem com esta propriedade? Qual a relação entre y e o número e?

2. Sabendo que 1,732 é uma aproximação de v'3 com 3 algarismos decimais exatos, calcular o valor de evS com 2 algarismos decimais exatos. Usar a tábua no Apêndice.

3. Para todo x > O, mosrre que se tem

x'2 ez > I + x+ - .

' • j

4. Dado, a> O, detem1inar x tal que a faixa de hipérbole H'fí tenha área igual a um número real b dado.

S. Simplifique et11e1

e21ne, e3t112.

10. Outras bases

Seja k uma constante positiva. Em vez de y = l/x, podemos considerar a hipérbole y = k/x para definirmos logaritmos. Para cada valor de k escolhido, temos um novo sistema de logaritmos. Evidentemente, a escolha mais natural é k = 1, por isso os logaritmos que vimos estudando até agora· chamam-se naturais.

· Dados dois pomos de abscissa a e b no eixo dos x, indiquemos com Il(k)~ a faixa da hipérbole y = k/x compreendida entre as retas x = a e x = b. Quando k = 1. continuaremos a indicar com Hg a faixa da hipérbole y = l /x situada entre as retas x =a e x = b.

y

y:.!.. X

-o b X

Figura 28 - A área da lalxa H(2)~ ê o dobro da área de H~

64 ()ulrU baH8 Cap.10

Afirmamos que a área de H(k)~ é igual a k vezes a área de Hg.

Com efeito, dado um segmento [e, d) contido cm [a, b], um retângulo de base !e, dJ, inscrito na hipérbole y = 1/ x, tem altura 1/ d, enquanto que um retângulo de mesma base, inscrito na hipérbole y = k, tem altura k / d. Logo a área do segundo é k vezes a área do primeiro. Toda subdivisão do intervalo [a, b] determina dois polígonos retangulares, um inscrito na faixa Hg e o outro inscrito na faixa II(k)~. Segue-se que a área do segundo é k vezes a área do primeiro. Concluímos que

Área de Jl(k)~ = k X Área de Ht

pois são dois números reais com as mesmas aproximações inferiores.

Fixada a constante k > O, introduzimos um novo sistema de loga­ritmos, pondo, por definição, para cada x > O:

logx = Área de JI(k)f.

Como acabamos de ver, isto equivale a dizer:

logx = k · lnx.

A base do novo sistema de logaritmos é o núm~ro a > O tal que log a = l. Por conseguinte, ti base a fica caracterizada pela propriedade k ·ln a = 1. Em outras palavras:

k=-1-· a=e1 flc.

lna'

A notação para o logaritmo de base a de um número x > O é:

Ioga x.

Da maneira como definimos, Ioga x é a á.rea da faixa da hipérbole y = l /(x ·ln a) compreendida entre 1 ex. Esta definição é, como vemos, complicada. Melhor será simplesmente recordar que:

lnx log11 x = -,

lna

sendo a base a > O caracterizada pelo fato:

Ioga a= 1.

Cap.10 Oulras bases 65

Observação. Qualquer número real positivo a poderia, cm princípio, ser tomado como base de um sistema de logari1mos. Mas, como fizemos no começo a hipótese k > O (onde k = 1/ ln a), estamos considerando apenas logari tmos cuja base a é maior do que 1, pois a = e1/ k. A relação Ioga x = ln x/ ln a poderia servir de definição de Ioga x mesmo quando O < a < 1. notando-se apenas que, neste caso, como ln a < O, os números entre O e 1 terão logaritmos positivos, enquan10 os números maiores do que 1 1erão logaritmos negativos. Quando O < a < 1, podemos por b = 1/ a. Então serão b > 1 e Ioga x = - logb x. Assim, não há necessidade de estudar logari1mos com base < 1. A rigor, se considerarmos O < a < 1 então Ioga x será uma função decresceme, logo não se inclui na definição que demos para função. logarítmica. -

Para cada a > 1, a função real Ioga: R+ -4 R, definida para todo x > O, é uma função logarítmica. Isto decorre imedia1ameme da relaÇão Ioga x = lnx/ lna. Com efeito,

1 ( ) lri(:r?J)

oga xy = - 1-­n a

lnx + ln y - lna

lnx lny =-+­

ln a lna = Ioga x + Ioga y .

Em panicular, como vimos no Capítulo 3, vale a fórmula de mudança de bases:

Sejam a e b 111ímeros maiores do que 1. Para rodo x > O rem·se

Exemplo. Fazendo a = 10 e b = e, temos ln x = log10 x · ln 10, ou seja, para obter uma tábua de logaritmos naturais basta multiplicar todos os logaritmos de urna tábua de logaritmos de base 10, ou logaritmos decimais, pelo número ln 10 = 2, 3025. Caso não se saiba o logariano natural de 10, basta lembrar que ln 10 = 1/ log10 e. Com efeito, a fórmula

66 Outras bases

de mudança de bases fornece, para x = b, a igualdade

loga b · logb ~ = 1, ou seja, Ioga b = -1

-1- .

ogb a

Cap.10

A regra de cálculo ln( ar) = r · ln a é válida para codo a > O e r = p / q racional. Até o momento, não tem sentido escrever a x para x irracional. Devemos definir ax de tal maneira que a fónnula

Ln(az) = x · lna

continue verdadeira. A melhÓr maneira de fazer isto é usar essa fórmula como definição de ax. Corno? Simplesmente dizendo que az é o único número real positivo cujo logari tmo natural é igual a x · ln a.

Definição. Dados a > O e x real qualquer, a pocência a x (lê-se "a elevado a x") é o único número real positivo cujo logaritmo namral é igual a x · ln a.

Quando x é racional, digamos x = p / q, q > O, o número real positivo ifãJ cem logaritmo natural igual a p/ q ·ln a, ou seja, x ·Ln a. Por conseguinte, a definição que demos para az coincide com a cos111meirn no caso de x racional.

Agora que az está definido, calculemos seu logaritmo num sistema de base b > O qualquer. Temos:

Joab (ax) = ln(az)_ = x. ln a = x · loub a º ln b ln b º ·

Conclusão: logb(az) = x · logb a.

A fórmula que serviu de definição de a:z:, dada cm termos de loga­ritmos naturais, é portanto véilida para logari!mos quaisquer.

Em particular, para b = a, vem:

Por conseguinte, o logaritmo de um número y = ax é o expoente x ao qual se deve elevar a base a a fim de obter o número y dado. Recaímos assim na definição tradicional de logaritmo.

Cep.10 Outras bases 67

A fónnula ln(ax) = x · l n~ nos diz que x · ln a é o expoente ao qual se deve elevar o número e a fim de obter ax. Ou seja:

A função exponencial de base a, que associa a cada x real a potência a x, tem propriedades in!eiramentc análogas às já demonstradas para a exponencial natural ex. Por exemplo, vale:,

e

ax . aY = ax+y.

Para demonstrar este fato, basta observar que

loga(ax · aY) = loga(ax) + loga(aY)

Portanto, os números ax · aY e ax+y têm o mesmo logaritmo na base a. Concluímos que ax · aY = ax+y.

Uma propriedade adicional da potência ax é a seguime:

(n.X)Y = aZY.

Para demonstrá-la, tomemos logaritmos. Vem:

log4 l(a%)YJ = y · loga(ax) = xy; loga(aZY) = xy .

Por conseguinte, (axp• = axY.

Quando a > 1, a função x 1-1 ax é contínua, positiva, crescen te, com limx-~ ax = oo e limx- -oo ax = O.

Quando O < a < 1, então x i-• ax é ainda contínua e positiva mas é decrescente. v:ilcndo neste cn<;o·

lim ax = O e lim ax = oo. x-oo x--oo

Observando o gráfico de uma função exponencial y = ax (com a > l), noca-se um fato característico relacionado com a variação desta função. Para valores negativos de x ela cresce muito devagar mas, à medida que x toma valores positivos maiores, y = ax cresce cada vez mais rapidamente.

68 Outras bases

Devido à propriedade az · aY = az+y. quando

x = e, e + r, e+ 2r, . . . etc.

assume valores numa progressão aritmética. então _ e e r e ( r)2 y - a , a · a , a · a , . . . etc.,

Cep.10

varia numa progressão geométrica. Uma explicação mais completa des­tes fenômenos de crescimento exponencial e crescimento logaríunico será dada no Capítulo 13. ·

Exercícios

1. Indique duas razões pelas quais não se pode definir Ioga. x com base a = 1.

2. Sejam a, x, y números reais positivos, com a> 1. Prove

a) Ioga. x + log1/a x =O.

b) Ioga ( ~) = Ioga X = Ioga. y.

e) Ioga x = Ioga y implica x = y.

d) Se 1 < b < a, então Ioga x < logb x.

e) Se a > b > l, então logb a > 1.

3. Sejam a, b, e números maiores do que 1. l\fome que

Ioga. b · logb e · log, a = 1.

4. Em que base o logaritmo de 5 é igual a 2?

5. Ache cada um dos logaritmos abaixo:

a) log10 O, l .

b) loglO 0, 01.

c) log27 3.

d) log27 9.

e) log8 16.

f) log4 ~·

6. Para quais valores de x valem as igualdades abaixo?

Cep.10

a) log:z: 16 = 2.

b) log:z: 125 = 3.

e) logz ./3 = k· d) log4 X = -4.

e) Ioga x = ~·

f) logJ2 X = 1.

g) log1o 100 =X.

h) log2 0 ,5 = x.

i) logvs 2s = x.

j) log10{x2 + 36} = 2.

k) log10 (x - 1}2 = - 2.

1) log2 [1og4 (iog10 x}] = - L

m) log4 [1og7 (log3 :z:)J ~ -~.

n) log10llog2 (1og:z: 25)J = O.

o) log2 1log2 (log2 (16}1 = x.

Outr;is bDSes 69

7. Indique !)(,é ""reladeira ou falsa cada uma das afinnações abaixo:

a) log3 27m = 3m.

b) Ioga {i = -~. e) Ioga 2n = ~·

d) loglG .y2 = 1~. 8. Dado um número posi1ivo x f: l, calcule :z:L/lnz.

9. Se x e a são números posi1ivoc:. com T d:. 1. c:ilcule 7 111 o./ 111 :z:

10. Seja /: R -l R+ uma função crescen1e tomando valores no conjunto R+ dos números reais posi1ivos, tal que /(:z: + y) = f(x) · f (y) para quaisquer mímeros reais x, y. Prove que existe um número a > 1 tal que f (x) = a:z: para todo x real.

70 Outras bases Cap.10

11. Para cada n > o, mostre que

- log" [logn V #n] = 3

11. Logaritmos decimais

A fim de efetuar operações a.ritrnéticas, (antes do advento das calculadoras) o sistema de logaritmos mais freqücntemente utilizado era o de base 10, isco é, logaritmos decimais. A vantagem de empregá-los resultava de adotarmos o sistema decimal de numeração. O presente capítulo, cuja leitura pode ser omi tido sem prejuízo para o entendimento dos seguintes, concém uma exposição detalhada de como usar os logaritmos decimais nos cálculos aritméticos.

Neste capítulo, usaremos a notação log para indicar log10 . Assim sendo, escreveremos log x, em vez de log10 x. Como se sabe, a relação entre logaritmos decimais e logaritmos naturais é dada por

ln X logx = -

1 - , para todo x >O.

n 10

Cientistas e engenheiros, a fim de terem facilmente urna idéia da ordem de grandeza dos números que utilizam, costumam representar todo número positivo x sob a fonna

x = a x l On,

onde 1 :::; a < 10 e n é um número inteiro (posi!ivo, negativo ou zero).

Por exemplo: 1'15,:i = 1,4S;j X 10:

0,001453 = 1,453 X 10- 3

Dado um número posilivo x = a x 10n, escrito sob a fonna acima, temos log x = log a+ log(lOn). Como estamos usando logaritmos de

72 Log aritmos decimais

base 10, temos log(IOn) = n e portanto:

logx = Ioga+ n

Cap.11

Sabemos que 1 ::; a < 10. Portanto, log a é um número compreen­dido entre O e 1 (podendo ser igual a zero). Assim: se x =a x ion, com l ::; a < 10 e n inteiro, então:

log x = log a+ n, com O :::; log a < 1.

Nestas condições, chama-se:

Portanto,

log a= man1issa do logaritmo de x,

n = caraccerfscica de log x.

log x = característica + mantissa.

A mamissa é sempre um número compreendido entre O e 1, podendo ser igua l a O mas não igual a 1. A mantissa nunca é negativa ("). A caraccerística de log x é um número inteiro (positivo, negativo ou zero), o qual pode ser imediatamente encontrado pela posicão eia vírrrula no w.:sc11volv1111~11l0 de x como tração dcci.mal. Por exemplo,

log 145,3 = log1,453 + 2

log 0,001453 = log 1,453 - 3.

Vemos que se x e y são números decimais que diferem apenas pela posição da vírgula, então log x e log y têm a mesma mantissa.

Para achar log x numa tábua de logaritmos, basta procurar a mantissa, a qual é o logaritmo decimal de um número compreendido entre 1 e l O, isto é, 1 ~ a < 10. Assim, as tábuas de logaritmos decimais só precisam trazer os logaritmos dos números maiores do que 1 e menores do que 1 O.

No Apêndice apresentamos uma pequena tábua contendo os loga­ritmos decimais dos números de duas casas decimais, desde 1,00 até 9,99. Os valores dos logaritmos são indicados na tábua com 4 alga­rismos decimais (isto é, com aproximações até décimos mil~simos). São

(') A pallwa ma11Jissa significa contrapeso.

Cap.11 Logorllmos decimais 73

freqü~ntemcnle ~~e 0 tr.a.s tábuas mais precisas, em que ~e dão logantmos dos núm,..on.

1 u J ou !ilais aJgarismos decimais. E claro 'b .... .,. que m , . (

que la uas assim requerem um número maior de paginas. A nossa lem apenas duas.)

Exemplo: Seja x = '1 !í,J .1,53 ,.., 10. Então

for, ·l 'J ,:J log ·1,53 + 1.

Procurando na tábua do Ap(ml1cc. achamos

l of~ 1,.5'.l 0,6561.

Portanto, log 45,3 = 1,osr, 1

Vemos que, se x é um mímrro n:io inferior a J, isto é, x ;:: l , então a característica de log :r. é .1 p:u tc inteira do número decimal log x, enquanto que a mantissa é a pJrtc ír.1c1n11.:r: . ,!.; ! ... ~ x .

Outro Exemplo: S•.:ja determinar log 368. Temos 36~ - ~ , .... x 102•

Procurando em nossa t;Hrna . ach.1111os log 3,68 = 0,5658 (mantissa de log 368). A característica é 2. l .o~u

101~ 3G8 = 2,5658.

Consideremos agora o caso de 11111 número positivo x menor do que l, ou seja, O < x < l.

Por exemplo: Calc11 hlr lor, 0,00453. Ternos

0,00·153 =- ·1153 X 10-3 .

Assim, a mantissa é log '1,53 = 0,6561; enquanto a caraclerística é -3. Porta mo:

O resultado final seria, portanto, log 0,00-453 = -2,3439. Nos cálculos numéricos, entretanto, é mais conveniente manter todas as partes fra· cionárias positivas, e então escrevemos:

log 0,00453 = 3,6561.

Isto significa apenas que log 0,00153 = -3 + 0,6561.

74 Logaritmos decimais Cep.11

Outro Exemplo: Detenninar log 0,0368. Então, 0,0368 = 3,68 x io-2 ,

donde

log 0,0368 = log 3,6 - 2.

Finalmente, log 0,0368 = 2,5658.

Interpolação linear : Determinemos o logaritmo de 4,537. A carac­terística é zero, de modo que log 4,537 é igual à sua própria mantissa. Se nossa tábua de logaritmos fosse maior, poderíamos obter log 4,537 p or mera inspeção da tábua. Contando apenas com a tábua que está no Apêndice, o melhor que podemos achar é log4,53 = 0,6561 e log4,54 = 0,6571. Como 4,53 <:; 4,537 < 4,54, sabemos que log 4,537 está com­preendido enrre 0,6561 e 0,6571.

Para encontrar uma aproximação razoável para o número procurado, utilizamo~ o método conhecido como interpolação linear, o qual consiste em supor que, enrre os pomos de abscissas 4,53 e 4,54, o gráfico de y = Jog x é uma linha reta. Evidentemente isw não é verdade, mas o erro cometido será bem menor do que se tomarmos simplesmente log4,53 ou Jog 4,54 como se fosse log 4,537.

y 1

Figura 29 - Um valor aproximado paro log 4,537 e dado por log 4,53 + t.

Traçando um segmento de reta que substitui o gr:ífico de y = log x entre x = 4,53 e x = 4,51, vemos que o valor aproximado de log 4 ,537

Cop.11 Logaritmos decimais 75

pode ser obtido através de uma semelhança de triângulos. Será melhor, porém, deduzir uma expressão geral para a interpolação linear.

y

109 b-r---------------+---:..l..C

109 u:ry r----;---------~~

X

Figuro 30

A figura acima mosrra dois uiângulos retângulos semelhames que fornecem:

log b - log a y - log a b - a = x - a

donde: logb - loaa

y = log a+ (x - a) b º . - a

Ü n;.ir.1 ~~"' !J. ~ J ui ivAiJH~i)'~v J"" !vo ~ uÜtiJJ p v1 ~i'\'-qJv ; .... ,_ J ;;

near. Usando o símbolo ~ para indicar valor aproximado, encomramos a seguinte fórmula de imerpolaçáo linear:

logb - Ioga logx ~Ioga+ (x - a) b . -a

Na fónnula acima, supõe-se a < x < b.

76 Logaritmos decimais

Voltando ao nosso exemplo, temos

0,007 log 4,537 ~ log 4,53 + --(log 4,54 - log 4,53)

0,010

= 016561 +0,7 X 0,001

= 0,6561 + 0,0007

= 0,6568.

Cop.11

Em seguida, daremos quatro exemplos de como calcular produtos, quo­. cientes, potências e raízes por meio dos logaritmos decimais.

Multiplicação. Calcular o produto

X= 6051 X 45,02 X 0,0786.

Sabemos que

log x = log 6051+log45 102 + log 0,0786.

Uti lizando nossa tábua de logaritmos e o método da interpolação linear, obtemos

iogvu~l - J 1 fol~

log 45,02 = 1,6534

log0,0786 = 2,8954.

Somando estes logaritmos, obtemos:

logx = 1,3307.

Portanto, o produto procurado, x, é o número cujo logaritmo decimal é 4. ,3307. Em ourras palavras, x = 104

•33º7.

Às vezes se chama a potência 10ª o anrilogarirmo do 111ímero a. Exis­tem tábuas que fornecem diretamente os antilogaritmos decimais. Mas, se não as temos, procuraremos o número x cujo logaritmo é 4 ,3307 usando apenas a nossa tábua e o método de interpolação linear. Evidentemente, temos x = u x 104

, onde log u = 0,3307. Procurando na tnbua, encon­tramos

log 2,14 = 0,3301 e log 2,15 = 0,3324.

Cap.1 1 Logarhmos decimais 77

Assim u é u • 1 ire 2 14 e 2 15 m num(ro ClWljrtcnd11 o en ' '

y

loq b t------­y

109 o.,._ __ _

X

ri;;·.' li

A semelhança de 1riílnuulos for nccc:

úondc

u tt y - log a b - ,; . · ln~ b '" :>: a

u - a 1 (y b- a

'º"11)---­.. logb - loga

nos dá um valoí nproximado p.1ra u = antilog(y):

anlilog(y) ~ IL 1 (y

quando log a < y < log b.

b - a loga)--- ­

logb-loga

~o 11u!>~O 1:<1:.u pa1111 .. ul.11, 1t :t,l •I, IJ = i,15 e y = U,:S:SUl. l'or

con'seguinte:

antilog 0,3307 ::-:: 2. 1 1 t 0,0003 x O,Ol - 2 1 1 0,0020 - , 4 .

Concluímos que o produ10, x, procurado é:

x = anlilog 4,3307 = 10'1 x 2,14 l = 21410.

78 Logarllmos decimais

Divisão. Determinemos o quociente 53,18

x=--. 328,5

Temos log x = log 53,18 - log 328,5.

Cap.11

Usando nossa tábua de logaritmos e o método da interpolação linear, obtemos:

log 53,18 = 1,7257 e log 328,5 = 2,5166.

Como devemos sempre manter as mantissas positivas, subtrairemos sempre a menor parte decimal da maior, compensando o resultado com uma p'arte inteira negativa. Assim, temos: -

Explicação:

Jog X= l,2091

log X = (1 + 0,7257) - (2 + 0,5166)

= (1 - 2) + (0,7257 - 0,5166)

= - 1 + 0,2091

= i,2091.

Portanto, nosso quociente é o número:

x = antilog i,2091.

Sabendo que x = u x 10-1, ou x = u/10, onde 1 _:::;u< 10 e logu =

0,2091.

Examinando nossa tábua, encontramos 1

log 1,61 = 0,2068 e log 1,62 = 0 12095.

Por interpolação linear, obtemos o valor aproximado: 0,0023 X 0,01

antilog 0,2091=1,61 + = 1,619. 0,0027

Portanto, o quociente procurado é aproximadamente

X= 0,1619.

Potenciação. Calcular a potência

X= (1,12)2º.

Cep.11 Logaritmos dcclmels 79

Temos

log X= 20Xlog1,12 = 20 X 0,0492 = 0,9840.

Portanto: x = antilog 0,9840::::: 9,638.

Radiciação. Detenninar x = -&'1969.

Então: log x = log 1969 = ~,2913 = 0148061

7 7 portanto: x = antilog0,4806::::: 2,955.

Entre os cálculos aritméticos mais simples, era na extração de raízes e, mais geralmente, na avaliação de potências com expoentes reais (ou inteiros muito grandes) que os logaritmos se mostravam mais úteis. Com efeito, não existia algoritmo mais eficaz para calcular, por exemplo, a raiz sétima de um número com aproximação de milésimos.

A existência das calculadoras eletrônicas fez deste capítulo uma pági­na da História, passada a qual as funções logarítmicas têm sua importância matemática reconhecida pelas propriedades int:rinsecas de que gozam, não como mero instrumento de cálculo aritmético.

Exercícios

A notação log aqui s ignifica log10 .

J. Ache a característica e a mantissa dos seguintes logaritmos decimais:

a) log 2.

b) log 30.

e) log 250.

d) log0,45.

CJ log .t1 7 lb.

f) log 138,4.

g) log 0,312.

h) log 0,0539.

i) log 0,001078.

j) log 328.000.000.

80 Logari tmos declmels

2. Ache os seguintes amilogariunos:

a) antilog 0,8722.

b) antilog 2,4843.

e) antilog 1,6693.

d) antilog 2,7388.

e) antilog 4,2201.

f) antilog 1,4814.

g) antilog 4, 7360.

h) antilog I ,6565.

i) antilog·S ,6076.

j) antilog 319924.

3. Efetue o cálculo aproximado, por meio de logaritmos decimais:

a) 795 X 473 X 0,982.

b) 1íe.

~,

1 • .... _,,nn \1 1V.1-J)

d) 3soo_

e) Wi-. f)

4,014 X 0,3n

686,5

g) 688,5 X 7922

(2,18)

h) Jl,414 X 11732 X 4.812

{/1.234 X {/8.765

i) 179 X 165 X 138,2 X 96,01.

4. Resolva as seguintes equações:

a) 213z = 5164 -x.

b) XIO& X :: 3.

c) logx2 = (logx)2 .

Cap.11

Cap.11 Logarllmos decimais 81

d) log x = 2 log ,,/2. e) io3z+i = 417 ,3.

f) i 7z- 2 = 8,12.

5. Quantos algarismos tem o número s2i.000?

6. Prove que n é um número inteiro com 35 algarismos e 3{/n é também

um número inteiro, então >-YTi = J 3.

12. O número e como limite

A definição tradicional de e faz-se pondo:

e= _ lim (1 + _!. )n. n- oo n

A expressão acima significa que, fazendo sucessivamente n = 1, 2, 3, 4, · · · , as potências

( 1)2 1 3 1 4 1, 1 + 2 ' (1 + 3) l (1 + 4) l •••

aproximam-se cada vez mais de e, podendo a diferença e- (1+ 1/n)n (que é 11m númNn pnc:iriv0) t0m:ir-c:c- ':;" P"CJU~ ~:i CJ •.1:in!0 S" d'.:'!:::j':, b:is:::ncto para isso que se tome n suficientemente grande.

Mostraremos a seguir que esta expressão de e como limite é uma conseqüência da definição que demos no Capítulo 8.

Na realidade, provaremos mais.

Sabemos o que significa uma potência de expocme real de um número positivo. Assim, para todo número x :/= O (inteiro, fracionário ou irracio­nal), podemos considerar a expressão (l + l/x)x. Mostraremos que, tomando valores muito grandes para x, podemos fazer o valor desta ex­pressão aproximar-se tanto de e quanto desejemos. Em outras palavras, provaremos que

lim (1 + .!.)z = e (x :f= O). 7.-oo X

Pondo y = l/x (onde x :/= O), temos x = l/y ex--. oo é o mesmo que y --. O. Ponamo, demonstrar a validez do úhi mo limite equivale n

Cap.12 O número o como limito 83

provar que

lim (1 + y) 11Y =e (y i= O). y-o Demonstraremos, portanto, o teorema abaixo.

Teorema 8. Para x i= O, tem-se limx-o(l + x) 1fx =e.

Demonstração: Suponhamos primeiro que x > O.

y

1 l+x

Figura 32

X

Emão ln(l + x) é a área da faixa Ht+x, a qual está contida num retângulo cuja base mede x e cuja altura mede 1. A área deste retângulo é x, logo podemos escrever ln(l +x) < x . Dividindo ambos os membros desta desi­gualdarle pelo número positivo x, obtemos [ln(l + x)J/x < 1. Recordando a fóm1ula do logaritmo de uma potência, podemos reescrever esta úhima desigualdade como

. . ' l 1~ . 1Hl~l + .t) 1 J <.. l.

Isto quer dizer que o número (1 + x) 1fx é menor do que e:

(l+x) 1fx<e1 quando x>O (*)

Notando agora que a faixa H{+x contém um retângulo de base x, e

84 O número e como limlle Cap.12

alrura 1/(1 + x), o qual tem área igual a x/(1 + x), podemos escrever sucessivamente:

X l +x < ln(l+x),

1 1 1 + x < x · ln(l + x),

-1

- < ln[(l + x)1fzj. l+x

Tomando exponenciais (de base e) de ambos os membros da última desi-gualdade, resulta: ·

e1/(i+z) < (1 + x) t/:z:, quando x > O. ( **)

Juntando as desigualdades ( *) e ( **), escrevemos:

e1/(1+z) < (1 + x) 1fz <e, para todo x >O.

Fazendo agora x tender para zerq, vemos que e1/(i+:z:) 1ende para e. ('"""" (1 J .,.\ t/x ,,. ~ , ~ m .. ; .. ...,~,;.,:...,,,.., cb e"'""''" c1 /t t+,.) ~o ·· ' l ~·1·•, 1

'1 \'"' I - . • ·~· J • •••· ·- ...... J 't•·- J "' JIVi .tli 1v.)

que

lim (1 + x) 1fz = e, se x >O. z-o

Ou seja, quando x 1ende a zero por valores positivos, (1 + x) t/x tende para o número e.

Seja agora x < O. Como faremos x render para zero, não faz mal supor que x > - 1 e ponanto x + 1 > O. Então podemos falar em ln{l + x). Na realidade, como - 1 < x < O, - ln(l + x) é a área da faixa de hipérbole Ht+z• a qual comém um retângulo cuja base tem para medida o número positivo - x e cuja ahura é 1. A área des1e retângulo é -x. A mesma fai xa Ht+z está contida num retângulo cuja base mede -x e cuja altura mede 1/(1 + x). A área deste re1ângulo é igual ao número positivo - x/(l + x). Podemos então escrever:

- x ·-x < - ln{l + x) < --.

l +x

Cap.12

y

1 t•i1

O número e como llmllo 85

Figura 33

Dividindo os 3 membros pelo número po ' i1ivo -x, vem:

ou seja:

Logo

ln(l + x) l l < < - -

X l + x'

1 < Inl(l + x) 1f zJ < - 1-.

l+x

I

e: <... tl + x) ' '" < etf p + LJ

Con10 anterionncn1e, concluiremos que

lim (1 + x) i/z =e, se x <O. z-o

O Teorema 8 fica assim imeirameme demonstrado.

86 O número e como limite

Como já dissemos antes, o Teorema 8 equivale a afirmar que 1

!im (1 + -)Z = e. z-oo X

Em particular, dando a n = 1, 2, 3, · · · valores inteiros, temos

lim (1 + .!.)n = e, n-oo n

que é a fórmula clássica para o número e.

Corolário. Para x # O valem as igualdades:

lim (1 + ax) 1fz_= eª; lim (1 + ~)z = eª. :t-0 z- oo X

Cep.12

As duas afirmações acima são equivalentes, corno se observa pondo y = 1 / x. Basta então demonstrar a primeira delas. lsto se pode fazer escrevendo u = ax, donde 1/x = a/u. Então, quando x-+ O, u também tende a zero e portanto

(l + ax) i/z = (l + y)af u = l( l + u) i/uja

tende para eª quando x -+ O.

Em particular: lim (1- .!.) = ~ .

n-oo n e Isco se obtém fazendo no corolário acima a = -1 e resaingindo (na segunda fórmula) x a tomar valores inteiros.

Exercícios 1. Prove que

1• ln(x + 1) 1m = L

:t-0 X

Dado um número positivo a :/- l , determine

\. loga(l + z) 1rn .

z-0 X

2. Dado e > O, mostre que

lim ln(x + e) - ln e = ~ :t-0 X C.

Cep.12 o número e como llmlto 87

Calcule um limite análogo com Joga em vez. de ln.

3. Mostre que limx-o (ex - 1) = 1. Dado a > O, calcule X

aX 1 ax+c - ac lim - e lim ----x-o X . x-0 X

4. Prove que, quando n assume valores inteiro!_\ muito grandes, a expressão

n( o/li - 1), com a> O,

tende para o limite ln a.

, nn+1 + (n + f)n n S. Calcule hm { n+l } .

n-oo n 6. Calcule

a) limx-00 (1 + 4)x+2

b) limx-o(l + 4x)3x.

e) limx-o(l - x)1/ 3x.

6. A partir da definição, mostre que, para todo n E .N tem-se

1 1 1 n+l <ln(l+n)<n.

Conclua daí que

( 1 + .!.. ) n < e < ( 1 + .!.. ) n+ l. n n

7. Para lodo n E N, escreva

Xn = (1 + _!_ )n 71

e

MoslréqueselemO < Yn-Xn < e/ncconcluaquelimXn = limyn =e.

8. Aplique a desigualdade fl f G < .H A aos n + 1 números

l 1 1, l+ - ... l+ -

n' n para concluir que Xn < Xn+ 1 para lodo n E N.

88 O número e como llmlte

9. Aplique a desigualdade MG <MA aos n + 1 números n +2

1, 1, ... ,1,--, n+l

juntamente com a observação de que

n2 +2n+2 < n2 +2n+l n2 + 2n + 1 n'2 + 2n

para concluir que Yn+ 1 < Yn para todo n E N.

Cap.12

Obser vação: Nos exercícios 8 e 9, MA = média aritmética; MG = média geoméaica.

13. Crescimento

Observando o gráfico da função y = ln x, sentimos que, embora ln x tenda para +oo quando x ~ +..oo, seu gráfico se situa sempre abaixo da diagonaJ, o que significa dizer que ln x < x para todo x > O. Uma afirmação mais forte seria a seguinte: qualquer que seja a reta y = E:x, com E: > O (mesmo que E: > O seja muito pequeno, isto é, que a reta seja quase horizontal), para valores muito grandes de x o gráfico de y = ln x tomar-se-á e permanecerá abaixo da reta.

y y=Ex

~1-inx ---=-:-

X

Figura 34

Ora ln x < E:X, com x >O. equivale a dizer ln :r:IT < F '

. Assim, a afirmação que estamos arriscando diz que, dado qualquer E:> O, podemos achar um Xo tal que x > x 0 implica O < ln x/x < €.

Mas isto quer dizer que

1. lnx un - =O.

z-oo X

90 Crescimento Cap.13

Vamos demonstrar a validez deste limite. Ele ex.prime que, quando x cresce muito, embora ln x tenda para + oo, o valor de ln x é insignificante diante de x. Por exemplo, pondo é = 1/1.000, podemos achar um ponto x0 , a partir do qual (isto é, para x > x0 ) se tem lnx < x/1.000, ou seja, para x > xo. ln x é menor que 1 milésimo de x.

Provaremos as afirmações feitas. Por conveniência, as enunciaremos sob a forma do seguinte teorema. É claro que tanto faz dizer que ln x / x tende a zero como afirmar que x /ln x tende a +oo.

Teorema 9 Para valores positivos muito grandes de x , o quocie~zte x /ln x toma-se superior a qualquer mímero prefixado. Ou seja,

- lim X -=+oo.

x- oo lnx

Demonstração: Estando a faixa Hf contida no retângulo de base no segmento [l, y] e altura 1, vemos imediatamente que ln y < y - 1, para y > 1. Em particular, ln y < y , o que se escreve também assim:

JL < 1 para y > l. ln y '

Pondoy = xJ./.!, temos

x1/2

Ou seja:

> l quando x > 1. ln(x112)

x1/2 -- > 1 se x > 1. l ln X 1

2

Elevando ao quadrado:

X ~(lnx)2 > 1, se x > 1.

Multiplicando por (lnx)/4 \

x lnx ln x > 4' se x > 1.

Fazendo x -. +oo, sabemos que ln x --. +oo, donde ln x / 4 _. +oo também. Sendo x/ ln X maior do que uma quantidade que tende a +oo.

Cap.13

concluímos que

lim ~ = +oo. z-+oo lnx

Está tenninada a demonstração.

Cresclmen1o 91

O oposto ocorre com a exponencial y = ez. Quando x -t +oo a fonna do gráfico de ez sugere que ez tende ao infinito muito mais rapidamente do que x. A afirmação precisa é dada pelo corolário do Teorema 8. '

Corolário. eZ

lim - = oo. _Z-++co X

A demonstração se faz pondo ez = y, donde x = ln y . Então

. ez . Y hm - = hm - = oo.

z-+oo x y-+oo ln y

Poderíamos também ter raciocinado assjm: sabemos que ez > 1 + x > x para x >O. Então ez/2 > x/2. Elevando ao quadrado:

Segue-se que

eZ X donde - > - .

X 4

ez lim - = oo.

z-+oo X

Vemos portanto, que, quando x --. + oo, o crescimento da função exponencial y = ez é c0nsideravelmente mais rápido do que o de x. Exemplo. Quando x tende para zero, o produto x ·ln x também tende para z~ro. Em outras palavras:

!:~~ :; ·!:~X - 0. z-o

Isto se verifica pondo y = 1/x. (Noce-se que, durante todo este exemplo, deve-se ter x > O, a fim de que tenha sentido ln x.) Enrão, quando x -+ O, y tende a + oo e portanto

limx·ln x= lim ln(l/y)= lim - lny =O. z-o y-+oo y y-+oo y

92 Crescimento Cap.13

Conscqüência. Quando x tende para zero (por valores positivos) a potência xz tem limite igual a 1. Com efeito, sendo xz = ez·ln z, temos:

Jim zZ = iim eZ ·ln Z = elim:i;-o(:t:·ln z) = eº = 1. z-o :t-0

Exercícios

1. Prove que lim:r:-o xln(i+t) = 1. (Aqui x > O.) Conclua que

lim!Lnx · ln{x + l )J = O. z-o

2. Se a é uma constante positiva ex tende para zero por valores positivos, mostre que

lna

lim [J n(x + l)Jln x = a. z-o

e:z: 3. Ache um valor de x tal que 4 > 105 .

X

4. Seja qual for o polinômio p( x) = n,., -1- n 1 :r ..1- n~:r2 ~ . •. ..i.. ar. rn

mostre que se tem lim p(x) = O.

z-+oo ez

5. Prove que

1• l ( 1 1 ) 1m - 1 + - + ... + - =O.

n-+oo n 2 n

~licações

Daremos aqui uma breve amostra de como a função ez e os logaritmos naturais surgem espontaneamente em certas questões onde o aumento ou a diminuição de uma grandeza se faz proporcionalmente ao valor da gran­deza num dado instante.

Juros Contínuos. Um capital e, empregado a uma taxa de k por cemo ao ano, rende, no fim de um ano, juros no valor de kr./ 1 r .. ., · ·- --:-.. ' a = k/100. Então e renderá , · ~o Ji m de um ano, juros no valor de ac. Decorrido um ano, o capital torna-se igual a e + ac, ou seja, c(l +a). Passados dois anos, o novo capital c1 = c(l +a), empregado à mesma taxa, tornar-se-á igual a c1 (1 + a) = c(l + a)2 . Em m anos, teremos c(l + a)m.

Se tomarmos uma fração 1/n de ano, o capital e, empregado à mesma taxa de juros, deverá render ac/n de juros, de modo que, decorrida a fração l/n de ano, o capital e transforma-se em

ac a c1 =c+- = c(l+-).

n n

Empregando este novo capital c1 e esperando mais l/n de ano, obtemos c1(1 + a/n), ou seja, c(l + a/n) 2 .

Prosseguindo assim, vemos que, se dividirmos o ano cm n partes i~u •is e, dr: p0is d: d"tOrrido (;:: d:! ~~· :· · ~~ss-: ~ r-::!i"r!" · d·: ! /-:; d:: :\r'",

capitalizarmos os juros rendidos, reinvestindo sucessivamente à mesma taxa, quando chegar o fim do ano, em vez de c(l + a), obteremos um capital maior, ou seja, possuiremos

a c(l+-)n.

n

94 Aplicações Cap.14

Um investidor exigente desejará que sel:Js juros sejam capitalizados (isto é, juntados ao capital) a cada instante. Se isto ocorrer, no fim do ano ele receberá, em troca do investimento e, o total de

ª)n a lim c(l + - = e · e . n-oo n

Este tipo de transação, em que os j uros são capitalizados continua­mente, é o que se chama de juros conrf nuos.

Assim, por exemplo, o capital de Cr$ 1,00 empregado a juros contí­.nuos de 100% ao ano, no final de um ano será transformado em e cruzeiros. Este fato pode ser usado para explicar a um agiota o signrncado d~ número e.

Se a taxa de juros é referida a anos (k% ao ano, a = k/100), então um capital e empregado a essa taxa será .transformado. depois de t anos, em

Exemplo. Empregando-se um capital e a juros contínuos de 20% ao ano, em quanto tempo este capiral será dobrado?

Solução: Aqui a= 20/100 = 0,2. Devemos achar o número t de anos de modo que

e · e012t = 2c, ou sejia, e0 •2 t = 2.

Segue-se que 0,2t = ln 2, donde

t = ln 2 = 0,693 = 3146. 0,2 0,2

Assim o tempo necessário para dobrar o capital é de 3,46 anos, ou seja, aproximadamente 3 anos e meio. Note-se que este tempo não depende do capital inicial. Fixada a taxa de juros, leva-se o mesmo tempo para dobrar \lm capital grande ou um capital pequeno.

De um modo geral, o mesmo raciocínio serve para mostrar que, se a taxn de juros contínuos é k% ao ano e a = k/100, então um capi tal qualquer leva t = ln s /a anos para torna r-se s vezes o seu valor inicial.

Perdas con tínuas. Existem bons negócios e maus negócios. Suponhamos que um capiral e é empregado num negócio que (a posteriori, digamos) se

Cap.14 Aplicações 95

revelou mau. Mais exatamente, ele dá um prejuízo de k% ao ano. Pondo a = k/100, como antes, se 0 prejuízo fosse brusco, no fim do ano o capit_al estaria redutido a e - ac = c(l- a). Mas, se a perda é contínua e tem igual intensidade durante o ano inteiro (isto é, em vez de concentrar­se em cenos periodos, ela se espalha homogeneamente), então é natural concluir que, durante cada fração l /n do ano, a perda sofrida pelo capital e o reduz a c(l - et./n). Assim sendo, pelo mesmo raciocínio utilizado no caso de juros contínuos, concluiremos que um capital e, sujeito a um prejuízo conúnuo de k% ao ano, no fim de t anos fica reduzido a

. ( at)n -crt lim e 1 - - = e · e . n-oo n

Em particular, esse capital estará reduzido à metade num tempo tal que e-crt = 1/2, isto é,

anos.

Desintegração radioativa. Os átomos de uma substância radioativa (como o rádio ou o urâniô) possuem uma tendência natural a se de­sintegrarem, emitindo panfoulas e transformando-se em outra substância não-radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substància original diminui (aumemando, conseqüentemente, a massa da nova substância transfonnada). Isto é feito de tal maneira que, num determinado instante, a quantidade de matéria que se desintegra de um corpo radioativo é proporcional à ma<;sa da substância original presente no corpo naquele instante. A constante de proporcionalidade a é deter­minada experimentalmente. Cada substância radioativa tem sua constame de desintegração a.

Cunsu.le1c:mos um corpo de massa M0 , formado por uma substância raliioaliva cuja taxa de desintegração é a. Se a desimegração se proces­sasse instantaneamente, no fim de cada segundo, sendo Mo a massa no tempo t = O, decorrido o tempo t = 1 segundo, haveria uma perda de et.M0 unidades de massa, restando apenas a massa

Mt =Mo - er.Mo = Mo(l - a) .

96 Aplicações Cap.14

Decorridos 2 segundos, a massa restante seria

M2 = M1(l - a)= M0 (1- a) 2 •

Em geral, passados s segundos, restaria a massa M3 = Mo (1 - a)". Mas as coisas não se passam assim: a desintegração se processa

continuamente. Procurando uma aproximação melhor para o fenômeno, fixemos um inteiro n > O e imaginemos que a desintegração se dá em cada intervalo de 1/n de segundo. Depois da primeira fração l/n de segundo a massa do corpo a reduziria a

a a Mo - (-)Mo= Mo(l- -).

n - · n Decorrido 1 segundo, teriam ocorrido n desintegrações instantâneas e, efetuadas as n reduções, restaria do corpo a massa Mo(l -a/n)n. Divi­dindo o intervalo !O, lJ em um número n cada vez maior de partes iguais, chegaremos à conclusão de que, ao final de 1 segundo, a massa do COfPO

ficará reduzida a

Se quisermos calcular a massa ao fim de t segundos, deveremos dividir o intervaio [O, tJ em n partes iguais. Em cada intervalo parcial a perda de massa será Mo· at / n. Repetindo o argumento acima chegaremos à expressão

M(t) =Mo· e-at

que fornece a massa do corpo depois de decorridos t segundos.

É claro que; em vez de segundos, poderíamos ter adotado outra uni­dades de tempo. Mudando a unidade de tempo, a constante a deve ser alterada proporcionalmente.

Na prática, a constante a fica determinada a partir de um número básico, chamado a meia-vida da substância.

A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que se desintegre a metade da massa de um corpo formado por aquela substância.

Por exemplo, o polônio 218 tem meia-vida igual a 2 minutos e 45 segundos, enquanto o polônio 214 tem meia-vida de 1,64x10- 4 segundos.

·'

Cep.1 4 - /

"h •

( ~ ; ,, Aplicações 97

Os isótopos do rádio têm meia-vida conforme indicamos abaixo:

rádio 226: meia-vida 1.620 anos

rádio 228: . meia-vida 6,7 anos

rádio 223: meia-vida 11,68 dias

rádio 224: meia-vida 3,64 dias.

Os diversos isótopos do urânio têm uma meia-vida da ordem de 109

anos.

Se sabemos que um certo elemento radioativo lem meia-vida igual a to unidades de tempo, isto significa que üma unidade de massa desse elemento se reduz à metade no tempo t 0 . Assim

1 _ -o:to - -e . 2

Tomando logaritmos, temos

ou seja,

donde ln2

O'.=~ ·

Isto nos moscra como calcular a taxa de desintegração a. quando se conhece a meia-vida to . Rec~procamente, tem-se t 0 = ln 2/ a, o que pemtite deter­minar a meia-vida t0 em função da taxa a.

o .método do car bono 14. o carbono 14, indicado por C14 , é um isôtopo :-~cio.ili·, 0 Ju "ª' llu11v, f v1111.iJv ua uunu~lt:ra uc:.vwo ao oombardeto da terra por raios cósmicos. Através dos tempos, a quanlidade de C14 na atmos­fera tem-se mantido constante porque sua produção é compensada por sua desintegração. Os seres vivos absorvem e perdem C14 de modo que, em cada espécie, a taxa de C14 também se mantém constante. (O carbono 1-4 é criado nos vegetais durante o processo da fotossíntese e absorvido pelos animais através da ingestão, di reta ou indireta, de vegetais.) Quando o ser morre, a absorção cessa mas o C14 nele existente continua a desintegrar-se.

(

98 Apllcações Cap.14

Este fato pode ser usado para determinar a idade de um fóssil ou de um objeto muito antigo feito de madeira.

Para isto, precisamos saber que a meia-vida do C 14 é de 5570 anos. Como vimos acima, segue-se daf que a constante de desintegração do 0 14 é

= ln 2 = 016931

= o 0001244. Q 5570 5570 1

Exemplo. Vejamos como esse conhecimento foi usado para dirimir uma . controvérsia. Num castelo inglês existe uma velha mesa redonda de madeira que muitos afirmavam ser a famosa Távola Redonda do Rei Artur, soberano que viveu no século V. Por meio de um contador Geiger (instrumento que mede radioatividade) constatou-se que a massa lvl = M(t) de C 14 hoje existente na mesa é 0,894 vezes a massa lvl0 de 0 14 que existe num pedaço de madeirá viva com o mesmo peso da mesa. Mo é também a massa de C14

que éxistia na mesa quando ela foi feita, há t anos.

Sabemos que

1'1 = 1'10 • e-at,

rlnnrlt> ~1/M'J = ,,-at Tw~ < ignifk~ q:1~ n,~0! tiramos:

c-n .0001? 1 tt . D.ú

t __ ln (U,8Y4) _ 0,1121 _ - 0,000124.J - 0,0001244 - 901 anos.

Se a mesa fosse mesmo a Távola Redonda, ela deveria ter mais de 1500 anos.

R~sfriamento de um corpo. Uma situação análoga à da desintegração radioativa é a de um objeto aquecido, colocado num meio mais frio (ar ou água, por exemplo) cuja grande massa faz com que a temperatura desse meio permaneça constante, sem ser afetada pela presença do objeto mais quente. A lei do resfriamento de Newton afirma que, nessas condições, a diferença de temperatura D, enLre o objeto e o meio que o contém, decresce com uma taxa de variação proporcional a essa própria diferença. Como no caso da desintegração radioativa, esta Jei se traduz matematicamente assim: chamando Do a diferença de temperatura no instante t = O e D(t) a diferença num instante t qualquer, tem-se D(t) = Do · e- al onde a constante a- depende do material de que é constüuida a superfície do objeto.

Cep.14 Apllceçóes 99

Exemplo. Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30°. A água que fervia numa panela, cinco minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65º. Quanto tempo depois de apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 38º ?

No momento em que se apagou o fogo (t = O), a temperatura da água era de 100° e a do ambiente 30º. Logo D0 = 100 - 30 = 70. Passados t minu1os, a diferença da temperatltra da água para :i do meio ambiente é dada por D(t) = 70 . e-at . Para determ inar a constante a, usamos a informação de que

D(s) = 70 · e-sa = 65 - 30 = 35.

Portanto e-sa = 35/70 = 1/2. Tomando logaritmos naturais, vem

1 ln 2 0,693 -5a =ln(-) = - ln2, logo a = - = -- = 0,1386.

2 5 5 Queremos saber o valor de t para o qual

D(t) = 70 · e-o,i3sGt = 38 - 30 = 8.

Novamente tomamos logaritmos para resolver a equação 70·e-o,i3s5 t = 8, obtendo

8 70 -0,1386t =ln{-) = - ln(-)

70 8 donde

t = ln(78°) _ 2,1691 _ ~

0,1386 - 0,1386 - 1'>,65 minutos

(pouco mais do que 15 minutos e meio).

Exercícios

1. · Se, no instante t = O, um rec1p1ente contém J.,.,..,..t,: , ;..,.t" r'"" r"'" ... ""' i • • : .. 1 _ ~ 1 , .-

• • ~ •"""t • • • •• - .,u, •'"-·'•~"-•H""t \..iu.ü V , l 1Jhl

número de bactérias existentes no recipiente será

N(t) + N0 • eªt,

um número No de ~lt .)L tl lH'-' l / O, \)

onde a constante a depende do tipo de bactéria. Suponha que uma cultura de 100 bactérias se reproduz em condições favoráveis. Doze horas mais tarde contamos 500 bactérias na cullura. Quantas bactérias haverá dois dias depois do início da experiência?

100 Aplicações Cep.14

2. A meia-vida de uma substância radioativa é 1 ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas 1 grama da substância?

3. Se 10 por cento de um certo material radioativo se desintegram em 5 dias, qual é a meia-vida do material?

4. A população de urna cidade era de 750.000 habitantes no fim de 1950 e 900.000 no fim de 1960. Que população pode-se prever no final do ano de 1970? Quando se espera que a população atinja 1.500.000?

5. Uma amostra de tório reduz-se a 3 / 4 de sua quantidade inicial dep.ois de 33.600 anos. Qual é a meia-vida do tório?

-6. A que taxa anual de juros compostos devo investir meu capital a fim de que ele dobre no fim de 5 anos?

7. Quanto devo investir agora, a 12% ao ano (capitalizados continua­mente), para reobter dentro de 20 anos um milhão de cruzeiros?

8. Pressão atmosférica. A pressão atmosférica à altura h (em relaÇão ao nível do mar) é o peso de uma coluna vertical de ar cuja base é horizontal, tem altura h e possui área igual a 1. À medida que aumenta a altura h. a pressão atmosférica diminui, não somente porqne :i colnn<l <ir­ar diminui como também porque o ar se toma mais rarefeito, Jogo pesa menos. Prova-se, como conseqüência da Lei de Boyle, que, se p0 é a pressão atmosférica ao nível do mar então a pressão a uma altitude h é p(h) = p0 ·e-ah, onde o: é uma constante. A pressão atmosférica p = p(h) pode ser medida diretamente pelo instrumemo chamado barômecro.

Mosrre que, medindo-se a pressão atmosférica em dois pomos cujas altitudés h 1 e h2 são conhecidas, pode-se determinar a constante ci.

Mostre tam bém que, conhecendo a constante a e possuindo um barômetro, pode-se a cada momento determinar a que altura h vêa um avião por meio da fórmula

h= ~ ln(pº), a P

onde p0 é a (conhecida) pressão ao nível do mar e P. = p(h) é a pressão medida pelo barômetro no momento dado.

9. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O

Cap.14 Apllceçócs 1O1

médico da polícia h >- -3 30 . ediatameme tomou a temperatura

d ., e cgou iu 2 : e 1m o cadaver que e d 3 0 U h ra ma.is tarde ele tomou a tempe-' ra e 1 8 ma o • .

ratura outra vez e cncontr~u j t , l". A temperatura do quarto ~ra mantida constante a 20º Use 1 • d f . to de Newton para esumar a hora · a c1 o rcs namen e?1 q~e se deu a monc. Admita que 3 temperatura nonnal de uma pessoa viva e 36,5º.

10. Na caverna de l.Jscau~. na l i an~·a. fomosa pelas notáveis pinturas fei ­tas em suas paredes por home ns prc·históncos, foram encontrados pedaços de carvão vegetaJ, nos quais n radioatividade do C 14 era 0,145 vezes a radioatividade nonnalmcntc nu111 pedaço de carvão feito hoje. Calcule a idade do ca.-vão enconirado na c;ivcrna e dê urna estimativa para a época em que as pinturas foram f citas.

11. Um osso de animal pré·histórico apresenta 1/10 da quantidade de e l'1 de um osso atual. Quando morreu aquele animal?

12. Uma bola de aço, nquccida a uml temperatura de 100° é posta num ambiente mantido a uma temperatura constante de 40°. Em 2 minutos a temperatura da bota é de 80º. Em quanto tempo a temperatura será de 43° ?

13. O estrôncio 90 é uma substância radioativa que resulta de explosões nucleares na atmosfera Sua meia-vida é de 28 anos. Suponha que uma área cultivada esteja contamirmla pnr cstrôncio 90 em nível 4 vezes maior do que aquele suportável pelo corpo hunjano. (...!uancu i...r .~;:: ~"'"" ;'""<: - .

se até que essa área possa ser utilizada para plantio de alimencos?

14. A água de um reservatório evapora-se à taxa de 10% ao mês. Em quanto tempo ela se reduzirá a um terço do que era no início?

Referência. Uma interessante coletânea de problemas e tópicos a respeito de aplicações de logaritmos e exponenciais à Medicina e à Biologia acha­se no livro "Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas", por Alberto r :.;.'v;v 1\5uicU , ,;i .. v11 lv11l1,;11d1,; ç ju:,~ êuuy i\.Íü1cira l Í.:úilúld i i.u i.>1.t, 1988).

15. Temas para discussão,

para ensaios e exames

1. Quando e por quem foram inventados os logaritmos?

2. Que necessidade de cálculo foi atendida pelos logaritmos e quais as razões socio-econômicas que agravaram essa necessidade?

3. Qual a importância dos logaritmos nos dias atuais?

4. Que processos rudimentares de cálculo precederam os logaritmos?

5. Dequemaneiraafórmulaam.an = am+npodesimplificaraoperação de multiplicação?

ú. Cvtuv .1 11,;.)jl\.l.)l.1 il µ1.:1gu11l.i <illl\!1 iu1 pvJc: icv;u à lll.:\..\!.):>JÜ<11.Í1.: 01.: lllll v­duzir potências com expoentes negativos ou fraciooários?

7. As definições a0 = 1, a-m = l/am, aP/q = !/fõj são livres criações do espírito humano ou são as únicas possíveis? Em que sentido elas são únicas?

8. Por que não se estu1' 1m potências com expoente fracionário e base negativa?

9. Quais são as dificuldades conceituais inerentes à definição y = Ioga x # aY = x? Quais são as alternativas para enfremar essas dificuldades?

1 O. Considere a seguinte afirmação: " todas as propriedades da função logaritmo podem ser deduzidas a partir do falo de que ela é crescente e 1ransfonna produ1os em somas". Justifique e/ou critique-a.

11. Que conscqüências metodológicas tem o teorema segundo o qual duas funções logarítmicas diferem por um fator constante?

Cap.15 Temas para discussão, 103

12, Faça uma lista de funções que você considera relev~nt:s p~ra o en~ino secundário (e que pertencem ao currículo escolar), as quais nao sao definidas por fónnulas.

13. Você acha importante apresentar a noção geral de função no ensino médio? Por quê?

14. Sabe-se que a raiz quadrada de um número real a é outro número real x tal que x2 = a. Assim sendo, qual é a raiz quadrada de -1? E a raiz quadrada de 2? Mais geralmente, como se pode assegurar que existe, para cada a E JR+ e cada n E IR, um número real x tal que xn = a? Qual a relação entre a existência de V'ã e a sobrejetividade da função J: IR 1- -t JR+, f(x)=xn? ·

15. Que significados têm as igualdades abaixo?

a) O, 999 . . . = l; b) o, 555 ... = 5/9;

e) ~+~+à+···+~+ .. · = 1;

d) 3, 14159265 ... = 7r.

16. Dada uma seqüência infinita de números naturais an, com O ::; aii ::; 9 para todo n = 1, 2, 3, .. . , que significado tem a "expansão decimal" a=O,a1a2 ···ªn···? 17. Para n = 1, 2, 3 e 4, esboce o gráfico de um polinômio de grau n com raízes reais distintas.

18. Exprima, por meio de uma fórmula, a função q: m_+ _.. ~assim defi­nida: para todo x > O, q(x) é o número real cujas aproximações por falta são as áreas dos polígonos retangulares inscritos no triângulo de vértices A. B, C, onde A.= (O, O), B = (x, O) e C = (x, 2x).

19.: Como você provaria as afirmações abaixo?

i) A função f: R--. IR. f (x) = x2, é convexa.

ii) Afunçãof:JR+ -.JR+,j(x) = ..jX, écôncava.

iii) A função J: IR --. JR, f (x) = x 3 é côncava no intervalo (-c:c: O] e convexa no intervalo [O, +co).

20. Uma função pode ser ao mesmo tempo côncava e convexa? Explique.

104 Temas para dlscuulo, Cop.15

21. Por que a figura 35 não represenla o gráfico da função y = ln x? y

_ Figura 35

22. Explique o significado da definição :segundo a qual a área de Hg é o número real cujas aproximações por falta são as áreas dos polígonos retan­gulares inscritos na faixa Hg. Você poderia formular as igualdades do item 15 em termos de "aproximações por falta"?

23. Copie as figuras da página 36 do texto, as quais ilustram a afinnação de que as aproximações para a área de Hg por polígonos tangenles são melhores do que por polígonos secanles. Feche o livro e dê uma justificativa

24. No espúilo do ilem anlerior, que diferença haveria na discussão caso se tratasse de uma função côncava em vez da função convexa y = l/x, X> O?

25. Fixado k E: ?."".considere a transformação T: R'.? - R2, dada por

T(x,y) = (k~r,y/k). Mostre que T transforma toda faixa da hipérbole H = {(x, y) E: P.2 ; xy - 1} noutra faixa da mesma hipérbole. Mostre ainda que T transfom1a todo retângulo de lados paralelos aos ei'<os noutro retângulo de mesma área. Como se pode c:oncluir daí que T transfonna toda figura plana F noutra figura F' = T(F) de mesma área que F? 26. Seja f: IR'" - · R uma função crescente tal que f(xy) = f(x) + f (y) pnra quaisquer x, y E IR 1- . Pode-se concluir daí que J seja côncava·? Justifique.

27. Como se poderia provar que a função J do item anterior é sobrejetiva sem usar o teorema provado na págiM 20 do texto?

28. Quantas p:ucclas da série harmônica é preciso somar para obter um

Cap.15 Temos p:ira discussão, 105

resultado superior a mjl? Quanto tempo levaria {pelo menos) uma máquina capaz de efetuar um bilhão de operações do tipo +~ por segundo para obter cal soma?

29. Mostre que a secante que liga os pontos de abcissas 1 e 1 +x no gráfico de y = ln x tem inclinação compreendida enlre 1 e 1 / ( l + x). (Considere separadamente os casos x > O e x < 0.) Conclua que a 1angence a esse gráfico no ponto de abcissa 1 fom1a ângulps de 45° com os eixos.

30. Qual é a inclinação da secante ao gráfico de y = ln x que liga os pontos de abcissas x ex+ a? Conclua que deslocando para a dircitq uma secante de comprimento dado sobre o gráfico de y = ln x. esta secame pode tomar-se tão próxima da horizonlal quanto se deseje. ·

31. Qual é a maior área possível para um retângulo inscrito no gráfico da função y = l/x, se um dos seus lados verticais tem abcissa 1?

32. Mostre que existe um número a> 1 tal que o retângulo cuja base ç o segmento 11, a] do eixo das abcissas, inscrito no gráfico de y = 1/x, tem área > 1/2. Conclua que, para todo n E JR, também tem área > l/~ o retângulo inscrito cuja base é o segmento lan, a!t+1 J. 33. Descreva como, por meio de repetidas bisseções do intervalo (2, 3j. podem-se obter valores a!Jro~im'.lrln-; de e.

34. De que modo o Teorema 3 (propricdad~ fund.,mental) pode ser usado para provar diretamente que, sendo por definição área d~ li í - l, a i:i!.,.: Hf tem área n se, e somente se. x = eri = e · e· ··e (n fatores)?

34 •. (Melhor enunciado para o item anterior.) Por dci:niçãn, a ár, :t e ... faixa Hf é igual a 1. Use diretamente o Teorema 3 para provar que a área da faixa Hf é igual a n se, e somente se, x = en = e· e· e· ··e (n fatores).

35. Use novamente o Teorema 3 para concluir que x = tYe se, e somente s·e, a área da faixa Hf é igual a 1/n.

36. Lembre que H(k)~ é a faixa da hi pérbole y = k/x compreen­dida entre os pontos de abcissas a e b. Dada qualquer função logarítmica f: JR+ ~ iR. prove que existe uma constan1e k > O tal que J (x) =área dl! H(k)f para todo x E R+.

../2 37. Use a igualdade ( -12./2) = 2 para concluir que existem números

106 Temas paro disc:ussiio,

irracionais o, f3 tais que o/J é racional.

38. Aplique aos n + 2 números

n n n n+l 1 n+ 11

••• 'n+l'1

Cap.15

a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica para concluir que a sequência dos números (1 + k) n+i. n E R, é decrescente.

39. Usando o método do item anterior com os n + 1 números

1 l 1 1 - -, l - -, ... , 1 - -, l, n n n

prove que a sequência ( 1 - ~) n é crescente.

40. Dada uma função J: 1?.--. R+. o número

f(x + h) - f (x) f (x)

chama-se o crescimento relnrlvo de f correspondente ao acréscimo h dado ~ \'~,.;.:;,:-'1 inrh.'f~!",.ff'\>n r" r"''c;'!!"?\' -t ',...r,_.;'"',,. hifA'C""':? í" "';""!' "1 f"!' .. -/ ;

Hipótese H . O crescimento relativo Ç(h) = /Cx+}~~)/(x) depende ape­

nas de h mas não de x.

Verifique se a hipótese H vale ou não cm cadn um dos exemplos abaixo:

a) /(x)=mx+n.ondcm > Oe11> O.

b) /(:e)= x2 + 1.

e) f (x) =e-é'-, e> O.

d) f (x) = populnção, no instante x. de uma cultura de bactérias man-1ida sob condições es1áv~is.

e) J (:1') = massa de uma certa substância rndioa1iva prese111c num de­tcnninado corpo no momento :r.

f) f (x) = ' 'alor, no tempo x . de uma dada quantia, invcs1ida a Juros fixos, capitalizados con1inuamcnte.

Cep.15 Temas para dlscuss3o. 107

g) f (x) = tem . - d. um corpo colocado num meio . pcrarurn, no in~1.10tc r. e ambiente de tempcrntur J (umt.mre, 1gu31 :1 Oº·

h) f(x) - . •m queda livre (ação da . - espaço pcrc<>mJo por urn corpo e gravidade), no tempo x

Observação: Nos exemplo~ :i). h). cl. a \Jltdez ou não da hipotese H é um fato matemático, que deve '\cr d ·m~m,tr.ldo No<; demais exemplos, traia-se de constatar se tal hipótc.sc é pl.iu'i' d em rd:ição .io fenômcn~ con~1dcrado. Note-se que ela expressa uma espécie de "pcnnanência'' da intensidade do fcnômeno.

41. Prove que a hipótese li equivale a :ilinnar que a ratão cp(h} = f (x + h)/ f (x) depende apcmis de li . mas não de x. 42. Supondo que f : IR -. R 1 cumpre a hipótese 1 I, mostre que a função cp: IR - R+, definjda ponp(lt) f (x 1 lt)/ f (x), tem a segui me proprie­dade: cp(h1 + h2) = fJ'(ht) · ip(h2).

43. Seja cp: R--+ Ruma função crescente tal que ip(x +y) = cp(x} · ip(y} paro quaisquer x 1 y e R Prove que cp(O) = J, que o número a = cp( 1) é maior do que l , que <p(n} = n." p:ira todo número natural n e que. ma.is geralmente, <p(n) =ar para todo número racional ,. = TJ/ q.

44. Admita o seguinte foto ("·cja "Meu Professor de Matemática", pag. 130): toda função crescente g: R - L~ tal que g(.t + y) = g(.1;) + g(y) tem a fonna g(x) = k · x, onde k = g(l). A panir daí prove que a função .p do item 43 é dada por g(x} = a:r, para todo x e J?..

45. Considere cp: R -. R'" decrescente. com .,:(.r ...... y) = cp(x) · ;(y) para .i.·, IJ e ~quaisquer. Prove que se tem.,.,(.!·) - ax. com CL < 1

-t6. Prove que toda função cstri tamente monótona f: R · R ·t que cumpre ahip61ce Htcmafonna f (x) = c·éx,romc- f(O)ek = lnlf(l)/ /(O)J.

• · ~ 1 1 , " r 1 ,. • 1 •• J ... •"" ~ •• - ' J ~ •

47. Scj,\ lo a meia-vida de urna substância radioatl\ a CUJa massa no tempo t é 1\l(t). i\ loSLre que J\J(t) .\10 · 2 t/to . onde .\10 t\1(0).

Apêndice

Neste apêndice, apresentaremos três tabelas que poderão ajudar o leitor na execução de cálculos numéricos com logarilmos e com funções ~xpo­nenciais.

A primeira tabela apresenta os logaritmos naturais dos números 1,00 a 10,09, com intervalos de um centésimo. Os logarianos são fornecidos com quatro algarismos decimais exatos. Os logaritmos naturais dos números que dela não constam podem ser calculados usando-se a equação

ln(ab) = !na+ lnb

e os seguintes valores da função logaritmos natural:

ln 0.1 = 0,6974 - 3;

ln 0,01 = 0,3948- S;

ln 0,001 = 0,922- 7;

ln 0,0001 = 0,7897 -10;

ln 0,00001 = 0,4871 - 12;

A segunda tabela apresenta as mantissas, com quatro algarismos exa­tos, dos logaritmos decimais dos números 100 a 99.

A terceira tabela dá os valores da função exponencial ez e sua .recíproca e-z para valores de x, com intervalos de 1 décimo, dos números de O a 6. Os valores são dados com três algarismos decimais.

Logaritmos naturais de 1 a 10,09

N o.oo 0,01 0,0? 0,0} 0,().1 o.os C..06 0.07 o.os 0,0\>

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(conunuaJ

(continuação)

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Mantissas dos logaritmos duimais dos números 100 a 999.

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1.0 0000 00.B 0086 0128 0170 0212 0253 029.S 0334 0374 1.1 0414 0-tSJ O-i92 OSll OS69 0606 OG4S 0682 0719 075S 1,2 0792 0828 086'1 OS9? QQ1J 0969 100' 1039 1on 1106 1,3 1139 1173 120G 1239 1?71 130; 1335 1367 1399 1.130 1.4 1461 1492 IS2J ISSl 1 ~8-1 161·1 16.1-1 1673 1703 1732

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(continuação)

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1,0 2.7183 0.36788 4,0 S4,S98 0.01832

1,1 3.00t2 0.33287 4.1 60,340 0.01657

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2.1 8.1662 0.122-16 5.1 16-i.02 0.00610

2.2 9,0250 0.1 1080 5.2 181.27 0.00552

2.3 9.9742 0,10026 5.3 200,34 0.00499

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2.8 16.445 0.06081 5,8 330.30 0,00303

2.9 18.17-l 0.05502 S.9 365.04 0.0027.J

3,0 20.086 0.0-1979 6,0 403.-13 0.00248